Cilindro Nível Fácil

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Cilindro – 2016

Nível Fácil

1. (Uerj 2017) Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura AA ' de 10 cm. O plano ,α perpendicular à seção meridiana ABB' A', que passa pelos pontos B e A ' das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem.

O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano α e a base inferior, em cm , é igual 3 a:

a) 8π b) 12π c) 16π d) 20π

2. (Upe-ssa 2 2016) A figura abaixo representa um tanque de combustível de certa marca de caminhão a diesel. Sabendo que esse veículo faz, em média, 3 km L, e, observando o marcador de combustível no início e no final de uma viagem, quantos quilômetros esse caminhão percorreu?

Considere π3.

a) 243 km b) 425 km c) 648 km d) 729 km e) 813 km

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 13 3. (Cefet MG 2015) Na figura a seguir, ABCD é um retângulo inscrito em um setor circular de raio R com AB 2R .

3



O volume do sólido de revolução gerado pela rotação desse retângulo em torno de um eixo que contenha o segmento AD, em função de R, é igual a

a) R 3 5 . 3 π b) R 3 8 . 9 π c) R 3 4 5 . 27 π d) R 3 10 . 49 π e) R 3 5 5 . 54 π

4. (Enem 2015) Para resolver o problema de abastecimento de água foi decidida, numa reunião do condomínio, a construção de uma nova cisterna. A cisterna atual tem formato cilíndrico, com 3 m de altura e 2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá comportar 81m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga será desativada.

Utilize 3,0 como aproximação para .π

Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para atingir o volume desejado? a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,5 e) 8,0

5. (Enem PPL 2015) Uma fábrica brasileira de exportação de peixes vende para o exterior atum em conserva, em dois tipos de latas cilíndricas: uma de altura igual a 4 cm e raio 6 cm, e outra de altura desconhecida e raio de 3 cm, respectivamente, conforme figura. Sabe-se que a medida do volume da lata que possui raio maior, V1, é 1,6 vezes a medida do volume da lata que possui raio menor, V2.

A medida da altura desconhecida vale a) 8 cm.

b) 10 cm. c) 16 cm. d) 20 cm. e) 40 cm.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 13 6. (Fgv 2015) Determinada marca de ervilhas vende o produto em embalagens com a forma de cilindros circulares retos. Uma delas tem raio da base 4cm. A outra, é uma ampliação perfeita da embalagem menor, com raio da base 5cm. O preço do produto vendido na embalagem menor é de R$2,00. A embalagem maior dá um desconto, por mL de ervilha, de 10% em relação ao preço por mL de ervilha da embalagem menor.

Nas condições dadas, o preço do produto na embalagem maior é de, aproximadamente, a) R$3,51.

b) R$3,26. c) R$3,12. d) R$2,81. e) R$2,25.

7. (Enem PPL 2015) Um artesão fabrica vários tipos de potes cilíndricos. Mostrou a um cliente um pote de raio de base a e altura b. Esse cliente, por sua vez, quer comprar um pote com o dobro do volume do pote apresentado. O artesão diz que possui potes com as seguintes dimensões:

- Pote I: raio a e altura 2b - Pote II: raio 2a e altura b - Pote III: raio 2a e altura 2b - Pote IV: raio 4a e altura b - Pote V: raio 4a e altura 2b

O pote que satisfaz a condição imposta pelo cliente é o a) I.

b) II. c) III. d) IV. e) V.

8. (Enem 2014) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível.

Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma? a) dπ b) 2 dπ c) 4 dπ d) 5 dπ e) 10 dπ

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 13 9. (Unifor 2014) Um posto de combustível inaugurado recentemente em Fortaleza usa tanque subterrâneo que tem a forma de um cilindro circular reto na posição vertical como mostra a figura abaixo. O tanque está completamente cheio com 42 m3 de gasolina e 30 m3 de álcool. Considerando que a altura do tanque é de 12 metros, a altura da camada de gasolina é:

a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 9 m e) 10 m

10. (Unicamp 2014) Considere um cilindro circular reto. Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura for duplicada, o volume do cilindro

a) é reduzido em 50%. b) aumenta em 50%. c) permanece o mesmo. d) é reduzido em 25%.

Nível Médio

11. (Uema 2016) Um marceneiro tem como seu principal produto bancos de madeira, os quais são envernizados, antes da sua montagem, para melhor acabamento. Tais bancos são

compostos pelo assento circular e quatro pernas de seção quadrada. O assento tem raio de 30 cm e espessura de 5 cm, enquanto as pernas têm 3 cm de lado e 40 cm de altura. Sabe-se que o verniz utilizado pelo marceneiro tem rendimento de 8 m ,2 por litro, e é vendido, apenas, em latas de um litro.

Para envernizar toda a sua produção mensal, 40 (quarenta) bancos, a quantidade de latas de verniz a ser adquirida é de

Considere 1m210.000 cm2 e π3,14 a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 5 de 13 12. (Ufu 2016) A densidade (ou densidade volumétrica) de um material mede a quantidade de matéria (massa) que está presente em uma unidade de volume desse material. Embora todo material seja um objeto espacial, é comum considerarmos sendo de “natureza linear”. Por exemplo, um fio de cobre tem natureza linear e consideramos sua densidade linear (razão de sua massa pelo seu comprimento).

O vergalhão CA60 são barras de aço muito resistentes, utilizadas na construção civil e comercializadas em barras padrão de 12 metros. Admitindo que essas barras sejam cilíndricas, seus diâmetros (bitolas) variam de 4,2 a 9,5 mm.

De acordo com as especificações da norma NBR 7480, a barra da bitola de 6,0 mm tem densidade linear de 0,222 kg / m (quilograma por metro).

Com base nas informações apresentadas, a densidade, em kg / m ,3 de uma barra de bitola 6 mm é igual a a) 222 36π b) 222 9π c) 222000 9π d) 222000 36π

13. (Pucsp 2016) Dispõe-se de N tubos cilíndricos, todos iguais entre si, cada qual com diâmetro interno de 4 cm. Se esses tubos transportam a mesma quantidade de água que um único tubo cilíndrico, cujo diâmetro interno mede 12 cm e cujo comprimento é igual ao dobro do comprimento dos primeiros, então:

a) N15 b) 10 N 15 c) 6 N 10 d) N6

14. (Pucrj 2015) O volume do sólido gerado pela rotação de um quadrado de lado 3 cm em torno de um dos seus lados é, em cm :3

a) 3π b) 6π c) 9π d) 18π e) 27π

15. (G1 - ifsc 2015) Um galão de vinho de formato cilíndrico tem raio da base igual a 2 m e altura 3 m. Se 40% do seu volume está ocupado por vinho, é CORRETO afirmar que a quantidade de vinho existente no galão é:

Dados:π3,14 2 V  π R h a) 3.768 litros. b) 37.680 litros. c) 18.840 litros. d) 1.507 litros. e) 15.072 litros.

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 6 de 13 16. (Ufu 2015) O rendimento teórico de uma tinta é a quantidade necessária para pintar um metro quadrado de área e serve apenas para determinar o custo por metro quadrado da tinta. O rendimento real de uma tinta é calculado no final do trabalho executado que leva em conta o número de demãos (números de camadas de tintas necessárias para obter o resultado

esperado) e as perdas decorrentes da preparação e do método de aplicação. Admita que as perdas usando os diferentes métodos de pintura são estimadas em: pincel 10%, rolo 20% e pistola pneumática 25%.

Um pintor vai pintar toda a superfície de um tanque de combustível na forma de um cilindro circular de 10m de altura e raio da base igual a 2m. Sabe-se que a tinta a ser usada tem rendimento teórico de 20m2 por litro e que são necessárias duas demãos.

Determine a quantidade, em litros, de tintas necessárias para pintar esse tanque utilizando a pistola pneumática.

Dado: Use π3,14.

17. (Upe 2015) A figura a seguir representa a vista de cima de uma cisterna cilíndrica. Os pontos A e B indicam os locais de abastecimento, diametralmente opostos, e o ponto X mostra a posição de uma pessoa que se encontra a 6 m de A e a 8 m de B.

Sabendo-se que a profundidade da cisterna é de 2 m, qual a sua capacidade máxima? (Considere π3) a) 14.000 litros. b) 48.000 litros. c) 100.000 litros. d) 150.000 litros. e) 300.000 litros.

18. (Uem-pas 2015) Considere um cilindro reto C e uma esfera S com raio de medida R, inscrita em C. Considere, ainda, um plano α que passa pelo eixo de C. Com essas informações, assinale o que for correto.

01) O volume de C é VπR .₃

02) O plano α determina em C um quadrado cujo lado mede 2R. 04) O plano α determina em S uma circunferência de diâmetro R. 08) A área lateral de C é A_L 2 R .π 2

16) A área do círculo formado pela interseção αS é 2 R .π 2

19. (Uel 2014) No Paraná, a situação do saneamento público é preocupante, já que o índice de tratamento de esgoto é de apenas 53%, ou seja, quase metade das residências no Estado ainda joga esgoto em fossas. José possui, em sua residência, uma fossa sanitária de forma cilíndrica, com raio de 1 metro e profundidade de 3 metros.

Supondo que José queira aumentar em 40% o volume de sua fossa, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, de quanto o raio deve ser aumentado percentualmente.

Dado: 1,41,183 a) 11,8% b) 14,0% c) 18,3% d) 60,0% e) 71,2%

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 13 20. (Uea 2014) As figuras mostram um cilindro reto A, de raio da base r, altura h e volume

A

V , e um cilindro reto B, de raio da base 2r, altura 2h e volume V , cujas superfícies laterais _B são retângulos, de áreas S e _A S . _B

Nesse caso, é correto afirmar que A B S S e A B V V valem, respectivamente, a) 1 4 e 1 8 b) 1 2 e 1 6 c) 1 4 e 1 6 d) 1 2 e 1 2 e) 1 2 e 1 4

21. (Uemg 2014) Uma empresa de produtos de limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa para seu produto. Foram apresentados dois tipos de embalagens com volumes iguais. A primeira é um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um paralelepípedo de dimensões iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O metro quadrado do material utilizado na fabricação das embalagens custa R$ 25,00.

Considerando-se π3, o valor da embalagem que terá o menor custo será a) R$ 0,36.

b) R$ 0,27. c) R$ 0,54. d) R$ 0,41.

22. (Ufsm 2014) Uma alternativa encontrada para a melhoria da circulação em grandes cidades e em rodovias é a construção de túneis. A realização dessas obras envolve muita ciência e tecnologia.

Um túnel em formato semicircular, destinado ao transporte rodoviário, tem as dimensões conforme a figura a seguir.

Qual é o volume, em m , no interior desse túnel? 3 a) 4.800 .π

b) 7.200 .π c) 14.400 .π d) 28.800 .π e) 57.600 .π

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 13 Gabarito:

Resposta da questão 1:

[D]

O volume pedido é igual a metade do volume do cilindro. Assim, pode-se escrever: 2 metade 2 10 40 V V 20 2 2 π π π       Resposta da questão 2: [D]

O volume do tanque (suposto cilíndrico) é dado por 2 3 0,6 1,5 0,405 m 405 L. 2 π_ _     

Por conseguinte, como o caminhão consumiu 3 405 243 L,

5  segue que ele percorreu

243 3 729km.

[C]

Desde que ACR, segue do triângulo retângulo ABC, pelo Teorema de Pitágoras, que

2 2 2 2 ₂ 2 2 AC AB BC R R BC 3 5 BC R. 3      _  _      

Portanto, o volume do cilindro gerado é dado por

2 3 2 5 4 5 R R R . 3 3 27 π π_  _      Resposta da questão 4: [C]

O volume da cisterna é igual a

2 3 2 3 9 m . 2 π _{ }  

  Mantendo a altura, o raio r da nova cisterna

deve ser tal que 81  π r2 3, ou seja, r3 m. Em consequência, o aumento pedido deve ser de, aproximadamente, 3 1 2 m. 

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www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 13 Resposta da questão 5: [B] Fazendo os cálculos: 2 1 2 2 1 2 2 2 V 6 4 V 3 x V 1,6 V 6 4 1,6 3 x 144 14,4x x 10 cm π π π π                 Resposta da questão 6: [A]

A razão de semelhança entre os cilindros é 5.

4 Logo, se V é o volume da embalagem maior e v é o volume da embalagem menor, então

3 V 5 125 , v 4 64   _{ }    implicando em 125 V v. 64   Sabendo que o preço por mL de ervilha na embalagem menor é R$ 2,00, e que foi dado um desconto de 10% na embalagem maior, tem-se que a reposta é 0,9 2 125 R$ 3,52.

64

  

[A]

O volume do cilindro é dado pela área da base multiplicado pela altura. A maneira mais simples de duplicar o volume do mesmo é manter a área da base (ou seja, base a) e duplicar sua altura (ou seja, 2b).

[D]

O lado da folha de papel corresponde ao quíntuplo do comprimento da base do cilindro, ou seja, 5 d.π

[B]

Seja h a altura da camada de gasolina. Assim, como a altura de cada líquido é proporcional ao volume, temos

h 42

h 7 m.

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[A]

Sejam V, r e h, respectivamente, o volume, o raio da base e a altura do cilindro. Logo, como 2

V  π r h, segue-se que a variação percentual pedida é dada por

2 2 2 r 2h r h 2 _100% _50%, r h π π π   _{ }       _ _{ }  

isto é, houve uma redução de 50% no volume do cilindro.

[C]

A área lateral total envernizada em cada banco é dada por 2 2 4 (4 3 40 2 3 ) 2 30 (5 30) 1992 6594 8.586cm . π             

Desse modo, para envernizar toda a produção mensal, serão necessários 40 8586 4,3 L 80000



 e, portanto, o marceneiro deverá comprar 5 latas de verniz.

[C]

Volume de uma barra com um metro de comprimento em m . 3 2 3 9 V 1000 1000000 π π     _ _   

Portanto a densidade, em kg / m ,3 será dada por:

 3 0,222 222000 kg / m . 9 9 1000000 π π

(11)

[A]

Considerando que o volume 2 (V ) é N vezes o volume 1 ₂ (V ), podemos escrever a seguinte ₁ equação:            1 2 2 2 N V V N π 2 h π 6 2 h N 18 Portanto, N15. Resposta da questão 14: [E]

O volume V do cilindro resultante será dado por:

2 3 V π 3  3 27 cmπ Resposta da questão 15: [E] Quantidade de vinho: 40 22 3 0,48 3,14 15,072m3 15072L 100 π     

(12)

Supondo que apenas a superfície externa do cilindro será pintada, e sabendo que serão aplicadas duas demãos, a área que receberá a tinta é igual a 2 2    π 2 (2 10)301,44 m .2 Desconsiderando qualquer perda, a quantidade de tinta necessária para pintar o tanque seria de 301,44 15,072

20  litros. Porém, como a pistola pneumática desperdiça 25% da tinta utilizada, segue que o resultado pedido é 15,072 20,096

0,75  litros.

[D]

Como AB é um diâmetro, tem-se que o triângulo ABX é retângulo. Além disso, sendo AX6 m e BX8 m, podemos concluir que o triângulo ABX é semelhante ao triângulo de lados 3 m, 4 m e 5 m.

Portanto, segue que AB10 m e r5 m, com r sendo o raio da cisterna. A capacidade máxima da cisterna é dada por

2 3

5 2 3 25 2 150 m 150.000 litros.

π      

02 + 04 = 06.

[01] Falsa. O volume do cilindro é dado por V π R22R2πR .3

[02] Verdadeira, pois a secção meridiana de um cilindro equilátero é um quadrado. [04] Verdadeira. A intersecção do plano com a superfície esférica é uma circunferência. [08] Falsa. A_L    2 π R 2R  4 π R .2

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[C]

De acordo com o enunciado podemos escrever: VII = 1,4VI 2 2 2 R 3 1,4 1 3 R 1,4 R 1,183 π   π   

Portanto, o raio terá um aumento de 18,3%.

Resposta da questão 20: [A] A B S 2 r h 1 S 2 2r 2h 4 π π      

 

2 A 2 B V r h 1 V _2r _2h 8 π π       Resposta da questão 21: [A]

Área total do cilindro: 2 π 222π 2 1048π48 3 1334cm .2

Valor da embalagem em forma de cilindro: 144 25 R$0,36. 10000

 

Área total do paralelepípedo: 2 (4 5     4 6 5 6)148cm .2

Valor da embalagem em forma de paralelepípedo: 148 25 R$0,37. 10000

 

O valor da embalagem que terá o menor custo será: R$0,36.

[B]

O túnel é um semicilindro de raio 6m e altura 400m. Volume do túnel: 2 3 6 V 400 7200 m 2 π π    