INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.

(1)

SIMULADO DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3

O

_{ANO DO ENSINO MÉDIO}

COLÉGIO ANCHIETA-BA - JULHO DE 2011.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E

ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

QUESTÕES de 01 a 06

INSTRUÇÃO:

Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o

resultado na Folha de Respostas.

Questão 01. (UFBA-2006 modificada)

Com relação às funções f, g : R → R e h : ]0, +∞[ → R, dadas por f(x) = bx_{+ b}–x _{, g(x) = b}x_{– b}–x_{+ x e h(x) = log}

bx, sendo b um

nú-mero real positivo e diferente de 1, é correto afirmar: (01) O gráfico da função f é simétrico em relação à origem. (02) A função produto fg é ímpar.

(04) A função composta f o h é dada por f(h(x)) =

x 1 x2 +

para qualquer x ∈ ]0 + ∞[. (08) Para qualquer número real x, f(x)(g(x) – x) = g(2x) – 2x.

(16) Existe b ∈ ]0, + ∞[ – {1} tal que f(2) = 2.

(32) Existe b ∈ ]0, + ∞[ – {1} tal que h(x + y) = h(x)h(y) para quaisquer números reais positivos x e y.

RESOLUÇÃO:

(01) FALSA.

Sendo f(x) = bx_{+ b}–x_{e f(x) = b}–x_{+ b}x_{⇒ f(x) = f(x) ⇒ o gráfico da função f é simétrico em relação ao eixo dos y.}

(02) VERDADEIRA.

f(x).g(x) = (bx_{+ b}–x_)(bx_{– b}–x_{+ x) ⇒ f(–x).g(–x) = (b}x_{+ b}–x_{)( b}–x_{– b}x_{– x) = – (b}x_{+ b}–x_{) (b}x_{– b}–x_{+ x) ⇒}

f(–x).g(–x) = – f(x).g(x) ⇒ f(x).g(x) é uma função ímpar. (04) VERDADEIRA. f o h = x 1 x x 1 x x x b b 2 1 x log x logb ₊ − b ₌ ₊ − ₌ ₊ ₌ + _. (08) VERDADEIRA. f(x)(g(x) – x) =(bx_{+ b}–x _)(bx_{– b}–x_{+ x – x) = (b}x_{+ b}–x _)(bx_{– b}–x_{) = b}2x_{– b}–2x

g(2x) – 2x = (b2x – b2x + 2x) – 2x = b2x – b2x ⇒ para qualquer número real x, f(x)(g(x) – x) = g(2x) – 2x (16) FALSA. f(2) = 2 ⇒ (b2 + b–2) = 2 ⇒ b = 1 ∉ ]0, + ∞[ – {1} . (32) FALSA. y log . x log ) y . x log( ) y x ( logb + = ≠ b b

Questão 02.

Com um arame de 60cm de comprimento, sem cortá-lo é possível construir:

(01) Um triângulo equilátero tendo para raio do círculo inscrito o valor

3 3 10 cm. (02) Um círculo de área 600_cm2 π .

(04) Um hexágono regular cujos pontos médios dos lados formam um hexágono regular de área igual a 2 cm 2

3 225

(2)

(08) Um trapézio isósceles com um dos ângulos igual a 60°, altura 6 3cm e área 108 3cm2. (16) Um setor circular tendo o comprimento do arco igual ao dobro do raio e área igual a 225cm².

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA,

No triângulo retângulo ABC, tem-se: cm 3 3 10 r 10 r 3 3 10 r 30 tg °= ⇒ = ⇒ = . (02) FALSA.

O perímetro do círculo é 60cm, portanto, 2πr = 60cm ⇒

cm 30 2 60 r π π = = ⇒ S = π.r2 = 2 2 cm 900 30 . π π π  =      (04) VERDADEIRA.

M, N, P, Q, R e S são pontos médios dos lados do hexágono regular ABCDEF, então MNPQRS também é um hexágono regular cujo lado tem a medida (OM) do apótema do hexágo-no ABCDEF. OM é a altura do triângulo equilátero ABO.

cm 3 5 75 h 25 100 h2 = − ⇒ = = .

Então a área do hexágono MNPQRS é igual a:

(

)

2 3 225 2 3 75 3 4 3 . ) 3 5 ( 6 S 2 = =         = (08) VERDADEIRA.

Sendo a área do trapézio isósceles igual a 108 3cm2⇒

(

)

(

)

(

b B

)

6 216 b B 36 3 108 2 3 6 B b 3 108 2 h B b = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + 12 24 36 60 2 60 2 B b+ + l= ⇒ l= − = ⇒l= 3 6 h 3 6 h 60 tg 6 h 6 x 2 1 12 x 60 cos 12 x = ⇒ = ⇒ ° = ⇒ = ⇒ = ⇒ ° = (16) VERDADEIRA.

Sendo a área de um setor circular dado pela relação S = 2 C R × , 225 15 2 30 15 S= × = 2=

Questão 03. (UFBA-2008)

Considerando-se a função f: R → ]b, +∞[ dada por f(x) = cax_{+ b, com a, b, c ∈ R, c > 0 e 0 < a ≠ 1, é correto afirmar:}

(01) O ponto (0, b) pertence ao gráfico de f.

(02) A função f é crescente se e somente se a >1 e b > 0. (04) A função g: R → R dada por g(x) =

b ) x ( f b ) 1 x ( f − − + é constante.

(3)

(08) A função f é inversível e sua inversa é a função h: ]b, +∞[ → R, dada por h(x) =       − c b x log_a .

(16) A função f pode ser obtida como a composta de uma função afim e uma função exponencial. (32) A equação f(x) = b tem uma única solução real.

RESOLUÇÃO:

(01) FALSA. Pois b ∉ ]b, +∞[ . (02) FALSA.

• Sendo f(x) = ax_{, com a > 1 ⇒ f(x) é crescente.}

• Sendo c > 0, h(x) = c.f(x) = c.ax_{é crescente.}

• Então h(x) + b é uma função crescente independente do valor de b. (04) VERDADEIRA. g(x) =

[

]

[

]

ca a a ca b b ca b b ca b ) x ( f b ) 1 x ( f x 1x x 1 x x 1 x = = = − + − + = − −

+ + + +− _{que é um valor constante.}

Se f(x) = cax + b é inversível, ⇒ a sua inversa é a função: x = cay + b ⇒ cay = x – b ⇒       − = ⇒ − = c b x log ) x ( h c b x ay a .

Como c > 0, a condição de existência desta função é dada por

x – b > 0 ⇒ x > b ⇒ D (h(x)) = ]b, +∞[ ⇒ f(x) é inversível. (16) VERDADEIRA.

EXEMPLO-

Considerando as funções g(x) = cax – 1 _{+ b, h(x) = x + 1 e f(x) = g(h(x)) , por exemplo, tem-se}

que, f(x) = ca(x+1)−1+b=cax+b (32) FALSA. 0 log x 0 a 0 ca b b cax+ = ⇒ x = ⇒ x = ⇒ = _a .

Em R não existe loga0(logaritmando nulo)

QUESTÃO 04.

Considere o retângulo ABCD de lados AB = a e BC = b.

Seja E = (3, 4) o ponto de interseção da mediatriz do segmento AC com o lado DC . É verdade que:

(01) O valor de b é 4.

(02) O ponto de interseção das diagonais do retângulo é M =       4 , 2 a . (04) A equação da mediatriz de AC é 2x + y = a + 2. (08) O valor de a é 6.

(4)

RESOLUÇÃO:

01) VERDADEIRA.

Pela figura ao lado constata-se que b = 4.

(02) FALSA.

As diagonais de um retângulo são congruentes e interceptam no ponto médio, no caso,       =       = ,2 2 a 2 b , 2 a M . (04) VERDADEIRA.

A mediatriz de AC passa pelos pontos       = ,2 2 a

M e E = (3,4), então seu coeficiente angular é

a 6 4 2 a 6 2 2 a 3 2 4 m − = − = − − = .(I)

Sendo AC ⊥ ME ⇒ que o produto dos seus coeficientes angulares é igual a 1, então o coeficiente da reta ME é 4 a m=− .(II) De (I) e (II): 6a a 16 a 6a 16 0 a 8 4 a a 6 4 ₌₋ _⇒₋ ₊ 2 ₌ _⇒ 2₋ ₋ ₌ _⇒ ₌ − ⇒ M=(4,2). A equação de ME é y−2=−2

(

x−4

)

⇒y−2=−2x+8⇒y+2x=10.

Comparando essa equação com 2x+y = a +2, confirma-se o valor de a como sendo 8. (08) FALSA.

Sendo AC ⊥ ME , AM = x é a medida da distância da mediatriz de AC à origem. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo AFM:

5 2 20 16 4 x= + = =

Questão 05. (UFBA-2009 modificada)

Considerando-se que a concentração de determinada substância no corpo humano é dada, em miligramas, por 4 t 2 15 ) t (

C = .... − , sendo t ≥ 0 o tempo, em horas, contado desde a ingestão da substância, é correto afirmar:

(01) A concentração inicial da substância é igual a 30mg.

(02) Duas horas após a ingestão, a concentração da substância é igual a mg 2 15

. (04) A imagem da função C é o intervalo [0, 15].

(08) A função C é decrescente.

(16) Dado k ∈ ]0, 15], o único valor de t que satisfaz a equação C(t) = k é t =       k 15 log 4 ₂ .

(5)

RESOLUÇÃO:

(01) FALSA. 15 2 15 ) 0 ( C ₌ _.0₌ (02) VERDADEIRA. mg 2 15 2 . 15 2 15 ) 2 ( C 2 1 4 2 = = = _.− − (04) FALSA.

A imagem da função C é o intervalo ]0, 15]. (08) VERDADEIRA.

( )

4 t 1 4 t 2 . 15 2 15 ) t ( C − − = = . .

Como 0_<2−1_<1_{⇒ a função C é decrescente.} (16) VERDADEIRA. ⇒       = − ⇒       =         ⇒ = ⇒ = − − − 15 k log 4 t 15 k log 2 log 15 k 2 k 2 15 4 ₂ ₂ t 2 4 t 4 t .       = ⇒       = ⇒       − = − k 15 log 4 t 15 k log 4 t 15 k log 4 t ₂ 1 2 2 (32) VERDADEIRA. ; 15 2 15 ) 0 ( C ₌ _.0₌ 2 15 2 15 ) 4 ( C = _.−1= ; 4 15 2 15 ) 8 ( C = _.−2 = ; 8 15 2 15 ) 12 ( C = _.−3= ;...

Os valores concentração da substância no corpo humano, a cada período de quatro horas, forma a P.G.

      ,.... 8 15 , 4 15 , 2 15 , 15 de razão 2 1 .

Questão 06.

Os gráficos a seguir representam os polígonos de frequência das notas de uma prova de Matemática dos alunos das turmas A e B de um colégio.

É verdade que:

(01) O percentual de alunos dessas turmas com notas superiores a 4, foi igual. (02) A moda das notas da turma A é 4.

(04) A mediana das notas da turma B é 8.

(08) A média aritmética das notas da turma A é menor que 4,5.

(16) Tomando como valor da média aritmética da turma A o inteiro mais próximo, o desvio padrão das notas dessa turma é menor que 2,1.

(6)

RESOLUÇÃO:

As duas turmas têm 20 alunos cada uma. (01) VERDADEIRA.

Turma A: (6 + 5) = 11 alunos tiveram nota superior a 4, o que equivale a 55% 20 11

= .

Turma B: (6 + 5) = 11 alunos tiveram nota superior a 4, ou seja, 55% da turma. Portanto percentuais iguais

(02) FALSA.

Na turma A a nota de maior frequência foi 5, então a moda é 5. (04) VERDADEIRA.

Seja N o conjunto das 20 notas da turma B colocadas em ordem crescente: N = {1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 8, 8 ,8 ,8 ,8, 8, 9, 9 ,9 ,9, 9} Como 10,5 2 1 20 = +

, a mediana vai ser a média aritmética entre o 10o_{e o 11}o_{elementos, como eles são iguais a 8, a mediana}

é 8. (08) FALSA.. 5 , 4 9 , 4 20 98 20 40 30 20 8 20 5 8 6 5 5 4 4 2 x= × + × + × + × = + + + = = > (16) VERDADEIRA. 5 9 , 4 x= ≈

(

)

(

)

(

)

(

)

07 , 2 3 , 4 20 86 20 45 0 5 36 20 8 5 5 5 5 6 4 5 5 2 5 4 2 2 2 2 = = = + + + = − + − + − + − = σ

Questão 07. (UNICAMP 2009-Adaptada)

O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é:

(

T T

)

10 T ,

) t (

T = ₀− _ext . −t/4+ _ext onde T0 é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e T(ext) é a

temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem).

Sabendo que T0 = 21 °C e T(ext) = 30 °C, calcule o número inteiro mais próximo do tempo gasto, em minutos, a partir do

mo-mento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4 °C. Se necessário, use log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48 .

RESOLUÇÃO:

(

−

)

+ ⇒ = ⇒

(

)

= ⇒ −

(

)

= − ⇒

= − − − log10 log10 log2

4 t 3 log 2 5 log 10 . 9 log 5 10 . 9 30 10 30 21 25 . t/4 t/4 t/4 utos min 4 , 62 horas 04 , 1 t 26 , 0 4 t 30 , 0 1 4 t 48 , 0 2× − = − ⇒ = ⇒ = ≡ RESPOSTA: 62 minutos

(7)

Questão 08.

Uma circunferência possui os pontos A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (0, 6).

Sendo D o ponto, distinto da origem, em que a primeira bissetriz intercepta essa circunferência, determine a área do triângulo CBD.

RESOLUÇÃO:

O triângulo ABC é retângulo, então o raio do círculo circuns-crito é igual à metade da medida da hipotenusa BC .

R = 5 2 100 2 6 82 2 = = +

O centro desse círculo é o ponto O = (4,3) 2 6 , 2 8 =       .

A equação desse círculo é: (x₋4)2₊(y₋3)2₌25_. O ponto D pertence à primeira bissetriz, logo D = (x, x). Substituindo as ordenadas de D na equação da circunferência:

⇒ = = ⇒ = − ⇒ = + − + + − ⇒ = − + −4) (x 3) 25 x 8x 16 x 6x 9 25 2x 14x 0 x' 0ou x'' 7 x ( 2 2 2 2 2 D = (7, 7).

Os vértices do triângulo CBD, são: C = (0, 6), B = (8, 0) e D = (7, 7).

A área do triângulo CBD é: 50 25 2 1 48 42 56 2 1 1 7 7 1 0 8 1 6 0 2 1 S= = + − = × = .