EXPERIMENTOS EDUCACIONAIS CONCRETOS E VIRTUAIS PARA O ENSINO DE ÁREAS E POLÍGONOS EQUIVALENTES

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Relato de Experiência 1 EXPERIMENTOS EDUCACIONAIS CONCRETOS E VIRTUAIS PARA O

ENSINO DE ÁREAS E POLÍGONOS EQUIVALENTES

Ana Maria M. R. Kaleff Universidade Federal Fluminense

anakaleff@vm.uff.br

Bárbara Gomes Votto Laboratório de Ensino de Geometria – Universidade Federal Fluminense Secretaria Municipal de Educação - RJ

bgvotto@yahoo.com.br

Fernanda M.C. da Rosa Laboratório de Ensino de Geometria – Universidade Federal Fluminense Secretaria de Estado de Educação - RJ

malinosky20@hotmail.com

Resumo: Este relato apresenta uma forma interessante e instigante de se dinamizar a sala

de aula para motivar o educando à aprendizagem de relações e conceitos geométricos, por meio da utilização de recursos concretos e virtuais. Apresentam-se experimentos educacionais destinados a alunos e professores do ensino fundamental ao médio, bem como aos do Ensino de Jovens e Adultos, podendo ser aplicados no ensino presencial como no a distância. A metodologia envolvida motiva o educando por meio da utilização de uma ampla variedade de jogos e artefatos didáticos, softwares e animações eletrônicas, tais como, jogos de encaixe do tipo quebra-cabeças planos e jogos artísticos baseados em uma gravura de Maurits Cornelis Escher. Envolvem ainda mosaicos de encaixe e artefatos dinâmicos para a representação de polígonos equivalentes e da generalização do teorema de Pitágoras, para o caso de figuras semelhantes alocadas ao longo dos lados de um triângulo retângulo. Os experimentos satisfazem os princípios educacionais apresentados nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino básico e o Modelo de van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico.

Palavras-chave: Geometria; Áreas; Polígonos equivalentes; Materiais concretos;

Materiais virtuais.

APRESENTAÇÃO E JUSTIFICATIVA

No que se segue, apresentam-se recursos didáticos criados no Laboratório de Ensino de Geometria (LEG) da Universidade Federal Fluminense, no âmbito de diversos projetos, nos quais se busca o desenvolvimento de metodologias e estratégias de ensino e aprendizagem, ou seja, de tecnologias educacionais, da capacitação e da qualificação de recursos humanos, no caso, licenciandos e professores de Matemática em formação

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continuada. Os projetos que deram origem aos módulos educacionais aqui apresentados são o Desenvolvimento de Atividades para Ampliação do Acervo Didático do Laboratório de Ensino de Geometria do Instituto de Matemática, vinculado à Pró-Reitoria de Extensão, o Projeto de monitoria Iniciação à Docência para a Melhoria do Ensino de Geometria em uma Perspectiva da Educação Matemática, vinculado à Pró-Reitoria de Assuntos Acadêmicos e o Projeto Conteúdos Digitais para o Ensino e Aprendizagem da Matemática do Ensino Médio (CDME), patrocinado pelo Ministério de Ciência e Tecnologia.

No LEG, privilegiam-se as pesquisas voltadas para o desenvolvimento da habilidade da visualização, como se verá mais a seguir, e embora alguns tipos especiais de jogos ajudem no desenvolvimento da habilidade geométrica da visualização, devido ao seu papel introdutório às atividades geométricas, os jogos educacionais também são importantes por serem motivadores e facilitadores de ações pedagógicas na sala de aula, devido à sua relação com aspectos lúdicos.

As pesquisas em Educação Matemática cada vez mais indicam que atividades lúdicas ligadas a recursos didáticos modeladores de situações matemáticas e a jogos têm papel importante no desenvolvimento de habilidades necessárias ao aprendizado de Matemática e à resolução de problemas em geral. Os jogos, por sua vez, têm mostrado que permitem minimizar bloqueios cognitivos, nos quais os alunos apresentam temor pela Matemática e sentem-se incapazes de aprendê-la. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) “os jogos constituem uma forma interessante de propor problemas, pois permitem que estes sejam apresentados de modo atrativo e favorecem a criatividade na elaboração de estratégias de resolução e busca de soluções” (BRASIL, 1998, p. 19).

Devido ao grande avanço tecnológico ocorrido na última década, os que trabalham no meio educacional têm sentido a necessidade de adaptar jogos concretos para o ambiente virtual, pois cada vez mais as crianças vão tendo, no seu cotidiano, de interagir com as brincadeiras desenvolvidas para o computador, celulares e outros meios eletrônicos. Desta forma, a escola, em todas as suas modalidades de ensino, não pode ficar alheia à interação com os recursos da mídia eletrônica.

Atendendo à demanda do uso do computador como instrumento didático, principalmente nos empreendimentos de ensino a distância, os recursos didáticos desenvolvidos no LEG não poderiam deixar de ser adaptados a esta nova modalidade de

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mediação pedagógica. Assim sendo, os módulos educacionais desenvolvidos nos projetos passaram a ser transportados para o ambiente virtual, inclusive incluindo adaptações para alunos portadores de deficiência visual.

CARACTERÍSTICAS DOS EXPERIMENTOS EDUCACIONAIS DESENVOLVIDOS

Os jogos e artefatos foram inicialmente desenvolvidos e organizados em módulos educacionais, constituídos por um conjunto de atividades e envolvendo materiais concretos, os quais, posteriormente, foram modelados em ambiente virtual.

Para a modelagem virtual dos jogos, em um primeiro momento e no âmbito do projeto de extensão anteriormente citado, lançou-se mão de recursos da informática através da utilização de programas computacionais livres, relacionados à geometria dinâmica, visando ao ensino de vários conteúdos da geometria escolar permeados nesses jogos. Foram utilizados, principalmente, os programas C.a.R (Régua e Compasso, GROTHMANN, 2006) e o programa Geogebra (HOHENWARTER, 2001). Esses são excelentes ambientes para os iniciantes na computação dinâmica, pois permitem a construção de pontos, segmentos, retas, planos, polígonos, curvas e muito mais.

Em um segundo momento, já no âmbito do projeto CDME, os módulos foram organizados em experimentos educacionais advindos de uma intensa produção de recursos multimídia e, para tanto, foram buscados recursos da computação gráfica mais adequados à dinâmica deste ambiente, como Adobe Flash e Java.

Os experimentos educacionais desenvolvidos são apresentados em uma página HTML (HyperText Markup Language) que podem ser acessados por meio de um ambiente familiar ao usuário, ou seja o de um navegador (Firefox, Internet Explorer etc.). Quanto ao acesso externo, este acontece por meio da internet ou de uma cópia no computador, recurso que permite o uso off line, sem a necessidade de uma conexão com a internet e em qualquer dos sistemas operacionais, tais como Windows, Linux, MacOS. Quanto à interatividade, esta se dá através de recursos das linguagens Java, JavaScript e ActionScript 3.0. Cumpre salientar que, o material produzido para o projeto CDME já está

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Como é tradição no LEG, nos experimentos educacionais com recursos concretos, são apresentadas atividades, para cuja realização são necessários materiais de baixo custo, tais como papel-cartão; papelões e emborrachados planos de diversos tipos e espessuras; canudos; linhas variadas etc. Além disso, nos projetos desenvolvidos e aqui mencionados, além da elaboração do aparato educacional para o aluno, o qual alia representações concretas a digitais, busca-se oferecer recursos que enfatizam práticas pedagógicas inovadoras no ensino da Matemática. No caso dos experimentos envolvendo os jogos de encaixe e artefatos aqui tratados, cada experimento contém além das suas versões eletrônicas, a descrição da construção do jogo ou artefato para ser confeccionado com material concreto, um conjunto de atividades para o aluno e ainda um guia detalhado para a orientação do professor. Este guia e a estruturação das atividades visam à inclusão e ao uso efetivo de várias mídias digitais na sala de aula.

A avaliação dos experimentos educacionais tem sido realizada por professores e alunos do ensino básico, por meio de sua aplicação em oficinas de curta duração e fizeram parte do conteúdo apresentado em diversas disciplinas de cursos de especialização para professores da UFF e da Universidade Aberta do Brasil (UAB), ou seja, tanto em aplicações presenciais quanto à distância.

Adaptações para deficientes visuais têm sido realizadas em parte desses materiais, os quais vêm sendo testados com alunos e professores do Instituto Benjamim Constant, no Rio de Janeiro.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Tem sido constatado que jogos de encaixe e outros quebra-cabeças constituem-se em um recurso a mais para a introdução à elaboração do pensamento geométrico, pois permitem o desenvolvimento da habilidade da percepção visual e da visualização de formas, geométricas ou não, bem como das habilidades de análise e do traçado de desenhos.

Segundo o educador matemático holandês Pierre van Hiele, a criança inicia a formação das idéias geométricas por meio da visualização e do reconhecimento das formas (VAN HIELE, 1986). Este fato justifica a utilização dos jogos de encaixe na escola, pois a

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principal finalidade didática do seu uso é no momento da iniciação ao desenvolvimento do pensamento geométrico. As formas geométricas que compõem um jogo deste tipo dão ao professor muitas possibilidades de exploração de conceitos da geometria elementar e permitem ajudar o aluno a desenvolver a habilidade da visualização.

O aluno que utiliza um tangram com formas geométricas, ou outro quebra-cabeça plano, tem a oportunidade de perceber formas, de representá-las, de construí-las e de criar objetos e outras formas planas a partir delas. É desta maneira, portanto, que tais jogos potencializam o desenvolvimento da habilidade de visualização (GOLDIN & SHTEINGOLD, 2001).

Na literatura em Educação Matemática também tem sido enfatizado que o trabalho com artefatos concretos e virtuais modeladores de situações matemáticas e jogos de encaixe possibilita levar o aluno a resolver problemas por meio do desenvolvimento de estratégias e formas de raciocínio que envolvem processos ligados à intuição, indução e analogia (ENGLISH, 1998). Além de permitir ao aluno interagir socialmente com os colegas de modo cooperativo, aprendendo a trabalhar em conjunto na busca de soluções. Como é bem conhecido, esses processos cognitivos e de interação social são de importância fundamental para o ensino e a aprendizagem da Matemática (RIZZO, 1996).

De uma forma geral, o uso didático dos jogos de encaixe com formas planas e dos artefatos modeladores de polígonos apresentados a seguir possibilita ao aluno: explorar e identificar propriedades geométricas; classificar, selecionar e mover as peças que compõem o jogo ou as formas geradas no artefato; observar a conservação de uma forma após a realização de um movimento; apropriar-se do vocabulário específico relacionado às formas geométricas elementares; aplicar diferentes estratégias para resolução de problemas; comparar e medir comprimentos, áreas e amplitude de ângulos; observar relações de simetria axial; observar congruências e semelhanças entre figuras.

RESULTADOS: EXPERIMENTOS EDUCACIONAIS

A seguir apresentam-se a descrição, os objetivos e os níveis de ensino dos experimentos educacionais desenvolvidos para o ensino de áreas e polígonos equivalentes.

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I- Experimento Educacional: Jogos Artísticos Geométricos Concretos e Virtuais

Neste experimento são apresentados três jogos de encaixe, concretos e eletrônicos, na forma de um mosaico (Mosaico dos Lagartos) e dois quebra-cabeças (Jogo do Lagarto

e do Lagarto Geométrico). As peças do primeiro possuem a forma de um lagarto,

enquanto que as dos outros dois de polígonos convexo regular e de não-convexo muito irregular. Um desafio baseado em uma situação-problema do cotidiano relaciona esses dois jogos. Nestes, nas versões eletrônicas, um termômetro indica a adequação dos movimentos e dos encaixes das peças realizados pelo jogador.

Figura 1 – Jogo Eletrônico: Mosaico dos Lagartos.

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Figura 3 – Jogo Eletrônico: Jogo do Lagarto Geométrico.

Estes jogos com figuras de lagarto são baseados em uma litografia chamada Répteis, criada pelo ilustrador holandês Maurits Cornelis Escher. Apresenta-se um conjunto de atividades interdisciplinares ligadas aos temas Espaço e Formas, envolvendo os conteúdos geométricos e orientações para o aluno poder construir as peças dos jogos com materiais concretos. Do guia do professor que acompanha as atividades, constam sugestões pedagógicas adicionais, incluindo aquelas para o ensino de portadores de deficiência visual. As atividades são destinadas ao Ensino de Jovens e Adultos (EJA), para o Ensino Fundamental e para as séries do Médio

Os objetivos do experimento são levar o aluno a constatar regularidades, congruências, equivalência de áreas e posicionamentos de figuras, advindas de simetrias axiais e rotações sobre uma superfície plana, por meio da observação das peças dos três jogos de encaixe (concretos e eletrônicos), os quais relacionam aspectos da Geometria com as Artes. Por meio da comparação das áreas de polígonos regulares e irregulares, são apresentados polígonos equivalentes.

II- Experimento Educacional: Tangrans Pitagóricos Concretos e Virtuais

Apresentam-se a construção e atividades didáticas relacionadas a 4 jogos geométricos planos do tipo tangram e a 2 artefatos articulados modeladores de situações que levam a representações da generalização do Teorema de Pitágoras, para o caso de figuras planas diferentes do quadrado. Os jogos envolvem o encaixe de peças e, nas versões eletrônicas, um termômetro indica a adequação dos movimentos e dos encaixes das

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peças realizados pelo jogador. Das atividades consta também um desafio com aplicações dos conceitos geométricos envolvidos e ainda reflexões importantes sobre o teorema, as quais permitem a constatação de relações históricas e inferências lógicas, bem como de aplicações linguísticas no cotidiano de nossos dias. Um guia do professor apresenta indicações para a adaptação do material para aplicação ao aluno deficiente visual, bem como considerações teóricas sobre o processo de aproximação de curvas criado por Eudóxo e conhecido desde o tempo da antiga Grécia como método de aproximação por exaustão.

Os objetivos do experimento são levar o aluno a observar semelhanças de figuras planas e a generalização do Teorema de Pitágoras para o caso de figuras planas semelhantes quaisquer. Observar relações históricas, inferências lógicas e aplicações linguísticas relacionadas à palavra quadrado.

A generalização do Teorema de Pitágoras é interessante e instigadora, na medida em que permite mostrar como figuras curvas podem ocupar uma mesma área que formas poligonais, apesar de nunca ser possível, por meio de recursos geométricos, ou seja, com régua e compasso, transformar uma forma curva em outra poligonal.

Esses jogos e artefatos são indicados para o EJA, para alunos das series finais do Ensino Fundamental e para as do Médio, como para o ensino de portadores de deficiência visual. Todo material foi testado com alunos do Instituto Benjamin Constant do Rio de Janeiro.

III- Experimento Educacional: Tangrans Geométricos Especiais Concretos e

Virtuais

Apresentam-se a construção e atividades didáticas relacionadas a cinco jogos eletrônicos de encaixe de formas planas do tipo tangram: o do Coração Partido, o do Ovo Mágico, o do Quadrado de Quinze Peças Poligonais, o de Lloyd e o Triangular. Enquanto as peças dos dois primeiros envolvem formas curvas, os três últimos possuem somente figuras poligonais. Durante a realização das versões eletrônicas desses três, um termômetro indica a adequação dos movimentos e dos encaixes realizados com as peças, ou seja, o quanto o jogador está próximo da solução. Apresentam-se atividades para o aluno do Ensino Fundamental ou do Médio poder construir os jogos com materiais concretos, um

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guia detalhado para o professor e ainda um questionário de acompanhamento ou de avaliação das atividades do aluno.

Esses jogos de encaixe visam a construir figuras geométricas planas a partir de uma quantidade determinada de peças do jogo; a representar figuras poligonais; a comparar tamanhos de formas e ângulos; a transformar figuras geométricas em outras como, por exemplo, um quadrado em retângulo, um retângulo em paralelogramo; a observar figuras simétricas axiais e a calcular áreas de figuras planas equivalentes.

IV- Experimento Educacional: Modelando Polígonos Equivalentes

Apresentam-se as construções de dois artefatos de baixo custo, modeladores de polígonos equivalentes (triângulos e paralelogramos) por meio de movimentos. Apresenta-se também um conjunto de atividades e desafios geométricos relativos a esApresenta-ses artefatos, acompanhados de animações eletrônicas interativas. È anexado um guia do professor, no qual são apresentadas considerações sobre como se adaptar esses artefatos para o ensino de deficientes visuais e animações eletrônicas modeladoras de pentágonos e hexágonos.

Os objetivos desse experimento são levar o aluno a observar regularidades e congruências de polígonos equivalentes por meio de materiais concretos e animações eletrônicas interativas. Levar a cogitar sobre as medidas de áreas de figuras com formas geométricas diferentes, mas que apresentam regularidades, ou seja, uma medida de altura fixa, em relação à medida constante de ao menos um dos lados do polígono.

Tem sido constatado que alunos no nível de EJA são motivados pela percepção visual advinda dos artefatos, bem como alunos do Ensino Fundamental e do Médio, com necessidades visuais especiais encontram benefícios na sua manipulação, pois esses artefatos podem ser devidamente adaptados para permitir uma boa percepção das situações geométricas por meio do tato. Esse material foi testado com alunos portadores de deficiência visual no Instituto Benjamin Constant do Rio de Janeiro.

CONCLUINDO...

Pelo que tem sido observado, tanto alunos como professores têm se beneficiado com a realização desses experimentos educacionais e com a aplicação dos materiais

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concreto/eletrônico, bem como os alunos portadores de deficiência visual se apresentam mais interessados e entusiasmados nas aulas de Matemática, tendo um melhor desempenho.

REFERÊNCIAS

BRASIL Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental: Matemática (5ª a 8ª séries). Brasília: MEC/SEF. 1998.

ENGLISH, L. Mathematical Reasoning: Analogies, Metaphors and Images. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum. 1998.

GOLDIN, G. A.; SHTEINGOLD, N. Systems of Representations and the Development of Mathematical Concepts. In: The Role of Representation in School Mathematics. Nova Iork: NCTM-National Council of Teachers of Mathematics. 2001.

GROTHMANN, R. Z. u. L. - Zirkel und Lineal. http://www.rene-grothmann. 2006. Disponível em 23 de junho de 2008.

HOHENWARTER, M. Geogebra http://pt.wikipedia.org/wiki/Geogebra

http://www.geogebra.org/cms/. 2001. Disponível em 23 de junho de 2008.

RIZZO, G. Jogos Inteligentes: a Construção do Raciocínio na Escola Natural. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil. 1996.