PME-2350 – MECÂNICA DOS SÓLIDOS II
AULA #3: TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO
13.1 Motivação e objetivos
É comum em problemas de Engenharia haver a necessidade de expressar determinadas grandezas mecânicas (a exemplo das componentes de tensão e deformação) em outros sistemas de coordenadas que não o sistema cartesiano. Em muitos casos, esta necessidade surge da facilidade com que as equações governantes são obtidas quando sistemas de coordenadas apropriados são introduzidos. Como exemplos para motivar a introdução destas equações de transformação de tensão, podemos citar o uso das coordenadas cilíndricas para a solução do problema de um vaso cilíndrico de parede espessa submetido a carregamentos axissimétricos decorrentes de pressão interna e externa, conforme ilustrado na Fig.1, e o uso das coordenadas esféricas para a solução de problema análogo (aplicado a vaso de pressão esférico de parede espessa), conforme ilustrado na Fig.2.
Fig. 1 Tubulações cilíndricas submersas submetidas a pressões interna e externa [1]
Fig. 2 Vasos de pressão esféricos [2]
O objetivo destas notas é apresentar um método de transformação de tensões (ou deformações) de um dado sistema de coordenadas para outro sistema de coordenadas. Em particular serão apresentadas as fórmulas de transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas (e vice-versa) e também de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas (e vice-versa). Deve-se ressaltar que todas as bases de versores associadas aos sistemas de coordenadas aqui tratados serão sempre bases ortonormais com orientação positiva.
3.2 A fórmula de transformação
Consideremos que seja conhecido o estado de tensões de um dado ponto P de um sólido deformável submetido a um dado carregamento conforme indicado na Fig. 3.
Fig. 3 Estado de tensões num dado ponto (P) de um sólido
Sabemos que tal estado tensional fica perfeitamente caracterizado através do conhecimento do tensor das tensões o qual pode ser expresso (por exemplo) na base ௫, ௬, ௭ associada ao
sistema de coordenadas cartesianas Oxyz indicado na Fig.3. Assim, escrevemos: ௫ ௬௫ ௭௫ ௫௬ ௬ ௭௬ ௫௭ ௬௭ ௭ (1) x z ௬ ௭ ௫ P ߪ ௫ ߪ௬ ߪ௭ ߬௫௬ ߬ ௫௭ ߬௬௫ ߬௬௭ ߬ ௭௬ ߬௭௫
Queremos, contudo, expressar o estado de tensões deste mesmo ponto do sólido (mantidas todas as demais circunstâncias, como carregamento aplicado, instante de tempo considerado, etc) em outro sistema de coordenadas (que pode ser, ou não, um sistema de coordenadas cartesianas) e, portanto, segundo outra base de versores (também ortonormal positiva). Denotaremos este novo sistema de coordenadas por Ox’y’z’, e a base de versores associada a este novo sistema por ′ ௫ᇱ , ௬ᇱ , ௭ᇱ. A
figura 4 ilustra o novo sistema, a nova base e o estado de tensões segundo os eixos desta nova base.
Fig. 4 Estado de tensões no mesmo ponto (P) do sólido na nova base b’ O tensor das tensões (no mesmo ponto P), escrito na nova base ᇱ ௫ᇲ , ௬ᇲ , ௭ᇲ será:
ᇲ
௫ᇲ ௬ᇱ௫ᇱ ௭ᇱ௫ᇱ
௫ᇱ௬ᇱ ௬ᇱ ௭ᇱ௬ᇱ
௫ᇱ௭ᇱ ௬ᇱ௭ᇱ ௭ᇱ
(2)
Naturalmente, as componentes do tensor das tensões na nova base devem estar relacionadas, de alguma forma, às componentes do tensor das tensões na base antiga, e queremos justamente encontrar tais relações. Para tanto, será necessário obter a matriz de mudança de base de b para ᇱ, a qual pode ser obtida escrevendo os versores da base nova (ᇱ) em função dos versores da base antiga (b). Consideremos que tais relações sejam dadas por:
x yy z ௬ᇱ ௭ᇱ ௫ᇱ P ߪ ௫ᇱ ߪ௬ᇱ ߪ ௭ᇱ ߬ ௫ᇱ௬ᇱ ߬௫ᇱ௭ᇱ ߬௬ᇱ௫ᇱ ߬ ௬ᇱ௭ᇱ ߬ ௭ᇱ௬ᇱ ߬ ௭ᇱ௫ᇱ x’ y’ z’
௫ᇲ =ଵଵ௫+ଶଵ௬+ଷଵ௭
௬ᇲ =ଵଶ௫+ଶଶ௬+ଷଶ௭ (3)
௭ᇲ =ଵଷ௫+ଶଷ௬+ଷଷ௭
Assim, considerando que seja um vetor qualquer do espaço (podendo ser, por exemplo, o vetor tensão, , atuando num determinado plano inclinado de normal , ou o próprio versor normal ao plano inclinado citado), podemos escrever em qualquer uma das duas bases indicadas, de tal forma que:
Na base antiga, = ௫,௬,௭, escrevemos:
=௫௫+௬௬+௭௭ (4)
E, na base nova, ᇱ=
௫ᇲ , ௬ᇲ , ௭ᇲ, escrevemos:
ᇱ=௫ᇱ௫ᇱ+௬ᇱ௬ᇱ +௭ᇱ௭ᇱ (5)
Substituindo as relações (3) em (5) e reagrupando os termos, de forma a colocar em evidência os versores da base antiga, virá:
= ଵଵ௫ᇱ+ଵଶ௬ᇱ+ଵଷ௭ᇱ. ௫+ ଶଵ௫ᇱ+ଶଶ௬ᇱ+ଶଷ௭ᇱ. ௬
+ ଷଵ௫ᇱ+ଷଶ௬ᇱ+ଷଷ௭ᇱ. ௭
(6)
Comparando as relações (4) e (6), e lembrando ainda que um vetor se escreve de forma única numa dada base (note que tanto em (4) quanto em (6), estão explícitos os versores da base antiga), teremos a conhecida fórmula de mudança de base que relaciona as componentes do vetor nas duas bases, a saber: ௫௬ ௭ = ଵଵ ଵଶ ଵଷ ଶଵ ଶଶ ଶଷ ଷଵ ଷଶ ଷଷ . ௬ᇱ௫ᇱ ௭ᇱ ᇱ (7)
Ou, de forma abreviada:
Deve-ser observar que, na montagem da matriz de mudança de base ᇱ, as componentes do
j-ésimo versor da nova base (escritos como combinações lineares dos versores da base antiga) ocupam respectivamente a j-ésima coluna, respeitando-se a ordem em que a base foi montada. Também é importante ressaltar que, uma vez que as duas bases indicadas não são bases quaisquer, mas bases ortonormais de orientação positiva, a matriz ᇱ tem as seguintes propriedades:
i) []ିଵ= []௧ (a inversa de [M] é igual a sua transposta) e,
ii) det = +1
Consideremos, por fim, a conhecida relação:
= . {} (9)
a qual pode ser escrita, de forma consistente, em qualquer uma das bases indicadas, ou seja: Na base antiga = ௫,௬,௭:
=. {} (10)
E, na base nova ᇱ=
௫ᇲ , ௬ᇲ , ௭ᇲ:
ᇱ=ᇱ. {}ᇱ (11)
Utilizando, porém, a relação de mudança de base (8), tanto para o vetor quanto para o versor {}, teremos:
=ᇱ. ᇱ (12)
=ᇱ. ᇱ (13)
E substituindo (12) e (13) em (10), virá:
ᇱ. ᇱ=.ᇱ. ᇱ (14)
Ou utilizando a 1ª propriedade da matriz de mudança de base, conforme indicado acima: ᇱ= ᇱ
௧
.. ᇱ. ᇱ (15)
Comparando, por fim, as relações (11) e (15), e observando que a relação deve ser válida para qualquer versor (ou seja, para qualquer plano inclinado que passe pelo ponto P), resta evidente que a seguinte relação deve existir entre as componentes do tensor das tensões nas bases e ′:
ᇱ = ᇱ ௧
.. ᇱ (16)
Relação análoga existe também para as componentes do tensor das deformações nas duas bases, ou seja:
ᇱ = ᇱ ௧
.. ᇱ (17)
3.3 Exemplo 1: Transformação de tensão de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas
Consideremos o caso em que se deseja obter as componentes do tensor das tensões (ou das deformações), para um dado ponto do sólido, no sistema de coordenadas cilíndricas, uma vez conhecidas suas componentes no sistema de coordenadas cartesianas. As bases associadas a estes dois sistemas são:
Sistema de coordenadas cartesianas: base = ௫,௬,௭ (“antiga”)
Sistema de coordenadas cilíndricas: base ′ = ,ఏ,௭ (“nova”)
Para montar a matriz de mudança de base ᇱ precisamos apenas expressar os versores da base ′
em função dos versores da base (ver Fig.5):
= cos. ௫+. ௬ ఏ = −. ௫+ cos. ௬ (18) ௭=௭ Resultando: ᇱ= − 0 0 0 0 1 (19)
Fig. 5 Relações entre versores , ఏ, ௭ e ௫, ௬, ௭
Utilizando a fórmula de transformação de tensão, dada por Eq.(16), virá: ᇱ ᇱ
௧
. . ᇱ
Onde ᇱ já está indicada em (19) e, ᇲ ఏ ௭ ఏ ఏ ௭ఏ ௭ ఏ௭ ௭ e ௫ ௬௫ ௭௫ ௫௬ ௬ ௭௬ ௫௭ ௬௭ ௭
Resultando, após as multiplicações (verifique!!): ௫. ଶ ௬. ଶ ௫௬. 2 ఏ ௫. ଶ ௬. ଶ ௫௬. 2 ௭ ௭ ఏ ఏ ௫௬. 2 ௫ ௬ 2 . 2 ௭ ௭ ௫௭. ௬௭. ௭ఏ ఏ௭ ௫௭. ௬௭.
Observe também que as fórmulas dadas acima também coincidem com as apresentadas em diversas outras referências (ver, por exemplo, Gere e Goodno [3], cap.7). Também é digno de nota que, como era de se esperar, temos de imediato a seguinte relação de invariância:
ఏ ௭ ௫ ௬ ௭ (20) x y z ݁Ԧ௬ ݁Ԧ௭ ݁Ԧ௫ P r θ z ݁Ԧ ݁Ԧఏ ݁Ԧ௭
3.4 Exemplo 2: Transformação de tensão de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas
Consideremos agora um segundo caso em que se deseja obter as componentes do tensor das tensões (ou das deformações), para um dado ponto do sólido, no sistema de coordenadas esféricas, uma vez conhecidas suas componentes no sistema de coordenadas cartesianas. As bases associadas a estes dois sistemas são:
Sistema de coordenadas cartesianas: base ௫, ௬, ௭ (“antiga”)
Sistema de coordenadas cilíndricas: base ′ , ఝ, ఏ (“nova”)
Para montar a matriz de mudança de base ᇱ vamos inicialmente expressar os versores da base ′
em função dos versores da base (ver Fig.6):
. cos. ௫ . . ௬ . ௭
ఝ . cos. ௫ cos . sen. ௬ . ௭ (21)
ఏ . ௫ cos. ௬
Resultando:
ᇱ
. cos . cos . cos . sen cos
0 (22)
Fig. 6 Relações entre versores , ఝ, ఏ e ௫, ௬, ௭
y z x ݁Ԧ௬ ݁Ԧ௭ ݁Ԧ௫ P r θ φ ݁Ԧ ݁Ԧఏ ݁Ԧఝ
Utilizando a fórmula de transformação de tensão, dada por Eq.(16), virá: ᇱ = ᇱ
௧
.. ᇱ
Onde ᇱ já está indicada em (22) e,
ᇲ = ఝ ఏ ఝ ఝ ఏఝ ఏ ఝఏ ఏ e = ௫ ௬௫ ௭௫ ௫௬ ௬ ௭௬ ௫௭ ௬௭ ௭ Resultando, após as multiplicações (verifique!!):
= ௫. ଶ. ଶ + ௬.ଶ. ଶ + ௭. ଶ + ௫௬.2. ଶ + ௫௭. . (2 ) + ௬௭.. (2 ) ఝ = ௫. ଶ. ଶ + ௬.ଶ. ଶ + ௭.ଶ + ௫௬.2. ଶ − ௫௭. . 2 − ௬௭.. (2 ) ఏ = ௫.ଶ + ௬. ଶ − ௫௬.2 ఝ= ఝ = (2 ) 2 . ௫. ଶ + ௬.ଶ − ௭ + 2 . (2) 2 . ௫௬ + cos2 . ௫௭. + ௬௭. ఏ= ఏ= − . 2 2 . ௫− ௬ + . cos2 . ௫௬ + cos . − ௫௭. + ௬௭. ఝఏ = ఏఝ = − . 2 2 . ௫ − ௬ + . cos2 . ௫௬+ . ௫௭. − ௬௭. Novamente podemos comprovar a relação de invariância:
+ ఝ + ఏ = ௫+ ௬+ ௭ (23)
3.5 Referências
[1] http://subseaworldnews.com/2012/09/25/uk-pii-pipeline-solutions-cfas-facilitates-pipeline-flaw-detection/
[2] http://www.bbbtankservices.com/asme.htm
[3] Gere, J.M., Goodno, B.J., Mecânica dos Materiais, (trad. 7ª edição americana), Cengage Learning, 2010, 859p.
