Prof. Jerônimo Monteiro
Gabarito - Lista Semanal 13 Questão 1. Calcule o volume da região limitada pelo elipsoide:
x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1
Solução: Percebe-se que o elipsoide possui equação similar a uma esfera, o que retorna uma intuição de utilizar coordenadas esféricas. Porém, no caso em questão, é necessário fazer uma alteração na mudança de coordenadas, entendendo-a como uma espécie de fator de correção para o caso do elipsoide. Sendo assim, a mudança que será adotada é a seguinte:
x = a ρ cos θ sen ϕ y = b ρ sen θ sen ϕ z = c ρ cos ϕ
Com essa mudança, de maneira análoga às coordenadas esféricas, podemos concluir que a equação obtida retorna uma esfera de raio 1, uma vez que, ao substituir x, y e z pelo que fora escrito acima, obtemos ρ2 = 1. Portanto, calcular o volume delimitado pelo elipsoide é calcular o volume da esfera
de raio 1 com o fator de mudança dado por a, b e c. Sendo assim, devemos calcular o determinante da matriz Jacobiana, para descobrir o fator de mudança de coordenadas, como segue:
J = ∂x ∂ρ ∂x ∂θ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ρ ∂y ∂θ ∂y ∂ϕ ∂z ∂ρ ∂z ∂θ ∂z ∂ϕ =
a cos θ sen ϕ −a ρ sen θ sen ϕ a ρ cos θ cos ϕ b sen θ sen ϕ b ρ cos θ sen ϕ b ρ sen θ cos ϕ
c cos ϕ 0 −c ρ sen ϕ
J = a ρ sen θ sen ϕ · (−b sen θ sen ϕ c ρ sen ϕ − c cos ϕ b ρ sen θ cos ϕ) + b ρ cos θ sen ϕ · (−a cos θ sen ϕ c ρ sen ϕ − c cos ϕ a ρ cos θ cos ϕ)
J = −a ρ sen θ sen ϕ · b c ρ sen θ(sen2ϕ + cos2ϕ) − b ρ cos θ sen ϕ · a c ρ cos θ(sen2ϕ + cos2ϕ) J = −a ρ sen θ sen ϕ · b c ρ sen θ − b ρ cos θ sen ϕ · a c ρ cos θ
J = − a b c ρ2sen ϕ(sen2θ + cos2θ) = − abcρ2sen ϕ ⇒ |J | = abc ρ2sen ϕ
Portanto, com a mudança de coordenadas estabelecida e lembrando que calcular o volume desejado é similar a encontrar o volume de uma esfera de raio 1 com um fator de correção dado por a, b e c, escreve-se o seguinte: V = Z π 0 Z 2π 0 Z 1 0 abc ρ2sen ϕ dρ dθ dϕ V = abc Z π 0 Z 2π 0 ρ3 3 1 0sen ϕ dθ dϕ = abc 3 Z π 0 sen ϕ [θ]2π0 dϕ V = 2πabc 3 · [− cos ϕ] π 0 = 2πabc 3 (−(−1) + 1)
V = 4πabc
3 U.V.
Questão 2. Encontre a massa de um sólido no formato de um cilindro reto de raio R e altura h cuja densidade varia de acordo com o quadrado da distância do ponto ao eixo do cilindro.
Solução: Seja (x, y, z) um ponto pertencente ao cilindro, temos que a distância dele para o eixo deste cilindro é dada por:
d =px2+ y2
Essa a rmação é melhor ilustrada ao observar a seguinte imagem de um cilindro genérico de raio R e altura h, similar ao dado no comando da questão:
Nesse caso, o eixo do cilindro é o eixo z, o que justi ca a expressão da distância encontrada anteriormente. Com isso, como a questão a rma que a densidade do cilindro varia com o quadrado da distância para o eixo dele, escreve-se o seguinte:
ρ(x, y, z) = x2+ y2⇒ ρ(r, θ, z) = r2
Nota: Adotamos r nas coordenadas cilíndricas para não confundir com a densidade ρ. Sendo assim, podemos escrever a massa do cilindro como o seguinte:
M = Z Z Z R ρ(r, θ, z) dV Onde: 0 ≤ r ≤ R 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ z ≤ h Portanto: M = Z 2π 0 Z R 0 Z h 0 r2· r dz dr dθ = Z 2π 0 dθ · Z R 0 r3dr · Z h 0 dz = 2π ·R 4 4 · h M = πR 4h 2 U.M.
Questão 3. Utilize coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido limitado acima pelo plano z = 2x e abaixo pelo paraboloide z = 4(x2+ y2).
Solução: Primeiramente, devemos compreender a disposição geométrica do problema. Para isso, observa-se a seguinte imagem:
Agora, além disso, devemos estudar a interseção do plano com o paraboloide, a qual retorna a região de integração que resulta no volume desejado. Para isso, utilizando coordenadas cilíndricas, temos:
z = z ⇒ 4x2+ 4y2 = 2x ⇒ 2(x2+ y2) − x = 0 2ρ2− ρ cos θ = 0 ⇒ ρ · (2ρ − cos θ) = 0
ρ = 0 ; ρ = cos θ 2 Ilustrando a região no plano xy, temos a seguinte imagem:
Portanto, em coordenadas cilíndricas, unindo o fato de o paraboloide z = 4(x2+ y2)estar por baixo
do plano z = 2x com a região de integração acima, temos as seguintes delimitações: 0 ≤ ρ ≤ cos θ 2 −π 2 ≤ θ ≤ π 2 4ρ2≤ z ≤ 2ρ cos θ Portanto, conclui-se que o volume do sólido é o seguinte:
V = Z π 2 −π 2 Z cos θ 2 0 Z 2ρ cos θ 4ρ2 ρ dz dρ dθ = Z π 2 −π 2 Z cos θ 2 0 [z]2ρ cos θ4ρ2 ρ dρ dθ
V = Z π 2 −π 2 Z cos θ 2 0 (2ρ cos θ − 4ρ2) · ρ dρ dθ = Z π 2 −π 2 Z cos θ 2 0 (2ρ2cos θ − 4ρ3) dρ dθ V = Z π 2 −π 2 2ρ3 3 cos θ − ρ 4 cos θ2 0 dθ = Z π 2 −π 2 2 3· cos θ · cos3θ 8 − cos4θ 16 dθ = 1 48 Z π 2 −π 2 cos4θ dθ V = 1 48 Z π 2 −π 2 1 2 + cos(2θ) 2 2 dθ = 1 48 Z π 2 −π 2 1 4+ cos(2θ) 2 + cos2(2θ) 4 dθ V = 1 48 Z π 2 −π 2 1 4+ cos(2θ) 2 + 1 8 + cos(4θ) 8 dθ = 1 48 · 3θ 8 + sen(2θ) 4 + sen(4θ) 32 π 2 −π2 Ao aplicar π 2 e − π
2 em sen(2θ) e sen(4θ), obtemos 0 como resposta. Então, simpli ca-se a solução,
como segue: V = 1 48 · 3 8 π 2 − (−π) 2 V = π 128 U.V.
Questão 4. Encontre o volume do sólido limitado acima por x2 + y2 + z2 = 25 e abaixo por
z =px2+ y2− 1.
Solução: Primeiro, observamos a disposição geométrica do problema, a partir dos dois grá cos, como ilustra a imagem:
Com isso, podemos observar que o sólido é limitado acima pela parte superior da esfera, que pode ser representada por z = p25 − x2− y2 e inferiormente pelo cone deslocado z = px2+ y2− 1, como
o comando da questão sugeriu. A partir dessa ideia, devemos começar a estudar as delimitações do sólido, para escrever corretamente a integral que resulta no seu volume. Para isso, primeiro devemos determinar a interseção entre as duas superfícies, como segue:
z = z ⇒p25 − (x2+ y2) =px2+ y2− 1
Tranformando para coordenadas polares, temos: p
25 − ρ2= ρ − 1 ⇒ 25 − ρ2 = (ρ − 1)2⇒ 25 − ρ2 = ρ2− 2ρ + 1
2ρ2− 2ρ − 24 = 0 ⇒ ρ2− ρ − 12 = 0
Resolvendo a equação acima, encontramos ρ = 4 como única solução, já que ρ ≥ 0. Portanto, a interseção das duas superfícies é uma circunferência de raio 4, centrada na origem, ilustrada na imagem a seguir:
Utilizando essa informação para esboçar mais precisamente o sólido e, assim, determinar correta-mente os limites de integração, obtemos a seguinte imagem:
Sendo assim, em coordenadas cilíndricas, o sólido é dado por: ρ − 1 ≤ z ≤p25 − ρ2 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ρ ≤ 4 Portanto: V = Z 2π 0 Z 4 0 Z √ 25−ρ2 ρ−1 ρ dz dρ dθ V = Z 2π 0 Z 4 0 hp 25 − ρ2− (ρ − 1)iρ dρ dθ = Z 2π 0 Z 4 0 p 25 − ρ2· ρ dρ dθ − Z 2π 0 Z 4 0 ρ2− ρ dρ dθ Resolvendo separadamente, temos:
Z 2π 0 dθ · Z 4 0 p 25 − ρ2· ρ dρ Utilizando a substituição: ( u = 25 − ρ2 du = −2ρ dρ ⇒ ρ dρ = −du 2 ⇒ρ → 0 ⇒ u → 25 ρ → 4 ⇒ u → 9 Obtemos:
2π Z 9 25 √ u · −1 2 du = π Z 25 9 u12du = π · 2 3 · u 3 2 25 9 ⇒ 2π 3 · h (52)32 − (32) 3 2 i = 2π 3 · (125 − 27) = 196π 3 Para a segunda integral, calculamos da seguinte maneira:
Z 2π 0 Z 4 0 ρ2− ρ dρ dθ = Z 2π 0 dθ · Z 4 0 ρ2− ρ dρ = 2π · ρ 3 3 − ρ2 2 4 0 ⇒ 2π · 64 3 − 8 = 80π 3 Finalmente, podemos calcular o volume do sólido, como segue:
V = Z 2π 0 Z 4 0 p 25 − ρ2· ρ dρ dθ − Z 2π 0 Z 4 0 ρ2− ρ dρ dθ = 196π 3 − 80π 3 V = 116π 3 U.V.
Questão 5. Encontre a massa de uma bola de raio R = 2, se a densidade varia de acordo com a distância da borda da bola.
Solução: De maneira similar à questão 2, seja (x, y, z) um ponto da borda da bola, temos que a distância desejada é dada por:
d =px2+ y2+ z2
Como a densidade depende dessa distância, podemos escrevê-la, em coordenadas esféricas, como: ρ(x, y, z) =px2+ y2+ z2 ⇒ ρ(r, θ, ϕ) = r
Com isso, escreve-se a expressão da massa da bola como: M = Z Z Z R ρ(r, θ, ϕ) dV Onde: 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ ϕ ≤ π Portanto: M = Z π 0 Z 2π 0 Z 2 0 r · r2sen ϕ dr dθ dϕ = Z π 0 sen ϕ dϕ · Z 2π 0 dθ · Z 2 0 r3dr M = [− cos ϕ]π0 · 2π · r 4 4 2 0 = [−(−1) + 1] · 8π = 2 · 8π M = 16π U.M.
