O nosso curso come¸ca com uma viagem pelos labirintos da Relatividade Restrita, at´e ajustarmos a nossa intui¸c˜ao aos novos conceitos que ela nos apresenta. Em seguida, passa pelos terrenos por vezes ´aridos da geometria diferencial para obtermos nosso prˆemio: um entendimento adequado das equa¸c˜oes de Einstein. Da´ı, veremos v´arias aplica¸c˜oes interessantes da teoria da Relatividade Geral em astrof´ısica e cosmologia, incluindo buracos negros, estrelas relativ´ısticas e ondas gravitacionais!
1.1
Introdu¸
c˜
ao
Bem vindos ao curso de Relatividade! A Relatividade (Especial e Geral) ´e uma teoria bel´ıssima, que promoveu uma mudan¸ca radical na forma de entendermos conceitos fundamentais como tempo e espa¸co. ´E simplesmente incr´ıvel que, cerca de 100 anos atr´as, o ser humano tenha descoberto que a Natureza pode ser descrita da forma que vamos aprender. E os frutos dessa teoria ainda est˜ao sendo colhidos at´e hoje: a Relatividade Geral, que ´e o foco do nosso curso, forma a base para todo o modelo padr˜ao de astrof´ısica e cosmologia, a base para o entendimento do Universo como um todo.
Livros recomendados:
• B. Schutz, “A first course in general relativity” • S. Carroll, “Geometry and Spacetime”
• Misner, Thorne e Wheeler, “Gravitation”
• J. B. Hartle, “Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity”
• H. Gutfreund, J. Renn, “The Road to Relativity” (sobre a hist´oria da Relatividade Geral)
Antes do surgimento da Relatividade, no come¸co do s´eculo XX, havia trˆes grandes ´areas na F´ısica, a Mecˆanica Cl´assica (MC), o Eletromagnetismo (EM) e a Termodinˆamica. E ´e no EM que est˜ao as origens da Relatividade. Na segunda metade do s´eculo XIX, come¸caram a aparecer contradi¸c˜oes entre essas grandes ´areas da F´ısica (a cinem´atica Galileana de um lado e o Eletromagnetismo de outro), e da´ı brotou todo um entendimento novo, na forma da Relatividade Especial (RE, ou Restrita). E da tens˜ao entre a Gravita¸c˜ao Newtoniana (parte da MC) e a Relatividade Especial surge a Relatividade Geral (RG). Da mesma forma, de contradi¸c˜oes entre EM e Termodinˆamica — radia¸c˜ao de corpo negro! — surge a Mecˆanica Quˆantica. RE e MQ d˜ao origem `a Teoria Quˆantica
de Campos, que ´e a base do Modelo Padr˜ao da F´ısica de Part´ıculas, que descreve trˆes das quatro intera¸c˜oes fundamentais (eletromagn´etica, nuclear forte e nuclear fraca). RG e TQC s˜ao tamb´em incompat´ıveis: resolver essa contradi¸c˜ao ´e o maior desafio da f´ısica moderna.
1.2
Origens da Relatividade Especial
A Relatividade Especial nasce do Eletromagnetismo, e da sua incompatibilidade com a Mecˆanica Cl´assica. Tanto que o trabalho (publicado em 1905) em que Einstein estabelece as bases da RE tem o nome “Sobre a Eletrodinˆamica dos Corpos em Movimento”. Antes de chegar nele, vamos come¸car revisando:
Princ´ıpio da Relatividade (Galileu): As leis da mecˆanica se aplicam em qualquer referencial inercial.
Ou seja, se aplicam em qualquer referencial em que corpos isolados permanecem em repouso ou em movimento retil´ıneo e uniforme1. Uma ilustra¸c˜ao disso ´e o fato de que, se colocamos uma mesa de sinuca em um trem que viaja a velocidade constante, podemos jogar exatamente como se o trem estivesse parado. Note que o mesmo n˜ao vale se houver acelera¸c˜ao: as leis da mecˆanica n˜ao s˜ao as mesmas em referenciais acelerados. Tomemos, por exemplo, a 2a lei de Newton2:
F = ma
Se x → x0 = x − Vt, ou v → v0 = v − V (Transforma¸c˜ao de Galileu): m → m, a → a0 = a − ˙V = a. Se F = F(x1− x0), F0 = F.
Ou seja, o lado direito de F = ma ´e invariante por transforma¸c˜oes de Galileu, e o lado esquerdo tamb´em ´e se, por exemplo, a for¸ca s´o depende da distˆancia relativa entre dois corpos (como a for¸ca 1Podemos definir um referencial inercial como aquele em que vale a primeira lei de Newton: em que, na ausˆencia
de for¸cas, um objeto descreve movimento retil´ıneo e uniforme. Uma defini¸c˜ao mais abstrata, dada pelo Landau, ´e que um referencial ´e inercial se nele o espa¸co ´e homogˆeneo e isotr´opico e o tempo flui homogeneamente. Pense num ˆ
onibus fazendo uma curva: existe um ponto “especial”, o centro da curva, que “repele” todos os passageiros!
2
gravitacional ou a for¸ca el´astica). E a for¸ca de resistˆencia de arraste F = −bv? Ela depende da velocidade relativa em rela¸c˜ao ao ar: v → (vparticula− var)!
O princ´ıpio da relatividade se aplica ao EM? TG[Eqs. de Maxwell] 6= Eqs. de Maxwell !
Eqs. de Maxwell: v´alidas em um ´unico referencial inercial ?
`
A primeira vista n˜ao: se aplicamos a transforma¸c˜ao de Galileu `as equa¸c˜oes de Maxwell, obtemos um conjunto diferente de equa¸c˜oes, que possui solu¸c˜oes diferentes. Isso parecia implicar que as equa¸c˜oes de Maxwell, como conhecidas na ´epoca, s´o eram v´alidas em um referencial espec´ıfico. Uma outra forma de chegar a isso ´e lembrar que muitas equa¸c˜oes da eletrodinˆamica, come¸cando com a for¸ca de Lorentz, F = q(E + v × B), fazem referˆencia expl´ıcita `a velocidade da part´ıcula. Inclusive, o EM prediz uma velocidade c = 1/√0µ0 (onde 0 ´e a permissividade el´etrica e µ0 ´e a
permeabilidade magn´etica no v´acuo), a velocidade da luz no v´acuo, com base em suas constantes fundamentais. Mas velocidade em rela¸c˜ao a que?
A interpreta¸c˜ao usual era que a teoria eletromagn´etica pressuporia a existˆencia de um referencial estacion´ario ´unico, chamado “´eter”, com rela¸c˜ao ao qual todas as velocidades deveriam ser medidas. E as equa¸c˜oes de Maxwell s´o valeriam nesse referencial.
E ent˜ao se torna uma quest˜ao fundamental determinar a velocidade desse referencial (se n˜ao, como sabemos onde aplicar as equa¸c˜oes do EM?). Por exemplo, a Terra se move em torno do Sol com uma velocidade de aproximadamente 30km/s. Ao longo do movimento orbital, a velocidade relativa da Terra em rela¸c˜ao ao ´eter deve mudar. Em particular, a velocidade da luz, de 300.000 km/s, seria aquela medida em um referencial em repouso em rela¸c˜ao ao ´eter. Supondo um vento de ´eter uniforme, se em um ponto da ´orbita a Terra est´a em repouso em rela¸c˜ao ao ´eter, no ponto diametralmente oposto dever´ıamos observar uma velocidade da luz de 300.060 km/s. Assim, medindo a velocidade da luz com precis˜ao suficiente, dever´ıamos observar modula¸c˜oes, tanto di´arias quanto anuais, devido ao movimento relativo da Terra em rela¸c˜ao ao ´eter. No entanto, todos os
experimentos que se propuseram a medir essa mudan¸ca na velocidade da luz (o mais famoso sendo o experimento de Michelson-Morley, de 1887) deram resultados nulos. Isso gerou modelos cada vez mais complicados para o tal do ´eter!
Mas Einstein pensou diferente. O que acontece, de fato, quando aplicamos o EM de Maxwell, como ele ´e, em diferentes referenciais inerciais? Vamos considerar um exemplo. Imagine uma espira condutora sobre um trenzinho que se move com velocidade constante ao longo de um trilho. Em um certo momento, o trem passa entre os p´olos de um ´ım˜a gigante. O que acontece? Do ponto de vista do referencial da esta¸c˜ao, O, existe uma for¸ca magn´etica sobre as cargas da espira, que est˜ao se movendo. Isso gera uma fem motora E =R (F/q) · dl = R (v × B) · dl que induz uma corrente quando a espira entra ou sai da regi˜ao com campo magn´etico. Quando a espira est´a toda imersa no campo uniforme, n˜ao h´a corrente (a for¸ca total sobre ela ´e nula). Note que, no caso ilustrado abaixo, E = −Bvh.
Por outro lado, o que aconteceria se aplic´assemos as mesmas equa¸c˜oes de Maxwell no referencial em movimento? Como o anel est´a em repouso, v = 0 e n˜ao existe for¸ca magn´etica. Mas, `a medida que o ´ım˜a se move, o campo magn´etico no trem muda, e a mudan¸ca no campo magn´etico induz um campo el´etrico, pela lei de Faraday. A for¸ca el´etrica resultante gerar´a uma fem E = R E · dl = −dΦ/dt, onde Φ =R B·dA ´e o fluxo de campo magn´etico atravessando a espira. No caso ilustrado na figura, Φ = Bhx e dΦ/dt = Bhv. Logo, E = −Bhv, que ´e o mesmo resultado obtido anteriormente3! Veja que a interpreta¸c˜ao dos dois observadores ´e completamente diferente (em um caso a fem ´e devida a for¸cas el´etricas, em outro a fem ´e devido a for¸cas magn´eticas), mas o observ´avel (a fem ou a corrente) calculado nos dois casos ´e o mesmo!! Isso levou Einstein a postular que as leis do EM devem ser v´alidas, da forma escrita por Maxwell, em qualquer referencial inercial. Como as equa¸c˜oes de Maxwell n˜ao s˜ao invariantes por transforma¸c˜oes de Galileu, a conclus˜ao ´e que elas ´e que devem ser alteradas, junto com toda a cinem´atica cl´assica! Em outras palavras: as leis do EM se aplicam sim em qualquer referencial inercial, mas a transforma¸c˜ao entre referenciais inerciais n˜ao ´e dada pela transforma¸c˜ao de Galileu. De fato, a transforma¸c˜ao de Galileu, vAC = vAB+ vBC
ser´a substitu´ıda por vAC= (vAB+ vBC)/(1 + vABvBC/c2). Se vAB c e vBC c, isso se reduz `a
transforma¸c˜ao de Galileu. Mas para velocidades mais pr´oximas `a da luz, tudo muda. Em particular, se vAB = c, automaticamente vAC = c.
Vejamos como Einstein formula o problema em seu artigo de 1905: 3
“Sabe-se que a eletrodinˆamica de Maxwell, quando aplicada a corpos em movimento, leva a as-simetrias que n˜ao parecem inerentes aos fenˆomenos. Tome, por exemplo, a a¸c˜ao eletrodinˆamica rec´ıproca de um ´ım˜a e um condutor. O fenˆomeno observ´avel aqui depende s´o do movimento relativo do condutor e do ´ım˜a, ao passo que a vis˜ao usual tra¸ca uma distin¸c˜ao profunda entre os casos em que um ou o outro corpo est´a em movimento. Pois, se o ´ım˜a est´a em movimento e o condutor em repouso, aparece na vizinhan¸ca do ´ım˜a um campo el´etrico com uma certa energia bem definida, produzindo uma corrente onde o condutor est´a situado. Mas se o ´ım˜a est´a em repouso e o condutor em movimento, nenhum campo el´etrico aparece na vizinhan¸ca do ´ım˜a. No condutor, por´em, encon-tramos uma for¸ca eletromotriz, que n˜ao possui energia correspondente por si s´o, mas que d´a origem a correntes el´etricas idˆenticas em posi¸c˜ao e intensidade `aquelas produzidas pelas for¸cas el´etricas no primeiro caso.
Exemplos desse tipo, junto com buscas mal sucedidas para descobrir qualquer movimento da terra com respeito ao meio lumin´ıfero, sugerem que os fenˆomenos da eletrodinˆamica, como aqueles da mecˆanica, n˜ao possuem propriedades correspondentes `a ideia de repouso absoluto. Eles sugerem (...) que as mesmas leis da eletrodinˆamica e da ´otica ser˜ao v´alidas em todos os referenciais em que as equa¸c˜oes da mecˆanica s˜ao verdadeiras. N´os vamos elevar essa conjectura (que chamaremos daqui em diante “princ´ıpio da relatividade”) ao status de um postulado, e tamb´em introduzir outro postulado, que ´e irreconcili´avel com o primeiro apenas em aparˆencia, que a luz sempre se propaga no espa¸co livre com uma velocidade bem definida c que ´e independente do estado de movimento do corpo emissor. Esses dois postulados s˜ao suficientes para se obter uma teoria simples e consistente da eletrodinˆamica dos corpos em movimento baseada na teoria de Maxwell para corpos estacion´arios. A introdu¸c˜ao de um ´eter lumin´ıfero se provar´a sup´erflua, uma vez que a vis˜ao desenvolvida aqui n˜ao requerir´a um “espa¸co estacion´ario absoluto” dotado de propriedades particulares (...)”
Postulados da Relatividade Restrita:
• Princ´ıpio da relatividade (P1): As leis da f´ısica se aplicam em qualquer referencial inercial. Ou: nenhum experimento pode medir a velocidade absoluta de um observador.
• Universalidade da velocidade da luz (P2): A velocidade da luz relativa a qualquer obser-vador n˜ao acelerado ´e c = 3 × 108m/s, independentemente do movimento da fonte de luz relativa ao observador.
Note que, se assumimos que as equa¸c˜oes de Maxwell s˜ao as mesmas em todos os referenciais inerciais, somos for¸cados ao segundo postulado!
Na pr´oxima aula, vamos ver mais formalmente as consequˆencias desses postulados e como eles levam a uma no¸c˜ao de geometria do espa¸co-tempo. Mas vamos j´a discutir uma das principais consequˆencias f´ısicas desse postulado, que ´e a quebra da no¸c˜ao de simultaneidade.
1.3
Relatividade da simultaneidade
1.3.1 Experimento mental
Situa¸c˜ao: trem viajando a velocidade constante. No centro, h´a uma lˆampada. Em um certo momento, o interruptor ´e ligado e a luz se propaga at´e atingir as extremidades do trem.
Como a lˆampada ´e equidistante das duas extremidades, um observador no trem vai julgar que a luz chega nas duas extremidades ao mesmo tempo e vai dizer que os dois eventos – (a) a luz chega na extremidade dianteira e (b) a luz chega na extremidade traseira – s˜ao simultˆaneos.
Mas, para um observador na esta¸c˜ao, esses eventos n˜ao s˜ao simultˆaneos. Se L ´e o comprimento do vag˜ao (como medido pelo observador na esta¸c˜ao) e v ´e a sua velocidade, o tempo que a luz demora para chegar na extremidade dianteira ´e (L/2)/(c − v) ao passo que demora (L/2)/(c + v) para chegar na extremidade traseira. Esse observador dir´a que o evento (b) acontece antes do evento (a). Conclus˜ao:
Dois eventos que s˜ao simultˆaneos em um referencial inercial n˜ao s˜ao, em geral, simultˆaneos em outro.
Um outro exemplo parecido: trˆes observadores, A, B e O viajam num foguete de comprimento L, sendo que O est´a a meio caminho entre A e B. A e B emitem um pulso de luz em dire¸c˜ao a O, e O recebe os dois sinais simultaneamente. Que sinal foi emitido primeiro? A resposta depende do referencial. No referencial inercial em que o foguete est´a em repouso, um observador dir´a que os dois pulsos foram emitidos simultaneamente, pois se propagaram pela mesma distˆancia e chegaram ao mesmo tempo em O. Mas num referencial em que of foguete est´a se movendo, um observador raciocina assim: “Os sinais foram recebidos simultaneamente em O. Quando os pulsos foram emitidos, B estava sempre mais pr´oximo da posi¸c˜ao de recep¸c˜ao de O que A. Como os dois sinais viajam com velocidade c, A precisa ter emitido seu pulso antes de B para que os dois chegassem ao mesmo tempo em O.”
Est´a claro como isso n˜ao aconteceria se o nosso pensamento fosse Galileano? Se a luz tivesse velocidade c com rela¸c˜ao ao ‘´eter’ e se o ´eter fosse carregado pelo foguete, o pulso de A viajaria com velocidade c + v e o pulso de B viajaria com velocidade c − v com rela¸c˜ao a um observador externo ao foguete (sendo v a velocidade do foguete nesse referencial). Da´ı, para A, (c + v)t = L/2 + vt e t = L/(2c). Para B, (c − v)t = L/2 − vt e t = L/(2c). Os eventos de emiss˜ao seriam simultˆaneos. (Isso ´e o que acontece se substitu´ımos a luz por uma bala!)
Obs.: N˜ao se trata de uma falha na observa¸c˜ao. Uma crian¸ca que ouve um trov˜ao e vˆe um raio pode inferir que a fonte da luz n˜ao foi simultˆanea `a fonte do som. Mas esse ´e um erro trivial – claramente precisamos levar em conta a velocidade de propaga¸c˜ao de cada sinal.
1.3.2 Reflex˜ao
Pela discuss˜ao anterior sobre simulteneidade, n˜ao h´a raz˜ao para aceitar a hip´otese Newtoniana de que o tempo em referenciais diferentes ser´a o mesmo. Haver´a, em geral, uma no¸c˜ao diferente de tempo e simultaneidade para cada referencial inercial. Por isso dotaremos referenciais inerciais de um sistema de quatro coordenadas, (t, x, y, z).
A ideia Newtoniana de tempo ´e de um tempo absoluto: “O tempo absoluto, verdadeiro e ma-tem´atico, por sua pr´opria natureza, flui uniformemente sem rela¸c˜ao a nada externo”. Se lan¸camos um proj´etil com um rel´ogio acoplado a ele, esse rel´ogio bate da mesma forma que o que est´a no meu pulso. Um segundo nesse rel´ogio corresponde a um segundo para o universo. O tempo registrado por um observador n˜ao depende da velocidade ou da posi¸c˜ao daquele observador. Embora isso pare¸ca bastante natural, n˜ao ´e uma necessidade l´ogica. Em RE, vamos aprender que existe uma no¸c˜ao absoluta de espa¸co-tempo e que cada observador inercial divide esse espa¸co-tempo em no¸c˜oes separadas de espa¸co tridimensional e tempo unidimensional. Essa separa¸c˜ao ´e diferente em cada referencial inercial, mas existe uma no¸c˜ao absoluta de espa¸co-tempo que independe do observador. Em RG, vamos aprender que tempo e espa¸co dependem tamb´em da posi¸c˜ao relativa a um campo gravitacional.
1.4
Diagramas espa¸
co-temporais
Vamos introduzir uma ferramenta que ´e t˜ao simples que parece trivial, mas que ´e bastante poderosa em moldar a nossa intui¸c˜ao: a ideia de diagramas espa¸co-temporais. Como um quadro s´o tem duas dimens˜oes, faremos um gr´afico de dois dos eixos de coordenadas do espa¸co-tempo de acordo com um certo observador inercial. Estamos desenhando se¸c˜oes do espa¸co-tempo da mesma forma que o plano x-y ´e um corte do espa¸co tridimensional.
O espa¸co-tempo em RE vai ser como a arena onde a f´ısica acontece: part´ıculas se movem, colidem, campos se propagam, etc. Ele mesmo permanece inalterado. E, a partir da pr´oxima aula, n´os vamos come¸car a estudar a geometria desse espa¸co-tempo. Na RG, a situa¸c˜ao ´e mais dram´atica, uma vez que em RG o pr´oprio espa¸co-tempo ´e dinˆamico: “Ao inv´es de pensar no espa¸co e no tempo como um est´agio, onde o drama da mat´eria se desenrola, precisamos imaginar um teatro ultramoderno, em que o pr´oprio est´agio se torna um dos atores” (Einstein).
lugar. O espa¸co-tempo ´e uma cole¸c˜ao desses eventos. Por exemplo, uma supernova que explodiu em 1054 na nebulosa de Crab (de modo mais idealizado, a explos˜ao instantˆanea de um roj˜ao pontual). Um evento ´e caracterizado pelas coordenadas (tP, xP, yP, zP), num certo referencial inercial. Para
que todas as nossas coordenadas tenham as mesmas unidades, e para tornar mais expl´ıcito o papel da velocidade da luz na constru¸c˜ao da Relatividade, adotaremos ct em vez de t: (ctP, xP, yP, zP).
A trajet´oria de uma part´ıcula pontual ´e descrita por uma sucess˜ao de eventos: uma part´ıcula descreve uma curva no espa¸co-tempo. Essa curva ´e chamada linha de mundo. A tangente `a linha de mundo nos d´a d(ct)/dx = cdt/dx = c/Vx. Velocidade nula corresponde a uma tangente infinita. A velocidade da luz corresponde a uma tangente unit´aria, ou seja, um ˆangulo de 45o. Duas part´ıculas colidindo seriam representadas por curvas que se interceptam. A trajet´oria de uma r´egua seria uma superf´ıcie no espa¸co-tempo, e assim por diante.
Esse diagrama ´e nossa imagem de um referencial inercial. Note que podemos pensar num referencial como um sistema de aquisi¸c˜ao de informa¸c˜oes. Podemos pensar que em cada ponto do espa¸co (no caso, da linha), temos um observador em repouso, que carrega um rel´ogio. Esses observadores atribuem a cada evento um r´otulo: quatro n´umeros ou coordenadas. “Observar” um evento consiste em registrar essas quatro coordenadas (por um observador que intercepta o evento!).
1.5
Sincroniza¸
c˜
ao de rel´
ogios
´
E importante que todos esses rel´ogios4 estejam sincronizados, que em um certo instante todos eles marquem o mesmo valor. Como podemos fazer isso? O que eu n˜ao quero ´e o seguinte: “Para
4
Um rel´ogio ´e um sistema dinˆamico projetado para que uma fun¸c˜ao das suas vari´aveis dinˆamicas seja o tempo (como dado pelo rel´ogio). A fun¸c˜ao ´e tal que dada a descri¸c˜ao te´orica do rel´ogio em termos da teoria dinˆamica, sua evolu¸c˜ao seja linear no parˆametro de evolu¸c˜ao: t(λ) = aλ + b. Por exemplo, uma realiza¸c˜ao dessa ideia ´e um sistema oscilat´orio feito de materiais que n˜ao deterioram. Ver pgs. 23–29 e 395–399 do Gravitation para uma discuss˜ao sobre rel´ogios ideais!
sincronizar meu rel´ogio com o da Amanda, eu corro at´e ela, sincronizo os rel´ogios, e volto para a minha posi¸c˜ao”. N´os vamos assumir que “rel´ogios honestos” marcam intervalos idˆenticos quando sujeitos `as mesmas condi¸c˜oes (independente da sua hist´oria pregressa). Mas n˜ao queremos assumir que rel´ogios com linhas de mundo diferentes entre P e Q marquem o mesmo intervalo de tempo entre esses dois eventos. A RE vai nos mostrar que isso n˜ao ocorre!
Uma outra ideia seria usar um sinal luminoso para fazer a sincroniza¸c˜ao. Em t = 0 eu mando um sinal de luz para a Amanda. Quando ela recebe o sinal, ela sabe que deve colocar o rel´ogio dela para marcar 0 mais o tempo que a luz demorou para chegar at´e ela, que ´e d/c, onde d ´e a distˆancia conhecida entre n´os. Outra forma: colocamos uma fonte de luz exatamente no meio da distˆancia entre n´os e quando recebermos o sinal, marcamos 0, por exemplo, nos rel´ogios.
A forma que vamos usar ´e a seguinte. Considere dois observadores, A e B, em repouso entre si. A envia um feixe de luz para B em t = 0, que ´e refletido por B e retorna a A. A mede ent˜ao o tempo entre o instante da emiss˜ao e o instante da recep¸c˜ao. Digamos, ct = 12 m. Primeira pergunta: com isso, podemos determinar a distˆancia at´e B? Sim, a distˆancia ´e ct/2, ou 6 m. (Esse ´e o princ´ıpio de funcionamento do radar! Se eu quero saber a distˆancia at´e um avi˜ao, n˜ao uso r´eguas, mas exatamente esse esquema.) Agora, como podemos usar isso para sincronizar os rel´ogios de A e B? ´
E f´acil. Como A e B est˜ao em repouso, a distˆancia entre eles ´e fixa e o tempo de ida do sinal ´e o mesmo tempo do retorno. Logo, B deve ter recebido o sinal no instante ct = 6 m. Ent˜ao depois de terminado o experimento A grita: “Ei B, o instante P0 em que vocˆe recebeu o sinal deveria marcar ct = 6 m”. Ent˜ao B vai nos seus registros e vˆe que no rel´ogio dele aquele instante tinha sido, digamos, ctP0 = 10 m. Ent˜ao ele subtrai 4 do tempo de todos os seus registros. Os rel´ogios est˜ao sincronizados. Se fiz´essemos esse experimento com outros observadores em repouso em rela¸c˜ao a A e B, poder´ıamos determinar todos os eventos simultˆaneos a P e P0, ou seja, todos os eventos com ct = 6 m. Naturalmente, o lugar geom´etrico de todos esses eventos ´e uma reta paralela ao eixo-x. A situa¸c˜ao fica interessante quando olhamos esse procedimento a partir do ponto de vista de outro referencial inercial O0. Em particular, vamos considerar um referencial com velocidade relativa −v em rela¸c˜ao a A e B, de modo que as linhas de mundo de A e B, nesse referencial, s˜ao retas com inclina¸c˜ao c/v, como ilustrado na figura mais abaixo. Como o procedimento de sincroniza¸c˜ao dos rel´ogios de A e B ´e visto nesse referencial? O passo crucial ´e lembrarmos que, pelo princ´ıpio P2, a velocidade da luz ´e a mesma em todos os referenciais.
Temos ent˜ao que, no instante tA= 0, A emite um pulso de luz, que ´e refletido por B e retorna a A.
Agora, do ponto de vista de O0, A ´e uma fonte em movimento e o postulado P2 diz que a velocidade da luz ´e c independente do movimento da fonte. Ent˜ao a linha de mundo do sinal emitido por A ´
e inclinada de 45o, tamb´em no referencial O0. O mesmo ocorre para o raio de luz refletido por B. Como resultado do procedimento realizado, A e B chegaram `a conclus˜ao de que os eventos P e P0 s˜ao simultˆaneos. Mas O0 observa o evento P acontecendo antes de P0! Eventos simultˆaneos em um referencial n˜ao s˜ao simultˆaneos em outro. A no¸c˜ao de simultaneidade depende do observador.
Isso ´e super radical. Super bonito. E vamos ver muitas consequˆencias disso. Por enquanto, ´e importante entender as implica¸c˜oes disso para a constru¸c˜ao do “eixo-x” de O em rela¸c˜ao a O0, ou seja, como as “superf´ıcies de simultaneidade” ou os lugares geom´etricos dos eventos simultˆaneos em um referencial s˜ao vistos de acordo com outro. Com o procedimento de sincroniza¸c˜ao realizado por A e B, eles determinaram que os eventos P e P0 s˜ao simultˆaneos nesse referencial. Repetindo
θ ´e igual a φ e tal que tan θ = v/c!
As figuras (a) e (b) `a direita mostram os eixos t e x de um referencial inercial, vistos a partir de outro. Come¸camos a ver algo estranho! A geometria nesse diagrama n˜ao ´e a geometria Euclideana comum. Na pr´oxima aula, vamos falar sobre essa nova geometria!
Para casa: Ler at´e sec. 1.5 do Schutz. Se convencer dos diagramas mostrados por ´ultimo! Na lista 1, fazer os itens (a)-(c) e (l) da quest˜ao 1.
Leitura adicional: Notas de aula do Geroch sobre rel´ogios ideias, dispon´ıveis na p´agina da disci-plina.
5Que os trˆes lados indicados s˜ao iguais pode ser visto pelo fato de que um triˆangulo retˆangulo pode ser inscrito
numa circunferˆencia, sendo um dos lados o diˆametro dela.