Lista 1 - Conceitos Iniciais e EDO s de Primeira Ordem

Lista 1 - Conceitos Iniciais e EDO’s de Primeira Ordem

1. Classi…que as EDO’s como lineares ou não-lineares. E ainda, determine a ordem e o grau de cada equação diferencial.

(a) x2y00+ xy + 2y = sen(x) ; (b) yy0+ 3y = 1 + ex; (c) d 3_y dt3 + t dy dt + cos 2_{(t) y = t}3_; (d) d 2_r dt2 = k r2, com k 2 R; (e) d 2_r dt2+ sen(t + y) = sen(t) ; (f) cosh (x) y(4)+senh(x) y00= 2; (g) y(5)+ y3= ex; (h) d_dx3y3 2 + cosh (x) y00+ x3sinh (x) y = 4; (i) t4 dy_dt 3+ t2+ 1 y = ln t:

2. Veri…que se a função y = f (t) dada é solução da EDO: (a) y = e 3t, y00+ 2y0 3y = 0;

(b) y = t 2ln (t), t2y00+ 5ty0+ 4y = 0; (c) y = e t+₃t, y(4)+ 4y000+ 3y = t; (d) y = ex2R₀xe t2dt + ex2, y0 2xy = 1:

3. Determine para que valor(es) de as EDO’s que seguem possuem solução da forma y(x) = e x: (a) y00+ y0 6y = 0 (b) y000 _3y00_{+ 2y}0 _{= 0} 4. Considere a EDO x2y00 4xy0+ 6y = 0: (#) Mostre que:

(a) as funções y1 = x2 e y2 = x3 são ambas soluções da EDO (#);

(b) qualquer combinação linear de y1 e y2 é solução da EDO (#).

5. Considere a EDO

y0+ p(x) y = q(x):

Sejam y1 = y1(x) e y = y2(x) soluções da EDO homogênea e não homogênea,

(a) Mostre que y = y1+ y2 também é uma solução da EDO não homogênea .

(b) Qualquer combinação linear do tipo y = ay1+ by2 também é uma solução da EDO

não homogênea? Justi…que.

6. Com base no campo de direções, determine o comportamento de y quando x ! +1: (a) y0 = 1 2y;

(b) y0 = 2 + x y:

7. Resolva as EDO’s separáveis dadas abaixo. (a) y0 = x 2 y ; (b) y0+ y2sen(x) = 0; (c) ex+y_y0 _{= 3x;} (d) xdx + ye xdy = 0; (e) exydy dx = e y_{+ e} 2x y_; (f) xp1 + y2_{+ yy}0p_{1 + x}2_{= 0;} (g) x(x2+ 1)y0+ (x2 1)y = 0:

8. Determine a solução das EDO’s fracionárias dadas. (a) y2+ yx dx + x2dy = 0; (b) xdy y (ln x ln y) dx = 0; (c) xydx x2 y2 dy = 0; (d) dy dx = 2xye(x=y)2 y2_{+ y}2_e(x=y)2_{+ 2x}2_e(x=y)2:

9. Determine a solução das seguintes EDO’s lineares: (a) dy dx + y cos x = 0; (b) dy dx + 2x 1 + x2y = 1 1 + x2; (c) cos (x) y0+ sen(x) y = 1; (d) y0 1 x + 1y = (x + 1) 2_; (e) y0_{+ 3y = x + e} 2x_; (f) y0+ y = xe x+ 1; (g) y0+ (1 + 2x)y e x2 = 0:

(a) dy dx 2xy = x; y(0) = 1; (b) ty0+ 2y = sen(t) ; y ₂ = 1; (c) y0 = (3x 2 _ex₎ 2y 5 ; y(0) = 1: (d) dr d = r2 ; r(1) = 2; (e) y0 = 2x y + x2_y; y(0) = 2; (f) y0 = ay + b; y(0) = c; (g) p1 + t2_{dy ty}3_{dt = 0; y(0) = 1:}

11. Encontre uma solução contínua do problema de valor inicial y0+ y = f (x), y(0) = 1 onde f (x) = 1; se 0 x 1

1; se x > 1 :

12. No problema de valor inicial y0 y = 2, y(0) = y0; determine o valor de y0 para que

y ! 2 quando t ! +1.

13. Resolva o PVI:

y0 _{ay = be} t

y(0) = y0 ;

onde a; são constantes tal que a > e b é um número real qualquer. Que condição(ões) devemos impor sobre y0 para que lim

t!+1y(t) = 0 ?

14. Classi…que as EDO’s dadas como sendo de Bernoulli ou Ricatti. A seguir resolva as EDO’s de Bernoulli. (a) xdy_dx+ y = _y12 (b) py_dxdy +py3 _{= 1;} (c) dy_dx = 1 x y + xy2; (d) dy + [1 + ty (1 + ty)] dt = 0; (e) (x ln x) y0 y = y2:

15. Resolva as EDO’s de Ricatti, sabendo que y1 = y1(t) satisfaz a equação dada.

(a) y0 ₌ 4 t2 y t + y 2_{, y} 1 = 2 t; (b) dy_dx = e2x+ (1 + 2ex) y + y2, y1 = ex; (c) y0 = 2 cos 2_{(t) sen}2_{(t) + y}2 2 cos (t) , y1 = sen(t) : 16. Resolva as EDO’s exatas.

(a) 2x + y2+ 2xyy0 = 0;

(b) y3 y2sen (x) x dx + 3xy2+ 2y cos (x) dy = 0; (c) x2y3 1

1 + 9x2 dy dx+ x

3_y2 _{= 0;}

(d) cos (x) cos (y) y0 _{= sen(x)sen(y) tg(x) :}

17. Veri…que que as EDO’s abaixo não são exatas, mas mediante a multiplicação de um fator integrante elas podem ser reduzidas a EDO’s exatas. A seguir, resolva-as.

(a) 3xy + y2 dx + x2+ xy dy = 0; (b) dy

dx =

ex

ex_{cotg (y) + 2ycossec (y)};

(c) 4x_y32 +3_y dx + 3_yx2 + 4y dy = 0:

18. Considere a EDO:

M (x; y) dx + 9 3xy2 y cos (2x) dy = 0 (1) (a) Determine uma função M = M (x; y) para que a EDO (1) seja exata. (b) Encontre a solução da EDO (1), usando a função M obtida no item (a). 19. Considere a EDO:

( xy sen (x) + 2y cos (x)) dx + 2x cos (x) dy = 0: (1)

(a) Mostre que a EDO (1) não é exata, mas torna-se exata ao ser multiplicada pelo fator integrante (x; y) = xy.

(b) Obtenha a solução da EDO (1).

20. Classi…que cada uma das EDO’s e resolva os PVI’s abaixo. (a) x2dy dx 2xy = 3y 4_{; y(1) =} 1 2; (b) (x + yeyx)dx xe y xdy = 0; y(1) = 0;

(c) (x + y)2dx + (2xy + x2 1)dy = 0; y(1) = 1; (d) xdx + (x2y 4y)dy = 0; y(p5) = 1:

(e) xy 1 + xy2 dy_dx = 1, y (1) = 0 (f) (x + 1)dy_dx+ y = ln x, y (1) = 10

(g) sec (y)dy_dx+ sen(x y) = sen(x + y), y ₃ = ₂:

21. Determinar a curva que passa pelo ponto P (1; 2) e que possui em cada um de seus pontos o coe…ciente angular igual a y

x + pxy: 22. Considere o PVI: ₈ < : dy dx = x 2 2(y 1) y(2) = 0 :

(a) Encontre uma solução explícita para o PVI dado.

(b) Determine o maior intervalo sobre o qual a solução encontrada no item (a) é válida. (c) Mostre que, se resolvermos a equação dada usando a condição inicial y(2) = 1; encontraremos duas soluções distintas para este PVI. Explique por que isso não contradiz o teorema da existência e unicidade de soluções.

23. Devido a uma maldição rogada por uma tribo vizinha, os membros de uma aldeia são gradualmente impelidos ao assasinato ou ao suicídio. A taxa de variação da população é 2pp pessoas por mês, quando o número de pessoas é p. Quando a maldição foi rogada, a população era de 1600 pessoas. Quando morrerá toda a população?

24. A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes no instante t: Após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 10 horas, 2000 bactérias. Qual era o número inicial de bactérias?

25. Inicialmente, havia 100 miligramas de uma substância radioativa. Após seis horas, a massa decresceu em 3%: Supondo que a taxa de decaimento é proporcional à quantidade de substância no instante t; determine a quantidade remanescente após 24 horas. 26. Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente.

Observou-se que após 1 hora houve uma redução de 10% da quantidade inicial da sub-stância, determine a meia vida desta substância.

27. Certa indústria lança seus dejetos químicos em um rio que desagua num lago. Os dejetos causam irritação na pele quando sua concentração é superior ou igual a 20 partes por milhão (ppm). Pressionada pelos ecologistas do Greenpeace, fazem 30 dias que a fábrica parou de lançar dejetos, cuja concentração no lago foi estimada em 120 ppm. Hoje, veri…cou-se que a concentração de dejetos no lago é de 60 ppm. Supondo-se que a taxa de variação de concentração de dejetos no lago é proporcional à concentração presente no lago em cada instante, quanto tempo ainda levará para se poder nadar sem o perigo de sofre irritação na pele?

28. Uma força eletromotriz E(t) = 120; se 0 t 20

0, se t > 20 é aplicada em um circuito em série LR no qual a indutância é de 20 henrys e a resitência é de 2 ohms. Determine a corrente sabendo que a corrente inical é nula.

29. Uma força eletromotriz de 200 volts é aplicada a um circuito em série RC no qual a resitência é de 1000 ohms e a capacitância é 5 10 4 _{farads. Obtenha:}

(a) A carga no capacitor se i(0) = 0; 4; (b) A carga e a corrente em t = 0; 005s;

30. Um circuito LR possui indutor variável com a indutância de…nida por

L = 1

t

10, se 0 t < 10

0, se t 10 :

Determine a corrente i (t), se a resitência é de 0; 2 ohm, a voltagem é E (t) = 4 e a corrente inicial é nula.

31. Um termômetro é removido de uma sala onde a temperatura ambiente é de 70 F e levado para fora, onde a temperatura é de 10 F . Após 1₂ minuto, o termômetro indica 50 F . Qual será a leitura no termômetro após 1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro atingir 15 F ?

32. Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 20 C, é colocada em um recipiente com água fervendo. Quanto tempo levará para a barra atingir 90 C se sua temperatura aumentar 2 em 1 segundo? Quanto tempo levará para a barra atingir 98 C ?

33. Arqueologistas usaram pedaços de madeira queimada ou carvão encontrados em um sítio para datar pinturas pré-históricas e desenhos nas paredes e no teto de uma caverna em Lascaux, França. Sabendo que a taxa de decaimento da quantidade de Carbono 14 (C-14) é diretamente proporcional a quantidade de C-14 presente em um instante de tempo t (em anos) e que a meia vida do C-14 é aproximadamente 5700 anos, determine a idade aproximada de um pedaço de madeira, se tivesse sido descoberto que 80% do C-14 haviam decaídos.

34. Um pequeno vilarejo tem 1000 habitantes. Inicialmente, 80 pessoas tinham ouvido um boato. Após 4 horas, metade da população tinha ouvido o boato. Sabendo que um modelo para a propagação de um boato é que a taxa de propagação é proporcional ao produto da população que ouviu o boato pela não ouviu o boato, quanto tempo levou para que 90% da população já tivesse ouvido o boato?

Respostas

1.

-(a) linear, ordem 2 e grau 1; (b) não linear, ordem 1 e grau 1;

(c) linear, ordem 3 e grau 1; (d) não linear, ordem 2 e grau 1;

(e) não linear, ordem 2 e grau 1; (f) linear, ordem 4 e grau 1; (g) não linear, ordem 5 e grau 1; (h) não linear, ordem 3 e grau 2; (i) não linear, ordem 1 e grau 3.

2.

-(a) É solução; (b) É solução; (c) É solução;

(d) É solução. Dica: Pelo teorema fundamental da cálculo

d dx Rx 0 f (t) dt = d dx(F (x) F (0)) = F0(x) = f (x) 3. -(a) 3 e 2; (b) 0, 1 e 2: 4. 5. (a) -(b) Não. 6. -(a) lim x!+1y = 1 2 (b) lim x!+1y = +1 7. -(a) y2 = 2₃x + c; (b) y = _{c cos(x)}1 ; (c) y = ln (c 3e x(x + 1)) ; (d) y2+ 2ex(x 1) = c; (e) ey(y 1) + 1₃e 3x+ e x= c; (f) py2_{+ 1 +}p_x2_{+ 1 = c;} (g) y = _x2cx₊₁: 8. -(a) y+2x_y = kx2; (b) x 1 + ln_xy = k; (c) 1₂ y_x 2 ln y = +c;

(d) 9. -(a) y = ce sin(x)_; (b) y = _xx+c2₊₁; (c) y = k cos (x) + sin (x) ; (d) y = c (x + 1) + 1₂x3+3₂x2+ x; (e) y = ce 3x+ e 2x+x₃ 1₉; (f) y = ce x₊1 2x2e x+ 1; (g) y = cex2 x+ e x2: 10. -(a) y = 3₂ex2 1 2, x 2 R; (b) y = sin(t)_t2 cos(t) t + 2 4t2 _t12, t > 0; (c) y = 5₂ 1₂p4x3 _4ex_{+ 13; 4x}3 _4ex_{+ 13 > 0;} (d) r = _{1 2 ln}2 ; 0 < <pe; (e) y2 = 2 ln x2_{+ 1 + 4; x 2 R;} (f) y = ac+b_a (eax _{b) ; x 2 R;} (g) y = p 1 3 2p1 t2, t 2 p 5 2 ; p 5 2 : 11. y = 1, se 0 x 1 2e1 x 1, se x > 1 : 12. y = (y0+ 2) ex 2, y0 = 2: 13. y0 = _a+b : 14. -(a) Bernoulli, y3 = 1 + cx 3: (b) Bernoulli, y32 = 1 + ke 3 2x: (c) Ricatti. (d) Ricatti. (e) Bernoulli, y = _{ln x+2}ln x : 15. -(a) y = 2_t+ _ct 31 _t=4; (b) y = ex+_ce 1x ₁;

(c) 16.

-(a) x2+ xy2= k;

(b) xy3+ y2cos (x) x₂2 = k; (c) x3_y3 _{arctan (3x) = k;}

(d) _{ln jcos (x)j + cos (x) sin (y) = k:} 17. -(a) x3y +1₂x2y2 = c; (b) ex_{sin (y) + y}2 _{= c;} (c) x4_{+ 3xy + y}4_{= c:} 18. -(a) M = y2_{sin 2x y}3_{+ c;} (b) y₂2cos (2x) xy3+ 9y = k: 19. (a) -(b) x2y2cos x = k: 20. -(a) Bernoulli, y = q3 5x 9+49x 5; (b) Fracionária, y = x ln (ln (x) + 1) ; (c) Exata, x₃3 + yx2+ xy2 y 4₃ = 0; (d) Separável, y2 _{= 1 ln x}2_{+ 4 ;}

(e) Bernoulli na variável x, x 1 = 2 y2 e y22 ;

(f) Linear, y = x ln x x + 21 x + 1 ;

(g) Separável, ln jcossec (y) cotg (y)j = sin x 12:

21. 2qx_y + ln _xy2 p 2 ln 2 = 0 22. -(a) y = 1 q x2 2 + 2x 1; (b) p2 + 2;p2 + 2 ;

23. 40 meses. 24. 200 bactérias 25. 89 miligramas 26. 6; 6 horas. 27. 47,5 dias. 28. i(t) = 60 60e t 10; 0 t 20 60 (e2 _{1) e}10t; t > 20 29. -(a) q (t) = 0; 2e 2t_{+ 0; 1 C;} (b) i (0; 005) = 0:396 02 A e q (0; 005) = 0; 098 C; (c) lim t!+1q (t) = 0; 1 C. 30. i (t) = 20 1 5(10 t) 2_{, se 0 t < 10} 20, se t 10 : 31. T (1) = 36; 76 F: 32. 82; 1s e 145; 7s 33. t = 13:236 anos. 34. '7h e 36 min.