TEORIA DAS PROBABILIDADES
Figura 1: Gráfico de pontos.
Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma.
A teoria das probabilidades estuda os modelos de probabilidades, definidos pela função f(x), para os diferentes processos ou fenômenos em estudo.
1) CONCEITOS BÁSICOS 1.1) Experimento Aleatório é um experimento no qual:
i) todos os possíveis resultados são conhecidos;
ii) resulta num valor desconhecido, dentre todos os resultados possíveis;
iii) pode ser repetido em condições idênticas.
1.2) Espaço Amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis para um experimento aleatório.
É denotado por . Pode ser:
- Discreto Finito: formado por um conjunto finito de pontos; Infinito: conjunto infinito e enumerável de pontos; - Contínuo formado por um conjunto não enumerável de
pontos.
1.3) Um Evento é um subconjunto do espaço amostral, associado a um experimento.
É denotado por letras maiúsculas: A, B, E, . . .
a) Um Evento Complementar: o evento complementar de A é dado pelo conjunto dos pontos que pertencem ao espaço amostral, mas não pertencem a A. É denotado por Ac.
Ac A = .
b) Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, se a intersecção entre eles é vazia.
Exemplos:
Um dado equilibrado é lançado e seu número observado. O espaço amostral é: = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Sejam os eventos:
A = O número observado é menor ou igual a 4, então, A = { 1, 2, 3, 4 } B = O número observado é par, B = { 2, 4, 6 }
C = O número observado é ímpar, C = { 1, 3, 5 }
Então, temos
A B = { 2, 4 } e A C = { 1, 3 }
B C = B e C são disjuntos
Bc = C, pois B C =
c) Evento elementar
Seja um espaço amostral finito = { 1, 2, ..., N }. Então os elementos do espaço amostral são chamados de resultados elementares.
Um evento é dito elementar se é formado por um único elemento do espaço amostral, por exemplo:
A1 = { 1 }.
obs: o evento elementar é dado por um subconjunto unitário.
No lançamento de um dado equilibrado, cada um dos resultados possíveis são eventos elementares:
A1 = { 1 }, A2 = { 2 }, A3 = { 3 }, A4 = { 4 }, A5 = { 5 }, A6 = { 6 }. Assim sendo, temos que: A1 A2 A3 A4 A5 A6 =
Ou seja: Ai Ω
6 1 i .Exemplos:
i) Experimento: numa comunidade carente conta-se o número de pessoas abaixo da linha de pobreza;
A = { 0, 1, 2, . . . , N }, N = população da comunidade Eventos:
A1 = ninguém abaixo da linha de pobreza
A1 = { 0 }
A2 = no máximo cinco pessoas abaixo da linha de pobreza
A2 = { 1, 2, 3, 4, 5 }
ii) Experimento: Na fabricação de celulares são contados os aparelhos produzidos até que se encontre um defeituoso;
B = { 1, 2, 3, 4, . . . }, ou ainda B = N*, N* = N – { 0 } Eventos:
B1 = o aparelho defeituoso ocorre até o 10ª celular produzido
B1 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
B2 = são produzidos no mínimo 200 aparelhos antes do celular
defeituoso
B2 = { 201, 202, 203, . . . }, ou B2 = { X N* | X > 200 }
iii) Experimento: No estudo a respeito de um tipo de câncer, indivíduos são acompanhados e o tempo (em meses) até a ocorrência da morte é observado;
C = { t R | t 0 } ou C = { t 0 } Eventos:
C1 = o indivíduo morre antes de completar 6 meses:
C1 = { t < 6 }
C2 = o indivíduo sobrevive pelo menos 2 anos antes de morrer
C2 = { t R | t 24 }
Obs: Este é um exemplo de um espaço amostral contínuo, ou não
2) PROBABILIDADES EM ESPAÇOS FINITOS
2.1) Definição Clássica de Probabilidade: seja A um evento associado a um espaço amostral finito , então
pontos
de
total
número
a
favoráveis
pontos
de
número
A
A
P
,
AP é a probabilidade de ocorrência do evento A e deve satisfazer: a) 0 P
A 1;b) P
Ω 1;c) Se A e B são disjuntos, então, P
AB
P
A P B .2.2) Definição Frequentista de Probabilidade: seja o evento A associado a um experimento.
Suponha que esse experimento seja repetido
n
vezes e sejan
A o número de ocorrências do evento A.A frequência relativa de A é dada por: n
n
fA A , 0 fA 1.
Se
n
for grande, então a frequência fA se aproxima da probabilidade de ocorrência de A, ou seja,) ( grande,
2.3) Definição Subjetiva de Probabilidade:
Nas fundamentações clássica e frequentista, o cálculo da probabilidade independe do observador.
(exemplos lançamento de um dado ou retirado de uma carta do baralho) Em algumas situações, por outro lado, a repetição do experimento simplesmente é impossível!
Exemplos:
i) Numa cirurgia, muitas vezes, deseja-se saber se o paciente vai ficar bom ou o tempo até sua recuperação;
ii) O Brasil vai ser campeão mundial, em casa, na copa do mundo de
futebol de 2014;
iii) Será que vai chover amanhã?
Fenômenos naturais ou envolvendo pessoas normalmente são imprevisíveis e difíceis (até mesmo impossíveis) de serem reproduzidos.
Nesses casos a probabilidade pode ser considerada subjetiva, dependendo da crença do observador.
2.4) Propriedades de Probabilidade
i) Se é o espaço vazio, então: P(vazio) = P() = 0;
ii) P(espaço amostral todo) = P() = 1;
iii) Se Ac é o evento complementar de A, então: P(Ac) = 1 – P(A) e,
P(A) = 1 – P(Ac);
iv) Se A e B são eventos quaisquer, então: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
3) Métodos de Contagem
Quando o espaço amostral é equiprovável, ou homogêneo, o cálculo de probabilidades se resumo nas contagens dos elementos de cada um dos eventos e do espaço amostral.
Desta forma, é importante o domínio de algumas técnicas de contagens.
i) Permutação: quando temos de permutar n elementos em n posições diferentes
!
Pn,n n n! n(n1)(n2)1, n! é o fatorial de n
ii) Arranjo: quando, de um total de n elementos, devemos tomar k destes elementos e permutá-los
) 1 ( ) 2 )( 1 ( )! ( ! A , n n n n k k n n k n .
iii) Combinação: quando temos de escolher k, dentre n elementos distintos, sem considerar a ordem
)! ( ! ! C , k n k n k n k n ; note que k k k n k n , , , P A C .
4) PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA
Sejam A e B eventos quaisquer tais que P
A 0, então aprobabilidade de B condicionada à ocorrência do evento A é definida por ) ( ) ( ) | ( A A B A B P P P . Lê-se: probabilidade de B dado A.
Nota: se dois eventos A e B são independentes, então a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro e, neste caso: ) ( ) | (B A P B P ou P(A|B) P(A).
4.1) Regra Multiplicativa das Probabilidades: da probabilidade condicional podemos escrever a probabilidade conjunta de A e B por
− P(AB) P(B|A)P(A)
ou
− P(AB) P(A|B)P(B)
E, se A e B forem independentes, então − P(AB) P(A)P(B).
Exemplos:
i) Considere as informações da qualidade de um produto pela região de procedência. O produto foi classificado como tipos A e B, sendo o tipo A de melhor qualidade.
Qualidade Região Total
S SE CO
Tipo A 52 118 54 224
Tipo B 23 42 11 76
Total 75 160 65 300
Se um fornecedor é sorteado ao acaso para verificação, qual é a probabilidade de que:
a) Seja de qualidade Tipo A?
0.7467 300 224 ) A ( P
b) Seja procedente da região S?
0.25 300 75 ) S ( P
c) Seja de qualidade Tipo B e da região CO?
0.0367 300 11 ) CO B ( P
d) Seja da região S ou de qualidade Tipo A?
0.8233 300 247 300 52 224 75 ) S A ( P
e) Sabendo que o fornecedor escolhido é da região SE, qual a probabilidade de que seja de qualidade do Tipo B?
0.2625 160 42 300 / 160 300 / 42 ) SE | B ( P
f) Se a amostra não é de região S, qual é a probabilidade de que seja de qualidade do Tipo A? ) CO SE ( )] CO A ( ) SE A [( CO)] (SE | A [ P P P 0.7644 225 172 300 / ) 65 160 ( 300 / ) 54 118 ( CO)] (SE | A [ P
ii) Um aluno responde a um teste de múltipla escolha com quatro alternativas, sendo uma só correta. A probabilidade de que saiba a resposta é de 30%. Se ele não sabe a resposta, vai “chutar”.
Definindo:
A = o aluno acerta a questão; S = o aluno sabe a resposta.
a) Qual a probabilidade dele acertar a questão? P(A) = P(acertar sabendo ou acertar chutando) P(A) = P(acertar sabendo) +P(acertar chutando) P(A) = P(A | S) P(S) + P(A | Sc) P(Sc)
P(A) = (1.0)(0.3) + (0.25)(0.7) = 0.475
* Esse resultado é conhecido como “lei da probabilidade total ”. Na prática a lei da probabilidade total soma as parcelas da probabilidade de um evento em todas as subpopulações.
b) Se ele acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele realmente saiba a resposta?
632 . 0 475 . 0 3 . 0 ) A ( ) A S ( ) A | S ( P P P
* Esse resultado é conhecido como “teorema de Bayes”.
O teorema de Bayes divide a parcela do evento, sobre a qual desejamos calcular a probabilidade, pela probabilidade total do evento Teorema de Bayes: Seja um evento A ocorrendo sobre parcelas
disjuntas do espaço amostral .
Assim, podemos escrever A como sendo:
) ( ) ( ) ( ) ( ) (A E1 A E2 A E3 A E4 A E5 A em que, )] ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) (A P AE1 AE2 AE3 AE4 AE5 P é a probabilidade total.
O teorema de Bayes se deve ao Revendo Inglês Thomas Bayes, num trabalho publicado em 1763, e que recebe o seu nome em sua homenagem.
Os exercícios a seguir são para resolver em sala
iii) Sabe-se que numa população 8% das pessoas são infectadas por um vírus causador de uma doença muito grave. Um teste para detecção do vírus é eficiente em 99% dos casos nos quais os indivíduos são infectados, mas resulta em 2% de resultados positivos para os não infectados (falsos positivos).
a) Uma pessoa dessa população que não tem nenhum sintoma faz o teste preventivamente. Qual é a probabilidade de que essa pessoa esteja infectada?
b) Sabendo que o teste dessa pessoa deu positivo, qual a probabilidade de que ela seja da fato infectada?.
iv) Uma mulher tem 1/3 de chance de ainda estar viva daqui a 30 anos e seu marido tem 2/5 de chance. Qual é a probabilidade de, daqui a 30 anos:
a) Ambos estejam vivos b) Ao menos um esteja vivo. c) Só o homem estar vivo.
v) Um dado equilibrado é lançado 12 vezes. Calcule a probabilidade de se obter:
a) Dois seis. b) Quatro seis.
c) Pelo menos dois seis. d) No máximo três seis.
5) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E MODELOS DE PROBABILIDADE 5.1) Variáveis aleatórias: uma variável aleatória (v.a.) é uma
característica numérica que associa valores do conjunto dos números reais aos eventos em Ω.
A v.a. representa uma característica individual das unidades de uma população, que podem ser observadas através de uma amostra.
Exemplos de v.a.’s:
X = número de indivíduos abaixo da linha da pobreza numa amostra de 80 pessoas de uma comunidade;
T = tempo de sobrevida de pacientes com câncer de pulmão; Y = número de pessoas que votam no candidato Zelão;
R = renda familiar em salários mínimos, numa amostra de pessoas de uma população rural;
W = número de nascimentos do sexo feminino de uma maternidade, no período de um dia;
Z = número de dias de estiagem até a ocorrência de chuva em São Carlos.
As variáveis aleatórias podem ser classificadas como discretas e contínuas segundo a natureza do espaço amostral:
i) v.a.’s discretas assumem valores em espaços discretos e, normalmente, são definidas por uma contagem;
ii) v.a.’s contínuas assumem valores em espaços contínuos e, normalmente, são definidas por uma mensuração.
5.2) Função de probabilidade e função densidade: a função de probabilidade e a função densidade são funções que associam probabilidades a uma v.a.
a) A função de probabilidade, denotada por p(x), é uma função que associa probabilidades diretamente aos possíveis valores de uma v.a. discreta X, sendo definida por:
p(x) = P(X = x)
Exemplo: Considere os nascimentos, independentes, de três crianças e seja a v.a. que conta o número de nascimentos do sexo feminino nesses 3 nascimentos:
Espaço amostral:
Ω = {(FFF), (FFM), (FMF), (MFF), (FMM), (MFM), (MMF), (MMM)} Neste caso o espaço amostral é equiprovável, pois cada um de seus elementos tem mesma probabilidade.
Considerendo que P(F) = P(M) = 1/2, e que os nascimentos são independentes, temos que:
P(FFF) = P(F)×P(F)×P(F) = 1/8.
Obs: O mesmo vale para todos os demais elementos de Ω, resultando P(FFF) = P(FFM) = P(FMF) = P(MFF) = P(FMM) =
P(MFM) = P(MMF) = P(MMM) = 1/8 Associando a este espaço amostral a v.a.
X = número de crianças do sexo feminino dentre os três nascimentos, temos:
Tabela: Função de probabilidade para uma v.a. discreta
Elementos de Ω Valores de X Probabilidade p(x)
(FFF) 3 1/8
(FFM), (FMF), (MFF) 2 3/8
(FMM), (MFM), (MMF) 1 3/8
(MMM) 0 1/8
Desta forma, a função p(x) = P(X = x), dada pela tabela acima, associa as probabilidades aos possíveis valos de X.
b) A função densidade, denotada por f(x), associa probabilidades a intervalos de valores de uma v.a. contínua X, sendo dada pela área1 abaixo de sua curva (ver figura):
A função densidade recebe, ainda, os nomes: função densidade de probabilidade ou função distribuição de probabilidade (fdp).
Nota: Um exemplo de função densidade de uma v.a. contínua será visto mais adiante.
1
A operação matemática que calcula a área sob a curva de uma função f(x) é a integral:
P(a X b) = b a dx x f( ) .
5.3) Principais modelos discretos de probabilidade: o modelo binomial.
Seja X uma v.a. discreta, porém, para a definição do modelo binomial é que necessário que, antes, seja definido o que um ensaio de Bernoulli.
Ensaios de Bernoulli são ensaios (ou experimentos) nos quais temos apenas dois resultados possíveis:
sim/não;
presença/ausência; ocorre/não ocorre; pertence/não pertence; 0 ou 1.
Ao realizarmos um ensaio de Bernoulli estamos interessados em apenas um apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso sendo que, a não ocorrência do evento de interesse vamos chamar de fracasso.
Por exemplo, a característica de interesse pode ser: a presença de uma doença;
um hábito de comportamento ou de consumo; uma característica física;
um defeito ou falha ;
o resultado de uma medição classificado por um ponto de corte. etc...
Para um ensaio de Bernoulli temos associadas as seguintes probabilidades:
A observação individual desta característica de interesse para os elementos da amostra caracteriza realizações independentes de ensaios de Bernoulli.
O modelo binomial é caracterizado pela realização de n ensaios
independentes com apenas dois resultados possíveis (sucesso e fracasso), para os quais P(sucesso) = p é constante.
Seja a v.a. X que conta os sucessos num número fixo de ensaios independentes de Bernoulli.
Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n e p. Notação: X binomial(n; p).
A função de probabilidade binomial é dada pela fórmula: P(X = x) = x n px (1 – p)n – x, x = 0, 1, 2, ..., n. Exemplos:
i) Considere o exemplo dos nascimentos, independentes, de três crianças e seja a v.a. que conta o número de nascimentos do sexo feminino nesses 3 nascimentos:
Podemos notar que o sexo tem apenas dois resultados possíveis: masculino e feminino.
Como o interesse está no nascimento de crianças do sexo feminino, então, o evento caracterizado como sucesso será exatamento o nascimento do sexo feminino.
Logo, a v.a. X = número de bebês do sexo feminino dentre os três nascimentos tem distribuição binomial com parâmetros n = 3 e p = 1/2. Ou seja:
X binomial(3; 0.5). e, a sua fnção de probabilidade é definida como:
P(X = x) =
x
x x 3 5 . 0 1 5 . 0 3 , x = 0, 1, 2, 3.Assim, as probabilidades para cada um dos possíveis valores de X sãocalculadas por: P(X = 0) =
8 1 5 . 0 5 . 0 1 5 . 0 0 3 0 3 0 3 ; P(X = 1) =
8 3 ) 5 . 0 ( 3 5 . 0 1 5 . 0 1 3 1 3 1 3 ; P(X = 2) =
8 3 ) 5 . 0 ( 3 5 . 0 1 5 . 0 2 3 2 3 2 3 ; P(X = 3) =
8 1 5 . 0 5 . 0 1 5 . 0 3 3 3 3 3 3 .Resolvendo as frações, temos:
125 . 0 ) 3 ( ) 3 ( , 3 375 . 0 ) 2 ( ) 2 ( , 2 375 . 0 ) 1 ( ) 1 ( , 1 125 . 0 ) 0 ( ) 0 ( , 0 X P p x X P p x X P p x X P p x
Gráfico da função de probabilidade:
ii) Suponha que uma característica genética é determinada por um par de genes, sendo D o gene dominante e d o gene recessivo. Assim sendo, DD é dominante puro; Dd é híbrido e dd recessivo puro. Sabe-se, ainda, que essa característica é determinada pelo gene recessivo. Uma família na qual os pais são ambos híbridos tem quatro filhos, determine:
a) A distribuição de probabilidade e os seus parâmetros. Qual é a probabilidade de que:
b) três dos filhos tenham a característica genética; c) no máximo dois dos filhos tenham a característica.
Com os dois pais híbridos, ou seja, ambos Dd, temos as seguintes possibilidades de cargas genéticas para os filhos:
Considerando, ainda, P(D) = P(d) = 1/2, temos as seguintes probabilidades associadas: 4 1 2 1 ) ( 2 1 2 1 2 ) ( 4 1 2 1 ) ( 2 2 2 = dd P = Dd P = DD P
Filho Dominante puro Hibrído Recessivo puro
DD Dd dd
probabilidade 1/4 1/2 1/4
a) Como a característica genética é determinada pelo gene recessivo, ela só vai se manifestar se o filho for dd. Assim sendo, teremos uma probabilidade igual a 0.25 de que um filho apresente a característica.
Seja a v.a. X = número de filhos com a característica genética dentre os quatro irmãos.
Então, X tem distribuição binomial com parâmetros n = 4 e p = 0.25. X binomial(4; 0.25).
e, a sua fnção de probabilidade é dada por: p(x) = P(X = x) =
x
x x 4 75 . 0 25 . 0 4 , x = 0, 1, 2, 3, 4.b) Probabilidade de que três filhos apresentem a característica.
3
1 75 . 0 25 . 0 3 4 ) 3 ( X P 0469 . 0 ) 75 . 0 ( ) 0156 . 0 ( 4 ) 3 (X Pc) Probabilidade de que, no máximo dois filhos tenham a característica. ) 2 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 2 (X P X P X P X P ou, ainda,
( 3) ( 4)
1 ) 3 ( 1 ) 2 (X P X P X P X P Como P(X 4) 0.0039, então:
0.0469 0.0039
0.9492 1 ) 2 (X P6. Principais modelos contínuos: a distribuição Normal.
Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com parâmetros e 2 se a sua f.d.p. for:
, e 2 1 2 22 x x f x, e 2 0. Notação: X normal( ; 2) ou X N( ; 2).As principais características da distribuição normal são:
i) X tem média e variância 2;
ii) é uma função simétrica em torno de : f( – k) = f( + k);
iv) tem o conhecido formato de sino com probabilidade de aproximadamente 95% entre ( – 2) e ( + 2) (ver figura).
A função de distribuição acumulada F(x) do modelo normal não pode ser determinada algebricamente, o que dificulta o cálculo das probabilidades, pois
F(x) = P(X x)
No entanto, o resultado a seguir vem facilitar as coisas:
Resultado: a transformação a seguir padroniza a v.a. normal
X
Z .
Fazendo com que Z tenha média igual a 0 e variância igual a 1. Com este resultado, basta construir uma única tabela de probabilidades para a distribuição normal padronizada que teremos as probabilidades para uma v.a. normal qualquer.
Exemplos:
i) Seja uma va X com distribuição normal com média 220 e variância 16, ou seja, X
N(220; 16). Calcular as probabilidades abaixo:a) P(X 225) P(X 225) =
1.25
4 220 225 4 220 Z P X P = 0.8943 b) P(210 X 228) P(210 X 228) = 4 220 228 4 220 4 220 210 X P
P 2.50 Z 2.00
P Z 2.00 P Z 2.50 0.9773 – 0.0062 = 0.9711c) Qual o valor de k tal que P(X k) = 0.01? P(X k) = 4 220 4 220 k X P = 0.01,
Da tabela temos que 2.33 4
220
k k = 210.38
d) Quais os valores k1 e k2 simétricos em torno de , tal que P(k1 X k2) = 0.95? P(k1 X k2) = 4 220 4 220 2 1 Z k k P = 0.95,
Da tabela temos que
4 220 4 220 2 1 P Z k k Z P = 0.025, e, 96 . 1 4 220 1 k k 1 = 212.16
Como k1 e k2 simétricos em torno da média, então 96 . 1 4 220 2 k k 2 = 227.84
ii) Suponha que a renda de uma população (em s.m.) tenha distribuição N
4;0.36
. Qual a probabilidade de que:a) Uma pessoa escolhida ao acaso desta população tenha renda inferior a 2.87sm?
b) Uma pessoa escolhida ao acaso desta população tenha renda superior a 5.05sm?
c) Qual a proporção de pessoas com renda entre 2.8 e 5.2 sm’s?
a) P(X < 28.7) P(X < 28.7) =
1.88
6 40 7 . 28 Z P Z P = 0.0301 b) P(X > 50.5) P(X > 50.5) = 1
1.75
6 40 5 . 50 Z P Z P = 0.0401 c) P(28 < X < 52) P(28 < X < 52) = P
2.0Z 2.0
P
Z 2.0
P Z 2.0
= 0.9773 – 0.0228 = 0.9545iii) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e desvio padrão de 2.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa deseja fixar a garantia do produto de forma que, no máximo 5% dos televisores apresentem problemas abaixo desse limite. a) Encontre o limite de garantia L?
P(X < L) = 0.05 05 . 0 675 . 2 35 L Z P 1.645 675 . 2 35 L L35(1.645)(2.675)
b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto deve ser reduzido o desvio padrão do processo para que, mantido o limite obtido em (a), o percentual de itens abaixo do limite garantia caia pela metade?
P(X < 30.6) = 0.025 025 . 0 * 35 6 . 30 Z P 1.96 * 35 6 . 30 1.96 * 4 . 4
* = 2.245 mil horas ( 3.1 meses)
Definição:
Seja Z o quantil 100% da distribuição N(0, 1), então, Z é tal
que
Principais quantis da distribuição Normal Quantil Z = 0.01 1% Z0.01 = –2.33 = 0.025 2.5% Z0.025 = –1.96 = 0.05 5% Z0.05 = –1.645 = 0.95 95% Z0.95 = 1.645 = 0.975 97.5% Z0.975 = 1.96 = 0.99 99% Z0.99 = 2.33
Obs: 1) Note que Z = – Z(1–), por exemplo Z0.025 = – Z0.975;
2) No programa R os quantis da normal são obtidos pelo comando: qnorm(), 0 1.
iv) Um produto é vendido em pacotes de um quilograma, sendo que a distribuição do peso dos pacotes é normal com média 1005g e desvio padrão 12g.
a) Qual a probabilidade de que um pacote saia com peso 15g abaixo da média?
b) Num fardo com 12 pacotes, qual é a probabilidade de no máximo 2 estejam abaixo de 990g?
c) Um fiscal informou o produtor de que são aceitos apenas 5% dos pacotes com peso abaixo de 995g. De quanto deve diminuir a variabilidade para que esse limite seja atendido? d) Como o processo não permite o ajuste na variabilidade, a
opção seria aumentar a média para atender a especificação. De quanto deve ser a nova média?
e) Com a nova média obtida no item anterior, de quanto se espera seja o aumento na perda do empacotador em uma tonelada do produto.
