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a
fase
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Sabe-se que uma calota esférica tem volume Vcal=πh2 R h− 3 (3 ) , em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por Acal = 2pRh. Atenção: não use um valor aproximado para π. a) Supondo que h = R2, determine o volume do anel de madeira, em função de R. b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R2, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado. Resolução: a) O volume do anel pode ser calculado subtraindo-se os volumes de 2 calotas esféricas e de um cilindro do volume da esfera. Precisamos portanto calcular inicialmente o raio da base do cilindro utilizando o Teorema de Pitágoras.
(2r)2 + R2 =(2R)2
4r2 = 3R2
r = R 32
Temos: Vanel =Vesfera−2Vcalota−Vcilindro
Vanel= R − R R R R − − 4 3 3 2 3 2 3 2 23 2 π .π . π 2 R V R anel=π 3 6 b) A área do anel pode ser calculada subtraindo-se as áreas de 2 calotas e somando-se a área lateral do cilindro, em relação a área total da esfera. Assim temos:
Aanel = Aesf – 2 Acalota + Alateral cilindro
Aanel = 4pR2 – 2.2pR. R 2 + 2pR 32 .R A = pR2 (2+ 3 ) matemática
01. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões abaixo. a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe? Resolução: a) Não é possível, pois a quantidade de farinha necessária, em quilogramas, seria: 0,2.7 + 0,3.8 = 6,8. b) Sejam x e y as quantidades produzidas, em quilogramas, respectivamente, dos bolos A e B: 0 4 0 2 10 0 2 0 3 6 , , , , x y x y + = + = Þ x = = 22 5 5 , y Portanto, devem ser produzidos 22,5kg do bolo A e 5kg do bolo B.
02. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o formato de anel, como mostra a figura abaixo. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica.
2R 2r
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6 6 5 x 03. Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaixo. a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. a) Resolução: a) No semicírculo, temos: x2 + 52 = 62 x2 = 11 x = 11 @ 3,3cm E portanto a região retangular 10cm x 2,5cm pode ser recortada. b) Na região triangular: Por semelhança de triângulos, temos: x6 = 38 Û x = 188 = 2,25 E portanto a região retangular pedida não poderá ser recortada.04. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0 99, . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.
b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento
b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.
Resolução:
a) Em 100 pedaladas, Laura percorrerá 315m. Então, na
relação fundamental da trigonometria, temos: sen2x + cos2x = 1 315h + ( 0 992 , )2 = 1 Donde vem h = 31,5m b) Completando os valores faltantes dos ângulos da figura, temos: Para o triângulo ABC, podemos aplicar o Teorema dos senos, lembrando que sen75º=(30º + 45º)=sen30º.cos45º+sen45º.cos30º = 2 6 4 + Daí: a
sen30º =senb75º, donde vem, para a = 22cm,
b = 11( 2+ 6)cm 6 x 3 8 8 30º 75º 79º 77º 26º 24º A B C D
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06. Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz.
Um resumo do levantamento é apresentado na tabela abaixo.
a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de um aparelho da empresa receberá um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00.
b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais). Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n . p. Resolução:
a) O total de cupons resgatados pelos que compraram
aparelhos do modelo A é: 36.3 = 108. O total de cupons recebidos para a compra de um aparelho dos modelos A, B, C e D, respectivamente, são: 1, 1, 2 e 3. Sendo assim, o total de cupons resgatados é: 78.1 + 70.1 + 52.2 + 36.3 = 360. Portanto, a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00 (modelo D) é: 108360 = 0,3=30%. b) A receita bruta obtida com a venda do novo aparelho é dada pela função R = n.p = (115 – 0,5p).p = -0,5p2 + 115p, cujo gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. O valor de p que maximiza essa receita é obtido no vértice da parábola. Esse valor é igual a: 2.( , ) = 230.--1150 25 05. O valor presente, Vp , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela fórmula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros (0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela. V p r p= n + 1 100 a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp , supondo uma taxa de juros de 1% ao mês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp , e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista. Resolução: a) Temos que o valor presente de cada parcela é dada por V p r p = n + 1 100 , portanto na 1ª parcela o Vp Vp 1 0 1 200 1 1001 200 00 = + ∴ = , pago à vista. Na 2ª parcela o Vp Vp Vp 2 1 2 2 200 1 1001 200 101 100 198 02 198 02 = + ∴ = ≅ , ∴ ≅ , Logo o Valor Presente da mercadoria é Vp @ 200 + 198,02 \ Vp @ 398,02, isto é, Vp @ 398,02 .
b) O valor presente da 1ª parcela após um mês será de
V p r V p p1 1 p 1 100 0 99 = + ∴ ≅ , O valor presente da 2ª parcela após dois meses será de V p r V p p2 2 p2 1 100 0 98 = + ∴ ≅ , , portanto o Valor Presente da mercadoria será de Vp = Vp1+Vp2 @ 1,97p Como 1 97 2 0 985 , p ,
p @ isto é o Valor Presente
representa 98,5% do valor a prazo, será vantajoso qualquer
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E 45º F E 25 2 25 2 07. Sejam dadas as funções f(x) = 8 42x e g(x) = 4x . a) Represente a curva y = f(x) no gráfico abaixo, em que o eixo vertical fornece log2(y). b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações f z g y f y g z ( ) ( ) ( ) ( ) = = 1 Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente. Resolução:a) Devemos ter os pontos na forma (x; log2y), que serão
obtidos através da função h(x) = log2f (x), portanto
h x h x
h x x
x x
( ) log ( ) log log
( ) = ∴ = − ∴ = − 2 28 2 2 4 4 8 2 3 4 O gráfico de h(x) é x y 2 –5 0 3 b) Se f z g y f y g z z y y z ( ) ( ) ( ) ( ) = = ⇒ = = . 1 8 4 4 8 4 4 1 2 2 ⇒ = = ⇒ = = − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 z y y z z y y z . . ⇒ = + − = 3 4 2 3 4 2 z y y z f z g y f y g z z y y z ( ) ( ) ( ) ( ) = = ⇒ = = . 1 8 4 4 8 4 4 1 2 2 ⇒ = = ⇒ = = − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 z y y z z y y z . . ⇒ = + − = 3 4 2 3 4 2 z y y z f z g y f y g z z y y z ( ) ( ) ( ) ( ) = = ⇒ = = . 1 8 4 4 8 4 4 1 2 2 ⇒ = = ⇒ = = − + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 z y y z z y y z . . ⇒ = + − = 3 4 2 3 4 2 z y y z resolvendo o sistema, temos:
z = 12 e y = 12 portanto y = 12 e z = 12
08. O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brinquedo muito comum no Brasil. A figura abaixo mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente. a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D. Resolução: a) Da figura, temos: sen 30º = BE50 Þ BE = 25cm tg 45º = BEAE Þ AE = 25cm cos 30º = CE50 Þ CE = 25 3 cm
AABCD = AABD + ACBD
AABCD = 50 252. +50 25 3.(2 )
AABCD = 625 (1 + 3) cm2
b) Se B e D são pontos de tangência,
ABFD é quadrado cujo lado mede 25 2 cm e BC é um arco de circunferência cujo comprimento é
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09. Considere a matriz A = a a a a a a a a a 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , cujos coeficientes são números reais.a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo. b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i − j + 1 para os elementos em que j ≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1 . Resolução:
a) detA = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 – – a13.a22.a31 – a11.a23.a32 – a12.a21.a33
O determinante da matriz A será diferente de zero somente se uma das parcelas relacionadas acima for o produto dos seus três elementos que não são nulos. Sendo assim, há apenas seis possibilidades (pois há seis parcelas) de detA ser diferente de zero. O total de maneiras de três elementos de A serem não nulos é C9,3 = 84. Logo, a probabilidade de que o determinante de A seja não nulo é igual a 684=141 . b) De acordo com o enunciado, A = 1 0 0 2 1 0 3 2 1 Sendo A–1 a matriz inversa de A e Id a matriz identidade, temos: A A Id a b c d e f g h i . − = ⇒ . = 1 1 0 02 1 0 3 2 1 1 0 0 0 1 00 0 0 1 Þ a b c a d b e c f a d g b e h c f i = = = + = + = + = + + = + + = + + = 1 0 0 2 0 2 0 2 0 3 2 0 3 2 0 3 2 1 Þ a b c d e f g h i = = = = − = = = = − = 1 0 0 2 1 0 1 2 1 Þ A− = − − 1 12 1 00 0 1 2 1 10. Suponha que f : IR®IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo. a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99). b) Dadas as funções g(y) = y2 – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5 ≤ x ≤ 5. Resolução: a) Se a função f(x) é ímpar, o gráfico é simétrico em relação
à origem e se f(x) é periódico de T=10, temos que o gráfico no intervalo [–10;+10]. Temos pelo gráfico que f(0) = 0, f 5 2 = 5, f(5) = 0, f 15 2 = –5, ... E que f(99) = f(89) = f(79) = ...= f(9) = f(1), então basta calcular f (–1). No intervalo [–5; 5] a função é f(x) = 2x \ f(-1) = f(99) = –2 Então f(99) = –2. b) Por simetria temos que a reta que representa a função intercepta o eixo Oy no ponto (0;10) . Temos que o coeficiente angular da reta que representa a função no intervalo 5 2;5 é m = –2. Por simetria temos que a reta que representa a função intercepta o eixo Oy no ponto (0;10), portanto f(x) = –2x + 10, logo f (3) = 4. Como h(x) = g(f(x)) \ h(x) = (f(x))2 – 4f(x) \ h(3) = (f(3))2 – 4f(3) \ h(3) = 0 E no intervalo 5 2;5 h(x) = (–2x + 10)2 –4(–2x + 10) \ h(x) = 4x2 - 32x + 60 Então h(3) = 0 e h(x) = 4x2 – 32x + 60, com 2,5 £ x £ 5. 10
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11. No desenho abaixo, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a. b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x. Resolução: a) Seja r a reta de equação: y = ax e seja s a reta perpendiculara r no ponto A. O coeficiente angular de s é -1a.
Como s passa pelo ponto B (2;0), sua equação é: y a x = −1( −2) . O ponto C está na intersecção de s com o eixo y, portanto tem abscissa igual a zero. Logo, a ordenada de C é igual a 2 a. Portanto, as coordenadas de C são (0; 2 a) . b) O ponto A é a intersecção entre as retas r e s. Logo, para encontrarmos as coordenadas de A, temos o seguinte sistema: y x y x = = − − 3 1 3( 2) Þ x y = = 1 5 3 5 . A circunferência de centro em A que tangencia o eixo x deve ter raio igual a 3 5. Portanto, o ponto A tem coordenadas ( 1 5; 35) e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x é: x− y 15 + −2 53 =2 259 12. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante. Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros,
acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc. a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas? b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros? Resolução: a) As quantidades de membros que o site A espera adquirir a cada semana formam uma progressão geométrica de primeiro termo a1 = 100 e razão q = 2. A soma dos 6 primeiros elementos da progressão acima é: S6 a11 qq6 6 1 100 1 21 2 6300 = − − = − − = ( ) ( ) O total de membros será: 6300 + 150 = 6450. Portanto, o site A espera atrair 6300 novos membros nas próximas 6 semanas e espera ter, nessa data, 6450 membros. b) As quantidades de novos membros que o site B espera atrair a cada semana formam uma progressão aritmética de primeiro termo b1 = 100 e razão r = 100. Sendo assim, o n-ésimo termo, bn, é igual a 100n. A soma dos n primeiros termos dessa progressão é: S a a n n n n n =( 1+ ) =( + ) 2 100 1002 . O total de membros do site B na n-ésima semana será: 2200 + (100 100+2 n n) = 10000 Þ n2 + n – 156 = 0 Þ n = –13 (não convém) ou n = 12. Portanto, o site B levará 12 semanas para atingir a marca dos 10000 membros.
