Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Aerodinâmica 1º Semestre 2012/13. Exame de 3ª época, 19 de Julho de 2013 Nome :

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Aerodinâmica

1º

Semestre 2012/13

Exame de 3ª

época, 19 de Julho de 2013 Nome :

Hora : 15:00 Número:

Duração : 3 horas

1ª

Parte : Sem consulta

2ª

Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

1ª Parte

Em cada alínea, assinale com verdadeiro (V) ou falso (F) cada um dos quadrados, sabendo que podem existir todas as combinações possíveis de verdadeiro e falso. A cotação das respostas é a seguinte:

Quadrado correctamente preenchido 0,25 valores. Quadrado em branco 0 valores. Quadrado incorrectamente preenchido -0,15 valores.

1. Na solução (numérica) das equações de Navier-Stokes em média temporal de Reynolds

V

o efeito das flutuações de velocidade do campo instantâneo é contabilizado nas tensões de Reynolds.

V

a aplicação da condição de não escorregamento numa parede depende do modelo de turbulência seleccionado.

F

a tensão de corte na parede não é proporcional à derivada do perfil de velocidade média na parede

(

∂U ∂y

)

y₌₀ .

F

os modelos de viscosidade turbulenta são independentes do campo de velocidade média, pelo que podem ser calculados à priori.

2. Numa camada limite, bi-dimensional, sobre uma placa plana,

F

a componente da velocidade na direcção perpendicular à parede é nula.

F

a linha y=

δ

(em que

δ

representa a espessura da camada limite) é uma linha de corrente se o escoamento for laminar.

V

o caudal (por unidade de largura) que se escoa entre a parede e um ponto exterior à camada limite à distância h da parede é igual a _ρ

(

_δ*

)

−

h

U_e .

3. A figura em baixo apresenta as curvas de estabilidade neutra de dois perfis de velocidade de camada limite laminar

F

Ri corresponde ao número de Reynolds de transição.

V

A região C corresponde à região instável do perfil de velocidade B.

F

A região D é típica de escoamentos em gradiente de pressão adverso.

V

A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das perturbações aplicadas ao p

4. A figura em baixo apresenta a tensão de corte total ( camada limite turbulenta na vizinhança de uma parede (

distância à parede,

ν

a viscosidade cinemática e

V

ν

ξ

₌uτy .

V

0 =       ∂ ∂ = y y u A µ .

V

C=−ρuv.

F

Para a região representada no gráfico,o perfil de velocidade média é

presenta as curvas de estabilidade neutra de dois perfis de velocidade de camada limite laminar

corresponde ao número de Reynolds de transição.

A região C corresponde à região instável do perfil de velocidade B. A região D é típica de escoamentos em gradiente de pressão adverso.

A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das perturbações aplicadas ao perfil de velocidade.

A figura em baixo apresenta a tensão de corte total (

τ

_total =

µ

∂u ∂y

camada limite turbulenta na vizinhança de uma parede (u_τé a velocidade de fricção a viscosidade cinemática e ρa massa específica do fluido

Para a região representada no gráfico,o perfil de velocidade média é linear.

presenta as curvas de estabilidade neutra de dois perfis de velocidade

A variável representada no eixo das ordenadas está relacionada com a frequência das

uv

y−

ρ

) de uma

é a velocidade de fricção, ya ífica do fluido).

5. A figura em baixo apresenta o simétrico do coeficiente de pressão

corda (x/c) para um perfil fino (3%) e um perfil espesso (21%) determinados em fluido perfeito.

V

O ângulo de ataque do perfil espesso é superior ao ângulo de a

F

O perfil A é o perfil espesso.

F

O perfil B deve exibir uma perda tipo bordo de ataque.

V

Para o mesmo número de Reynolds e se não ocorrer separação da camada limite, o coeficiente de resistência de

6. A figura em baixo apresenta o coeficiente de resistência

sustentação Cl de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 10 para um dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.

F

Os dois perfis têm uma gama de ângulos de ataque para a qual não existe pico de sucção.

F

O número de Reynolds mais baixo corresponde às linhas C.

F

O aumento de C_d com a aplicação de rugosidade deve de atrito.

F

Se a gama de número de Reynolds aumentasse para 10 obtidas para os dois perfis não se alteraria significativamente.

A figura em baixo apresenta o simétrico do coeficiente de pressão (–

para um perfil fino (3%) e um perfil espesso (21%) determinados em fluido

O ângulo de ataque do perfil espesso é superior ao ângulo de ataque do perfil fino. O perfil A é o perfil espesso.

O perfil B deve exibir uma perda tipo bordo de ataque.

Para o mesmo número de Reynolds e se não ocorrer separação da camada limite, o coeficiente de resistência de atrito do perfil A deve ser maior do que o do perfil B.

A figura em baixo apresenta o coeficiente de resistência Cd em função do coeficiente de de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 10

dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.

m uma gama de ângulos de ataque para a qual não existe pico de sucção. O número de Reynolds mais baixo corresponde às linhas C.

com a aplicação de rugosidade deve-se exclusivamente à resistência Se a gama de número de Reynolds aumentasse para 108 a 109, a forma das curvas obtidas para os dois perfis não se alteraria significativamente.

–Cp) ao longo da para um perfil fino (3%) e um perfil espesso (21%) determinados em fluido

taque do perfil fino.

Para o mesmo número de Reynolds e se não ocorrer separação da camada limite, o maior do que o do perfil B.

em função do coeficiente de de dois perfis sustentadores a três números de Reynolds entre 106 e 107 e dos números de Reynolds com rugosidade na superfície dos perfis.

m uma gama de ângulos de ataque para a qual não existe pico de sucção.

se exclusivamente à resistência , a forma das curvas

7. A figura em baixo apresenta

V

A asa está colocada junto ao chão porque o

da asa aumenta com a redução da distância ao solo h.

F

As placas de extremidade tem como única finali dianteiras.

V

As fendas entre os três componentes da asa destinam limite na parte inferior da asa (parte não visível na imagem).

V

A esteira da asa apresenta 4 regiões com valores el vórtices de extremidade).

8. A figura em baixo representa o coeficiente de resistência (médio) ( um disco circular em função do número de Reynolds,

velocidade do escoamento

V

A curva B corresponde ao disco circular.

V

A curva C corresponde à esfera quando se aplica rugosidade ou se aumenta a intensidade de turbulência do escoamento exterior.

V

O coeficiente de resistência mínimo do escoamento em t

camada limite separa em regime laminar, recola e separa em regime turbulento.

F

Para números de Reynolds maiores do que 100, o disco circular tem um coeficiente de pressão de base (coeficiente de pressão na esteira próxima)

A figura em baixo apresenta a asa dianteira de um Fórmula 1 de 2009.

A asa está colocada junto ao chão porque o valor absoluto do coeficiente de sustentação da asa aumenta com a redução da distância ao solo h.

As placas de extremidade tem como única finalidade desviar o escoamento das rodas As fendas entre os três componentes da asa destinam-se a evitar a separação da camada limite na parte inferior da asa (parte não visível na imagem).

A esteira da asa apresenta 4 regiões com valores elevados da vorticidade axial (4

A figura em baixo representa o coeficiente de resistência (médio) (CD) de uma esfera e de

um disco circular em função do número de Reynolds, Re, baseado no diâmetro velocidade do escoamento de aproximação V.

A curva B corresponde ao disco circular.

A curva C corresponde à esfera quando se aplica rugosidade ou se aumenta a intensidade de turbulência do escoamento exterior.

O coeficiente de resistência mínimo do escoamento em torno da esfera ocorre quando a camada limite separa em regime laminar, recola e separa em regime turbulento.

Para números de Reynolds maiores do que 100, o disco circular tem um coeficiente de pressão de base (coeficiente de pressão na esteira próxima) maior do que a esfera.

coeficiente de sustentação dade desviar o escoamento das rodas se a evitar a separação da camada evados da vorticidade axial (4

) de uma esfera e de , baseado no diâmetro d e na

A curva C corresponde à esfera quando se aplica rugosidade ou se aumenta a intensidade orno da esfera ocorre quando a camada limite separa em regime laminar, recola e separa em regime turbulento.

Para números de Reynolds maiores do que 100, o disco circular tem um coeficiente de maior do que a esfera.

Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

Aerodinâmica

1º

Semestre 2012/13

Exame de 3ª

época, 19 de Julho de 2013

Hora : 15:00

Duração : 3 horas

1ª

Parte : Sem consulta

2ª

Parte : Consulta limitada a livros de texto e folhas da disciplina

2ª Parte

Figura 1 – Características aerodinâmicas de um perfil NACA 652-015.

1. A figura 1 apresenta as características aerodinâmicas de um perfil NACA 652-015. Para

pequenos ângulos de ataque, admita que o coeficiente de resistência de atrito do perfil pode ser estimado a partir de uma placa plana em gradiente de pressão nulo (com camadas limite idênticas dos dois lados da placa) e que a transição das camadas limites se encontra concentrada num ponto (Reynolds crítico igual ao Reynolds de transição).

Admita ainda que o coeficiente de resistência de pressão é proporcional ao coeficiente de resistência de atrito atrito pressao d d C C =

χ

. (_νar =1,51×10−5m2/s,_ρar =1,2kg/m3 ).

a) Para um número de Reynolds de 3×106, estime a constante de proporcionalidade χ entre os coeficientes de resistência de pressão e de atrito. Utilize a informação disponível nos gráficos e faça as aproximações que achar necessárias. (Se não resolver esta alínea admita

atrito

pressao d

d C

C =0,1 para o resto do problema).

Admitido transição forçada junto do bordo de ataque teríamos ≈0,008

perfil d C , pelo que se obtem

(

)

(

)

097 , 0 072 , 0 2 1 008 , 0 = × × + = −

χ

χ

0,2 c Re

b) Estime a localização do “ponto de transição” para ângulo de ataque nulo a um número de Reynolds de 3×106.

Para transição natural temos ≈0,005

perfil d C , o que implica

(

)

(

)

. 44 , 0 10 31 , 1 072 , 0 33 , 1 13 , 4122 072 , 0 33 , 1 072 , 0 2 1 005 , 0 6 25 , 1 5 , 0 5 c x Re Re Re Re Re Re Re Re tr tr tr tr 0,2 tr 0, tr c tr 0,2 c = ⇒ × =         ₊ =       − + × × + =

χ

− − −

c) Para escoamento com transição forçada desde o bordo de ataque a um número de Reynolds de 3×106 e ângulo de ataque nulo, estime o valor da distância à parede em coordenadas da parede (y+) do limite superior da região do perfil de velocidade em que é válida a lei da parede (y=0,15δ) em função da distância adimensional ao bordo de ataque (x/c). Determine o valor máximo de y+ para y=0,15δ.

2 2 f c f e C c x x y Re c x x y C c U y u y

δ

δ

δ

δ

ν

ν

τ _{= =} = +

para escoamento turbulento desde o

bordo de ataque _f Re_c0,2 c x C − −       = 2 , 0 0581 , 0 e Re_c0,2 c x x − −       = 2 , 0 373 , 0

δ

. Como 6 10 3× = c Re e =0,15

δ

y , temos 326,1 max 326,1. 7 , 0 = ⇒       = + + y c x y

d) Como aplicava as condições de fronteira na superfície do perfil escoamento em torno do perfil

das equações de

Navier-viscosidade turbulenta? Justifique claramente a sua resposta

• Nas condições da alínea b) temos transição natural pelo que a tensão de corte na parede tem de ser determinada directamente da sua

condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição em que y₂+corresponde

primeiro ponto interior da ma

• Para a alínea c) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento deveria ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria determinada a partir de

( )

2 _min >50.

+

y

2. Considere o escoamento estacionário, bi

torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m

(

−0,025;i0

)

do referencial

ângulo α, (|α|<π/4), com o eixo real

No centro do cilindro existe um vórtice com a intensid intersecção do cilindro com o eixo real positivo,

Como aplicava as condições de fronteira na superfície do perfil

escoamento em torno do perfil nas condições das alíneas b) e c) com a solução numérica -Stokes em média temporal de Reynolds com um modelo de ? Justifique claramente a sua resposta.

Nas condições da alínea b) temos transição natural pelo que a tensão de corte na parede tem de ser determinada directamente da sua definição, i.e. aplicação directa da condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição

corresponde à distância adimensional (em coordenadas da parede) do primeiro ponto interior da malha à parede.

Para a alínea c) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento deveria ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria determinada a partir de U+ =

( )

y+ +C

2

2 ln

1

κ . A malha teria de respeitar a condição

Considere o escoamento estacionário, bi-dimensional, potencial e incompressível em torno de um cilindro circular. O cilindro tem um raio de 1m e está centrado no ponto do referencial ζ=ξ+iη. O escoamento de aproximação uniforme faz um

/4), com o eixo real ξ e tem uma velocidade com um módulo igual a U No centro do cilindro existe um vórtice com a intensidade necessária para que o ponto de intersecção do cilindro com o eixo real positivo, ξ=b, seja um ponto de estagnação.

para calcular o a solução numérica com um modelo de

Nas condições da alínea b) temos transição natural pelo que a tensão de corte na definição, i.e. aplicação directa da condição de não escorregamento. A malha teria de respeitar a condição

( )

₂+ _max <1,

y

à distância adimensional (em coordenadas da parede) do

Para a alínea c) a transição é forçada junto ao bordo de ataque. Para garantir escoamento turbulento em todo o perfil, a condição de não escorregamento deveria ser aplicada através de leis da parede, i.e. a tensão de corte na parede deveria ser A malha teria de respeitar a condição

dimensional, potencial e incompressível em e está centrado no ponto O escoamento de aproximação uniforme faz um e tem uma velocidade com um módulo igual a U_∞. ade necessária para que o ponto de =b, seja um ponto de estagnação.

a) Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de ataque α, indicando claramente o sist

Para o sistema de eixos o e ζ ζ ζ ₌ * iα ₊ com

ζ

o = W com Γ=−4

π

U_∞sen

( )

α

.

b) Determine a gama de ângul

coordenada imaginária dos pontos de estagnação Determine a gama de valores

ângulos de ataque.

A linha que une os pontos de estagnação é paralela ao escoamento de aproximação uniforme. Um dos pontos de estagnação está por definição localizado em

Como

η

C_p=₁ <0,1 é fácil de desenhar as d

máximo e mínimo que satisfazem as condições pedidas (problema simétrico, pelo que

max

min

α

α

=− ).

Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de indicando claramente o sistema de eixos que utilizou.

Para o sistema de eixos ζ∗=ξ∗+iη∗ representado na figura, em que ζ*

025 , 0 − , temos

( )

( )

* * * * ln 2 1

ζ

π

ζ

ζ

ζ

_− Γ      + =U∞ i W

Determine a gama de ângulos de ataque (

α

_mine

α

_max) para a qual o v dos pontos de estagnação é menor do que 0,1 ( Determine a gama de valores do coeficiente de pressão mínimo para

A linha que une os pontos de estagnação é paralela ao escoamento de aproximação uniforme. Um dos pontos de estagnação está por definição localizado em

é fácil de desenhar as duas situações que dão os ângulos de ataque máximo e mínimo que satisfazem as condições pedidas (problema simétrico, pelo que Escreva o potencial complexo que representa o escoamento em função do ângulo de

(

_{ζ ζ}

)

−iα

−

= o e ou

o valor absoluto da é menor do que 0,1 (

η

C_p=₁ <0,1). para essa gama de

A linha que une os pontos de estagnação é paralela ao escoamento de aproximação uniforme. Um dos pontos de estagnação está por definição localizado em ξ =0,975. uas situações que dão os ângulos de ataque máximo e mínimo que satisfazem as condições pedidas (problema simétrico, pelo que

A equação que define o círculo é dada por

interseccção das linhas que unem os pontos de estagnação com a circunferência estão localizados em ξ =−1,02;η=0,1e ξ =−1,02

min

α

e

α

_maxsão facilmente determinados a partir de 02 , 1 arctg max    =

α

A condição

η

C_p=₁ <0,1 é satisfeita para

Nesta gama de ângulos de ataque, o maior valor do coeficiente de pressão mínimo (menor em módulo) é obtido para o ân

( )

1 2 3 2 min  =−      − = ∞ ∞ U U C_p já que para

velocidade máxima para

α

=2,

coeficiente de pressão mínimo para estes ângulos de ataque é igual a

( )

1 2,1 3,41 2 min  =−      − = ∞ ∞ U U

C_p . Desta forma chegamos à conclusão que

−2,87º

A equação que define o círculo é dada por

(

ξ +0,025

)

2 +η2 =1, pelo que os pontos de rseccção das linhas que unem os pontos de estagnação com a circunferência estão localizados

1 , 0 ;

02η =− (para além do já referido ξ =0,975 facilmente determinados a partir de

05 , 0 º 87 , 2 05 , 0 975 , 0 02 1 , 0 min =− = = =    + rad

α

rad é satisfeita para −2,87º<α <2,87º.

Nesta gama de ângulos de ataque, o maior valor do coeficiente de pressão mínimo (menor em módulo) é obtido para o ângulo de sustentação nula (

α

=0

já que para

α

=0 a velocidade máxima é igual a

º 87

, ou

α

=−2,87º é igual a 2U_∞

(

1+sen

(

2,87

coeficiente de pressão mínimo para estes ângulos de ataque é igual a . Desta forma chegamos à conclusão que

( )

3,41. 3 º 87 , 2 min >− ≥ − ⇒ < <

α

Cp que os pontos de rseccção das linhas que unem os pontos de estagnação com a circunferência estão localizados ). Os valores de º 87 , 2 − =

Nesta gama de ângulos de ataque, o maior valor do coeficiente de pressão mínimo

0) e é igual a a velocidade máxima é igual a 2U_∞. A

))

º

87 , pelo que o coeficiente de pressão mínimo para estes ângulos de ataque é igual a

Considere a transformação conforme de Kárman-Treftz dada por

(

)

(

)

(

+

)

−

(

−

)

=

+

i

=

1

,

96

−

+

+

=

z

x

y

k

b

b

b

b

kb

z

_{k k} k k

e

com

ζ

ζ

ζ

ζ

que transforma o cilindro num perfil sustentador.

c) Determine a variação do coeficiente de sustentação com o ângulo de ataque para pequenos ângulos de ataque.

Para escoamento de perfis sustentadores em fluido perfeito, o coeficiente de sustentação é

dado por 2 . c U Cl ∞ Γ −

= A circulação Γ é igual à do plano do cilindro e foi determinada na alínea a), pelo que a única quantidade a determinar é a corda do perfil c. z₂ −z₁ =cem que z₂ e z₁ são os transformados de

ξ

2 =0,975 e

ξ

1 =−1,025 que correspondem a

911 , 1

2 =

z e z1 =−1.914, pelo que c=3,825. Como Γ=−4

π

U∞sen

( )

α

temos

( )

α

π

sen 09 , 2 = l

C , pelo que a pequenos ângulos de ataque temos Cl =2,09

πα

.

d) Represente qualitativamente o escoamento no plano transformado para o ângulo de ataque em que o coeficiente de sustentação é igual a 0,3.

Para Cl =0,3 temos

α

=0,046rad=2,62º e o escoamento no plano transformado é

3. Uma aeronave ligeira pesa 2,4kN e tem uma velocidade de cruzeiro a altitude constante igual a 162km/h. A asa tem uma área de 8m2 e ao longo de toda a envergadura a sua secção é um perfil NACA 652-015 (Cl e Cd na figura 1 e 0,11

' _≈

∞

l

C grau-1). A pequenos ângulos de ataque (

α

em radianos), os coeficientes de sustentação e resistência da asa são dados por:

005

,

0

0398

,

0

039

,

5

2

+

=

=

L D L

C

C

C

α

Admita em primeira aproximação que a força de resistência da aeronave se deve apenas à asa.

a) Para a secção da asa, determine o coeficiente de momento de picada em torno do centro do perfil em função do ângulo de ataque e a localização do centro de pressão.

A partir dos gráficos da figura 1 temos (graus) 11 , 0

α

= l

C ou Cl =6,3

α

(rad) e xca ≅0,26c com a origem do referencial no bordo de ataque. Como o perfil é simétrico =0

ca M

C , pelo que uma simples propagação de momentos conduz a C_M =−(0,5−0,26)C_l =−1,51α(rad)

c . Naturalmente, xcp = xca.

b) A asa tem torção? A distribuição de circulação é elíptica? Justifique claramente as suas respostas.

Para

α

=0 temos CL =0. Como o perfil é simétrico não temos torção.

Admitindo que a distribuição de circulação é elíptica temos

. 10 3 Re 1 8 1 3 , 6 1 1 039 , 5 6 × = ⇒ = ⇒ = Λ ⇒ Λ + = c m π

Para CL =0 temos CD =0,005 que é igual ao valor de CD_perfil na bossa laminar, pelo que . 0398 , 0 8 2 2 L L D C C C i =

π

=

A distribuição de circulação é elíptica.

c) Determine o coeficiente de sustentação da asa.

A altitude e velocidade constante, a força de sustentação é igual ao peso da aeronave pelo que . 25 , 0 2 1 2 = = ∞S U W CL ρ

d) Mostre que vento frontal com uma velocidade de 45km/h e com uma inclinação positiva (vento ascendente) de 4,64º graus em relação à direcção horizontal permite à aeronave voar a 83,5km/h e altitude constante sem alterar a configuração da asa e com o motor desligado.

Para a aeronave voar com o motor desligado a força aerodinâmica (sustentação mais resistência) tem de equilibrar o peso. A velocidade do escoamento de aproximação relativo à aeronave e o equilíbrio de forças são determinados a partir de

e

( )

( )

L D L C C SC U W = ∞ _γ = γ ρ tan , cos 2 1 2

tal como ilustra a figura em baixo

( )

x y y x U U U U U ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = + , tan

γ

= 2 2

(

)

rad, 02835 , 0 393 , 0 01114 , 0 arctan rad 02835 , 0 4 , 128 64 , 3 arctan , 128 º 64 , 4 cos 45 5 , 83 U _x =       = =       = = + = ∞ γ γ

(

)

. 4 , 2 2 , 2405 rad, rad 078 , 0 02835 , 0 039 , 5 25 , 0 rad , / 64 , 3 º 64 , 4 sen 45 , / 4 , ) ) kN N W U h km U h km c d x ≈ = = + = + = ⇒ = = = ∞ ∞ γ α α 01114 , 0 393 , 0 rad / 7 , 35 / 5 , 128 C C s m h km D L    = = ⇒ = =