Coloração total e coloração total equilibrada de Famílias de Snarks

(1)

IME-UFF

COLORA ¸C ÃO TOTAL E COLORA ¸C ÃO TOTAL EQUILIBRADA DE FAMÍLIAS DE SNARKS

Luana Cordeiro de Almeida

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-gradua¸cão em Matemática do Instituto de Matemática e Estat´ıstica da Uni-versidade Federal Fluminense, IME-UFF, co-mo parte dos requisitos necessários à obten-¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientadoras: Simone Dantas de Souza Diana Sasaki Nobrega

Niter´oi Dezembro de 2017

(2)

Cordeiro de Almeida, Luana

Colora¸cão Total e Colora¸cão Total Equilibrada de Fam´ılias de Snarks/Luana Cordeiro de Almeida. – Niterói: IME-UFF, 2017.

VIII, 67 p.: il.; 29, 7cm.

Orientadoras: Simone Dantas de Souza Diana Sasaki Nobrega

Disserta¸cão de mestrado – Combinatória – Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, IME-UFF, 2017.

Referências Bibliográficas: p. 64 – 67.

1. snarks. 2. colora¸cão total. 3. dot product. 4. . I. Dantas de Souza, Simone et al.. II. Universidade Federal Fluminense, IME, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática. III. T´ıtulo.

(3)

(4)

Agradecimentos

`

As minhas orientadoras, Simone Dantas e Diana Sasaki, que com competˆencia e compreens˜ao me guiaram nessa jornada, estimulando-me a crescer como cientista e como pessoa.

Aos membros da banca, professores Slobodan Tanushevski e Raphael Machado, por terem aceitado examinar esse trabalho e contribuir com suas cr´ıticas. Obrigada pela aten¸c˜ao.

A minha mãe Socorro, minha tia Cei¸ca e meu marido João, que estiveram ao meu lado em cada passo. Vocês são meu porto seguro.

`

Aqueles que me tocaram com seu exemplo, que me ensinaram sobre dedica¸cão e curiosidade cient´ıfica mas também sobre coragem, rigorosidade e a necessidade da verdadeira compreensão. Vocês são minha inspira¸cão, Fernando J. O. Souza, João Paulo Costalonga, Daniele Sepe.

`

A Comunidade, aqueles de todos os cantos do mundo que respondem dúvidas de estranhos, disponibilizam seus artigos, divulgam Ciência. Sua ajuda foi inestimável.

Finalmente, aos amigos, que emprestam for¸cas, afastam os maus pensamentos, compartilham conhecimentos (e comida!). Eu n˜ao teria conseguido sem vocˆes, 404 e Priscila Carvalho. I get by with a little help from my friends.

(5)

Resumo da Disserta¸cão apresentada ao IME-UFF como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)

COLORA ¸C ÃO TOTAL E COLORA ¸C ÃO TOTAL EQUILIBRADA DE FAMÍLIAS DE SNARKS

Dezembro/2017

Orientadoras: Simone Dantas de Souza, Diana Sasaki Nobrega

Um grafo cúbico é dito Tipo 1 se admite uma colora¸cão total com 4 cores. Em caso contrário, é poss´ıvel encontrar uma colora¸cão total desse grafo com 5 cores e ele é dito Tipo 2. Em 2003, Cavicchioli, Murgolo, Ruini e Spaggiari apresentaram um abrangente estudo sobre classes especiais de grafos e reportam que todos os snarks livres de quadrado e ciclicamente 4-aresta-conexos com até 30 vértices são Tipo 1. Esse achado os levou a propor o problema de achar o menor desses snarks Tipo 2.

Uma questão relacionada a essa é a de colora¸cão total equilibrada, isto é, em que a diferen¸ca entre o número de vezes que cada cor é usada é de, no máximo, 1. Grafos cúbicos sempre admitem colora¸cões totais equilibradas com 4 ou 5 cores mas esse problema de classifica¸cão é NP-completo, como mostrado por Dantas et al. em 2016, e nesse mesmo artigo os autores propuseram o problema de encontrar um grafo cúbico Tipo 1 com cintura maior que 4 e número de colora¸cão total equilibrada 5.

Procurando contribuir com essas investiga¸cões, em nosso trabalho apresentamos colora¸cões totais equilibradas utilizando 4 cores para a primeira fam´ılia de snarks de Loupekine e a estendemos para colora¸cões totais equilibradas com 4 cores de produtos internos entre snarks dessa fam´ılia e das fam´ılias de Goldberg, Flor e para colora¸cões totais de produtos entre snarks de Loupekine e de Blanuˇsa. Também utilizamos o produto interno para obter uma nova fam´ılia infinita de snarks Tipo 2. Palavras-Chave: Grafos, Snarks, Colora¸cão Total, Colora¸cão Total Equili-brada.

(6)

Abstract of Dissertation presented to IME-UFF as a partial fulﬁllment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

TOTAL COLOURING AND EQUITABLE TOTAL COLOURING OF FAMILIES OF SNARKS

December/2017

Advisors: Simone Dantas de Souza, Diana Sasaki Nobrega

A cubic graph is said to be Type 1 if it admits a total colouring with 4 colours. Otherwise, it is possible to ﬁnd for this graph a total colouring with 5 colours and it is said to be Type 2. In 2003, Cavicchioli, Murgolo, Ruini and Spaggiari presented a comprehensive study on special classes of graphs in which they reported all square-free cyclically 4-edge-connected snarks with at most 30 vertices are Type 1. This lead them to question what is the smallest Type 2 snark with these properties.

A related question to this one is to find an equitable total colouring, i.e., a total colouring for which the cardinalities of colour classes differ by at most 1. Cubic graphs always admit an equitable total colouring with 4 or 5 colours but classifying them is a NP-Complete problem, as shown by Dantas et al. in 2016. In the same paper, the authors posed the problem of finding a cubic Type 1 graph with girth at least 5 that does not admit an equitable total colouring with 4 colours.

Our goal in this work is to contribute to answer these questions. We present equitable total colourings for the first family of Louekine snarks and extend these colourings for dot products between Loupekine and Flower, Goldberg or Blanuˇsa snarks. We also use dot product to find a new infinite family of Type 2 snarks.

(7)

Sum´

ario

Agradecimentos v

Lista de Figuras 1

1 Introdu¸c˜ao 4

2 Preliminares 8

2.1 Defini¸cões e Resultados Básicos . . . 8

2.2 Colora¸c˜ao de Grafos C´ubicos . . . 13

3 Colora¸c˜ao Total Equilibrada de Fam´ılias Inﬁnitas de Snarks 18 3.1 Snarks Flor . . . 19

3.2 Snarks de Blanuˇsa . . . 22

3.3 Snarks de Goldberg . . . 27

3.4 Snarks de Loupekine . . . 32

4 Colora¸c˜ao Total de Produtos de Snarks 43 4.1 Produtos Internos de Snarks . . . 44

4.1.1 Snarks Flor . . . 47

4.1.2 Snarks de Blanuˇsa . . . 52

5 Produtos Tipo 2 55

6 Trabalhos Futuros 62

(8)

Lista de Figuras

1.1 Grafo de Petersen, o primeiro snark . . . 5

2.1 A aresta a é incidente aos vértices 1 e 3. O grau do vértice 1 é 3. . . 8

2.2 Em negrito, o subgrafo induzido pelos vértices 1, 2 e 3. A sequência γ = 2, d, 1, f, 6, h, 5, g, 1, a, 3 é um caminho que não é simples entre 2 e 3. O conjunto {f, g} é um 2-corte do grafo. . . 10

2.3 Colora¸cões de vértices, arestas e total de um mesmo grafo, com o menor número de cores poss´ıvel . . . 11

2.4 Da esquerda para a direita representamos a quebra da aresta e, da direita para a esquerda representamos a emenda das semiarestas e1 e e2 13 2.5 Exemplo de 2-Constru¸c˜ao . . . 14

2.6 Exemplo de 3-Constru¸c˜ao . . . 16

3.1 O primeiro snark Flor F3 (`a esquerda) e o bloco LFi (`a direita). . . . 19

3.2 O segundo snark Flor, F5 . . . 20

3.3 4-colora¸c˜oes totais para F3 e LFi . . . 21

3.4 4-colora¸c˜ao total para F5 . . . 22

3.5 O subgrafo P−v,−w _{. . . 23}

3.6 Os dois subgrafos Pe1,e2 _{poss´ıveis . . . 23}

3.7 B1 e B2 . . . 24

3.8 B3 1 (em cima) e B23 (embaixo) . . . 25

3.11 Uma 4-colora¸c˜ao total equilibrada para B3 1 . . . 25

3.9 Colora¸c˜oes totais para B2 1 e B22 . . . 26

3.10 Colora¸c˜oes φ e φ� _{de P}−v,−w _{. . . 27}

3.12 Uma 4-colora¸c˜ao total equilibrada para B3 2 . . . 27

(9)

3.14 O snark G3 . . . 28

3.15 A dupla G∗ _{que ser´a adicionada ao snark G} i−2 . . . 29

3.16 O snark G5 . . . 29

3.17 Uma 4-colora¸c˜ao total para G3 . . . 31

3.18 Uma 4-colora¸c˜ao total para G∗ . . . 31

3.19 Uma 4-colora¸c˜ao total equilibrada para G5 . . . 32

3.20 O primeiro snark de Loupekine, L0 . . . 33

3.21 Bloco Bk . . . 33

3.22 Lk . . . 34

3.23 4-colora¸c˜ao total equilibrada para o primeiro snark de Loupekine . . . 36

3.24 Colora¸c˜oes de Bk e Pk para k≡ 1 mod 4 . . . 36

3.25 4-Colora¸c˜ao total equilibrada de L1 . . . 37

4.1 Produto interno entre os grafos G1 e G2 . . . 44

4.2 u1u2 é uma aresta interna, u2v2 é uma aresta intermediária e v2x2 é uma aresta externa . . . 47

4.3 Colora¸c˜oes para os produtos P0,5 nas arestas internas . . . 49

4.4 Colora¸c˜ao para os produtos P0,3 nas arestas intermedi´arias . . . 50

4.5 Colora¸c˜oes para os produtos P0,3 nas arestas externas . . . 51

4.6 Colora¸c˜oes para os produtos P0,5 nas arestas externas . . . 52

5.1 Superior: O tijolo B∗ _{(Tipo 2); inferior: o tijolo P}∗ _{(Classe 2) . . . . 56}

5.2 Um elemento da fam´ılia S∗ _{. . . 56}

5.3 Um s-quadrado e um s-domin´o . . . 56

5.4 4-Colora¸cões totais equilibradas para os snarks S1 e S2 (apenas as cores das arestas são representadas; as cores dos vértices podem ser deduzidas a partir dessas) . . . 57

(10)

5.5 O snark S (Tipo 2), com uma 5-colora¸cão total equilibrada . . . 58 5.6 Representa¸cão das 3-colora¸cões de arestas para os blocos L� _{. . . 59}

5.7 Tijolo L∗. . . 59 5.8 Tijolo L∗

k. . . 59

5.9 Os snarks T1 e T2 (apenas as cores das arestas s˜ao representadas; as

cores dos v´ertices podem ser deduzidas a partir dessas) . . . 60 5.10 O snark T (Tipo 2) . . . 61

(11)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

Um dos problemas mais famosos e importantes da Teoria dos Grafos é o de colora¸cão de mapas planares. Em 1852, o matemático sul-africano Francis Guthrie propôs, ins-pirado pela observa¸cão de um caso particular, que seriam necessárias apenas quatro cores para colorir qualquer mapa, de forma que duas regiões vizinhas não tivessem a mesma cor. Esse problema ficou conhecido como Conjectura das Quatro Cores e ficou em aberto por mais de um século, até que uma prova foi finalmente anunciada em 1976 por Appel e Haken (e publicada em 1989) [1], com aux´ılio computacional. A verifica¸cão dessa prova mostrou-se demasiado intricada e uma outra demonstra-¸cão foi dada por Robertson, Sanders, Seymour e Thomas em 1997 [29], ainda com uso de computadores. Tal questão, de fácil formula¸cão mas dif´ıcil de resolu¸cão, foi abordada por muitos matemáticos ao longo dos anos e uma das tentativas de solucioná-las deu origem ao objeto de nosso trabalho.

O estudo dos snarks surgiu em 1880, quando o f´ısico matemático Peter Tait abordou o problema de colora¸cão de mapas em termos de colora¸cão de arestas de grafos cúbicos [38], em uma tentativa de provar a (então) Conjectura das Quatro Cores. Tait provou que a validade da Conjectura era equivalente a todos os grafos cúbicos (simples e conexos) sem pontes e planares admitirem uma 3-colora¸cão de arestas. Apesar de verdadeira, tal equivalência ainda não tornava tão simples a prova da Conjectura. Uma década mais tarde, Petersen [26] mostrou o primeiro exemplo de um grafo cúbico sem pontes não-3-colorável (embora este grafo tenha aparecido em um artigo de Kempe, em 1886). A existência desse tipo de grafo não é trivial e a dificuldade de encontrá-los levou Martin Gardner a escrever sobre eles

(12)

Figura 1.1: Grafo de Petersen, o primeiro snark

em 1976 [19], comparando-os `a esquiva criatura apresentada no poema The Hunting of the Snark: An Agony in 8 Fits [9], de Lewis Carroll.

Desde sua descoberta, snarks têm se mostrado uma classe de grafos relevante, aparecendo como potenciais contraexemplos minimais para várias conjecturas, como a dos 5-fluxos de Tutte [40] e a de Berge-Fulkerson [18]. Outros problemas também já foram resolvidos através de snarks, como pode ser visto em [4].

Para além da modelagem de mapas, os problemas de colora¸cão de grafos possuem as mais diversas aplica¸cões e são alguns dos mais estudados na área. Uma colora¸cão total de um grafo é uma atribui¸cão de cores a seus vértices e arestas tal que elementos adjacentes ou incidentes não tenham a mesma cor. Os clássicos teoremas de Brooks e Vizing nos fornecem cotas superiores para o m´ınimo de cores necessárias para colorir os vértices ou as arestas, respectivamente, de um dado grafo. Para colora¸cão total, permanece em aberto a existência de um resultado equivalente.

Já sabemos, no entanto, que para grafos cúbicos é sempre poss´ıvel encontrar uma colora¸cão total com 4 ou 5 cores [30]. No primeiro caso, o grafo é dito Tipo 1 e, no segundo, Tipo 2. Também, dado um grafo, o problema de decidir se existe uma k-colora¸cão total para ele é dif´ıcil (de fato, o problema de decidir se um grafo cúbico admite colora¸cão total com 4 cores ou apenas com 5 cores é NP-completo, como mostrado por McDiarmid e Sánchez-Arroyo [25]) então seu estudo tem sido feito dentro de classes de grafos. Em 2003, Cavicchioli, Murgolo, Ruini e Spaggiari [10] apresentaram um abrangente estudo sobre classes especiais de grafos. Eles reportam que, com aux´ılio de computador, é poss´ıvel determinar que todos os snarks livres de quadrado e ciclicamente 4-aresta-conexos com até 30 vértices são Tipo 1. Tal achado os levou a propor o seguinte:

(13)

Quest˜ao 1. Qual ´e a ordem do menor snark (se houver) Tipo 2?

Outra questão relacionada a essa é a de colora¸cão total equilibrada, isto é, uma colora¸cão total de um grafo de modo que a diferen¸ca entre o número de vezes que cada cor é usada é de, no máximo, uma unidade. Wang [42] provou que o número de colora¸cão total equilibrada de um grafo cúbico é 4 ou 5. Esse problema de decisão é NP-completo, como mostrado por Dantas et al. [15], e nesse mesmo artigo foi proposta a seguinte questão:

Questão 2. Existe um grafo cúbico Tipo 1 com cintura maior que 4 e número de colora¸cão total equilibrada 5?

Colora¸cões totais equilibradas com 4 cores foram apresentadas para várias fam´ı-lias de snarks como os snarks Flor por Campos, Dantas e de Mello [8], para a fam´ılia de Goldberg por Dantas et al. [15], e para as fam´ılias de Blanuˇsa por Sasaki, Dantas, Figueiredo e Preissmann [35]. Porém, os exemplos de snarks Tipo 1 que não admi-tem uma 4-colora¸cão total equilibrada envolviam sempre quadrados ou triângulos. Assim como na questão anterior, os ciclos pequenos parecem exercer um importante papel nesse problema.

Uma 4-colora¸cão total para snarks de Loupekine havia sido constru´ıda por Sasaki et al. [35], mas essa não era equilibrada. Sendo essa uma fam´ılia de snarks com cintura grande, escolhemos este ponto de partida, e obtivemos uma colora¸cão total equilibrada para essa fam´ılia. Nos demais snarks e produtos estudados, procuramos questionar se a colora¸cão obtida era equilibrada ou poderia ser modificada de modo a tornar-se equilibrada.

No Cap´ıtulo 2, introduzimos as defini¸cões básicas de grafos bem como as espec´ı-ficas ao nosso problema. Em seguida, discutimos o problema de colora¸cão de grafos cúbicos e propriedades que podemos utilizar para restringir nosso estudo a grafos ‘não-triviais’ e vemos a defini¸cão de snark. Por fim, apresentamos alguns exemplos que ilustram como o problema de colora¸cão total se distancia do problema de colo-ra¸cão de arestas em grafos de cintura pequena, o que motiva a investiga¸cão de grafos com cintura maior.

(14)

No Cap´ıtulo 3, tratamos de colora¸cão total de fam´ılias infinitas de snarks. Estu-damos resultados anteriores para as fam´ılias de Blanuˇsa, Goldberg e Flor. A estraté-gia envolvida na constru¸cão de colora¸cões equilibradas para esses casos não pode ser estendida diretamente para a fam´ılia de snarks de Loupekine, embora o princ´ıpio de constru¸cão desses grafos seja semelhante. Assim, nesse trabalho nós investigamos os snarks de Loupekine e, inspirados pelos exemplos anteriores, construimos para essa fam´ılia uma colora¸cão em quatro partes, que mantém-se equilibrada a cada passo.

Em seguida, no Cap´ıtulo 4, nos dedicamos à opera¸cão de produto interno en-tre snarks. Discutimos algumas propriedades dessa opera¸cão e como ela é útil no estudo de colora¸cão. Questionamos se os resultados vistos no Cap´ıtulo 3 podem ser estendidos quando efetuamos o produto entre dois desses snarks e vemos alguns exemplos. Os resultados desses dois últimos cap´ıtulos foram apresentados no VII Latin American Workshop on Cliques in Graphs, realizado em 2016 na Argentina, e um resumo expandido relativo a essa apresenta¸cão foi submetido à revista Matemá-tica Contemporânea sob o t´ıtulo ‘On equitable total colouring of Loupekine Snarks and their products’ [14].

No Cap´ıtulo 5, estudamos os grafos Tipo 2 de cintura pequena obtidos por Brink-mann, Preissmann e Sasaki [5]. Utilizamos o produto interno para obter uma fam´ılia infinita de snarks Tipo 2. Nossos resultados desse cap´ıtulo foram aceitos para apre-senta¸cão no IX Latin and American Algorithms, Graphs and Optimization Sym-posium (LAGOS), que será realizado em Setembro de 2017 na cidade de Marseille, Fran¸ca, e o respectivo resumo extendido foi submetido à revista Electronic Notes in Discrete Mathematics sob o t´ıtulo de ‘On Type 2 Snarks and Dot Products’ [13].

Finalmente, no Cap´ıtulo 6, apresentamos nossas conclusões e um resumo dos atuais resultados, relativos às questões levantadas, para alguns dos snarks e fam´ılias de snarks mais conhecidos. Também mostramos tópicos para estudos futuros nesse tema.

Agora que as motiva¸cões e a organiza¸cão desse trabalho foram expostas, estamos prontos para dar in´ıcio à nossa investiga¸cão.

(15)

Cap´ıtulo 2

Preliminares

2.1 Deﬁni¸c˜

oes e Resultados B´

asicos

Um grafo G é uma dupla (V (G), E(G)) de conjuntos, em que E(G) é formado por pares não-ordenados de elementos distintos de V (G). Os elementos de V (G) são chamados de vértices e os de E(G) de arestas. Quando não houver risco de confusão, podemos escrever simplesmente V e E. Se e ={u, v} é um elemento de E, dizemos que e é incidente a u e v e que estes vértices são vizinhos; se duas arestas e e f são incidentes a um mesmo vértice, diremos que elas são arestas adjacentes. Podemos escrever e = uv se a aresta e é incidente aos vértices u e v. Um grafo é dito completo se há arestas entre todo par de vértices distintos.

O grau de um vértice v é o número de arestas incidentes a ele e é denotado por dG(v). Um grafo é k-regular se todos os seus vértices possuem grau k e é regular

se é k-regular para algum k. Um grafo 3_{− regular é dito c´}ubico. O grau máximo Δ(G) é o maior dentre os graus de vértices de G.

1

2

3

4 a

b

c

e

d

Figura 2.1: A aresta a é incidente aos vértices 1 e 3. O grau do vértice 1 é 3.

(16)

E(G�)⊆ E(G). Um subgrafo G� _{de G ´e dito induzido por um conjunto de v´ertices}

V� _{⊆ V (G) se tem V}� _{como seu conjunto de v´ertices e seu conjunto de arestas}

é formado por todas as arestas de G que são incidentes apenas a vértices de V�; analogamente, G�� _{é induzido pelo conjunto de arestas E}�� _{⊆ E(G) se E}��_{= E(G}��₎

e V (G��) é formado por todos os vértices que são incidentes às arestas de E��. Um caminho é um grafo simples cujos vértices podem ser arranjados em uma sequência linear tal que dois vértices são adjacentes se e somente se são consecutivos na sequência. Por extensão, também chamamos de caminho em um grafo G um subgrafo de G que é um caminho. Dizemos que γ é de tamanho ou comprimento n. Um caminho é dito simples se não há repeti¸cão de vértices internos na sequência e fechado se v0 = vn. Um ciclo é um caminho simples fechado e a cintura do grafo

´e o comprimento do menor ciclo desse grafo.

Um grafo é dito conexo se existe um caminho entre quaisquer dois de seus vér-tices; cada subgrafo conexo maximal é dito uma componente conexa de G. Seja W � V (G) um conjunto de vértices de G. Dada uma parti¸cão V (G) = W ∪V (G)\W dos vértices de um grafo G, o corte por arestas (ou simplesmente ‘corte’) defi-nido por essa parti¸cão é o conjunto de arestas C com uma extremidade em W e a outra em V (G)_{\W . Note que a dele¸cão de um corte aumenta o número de} compo-nentes conexas do grafo. Uma ponte é um corte formado por apenas uma aresta. Um k_{−corte é um corte formado por k arestas. Dizemos que um grafo conexo é} k-aresconexo (aqui diremos simplesmente k-conexo) se não possui cortes de ta-manho menor que k. Um c-corte é um corte C tal que cada um dos grafos induzidos por W e por V (G)\W após a dele¸cão de C contém um ciclo; se um grafo conexo não possui um c_{−corte de tamanho menor que k, ele é dito ciclicamente k−aresta} conexo. Sempre que não for especificado o contrário, sem perda de generalidade, trataremos de grafos conexos.

(17)

1

2

3

4 a

b

c

e

d

f

g

h

5

6

Figura 2.2: Em negrito, o subgrafo induzido pelos vértices 1, 2 e 3. A sequência γ = 2, d, 1, f, 6, h, 5, g, 1, a, 3 é um caminho que não é simples entre 2 e 3. O conjunto {f, g} é um 2-corte do grafo.

Uma colora¸cão de vértices de um grafo G é uma fun¸cão CV que associa a

cada vértice de G um elemento de um conjunto C, disjunto de V e de E, que chamaremos de cores de modo que vértices vizinhos não possuam a mesma cor. De forma semelhante, uma colora¸cão de arestas de um grafo G é uma fun¸cão CE que

associa a cada aresta de G uma cor e não associa cores iguais a arestas adjacentes. Diremos que um grafo é k−colorável se admite uma k− colora¸cão de arestas. Neste trabalho, sempre que nos referirmos simplesmente a ’colora¸cão’ estaremos tratando de uma colora¸cão de arestas. Diremos que um grafo cúbico é Classe 1 se admite uma 3-colora¸cão de arestas e que é Classe 2 em caso contrário.

Por fim, uma colora¸cão total de um grafo é uma fun¸cão que associa cores a ambos vértices e arestas, sendo que não são atribu´ıdas cores iguais a elementos adjacentes, vizinhos ou incidentes. Quando quisermos enfatizar que as cores de elementos adjacentes ou incidentes são diferentes, diremos que a colora¸cão total é própria. Diremos que um grafo cúbico é Tipo 1 se admite uma 4-colora¸cão total e que é Tipo 2 em caso contrário. Uma colora¸cão (de vértices, de arestas ou totais) será dita equilibrada se a diferen¸ca entre o número de vezes que cada cor é usada é de, no máximo, 1. Se um grafo cúbico admite uma 4-colora¸cão equilibrada, diremos que ele é equilibradamente Tipo 1 e, em caso contrário, diremos que é equilibradamente Tipo 2.

(18)

1

2

3

1

2

3

1

3

2

3

4

2

1

4

3

Figura 2.3: Colora¸cões de vértices, arestas e total de um mesmo grafo, com o menor número de cores poss´ıvel

O número cromático χ(G) de um grafo G é o menor número de cores para o qual existe uma colora¸cão de vértices, enquanto o ´ındice cromático χ�_{(G) é o}

menor número de cores para o qual existe uma colora¸cão de arestas. A investiga¸cão desses conceitos deu origem a dois teoremas clássicos da Teoria dos Grafos, que nos informam a quantidade de cores necessária para obter colora¸cões de um dado grafo. São eles:

Teorema 3. (Teorema de Brooks [6]) Se G é um grafo completo ou um ciclo ´ımpar, então χ(G) = Δ(G) + 1. Em caso contrário, χ(G)� Δ(G).

Teorema 4. (Teorema de Vizing [41]) O ´ındice crom´atico χ�_{(G) de um grafo}

G ´e igual a Δ(G) ou a Δ(G) + 1.

Esses dois fortes resultados inspiraram uma extensão para mundo de colora¸cão total. Analogamente às defini¸cões anteriores, definimos o número cromático total χ��_{(G) de um grafo G como o menor n´}_{umero de cores para o qual obtemos uma}

colora¸c˜ao total de G. Na d´ecada de 60, foi posto o seguinte:

Conjectura 5. (Conjectura da Colora¸cão Total (TCC) [2], [41]) O número cromático total χ��(G) é igual a Δ(G) + 1 ou Δ(G) + 2.

Tal conjectura foi respondida aﬁrmativamente para grafos c´ubicos por Rosen-feld [30] (uma prova concisa foi dada por Feng e Lin em [17]) mas permanece em aberto no caso geral.

Note que, semelhante ao Teorema de Vizing, a Conjectura da Colora¸cão Total apresenta apenas duas possibilidades para número cromático total: a cota inferior trivial para o problema ou esse número mais uma unidade. No entanto, enquanto

(19)

o Teorema de Brooks cita caracter´ısticas estruturais como critério para sabermos quando o número cromático de um grafo é exatamente seu grau máximo mais 1 ou é estritamente menor que esse número, a TCC não faz men¸cão a um critério desse tipo para classificar os grafos em Tipo 1 ou Tipo 2. Esse problema de classifica¸cão é NP-Completo, como demonstrado por McDiarmid e Sánchez-Arroyo [25]. Um problema pertence à classe NP se uma resposta pode ser verificada em tempo polinomial por uma máquina de Turing determin´ıstica e é dito NP-Completo se qualquer problema NP pode ser reduzido a ele em tempo polinomial - da´ı a importância dessa última classe. Mais informa¸cões sobre complexidade podem ser encontradas em [20].

Utilizaremos também o conceito de semigrafo, que é uma extensão do conceito de grafo com a introdu¸cão de ‘arestas pendentes’, que se ligam a apenas um vértice; estas serão chamadas de semiarestas. Definimos um semigrafo G como uma tripla (V (G), E(G), S(G)) em que V (G), E(G) e S(G) são conjuntos disjuntos, cujos ele-mentos são chamados vértices, arestas e semiarestas, respectivamente. Podemos escrever s = (x1,·) se a semiaresta s é incidente ao vértice x1. Colora¸cão,

conexi-dade, subgrafo e as demais no¸cões apresentadas anteriormente podem ser estendidas para semigrafos de forma natural, com as devidas adapta¸cões. O grafo subjacente a um semigrafo G = (V, E, S) é o grafo G� _{= (V, E).}

Uma jun¸cão de dois semigrafos G� e G��com o mesmo número k de semiarestas é um grafo com todos os vértices e arestas em ambos G� _{e G}�� _{mais k arestas disjuntas}

(x, y) tais que (x,·) ´e uma semiaresta de G� _{e (y,}_{·) ´e uma semiaresta de G}��_.

Denotamos por G−v _{o semigrafo obtido a partir de G pela dele¸c˜ao do v´ertice v. As}

arestas (v, x) incidentes a v tornam-se semiarestas (x,·) em G−v_{. Se deletamos dois}

v´ertices vizinhos, G−v,−w _{tem dois pares de semiarestas (x}

1,·), (x2,·) e (y1,·), (y2,·),

em que x1 e x2 eram vizinhos de v e y1, y2 eram vizinhos de w.

Duas opera¸c˜oes que usaremos frequentemente entre grafos e semigrafos s˜ao as de quebra e emenda de arestas. Seja G um grafo (ou, possivelmente, um semigrafo) e e = (x, y) uma aresta de G. A quebra de e em G produz o semigrafo Ge _{que tem}

os mesmos v´ertices que G, sendo E(Ge_{) = E(G)}_{\{e} e S(G}e_{) = S(G)}_{∪ {s}

1, s2}, em

que s1 = (x,·) e s2 = (y,·) (se G ´e um grafo, consideramos S(G) = ∅). Os v´ertices

x e y aos quais e ´e incidente formam um par de v´ertices. De forma semelhante, a emenda de duas semiarestas s1 = (x,·) e s2 = (y,·) em um semigrafo G produz

(20)

um semigrafo G� com os mesmos v´ertices de G e com E(G�) = E(G)∪ {e}, em que e = (x, y), e S(G�_{) = S(G)}_\{s

1, s2} (mais uma vez, se S(G�) = ∅, G� ´e um grafo).

As opera¸c˜oes de quebra e emenda ser˜ao especialmente utilizadas quando quisermos construir grafos a partir de dois outros grafos dados.

e

1

e

2

Figura 2.4: Da esquerda para a direita representamos a quebra da aresta e, da direita para a esquerda representamos a emenda das semiarestas e1 e e2

2.2 Colora¸c˜

ao de Grafos C´

ubicos

Chamamos de snark um grafo cúbico sem ponte que não admite 3-colora¸cão de ares-tas. Na Introdu¸cão, mencionamos os grafos cúbicos ciclicamente 4-aresta-conexos. Vejamos que podemos nos restringir a esses grafos no estudo de snarks.

Um resultado clássico no estudo de colora¸cões é o Lema de Paridade, posto independentemente por Blanuˇsa e Blanche Descartes:

Lema 6. (Lema de Paridade [3], [16]) Seja G um grafo c´ubico com arestas 3-coloridas. Se um corte de n arestas tem ni arestas de cor i, ent˜ao n1 ≡ n2 ≡ n3 ≡

n(mod2).

Demonstra¸cão. Sejam G1 e G2 as componentes conexas definidas pela dele¸cão em

G do n-corte C e V1, V2 seus respectivos conjuntos de v´ertices. Note que cada

aresta em C possui um extremo em V1 e outro em V2. Sem perda de generalidade,

consideraremos os vértices de V1: como G é cúbico e suas arestas estão 3-coloridas,

cada um desses vértices é extremo de exatamente uma aresta de cada cor, sendo que, para cada cor i, um vértice v de V1 é extremo de uma aresta do corte de cor i

ou é extremo da aresta vw de cor i, com w∈ V1. Assim, o número de vértices em V1

é igual ao número de arestas de cor i no corte mais um número par (correspondente às duplas de vértices v e w das arestas vw dessa cor que não estão no corte) isto é,

(21)

n1 ≡ n2 ≡ n3 ≡ |V1| ≡ |V2| ≡ n(mod2),

como desejávamos, sendo que a última equivalência segue diretamente da soma de n1, n2 e n3.

Corolário 7. Um grafo cúbico que possui ponte não admite 3-colora¸cão de arestas. Demonstra¸cão. É consequência direta do Lema de Paridade, pois a cor da ponte teria paridade diferente das demais, que não aparecem no corte.

Note que a contagem dada pelo Lema de Paridade se aplica também a semia-restas, com demonstra¸cão análoga: nesse caso, transformamos as semiarestas em arestas adicionando vértices como seus extremos. Assim, as semiarestas passam a ser arestas de um corte e podemos aplicar o argumento anterior. As colora¸cões en-contradas para esse corte são naturalmente aplicadas às semiarestas correspondentes.

Vejamos também duas constru¸cões de grafos cúbicos dadas por Isaacs [22]. 2-Constru¸cão (Isaacs [22]) Sejam G e H gráficos cúbicos e x1x2, y1y2 duas

arestas de G e H, respectivamente. O grafo G2H é obtido por 2-Constru¸cão a partir de G e H usando as arestas x1x2 e y1y2 se é o resultado das emendas das

semiarestas (xi,·), (yi,·), obtidas pelas quebras das duas arestas originais. Note que

₂

Figura 2.5: Exemplo de 2-Constru¸c˜ao

Lema 8. (Isaacs [22]) O grafo G2H obtido por 2-Constru¸cão é Classe 1 se e somente se G e H são Classe 1.

Demonstra¸c˜ao. Sejam e = (x1, x2) uma aresta de G e f = (y1, y2) uma aresta de H.

(22)

então as 3-colora¸cões de G e H se estendem a uma 3-colora¸cão de G2H. Por outro lado, pelo Lema de Paridade, as semiarestas em Ge _{possuem a mesma cor (assim}

como as de Hf_{) e uma colora¸cão de G}e_{induz uma colora¸cão de G, atribuindo à aresta}

(x1, x2) a mesma cor de (x1,·) (analogamente para H). Assim, uma 3-colora¸c˜ao de

G2H induz 3-colora¸c˜oes de G e de H (pela quebra de (x1, y1) e (x2, y2)).

Antes do próximo resultado sobre essa constru¸cão, precisaremos de um Lema. Lema 9. Se G é um grafo com subgrafo G∗ _{Classe 2 (Tipo 2) e Δ(G}∗_{) = Δ(G),}

ent˜ao G ´e Classe 2 (resp. Tipo 2).

Demonstra¸cão. Se G admite uma Δ(G)-colora¸cão de arestas (resp. Δ(G) + 1-colora¸cão total), sua restri¸cão induz uma 1-colora¸cão de G∗. Então, se Δ(G∗) = Δ(G), isso significa que G∗ _{admite uma Δ(G}∗_{)-colora¸cão de arestas (resp. Δ(G}∗_{) +}

1-colora¸cão total), o que contradiz a hipótese de G∗ ser Classe 2 (resp. Tipo 2). Corolário 10. Sejam G um grafo cúbico e H um grafo cúbico. Se Ge _{é Tipo 2,}

ent˜ao G2H obtido utilizando a aresta e ´e Tipo 2.

Vejamos que não obtemos por 2-Constru¸cão um grafo Tipo 2 a partir de grafos que não são Tipo 2.

Proposi¸cão 11. (Isaacs [22]) Se G e H são grafos cúbicos Tipo 1, então G2H é um grafo Tipo 1.

Demonstra¸cão. Rotulamos os vértices usados na constru¸cão como na Figura 2.5. Sem perda de generalidade, podemos assumir que x1 e y2 possuem cor 1, que os

v´ertices x2 e y1 possuem cor 2 e que as arestas e e f possuem cor 3. Dessa forma,

se atribuimos cor 3 às arestas (x1, y1) e (x2, y2), uma 4-colora¸cão total de G2H é

obtida naturalmente pela extens˜ao das colora¸c˜oes de G e H.

3-Constru¸cão (Isaacs [22]) Sejam G e H gráficos cúbicos e x e y vértices de G e H, respectivamente. O grafo G3H é obtido por 3-Constru¸cão a partir de G e H usando os vértices x e y se é o resultado das emendas das semiarestas (xi,·),

(23)

vizinhos de y em H. Note que G3H é ainda um grafo cúbico. Obtemos então dois resultados semelhantes aos anteriores.

x

1

x

y

_y

1 2

y

3

y

Demonstra¸cão. A demonstra¸cão é semelhante à do Lema 8: Sem perda de gene-ralidade, podemos supor que (xi, x) e (yi, y) possuem cor i. Assim, as respectivas

arestas (xi,·), (yi,·) e (xi, yi) também possuem cor i e 3-colora¸cões de G e H são

preservadas em G3H. Por outro lado, se G3H admite uma 3-colora¸cão de arestas, pelo Lema de Paridade, cada uma das arestas no corte possui uma cor diferente. Assim, podemos adicionar um vértice em cada subgrafo pelo corte e conectar a esses vértices as três arestas do corte, obtendo 3-colora¸cões de arestas para G e H. Corolário 13. Sejam G um grafo cúbico e H um grafo cúbico. Se G−x é Tipo 2, então G3H obtido utilizando o vértice x é Tipo 2.

Demonstra¸c˜ao. Mais uma vez, segue diretamente do Lema 9.

Finalmente, vejamos o Teorema que justifica a classifica¸cão dos grafos cúbicos de corte pequeno como ‘triviais’ para nosso estudo.

Teorema 14. (Isaacs [22]) Seja G um grafo cúbico conexo não-3-colorável, com um c-corte de tamanho 2 (resp. c-corte de tamanho 3). Então G pode ser obtido por 2-Constru¸cão (resp. 3-Constru¸cão) a partir de um grafo cúbico H não-3-colorável que possui menos vértices que G.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que G possui um c-corte _{e1, e2}, com e1 = (x1, y1) e e2 =

(24)

e G�₂ e, emendando as semiarestas de uma componente entre elas mesmas, obtemos grafos cúbicos conexos G1 e G2. Já que, por hipótese, G não admite 3-colora¸cão

de arestas pelo Lema 8, s.p.g., G1 é Classe 2; como a 2-constru¸cão não cria novos

vértices e G2 não é vazio, G1 tem menos vértices que G, como desejávamos. Para

um c-corte de tamanho 3, a demonstra¸cão é análoga, utilizando o Lema 12.

Por esses resultados, Isaacs qualificou os grafos cúbicos com ponte e c-corte de tamanho 2 ou 3 de triviais em rela¸cão à colora¸cão de arestas e propôs concentrar esse estudo nos grafos cúbicos ciclicamente 4-aresta-conexos. Aqui acaba nossa exposi¸cão sobre fatos básicos de colora¸cão de grafos cúbicos. Estamos prontos para explorar as colora¸cões de fam´ılias infinitas de snarks.

(25)

Cap´ıtulo 3

Colora¸c˜

ao Total Equilibrada de

Fam´ılias Inﬁnitas de Snarks

Nesse cap´ıtulo, veremos colora¸cões para algumas das fam´ılias mais estudadas de snarks. São elas as fam´ılias Flor, de Blanuˇsa, de Goldberg e de Loupekine. O que essas fam´ılias possuem em comum é que são constru´ıdas por processos iterativos a partir da adi¸cão de blocos de modo que os grafos obtidos são, ainda, snarks. Essa propriedade confere certa simetria aos elementos dessas fam´ılias e nos permite encontrar infinitas colora¸cões a partir de um número finito de configura¸cões. Para as três primeiras dessas fam´ılias, precisamos colorir apenas dois subgrafos para que possamos estender essa colora¸cão para toda a fam´ılia. Porém, esse não é o caso da fam´ılia de Loupekine e apresentar uma 4-colora¸cão total equilibrada dessa fam´ılia é um dos nossos objetivos com esse trabalho.

Primeiro, estudaremos os snarks Flor, cuja estrutura é a mais simples dentre os grafos tratados aqui e é também diferente das demais. Os snarks de Loupekine, Blanuˇsa e Goldberg são constitu´ıdos de cópias de um subgrafo do grafo de Petersen muito parecido com o grafo original. Veremos como se dá a constru¸cão dessas três fam´ılias utilizando esses subgrafos. Para os snarks de Blanuˇsa e Goldberg, apresentamos as colora¸cões já estabelecidas em trabalhos anteriores. Finalmente, na se¸cão 3.4, apresentamos a nossa 4-colora¸cão total da fam´ılia de Loupekine.

(26)

3.1 Snarks Flor

Os snarks Flor formam a primeira fam´ılia infinita de snarks, tendo sido descoberta independentemente por Grinberg (que não a publicou) e por Isaacs [22]. O primeiro elemento dessa fam´ılia, F3, é na verdade o grafo de Tietze [39], cujo mergulho na

Faixa de Möbius forma um mapa que é colorido com, no m´ınimo, 6 cores (lembre que quaisquer mapas no plano podem ser coloridos com 4). Eles são formados por ‘pétalas’ em formato de Y conectadas entre si e dispostas em torno de um ‘cálice’ central, que é um n-ágono, como podemos ver na Figura 3.1. Novos snarks são obtidos adicionando pares de pétalas ao snark anterior e aumentanto o n-ágono de maneira a acomodá-las. Note que, para F3, o cálice é um triângulo que, se contra´ıdo,

origina o grafo de Petersen.

u1 u2 u3 v1 v2 v3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 ui ui-1 vi vi-1 xi xi-1 yi yi-1

Figura 3.1: O primeiro snark Flor F3 (`a esquerda) e o bloco LFi (`a direita).

Mais precisamente, a constru¸c˜ao de um snark Flor ´e a seguinte: sejam F2n+1,

n� 1 os elementos da fam´ılia de Snarks Flor, em que Fi tem ordem 4i. Deﬁnimos a

p´etala P ti como o grafo com conjunto de v´ertices V (P ti) = {ui, vi, xi, yi} e conjunto

de arestas E(P ti) ={uivi, xivi, yivi}. As arestas usadas para unir as p´etalas P ti e

P tj (com uma exce¸cão, no primeiro snark), são ditas arestas de conexão e definimos

um conjunto delas como Eij ={uiuj, xixj, yiyj}. Por ﬁm, para cada i ´ımpar e maior

que 5, deﬁnimos o bloco LFi como o grafo com v´ertices V (LFi) = V (P ti−1)∪V (P ti)

e arestas E(LFi) = E(P ti−1)∪ E(P ti)∪ E(i−1)i, como ilustrado na Figura 3.1. Este

(27)

u4 u5 v4 v5 x4 x5 y5 y4 u1 v1 x1 y1 u2 v2 x2 y2 u3 v3 x3 y3

Figura 3.2: O segundo snark Flor, F5

Então o primeiro snark flor F3 é definido como a união de P t1, P t2, P t3 e

E23∪ E31 ∪ {u1u2, x1y2, y1x2}. Para cada i ´ımpar maior que 5, Fi ´e obtido de

Fi−2 e LFi quando unimos seus conjuntos de v´ertices e de arestas e substituimos

E_(i−2)1 (em destaque na Figura 3.1) por E_{(i−2)(i−1)}_{∪ E}i1. A Figura 3.2 mostra F5;

em destaque est˜ao as arestas em E(i−2)(i−1)∪ Ei1.

Uma colora¸c˜ao total equilibrada com 4 cores para essa fam´ılia foi determinada por Campos, Dantas e Mello:

Teorema 15. (Campos et al. [8]) Cada snark Fi, i � 3 ´ımpar, da fam´ılia Flor

´e Tipo 1.

Demonstra¸cão. Colora¸cões para o primeiro Flor e todos os blocos LFi são ilustradas

em 3.3. Para veriﬁcarmos se essa colora¸c˜ao serve no caso de F5, precisamos analisar

as cores presentes nas conexões entre as pétalas P t3, P t4 e entre as pétalas P t5, P t1.

Primeiro, deletamos as arestas (u3, u1), (x3, x1) e (y3, y1) de forma que cada um

desses vértices agora não é extremo de uma aresta de cor 4. Como os vértices de grau 2 no bloco LF5 também não são extremos de arestas de cor 4, podemos usar

essa cor em todas as novas arestas de conexão. Resta ver que a cor dos vértices são compat´ıveis. Mas u4 e u5 são de cor 2 e 3, respectivamente, então podem ser

(28)

x4 e y4 (cores 3 e 1) a x3 e y3 (cores 2 e 3) e fazemos de forma semelhante com x5

e y5 (cores 1 e 2) a x1 e y1 (cores 3 e 1). Assim, a colora¸c˜ao obtida para F5 ´e

pr´opria, como pode ser visto na Figura 3.4. Para os snarks Flor a partir de F5, a

demonstra¸c˜ao ´e essencialmente a mesma, exceto que agora as cores de xi−2 e yi−2

são 1 e 2, respectivamente. O argumento anterior permanece válido já que essas cores são ainda diferentes das de xi−1 e yi−1 (de fato, eles são vizinhos de vértices

de cor 1 e 2 mesmo no bloco LFi). Então, gra¸cas à conserva¸cão dessa configura¸cão

de cores nos elementos envolvidos na amplia¸cão do snark, podemos garantir que a colora¸cão do novo snark é ainda própria e o Teorema segue, por indu¸cão.

2 3 3 4 4 4 1 2 3 3 4 4 1 2 1 1 2 4 1 2 3 4 4 1 1 1 2 2 3 3

₁

2 ₁

2

4

3

(29)

2 ₃ 3 4 4 4 1 2 3 3 4 4 1 2 1 1 2 4 1 2 3 4 4 1 1 ₁ 2 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 2 3

Figura 3.4: 4-colora¸c˜ao total para F5

Corol´ario 16. Cada snark Fi, i � 3 ´ımpar, da fam´ılia Flor admite uma colora¸c˜ao

Tipo 1 equilibrada.

Demonstra¸cão. A colora¸cão exibida para o snark F3 é equilibrada, sendo as cores 1

e 4 atribu´ıdas a 8 elementos e as cores 2 e 3 a 7 elementos. A adi¸cão de um grafo de conexão (com as devidas dele¸cões e adi¸cões de arestas) contribui com 5 elementos de cada cor, preservando o equil´ıbrio de colora¸cão do snark anterior.

3.2 Snarks de Blanuˇ

sa

Os dois snarks originais de Blanuˇsa foram os primeiros a serem descobertos [3] após de Petersen e são os únicos snarks com 18 vértices [28]. As fam´ılias baseadas nesses snarks foram constru´ıdas por Watkins [43] a partir de grafos de Petersen usando a opera¸cão de produto interno, discutida no Cap´ıtulo 4. Neste cap´ıtulo, porém, abordaremos essa constru¸cão em termos da adi¸cão de blocos fundamentais, como fazemos para as demais fam´ılias.

Primeiro, note que devido `a alta simetria do grafo de Petersen P , todas as suas arestas (v, w) s˜ao equivalentes entre si de modo que existe apenas um semigrafo

(30)

Pv = P−v,−w, a menos de isomorfismos. Em P−v,−w, os dois pares de vértices são

equivalentes e os dois pares de semiarestas tamb´em.

Figura 3.5: O subgrafo P−v,−w

Al´em disso, existem apenas duas maneiras de escolher pares de arestas e1 e e2

não-adjacentes em um grafo de Petersen, sejam elas duas arestas à distância 2 ou duas arestas à distância 3. Assim, existem apenas dois semigrafos Pe1,e2_.

Figura 3.6: Os dois subgrafos Pe1,e2 _poss´ıveis

Dessa maneira, se emendamos as semiarestas de dois semigrafos P−v,−w _{e P}e1,e2

par a par, podemos obter apenas dois grafos diferentes B1 e B2, que s˜ao ditos o

primeiro e o segundo snark de Blanuˇsa, ilustrados na Figura 3.7.

De fato, estes dois grafos não são isomorfos e são chamados de Blanuˇsa 1 e Blanuˇsa 2. Eles são os primeiros snarks nas fam´ılias B1 e B2, cujos membros são

constru´ıdos adicionando ao grafo anterior novos blocos P−v,−w_{. Para isso, deletamos}

as arestas e e f que conectam os vértices v e w ao bloco seguinte e o novo bloco é conectado aos vértices aos quais as arestas e e f eram incidentes. Um exemplo dos segundos elementos em cada uma dessas fam´ılias pode ser visto na Figura 3.8. Note que no novo grafo rotulamos duas novas arestas e e f , escolhidas da mesma

(31)

e f v w e f v w Figura 3.7: B1 e B2

forma que as anteriores. Escrevemos Bk

n para o snark de Blanuˇsa da n-´esima fam´ılia

formado por k blocos, ou seja, o (k_{−1)-´esimo elemento dessa fam´ılia; nessa nota¸c˜ao,} B1 = B12 e B2 = B22.

Foi provado por Sasaki et al. que snarks de Blanuˇsa são Tipo 1 e, além disso, as colora¸cões exibidas nesse trabalho são equilibradas:

Teorema 17. (Sasaki et al. [35]) Os snarks de Blanuˇsa admitem colora¸c˜oes Tipo 1 equilibradas.

Demonstra¸c˜ao. As colora¸c˜oes dadas para B2

1 e B22 na Figura 3.9 s˜ao 4-colora¸c˜oes

totais próprias. Note que as cores das arestas e e f são as mesmas das semiarestas do bloco adicional na colora¸cão φ, ilustrada na Figura 3.10, então podemos emendar as semiarestas resultantes da quebra de e e f , par a par, com as do bloco e a cor das novas arestas será a mesma usadas nas semiarestas. Também, os vértices expostos no snark original, à esquerda, são de cor 3 e serão conectados a vértices de cor 1 e 2 em P−v,−w_{; à direita, são de cor 4 e 1 e serão conectados a vértices de cor 1 e}

2, respectivamente (note que as cores dos elementos envolvidos ´e a mesma para as duas fam´ılias). Assim, a colora¸c˜ao obtida para B3

(32)

e f v w e f v w Figura 3.8: B3

1 (em cima) e B23 (embaixo)

1 ₁ 2 2 3 2 ₃ 3 4 3 1 3 4 2 4 3 1 4 2 1 4 4 3 1 4 3 2 2 4 3 1 2 1 2 3 3 1 4 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

Figura 3.11: Uma 4-colora¸c˜ao total equilibrada para B3 1

Agora, dado um snark de Blanuˇsa B3

n, n = 1, 2 colorido dessa forma, os v´ertices

expostos no primeiro bloco quando quebramos e e f permanecem os mesmos, na cor 3, bem como a cor das semiarestas criadas. Nos vértices do lado direito, porém, teremos as cores 2 e 4, enquanto que da colora¸cão φ obtemos as cores 2 e 3 para os vértices que devem ser conectados a esses. Por isso, no segundo bloco adicionado

(33)

1 ₁ 2 2 3 2 ₃ 3 4 3 1 3 4 2 4 3 1 4 2 1 4 4 3 1 4 3 2 2 4 3 1 2 1 2 3 3 1 4 2 3 1 2 4 4 1 4 2 4 1 3 2 4 3 2 2 1 1 2 4 2 3 1 3 1 4 2 3 1 2 3 3 1 1 4 ₁ 2 2 3 2 3 2 4 4 3 4 1 2 4 4 1

Figura 3.9: Colora¸c˜oes totais para B2 1 e B22

usamos a colora¸cão φ�, na qual esses vértices possuem cores 3 e 1, respectivamente. Procedendo dessa maneira, não só obtemos uma colora¸cão própria para B4

1 e B24

como fazemos os próximos vértices do lado direito a serem expostos voltarem à con-figura¸cão original, 4 e 1. Podemos então proceder por indu¸cão e colorir os próximos blocos adicionados, alternadamente, com φ e φ�, o que produz 4-colora¸cões totais para todos os snarks em ambas as fam´ılias.

Por ﬁm, as colora¸c˜oes iniciais, de B2

1 e B22, eram equilibradas, com trˆes cores

sendo usadas em 11 elementos e uma cor em 12. A adi¸cão de um bloco contribui com 5 elementos de cada cor, o que mantém o equil´ıbrio das colora¸cões.

(34)

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ₃ 3 3 3 3 4 4 4 4 4 1 1 1 ₁ 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 Figura 3.10: Colora¸c˜oes φ e φ� de P−v,−w 4 2 4 1 3 2 4 3 2 2 1 1 2 4 2 3 1 3 1 4 2 3 1 2 3 3 1 1 4 ₁ 2 2 3 2 3 2 4 4 3 4 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 1 2 1 2 4 4

Figura 3.12: Uma 4-colora¸c˜ao total equilibrada para B3 2

3.3 Snarks de Goldberg

Os grafos de Goldberg foram apresentados em 1978 [21] como uma fam´ılia infinita de contraexemplos para a Conjectura do Grafo Cr´ıtico (mais detalhes em [12]). Eles são formados por blocos BGi obtidos pela dele¸cão de um caminho de tamanho 3 em

um grafo de Petersen dispostos ao redor de um ciclo de tamanho ´ımpar. ui

vi

zi wi

si ti

xi yi

(35)

O primeiro grafo G3 contém três dessas unidades, em torno de um triângulo. Os

demais snarks Gi surgem por indu¸c˜ao, adicionando a Gi−2 uma dupla de blocos, que

chamaremos de G∗, entre BGi−2 e BG1. u1 v1 z1 w1 s1 t1 x1 y1 u2 u3 v2 v3 _s 2 s3 t2 t3 z2 z3 w2 w3 x₂ x3 y2 y3 Figura 3.14: O snark G3

(36)

ui-1 vi-1 zi-1 wi-1 si-1 ti-1 xi-1 yi-1 ui vi zi wi si ti xi yi

Figura 3.15: A dupla G∗ _{que ser´a adicionada ao snark G} i−2 u4 v4 z4 w4 s4 t4 x4 y4 u5 v5 z5 w5 s5 t5 x5 y5 u1 v1 z1 w1 s1 t1 x1 y₁ u2 v2 s2 t2 z2 w2 x2 y2 u3 v3 s3 t3 z3 w3 x3 y3 Figura 3.16: O snark G5

Campos et al. [8] mostraram que os snarks de Goldberg admitem 4-colora¸cões totais, mas as colora¸cões encontradas nesse trabalho não eram equilibradas. Foi provado por Dantas et al. que eles admitem 4-colora¸cões totais equilibradas:

Teorema 18. (Dantas et al. [15]) Todos os Gi, i ´ımpar, snarks de Goldberg

(37)

Demonstra¸c˜ao. A Figura 3.17 mostra uma 4-colora¸c˜ao total equilibrada para G3.

Agora, considere a colora¸c˜ao das duplas G∗ _{dada na Figura 3.18. Note que as}

arestas tracejadas s˜ao das cores 3, 1 e 2, respectivamente, e os v´ertices u4, s4 e x4

em BG5 não estão conectados a arestas dessas cores, respectivamente. Além disso,

esses v´ertices possuem as mesmas cores que os vizinhos de BG3 em BG1, portanto,

não há conflito nessa parte da colora¸cão de BG5. Por outro lado, u5, t5 e y5 também

não estão conectados a arestas coloridas com 3, 1 e 2, respectivamente, e suas cores são diferentes das de u1, s1, x1. Assim, a colora¸cão que obtemos para G5 é própria.

Se procedemos dessa maneira para colorir Gi−2, as rela¸c˜oes entre as cores de BGi

e BG1 são as mesmas de quando i = 5. Também, para i� 7, os vértices ui−2, ti−2,

yi−2 possuem cores 1, 3 e 3, que s˜ao diferentes das de ui−1, si−1 e xi−1, e as cores

3, 1, 2 podem ser usadas para as arestas entre BGi−2 e BGi−1. Ent˜ao as colora¸c˜oes

obtidas para todos os snarks Gi, i� 3 ´ımpar, também são próprias.

Por fim, a cada passo são adicionados 10 elementos de cada cor e, portanto, as colora¸cões obtidas são sempre equilibradas.

(38)

4 2 1 4 2 3 2 4 4 1 1 3 3 3 3 2 1 4 1 2 4 3 4 2 2 1 4 3 1 3 2 4 3 4 2 4 1 3 4 1 2 2 2 4 4 1 3 3 3 1 4 ₂ 3 1 1 2 1 2 3 1

Figura 3.17: Uma 4-colora¸c˜ao total para G3

1 3 4 1 2 4 1 4 4 2 3 3 2 3 3 2 1 3 1 4 4 4 3 2 3 2 4 4 1 1 3 2 1 3 2 ₄ 1

(39)

4 2 1 4 2 3 2 4 4 1 1 3 3 3 3 2 4 1 2 1 1 2 3 4 4 4 2 4 3 3 3 ₃ 1 4 3 3 4 1 2 4 4 2 1 1 2 2 3 4 2 2 4 1 3 4 1 2 2 2 4 4 1 3 3 3 1 1 4 1 2 4 3 4 2 2 1 4 3 1 3 2 4 3 1 2 1 2 1 3 1 2 2 4 3 2 1 3 1 4 1 3

Figura 3.19: Uma 4-colora¸c˜ao total equilibrada para G5

3.4 Snarks de Loupekine

Finalmente, estudamos os snarks de Loupekine e trazemos os principais resultados desse cap´ıtulo. As duas fam´ılias de Loupekine foram introduzidas por Isaacs [23] e são constru´ıdas usando os mesmos blocos fundamentais que os grafos de Goldberg, com duas diferen¸cas: os três primeiros blocos são unidos a um único vértice central e as duplas de blocos adicionadas possuem um outro formato. Nesse trabalho, estudamos apenas a primeira fam´ılia, para a qual obtivemos uma colora¸cão total equilibrada.

Mais precisamente, o primeiro grafo L0nessa fam´ılia ´e o ilustrado na Figura 3.20.

Denotamos por Lﬁxed o subgrafo induzido pelos v´ertices {u1, . . . , u7, v1, . . . , v7, x}

(40)

induzido por {w1, . . . w7, x}. O segundo snark L1 ´e constru´ıdo pela dele¸c˜ao em

L0 das arestas dos tipos wivj e wiuj, para i, j = 1, ..., 7, e pela adi¸c˜ao do bloco B,

ilustrado 3.21. Ao bloco adicionado a Lk−1 damos o nome de Bk e seus v´ertices s˜ao

rotulados de acordo. Os próximos elementos na fam´ılia são obtidos pela adi¸cão de outros blocos Bi, conectando os vértices de baixo do último bloco adicionado aos

vértices superiores do novo bloco e os vértices inferiores desse último com os de Pk,

como mostrado na Figura 3.22.

v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 w1 w2 w3 w4 w₅ w6 w7 x u1 u2 u3 _u 4 u5 u6 u7

Figura 3.20: O primeiro snark de Loupekine, L0

yk2 yk6 _x k3 xk7 yk3 yk7 xk2 xk6 yk1 xk1 yk4 yk5 xk5 xk4 Figura 3.21: Bloco Bk

(41)

...

Lfixed B1 B2 B3 Bk Pk B4 Figura 3.22: Lk

(42)

Nosso objetivo nessa parte do trabalho foi encontrar uma colora¸cão total equili-brada para esses snarks. Para isso, estudamos os resultados apresentados no in´ıcio desse cap´ıtulo. No entanto, as estratégias utilizadas para os demais snarks não po-deriam ser estendidas diretamente para esse caso. Como provado anteriormente, os blocos adicionados aos snark Flor não interferem de modo algum no equil´ıbrio de cores do grafo e a configura¸cão de cores da região onde o próximo bloco será adicionado também permanece a mesma; algo semelhante acontece na fam´ılia de Goldberg. Já nos snarks de Blanuˇsa, o equil´ıbrio é mantido a cada passo mas as configura¸cões de cores mudam e, por isso, é necessário alternar duas colora¸cões para os novos blocos.

Para os snarks de Loupekine, nos deparamos com ambas as dificuldades. Pri-meiro, o número de elementos novos no grafo a cada passo não é múltiplo de 4. Como consequência, será adicionado a uma das classes de cores um elemento a me-nos que às demais. Assim, precisamos ter o cuidado de que essa cor deficitária não seja a mesma em todos os passos e não podemos atribuir a mesma colora¸cão a todas as duplas adicionadas. Para resolver esse problema, construimos quatro colora¸cões para as duplas, cada uma compat´ıvel com a anterior. Porém, essa solu¸cão apenas não foi suficiente: necessitamos também recolorir a parte inferior do grafo, o sub-grafo Pk, a cada passo, de modo que ao final a colora¸cão obtida fosse própria. Essa

é a essência da demonstra¸cão que trazemos em seguida.

Teorema 19. Todos os membros da fam´ılia de Loupekine admitem colora¸c˜oes Tipo 1 equilibradas.

(43)

1

2

3

4

Figura 3.23: 4-colora¸c˜ao total equilibrada para o primeiro snark de Loupekine

Demonstra¸cão. O primeiro grafo nessa fam´ılia admite uma 4-colora¸cão total, como ilustrado na Figura 3.23; a colora¸cão de Lfixed é sempre a mesma para todos os

membros da fam´ılia. Porém, os blocos adicionados aqui não possuem um número múltiplo de quatro de elementos e, portanto, eles mudam o equil´ıbrio entre o número de elementos de cada cor. Assim, constru´ımos quatro colora¸cões para esses blocos - e os respectivos Pk - de forma que após adicionarmos quatro blocos, chegamos a

uma colora¸cão semelhante à inicial e o processo pode ser repetido. As colora¸cões de Bk e Pk, são as mostradas nas Figuras 3.24 a 3.30.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 2 3 3 3 4 4 4 ₄ 4 3

(44)

1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 3

Figura 3.25: 4-Colora¸c˜ao total equilibrada de L1

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 _{3 3} 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 ₃ ₂ ₁ 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 1

(45)

1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 _{3 3} 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 1 3 2 3 3 2 4 2

Figura 3.27: 4-Colora¸c˜ao total equilibrada de L2

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ₂ 2 2 2 ₃ 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 2 4 4 3 3 4 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4

(46)

1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 _{3 3} 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ₂ 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 2 4 4 3 3 4 3 2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 1 4 2 3

(47)

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 Figura 3.30: Colora¸c˜oes de Bk e Pk para k ≡ 0 mod 4

(48)

1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ₂ 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 _{3 3} 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ₂ 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 2 4 4 3 3 4 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4

(49)

Note que, a cada passo, a colora¸cão do novo bloco encaixa com a do grafo prévio, de modo que a colora¸cão obtida é própria. Agora, precisamos verificar que essas colora¸cões são equilibradas.

Dada uma colora¸c˜ao total C de um grafo G, seja ϕC(c) o n´umero de elementos

de G coloridos com a cor c. Para Lfixed, a distribui¸cão de cores é ϕ(1) = 9, ϕ(2) = 9,

ϕ(3) = 9 e ϕ(4) = 8. Para Bk+ Pk, a distribui¸c˜ao das cores ´e a seguinte:

ϕ(1) ϕ(2) ϕ(3) ϕ(4) B1+ P1 +9 +9 +8 +9 B1+ B2+ P2 +18 +17 +17 +18 B1+ B2+ B3+ P3 +26 +26 +26 +27 B1+ B2+ B3+ B4+ P4 +35 +35 +35 +35 B1+ B2+ B3+ B4+ B1+ P1 +44 +44 +44 +43

Analisando as arestas deletadas e adicionadas a cada passo, concluimos que, para Lk, obtemos ϕ(1) = n, ϕ(2) = n, ϕ(3) = n e ϕ(4) = n-1, se k ≡ 0 mod 4; ϕ(1) = n,

ϕ(2) = n, ϕ(3) = n-1 e ϕ(4) = n-1, se k _{≡ 1 mod 4; ϕ(1) = n, ϕ(2) = n-1,} ϕ(3) = n-1 e ϕ(4) = n-1, se k≡ 2 mod 4 e finalmente ϕ(1) = ϕ(2) = n = ϕ(3) = ϕ(4) = n se k_{≡ 3 mod 4. Portanto, cada uma das colora¸cões obtidas é equilibrada} e a primeira fam´ılia de Loupekine admite colora¸cões Tipo 1 equilibradas.

Os resultados desta sessão foram apresentados no VII Latin American Workshop on Cliques in Graphs, realizado em Novembro de 2016 na Argentina. Um resumo expandido relativo a essa apresenta¸cão foi submetido à revista Matemática Contem-porânea sob o t´ıtulo ‘On equitable total colouring of Loupekine Snarks and their products’.

Agora, vamos explorar fam´ılias de snarks obtidas a partir das estudadas neste cap´ıtulo usando a opera¸c˜ao de produto interno entre snarks.

(50)

Cap´ıtulo 4

Colora¸c˜

ao Total de Produtos de

Snarks

No Cap´ıtulo 2, estudamos maneiras de construir novos grafos cúbicos a partir de dois grafos cúbicos dados. No entanto, os métodos descritos criam cortes pequenos nos grafos resultantes e os problemas de colora¸cão para os grafos obtidos resumem-se aos problemas de colora¸cão dos grafos originais. Neste cap´ıtulo, estudaremos a opera¸cão de produto interno entre grafos cúbicos, que nos fornece grafos com propriedades mais robustas. Em seguida, executamos essa opera¸cão entre grafos de Loupekine e das fam´ılias Flor e de Blanuˇsa, e exibimos 4-colora¸cões totais para as fam´ılias de snarks obtidas dessa forma.

O produto interno entre dois snarks é ainda um snark e, caso os grafos originais tenham corte m´ınimo maior ou igual a 4, o grafo resultante também o terá. Essa opera¸cão foi introduzida por Isaacs [22] e é a base da constru¸cão de algumas fam´ı-lias de snarks. No entanto, o produto de dois grafos cúbicos Tipo 1 pode ser Tipo 2 e, como veremos no Cap´ıtulo 5, mesmo o produto interno de dois snarks Tipo 1 pode ser Tipo 2. Além disso, a colora¸cão dos grafos originais não pode ser direta-mente estendida para o novo grafo. Dessa forma, a opera¸cão de produto interno é uma ferramenta interessante para o estudo de colora¸cão e colora¸cão total de grafos cúbicos.

(51)

4.1 Produtos Internos de Snarks

Um tijolo é um semigrafo cúbico com exatamente quatro semiarestas, sendo essas não-adjacentes, cujo grafo subjacente é um subgrafo de um grafo ciclicamente 4-aresta-conexo.

Dado um grafo cúbico ciclicamente 4-aresta-conexo G, quebrando duas arestas não-adjacentes e, f de G obtemos um semigrafo cúbico B com quatro semiarestas não-adjacentes; esse semigrafo é dito um tijolo-direto e escrevemos B = Ge,f_{. Dois}

vértices não-adjacentes em B = Ge,f _{que são incidentes à mesma aresta e ou f em}

G são ditos um par ; as semiarestas correspondentes também formam um par. Re-movendo dois vértices vizinhos v, w (e a aresta vw, sendo as demais transformadas em semiarestas) de um grafo cúbico ciclicamente 4-aresta-conexo H, também obte-mos um semigrafo cúbico B com quatro semiarestas não-adjacentes; este semigrafo é chamado de tijolo-aresta e denotado por C = H−v,−w. Dois vértices em C que são adjacentes a um mesmo vértice v ou w em H são um par e as semiarestas cor-respondentes também são ditas um par. As defini¸cões de tijolo-direto e tijolo-aresta são devidas a Brinkmann et al. [5].

Defini¸cão 20. Sejam G1, G2 dois grafos cúbicos ciclicamente 4-aresta-conexos e

seja B1 = (V1, E1, S1) um tijolo-direto de G1 com pares de v´ertices r1, r2 e s1,

s2, e seja B2 = (V2, E2, S2) um tijolo-aresta de G2 com pares de v´ertices x1, x2

e y1, y2. Deﬁnimos o produto interno G1 · G2 entre G1 e G2 como um grafo D =

((V1∪V2)\{x, y}, (E1∪E2)\{r1r2, s1s2, xx1, xx2, yy1, yy2}∪{r1x1, r2x2, s1y1, s2y2}). r1 r2 s1 s2 x1 x y1 y2 y x2 r1 r2 s1 s2 y2 y1 x2 x1

Figura 4.1: Produto interno entre os grafos G1 e G2

Vejamos ent˜ao algumas propriedades dos grafos descritos acima.

Exemplo 1. (Sasaki [33]) O produto interno entre dois grafos Tipo 1 pode ser Tipo 2. Os grafos que usaremos aqui foram vistos no Cap´ıtulo 2. O grafo G(3, 1)

(52)

é Tipo 1, porém, o produto interno entre duas cópias desse grafo representado na Figura 1 não é.

r1 s1 s2 r2 x2 x1 y2 _y y 1 x r1 s1 x1 y1 x2 y2 _s 2 r2

Lema 21. (Isaacs [22]) Seja S um snark e B um tijolo-direto de S. Em toda 3-colora¸c˜ao de arestas de B, ao menos duas semiarestas que formam um par (em rela¸c˜ao a S) devem possuir cores diferentes.

Demonstra¸cão. Segue de S ser Classe 2 e pelo Lema de paridade: se um par tivesse a mesma cor, pelo Lema, as outras também teriam cores iguais, mas então a cor de um par de arestas pode ser usada na respectiva aresta quebrada de S, o que induz uma 3-colora¸cão das arestas de S. Absurdo.

Lema 22. (Isaacs [22]) Seja S um snark e B um tijolo-aresta de S. Em toda 3-colora¸c˜ao de arestas de B, ao menos as semiarestas que formam um par em rela¸c˜ao a S devem possuir a mesma cor.

Demonstra¸cão. Pelo Lema de Paridade aparecem no máximo duas cores nas semia-restas, digamos, as cores 1 e 2. Se um par tem cores distintas 1 e 2, o outro também tem. Mas então podemos emendar as semiarestas obtendo uma aresta que pode ser colorida com 1 e outra que pode ser colorida com 2, induzindo uma 3-colora¸cão das arestas de S, o que contradiz a hipótese de que S é snark.

Os dois teoremas seguintes motivam nosso estudo no resto desse cap´ıtulo: Teorema 23. (Isaacs, [22]) O produto interno entre dois snarks ´e um snark.

(53)

Demonstra¸c˜ao. Seja S o produto interno de dois snarks S1 e S2, com tijolos B1 e

B2, respectivamente. Uma 3-colora¸c˜ao de arestas de S induz 3-colora¸c˜oes de arestas

de B1 e B2 que coincidem nas semiarestas que correspondem a uma mesma aresta

em S. Como S é uma jun¸cao par-a-par desses tijolos, pelos Lemas 21 e 22, há uma contradi¸cão. Então S deve ser Classe 2.

Lema 24. (Brinkmann et al. [5]) O grafo subjacente a um tijolo n˜ao possui ponte.

Demonstra¸c˜ao. Sejam B um tijolo, GB o grafo subjacente a B e H um grafo c´

u-bico ciclicamente 4-aresta-conexo do qual GB ´e subgrafo. Sejam s1, s2, s3, s4 as

semiarestas de B e e1, e2, e3, e4 as respectivas arestas que conectam os v´ertices

de GB aos v´ertices de H\GB. Suponha que GB possui uma ponte b que o separa

nas componentes GB1 e GB2. Se os v´ertices extremos de e1, e2, e3, e4 em GB est˜ao

todos em uma só componente, digamos, GB1, então b é uma ponte de H, o que é

absurdo. Logo, alguma das componentes GB1, GB2 contém no máximo 2 vértices

extremos de e1, e2, e3, e4. Mas ent˜ao as duas arestas com v´ertices nessa componente

mais b formam um 3-corte de H, o que é absurdo pois supomos que H é ciclicamente 4-aresta-conexo. Assim, GB não pode ter ponte.

Teorema 25. (Brinkmann et al. [5]) Toda jun¸c˜ao de dois tijolos ´e ciclicamente 4-aresta conexa.

Demonstra¸c˜ao. Sejam B e B� _{tijolos e e}

i = (si, s�i), i = 1, ...4, as arestas criadas pela

jun¸c˜ao a partir das semiarestas (si,·) e (s�i,·) desses tijolos. ´E claro que essas quatro

arestas formam um c-corte da jun¸cão H e, por outro lado, três delas não formam um c-corte pois, sendo B e B� conexos, eles ainda seriam ligados pela quarta dessas arestas. Assim, se H possui um 3-corte, algumas delas devem estar em B ou B�_.

Mas, como vimos, os grafos subjacentes desses tijolos não possuem ponte, logo se, digamos, B contém alguma aresta do 3-corte, deve conter no m´ınimo duas. Suponha, sem perda de generalidade, que esse é o caso. Então, B� contém no máximo uma dessas arestas e, como não possui ponte, isso significa que B� _{está totalmente contida}

em uma das componentes conexas dadas pelo 3-corte. Assim, a outra componente deve estar contida em B.

(54)

Agora veremos alguns produtos entre snarks de Loupekine e outros snarks que também são Tipo 1. Retomaremos os rótulos de vértices e arestas e nomes de subgra-fos apresentados no Cap´ıtulo 3. A partir desse ponto, denotaremos as arestas v2u3

e v6u7 em um snark de Loupekine por e1 e e2, respectivamente. Sempre usaremos

essas duas arestas para efetuar os produtos.

4.1.1 Snarks Flor

Teorema 26. Sejam L um snark de Loupekine e F um snark Flor. Sejam v1v2

dois vértices adjacentes em F que não estão em um triângulo. Os produtos internos Le1,e2 _{· F}−v1,−v2 _{admitem colora¸cões Tipo 1 equilibradas.}

Devido às simetrias dos snarks Flor, dividimos suas arestas em três casos: dize-mos que uma aresta v1v2 ∈ E(F ) é uma aresta interna, intermediária or externa se

v1v2 tem 2, 1 ou 0 v´ertices no ciclo central do grafo, respectivamente.

u1 u2 u3 v1 v2 v3 x1 x2 x3 y1 y2 y3

Figura 4.2: u1u2é uma aresta interna, u2v2 é uma aresta intermediária e v2x2 é uma

aresta externa

Demonstra¸c˜ao. (do Teorema 26) Sejam r1, r2, e s1, s2 os pares de v´ertices em Le1,e2

e sejam p1, p2 e q1, q2 pares em −v1,−v2. Analisando mais uma vez as simetrias desses

grafos, existem, a menos de isomorﬁsmo, dois produtos internos poss´ıveis, aquele com arestas r1p1, r2p2, s1q1, s2q2 e o com arestas r1p1, r2p2, s1q2, s2q1. Se v1v2 ´e

uma aresta intermedi´aria, os dois casos s˜ao equivalentes.

Se v1v2 é uma aresta interna, o produto interno nessa aresta não está definido

para o primeiro snark na fam´ılia; para os outros, os produtos P0,5 = Le01,e2· F−v1 ,−v2 5

pode ser colorido como na Figura 4.3. Se v1v2 ´e uma aresta intermedi´aria, P0,3 =

Le1,e2

0 · F−v1 ,−v2