Estudo da cinética de fusão e de congelamento da água em um meio poroso não-saturado: experimentação e simulação

Texto

(1)UNI VERSI DAnE DE SÃO PAULO INSTITUTO. ESTUDO. DE FíSICA. DA CINÉTICA. E QUiMICA. DE SÃO CARLOS. DE FUSÃO E DE CONGELAMENTO. DA ÁGUA EM UM MEIO POROSO NÃO-SATURADO: EXPERIMENTAÇÃO Adolfo Nicolás. E SIMULAÇÃO Posadas. Dissertação de. apresentada. Fisica e. para. Durand. ~;nca. a obtenção. ao Instituto. de São. Carlos,. do titulo de Mestre. em Fisica Aplicada.. i. ar entador: Or. Silvio Crestana. DEPARTAMENTO. DE FíSICA E CI~NCIA SÃO CARLOS,. DOS MATERIAIS. 1990. ./.

(2) MEMBROS ADOLFO. DA COMISSÃO NICOLAS. AO INSTITUTO. POSADAS. DE FíSICA. DADE DE SÃO PAULO,. COMISSÃO. JULGADORA. EM. DA DISSERTAÇÃO. DE MESTRADO. DURAND. APRESENTADA. E QUíMICA 13. DE. DE SÃO CARLOS,. DE. julho. DA. UNIVERSI. DE 19890.. JULGADORA:. o. Dr. Roberto. Orientador. Mendonça. Faria.

(3) Dedico. A minha esposa. Jannel..

(4) AGRADECIMENTOS. Ao. Silvio. Dr.. Cres'lana,. pela. orien'lac;::ão, dedicac;::ãoe. amizade .. .~ Prot'a. Rosemary para. minha. vinda. do Perú. ins'lruções no início. Ao. Ao. e. dedi cação. a t'azer o mes'lrado, pelas. ami go. brindada. Or.. pel a. na. suas. ges'lão. valiosas. dos es'ludos e pela sua amizade.. col ega. apoio e amizade. Sanches,. Cl ovi s. desde. Paulo. Bi scegl i,. minha chegada. Es'levão. por. sua. acol hida,. ao Brasil.. Cruvinel,. pela. colaboração. e. amizade.. - Ao Or. José Alber'lo Cumina'lo. pelas ma'lemá'lica des'le trabalho.. Ao Dr. Gerson Antônio des'le trabalho e sua amizade.. Santarine,. ,. ~ A Prot'a. Ana Maria Plepis, no labora'lório de calorime'lría. P. Ao. i ns'li'luci. ro. t'. Sergio. exper. valiosa. ot'erecidas. t'acilidades. pelas. revisão. t'acilidades. onai s.. ao. Brasil;. i ênci a. inicio. pela. Mascarenhas,. Ao prot'. Vic'lor La Torre, vinda. pelas. ins'lruções na par'le. no. e. quem. ami zade.. campo. Agropecuâria.. de. da. pude. sendo. pelo. seu. dest'ru'lar de 'lambém o. Física. Aplicada. incentivo seu. mai or a. Solos. para. exemplo,. mo'livador e. minha de. sua. par a. meu. Ins'lrumen'lação.

(5) Aos. colegas. de. est.udos da. Pos-graduação.. pelo. apoio. e. amizade.. - Ao colega. e amigo. \. mi nha. A. J annel. esposa. mont.agem. dedi cação. e. Carlos. Vazo pela sua colaboração.. Posadas,. const.ant.e apoi o. pela. dur ant.e o. dact.ilografía. desenvol vi ment~o. dest.e t.rabalho.. Aos Professores, Biofísica. do IFQSC. ao pessoal. - US?. aos pesquisadores. administ.rat.ivo do NPDIA - EMBRAPA.. NPDIA. Ao IFQSC. - EMBRAPA,. pelas. facilidades. Fí si ca. Depart.ament.o de. e. t.écnicos. Aos. - A. t.écnico e administ.rat.ivo. da. e Ci ênci a. ao. pessoal. oferecidas. dos. Ma t.eri ai s do. - USP.. ,. A. oport.unidade carreira. "Uni versi dad oferecida. para. Nacional minha. i. La. em. uma. Agr ar a. formação. i. Mol na" • pel a nova. et.apa de. profissional.. -. À. "Organización. - PERU. pelo seu apoio vinda ao Brasil.. - Ao CAPES,. E. Int.ernacional de Ias Migraciones" na concessão. pelo apoio. a t.odos que,. para a realização. de. da passagem. aéreo. para. - OIM minha. fi nanciero.. uma. dest.e t.rabalho.. maneira. ou. out.ra. cont.ribuiram.

(6) SUMARIO. Página. RESUMO ABSTRAC. 1. CAPíTULO. I. INTRODUÇÃO. CAPíTULO. 11. PROCESSOS DE TRANSPORTE DE CALOR EM UM MEIO POROSO ••••••••••••••••••.•••••• 8. .. 2.1.-. De~inições Básicas. 8. ? ~. ? ~. -. Tempera~ura no solo e ~luxo de calor .. Lei de Fourier e equação de ~ranspor~e de calor. 11 12. 2.2.2.-. Propriedades ~érmicas do solo ... 15. 2.2.3.-. Transpor~e ~ase. 2.2.1.-. CAPíTULO. 111. de calor. com. mudança. de .. SOLUÇÃO DAS EQUAçõES DIFERENCIAIS PAR_ CIAIS NÃO-LINEARES DE TRANSPORTE DE CALOR, COM MUDANÇA DE FASE, PARA UMA COLUNA DE AREIA NÃO-SATURADA, DE DIMENSõES FINITAS •••••••••••••••••••••• 25. 3.1. 3.2.-. Origem das equações não lineares (E.D.P.) Soluções di~erenciais 1 neares. numéricas. di~erenciais 25 das. equações. (E. O.?). parciais não '. 26 Mé~odo das di~erenças ~ini~as . 28 Solução das E.D.Ps. não lineares. i. 3.2.1.-. 3.2.2.-. 3.2.3.-. de ~ranspor~e de calor. com mudança nãode ~ase numa coluna de areia sa~urada de dimensões rini~as. 31. Balanço de .. massa. 38.

(7) CAPITULO. IV. 4.1.-. MATERIAIS. E ~TODOS. Resultados de. experimentais. imagens. da tomograría. por N.M.R. 4.1.1.-. Imagens. por tomograría. 4.2.-. Medida. da condu~ividade. 4.2.1.-. In~roduc;:ão. 4.2.2.-. Principio do mé~odo sonda cilíndrica. 40 N.M.R. 40. térmica. 48 48. ~ransien~e. da 48. 4.2.3.-. Descric;:ãodo experimento. 4.3.-. Obtenc;:ão da volumé~rica C. 51. capacidade. calorírica 57. 4.4.-. Programa. 4.4.1.-. Derterminac;:ão das condic;:õesiniciais. de simulac;:ão. de rron~eira. V. 5.1. 5.1.1.-. RESULTADOS. 60. do. Simulac;:ão. 5.2.1.5.2.2.-. Medida. Dis~ussão. CONCLUSÕES. 63 72. ~érmica. 72 72. K. 77 dos. resultados. da condu~ividade. Programa. experiment~o. E DISCUSSÃO. Resultados experimentais Medida da condutividade. 5.1.2.5.2.-. e. para a simulac;:ãoda curva. de "calibrac;:ão" e de N. M. R CAPÍTULO. 40. •••••••••••••••••••. 77 térmica. 77. de simulac;:ãoONEDIM. 84. E SUGESTõES. 89. AP!::NDI CE. REFERJ::NCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 90. ". 106.

(8) RESUMO. No presente trabalho, um programa em linguagem Fortran foi desenvolvido utilizando-se o método das diferenças finitas, para a solução da equacão diferencial parcial não-linear que governa o transporte unidimensional de calor em uma coluna de areia nãosaturada com condições de fronteira variáveis ( no intrevalo de ° problema da temperatura compreendido entre -20 C a 25°C.). O transição de fase da água líquida para o gêlo e vice-versa também foi considerado. O programa simulou o movimento da frente de fusão e de solidificação ocorrido ao longo da coluna, acompanhando-se. i magens. os. resultados. experimentais. obtidos. através. de. i. por tomografí a de N.M.R., vaI dando o modelo adotado no. caso particular deste experimento. O passo do programa relativo à posição da frente de f~são / solidificação foi constante durante toda a simulação. Usou-se o conceito de balanço de massa para controlar o passo do programa referente a variável tempo . Medida~ da condutividade térmica para a amostra de areia e umidade igual a 37% não- saturada de porosidade total volumétrica 25%, .foram realizadas no intervalo de temperatura entre 20°C a 25°C. usando-se o método transiente da sonda cilíndrica. Os resultados obtidos concordaram com os de Geri and foi realizado um G. Grazzini (1981) e H. Inaba (1983). Também estudo, utilizando-se. o. método. da. análise. térmica. diferencial,. para o fluxo de calor na região próxima a transição de fase da água contida na coluna de areia. A partir destes resultados e das condições iniciais e de fronteira deste experimento ficou evidente a importância térmicas da água.. do. meio. poroso. sobre. as. propriedades.

(9) ABSfRACT. In. t.his 'Nork, a. ~init.e di~~erence di~~erant.ial. governing. o~ non-sa~ured. (~emperat.ure. 'Nas developed. ~he unidimen~ional. sand wi~h variable. ~ha~. exper iment.al. result.s. ~he. a. part.ial ~ranspor~. condi~ions,. int.erval considered. solidificat.ion. occurs. t.he model. experiment... hea~. boundary. ~he phase t.ransit.ion from liquid wat.er ~o ice also simulat.ed t.he considered, program. valida~ing. using. met.hod ~or t.he solut.ion o~ a non-linear. equa~ion. in a column. Fort.ran program. The. posit.ion. of. along. obt.ained adop~ed. vice versa ~usion ~he. was and. accompanied. by. t.he column,. by. in. and. t.omographic. N.M.R.. ~he. increment.s considered. part.icular. case. by t.ha program. t.he fusion/solidifica~ion. images,. fron~. of. relat.iva ~o. 'Nas main~ained. const.ant.t.hroughout. t.he simulat.ion. The concept. of a mass 'Nas used t.o cont.rol t.he increment.s of t.he program t.he t.ime variable.. ~his. balance. wit.h respect. t.o. Thermal conduct.ivit.y measurement.s for t.he non-sat.ured sand sample of 37% t.o~al porosi~y and 25% volume~ric humidi~y, were o o .. 'Ni t.hin t.he performed -20 C t.o 25 C t.empera~ure lnt.erval, uSlng t.he t.ransient. me~hod. for. wit.h t.hose of Geri and st.udy was analysis,. also for. from. C, Grazzini using. t.he heat. flux. t.ransit.ion phase and. made. a cylindrical. probe.. (1981). boundary. impor~ance of t.he porous wat.er was evident... condi t.ions. medium. over. ~he. (1983).. different.ial. A. t.hermic. adjancet. t.o t.he wat.er. cont.ained in t.he sand column.. t.he i ni t.i aI. result.s agreed. and H, Inaba. t.he met.hod of in t.he region. The. of. From. t.hese result.s. t.his exper iment. t.he. ~hermic. proper~ies. af.

(10) CAPITULO. I. INTRODUÇÃO. o ser. est.udo da t.ransmissão de calor desafiant.e. problema. relevant.e em Física. de Solos.. sua. um. variação. import.ância massa. no. nos. As mais. como. processos. germinação como. fase. que ocorrem. da. água. e de (4J.. (2J.. que. seu. Como. presença. f'luxo de. num. das. são. no. um. meio. ~om. se. ocorrem. densidade. primordial e. a evaporação quimicas. solo. de e a. ass~m. t.ais como. cresciment.o. relevant.e dos. a bem. processos. o. progressos. fluxo. ent.ender. simul t.ânea e. de. como. os. t.écnicas. exper ment.ais. i. por. sua. t.em sido. t.ransport.es de. calorif'ica do solo,. dist.ribuição. suas. assim. espacial como. não. -. não. per mi t.em. dest.rut.ivas de. t.eóricos propos~os.. e. pelas. compreensão. relat.ivament.e lent.os e áridos exi st.ent.es. e. água,. a. int.erdependent.ement.e no. cient.if'icos para melhor. cit.ados t.êm sido. Também. t.érmicas são af'et.~daspelo cont.eudo. global,. processos. suf'icient.ement.e precisas. (5,6J.. poroso. t.emporal, pelas variaçôes de sua t.emperat.ura font.es e sumidouros de calor exist.ent.es.. t.est.aros modelos. como. fort.ement.e dependent.('!s da. Ist.o signif'ica que a capacidade. Os. assim. energia. reações. ocorrem. um exemplo. calor. esf'orço de. energia. e pela. t.rocas de. d;:.. alt.ament.e. fat.or de. enrai zament.o, e. de. condut.ividades e difusividades de água. , nas. além. no solo é o est.udo da cinét.ica de t.ransição de. na. do. considerada. solo. t.empo, é. at.ividades microbianas,. int.eração. massa. no. velocidades. biológicos. t.emperat.ura do solo fisicos. e. de sement.es, o. as. t.emperat.ura do solo,. f'isicos. variadas. é. Aplicada. com a at.mosf'er a , incluindo-se. aeração. os. Física. A. espaço. processos. que ocorrem. em. em um meio poroso,. dos. (6J.. As. medi das. f'orma a. poder.

(11) -2-. Por out.ro lado. ao nos enéont.rarmos t.rabalhando em uma inst.i t.uição. C. "Universidad. Nacional. Agraria. La. molina.. Lima. adi ci onal é no campo da agricult. ura, Perú U), onde a pesquisa t.r achamos oport.uno conciliar nossa ~ormação em Písica básica com à de. Física. Aplicada. à. Agricultura. C. área. multidisciplinar. ).. Sobret.udo. en~ocarmos problemas de ~ront.eira da pesquisa agrícola e ut.ilizarmos as u~errament.asumet.odológicas de invest.igação e. de análise empregadas ou em desenvolviment.o na Písica.. do. Foi com est.a mot.ivação que no ano de 1986. participamos primeiro curso Int.ernacional de "Pisica de SueIos e. Inst.rument.aciónAgropecuariau• organizado pelo pro~essor La Torre. at.ravés das at.i vidades de "MULTICIENCIAS".. Vict.or sob os. auspicios do "Int.ernat.ional Cent.erPor Theoret.ical Physics"- ICTP - de Triest.e. It.alia. realizado na Cidade de CUZCO - PERU. A part.icipação nest.e Curso nos deu a oport.unidade de int.eração com as Inst.it.uiçõese com os pesquisadores com t.radição de pesquisa na área de Písica de Solos. t.ant.oa nível Nacional C Perú ) como Int.ernacional. ~azermos at.ravés. A part.ir disso. ~icou. pós-graduação do Pro~essor. "Mult.iciencias" no Crest.ana,. Perú. Pesquisador. evidente a necessidade de. em Písica Aplicada Vict.or La Torre ).. ~izemos. do. NPDIA. a. Solos. Em 1987, C Director de. cont.at.ocom C. Núcleo. o. de. Or.. Silvio. Pesquisa. e. Desenvolviment.o de Inst.rument.ação Agropecuâria) da EMBRAPA C Empressa Brasi1ei ra de Pesquisa Agropecuâr ia) de São Car1os. S.P., com a ~inalidade de eu ~azer o Mest.rado em Písica Aplicada a Solos sob sua orientação. já que o Or. Crestana juntament.e com o Pro~essor Sergio Mascarenhas C Che~e da NPDIA ) est.avam t.rabalhando nas aplicações da Písica básica à agricult.ura. Foi assim. que no primeiro Semest.re do ano de 1988 com part.icipação da pro~essora Rosemary Sanches, Coordenadora do Aplicada do Instit.ut.o de Písica e Química Universidade. de São. Paulo. C. IFQSC. - USP. ).. Curso de Písica de São Carlos. ~omos. acei. programa de Pós-Graduação - Mest.radoem Física Aplicada ao. ~/',(,O. t.os ao IFQSC.. ê! INFORMÃÇA-O _ fFaScO ._-'-----------------. CE, 8i"}l:U.;:;CAFI '---""--.----.--. ~"-'-'--'.'---'~---. f C,A,. rI.

(12) -3-. USP. A CAPES C Cooperação de Aper~eiçoamento. de Pessoal. a Nível. Superior ) ~orneceu uma bolsa de estudos através do programa CPEC PG) de Cooperação Internacional do Governo Brasileiro. permitiu a minha manutenção ~inanciera no Brasil. Em. 1988.. começamos. o. Programa. de. Mestrado. em. que. Física. .Aplicada no IFQSC. de São Carlos. sob a orientação da pro~essora Rosemary $anches. especialista em Bio~ísica. já que o Or. Silvio Crestana. ia aos Estados Unidos da América CEUA) para ~azer estudos de pos-Doutorado em Física Aplicada à Agricultura em Davis. com a colaboração Universidade da Cali~ornia. na do. pro~essor. em. Donald. Nielsen.. pesquisador. de. conotação. mundial. Ci ências de Solos. Durante o primeiro ano de estudos no IFQSC. ~izemos. as disciplinas. obrigatórias para a obtenção do titulo de. Mestre em Física Aplicada com a orientação da pro~essora Rosemary $anches.. Ao. mesmo. tempo. ~omos. identi~icando. ~undamentais e as metodologias empregadas em Física. os. problemas. de Solos.. No segundo ano de estudos. com a vol ta do Or. SiI vio Crestana dos Estados Unidos. começamos a trabalhar na Dissertação de Mestrado sobre sua orientação. O Or. Cret.ana. durante sua estadia nos Estados Unidos. trabalhou em di~erentes Universidades Americanas usando novas técnicas experimentais C de grande sucesso em Física Básica) para o estudo dos problemas em Física de Solos. Destas técnicas por ele aplicadas. surgiu o tema da presente dissertação de Mestrado. onde o Or. Crestana com a colaboração dos Pro~essores D. Nielsen. J. Brown e R. Kauten na Universidade em Davis e na Universidade de Dulce em UNorth da Cali~ornia Carolineu-. USA.. introduziram. uma. nova. técnica. experimental.. baseada em tomogra~ía espacial. contida ~rente. de imagens por N.M.R. [29], com resolução microscópica, para estudo da transição de ~ase da água. em certos meios porosos. Foi acompanhado o movimento da de ~usão e ou ~ormação de gêlo em uma coluna cilíndrica.

(13) -4-. con~endo. areia. ~empera~ura.. não-sa~urada. Pelo fa~o da. e. subme~ida. ~écnica. a. ser. não. um. gradien~e. de. des~rut.iva. foi. possível acompanhar ~odo o ciclo de derre~imen~o-congelàment.o em uma única coluna de areia. Foram fren~e de derre~imen~o e ou. realizadas medidas da posição da. congelamen~o ao longo da coluna. para. vários inst.an~es de ~empo [29. 31). Assim. considerando-se os dados disponíveis e a ~eoría do ~ransport.e de calor e de massa para um meio poroso desenvolvemos o algori~mo que permi~iu modelar o movimen~o ciné~ico da fren~e de congelament.o-derre~iment.oda água em uma coluna de areia subme~ida a um gradient.e de ~empera~ura. Com is~o foi possí vel. simular os. result.ados experimen~ais medidos independen~ement.e pela ~omografia de N.M.R. Devido à coluna cilíndrica ut.ilizada no experimen~o est.ar~ermicamente isolada em suas lat.erais. ado~amos um modelo de. ~ranspor~e. de. calor. unidimensional.. A. ~emperat.ura de. uma. extremidade da coluna foi man~ida aproximadamen~e cons~an~e duran~e o in~ervalo do experimen~o. enquan~o que a ou~ra extremidade ~eve sua ~emperat.ura variando de 22°C a -10°C. Por~an~o. as condições de con~orno do problema. foram variáveis ao longo do ~empo e no in~ervalo de ~empera~ura es~udado. Também a ~ransição de fase da água no in~erior da coluna ~eve que ser considerada. No inicio do experimen~o a coluna foi comple~ament.e congelada em um banho ~érmico con~endo ni~rogênio líquido. definindo-se assim a condição inicial do problema. A condut.ividade ~érmica. que depende for~emen~e da ~empera~ura no in~ervalo de o. o. 25 C a -20 C. foi medida experiment.almen~e. Como o problema não admi~e soluções analí~icas. o mé~odo das diferenças finit.as foi empregado na solução das equações envolvidas.. o. ~ema da disser~ação que apresen~amos. além de ser relevan~e na pesquisa de solos. é de vi~al impor~ância em nossos paises. ~an~o no Brasil como no Perú. já que. no sul do Brasil por exemplo exist.em problemas de geadas nas épocas de inverno. com.

(14) -5-. temperaturas que chegam racilmente abaixo de zero graus Celsius. causando danos à agricult.ura. No Perú a situação é mais crítica ainda. sobretudo. nos Andes.. onde. a temperatura. abaixo. de zero. graus Celsius é comum em qualquer época do ano. constituindo por tanto. um. problema. latente. para. os. agricultores. e. para. as. construções de estradas e explorações mineiras C~enômeno de "heaving-~rost... ). Do pont.o de vista da pesquisa cientírica. o problema de ~ormação de gêlo e ~usão de gêlo em solos C meios porosos em geral ) é pouco estudada. Mais ainda. o est.udo do processo cinético de mudança de ~ase segundo a literat.ura consultada (47 - 55). emprgam métodos experimentais dest.rutivos. Na maioria das vezes os paràmetros envolvidos tais como condut.ividade térmica K e capacidade calori~ica C são encontrados teóricamente ou são usados result.ados de out.r os pesquisadores • muitas vezes obt.idos em condições ~isicas di~erentes. Nest.e sent.ido nosso trabalho roi completo. Trabalhamos sob as condições ~isicas impostas pelo experimento de imagens por tomogralia de N.M.R .• obtendo resultados experimentais próprios, tanto para a condut.ividade térmica K como para a capacidade calori~ica C [59]. Assim. pela primeira vez na literatura. esta sendo apresentado um estudo. não-destrut.ivo e. complet.o da. cinética. ce. ~usão. e. de. ~ormação de gêlo em um meio poroso. A seguir ~ornecemos uma explicação resumida do cont.eúdo de cada capit.ulo. No capitulo 11. apresentamos uma descrição dos processos de t.ransporte de calor em um meio poroso, especíricamente o solo. A part.irda Lei de Fourier obt.ivemos a equação di~erencial parcial do. transporte. de. calor. para. uma. dimensão.. De~inimos. algumas. variáveis que representam as propriedades térmicas do solo como capacidade caloririca, dirusivLdade e condut.ividade térmica. Finalment.e discutimos a solução para a equação direrencial parcial.

(15) -6-. não-linear de ~ranspor~e de calor em uma coluna infinita. e finita,. com condições de fron~eira transição de fase.. apresenta. No. capítulo. numérica para não-lineares. III.. variável,. em. desenvolvemos. que. a. água. brevemen~e. a solução das equações diferenciais a~ravés do mé~odo das diferenças. a. teoría parciais fini tas.. Particularmente, aplicamos o mé~odo das diferenças fini tas para o problema do movimen~o do fluxo de calor no in~erior da coluna de ar ei a. Di scu~imos a vaIidade da discr eti zação usada, a convergência da solução para o sis~ema de equações aIgébr i cas e usamos o conceito de balanço de massa para con~rolar o passo do algoritmo de simulação referente à variável ~empo. No empregados. capítulo IV, apresen~amos os ma~eriàis e métodos da condu~ividade nas medidas experimentais. térmica. ~ambém. e. na. simulação.. adequados. ao. experimento. de. N.M.R.C Nuclear Magne~i~ Resonance). par~ir do experimen~o de "cali bração" , realizado na Universidade da California - Davis, obtivemos as condições frente de da iniciais e de fronteira para a simulação A. derretimento ou de congelamento.. assim. No capi~ulo V. apresentamos os .resul~ados experimen~ais. como a discussão referen~e às medidas da condu~ividade. térmica. Incluimos a simulação feita para reproduzir o movimento cinético da frente de derretimento-congelamento, conforme as medidas fornecidas através das imagens realizadas por Crestana and Nielsen 1989. na Universidade da Califonia - Davis. Finalmente fu~uros ~rabalhos.. apresen~amos. as. conclusões. e. sugestões. para.

(16) -7-. No apêndice most.ramos o programa em linguagem Fort.ran ut.ilizado na simulação do problema dest.a dissert.ação. assim como uma breve descrição do mét.odo da análise t.érmica dit'erencial. cont.endo alguns result.ados para a mesma areia empregada nest.a dissert.ação na região de t.ransição de t'ase da água..

(17) CAPITULO 11. PROCESSOS DE TRANSPORTE DE CALOR EM UM MEIO POROSO. Nest.e processos de. capít.ulo.. apresentaremos uma breve trans~erência de calor em um. descriçã.o dos meio poroso.. especí~icamente o solo. Começaremos com algumas de~inições básicas que serão de importância no decorrer do presente capítulo e dos próximos. A partir da lei de Fourier deduziremos a equação di~erencial parcial não-linear de transporte de calor para uma dimensão. de~inindo a seguir as variáveis que representam as propriedades térmicas do solo. Finalmente. discutiremos a solução da E.D.P. não-linear de transporte de calor. com condições ~ronteira variável e transições de ~ase em seu interior.. 2.1.. de. - DEFINIÇOES BÁSICAS :. Int.roduziremos. algumas. de~inições. básicas. comumente. adot.adas em Ci ência do solo. mas pouco usuais em Fí sica e que serão de import.ância prát.icano decorrer dest.adissert.ação.. a) Meio poroso:. Meios rochosos ou solos. em sua quase t.ot.alidade.são assinalados por descont.inuidades em seu int.erior. t.aiscomo: ~orma. dimensões e ~requência de ocorrência muit.o variáveis (Fig.1). Tais descontinuidades recebem a denominação poros. embora o últ.imo t.ermo seja mais. genérica de vazios ou empregado para designar. vazios de ~orma aproximadament.e es~érica [1J..

(18) -9-. Fig.l.-. Os const.it. ui minerais. Exemplo. vazi os podem a. rase. de um meio poroso.. est.ar pr eenchi dos. 1 í qui da.. const.it.uem a rase. o. ar. sólida. a. rase. por. água. gasosa. do solo.. e ar.. e. os. A água. agr egados. A coexist.ência. dessas. t.rês ['ases det.ermina o carát.er t.ri[,ásicodo sist.ema result.ant.e. Na [,ig.2. apresent.amos esquemát.icament.e um sist.ema poroso. ['ases. onde va.=volume do ar. vl=volume sól ido. Vf=Va.+vle VI.=Va.+Vl+Vs.. do. líquido.. com as t.rês vs=volume. do. Ar. +__,- _ 1-1 T-v~------t---vf. Li qul.do. vI.. sõ1.i..do. VI.. 1___ 1 _ Vs. 2. - Meio. Fig. gasosa.líquida. sist.ema. que. é. o. dit.o. com. a. coexist.ência. de. t.rês ['ases:. e sólida.. Se os vazios diz-se. poroso. est.ão complet.ament.e preenchidos. sist.ema. est.á sat.urado. não-sat.urado (['ig.4).. ([,ig.. 3).. Caso. com líquido. cont.rário.. o.

(19) -10-. rocha. Fig.3.- Meio poroso sa~urado. ar água. rocha. Fig. 4.- Meio poroso não-sa~urado.. s. em s. ss. 9: b)3 =Cp) V Densidade. a massa do sólido. da par~1eu1a ou sólido do. (2.1). e V. o volume do sólido.. $ERVIÇO DE BIBltOTE€.A. I RNH))IlM,40ÇAO. ftJteA. -. !FOSe.

(20) -11-. c). Densi dade. (t.ambém. global. chamada. de. densidade. .:L.3. apar ent.e) (p):b. cm. M. s. pb =. d). V. V V. poros. l. Porosidade ~ =. A. (2.2). (~):. f. (2.3). l. porosidade. é. uma. medida. relat.iva do. no meio poroso.. e). Umddade. V. e. = V. A. volumétrica. t.ot.al dos. 3. em. Ce):. em3. t. (2.4). l. umidade. i. vol umét.r ca. cont.eúdo volumét.rico. ou. ger aI ment.e cal cul ada solo [2J.. como. 2.2. -. -. volume. (as. f"ração uma. TEMPERATURA. t.ambém. vezes. vol umét.rica por cent.agem. E FLUXO. DE CALOR. chamada. de. da água no solo) é do vol ume t.ot.aldo. NO SOLO. Como f"oi dit.o na int.rodução do capít.ulo I, a t.emperat.ura é um f"at.orimport.ant.e dos que ocorrem. no solo.. transf"erência agrupados. em. t.ransf"erência principalment.e. processos. Físicos,. t.érmica. dest.e. Tais processos. t.rês cat.egorias [2.9]: na. e Biológicos. Daí a import.ância do est.udo dos processos. de energía de. Químicos. energía região. por. a) radiação. radiações. do visível. e. de. podem ser. : processo. de. elect.romagnét.icas.. do inf"ra-vermelho. [3];.

(21) -12-. b) convecção massa. : processo. (1]. e. c). t.rans:ferência de. solo. calor. ocorrer. calor.. mas. seu. mais. processos. (2.16]. Assim.. 2.2.1.-. Fourier.. cujo. que descreve. à. análoga. equaçao. ntTm. de. regiões. de mais. lei. em sólidos. à. do calor.. t.rans:ferência. de Fourier. i. de transporte. equação. de. Est.a equação. é. out.ros. em 1822 por. é mat.emat.icamente. de cal ar. proporcional. de calor. t.ransport.e linear. (8] como. de Fick). por. no solo.. :foi analisada. a condução. homogêneo. os. de. para a condução.. dos :fluidos num meio poroso. de Four er para. calor. despreziveis. e equação. de di:fusão (Lei. corpo. processo. t.rans:ferência de. na. est.á associado. a condução. A Lei. de. de t.ransport.e de calor. a condução. de Darcy para. :fluxo. nome. processos a. baseado. do calor. :fluxo de. ":frias" (2.8.9]. At.ravés da super:ficie. Lei de Fourier. A condução. energia. import.ant.e. sendo. a equação. por. térmica:. di:fusão de. int.erior. é. de calor. dirusão. t.odos os. condução. deduziremos. mais. ou. por. podem. em o. t.rans:ferência. condução. "quent.es" para regiões do. de. ao. à. Lei. direção. do. gradient.e. de. t.ambém. (7]. na. (2]:. temperat.ura. (2.5) • onde.. ..•. q. é. igual. ao. FI uxo t.érmico. Joule z. cm s. K. é. a Condut.ividade. t.érmica do mat.erial. Joule o. e. cm.s k. VT. o. sinal. é. O. Gradient.e da t.emperat.ura T. negat.ivo. indica. t.emperat.ura (na direção. que. o :fluxo vai da maior para a menor. do gradient.e negat.ivo da t.emperat.ura)..

(22) -13-. A equação calor. sob. C2.5). condições. tempera~ura. é suficien~e. de. regime. e o fluxo permanecem. Para. se. es~acionário, constantes. levar. em. con~a. transientes,. precisamos. de. uma. recorrer. principio. ao. equação. de. dá continuidade.. para descrever. situações. segunda. conservação. Tal equação. do fluxo em função Para. condutividade (14]. En~ão,. solos. de C2.5) = ~.. Em energia para -3 CJ.cm. K. é. Lei. da. altamente. material -1. .C ). a. estáveis. ou. Para. isto. energia,. na. que,. "a taxa. devemos forma. de. variação. do. para. dado. el emento. de. solo). deve. ser. igual. à. com transições. de fase,. a. dependente. da. temperatura. da continuid~de. (2.6). define-se. quando. de. que. ou. perdi da. capacidade. sua temperatura. a. quantidade por. de. uni dade. calor de. C. específico. = p.Ce, p. ou. vol ume. específica volumétrica . varia de dT, é dada por (9]. C. C2.7). dW = CdT onde,. da. na ausência. CKCD? D. térmi ca dW armazenada o. não. estabelece. e. e do principio. calorimetria,. um. quando. do espaço".. não-saturados. térmica. seja. de. no ~empo.. de qual quer fonte ou sumi douro de cal ar conteúdo de calor em função do tempo, o caso volume do meio condutor Cneste variação. ou. a condução. é. por unidade. a densidade de massa. de massa. (J.g-~. Cg.cm3),. Ce é o. °C-1). P representa. total por uni dade de vol ume, incl ui,ndo-se a massa de material úmido.. de água. calor a massa no caso.

(23) -14-. A. part..ir de. dif'erencial di mensão,. geral. com. (2.6). da. e. condução. capaci dade. e. é. (2.7), de. f'ácil escrever. calor. no. condut..i vi dade. solo,. a. para. t..ér mi ca. equação uma. só. dependent..es da. t.emperat..ura:. ccn at. aI A. equação. uni di mensi onal, com. a. (2.8). é. i. 1 near. caso. decomposição deve-se. de. = ax a. S( x. t.). sumidouro.. ax ] ar. [K( n. representa. de. a equação. (2.8). condições. f'ont..esde ou. calor. sumidouros. em. iniciais. e. (por. exemplo. de. (evaporação),. (2. g). a mat..emat..icament.e. função. f'ont.e ou. e do t.empo. t.érmica e a capacidade. de dif'usividade D:. D = -K. C2.10). C. No caso unidimensional. e sumidouros. K. deve ser. ± SCx, t.). ent.re a con~ut.ivi da de. volumét.rica é chamada. de. C2.8) o t..ermoSCx,t.). como uma f'unção do espaço. A relação. dependênci a. específico.. mat..éria orgánica). acrescent..ar à relação. at. ccn aI onde,. exi st..ênci a. da. al ta. analít..icas só são possíveis. par t..i r das. cont..ornopert..encent..es ao problema. parcial. dif'erencial. pel a. No caso geral.. numéricament..e a. No. equação. soluções. muit..oespeciais.. resolvida. uma. aI t.ament..enão. temperat.ura, onde. situações. (2.8). ax aax [(K(n aI]. =. a equação. com D const.ant.e e para. um meio sem f'ontes. (2.9) se transí'orma em ;. (2.11). se. Em saber. qualquer como. a. sit.uação. conforme. ( 2. 9) e. t..emperat..uravaría espacial. ( 2. 11) •. para. e t..emporalment.e..

(24) -15-. precisamos. conhecer. propriedades. os parâmetros. térmicas. 2.2.2.-. do solo,. Propriedades. a) Capacidade A. de!'ini da precisa. a. para mudar. Suas unidades. A capacidade do solo. global. e da umidade. de. -3. o. K. que. uma. do. solo. uni dade. de uma unidade. de. C. vol ume. de temperatura.. ou. ealori!'ica C depende. (minerais. a seguir.. C :. V'olumétrica. calor. -1. analisadas. de. do solo. Volumétrica. sua temperatura. são : cal. em. sólida. Térmicas. calorí!'ica. quanti dade. D que são chamados. as quais serão. Calorlfica. capacidade como. C, K, ou. e constituintes. do solo (ver tabela. da. composição. orgánicos),. da. !'ase. da densidade. 2.1),. o. valor de C pode ser calculado pela contribuição das caloríficas dos varios constituintes capacidades ponderados segundo. a sua fração. c. onde, água. !:. =. f é a. (w) e. de volume. [10]. fração. de. volume. ar (a). respectivamente.. de componentes. (2.12). fsi Csi + f..•. C..•. + fa Ca. (i),. de cada A fase. tais como minerais. componente sólida. e matéria. sólido. inclui. orgánica.. (s).. um número.

(25) -16-. Tabela. Densidade. e Capacidade. Especifica. elementos. Densidade p. Elementos. Quartzo. (9. em. 1.25*103 4.2*106 2.0*10ó 2.5*10ó 1.9*10ó. 0.6 1.0 0.003 0.48 0.45. 2.1. -3 >. Volumétrica. de alguns. do solo. Capacidade Térmica C. (ea. L •. em. -3 "K. >. (J.. m. -3 "K>. 0.00125 2.66 0.92 2.65 1.3 1.0. A maioria dos compostos minerais do solo t,âm qtlase os mesmos valores. tanto para a densidade p como para a capacidade calorífica volumétrica C [2.9J. Isto dificulta a separaração dos~ diferentes tipos de materia orgánica presentes no solo. Daí considera-se um· simples constituinte com um valor médio para a capacidade calorífica [2J. Sendo ainda desprezível a contribuição do ar para a capacidade calorífica [2J. a relação (2.12). pode ser simplificada como segue: (2.13). C = fm Cm +'fo Co + fv Cv onde,. rn,o. e. 'IJ.. são. índices. re!'erent..es ao. mineral,. orgánica e a água presentes no solo respectivamente.. à mat.éria.

(26) -17-. A relação C2.13) pode ~ambém ser usada no caso gelados ou parcialmen~e gelados [2J , onde p" = 0.92 g gelo -3 o -.1 K. Des~a relação ~ambém pode-se cgelo ~ = 0.45 cal.cm que a capacidade ~érmica do solo é uma quan~idade que. de solos cm. -3. e. perceber depende. linearmen~e dos cons~ituin~es do solo. ~an~o na rase sólida CgêloJ como líquida da água. No entan~o. em f'ase es~e compor~amen~o capí~ulo IV. b) Condutividade. mos~rar-se-á. Térmica. K. A condu~i vidade t,érmi ca. é. si~uações de ~ransições de dif'eren~e. como veremos. no. derinida como a quan~i dade de. calor ~ransrerida a~ravés de uma unidade de ·área por uma unidade de ~empo dividido por uma unidade de gradien~e de ~empera~ura CJ. m-z.S-1. °K-1). Como já f'oimencionado an~eriormn~e, a capacidade calorírica C é uma simples runção linear dos cons~i~uin~es ·do solo. o que não acon~ece com a condu~ividade ~érmica. cuja f'unção é mui~o mais complexa [llJ. Ao olharmos a (tabela 2.2). observamos que a cC'ndu~ividade direrem ~érmica solo dos do consti~uintes especíricos bas~an~e en~re si..

(27) -18Tabela. 2.2. Condutividade Térmica de alguns constituintes do solo: T=10. Const~it.uint.e. Quart_zo. 7. C. mcal Icm. s.oK. 0.57 2.9 médio) 0.25 2.2 0.025 8.8. 21 0.6 0.06 1.37 5.2. Tabela. 2.3. Valor Médio das Propriedades Térmicas de alguns Solos. Umidade Volúmet.rica. Tipo de. Porosidade. Térmica. ce). 4.20.5 O 0.2 2.8 3.80.7 ....0.3 0.5 5.20.7 0.60.3 0 .0 0.7 0.4 0.4. Capacidade Térmica Volumét.rica. -3 ., C10 caL/cm.s.e). Solo. Areia. Condut.ividade. 30. Ccal/em.. c).

(28) -19-. Além de depender da composição da fração sólida do solo e principalmente da umidade (Fig. 5), a. condutividade térmica K. também uma função da densidade global. pb. é. e da geometría interna. do solo tais como : tamanhos, formas e empacotamento. (arranjos). das partículas constituintes [2,11,43]. Desta forma, o problema de se exprassar a conduti vi dada. K como função. das conduti vidades. específicas e frações de volume dos constituintes do solo torna-se muito complexo [2], ao contrário da capacidade térmica C. Contudo, tem sido desenvolvidas algumas teorías para o cálculo da condu~ividade ~érmica do solo sob algumas considerações ~eóricas, [11 ]. Mesmo assim sendo a mais i mpor~an~e ob~ida por de Vri es mui~o es~a fornece resul~ados si~uações para aproximados específicas, com solos saturados ou secos [2.43]. N~ situação de fase solos não-sa~urados e com ~ransições de o problema Por is~o, a necessidade de medi-Ia ~orna-se por demais complexo experimen~almen~e. ~orna-se eviden~e (o que também não é ~arefa fácil) conforme será de~alhado no capí~ulo IV.. ti'. 'O. *. ü o. ......•.. "i. E. -õ 4.00 -!(. u CJ. u. 'E ,'" Q). •... " u Q). CJ. '>. :;:; ::l. § 0.00 u 0.00. 0.50 Umidade. (e). Fig.5.- Gráfico da depedência da condutividade ~érmica K como função da umidade e para areia [2]..

(29) -20-. 2.2.3.-. Transporte. a) Solução. Carslaw equação de. (2.11),. solo. seco,. cons~an~e. de Calor. da Equação. and Jeager. [8J e Crank [14J. compr imen~o. e não apresen~am. L. para. ,que. mudanças. o. e com as seguin~es. de Fase:. de Fourier. é válida. a qual. com mudança. condições. <. x. dão uma solução. experimen~os. possuem. em. di f'usivi dade. para a colunas ~érmi ca. de f'ase:. <. C2.14). L. iniciais. e de f'ron~eira:. ~. x. .. ,. O> L : < xx < = =O ~O = O T = O C2.15) T = TCx.o) T CO,~) T = O. t. T = TL = C~e., para. O •. =. C2. 1 ô). L. é1T. TCL.~) = TL. a;. =0. x=o. Fig.6.cons~an~e.. >. x=L. Coluna. de. solo. seco com dif'usividade ~érmica.

(30) -21-. A fronteira. TCx,t). sol ução dadas. de. com. para valores. = TL.~:o. erfc C2n+1). 2 ~ O. onde erfc. (2. 14). = 1- erfC x) = 1-. as. pequenos. t. -. e. de. de t é:. erfc C2n-1). L-x'. i ni ci ai s. condi ções. C2. 17). L+x. 2.fOt. )(. 2. é a função. y;;. erro. complementar. de x. Esta. de. valores. série. t.. converge rápidamente somente para valores gr andes de t , a segui nte. Para. pequenos. sol. ução. é. utilizada: T= TL X +. L. cosnn. 2 n. é constante. não. pode. devemos. ser. "e". deveremos e. a. Na situação. a equação. resol vida. recorrer. mais complexo onde. que para O constante,. complicada.. não. calor latente considerado.. quando. considerar nas de. se. no. sistemas. "K". linear. caso. sólido. Csolidificação). térmica. torna-se. a capacidade. - líquido do. da. é O. e portanto. com transições. dependentes. já. ger al . Por. O problema. necessariamente. térmica. analítica. a difusividade. t.orna-se não. numéricas.. interfaces fusão. a solução. em que. anal íti camente,. consideramos. b) O problema. Quando. C2.14). á soluções. conduti vidade. principalmente. C2.18). L. n. É evidente bastante. sen nnx. isto muito. de fase.. calorífica temperatura.. - sólido.. onde. o. líquido. terá. que. ser. como. solo. em. uma. de Stefan. têm. um. si st.ema poroso. o.

(31) -22-. condição de temperatura em que ocorre uma transição de fase, a região de solo congelado deve ser tratada em separado da região de solo não-congel ado. As regiões devem ser separadas atI' a vés das isotermas de mudança de fase, o que significa resolver um problema de "Problema de contorno móvel" , chamado de "condição de Stefan li (16). Consideremos a equação C2.8): CCD. C2.19). =. onde deveremos levar em conta também na transição de fase.. o comport.amento de CCD. Para simplificar a análise, vamos. e. KCD. supor que a transição. de fase ocorra a temperatura constante CT = O °C) e que a isoterma de separação de fase seja um plano, de uma coluna linear semi-infinita (24) conforme esquematizado na figura 7.. <s=x<t.> I---K-j,-' -C-j,--á-g-y-·-a.--"-I. .". to. k2 • C 2. ~. .,.x. o. Fig.7.-. Coluna. linear. semi-infinita.. onde. K.. c. são. condutividade térmica e capacidade calorífica respectivamente s = xCt.)a isoterma de transição de fase.. o. problema se reduz a resolver as equações:. a e.

(32) -23-. -. -. =121 iJx2 at.aTKK. 1. 12 iJx2 a2T O a2T. x. <. <. &. X. <. &'. <. 00. CC. (2.20). com as condições. T. de con~orno. x. 1 = To'.. =. iguais. a. o (2.20a). o. ~ =. e com as condições. = 2=P O~ x = &' =Lf.T. T. 1. de f'ron~eira na iso~erma. Lf. a. 2. d&'d~ C2.20b). é. densidade. o. calor. do liquido.. 1+2 B = 4> A ~. 21 2. iguais. K. :t=&. onde. "zero grau". T. [. 2: ,,:rt rt ]. la~en~e. b. de. A solução. f'usão Csolidif'icação) do problema. é. 12 C2.21). da f'orma :. e. p. é. a.

(33) -24-. Onde A1 •B1,A2 •B2 são const.ant.es a serem det.ermi nadas e a f'unção erro [24], A lei para o moviment.o da f'ront.eira congelament.o (fusão) é Ct. =. const.ant.e. é. <t>. de. C2.22). Na sit.uação de um sist.ema finit.o. t.al como uma coluna de solo de compri ment.o "L"• (Fi g. 8 ) com I sot.er mas pl anos" em uma dada região de t.emperat.ura e condições de Front.eira variáveis (dependent.es do t.empo) é possível escrever. a part.ir de (2.19). que:. c(n ar c)t.. :J. =. com as condições iniciais. KCD. :]. e de front.eira. o. <. x. <. (2.23). L. dadas por (2. 23a) (2. 23b) (2. 23c). T (x. O) = To (x) T (O. t.) = T (t.) T CL.. t.). = TL. =. T(O.t.). =. TCt.). ó,gUG. geto soto. tí.qu1.dG. Boto ~. Fig.8.-. xct.>. TCL.t.). =. T. L. Coluna de solo de compriment.o L com mudança de fase.. A equação (2.23) não apresent.a solução analít.ica. Port.ant.o buscaremos resol ve-la numéricament.e conforme poderá ser observado no próximo capit.ulo..

(34) CAPITULO. SOLUÇÃO. DAS EQUAÇÕES. DE TRANSPORTE. DE CALOR. 111. DIFERENCIAIS COM. MUDANÇA. PARCIAIS. NÃO - LINEARES. DE FASE7. PARA UMA COLUNA. AREIA NÃO - SATURADA7' DE DIMENSÕES. DE. FINITAS.. No capí~ulo an~erior deduzimos as equações que governam o ~ranspor~e de calor num meio poroso, mais especíricamente o solo. Deduzimos. a. equação. direrencial. (2.23). é. que. parcial,. unidimensional. de segunda ordem. não-linear. que governa o ~ransporte de calor em uma coluna de solo de dimensões rinitas. com mudança de rase e condições de rronteira variáveis (problema de Stefan). Como as soluções numéricas são as únicas possíveis para es~e ~ipo de equações [17], faremos uma breve introdução às ~écnicas numerjcas de solução de equações dif'erencias parciais. Em seguida, nos dedicaremos. à. solução da equação. (2.23). median~e. a técnica de dif'erenças f'initas, a qual nos permitirá simular a fusão do gêlo e a formação do gêlo ao longo de ~oda a coluna, em função do tempo.. 3.1. -. ORIGEM. DAS EQUAÇÕES. DIFERENCIAIS. PARCIAIS. NÃO. LINEARES.. Para um domínio considerável da matemá~ica. assume-se como postulado fundamental a linearidade dos sistemas, além do que, ferramen~as de cálculo mais disponíveis essencialmen~e lineares. Mas, a natureza é. as. para o cien~is~a são não-linear. ou seja os. modelos ma~emá~i cos que se aproY-Í mam da descii ção de fenômenos reais, são em geral não-lineares.. ~_,-:...:li_',. "--Nl»: ••~. .••• 'R'. tJ~ 81HjQHCA. i IMORMAÇAO ••. flSICA. J. •••. ~. --. - IFQSe.

(35) -26-. Não exist.e uma t.eoría geral para equações diferenciais parciais CE.D. P,) não-lineares para qualquer ordem de "não-linearidade", Na verdade exist.em mult.iplas t.eorías para diferent.es não-linearidades. Dependendo do t.ipo da não-linearidade os enfoques poderão ser analít.icos, aproximativos ou numéricos [18]. 3.2.-. SOLUÇOES PARCIAIS. NUMÉRICAS CE. D. P.). NÃO. DAS EQUAÇOES. DI FERENCI AI S. LINEARES.. Como não existe uma teoria geral para as E.D.P. não lineares, há muitos trat.amentos especificos para a solução destas equações, dependendo do t.i po de pr obl ema e do gr au de linear.idade. Tais t.ratament.os, por exemplo, podem ser transformações de variáveis para uma solução geral C Kirchhoff. BoItzmann ), . métodos de sol ução exata pelo uso da teor í a de aproximação de similaridade, mét.odos analí ticos para as sol uções assintót.icas. mét.odos aproximados baseado no concei to de perturbação e os mét.odos numéricos [18J, Depois da Segunda Guerra Mundial. devido ao rápido desenvol vi ment.o dos comput.adores di g1t.a1s, sobret.u~o quant.o ao acréscimo de suas velocidades e capacidades de operação, o uso de mét.odos numéricos cresceu subst.ancialmente na solução das E.D.P. não lineares. A formulação mat.emát.ica da maioria dos problemas em Ciências. envolve taxas de troca relativas a duas ou mais variáveis independentes, comumente representando uma medida de tempo, de comprimento ou de ángulo. conduzindo a uma E.D.P. ou tai s equações. Por exemplo, par a um caso a um conj unt.o de.

(36) -27-. especial. a-aZ. ri>. +. de equações. b-aZ. +. a.. variável mais. c.. d.. y,. x e. podem. e.. mas. f'requência.. quando. (3.1). ax. b.. equações. ordem em duas dimensões. +. dar/>. axay. axZ. onde. ri>. de segunda. f', g. podem. ser. f'unções independent.es. dependent.e da variável. Segundo. ser. a. relação. ocorre. com. ent.re est.es parâmet.ros.. elípt.icas quando. bZ_ 4ac = O e hiperbólicas. a qual. rI>.. da. b2. quando. 4ac. -. b2_ 4ac. O.. <. >. parabólicas. O [22].. Se um comput.ador digit.al é empregado para resolver E.D.P .• est.a deve ser t.ransf'ormada em oper ações ar it.mét.i cas adição.. subt.ração.. aproximação usadas. f'i. mul t.iplicação. f'oram desenvolvidas. os. mét.odos. de. e. di visão.. para. "dif'erenças. as. a de. Mui t.as t.écnicas de. est.e ef'eit.o. sendo as mais de "element.os f'init.as" e. ni t.os".. o. mét.odo de element.os f'init.os. soluções. de. equações. E.D.P.. hiperbólicas. est.át.icas. ou equilíbrio. variável. de. seja.. dinâmico. t.ipo elípt.ico.. sendo. t.ambém. e parabólicas.. mas. geralment.e em. para. não. dependent.es. sist.emas. usado. nas em. sit.uações do. t.empo:. [22].. Para sist.emas dinâmicos. ou seja. sist.emas que dependem da mét.odo das di f'erenças f'init.as t.em dado t.empo. o. excelent.es result.ados principalment.e parabólico.. como é o caso da E.D.P.. calor (2.23),. de E. D. P.. de. na solução que governa. de E.D.Ps.. de t.ipo. a t.ransf'erência do. de int.eresse dest.a dissert.ação.. Baseado. solução. t.em t.ido muit.o sucesso. no sucesso. das dif'erenças f'init.aspara. t.ipo parabólico.. de nossa. uma breve descrição. E.D.?. CEq.. escolhemos. 2.23).. do mét.odo a seguir.. a solução. est.e mét.odo. Ant.es porém.. para. a. apresent.aremos.

(37) -28-. Para um es'tudo mais de'talhado do mé'todo das diferenças as recomenda-se fini'tas e elemen'tos dos fini'tos, referências [18-22J.. 3.2.1.-. Mé'todo das di~erenças ~initas. o. obje~ivo básico do mé~odo das diferenças fini~as é represen~ar o con'tinuo espaço - ~empo, por um conjun'to fini~o de pon~os discre'tamen'teespaçados (nós). Is~o leva a um conjun~o de forma equações algébricas independen~es que represen~am de aproximada a E.D.P. A solução da E.D.P. é encon'trada resolvendo-se es~e sis'tema de equações. En'tão o primeiro passo para se ob~er 'tais equações é definir um conjun'to de pon'tos discre'tamente espaçados, ob'tendo-se logo a aproximaç~o para as variáveis e derivadas em ~ermos dos valores funcionais dos pon'tos nodais. Por exemplo. se o argumen'to x varía na região do segmento O < x < 1 (i. = x.1. = i.h dividimos es~e segmen~o median'te os pon'tos. 0,1.2.3 •... .N; h > O). em N par~es iguais de comprimento h = de málha l/N cada um. O conjun~o de pon'tos x. = i.h. é chamado e h. a dis~ancia en~re os de dif'erenças no segmen~o O < x < 1 1.. pon'tos(nós) da malha. é chamada de passo des'ta. Assim. usando o ~eorema de Taylor. [21J para a primeira. derivada da função u(x). podemos aproximar, com erro da ordem h :. u'(x). =. du. [uCx+h) -uCx-h) J. ·dx. 2h. C3.2). conforme representada na Fig. 3.1.. SHVIÇG ( t.. r,. ~".., ,.._...__. "",-,.,,". f r s/e /,. ._.. .. ~'"',_. _ v_J. -.

(38) U(x). -29-. l:. P da x+h x - Aproximação A tangente em 3.1. x-h. I u(x~J. lu~. I. x. central pela direita. CPB) e pela esquerda. "deemcentral écTambém "pl' ,equação a dademar eapela linha AB. h.amada 3.1. diferença claramente aproxi C3.2) t.angente pode-se Segundo a Fig a. inclinação relação. CAP).. aproxima. da tangent.e em "P", ou seja pela inclinação. para a direrença. 1. u' CX)~. (AB) ,. PB. dando a. pela direita:. (3.3). [ uCx+h) -uC x) ]. h ou pela inclinação. 1. u' CX>~ Se u subdivide-se. ôx. = h.. h. é o. ôt.. AP •.dando. = K. uma. a diferença. [ u( x) -u( x-h) função. plano. (Fig.. pela esquerda:. C3.4). J. de variáveis. independentes. x-t em um conjunto 3.2). que:. Up. =. uCih.jk). =. e as coordenadas u 1.,J ... ;. onde. x e t... de ret.ángulos de lados (x, t) do. numa malha repres"ent.ativa onde: x = ih. t = jk, com Ent.ão. de. é. i. j. possível. ponto. "p".. int.eiros, escrever.

(39) -30-. [Ci +l)h. jk] -2uCih. jk) +u[ (i -l)h. jk]. [B] [Sl~ p=. 1..J. (3.5). h2. u. OU:. u. i.+l.j. - 2u. i..J. com erro da ordem de equação para a variável. ijI. Í+ I)J k POhJjk). +. u. (3.5a). i.-1.j. De forma análoga ~emporal.. h2•. pode ser. I. --. i-IJj. i,j-l. i)j+l. x. ih. Fig.. 3.2.-. Definição. de malha para u. =. u Cx.~).. deduzida. a.

(40) -31-. E.D.P". ~iferentes. de convergência. dependendo. para. os. somente. dependendo. cálcuios. explicitos,. do. nodal. nodal para o avanço. 3.2.2.-. calor. C. CT). o avanço. com. [21J.. de. nodais. no nível. do tempo mais. de. não-lineares,de. mudança. de. fase,. em. uma. de dimensões. para nosso. ax [KCD. ser. envolve um. ponto. transporte. é. sistema. ::. columa. de de. finitas. a. a. at. podem. [17].. não-saturada,. =. envolvidos. solução. se envolve. do tempo. para. e das condições. pontos. métodos. das E.D.P.. não linear. aT. dos. e implicito,. Solução. E.D.?. os. para. do passo. areia. das soluções. do número. tempo.. se a relação. um ponto. .A. do tipo de problema. e de estabilidade. Também.. fei tas. podem ser. semel h3.ntes. Discretizacões. CEq.. 2.23): C3.6). ]. °. t = iniciais TLT'lCt) = Oe L. Tjo com >=ToT'lCt) :OOas condições t para t ~ronteiraa iguais >x = 0, para x de T CL. t). C3.7). (3.8). onde.. j. = O. 1 , 2,. da coluna. e com. as. ......•. N ; n = O. 1 •2•. L. é. o comprimento. em x = O e T L a temperatura em x = L fronteira na isoterma de mudança de fase. To a temperatura condições. (considerando. de. uma isoterma. TT'lC t) = O • x = eC t) , t J. •M. >. de forma plana), O. e. x =. e. Ct),.

(41) -32-. (3.9). Lrp d&. =. dt. A ou. equação. (3.9). formação. governa o movimento da frente de derretimento e. de gêlo.. onde. n. indica. tempo.. j. Lf. espaço,. calor. latente de fusão Csolidificacão) e p, densidade do líquido. A GxprGssão à dirGi~a da relação (3.9) indica a ~ransição de rasa.. To. ti.qu\.do. k.. n. kn j+. J. TL. gêl.o. _x. 1. L. o. Fig. 3.3.- Coluna de comprimento L. mudança de fase &Ct). e condição de fronteira variável TL = TLnCt).. Para equações da forma C3.6.), a utilização dos esquemas explíci~os na discre~ização de suas derivadas náo é convenient.e [21,25J•uma vez que KCD. depende da t.emperatura. Devido. a esta. dependência. o passo do programa referent.e à .variável. t.empo tem que ser mui~o pequeno para que a condição de est.abilidade ocorra. Por ist.o é convenient.e aplicar os esquemas implícitos lineares e nã.o-lineares ref'eren~es a Tn+1. No caso de esquemas não-lineares, . j a ut.ilização de mét.odos i~erat.ivos para a determinação de Tr,+lé J adequado. Estes esquemas i.terativos também permitem utilizar um passo menor no tempo em. comparação. aos. esquemas. sem. i~erações. [24] . Para. modelar. o. fluxo. horizontal. de. água. no. solo.

(42) -33-. considerado. nosso. não-linear.. adaptado. CKirkham mostra. and. equação. do. ?owers;. um esquema. utilizaremos. problema. método. Advanced. do método. usado. o método. Aschcr oft. por. Seil. ?hysics). implícito. aplicado. implíci. [25J. para. A. et. figo. to al. 3.4. discretizar. a. C3.6):. T. 1T1+ J. ·Tn~ 1/2. j-. T~-•. V2. j+ V2. tG. n. J~I. T rlt-V2. --. T.I J-. r-D.X--t. .I...-j-I. X. j~1. DISTÂNCIA. Fig. 3.4.- Distribuição de tempo. genéricos. de temperatura. •. te e t7 .. Na Fig. 3.3.. Tn j -j,. e. T~. J~. • são valores. valores n+j,/2 Tn+j, oJ-j, Tn+j, T J-j,/2 de usados T.• valores T ede T,j~ .•de j tempo n+1; tempo p ara incremento en' Tn~ • de. ;. n+j,/2. para determinar. a condutividade. para dois instantes. térmica. KCT).. de T. para o.

(43) -34-. A discretização para a aproximação das diferenças finitas como. função. de. T. a. partir. de. C3.6). ficará. representada. da. seguinte forma [25J: n+1/2 KCT. =. j - 1/2. n+1/2 ) CTn+1_. j +i. Tn+1) _ KCT. j. j +i/2. )C. Tn+! Tn+ 1) j j-1. (âx)2 (3.10) onde def' ine-se: n+1/2. KCT. j+1/2. ) =. KCT~) + KCT~ J. J+t. ). 2 C3.11). n+1/Z. KCT. j-1/2. ) =. 2. Segundo Forseythe and Wasow (23]. a f'orma de representar a equação C3.6) em dif'erença f'inita(3.10). tem a vantagem de ser estável Cos valores encontrados de Tn+1 nao "oscilarão" ao redor. j. do verdadeiro valor da distribuição de temperatura). para todos os valores ~t/C~z maiores que zero. Outra vantagem á que o conjunto de equações simultâneas tem solução única. Esta f'orma de equação é chamada não-linear [25].. de. equação. Das relações C3.10) e. de. diferença. f'inita implícita. C3.11). obtemos a seguinte relação:.

(44) -35-. KCTT'l)+KCTT'l J J. --------. 2C t:.:x). KCTT'l) +KC TT'l ). 1)TT'l+1 . J-1. -. j. 2C. Z. KCTT'l) +KC TT'l. j - 1). j. j+1. KCTT'l) J +KC TT'l J + 1. ). --------. +. f:::.x) Z. Tn+1 .. J+1. C3.12). 2C!:J.x.)2. 2C t:.:x) 2. De~inindo as quan~idades dCj). C3.12a). = A~. KCTT'l) aC. j). + KCTT'l. j -1. j. =. ). C3 12b). 2C t:.:x) 2. KCTT'l)+KCTT'l. CCT~). j +1. j. J. bCj). 2C t:.:x) 2. KCTn). cCj). =. j. ). KCTn) +KC TT'l. j - 1). j. C3.12c). 2C t:.:x) 2. + KCTn. j + 1). C3.12d). 2C!:J.x.)2. aCj). n+1 T. J-1. + bCj). n+1 T. + cCj) J. n+l T. = dCj)T~ J+1. C3.13) J. SERViÇO DE BI;~,rj:_-:"/\-E FfSICA. i~:-;-·c·~:" ..,çJ\O. •• IFOSC. I. _I.

(45) -36-. onde j = 2.3 •.. , m-1; n = 0.1.2 •..... N. os valores. de j = 1 e j=m. estão. =. dados. pelas. respectivamente. KCT) ,. KCT. ). valores. os. J+1. serão. j+1/2. KCT),. da. valores. os. O. n. e. x. médios. C24) .. Tn. são. j. os. os. e Tn+1. j -1'. n+1.. tempos. L. entre. Cconheci dos). para. =. que. (calculados).. f'ornece. simultáneas. aCj) .bCj) ,cCj). x. valores. os. tempos. temperatura. relac;:ão (3.13) algébricas. ) são. em. respectivamente. J-1. para. fronteira. j-1/2. KCT. ). J. encontrados. de. ) e KCT. da temperatura. T~+1, Tn+1 J. KCT e. J+1. J. condições. e dC j). relac;:ões C3.12a. ,. T"+1 .. para. são. J. constantes. 3. 12d). e. de equac;:ões conjunto os onde parâmetros. um. dos. KCT.J-1/2 ) que devem ser conhecidos. conheci das,. valores teórica. de. cal cul adas. CCT).. J. das. KCT.. ). J+1/2. e. ou experimentalmente.. . com as A soluc;:ão da equac;:ãoC3.13) e, reso I' VJ. d a para Tn+1 J condic;:ões iniciais e de f'ronteira dadas pelo problema usando-se métodos iterativos. Para concluir as iterac;:ões, a condic;:ão MA}{ ASSC Tr:'+1-~). l~N ~N-l. J. &,. <. i. é. Geralmente,. iterac;:õesé f'ornecida "a priori". iterac;:õeseleva-se. Para =. consideravelmente. nosso. problema. isto. llcm;. devido. dissertac;:ão é simular uma coluna próximo. da. L, particularizaremos. comprimento L. ou um número. uti I zada. de. deter mi nado. J. ao. já com duas. a precisão. que. o. obj eti vo. a f'rente de derretimento de comprimento.. [24].. não-saturado. a soluc;:ãode (3.13),. f'ato de. de areia de llcm.. dos cálculos. solo. de. coluna. ou três. de. f'azendo-se da. pr esente. - congelamento. para. como será descrito. no. cap{tulo. Se. C~=L/N,. dividirmos. a. coluna. onde N é o número. em. passos. de divisões),. nós ou malhas,. ao longo de seu comprimento. Assim.. =. para. CFig.3.5),. L. 11.. ~. correspondente. =. lcm .• teremos. de. obteremos. comprimento um conjunto. ~ de. que chamamos. de perf'is.. um. de. conjunto. a 10 equac;:õesalgébricas. 12. nós. Cj=2.3, .... ,11).

(46) -37-. para. (3.13), com os valores. a relação. condição. de. fronteira. Substituindo-se matricial. J. estes. em. x. valores. da forma apresentada. e. em. x. =. (3.13). L,. respectivamente.. gera-se. uma. j. equação. em (3.14).. Ax N3j,2 ..............................j,j, T. 2 L,. = j,. O. =. j=l e j=12, dados pela. para. n+j,. 4. n+j,. To, J. x=o. x=L. Fig. intervalos. 3.5. - Divisão. da coluna. Ax = lcm.. bC 2) cC 2). O. O. a(3) b(3) c(3) O. L = llcm em. de comprimento. 0. a(4) b(4). cC4). J.. dC 2) Tn 2 d(3)Tn. 2. n+j,. T 11....n.,.j,. 3. 3. 0. aC 2) TnH 1. =. 3.14. .................................................................... . . . • . • . • . . • • • . . • . . . • . • . • . • . • • cC 1 O) O. onde. O. O. os. valor es. Cconheci dos). mais. Tn+j,. 1. a. (3.14). derivado. passos. é chamada. valores. da. f'ront.eira. de "Mat.riz t.ridiagonal", onde o. para resolve-Ia. comput.a ci onai s. é. do mét.odo de eliminação. Dest.e modo para a solução de Thomas. são. n+l.. diret.o empregado. acar ret.a menos Thomas.. 11. no tempo. A relação mét.odo. n+j, aCl1)bCl1) IIT. O. junt.ament.ecom. que geralment.e. o mét.odo aI gor it.mico Gaussiana. de C3.14.),. o mét.odo. e. de. [20]. usaremos. o algorit.mo. "it.erat.ivode Picard". [26J.. O.

(47) -38-. "método solução um. 'itarativo a partir. número. de. Picard". de um valor. iterações. vai or ini ci ai. fixo. da. garante. uma. de aproximação. também. (no caso. de erro. nos. dada.. as condições. Ou. pré-estabelecido seja.. começando. iniciais).. e um número. (apr oxi mação). convergência. e dado. na e de. por. um. vai or. um. de iterações.. o sistema. apr oxi mação. desejada.. n+1. vai. testando. Reinicia fazer. os. cada valores. novos. Como. obtida. continuidade en. conta. ocorrem deverá veremos. Dessa. de. adiante.. um sistema. na solução. bal anço. a. para. de. CEq.3.9). conservativo. para. o. ener gí a. de. gêlo. o balanço. quantidade. de. levar. fase.. onde onde. Cágua) •. Cequação. do balanço. e tal. Cequação. deveremos. transição. do passo do tempo. se avaliar. a seguinte. de fase. do problema na. avaliação. a ter um controle. tn+1 CT~+1) definese J. mudança. estruturais. o. e pré-estabelecida.. Massa. Principalmente. fí si cas. forma.. desejada. possui. através. avaliado. mais. nos ajudará. sistema. fato.. mudanças ser. de. seção C2.2.3).. este. J. a aproximação. Balanço. nosso. a. com. T,. variáveis T,n com as novas soluções para , , n+1 ,J T,J e ass~m por d~ante. ate encontrar a •. de. conforme. 3.2.3. é. das. cálculos. convergência. equação. solução. 3. 9) . Como. de massa. também. ~t.. de. "massa". física.. no tempo. adaptada. de. J. H.. Dane et aI [27] e analisado por Tijonov and Samarsky ~24]. o que por sua vez nos permite controlar o tamanho do passo do tempo ~t:. o ME. =. n+1. ln+1.. J-L [WCx. tnH) -WC x. tn) ]dx -Jln[VCO.t)-VCL.t)]dt. C3.15).

(48) -39-. onde MBn+1represent.a o balanço de massa no int.ervalo de t.empo n+l. A primeira int.egral do segundo membro represent.a a quant.idade de calor que ent.ra (ou sai) at.ravés dos perfis da front.eira em x =. O e. int.egral. x = L no intervalo representa. de tempo. o fluxo. de calor. entre. tn e tn+1. e a segunda. ocorrido. no mesmo int.ervalo. (3.15). para um valor específico de tempo (~t.=t.n+1-t.n). Usando-se no t.empo pode ser de MBnH. t.al como s. o passo do programa valor de Por exemplo. se MBn+1é mai or que cont.rol ado. TI+1 e T. será recusado e o passo do t.empo t.erá que ser diminuido J dos novos valor es para TTlH •Wj. e Vj C1'l uxo de calor at.ravés J out.ro lado. se MBn+11'or per1'ies da coluna) serão calculados. Por mui t.o menor que aI gum valor como 0.1 &. aument.ado para os cálculos seguínt.es.. o pr o~r ama em 1 i nguagem For t.r an. C3.6). con1'orme discut.ido. acima. será. o. passo. do t.empo ser á. que si mul a a equação apresent.ado no apêndice..

(49) CAPITULO IV. MATERIAIS. 4. 1 • -. E MÉTODOS. RESULTADOS EXPERI MENTAI S POR. Como. DA TOMOGRAFtA. H.M.R.. mencionamos. na. int.roduc;ão dest.a dissert.ac;ão. foi. mont.ado um experiment.o que permit.iu o acompanhament.o. imagens formac;ão. DE IMAGENS. por. NMR.. do. moviment.o. de. gêlo. em. uma. da. coluna. frent.e de cont.endo. at.ravés das. derret.iment.o e. areia. ou. não-sat.urada. e. submet.ida a um gradient.e de t.emperat.ura. Pelo fat.o da t.écnica ser não. dest.rut.iva foi. acompanhado. derret.iment.o em uma única. coluna. t.odo o. ciclo. de areia.. Foi. congelament.o medida. port.ant.o a. posic;ão da frent.e de congelament.o e ou derret.iment.o ao longo da coluna resul t.ados de para vários inst.ant.es cuj os pr inci pai s int.eresse dest.a dissert.ac;ão apresent.aremos 4.1.1.Par a. Imagens o. por tomografla. acompanhament.o. da. de. a seguir. H.M.R.. frent.e de. derret.iment.o e. ou. congelament.o. pela t.omografía de N.M.R .• foi ut.ilizada uma coluna de areia (areia de Ot.t.awa- Canadá) não-sat.urada de 11.00 cm de. 2.54. compr iment.o e ut.ilizada foi a. diâmet.ro. A porcent.agem de. global. pb. do sist.ema 3 de 1.47 g/cm .. da ut.i1izac;ão. da. areia. 37%. com uma densidade. ~at.o de possuir NMR. de. igual a 25% sendo. A razãe.. por. cm. (baixo. carat-eríst.icas cont.eúdo. de. umidade. a porosidade. favorave~s mat.eriais. ~. e. igual. de Ott.awa deveu-se. ao. a obt-ençáo de imagens paramagnéticos).. forma.

(50) -41-. esférica das part.ículas convenient.e à definição de porosidade e prat.icament.enão ser expansiva. O t.amanho máximo do grão de areia usado foi de O.21mm. de diâmet.ro.. foi. A coluna de areia. tot.almente isolada termicamente nas. suas redondezas e submetida a um gradient.e de temperatura em seus extremos. Ist.o foi fei to colocando-se um banho térmico em ambos os extremos da coluna, com temperatura cont.rolada (Fig. 4.1). A ° extremidade de temperatura menor (mais fria) foi mant.ida a -8 C, const.ant.edurant.e quase. todo o exper i mento.. A part.i r. de. 254. minut.os de experiment.o passou para - 13.5°C até o final do experimento. O extremo mais quente foi submetido a uma temperatura variável de 22O'C até -11O'C, conforme nos most.ra a t.abela4.1.. \. Coluna -1J. .:l, mai.s Ar.,i.a C zzC) Clado (-J.20 i.solada t.&rmi.cam&nt.& congeLada Banho Banho 1. 'I.. -I. do. o quent..,.. t. érmi.co. Fig. 4.1.- Coluna. de areia submet.ida a um gr:adient.ede temperatura variável no tempo fornecido por dois banhos t.érmicos localizados em seus extremos.. Inicialmente,. a coluna de areia foi totalmente. congelada. usando-se um banho de nitrogênio líquido. Após isto, foi mantida termicamente isolada e submet.ida em seus extremos ao gradiente de tempera~ura conforme mostrado na tabela 4.1. Est.e fato fará com que apareça uma frente de derretimento e posteriormente de.

(51) Fig. 4.2.- Imagens por t.omografía de N.M.R. da frent.e de derret.iment.o-congelament.o da coluna de areia de Ot.t.awa não-sat.urada, para as posições x = O, 9, 8.3, 7.5, 5.5, 4.2, 2.5 e 4cm respect.ivament.e..

(52) -43-. por N. M. R. de um cor~e d~ seção da coluna de ar ei a par a uma posi ção pr óxi ma a x = Bcm e um ~empo 135 minu~os onde apresen~a um pequeno depois de começado o experimen~o. vazamen~o de calor.. Fig. 4. 3. - Imagem.

(53) -44-. --ü0'1~EoüC vcooEc95.00 o -+-' Q) Q). "--.,, Q) I...u... -10-,.0' I...Q) -+-' "T-"' '--"" Q) ""-. I. 2.00 0.00 10.00· 5.00 1.00 11.00 7.00 3.00 8.00 I 6.00 9.00 4.00. Q). ro;:.r ':t v. ~Derretimento. -195.00. v.. do gêlo. 295.00. Tempo. 395.00. 4.,95 ,(...J..... ,(') ~. (minutos). Fig.4.4.- Fren~e de derre~imen~o-congelamen~o como runção da posição medido ao longo da coluna ut.i 1izando-se da ~écnica de imagem por N.M.R..

(54) TABELA 4.1. Temperatura do lado mais. rrio (. o. C ). Sinal (posição. de N. M. R. da frente. derretimento. de. em em.). -8. sem sinal. -8 -8. Temperatura. Tempo. do lado mais. (min. :. o. quente. ( C ). sem sinal. 22 22. 00 20. sem sinal. 22. 40. -8 -8. 26. 70 80. -8. 24 22. -8 -8 -8 -8. -8 -8. 26. 10. 20. 9. 18 17. 8.3. 16 16. 7.6. 85 90 95. 104 107 115 122. -8. 14. -8 -8 -8. 12 10. 129 138 146. 10. 156. 7. 170 179 185. 5.5. -8 -8. 4.2. -8 -8 -8 -8 -8 -8. 3.2. 4. 2.6. -1. -13.5 -13.5. 2.7. 5. -2 -4. 2.1. -13.5 -13.5 -13.5. -13.5 -13.5 -13.5. 234. -5. 240. -6. -9. 254 283. -9. 297. -10 -11 -11 -12 -12. 304. -12. 4.0. 213 220. 327 366. 382 387 412. Tabela 4.1. - Dados do experimento de imagens por t.omografia de N.M.R.: Posição da frente de derretimento-congelament.o como função ,o ""0-_' __ da t.emperatura e do tempo. _, -S->;-R-V-lç-O-o-e-sl2;!" :r;; ':':"'A. e. lr-.:rc":"i\çAO. fISICA.. - IFase.

(55) -46-. congel ament.o ao. longo. mediant.e. as. resultado. apresentamos. No. imagens. da. col una.. por. de. tomografías. nas figuras:. de. experimento. Est.a frent.e foi. 4.2. a. não. NMR,. complet.ament.e e diretament.e as condições para o est.udo numérico. foi. mont.ado um. experiment.o de NMR) o. 4.1.. foi. possí vel. medir. qual foi possível. (Fig.. qual. nos. na coluna.. Por ist.o. similares. (ao. em pont.os diferent.es. 4.5).. Tal experiment.o foi chamado o. front.eira. medir ao longo da coluna do t.empo. Para íst.o foi. ut.ilizado um conjunt.o de t.ermopares colocados coluna. e de. condições. exper iment.o sob. ::ujo. ,. e na Tabela. iniciais. a dist.ribuição de t.emperat.ura em função. na mesma. [29-31 J. NMR. 4.4. do transport.e de calor. out.ro. acompanhada. permit.irá. determinar. de Experiment.o de "Calibração", as. condições. iniciais. e. de. est.ão apresent.ados. na. cont.orno para o experiment.o de NMR. Os result.ados t.abela 4.2.. o. ,. dest.e experiment.o. 2 em.. ~em.. A••.. 6em.. "'\ iOcm.. Sem.. Térmi.eo o. -. 5> C.. -. Ba.T1. ho. Térmi.eo o. 26. o.. -:11 C. 11em. Fig. 4-.5.- Diagrama. most.rando o conjunt.o de. esquemát.ico. da. coluna. t.ermopares dispost.os de. dist.ribuição de t.emperat.ura em função. ,.,... com. forma. a medir. l,·,·-~o. a. do t.empo ao longo dest.a.. ~';r__. ·__. "..._;·~..,:. ......,.,...~,.., •.•·...._,.·.c·..,r<"'·.-. SERViÇO DE BiCL/GTECP. E I!'.iFORIAI\çAO I flSICA I'. are~a. ••. -"IFQSC.

(56) Temperatura x=2cm. do lado mais. f r ia:. -9. (O. C. x=4cm.. TABELA. No.4.2. x=6cm.. x=8cm.. x=10cm.. ). Temperatura tempo do lado mais (min.) . o ~ . quente: ( C ). A O 7-13 73 26 -3 fR -7.2 1fi2110 i4 -1 -7.5 626 .5 5 5 230 -12 -12.5 -11 3 -5 -1 -8 10 3 375 45 35 62 387-28 5 8 0 -29 7 316 10 -10 -5.5 -13 1.5 4 412 -41 25 -33 -7 87 15 -34 332 322 238 248 281 -4 -19 -O -1 4. -10 -26 -23 9 -32 -9 1 O 2 350 -2 95 82 40 O 68 30 55 21 23.5 18 9 158 220 293 192 180 -3.5 205 1 -11.5 10 -46 171 -3 -39 -6 142 267 -37 O O -13 -17 2 -17 -18 -22 -28 -15 107 -10 -4 -34 -30 -20 -15 12.5 130 120 -64 -99 -103 5 -97 -110 -21 -48 -73 -56 -8 2 -71 -115 -41 -9 -24 -17 -33 -60 -61 -80 -64 15 -88 103 -116 83 -48. Tabela. 4.2.-. Experimento. medido. com os termopares. de "calibração". : distribui9ão. ao longo da coluna. em função. de temperatura do tempo..