TEOREMA ( Propriedades das operações matriciais)

(1)

TEOREMA ( Propriedades das opera¸c˜oes matriciais)

Supomos as dimensões das matrizes A, B, C tais que as opera¸cões abaixo consideradas estão bem definidas. Temos então:

I. A+B=B+A (comutatividade da soma matricial)

II. A+(B+C)=(A+B)+C (associatividade da soma matricial) III. A(BC)=(AB)C (associatividade da multiplica¸c˜ao matricial)

IV. A(B+C)=AB+AC (distributividade à esquerda relativamente à soma matricial) V. (B+C)A=BA+CA (distributividade à direita relativamente à soma matricial) IV’. A(B-C)=AB-AC (distributividade à esquerda relativamente à diferen¸ca matricial)

V’. (B-C)A=BA-CA (distributividade à direita relativamente à diferen¸ca matricial) VI. a(B+C)=aB+aC (distributividade da multiplica¸cão por um escalar relativamente à

soma matricial)

VI’. a(B-C)=aB-aC (distributividade da multiplica¸c˜ao por um escalar relativamente `a difer-en¸ca matricial)

VII. (a+b)C=aC+bC (distributividade da multiplica¸cão pela soma de escalares) VII’. (a-b)C=aC-bC (distributividade da multiplica¸cão pela diferen¸ca de escalares) VIII. a(bC)=(ab)C (associatividade da multiplica¸cão por um escalar)

IX. a(BC)=(aB)C=B(aC) (comutatividade da multiplica¸cão por um escalar relativamente à multiplica¸cão matricial)

(2)

TEOREMA (Propriedades das matrizes invert´ıveis). Versão 1 Seja A uma matriz n× n, então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(i) A ´e invert´ıvel.

(ii) O SEL homogéneo, Ax = 0, só admite a solu¸cão trivial.

(iii) O resultado do Método de Gauss-Jordan aplicado a A é a matriz identidade n× n. (iv) A admite uma factoriza¸cão na forma de produto de matrizes elementares.

(v) O SEL Ax = b ´e poss´ıvel e determinado para cada vector independente b n_{× 1.}

Observa¸c˜ao: Vamos ver este teorema ”crescer” ao longo da nossa cadeira de ´Algebra Linear.

(3)

Exemplo de aplica¸cão do Método de Gauss-Jordan ao cálculo de A−1 Pretende-se calcular a matriz inversa de

A =   13 39 14 −2 −8 0  

Resolu¸cão: A ideia do Método de Gauss-Jordan baseia-se na redu¸cão da matriz original A, mediante opera¸cões elementares com as suas linhas, á matriz identidade I3, neste caso. As

mesmas opera¸c˜oes elementares aplicadas ´a matriz identidade I3 produzem a matriz inversa

A−1, que nos ´e pedida.

Assim, vamos efectuar os seguintes c´alculos, partindo da matriz aumentada (A...I) (A...I) =   13 39 1 : 1 0 04 : 0 1 0 −2 −8 0 : 0 0 1  

1o Passo: Somamos a segunda linha com −3 vezes a primeira linha. Obtemos 

 10 30 1 :1 : _{−3 1 0}1 0 0 −2 −8 0 : 0 0 1

 

2o Passo: Somamos a terceira linha com 2 vezes vezes a primeira linha. Obtemos 

 10 30 1 :1 : −3 1 01 0 0

0 _{−2 2 :} 2 0 1

 

3o Passo: Trocamos a segunda linha com a terceira linha. Obtemos 

 10 _{−2 2 :}3 1 : 12 0 00 1

0 0 1 : _{−3 1 0}

 

4o Passo: Somamos a segunda linha com −2 vezes a terceira linha. Obtemos 

 10 −2 0 :3 1 : 18 −2 10 0

0 0 1 : −3 1 0

 

5o Passo: Somamos a primeira linha com_{−1 vez a terceira linha. Obtemos} 

 10 _{−2 0 :}3 0 : 48 −1 0_{−2 1}

0 0 1 : −3 1 0

 

6o Passo: Somamos a primeira linha com 3

2 vezes a segunda linha. Obtemos

  1 0 0 : 16 −4 3 2 0 −2 0 : 8 −2 1 0 0 1 : ₋₃ 1 0  

(4)

6o Passo: Muliplicamos a segunda linha por −1 2 e obtemos finalmente   1 0 0 : 16 −4 3 2 0 1 0 : ₋₄ 1 ₋1 2 0 0 1 : ₋₃ 1 0   = (I...A−1)

Terminamos ent˜ao os c´alculos com a matriz aumentada (I...A−1), donde

A−1 =   16 −4 3 2 −4 1 −1 2 −3 1 0  

Observa¸cão: No final da aplica¸cão deste método não se esque¸ca nunca de verificar que temos A−1A = I.

(5)

TEOREMA (Propriedades das matrizes invert´ıveis) Versão 2 Seja A uma matriz n× n, então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(v) O SEL Ax = b ´e poss´ıvel e determinado para cada vector independente b n_{× 1.} (vi) detA6= 0.

(6)

TEOREMA ( Propriedades da Adi¸c˜ao e Multiplica¸c˜ao por um Escalar em n₎

Sejam x, y, z vectores de n_{, e c, d}_∈ _{escalares. Temos ent˜ao as seguintes propriedades:}

I. ∀x, y ∈ n_{: x + y = y + x (comutatividade da adi¸c˜ao).}

II. _{∀x, y, z ∈} n_{: (x + y) + z = x + (y + z) (associatividade da adi¸c˜ao)}

III. ∃0 ∈ n_,_{∀x ∈} n_{: 0 + x = x + 0 (existˆencia do elemento neutro da adi¸c˜ao).}

IV. _{∀x ∈} n_,_{∃y ∈} n_{: x + y = 0, y diz-se sim´}_{etrico de x (existˆencia de sim´etrico).}

V. _{∀c, d ∈ , ∀x ∈} n_{: c(dx) = (cd)x (associatividade da multiplica¸c˜ao por escalares).}

VI. ∀c ∈ ,∀x, y ∈ n_{: c(x + y) = cx + cy (distributividade da multiplica¸c˜ao por um}

escalar relativamente `a adi¸c˜ao).

VII. ∀c, d ∈ ,∀x ∈ n_{: (c + d)x = cx + dx (distributividade da multiplica¸c˜ao por uma}

soma de escalares).

VIII. _{∀x ∈} n_{: 1x = x (existˆencia de identidade).}

(7)

TEOREMA ( da dimensão, independência linear, bases e geradores) Seja W um subespa¸co linear de n _{com dimensão igual a m. Então podemos concluir o}

seguinte sobre um conjunto S ={v1, v2, . . . , vl} de l vectores de n.

I. Se S gera W , ent˜ao ou ´e base de W (caso l = m), ou pode tornar-se numa base de W , excluindo um ou mais vectores (caso l > m).

II. Se S gera W , então S tem pelo menos m vectores. III. Se S gera W e tem m vectores, então é base de W .

IV. Se S é L.I., então S ou é base de W (caso l = m), ou pode tornar-se numa base de W , juntando um ou mais vectores (caso l < m).

V. Se S é L.I., então S tem quanto muito m vectores. VI. Se S é L.I. e tem m vectores, então é base de W .

(8)

TEOREMA (Propriedades das matrizes invert´ıveis) Versão 3 Seja A uma matriz n× n, então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:

(v) O SEL Ax = b ´e poss´ıvel e determinado para cada vector independente b n_{× 1.} (vi) detA6= 0.

(vii) As colunas de A s˜ao L.I.. (viii) As linhas de A s˜ao L.I..

(ix) As colunas de A geram n_.

(x) As linhas de A geram n_.

(xi) As colunas de A s˜ao uma base de n_.

(xii) As linhas de A s˜ao uma base de n_.

(xiii) A tem caracter´ıstica igual a n. (xiv) O n´ucleo de A ´e igual a {0}.

(xv) A tem nulidade igual a 0.

Observa¸cão: este teorema já ”cresceu” relativamente à Versão 1 nas últimas dez al´ıneas.

(9)

TEOREMA ( Propriedades das transforma¸c˜oes lineares)

Supomos as transforma¸cões lineares P, R, T tais que as opera¸cões abaixo consideradas estão bem definidas. Temos então:

I. T+R=R+T (comutatividade da soma)

II. T+(R+P)=(T+R)+P (associatividade da soma) III. T(RP)=(TR)P (associatividade da composi¸c˜ao)

IV. T(R+P)=TR+TP (distributividade à esquerda relativamente à soma) V. (T+R)P=TP+RP (distributividade à direita relativamente à soma) IV’. T(R-P)=TR-TP (distributividade à esquerda relativamente à diferen¸ca)

V’. (T-R)P=TP-RP (distributividade `a direita relativamente `a diferen¸ca)

VI. a(T+R)=aT+aR (distributividade da multiplica¸c˜ao por um escalar relativamente `a soma)

VI’. a(T-P)=aT-aP (distributividade da multiplica¸c˜ao por um escalar relativamente `a difer-en¸ca)

VII. (a+b)T=aT+bT (distributividade da multiplica¸cão pela soma de escalares) VII’. (a-b)T=aT-bT (distributividade da multiplica¸cão pela diferen¸ca de escalares) VIII. a(bT)=(ab)T (associatividade da multiplica¸cão por um escalar)

IX. a(TP)=(aT)P=T(aP) (comutatividade da multiplica¸cão por um escalar relativamente à composi¸cão)

(10)

TEOREMA (Propriedades das matrizes invert´ıveis que representam transforma¸c˜oes lineares em n_{) Vers˜ao 4/5}

Seja A uma matriz n× n que representa a transforma¸c˜ao linear T : n_→ n _{relativamente}

a uma base de n_{, então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:}

(iii) O resultado do Método de Gauss-Jordan aplicado a A é a matriz identidade n_{× n.} (iv) A admite uma factoriza¸cão na forma de produto de matrizes elementares.

(v) O SEL Ax = b ´e poss´ıvel e determinado para cada vector independente b n_{× 1.} (vi) detA_{6= 0.}

(xiii) A tem caracter´ıstica igual a n. (xiv) O n´ucleo de A ´e igual a _{0}.

(xv) A tem nulidade igual a 0. (xvi) λ = 0 não é valor próprio de A.

(xvii) A imagem da transforma¸c˜ao linear T ´e n_.

(xviii) O núcleo da transforma¸cão linear T é_{0}. (xix) T tem caracter´ıstica igual a n.

(xx) T tem nulidade igual a 0.

(xxi) A transforma¸cão linear T é invert´ıvel. (xxii) A transforma¸cão linear T é um isomorfismo. (xxiii) λ = 0 não é valor próprio de T .

Observa¸cão: este teorema já ”cresceu” relativamente à versão anterior nas últimas oito al´ıneas sobre transforma¸cões lineares em n_.

(11)

TEOREMA (Propriedades das matrizes invert´ıveis que representam transforma¸c˜oes lineares em n_{) Vers˜ao 6}

Seja A uma matriz n_{× n que representa a transforma¸c˜ao linear T :} n_→ n _{relativamente}

a uma base de n_{, então as seguintes afirma¸cões são equivalentes:}

(v) O SEL Ax = b ´e poss´ıvel e determinado para cada vector independente b n× 1. (vi) detA_{6= 0.}

(xiii) A tem caracter´ıstica igual a n. (xiv) O n´ucleo de A ´e igual a _{0}.

(xv) A tem nulidade igual a 0. (xvi) λ = 0 não é valor próprio de A.

(xvii) A imagem da transforma¸c˜ao linear T ´e n_.

(xviii) O núcleo da transforma¸cão linear T é{0}. (xix) T tem caracter´ıstica igual a n.

(xx) T tem nulidade igual a 0.

(xxi) A transforma¸cão linear T é invert´ıvel. (xxii) A transforma¸cão linear T é um isomorfismo. (xxiii) λ = 0 não é valor próprio de T .

(xxiv) O complemento ortogonal do n´ucleo de A ´e n_.

(xxv) O complemento ortogonal das linhas de A ´e_{0}.

Observa¸cão: este teorema já ”cresceu” relativamente à versão anterior nas duas últimas al´ıneas sobre complementos ortogonais em n_.

(12)

DEFINI ¸C ˜AO ( Espa¸co Linear)

Sejam V um conjunto n˜ao vazio e os elementos x, y, z de V , designados por vectores. Seja ainda o escalar c ∈ ( ou ). Definem-se a soma de dois vectores x + y e o produto

escalar cx. O conjunto V com as duas opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar diz-se um espa¸co linear (real ou complexo) caso se verifiquem as seguintes propriedades (inspiradas do comportamento de n_):

I. _{∀x, y ∈ V : x + y ∈ V (fecho da adi¸c˜ao).}

II. _{∀x ∈ V, ∀c ∈ : cx ∈ V (fecho da multiplica¸c˜ao por um escalar).} III. _{∀x, y ∈ V : x + y = y + x (comutatividade da adi¸c˜ao).}

IV. _{∀x, y, z ∈ V : (x + y) + z = x + (y + z) (associatividade da adi¸c˜ao)}

V. ∃0 ∈ V, ∀x ∈ V : 0 + x = x + 0 (existência do elemento neutro da adi¸cão). VI. _{∀x ∈ V, ∃y ∈ V : x + y = 0, y diz-se simétrico de x (existência de simétrico).} VII. ∀c, d ∈ , ∀x ∈ V : c(dx) = (cd)x (associatividade da multiplica¸cão por um escalar). VIII. ∀c ∈ ,∀x, y ∈ V : c(x + y) = cx + cy (distributividade da multiplica¸cão por um

escalar).

VIII’. _{∀c, d ∈} ,_{∀x ∈ V : (c + d)x = cx + dx (distributividade da multiplica¸c˜ao por um} escalar).

IX. _{∀x ∈ V : 1x = x (existˆencia de identidade).}