Universidade de São Paulo Escola Politécnica - Engenharia Civil PEF - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações PECE - ES25

(1)

Universidade de São Paulo

Escola Politécnica

Escola Politécnica -

-

Engenharia Civil

PEF

PEF -

-

Departamento de Engenharia de Estruturas

e

Fundações

PECE - ES25

ESTRUTURAS DE CONCRETO

Lajes Retangulares Maciças

Professores: Túlio N. Bittencourt

Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes Dimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes ____________________________________________________

Definição

Os elementos estruturais planos (com duas dimensões predominantes, isto é, bidimensionais) sujeitos a cargas transversais a seu plano são chamados genericamente de placas. As placas de concreto armado são denominadas de lajes. Normalmente, elas tem forma retangular e são maciças, resultando daí a denominação laje retangular maciça. Os apoios das lajes são, geralmente, constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes é feito, de maneira simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade entre lajes contíguas. No detalhamento das armaduras são tomados cuidados especiais para “cobrir”o monolitismo existente nas ligações entre a laje e as suas vigas de apoio.

(2)

PECE

PECE ––ES25ES25

Classificação

1. lajes armadas em uma direção:

Fig. 1.1 - Laje isolada armada em uma direção

V V1 P1 P2 P P4 lx _B B A A ly flecha a

Fig. 1.2 - Laje contínua armada em uma direção lx1 lx2 lx3

Continuação

1. lajes armadas em uma direção:

Fig. 1.3 - Laje muito alongada

flecha a C lx D C ly ≥ 2 lx D

(3)

PECE

Continuação

2. lajes armadas em duas direções:

Fig. 2.1 - Laje armada em duas direções ou em cruz

flecha a C lx D C ly ≤ 2 lx D

Lajes armadas em uma Direção

1. Esforços Solicitantes – Laje isolada

mx = p lx2 / 8 my = ν mx vx = p lx /2 p m v lx mx

(4)

PECE

Lajes armadas em uma

Direção

2. Esforços Solicitantes – Laje em balanço

m’x = p lx2 / 2 vx = p lx + P p m v lx P m v m’x

P

pl

v

Pl

pl

m

x x x x x

+

=

+

=

′

2

Lajes armadas em uma Direção

3. Esforços Solicitantes – Lajes contínuas

p1 p2 lx1 lx2 mx mx2 m’x v

A faixa de largura unitária da laje corresponde a uma viga contínua.

(5)

PECE

Lajes armadas em uma Direção

1. Dimensionamento

Conforme a figura, tem-se: dx = h - c - φx / 2 dy = h - c - φx - φy / 2 onde

c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes

protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR-6118)

φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my .

Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se adotar aproximadamente:

dx ≅ h - c - 0,5 cm dy ≅ h - c - 1 cm h φy φx c dy dx dy dx 100 cm Asy Asx

Lajes armadas em uma Direção

md= γfm = 1,4 m b = 100 cm h d 0,8x md 0,85fcd Rcd R_sd 0,68 b x f_cd(d - 0,4 x) = m_d⇒ Resulta: x d m bd f d cd =  − −        1 25 1 1 0 425 2 , , A m f d x s d yd = − ( 0 4, )

(6)

PECE

Lajes armadas em uma Direção

Costuma-se impor a armadura mínima usual de flexão para o momento fletor principal mx:

ρx ≥ 0,67.0,15% de acordo com a tabela 17.3 da NBR 6118/2003 onde h 100 A bh Asx sx x= = _⋅ ρ _{(em unidades: cm}2_{e cm).}

Nos apoios de engastamento ou de continuidade de lajes (m’x) deve-se verificar, também, a taxa mínima que é igual a 0,15%.

Para o momento fletor secundário my recomenda-se adotar

Asy ≥ 0,2 Asx ou ρy ≥ 0,5 ρmin com o mínimo de 0,9 cm2 / m, onde

Onde: ρ_s= A_s/b_wh e ρ_p= A_p/b_wh NOTA - Os valores deρ_minconstam da tabela 17.3 da NBR 6118/2003

-As/s ≥ 20 % da armadura principal

As/s ≥ 0,9 cm2/m ρs ≥ 0,5 ρmin Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção ρ_s ≥ ρ_min- 0,5ρ_p≥ 0,5 ρ_min ρ_s ≥ ρ_min–ρ_p≥ 0,5 ρ_min ρ_s ≥ ρ_min Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção ρ_s ≥ ρ_min- 0,5ρ_p≥ 0,5 ρ_min ρ_s ≥ 0,67 ρ_min–ρ_p≥ 0,5 ρmin ρ_s ≥ 0,67 ρ_min Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções

ρs ≥ ρmin - 0,5ρp≥ 0,67 ρmin (ver 19.3.3.2 da NBR 6118) ρ_s ≥ ρ_min–ρ_p≥ 0,67 ρ_min ρ_s ≥ ρ_min Armaduras negativas Elementos estruturais com armadura ativa não aderente Elementos estruturais

com armadura ativa aderente

Elementos estruturais sem armaduras ativas Armadura

(7)

PECE

1) Os valores de ρminestabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc= 1,4 e γs= 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin

deve ser recalculado com base no valor de ωmíndado.

NOTA - Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

0,288 0,259 0,230 0,201 0,173 0,150 0,150 0,035 Retangular 50 45 40 35 30 25 20

Valores de ρmin1)(As,min/Ac) %

Forma da seção

f_ck ωmin

Lajes armadas em uma Direção

Escolha das barras

Bitolas comerciais

φ = diâmetro nominal da barra em mm

As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2

m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m

φ(mm) As1(cm2) m1(kg/m) 2 G(cm) 4 0,125 0,1 8 5 0,2 0,16 9 6,3 0,315 0,25 12 8 0,5 0,4 15 10 0,8 0,63 18 12,5 1,25 1,0 23 100 cm h s s

(8)

PECE

Lajes armadas em uma Direção

A escolha da bitola x espaçamento (φ x s) é feita para as bitolas comerciais com as seguintes recomendações:

φmin = 4 mm ≤ φ ≤ φmax = h/8

smin = 8 cm ≤ s ≤ smax = 20 cm

Para as bitolas, adota-se um mínimo de 4 mm e um máximo correspondente a um décimo da espessura da laje. O espaçamento mínimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a concretagem da laje e, o espaçamento máximo, visa garantir a uniformidade de comportamento admitida nos cálculos.

Lajes armadas em uma Direção

Detalhamento das armaduras

• As armaduras obtidas para os momentos de vão são estendidas de apoio a apoio da laje; • As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje são estendidas de modo à “cobrir” o diagrama de momento fletor negativo; uma extensão de l_x/4 para cada lado do apoio é, normalmente, suficiente para essa finalidade;

• Nas bordas da laje costuma-se posicionar uma armadura (A_s,borda) com extensão l_x/5, visando controlar uma fissuração proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-se considerar ρmin=0,15%

(9)

PECE

Lajes armadas em uma Direção

Verificação ao Cisalhamento

V

Sd

≤ V

Rd1

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:

V

_Rd1

= [τ

_Rd

k (1,2 + 40

ρ

₁

) + 0,15 σ

_cp

] b

_w

d

onde:

τ

_Rd

= 0,25 f

ctd

f

_ctd

= f

_ctk,inf

/ γ

_c

ρ

₁

= A

s1

/b

w

.d ,

não maior que 0,02

σ

_cp

= N

Sd

/ A

c

Lajes armadas em uma Direção

k

é um coeficiente que tem os seguintes valores:

-

para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = 1

;

-

para os demais casos: k = 1,6 – d, não menor que 1, com d em metros

;

onde:

fctk,,inf= 0,7 fct,m

fct,m= 0,3 fck2/3

As1é a área da armadura de tração que se estende até não menos que d + lb,nec além da seção considerada;

bwé a largura mínima da seção ao longo da altura útil d;

NSdé a força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento (compressão positiva).

(10)

PECE

Lajes armadas em uma Direção

O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por: onde:

α1= 1,0 para barras sem gancho;

α1= 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ≥ 3 φ;

min , , , , A_A b ef s calc s b 1 nec b l l l =α ≥

Lajes armadas em uma Direção

η1= 1,0 para barras lisas; η1 = 1,4 para barras;

η1= 2,25 para barras nervuradas; η2= 1,0 para situações de boa aderência; η2= 0,7 para situações de má aderência; η3= 1,0 para φ < 32 mm;

η3= (132 -φ)/100 , para φ > 32 mm; onde:

φ é o diâmetro da barra, em milímetros.

é calculado por:

Onde: fbd= η1η2η3fctd

é o maior valor entre 0,3 , 10 φ e 100 mm. Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do comprimento de ancoragem necessário. b l min , b l bd yd b 4 f f φ = l b l

(11)

PECE

Exemplo e Detalhamento

4 m 4 m 4 m 4 m L1 L2 L3 mx1 mx2 mx3 m’x23=-11 kN.m/m 6,96 kN.m/m 11 kN.m/m

f

ck

=25 MPa

CA50A

c

l

= 1,5 cm

c

v

= 2,0 cm

h = 10 cm (todas as lajes)

g = 3,5 kN/m

2

q = 2,0 kN/m

2

vigas de b

w

= 12 cm

Laje L1

_{Momento Fletor Principal:}

m

x

= p l

x2

/ 8 = 5,5⋅4

2

/ 8 = 11,0 kN.m/m

b = 100 cm ; d = d

x

≅ h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm

m

d

= γ

f

m

x

= 1,4⋅11,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m

cm f bd m d x cd d ₁_,₇₃ 4 , 1 / 5 , 2 8 100 425 , 0 1540 1 1 8 25 , 1 425 , 0 1 1 25 , 1 ₂ ₂ =      ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ =       − − =

m

cm

x

d

f

m

A

yd d s

4 ,

85 /

)

73 ,

1

4 ,

0

8 (

48 ,

43 1540

)

4 ,

0 (

2

=

⋅

−

⋅

=

−

=

A

_s

> A

_smin

= ρ

_x,min

b h = 0,0015⋅100⋅10 = 1,5 cm

2

_/m

Exemplo e Detalhamento

(12)

PECE

Laje L1

bitola x espaçamento

φ

_min

= 4 mm ≤ φ ≤ φ

_max

= h/8 = 12,5mm

s

min

= 8 cm ≤ s ≤ 20 cm

17 6,0

0,8

10

10 9,7

0,5

8 7 < s

_min

15,5

0,315

6,3

s = 100/n (cm)

n = A

_sx

/A

_s1

A

_s1

(cm

2

₎

φ (mm)

Exemplo e Detalhamento

Laje L1

Momento Fletor Secundário:

m

y

= ν m

x

= 0,2⋅11,0 = 2,2 kN.m/m

b = 100 cm ; d = d

y

≅ h - c - 1,0 = 10 - 1,5 - 1,0 = 7,5 cm

m

d

= γ

f

m

x

= 1,4⋅2,2 = 3,08 kN.m/m = 308 kN.cm/m

A

_s

> A

_smin

= =

4,85⋅0,2 = 0,97 cm

2

_/m

cm f bd m d x cd d 34 , 0 4 , 1 / 5 , 2 5 , 7 100 425 , 0 308 1 1 5 , 7 25 , 1 425 , 0 1 1 25 , 1 2 2 =       ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ =       − − = m cm x d f m A yd d s 0,96 / ) 34 , 0 4 , 0 5 , 7 ( 48 , 43 308 ) 4 , 0 ( 2 = ⋅ − ⋅ = − = As/s ≥ 20 % da armadura principal As/s ≥ 0,9 cm2/m

Exemplo e Detalhamento

(13)

PECE

Laje L1

bitola x espaçamento

φ

_min

= 4 mm ≤ φ ≤ φ

_max

= h/8 = 12,5 mm

s

min

= 8 cm ≤ s ≤ 20

32 3,0

0,315

6,3

20 4,85

0,2

5

13 7,76

0,125

4 s = 100/n (cm)

n = A

_sx

/A

_s1

A

_s1

(cm

2

₎

φ (mm)

Exemplo e Detalhamento

Lajes L2=L3

Momento Fletor Principal (m

x

):

m

x

= 6,96 kN.m/m

b = 100 cm ; d = d

_x

≅ h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm

m

_d

= γ

_f

m

_x

= 1,4⋅6,96 = 9,74 kN.m/m = 974 kN.cm/m

A

_s

> A

_smin

= ρ

_x,min

b h = 0,0015⋅100⋅10 = 1,5 cm

2

_/m

cm

f

bd

m

d

x

cd d

₁

_,

₀₆

4 ,

1 /

5 ,

2

8

100

425 ,

0

974

1

8

25 ,

1

425 ,

0

1

25 ,

1

₂ ₂

_

=











⋅

−

⋅

=













−

=

m

cm

x

d

f

m

A

yd d s

2 ,

96 /

)

06 ,

1

4 ,

0

8 (

48 ,

43

974 )

4 ,

0 (

2

=

⋅

−

⋅

=

−

=

Exemplo e Detalhamento

(14)

PECE

Lajes L2=L3

bitola x espaçamento

φ

_min

= 4 mm ≤ φ ≤ φ

_max

= h/8 = 12,5 mm

s

min

= 8 cm ≤ s ≤ 20 cm

27 3,7

0,8

10

17 5,92

0,5

8

11 9,4

0,315

6,3

s = 100/n (cm)

n = A

_sx

/A

_s1

A

_s1

(cm

2

₎

φ (mm)

Exemplo e Detalhamento

Lajes L2=L3

_{Momento Fletor Principal (m’}

_x23

_{) no apoio interno:}

m

_x

= p l

_x2

_{/ 8 = 5,5⋅42 / 8 = 11,0 kN.m/m}

b = 100 cm ; d = d

_x

≅ h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm

m

_d

= γ

_f

m

_x

= 1,4⋅11,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m

cm f bd m d x cd d ₁_,₇₃ 4 , 1 / 5 , 2 8 100 425 , 0 1540 1 1 8 25 , 1 425 , 0 1 1 25 , 1 ₂ ₂ =      ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ =       − − =

m

cm

x

d

f

m

A

yd d s

4 ,

85 /

)

73 ,

1

4 ,

0

8 (

48 ,

43 1540

)

4 ,

0 (

2

=

⋅

−

⋅

=

−

=

A

_s

> A

_smin

= ρ

_x,min

b h = 0,0015⋅100⋅10 = 1,5 cm

2

_/m

Exemplo e Detalhamento

(15)

PECE

Lajes L2=L3

bitola x espaçamento

φ

_min

= 4 mm ≤ φ ≤ φ

_max

= h/8 = 12,5 mm

s

min

= 8 cm ≤ s ≤ 20 cm

7 < s

_min

15,5

0,315

6,3

10 9,7

0,5

8

17 6,0

0,8

10 s = 100/n (cm)

n = A

_sx

/A

_s1

A

_s1

(cm

2

₎

φ (mm)

Exemplo e Detalhamento

Lajes L2=L3

Momento Fletor Secundário (m

y

):

m

_y

= ν . m

_x

= 0,2. 6,96 kN.m/m = 1,39 kN.m/m

b = 100 cm ; d = d

_y

≅ h - c – 1,0 = 10 - 1,5 – 1,0 = 7,5 cm

Pode-se adotar a mesma armadura obtida para a laje L1

(

φ

5c/20)

(16)

PECE

V_Sd≤ V_Rd1

V_Rd1= [τRdk (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwd onde: τ_Rd= 0,25 f_ctd= 0,32 MPa f_ctd= f_ctk,inf/ γc = 1,282 MPa f_ctk,inf= 0,7.f_ct,m= 0,7x 2,565 = 1,795 MPa f_ct,m= 0,3.f_ck2/3_{= 0,3}_x₂₅2/3_{= 2,565 MPa}

ρ₁= A_sx/b_w.d = 5 /100 x 8,0 = 0,625% (não maior que 0,02)

k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,08 = 1,52

Verificação do Cisalhamento (Laje 1)

Exemplo e Detalhamento

onde:

A_sx = 5 cm2_{(considerando toda a armadura)}

b_w= 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d); σ_cp = N_Sd/ A_c= 0

N_Sd= 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. Assim,

VRd1= [τRdk (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 x1,52(1,2 + 40 x0,00625)+ 0]100 x8 = V_Rd1= 56,4 kN/m

V_Sd= p_x. γf= 5,5 x1,4 = 7,7 kN/m

V_Rd1

=

56,4 > 7,7 = V_Sd

(17)

PECE

Exemplo e Detalhamento

M_r= (α.fct,m. Ic)/yt= (1,5 x2565 x8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m

α = 1,5 para seção retangular;

f_ct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento

I_c= b.h3_{/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;}

yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)

Como : M_r= 6,4 kN.m

M_a= 8,2 kN.m

Calcula-se pela formula de Branson o EI_eqpara considerar a perda da rigidez na seção fissurada.

Verificação da Flecha (Laje 1) (CQP)

Cálculo do Momento de Fissuração

Exemplo e Detalhamento

Cálculo do Momento Equivalente

EI_eq= E_c[(M_r/M_a)3_{. I}

c+ [1- (Mr/Ma)3] III]

E_c= 0,85x5600.f_ck1/2= 23,8 GPa ou 23,8 106kN/m2;

III= é o momento de inércia da seção fissurada – ESTÁDIO II;

Calculando o xIIpara o ESTÁDIO II com αe= Es/Ec

I_II= 1,84.10-5_m4 x_II= 0,0225 m I II b x II

( )

3 ⋅ 3 α e A s⋅

(

d−x II

)

2 ⋅ + b x II⋅ 2

( )

2 −

(

A s α e⋅

)

⋅

(

d x II⋅

)

0 Temos:

(18)

PECE

Exemplo e Detalhamento

Cálculo do Momento de Inércia Equivalente

Assim, pode-se calcular o momento de inércia equivalente EI_eq= E_c[(M_r/M_a)3_{. I}

c+ [1- (Mr/Ma)3] III] =

EI_eq= 23,8.106_[(6,4/8,2)_3x_8,34.10-5_{+ [1-(6,4/8,2)}3_{] 1,84.10}-5_{] = 1173,43 kN m}2

Flecha Imediata Onde:

α2 = 21,4 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,00);

p = g + ψ2q = 4,1 kN/m2(valor da carga para a combinação quase permanente (ψ2= 0,3 p/ edifícios

residenciais);

a_i= (b.p.l_x4_{) / 12.EI}

eq. α2 = (1x 4,1x 44) / 12x 1173,43 x 21,4 = 0,0035 m

Verificação da Flecha (Laje 1) (CQP)

Exemplo e Detalhamento

Flecha Diferida no Tempo

∆ξ = 2 - 0,6773 = 1,3227

t₀= 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento) t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

Como:

ρ = 0 (não existe armadura negativa) α f:= ₁₊∆ξ₅₀_⋅_ρ α_f= 1,3227

∆ξ ξ t:= ( )−_{ξ t 0}

( )

para t ≤ 70 meses

ξ t 0

( )

:=0.68 0.996⋅

(

t 0

)

⋅_{t 0}0.32 ξ t

( )

:=0.68 0.996⋅

(

t

)

⋅t0.32

ξ(t) = 2 para t > 70 meses

(19)

PECE

Exemplo e Detalhamento

a

_f

= a

_{i x}

α

_f

= 0,0035

x

1,3227 = 0,0046 m

Flecha Total

a

T

= a

i

(1+ α

f

) = 0,0035(1 + 1,3227) = 0,00813 m

Verificação da Flecha (Laje 1)

Exemplo e Detalhamento

Abertura de Fissuras (Laje 1) (CF)

w

7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ c < 7,5φ a (a < 15 φ) Acr

Acré a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;

E_si é o módudo de elasticidade do aço da barra considerada(φ_i);

φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);

σ_si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II; η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras

dentadas e 2,25 barras nervuradas)

≤













+

=

.

4

45 .

5 ,

12

₁ 1 1 ri si si

E

w

ρ

σ

η

φ

ctm si si f E w . . 3 . . 5 , 12 2 1 1 2

σ

η

φ

=

(20)

PECE

Exemplo e Detalhamento

Abertura de Fissuras (Laje 1)

2 s d si cri s cri kN/cm ,87 26 0,8.8.5 860 0,8.d.A M σ ,80% 6 0,068 73,8 5 A A ρ = = = = = = = 2 ctm 2 si 2565kN/cm , 0 f 21000kN/cm E = = 7,5 φ 7,5 φ 7,5 φ c = 1,5 cm

A

crit

Exemplo e Detalhamento

w = 0,038 mm < w_klim(tab 13.3-NBR6118/2003) w < 0,4 mm OK! mm w w 038 , 0 45 068 , 0 4 21000 87 , 26 25 , 2 5 , 12 8 1 1 ≅       ₊ × = mm w w 114 , 0 256 , 0 21000 87 , 26 3 25 , 2 5 , 12 8 2 2 2 ≅ × × × =

(21)

PECE

Laje L1

Exemplo e Detalhamento

φ φ φ φ Não maior que 30 cm Lx/5 Não maior que 25 φ

Lajes L2=L3

Exemplo e Detalhamento

φ φ φ φ φ φ φ

(22)

PECE

Exemplo e Detalhamento

360,4 424 85 8 3 83,5 214 39 8 2 83,2 104 80 6,3 1 C_Tot C_Unit 104 400 26 5 5 243,6 406 60 5 4 m cm n φ Tipo 178 443,9 8 Peso (kg) C_{tot (m)}

φ

255 TOTAL 21 83.2 6,3 56 347,6

5

_{Taxa de consumo por m}

3

_:

255 kg / 4,7 m

3

_{= 54,3 kg/m}

3

Lajes armadas em duas Direções

lx = o menor vão teórico,

ly = o maior vão teórico (ly ≥ lx).

Normalmente, admitem-se as seguintes hipóteses simplificadoras: • vigas rigidas à flexão;

• apoios da laje sobre as vigas através de charneiras (rotação livre); • a continuidade de lajes vizinhas quando estiverem no mesmo nível.

B A C α lx≤ ly ly

(23)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx;

my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly.

y x y x x x y x y x x x p m p m p m p m β β α α 2 2 2 2 ; ; ; l l l l ₌ _′₌₋ _′₌₋ =

onde, as variáveis α e β estão tabeladas em função dos seguintes parâmetros: • tipo de carga (por exemplo, distribuida uniforme)

• condições de apoio da laje (tipos de apoio) • relação (ly / lx).

Lajes armadas em duas Direções

Tipos de apoio usualmente empregados para o cálculo das lajes

lX ly charneira engaste 1 2A 2B 3 4A 4B 5A 5B 6

(24)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

TABELA 1 - TIPO 1 Laje com as 4 bordas livremente apoiadas

(carga uniforme) mx p x x = l2 α my p x y = l2 α w p Eh max x = l34 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy βx βy α2 1,00 22,7 22,7 21,4 1,05 20,8 22,5 19,4 1,10 19,3 22,3 17,8 1,15 18,1 22,3 16,5 1,20 16,9 22,3 15,4 1,25 15,9 22,4 14,3 1,30 15,2 22,7 13,6 1,35 14,4 22,9 12,9 1,40 13,8 23,1 12,3 1,45 13,2 23,3 11,7 1,50 12,7 23,5 11,2 1,55 12,3 23,5 10,8 1,60 11,9 23,5 10,4 1,65 11,5 23,5 10,1 1,70 11,2 23,5 9,8 1,75 10,8 23,5 9,5 1,80 10,7 23,5 9,3 1,85 10,4 23,5 9,1 1,90 10,2 23,5 8,9 1,95 10,1 23,5 8,7 2,00 9,9 23,5 8,6 >2 8,0 23,5 6,7 mx my ly lx

TABELA 2 - TIPO 2A Laje com 3 bordas livremente apoiadas e

uma borda menor engastada (carga uniforme) mx px x = l_α2 my p x y = l2 α ′ = − my p x y l2 β w p Eh max x = l34 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy βx βy α2 1,00 32,4 26,5 11,9 31,2 1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 mx my ly lx m’y

(25)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

Laje com 3 bordas livremente apoiadas e TABELA 3 - TIPO 2B uma borda maior engastada

(carga uniforme) mx px x = l_α2 my px y = l2 α ′ = − mx px x l2 β w p Eh max x = l 4 3 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy βx βy α2 1,00 26,5 32,4 11,9 31,2 1,05 25,7 33,3 11,3 29,2 1,10 24,4 33,9 10,9 27,4 1,15 23,3 34,5 10,5 26,0 1,20 22,3 34,9 10,2 24,8 1,25 21,4 35,2 9,9 23,8 1,30 20,7 35,4 9,7 22,9 1,35 20,1 37,8 9,4 22,1 1,40 19,7 39,9 9,3 21,5 1,45 19,2 41,1 9,1 20,9 1,50 18,8 42,5 9,0 20,4 1,55 18,3 42,5 8,9 20,0 1,60 17,8 42,5 8,8 19,6 1,65 17,5 42,5 8,7 19,3 1,70 17,2 42,5 8,6 19,0 1,75 17,0 42,5 8,5 18,7 1,80 16,8 42,5 8,4 18,5 1,85 16,5 42,5 8,3 18,3 1,90 16,4 42,5 8,3 18,1 1,95 16,3 42,5 8,3 18,0 2,00 16,2 42,5 8,3 17,8 >2 14,2 42,5 8,0 16,7 mx my ly lx m’x

Lajes armadas em duas Direções

Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e TABELA 4 - TIPO 3 as outras duas livremente apoiadas

(carga uniforme) mx p x x = l2 α my px y = l2 α ′ = − mx p x x l2 β ′ = − my p x y l2 β w p Eh max x = l34 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy β_x βy α2 1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5 1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7 1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9 1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2 1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8 1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5 1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5 1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5 1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7 1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1 1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5 1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0 1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5 1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1 1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7 1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4 1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0 1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8 mx my ly lx m’x m’y

(26)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

TABELA 5 - TIPO 4A

Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas menores engastadas (carga uniforme)

mx p x x = l2 α my p x y = l2 α ′ = − my p x y l2 β w p Eh max x = l34 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy βx βy α2 1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 29,8 13,4 39,2 1,10 36,0 28,8 12,7 34,4 1,15 31,9 27,7 12,0 30,4 1,20 29,0 26,9 11,5 27,2 1,25 26,2 26,1 11,1 24,5 1,30 24,1 25,6 10,7 22,3 1,35 22,1 25,1 10,3 20,4 1,40 20,6 24,8 10,0 18,8 1,45 19,3 24,6 9,75 17,5 1,50 18,1 24,4 9,5 16,3 1,55 17,0 24,3 9,3 15,3 1,60 16,2 24,3 9,2 14,4 1,65 15,4 24,3 9,05 13,7 1,70 14,7 24,3 8,9 13,0 1,75 14,0 24,3 8,8 12,4 1,80 13,5 24,3 8,7 11,9 1,85 13,0 24,3 8,6 11,4 1,90 12,6 24,3 8,5 11,0 1,95 12,1 24,3 8,4 10,6 2,00 11,8 24,3 8,4 10,3 >2 8,0 24,3 8,0 6,7 mx my ly lx m’y m’y

Lajes armadas em duas Direções

TABELA 6 - TIPO 4B

Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores livremente apoiadas (carga uniforme)

mx p x x = l2 α my p x y = l2 α ′ = − mx p x x l2 β w p Eh max x = l34 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy βx βy α2 1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 29,9 46,4 13,8 43,2 1,10 29,0 47,2 13,5 41,5 1,15 28,0 47,7 13,2 40,1 1,20 27,2 48,1 13,0 39,0 1,25 26,4 48,2 12,7 37,9 1,30 25,8 48,1 12,6 37,2 1,35 25,3 47,9 12,4 36,5 1,40 24,8 47,8 12,3 36,0 1,45 24,4 47,7 12,2 35,6 1,50 24,2 47,6 12,2 35,1 1,55 24,0 47,6 12,1 34,7 1,60 24,0 47,6 12,0 34,5 1,65 24,0 47,6 12,0 34,2 1,70 24,0 47,4 12,0 33,9 1,75 24,0 47,3 12,0 33,8 1,80 24,0 47,2 12,0 33,7 1,85 24,0 47,1 12,0 33,6 1,90 24,0 47,1 12,0 33,5 1,95 24,0 47,1 12,0 33,4 2,00 24,0 47,0 12,0 33,3 mx my m’x ly lx m’x

(27)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e TABELA 7 - TIPO 5A outra livremente apoiada

(carga uniforme) mx px x = l_α2 my px y = l2 α ′ = − mx p x x l2 β ′ = − my p x y l2 β w p Eh max x = l34 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy β_x βy α2 1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7 1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8 1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7 1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7 1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1 1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6 1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5 1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5 1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6 1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8 1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1 1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5 1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0 1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5 1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1 1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7 2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3 >2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7 mx my ly lx m’y m’y m’x

Lajes armadas em duas Direções

Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e TABELA 8 - TIPO 5B outra livremente apoiada

(carga uniforme) mx p x x = l_α2 my p x y = l2 α ′ = − mx p x x l2 β ′ = − my p x y l2 β w p Eh max x = l34 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy βx βy α2 1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1 1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5 1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2 1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9 1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9 1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0 1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2 1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5 1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0 1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4 1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0 1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6 1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4 1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2 1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9 1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8 mx my m’x ly lx m’x m’y

(28)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

Laje com as 4 bordas engastadas TABELA 9 - TIPO 6

(carga uniforme) mx p x x = l2 α my p x y = l2 α ′ = − mx p x x l2 β ′ = − my p x y l2 β w p Eh max x = l 4 3 2 α ν = 0 2, Beton-Kalender (1976) l ly/x αx αy βx βy α2 1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3 1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0 1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5 1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6 1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9 1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3 1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8 1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4 1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1 1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7 1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5 2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3 >2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0 mx my ly lx m’y m’y m’x m’x

Lajes armadas em duas Direções

a) lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, para cada uma delas, as seguintes condições de apoio:

• apoio livre, quando não existir laje vizinha junto a este apoio; • apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nível

permitindo, assim, a continuidade da armadura negativa de flexão de uma laje para a outra;

• vigas rígidas de apoio da laje;

e, calculam-se os momentos fletores máximos (em valor absoluto) nestas lajes isoladas (mx, my, mx’ e my’).

Para os pisos usuais de edifícios residenciais e comerciais (sobrecargas de valores moderados) pode ser aplicado o método simplificado exposto a seguir

(29)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

b) correção dos momentos fletores devido à continuidade entre as lajes vizinhas:

• momentos sobre os apoios comuns às lajes adjacentes: adota-se para momento fletor de compatibilização, o maior valor entre 0,8m>‘ e

(m1’ + m2’) / 2, onde m1’ e m2’ são os valores absolutos dos momentos

negativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado e, m>‘, o

maior momento entre m1’ e m2’.

• momentos nos vãos: para sobrecargas usuais de edifícios podem ser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas; portanto. Para sobrecargas maiores convém efetuar essas correções, principalmente, quando acarretar aumento no valor do momento fletor. Para isso, existem tabelas apropriadas.

(30)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

Dimensionamento a momento fletor a) altura útil

Do mesmo modo que para as lajes armadas em uma direção, as alturas úteis são dadas por:

d

x

= h - c - φ

x

/ 2 ; d

y

= h - c - φ

x

- φ

y

/ 2

podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por

d

x

≅ h - c - 0,5 cm ; d

y

≅ h - c - 1,0 cm

Lajes armadas em duas Direções

b) cálculo de As md = (γf mx , γf my ou γf mx’) onde γf = 1,4 (kN.cm/m) d = (dx ou dy) (cm) As = (Asx ou Asy) (cm2 / m) b = 100 cm fcd = fck / γc (γc= 1,4) (kN/cm2) fyd = fyk / γs (γs= 1,15) (kN/cm2) Para x ≤ x₃₄:         − − = cd 2 d f bd 425 , 0 m 1 1 d 25 , 1 x

(31)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

Armadura: ) x 4 , 0 d ( f m A yd d s = ₋ onde As = Asx para m = mx; As = Asy para m = my; As = As’ para m = m’

Lajes armadas em duas Direções

Armaduras mínimas (tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/2003)

• armaduras de vão: As = (Asx ou Asy) ≥ 0,9 cm2/m e

ρ

s

=

_bh

A

s

• armaduras sobre os apoios de continuidade: As’ ≥ 1,5 cm2/m

_bh

A

_s s

′

=

'

ρ

(32)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

Escolha das barras • diâmetro:

4 m m ≤ φ ≤ h/8

• espaçamento entre as barras:

arm adura nos vãos: As → _

 ≤ ≤ h cm s cm 2 20 8

arm aduras nos apoios: As’ → 8cm ≤ s≤20cm

Regras usuais de

arranjo das

armaduras de

lajes

(33)

PECE

Casos Particulares

(34)

PECE

Casos Particulares

        → < → ≥ maior menor maior menor 3 2 3 2 l l l l

Exemplo e Detalhamento

fck= 25 MPa

Aço CA50A

cl= 1,5 cm (cobrimento das lajes)

q = 2,0 kN/m2_{(carga acidental)}

h = 10 cm vigas: bw= 12 cm

(35)

PECE

Exemplo e Detalhamento

peso próprio = 0,10⋅25 = 2,5 kN/m2 revestimento = 1,0 g = 3,5 kN/m2_{(carga permanente)} q = 2,0 kN/m2_{(carga acidental)} p = g + q = 5,5 kN/m2_{(carga total)} -3,8 -4,7 1,4 2,1 17,6 14,2 47,1 32,0 1,14 5,5 4,0 3,5 5B L3 -5,1 -5,6 2,0 2,4 13,3 12,0 33,9 28,0 1,14 5,5 4,0 3,5 3 L1 m’y m’x my mx -βy -βx αy αx ly/lx p ly lx Tipo Laje

Exemplo e Detalhamento

m’35=-4,7 m’x=-4,7 m’y=-4,7 L3-L5 m’34=-3,8 -3,8 -3,0 m’y=-3,8 m’y=-3,8 L3-L4 m’13=-5,2 -5,2 -4,5 m’x=-4,7 m’x=-5,6 L1-L3 m’12=-5,1 -5,1 -4,1 m’y=-5,1 m’y=-5,1 L1-L2 m’ij m’médio 0,8m’> m’dir m’esq Apoio φ6,3 c/16 1,96 1,96 0,70 658 m’35=470 Φ5 c/12 1,57 1,50 0,15 1,57 0,56 532 m’34=380 8,0 8,0 1,00 0,60 0,22 196 my=140 φ5 c/20 1,00 1,00 0,10 0,86 0,3 294 mx=210 8,0 7,5 L3 (L4) (L5) φ6.,3 c/16 2,18 2,18 0,78 728 m’13=520 8,0 φ6,3 c/15 2,13 1,50 0,15 2,13 0,76 714 m’12=510 8,0 1,00 0,87 0,31 280 my=200 7,5 L1 (L2) φ5 c/20 1,00 1,00 0,10 0,98 0,35 336 mx=240 8,0 Escolha Asf Asmin(cm2) ρs% As(cm2) x (cm) md(kN.cm) m (kN.cm) d (cm) Laje

(36)

PECE

Exemplo e

Detalhamento

φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ

VSd≤ VRd1

VRd1= [τRdk (1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bwd onde: τRd= 0,25 fctd= 0,32 MPa f_ctd= f_ctk,inf/ γc = 1,282 MPa fctk,inf= 0,7.fct,m= 0,7x 2,565 = 1,795 MPa fct,m= 0,3.fck2/3= 0,3 x252/3= 2,565 MPa

ρ1= Asx/bw.d = 1 /100 x 8,0 = 0,125% (não maior que 0,02)

k = 1,6 – d [m] = 1,6 – 0,08 = 1,52

Lajes armadas em duas Direções

(37)

PECE

onde:

A_sx = 1 cm2_{(considerando toda a armadura)}

bw= 100 cm (largura mínima da seção ao longo da altura útil d);

σcp = NSd/ Ac= 0

N_Sd= 0 pois não existe força longitudinal na seção devida à protensão ou carregamento. Assim,

V_Rd1= [τRdk(1,2 + 40 ρ1) + 0,15 σcp] bw.d = [0,032 x1,52(1,2 + 40 x0,00125)+ 0]100 x8 = VRd1= 48,64 kN/m

V_Sd= p_x. γ_f= 4,82 x 1,4 = 6,7 kN/m

V_Rd1= 48,64 > 6,7 = V_Sd

Não há a necessidade de estribos

Cálculo do Momento de Fissuração

M_r= (α.fct,m. Ic)/yt= (1,5 x2565 x8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m

α = 1,5 para seção retangular;

f_ct,m já calculado anteriormente para o cisalhamento

I_c= b.h3_{/12 que é momento de inércia da seção de base 100 cm – ESTÁDIO I;}

yt = 0,05 cm (distância do centro de gravidade à fibra mais tracionada)

Como : M_r= 6,4 kN.m

M_a= 1,79 kN.m

Não se faz necessário o cálculo da flecha em ESTÁDIO II.

Lajes armadas em duas Direções

(38)

PECE

Flecha Imediata Onde:

α₂ = 31,7 (laje tipo 3 com ly/lx = 1,15);

p = g + ψ₂q = 4,1 kN/m2_{(valor da carga para a combinação quase permanente}_(ψ

2= 0,3 p/ edifícios

residenciais);

a_i= (b.p.l_x4_{) / 12.EI}

0 . α2 = (1x 4,1 x 3,54) / 12x 1983,34 x 31,7 = 0,000815 m

t₀= 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento) t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

Lajes armadas em duas Direções

Verificação da Flecha (Laje 1) (CQP)

∆ξ = 2 - 0,6773 = 1,3227 Como:

ρ = 0 (não existe armadura negativa) α f:= ₁₊∆ξ₅₀_⋅_ρ αf= 1,3227

∆ξ ξ t:= ( )−_{ξ t 0}

( )

para t ≤ 70 meses

ξ t 0

( )

:=0.68 0.996⋅

(

t 0

)

⋅_{t 0}0.32 ξ t

( )

:=0.68 0.996⋅

(

t

)

⋅t0.32

ξ(t) = 2 para t > 70 meses

Lajes armadas em duas Direções

(39)

PECE

a

f

= a

ix

α

f

= 0,000815

x

1,3227 = 0,0011

m

Flecha Total

a

_T

= a

_i

.(1+ α

_f

) = 0,000815(1 + 1,3227) = 0,00189 m

Lajes armadas em duas Direções

Verificação da Flecha (Laje 1)

Lajes armadas em duas Direções

Abertura de Fissuras (Laje 1) (CF)

w

7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ 7,5φ c < 7,5φ a (a < 15 φ) Acr

Acré a área da região de envolvimento protegida pela barra φi;

E_sié o módudo de elasticidade do aço da barra considerada(φi);

φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada;

ρri é a taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento (Acri);

σsié a tensão de tração no centro de gravidade da armadura, no Estádio II;

η1 é o coeficiente de conformação da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras dentadas e

2,25 barras nervuradas)

≤

     + = . . 4 45 . 5 , 12 1 1 1 ri si si E w

ρ

σ

η

φ

ctm si si f E w . . 3 . . 5 , 12 2 1 1 2

σ

η

φ

=

(40)

PECE

Lajes armadas em duas Direções

Abertura de Fissuras (Laje 1)

2 s d si cri s cri kN/cm 29,37 0,8.8.1 188 0,8.d.A M σ ,54% 2 0,0254 39,38 1 A A ρ = = = = = = = 2 ctm 2 si 2565kN/cm , 0 f m 21.000kN/c E = = 7,5 φ 7,5 φ 7,5 φ c = 1,5 cm

A

_crit

Lajes armadas em duas Direções

Abertura de Fissuras (Laje 1)

w = 0,05 mm < w_klim(tab 13.3-NBR6118/2003) w < 0,4 mm OK! mm w w 05 , 0 45 0254 , 0 4 000 . 21 37 , 29 25 , 2 5 , 12 5 1 1 ≅       ₊ × = mm w w 086 , 0 256 , 0 000 . 21 97 , 27 3 25 , 2 5 , 12 5 2 2 2 ≅ × × × =

(41)

PECE

Punção é o Estado Limite Último determinado por

cisalhamento no entorno de forças concentradas

.

Superfície de Ruptura Arm. de flexão

Pilar

.25º a 30º

Ruptura ocorre na ligação da laje com o pilar.

Ruína de forma abrupta e frágil.

Para aumentar a resistência à punção da laje:

Aumentar a espessura das lajes na região do pilar;

Utilizar concreto de alta resistência;

Usar armadura de cisalhamento.

(42)

PECE

Dimensionamento de Lajes à Punção

Modelo de Cálculo

¾ Verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies críticas.

¾ Na primeira superfície crítica, dada pelo perímetro C do pilar ou da carga concentrada

¾ Na segunda superfície crítica, dada pelo perímetro C’, afastado 2d do pilar ou da carga concentrada

¾ Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal.

¾ A terceira superfície crítica, perímetro C”, só é utilizada quando é necessário colocar armadura transversal. O perímetro da superfície C” é afastado 2d da última camada de armadura transversal

• Superfícies Críticas C, C’ e C’’

Arm. de flexão Pilar C'=2d C'=2d C C" Arm. de cisalhamento C"

(43)

PECE

• Superfícies Críticas C, C’ e C’’

Dimensionamento de Lajes à Punção

Superfícies críticas, limitadas pelos perímetros críticos C e C’

Verificação da tensão resistente de compressão diagonal

do concreto na superfície crítica C.

cd 2 Rd Sd

≤

τ

=

0 ,

27 α

ν

f

τ

Sendo: α_ν= (1 - f_ck/250)

Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’

sem armadura de punção.

(

)

(

)

13

1

0 ,

13

1

200

100

ck Rd

Sd

τ

d

ρ

f

τ

≤

=

+

Sendo: ρ é a taxa geométrica de armadura de flexão; d é altura útil da laje ao longo do contorno C’.

(44)

PECE

Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’

com armadura de punção.

Sendo:

• s_ro espaçamento radial entre linhas da armadura de punção;

•α é o ângulo de inclinação entre o eixo da armadura de punção e o plano da laje; • A_swé a área da armadura de punção num contorno completo paralelo a C’; • u é o perímetro crítico;

• f_ywdé a resistência de cálculo da armadura de punção, não maior que 300 MPa para conectores ou 250 MPa para estribos.

(

)

(

)

_{( )}

ud

sen

f

A

s

d

f

d

sw ywd r ck Rd Sd

α

ρ

τ

0 ,

10

1

200 /

100

1/3

1 ,

5

3

=

+

≤

(

)

(

)

13 4

0 ,

13

1

20

100

ck Rd Sd

τ

d

ρ

f

τ

≤

=

+

Verificação da tensão resistente na superfície crítica C’

com armadura de punção.

(45)

PECE

Dimensionamento de Lajes à Punção

Tensão Solicitante

No caso em que o efeito do carregamento pode ser considerado simétrico: Com:

d = (d_x+ d_y)/2 onde:

d é a altura útil da laje ao longo do contorno crítico C', externo ao contorno C da área de aplicação da força e deste distante 2d no plano da laje

d_xe d_y são as alturas úteis nas duas direções ortogonais u é o perímetro do contorno crítico C'

ud é a área da superfície crítica

F_Sd é a força ou a reação concentrada, de cálculo

d u F_Sd

Sd=

τ

Dimensionamento de Lajes à Punção

Pilar Interno com Efeito de Momento

onde:

K coeficiente que fornece a parcela de M_Sdtransmitida ao pilar por cisalhamento,

que depende da relação C₁/C₂

d W M K d u F p Sd Sd Sd = + τ C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 K 0,45 0,60 0,70 0,80 Onde:

C₁é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força

C2é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força

Para um pilar retangular:

2 2

1 _C _C ₄_C _d ₁₆_d ₂ _d_C C

(46)

PECE

Perímetro crítico em pilares de borda

Dimensionamento de Lajes à Punção

Pilares de Borda

Quando não agir momento no plano paralelo à borda livre:

d

W

K

x

M

d

u

F

1 p Sd1 * Sd Sd

=

+

τ

M

Sd1

=( M

Sd

- M

Sd

*) ≥ 0

MSd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar

Dimensionamento de Lajes à Punção

(47)

PECE

Quando agir momento no plano paralelo à borda livre: d W M K d W M K d * u F 2 p 2 Sd 2 1 p 1 Sd 1 Sd Sd = + + τ

Dimensionamento de Lajes à Punção

Pilares de Borda

Perímetro crítico em pilares de canto

Dimensionamento de Lajes à Punção

(48)

PECE

Como o pilar de canto apresenta duas bordas livres, deve ser feita a

verificação separadamente para cada uma delas, considerando o

momento fletor cujo plano é perpendicular à borda livre adotada

K deve ser calculado em função da proporção C

1

/C

2

, sendo C

1

e

C

2

, respectivamente, os lados do pilar perpendicular e paralelo à

borda livre adotada

Dimensionamento de Lajes à Punção

Pilares de Canto

Dimensionamento de Lajes à Punção

(49)

PECE

Dimensionamento de Lajes à Punção

Casos Especiais de Contorno Crítico

(a) Perímetro crítico no caso do contorno C apresentar reentrância

(b) Perímetro crítico junto à abertura na laje

(a)

(b)

Disposição da armadura de punção em corte

(50)

PECE

A_sf_yd ≥ FSd

Asé a somatória de todas as áreas das barras que cruzam cada uma das faces do pilar

Dimensionamento de Lajes à Punção

Colapso Progressívo

τ

_Sd,ef

= τ

_Sd

−τ

_Pd d u P_k_inf,_i _i Pd sen α Σ = τ

Dimensionamento de Lajes à Punção

(51)

PECE

Dimensionamento de Lajes à Punção

Verificação de Elementos Protendidos

Onde:

τ_Pd é a tensão devida ao efeito dos cabos de protensão inclinados que atravessam o contorno considerado e passam a menos de d/2 da face do pilar

P_kinf,i é a força de protensão no cabo i

α_i é a inclinação do cabo i em relação ao plano da laje no contorno considerado u é o perímetro crítico do contorno considerado, em que se calculam τSd,efe τSd

Detalhamento

(52)

PECE

Detalhamento

Lajes sem Vigas - Armaduras Passivas

Detalhamento

(53)

PECE

Lajes Nervuradas

As lajes nervuradas podem ser calculadas como lajes maciças desde que respeitadas as condições:

• a ≤ 100cm: pode-se calcular a armadura de flexão como laje maciça • a ≤ 50cm: dispensa-se armadura de cisalhamento das nervuras • b_w≥ 4cm;

Universidade de São Paulo Escola Politécnica - Engenharia Civil PEF - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações PECE - ES25