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F´ISICA MODERNA II
FNC376N: Lista 11 — 16 de junho de 2005
Problemas
10-2 Teoria cl´
assica da condu¸
c˜
ao de eletricidade
10-7. a) Suponha que a T = 300 K os el´etrons livres do cobre tenham um caminho livre m´edio λ = 0,4 nm, e que a velocidade m´edia dos el´etrons, a partir da estat´ıstica de Boltzmann, seja hvi = 1,17 × 105 m/s. Calcule o valor cl´assico da resistividade
el´etrica do cobre ρ a esta temperatura.
b) No modelo cl´assico λ ´e independente da temperatura enquanto hvi depende da temperatura. De acordo com tal modelo qual seria o valor de ρ a T = 100 K? 10-8. O fio n´umero 14 tem um diˆametro de 0,163 cm. A densidade do cobre ´e 8,92 g/cm3
e sua massa atˆomica ´e 63,5 g/mol. Calcule a densidade de corrente e a velocidade de arraste quando se passa uma corrente de 1 mA por tal fio. (Cada ´atomo de Cu contribui com um el´etron de condu¸c˜ao.)
10-9. Uma medida da densidade do g´as de el´etrons livres em um metal ´e a distˆancia rs,
definida como o raio de uma esfera cujo volume ´e igual ao volume por el´etron de condu¸c˜ao. Sendo na a concentra¸c˜ao de el´etrons livres, mostre que rs = (3/4πna)1/3.
Calcule rs em nm para o cobre.
Resposta: rs = 1,4 × 10−10m = 1,4 ˚A.
10-10. Calcule a concentra¸c˜ao de el´etrons livres na prata (densidade 10,5 g/cm3, massa
atˆomica 107,870 g/mol) e no ouro (densidade 19,3 g/cm3, massa atˆomica 196,97 g/mol)
supondo um el´etron de condu¸c˜ao por ´atomo. Compare com os dados da Tabela 10-3 do Tipler (5,86 × 1028/m3 e 5,90 × 1028/m3, respectivamente).
10-11. Calcule a concentra¸c˜ao de el´etrons livres no magn´esio (densidade 1,74 g/cm3, massa
atˆomica 24,31 g/mol) e no zinco (densidade 7,1 g/cm3, massa atˆomica 65,38 g/mol) supondo dois el´etron de condu¸c˜ao por ´atomo. Compare com os dados da Tabela 10-3 do Tipler (8,61 × 1028/m3 e 13,2 × 1028/m3, respectivamente).
10-12. Supondo λ = 0,37 nm e hvi = 1,08 × 105 m/s a T = 300 K para o cobre, determine os valores previstos para ρ e σ a T = 300 K, T = 200 K e T = 100 K.
10-3 G´
as de el´
etron livres
10-13. Determine a energia m´edia dos el´etrons livres a T = 0 no cobre (EF = 7,06 eV) e no
l´ıtio (EF = 4,77 eV).
10-15. Compute a energia de Fermi, EF, e a temperatura de Fermi TF a T = 0 para o ouro.
10-16. Mostre que a T = 300 K cerca de 1% dos el´etrons livres da prata possuem energia maior que EF.
10-4 Teoria quˆ
antica da condu¸
c˜
ao de eletricidade
10-17. Calcule a velocidade de Fermi: no Na (TF = 3,78 × 104K); no Au (TF = 6,43 × 104K);
no Sn (TF = 11,9 × 104K).
Resposta: vF = 1,07 × 106 m/s, 1,40 × 106 m/s, 1,90 × 106 m/s.
10-18. As resistividades a T = 273 K no s´odio, ouro e estanho s˜ao, respectivamente, 4,2 µΩcm, 2,04 µΩcm e 10,6 µΩcm. Use estes dados e os resultados do problema anterior para computar o livre caminho m´edio dos el´etrons de condu¸c˜ao nesses metais.
Resposta: λ = mvF/ne2ρ: vF e n podem ser determinados de TF:
kBTF = EF = 1 2mv 2 F, 3π 2 n = k3F = (mvF/~)3
. Resultados: (Na) λ = 340 ˚A, (Au) λ = 410 ˚A, (Sn) λ = 43 ˚A.
10-5 Bandas de energia em s´
olidos
10-22. A largura da banda proibida (entre a banda de valˆencia e a banda de condu¸c˜ao) no sil´ıcio ´e Eg = 1,14 eV `a temperatura ambiente. Qual ´e o comprimento de onda de um
f´oton capaz de excitar um el´etron do topo da banda de valˆencia para o fundo da banda de condu¸c˜ao?
10-23. Repita o problema anterior para o germˆanio (Eg = 0,74 eV) e para o diamante (Eg =
7,0 eV).
10-24. Para excitar um el´etron da banda de valˆencia para a banda de condu¸c˜ao num cristal de sulfeto de chumbo (PbS) ´e necess´ario um f´oton com comprimento de onda no m´aximo de 3,35 µm. Qual ´e a largura da banda proibida, Eg? Calcule a temperatura para a
qual kBT = Eg neste caso.
10-25. Considere um pequeno cristal de Si na forma de um cubo com 100 nm de aresta. Com-pute o n´umero de ´atomos de sil´ıcio, N , neste cristal (a densidade do Si ´e 2,33 g/cm3).
Dado que a banda de condu¸c˜ao do sil´ıcio tem uma largura de 13 eV e lembrando que h´a 4N estados nesta banda, estime a separa¸c˜ao entre os n´ıveis adjacentes na banda de condu¸c˜ao.
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Solu¸
c˜
oes
Sol.:10-7. A concentra¸c˜ao de ´ıons na (que no caso do cobre ´e igual `a concentra¸c˜ao de el´etrons
livres, uma vez que cada ´atomo contribui com um el´etron) pode ser computada a partir da densidade do Cu ρm = 8,92 g/cm3 e de sua massa atˆomica M = 63,5 g/mol. A
massa atˆomica ´e a massa de um mol de ´atomos, assim com o n´umero de Avogadro, NA = 6,022 × 1023, temos
na= ρm
NA
M = 8,46 × 10
22cm−3 = 8,46 × 1028 m−3.
O raio r que resulta no valor λ = n 1
aπr2 = 0,4 nm dado no problema ´e, assim
r = √ 1 naπλ
= 0,97 × 10−10m. O tempo m´edio entre colis˜oes neste modelo seria
τ = λ
hvi = 3,4 × 10
−15
s.
a) O valor previsto para a resistividade do Cu a T = 300 K ´e, portanto: ρ = m hvi ne2λ = m ne2τ = 1,2 × 10 −7 Ωm = 12 µΩcm. O valor experimental ´e 1,7 µΩcm.
b) No modelo cl´assico λ ´e independente da temperatura enquanto hvi ´e proporcional `
a raiz quadrada da temperatura 1 2mv
2 = 3
2kBT.
Assim, a T = 100 K a velocidade m´edia hvi e a resistividade, que ´e proporci-onal a hvi, seriam reduzidas em rela¸c˜ao aos seus valores a 300 K por um fator p300/100 ≈ 1,7. Experimentalmente, a redu¸c˜ao ´e de um fator 3 e n˜ao √3.
Sol.:10-8. A densidade de corrente J ´e a corrente por unidade de ´area da se¸c˜ao reta perpendicular `
a dire¸c˜ao da corrente:
J = I A.
A se¸c˜ao reta do fio n´umero 14 ´e A = πd2/4 = 2,09 × 10−2 cm2 e portanto, para I = 1 mA
J = 4,8 × 10−2 A/cm2. Em termos microsc´opicos a densidade de corrente ´e
J = −nevd,
onde o sinal negativo vem da carga do el´etron, indicando que o ~vdtem a dire¸c˜ao oposta
a ~J . Tomando a densidade de el´etrons computada no problema anterior obtemos para o caso dado: |vd| = J ne = 3,5 × 10 −8 m/s.
Note que esta velocidade de arraste ´e muito pequena quando comparada com a veloci-dade m´edia dos el´etrons (mesmo considerando o valor cl´assico). Isto ´e resultado da alta densidade de carga representada pelos el´etrons livres (ne = 1,4 × 104 C/cm3). Desta
forma as velocidades m´edias dos el´etrons n˜ao s˜ao alteradas quando uma tal corrente (ou mesmo uma corrente muito maior) flui pelo material.
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Notas sobre a teoria da condu¸
c˜
ao
Conceitos B´
asicos
A densidade de corrente J ´e a corrente por unidade de ´area da se¸c˜ao reta perpendicular `a dire¸c˜ao da corrente:
J = I A.
Em termos do movimento microsc´opico dos portadores, a densidade de corrente de escreve ~
J = nq~vd,
onde n ´e a densidade volum´etrica de portadores, q a carga el´etrica e ~vd a velocidade de
arraste (ou deriva). A velocidade de arraste ´e a m´edia da velocidade vetorial dos portadores. No g´as as part´ıculas se movem em todas as dire¸c˜oes o que, em equil´ıbrio, n˜ao resulta em nenhum transporte l´ıquido de part´ıculas ou de carga em nenhuma dire¸c˜ao. A m´edia das velocidades vetoriais dos portadores ´e nula.
Sob a a¸c˜ao de um campo el´etrico os portadores s˜ao acelerados numa ´unica dire¸c˜ao, fazendo com que a m´edia vetorial de suas velocidades deixe de ser nula. Esta m´edia ´e a velocidade de arraste. A acelera¸c˜ao proporcionada pelo campo el´etrico n˜ao conduz a um movimento uniformemente acelerado nos portadores por causa das colis˜oes. O movimento acelerado de um portador s´o perdura entre uma colis˜ao e outra. Depois de uma colis˜ao o portador adquire uma velocidade arbitr´aria e perde o resultado da acelera¸c˜ao que havia sofrido antes dela. O resultado da acelera¸c˜ao do campo el´etrico sobre todos os portadores ´e resultar numa velocidade de arraste finita e constante no tempo, que pode ser expressa em fun¸c˜ao do tempo de relaxa¸c˜ao τ . Este tempo ´e uma medida da dura¸c˜ao efetiva do movimento acelerado, assim para um campo el´etrico E atuando sobre uma part´ıcula de carga q e massa m
vd=
qE mτ. Substituindo este resultado na express˜ao de J temos
J = nqvd= nq
qE mτ =
nq2 m τ E .
Este resultado ´e a Lei de Ohm: a densidade de corrente ´e proporcional ao campo el´etrico aplicado. A constante de proporcionalidade ´e a condutividade el´etrica que ´e o inverso da resistividade, σ = 1/ρ.
A express˜ao para a resistividade el´etrica de um s´olido com um ´unico tipo de portador ´e dada por 1 ρ = σ = ne2 m τ = ne2 m λ hvi.
Nesta express˜ao n ´e a densidade de portadores (n´umero de portadores por unidade de volume) com carga e e massa m. O parˆametro τ ´e o tempo m´edio entre colis˜oes dos portadores, tamb´em chamado tempo de relaxa¸c˜ao. Este parˆametro pode ser expresso em termos de outros dois, hvi, a velocidade m´edia dos portadores, e λ o caminho livre m´edio:
τ = λ hvi.
10-2 Teoria cl´
assica da condu¸
c˜
ao de eletricidade
No modelo cl´assico (modelo de Drude) os el´etrons livres de um metal s˜ao tratados como um g´as de part´ıculas cl´assicas que obedecem `a estat´ıstica de Boltzmann. Isto resulta que a energia cin´etica m´edia de uma part´ıcula ´e 32kBT , o que d´a uma velocidade quadr´atica m´edia
v2 = 3kBT
m .
Tomando a raiz quadrada desta m´edia (com m igual `a massa do el´etron e T = 300 K) se obt´em a velocidade m´edia dada no problema. Uma outra velocidade m´edia pode ser obtida tomando a m´edia do m´odulo da velocidade. O resultado ´e ligeiramente menor que este
hvi = r
8kBT
πm , que ´e valor utilizado no Problema 10-12.
O livre caminho m´edio neste modelo ´e estimado considerando as colis˜oes entre os el´etrons livres e os ´ıons do metal. Se os ´ıons tˆem raio r a se¸c˜ao de choque para colis˜ao com os el´etrons (de raio muito pequeno) ´e A = πr2. Para uma concentra¸c˜ao de ´ıons dada por n
a o livre
caminho m´edio seria
λ = 1 naπr2
.
10-3 G´
as de el´
etron livres
O modelo mais simples para os el´etrons livres de um metal ´e consider´a-los como um g´as de part´ıculas n˜ao interagentes confinados a uma caixa. A diferen¸ca com o modelo de Drude ´
e que temos que usar a estat´ıstica de Fermi e n˜ao a estat´ıstica de Boltzmann. Os estados quˆanticos de uma part´ıcula s˜ao estados de part´ıcula livre. As fun¸c˜oes de onda para part´ıculas livres em 3 dimens˜oes podem ser escritas na forma
ψ~k(~r) = Aei~k.~r,
com auto-energias dadas por
E~k = ~ 2k2
2m .
Aqui ~k, o vetor de onda, tem trˆes componentes: ~k = kxx + kˆ yy + kˆ zz. No espa¸co aberto n˜ˆ ao
h´a nenhuma restri¸c˜ao sobre o vetor de onda ~k. ´E o confinamento da part´ıcula a uma certa regi˜ao do espa¸co que gera restri¸c˜oes sobre os poss´ıveis ~k.
Anteriormente consideramos o problema de um g´as de part´ıculas n˜ao interagentes confi-nado a uma caixa de paredes perfeitamente r´ıgidas. Isto requer que as fun¸c˜oes de onda se anulem nas paredes da caixa. Tomando uma caixa c´ubica de aresta L com um dos v´ertices na origem, as solu¸c˜oes que satisfazem a tal condi¸c˜ao de contorno s˜ao escritas na forma
ψ(~r) = C sin(kxx) sin(kyy) sin(kzz),
com as restri¸c˜oes kx = nx π L, ky = ny π L, kz = nz π L, (nx,ny,nzinteiros positivos). Lembrando que sin(θ) = e iθ− e−iθ 2i ,
observamos que este tipo de fun¸c˜ao ´e uma soma de oito fun¸c˜oes do tipo ψ~k, com 8 vetores ~k
com componentes ±kx, ±ky e ±kz. Todas estas 8 fun¸c˜oes tˆem a mesma auto-energia uma
vez que k2 = k2
x+ ky2+ kz2 tem o mesmo valor para todas elas.
Estas fun¸c˜oes representam ondas estacion´arias, o valor m´edio do momento linear, h~pi = D ~~kE
´e nulo. Ao contr´ario as fun¸c˜oes ψ~k representam part´ıculas com momento n˜ao nulo.
Para preservar esta caracter´ıstica de movimento aos estados, ´e usual utilizar fun¸c˜oes de onda deste tipo para representar os estados dos el´etrons livres num metal. Para preservar esta forma da fun¸c˜ao de onda e ao mesmo tempo discretizar os estados, uma vez que os el´etrons est˜ao confinados ao volume do metal, utilizam-se condi¸c˜oes peri´odicas de contorno. Para a mesma caixa acima descrita, ao inv´es de fazer as fun¸c˜oes se anularem nas paredes, toma-se a condi¸c˜ao de periodicidade:
ψ~k(x + L,y,z) = ψ~k(x,y,z) ⇒ kx = nx
2π
L , nx inteiro, e similarmente para as vari´aveis y e z.
As duas escolhas d˜ao os mesmos resultados para amostras de dimens˜oes macrosc´opicas. No fundo a dinˆamica das part´ıculas se movendo pela a¸c˜ao de um campo el´etrico, colidindo com impurezas, etc., tem que ser descrita utilizando-se pacotes de onda localizados. Para construir tais pacotes podemos utilizar os dois tipos de solu¸c˜oes. O segundo tipo, entretanto, ´
e mais conveniente.
Na primeira alternativa a condi¸c˜ao de contorno implica um espa¸camento de π/L nos valores poss´ıveis de kx, ky ou kz. Entretanto s´o tˆem sentido os valores positivos destas
com-ponentes, por causa da forma da fun¸c˜ao de onda. Assim no espa¸co rec´ıproco, os pontos que representam os vetores ~k permitidos preenchem apenas o octante em que as trˆes componentes s˜ao positivas. Assim a densidade de pontos permitidos no espa¸co rec´ıproco ´e (L/π)3.
Com a segunda alternativa os sinais de kx, ky e kz tˆem significado. Mudando o sinal
se obt´em uma onda plana que se propaga numa dire¸c˜ao diferente, e portanto representa um estado distinto. Assim, os pontos representativos preenchem todos os oito octantes do espa¸co rec´ıproco. Mas o espa¸camento entre os valores permitidos de cada componente ´e agora 2π/L, o que faz com que a densidade de pontos permitidos no espa¸co rec´ıproco seja 1/8 da anterior, ou seja (L/2π)3.
Considere uma amostra met´alica com N el´etrons livres confinados a um volume V = L3.
de mais baixa energia se encontram ocupados. Lembre-se que h´a dois estados eletrˆonicos diferentes associados a cada fun¸c˜ao de onda ψ~k. Assim os estados ocupados a T = 0 est˜ao
dentro de uma esfera no espa¸co rec´ıproco que cont´em N/2 pontos representativos de vetores de onda permitidos. O raio desta esfera, kF, ´e denominado vetor de onda de Fermi. Ele ´e
determinado da condi¸c˜ao:
N 2 = 4π 3 k 3 F × V (2π)3,
que resulta em, com n = N/V ,
kF = (3π2n)1/3.
Note que este resultado ´e idˆentico ao que seria obtido utilizando as ondas estacion´arias. Note tamb´em que kF depende da densidade de el´etrons e ´e independente do tamanho do sistema.
Ele, e o decorre dele, ´e uma fun¸c˜ao do material e n˜ao de uma particular amostra.
Assim, kF representa o m´odulo dos vetores de onda dos estados mais energ´eticos que
se encontram ocupados a T = 0. A energia de Fermi (ou n´ıvel de Fermi ), F ´e a energia
correspondente: F = ~ 2k2 F 2m = ~2 2m(3π 2 n)2/3.
Dividindo F pela constante de Boltzmann obtemos uma grandeza com dimens˜ao de
tempe-ratura,
TF = F/kB,
que ´e denominada temperatura de Fermi. Note que isto n˜ao ´e a temperatura do g´as, ´e apenas um parˆametro com dimens˜ao de temperatura que representa a energia (cin´etica) dos el´etrons mais energ´eticos do sistema a T = 0.
Utiliza-se tamb´em a velocidade de Fermi, vF = ~k
F
m ,
que ´e a velocidade de grupo associada aos estados com vetor de onda de m´odulo igual a kF.
Esta ´e a velocidade de pacotes de onda constru´ıdos a partir de ondas planas com energias em torno de F.
As densidades de el´etrons livres nos metais est˜ao entre 1028 e 1029 el´etrons por metro c´ubico. Assim os valores t´ıpicos das grandezas acima definidas s˜ao:
kF ∼ 1010m−1, 1 kF ∼ 10−10m = 1 ˚A; 1 eV . F . 10 eV; 2 × 104K . TF . 1 × 105K; 7 × 105 m/s . vF . 2 × 106 m/s.
Para uma temperatura finita a ocupa¸c˜ao dos estados, pela estat´ıstica de Fermi-Dirac, ´e dada pela fun¸c˜ao:
f () = 1
e(−µ)/kBT + 1.
Esta fun¸c˜ao est´a representada na Figura 1. Note que o potencial qu´ımico, µ, marca o limite de energia entre os estados ocupados e desocupados. A varia¸c˜ao de f () de 1 em baixas
−100 −5 0 5 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (ε−µ)/k BT f( ε )
Figura 1: Distribui¸c˜ao de Fermi-Dirac.
energias para 0 em altas energias se d´a numa faixa de energia da ordem de alguns kBT ; Para
T = 0, isto significa que fun¸c˜ao vale 1 para < µ, e 0 para > µ. Mas isto ´e justamente a defini¸c˜ao da energia de Fermi. Assim, a T = 0 o potencial qu´ımico do g´as ´e igual `a energia de Fermi, µ(T = 0) = F.
Comparada com as temperaturas de Fermi t´ıpicas, a temperatura ambiente ´e muito baixa (menos de 1% dos valores t´ıpicos de TF nos metais). Assim, mesmo na temperatura
ambiente a ocupa¸c˜ao da grande maioria dos N estados existentes abaixo de F n˜ao ´e afetada.
Apenas os estados numa faixa de energia de ±1% em torno de F tem os seus n´umeros de
ocupa¸c˜ao afetados. Estados ligeiramente abaixo de F s˜ao despopulados em detrimento de
estados com energias ligeiramente acima de F. Isto conduz a uma certa simplifica¸c˜ao na
matem´atica complicada do g´as de Fermi.
A m´edia de qualquer grandeza dinˆamica do g´as de el´etrons a T = 0 ´e computada somando sobre os estados ocupados, ou seja, sobre os estados dentro da esfera de Fermi. A energia m´edia, por exemplo, vem de
u = U N = 2 N X |~k|<kF (~k).
A express˜ao indica a soma sobre todos os vetores permitidos ~k dentro da esfera de raio kF.
O fator dois d´a conta dos dois estados de spin associados a cada estado orbital caracterizado por ~k. Transformamos a soma numa integral de volume no espa¸co rec´ıproco levando em conta a densidade de pontos ~k, ou seja V /(2π)3. Levando em conta que a energia ´e = ~2k2
2m ,
s´o depende do m´odulo do vetor ~k, o elemento de volume apropriado para a integra¸c˜ao ´e o volume de uma casca esf´erica, 4πk2dk. Assim,
u(0) = 2 N V (2π)3 Z kF 0 4πk2dk(k) = ~ 2 2m 1 nπ2 Z kF 0 k4dk = ~ 2 2m 1 nπ2 k5F 5 .
Levando em conta que k3F = 3π2n, vemos que u(0) = 3 5 ~2k2F 2m = 3 5F.
10-4 Teoria quˆ
antica da condu¸
c˜
ao de eletricidade
A f´ormula para a condutividade el´etrica ´e formalmente idˆentica `a do modelo cl´assico, ou seja σ = 1 ρ = ne2 m τ = ne2 m λ hvi.
Uma diferen¸ca b´asica ´e que a velocidade m´edia hvi n˜ao ´e dada pela estat´ıstica de Boltzmann. Na teoria quˆantica esta velocidade ´e substitu´ıda pela velocidade de Fermi, vF. Note que ela
n˜ao ´e mais a velocidade m´edia dos el´etrons. O motivo ´e que somente os el´etrons ocupando estados em torno da energia de Fermi participam dos processos de colis˜ao.
O caminho livre m´edio deduzido a partir dos valores experimentais das resistividades dos metais resulta muito maior do que a estimativa baseada na id´eia de que os el´etrons s˜ao espalhados pelos caro¸cos iˆonicos. O motivo disto ´e a natureza ondulat´oria dos el´etrons. No ambiente do potencial peri´odico proporcionado pela distribui¸c˜ao regular dos ´atomos no cristal, as fun¸c˜oes de onda eletrˆonicas s˜ao muito similares `as ondas planas do espa¸co vazio e, como elas, se estendem por todo o cristal. Esta propriedade foi descoberta por Bloch que mostrou que as fun¸c˜oes de onda eletrˆonicas num potencial peri´odico tˆem a forma
ψ~q(~r) = u~q(~r)ei~q.~r,
onde a fun¸c˜ao u~q(~r) ´e uma fun¸c˜ao com a mesma periodicidade do potencial dos ´ıons. O vetor
~
q, chamado vetor de Bloch, est´a relacionado com uma grandeza denominada momento cris-talino. Este ´e uma vers˜ao discreta do momento linear, que decorre da simetria do potencial cristalino. A dinˆamica dos pacotes de onda formados por fun¸c˜oes de Bloch ´e muito similar `
a dinˆamica de pacotes de ondas planas correspondentes a part´ıculas livres. O efeito do po-tencial peri´odico, em determinadas circunstˆancias, pode ser levado em conta escrevendo a energia na forma
(~q) = ~
2q2
2m∗,
ou seja, tratando os el´etrons livres como part´ıculas livres com uma massa efetiva m∗, dife-rente de sua massa inercial.
O que provoca o espalhamento dos el´etrons ´e a presen¸ca de defeitos na periodicidade do potencial a que eles est˜ao submetidos. Para um cristal perfeito a T = 0 n˜ao haveria nenhum espalhamento e o caminho livre m´edio seria infinito! Em temperaturas da ordem da temperatura ambiente as vibra¸c˜oes dos ´ıons em torno de sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio s˜ao importantes. Esta ´e a fonte principal da capacidade t´ermica dos s´olidos nestas temperatu-ras. Estas vibra¸c˜oes significam uma quebra da periodicidade do potencial, o que provoca espalhamento. A energia dos osciladores ´e proporcional ao quadrado do seu deslocamento da posi¸c˜ao de equil´ıbrio. A se¸c˜ao de choque de espalhamento de um el´etron por um ´ıon tamb´em ´
e proporcional ao quadrado deste deslocamento. Como no regime de altas temperaturas a energia t´ermica dos osciladores ´e proporcional `a temperatura, isto resulta num caminho livre m´edio inversamente proporcional `a temperatura.
Assim, na teoria quˆantica, a dependˆencia da resistividade com a temperatura n˜ao prov´em da velocidade m´edia (uma vez que vF ´e praticamente independente da temperatura), mas do
caminho livre m´edio. Para metais relativamente perfeitos, o espalhamento dominante ´e pelas vibra¸c˜oes dos ´atomos que resulta numa resistividade proporcional `a temperatura absoluta. Para temperaturas muito baixas o efeito das vibra¸c˜oes se torna desprez´ıvel e o caminho livre m´edio ´e limitado pela existˆencia de defeitos ou impurezas no metal. Isto d´a origem a uma resistividade m´ınima e praticamente constante em temperaturas muito baixas. O valor desta resistividade residual depende apenas da qualidade do material.
