Eletromagnetismo II 1 o Semestre de 2007 Noturno - Prof. Alvaro Vannucci. i ω

Eletromagnetismo II – 1

o

Semestre de 2007

Noturno - Prof. Alvaro Vannucci

8

a

aula – 23/mar/2007

• Na última aula vimos: Ondas planas: t i iK ω ∂ → − ∂ ∇ →     

(operadores)

• Das equações de Maxwell, considerando as amplitudes dos campos, números complexos: ( ˆ ) 0 0 0 0 ; : ˆ ˆ i K u r t p s E E e sendo que E E p E s ω ⋅ −  =      = + 


 


   ⇒ K B_{0 2 R}E₀ ; e K E₀ B₀ c

ω

ε

ω

× = − × =

<sub>



</sub> • A parte real:

(

)

(

)

0 ˆ 0 ˆ ( , ) _p cos _s cos E r t

=E p ωt−K r
⋅ −
φ +E s ωt−K r
⋅
;

(1)

sendo K
=Kuˆ • Para linearmente polarizadas elipticamente (circularmen ou ondas ondas 0 2 + ( àdirei te) polariz e à ta esquer ) a da -ad s φ π π φ = = ⇒ ⇒ ±      .

• Vimos que B E
⊥
e K
×E
=ωB
; K =nω_c

(

K
=Kuˆ

)

. Então:

(

)

(

)

0pˆcos 0sˆcos n B E s t K r E p t K r c

ω

φ

ω

  = _ − ⋅ − − − ⋅ _




(2)

Lei de Malus

• Radiação não-polarizada, quando atravessa certos materiais (polaróides) → pode tornar-se polarizada!

• Um polaróide pode ser construído a partir de um material com cadeias de moléculas paralelamente direcionadas.

• De forma que os elétrons de valência dessas moléculas passam a mover-se ao longo das cadeias (em resposta a um campo elétrico aplicado) → absorvem energia.

• No entanto, estes elétrons não conseguem passar de uma cadeia para outra (não se movem perpendicularmente às cadeias).

• Na incidência de uma onda EM com E

oscilando na direção que faz ângulo θ com Eixo

do Polarizador:

• Então, componente paralela do campo (E//), em relação ao Eixo do Polarizador (∴ ⊥⊥⊥⊥ à cadeia) não é absorvida e atravessa o polaróide.

• A componente perpendicular (E⊥⊥⊥⊥) ao Eixo do Polarizador, no entanto, não atravessa o

polaróide (elétrons absorvem a energia incidente). • Portanto: Etransmitido = E0(incidente) cos θ (E=E cos0

θ

)

• Em termos da Intensidade de Radiação, ou seja, potência transmitida (I∝ E
2):

• Responda: o que ocorre (com a luz) quando uso dois polaróides?

Densidade e fluxo de energia

• Temos verificado que a representação complexa de E
e B
é útil, sendo que para se obter as quantidades físicas reais, basta tomar as partes reais das grandezas complexas.

Eixo do Polarizador

θ

(

da onda

)

E

Lei de Malus

2 0

cos

I

=

I

θ

Cadeias Moleculares

• Isto, porém, pode ser feito porque, nas equações de Maxwell, os campos estão na forma linear, sempre; e as equações são satisfeitas separadamente pelas partes real e imaginária da grandeza complexa.

• No entanto, expressões envolvendo

1 2 (densidade de energia) (energia/área/tempo) u E D B H S E H   = _ ⋅ + ⋅ _ = ×   

não são funções lineares com relação aos campos.

• Nestes casos, faz-se necessário primeiro tomar as partes reais, antes de se efetuarem as multiplicações necessárias: 1 2 Re Re Re Re Re Re u E D B H S E H  _{ } = ⋅ + ⋅  _{ }   = × 






; 0

B

D

ε

E e H

µ

=

=

• Assim, pegando as partes reais dos campos e realizando as multiplicações (eqs. 1 e 2), obtemos:

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 cos cos cos cos p s p s E E t K r E t K r n n B E t K r E t K r c c E E

e

ω φ ω ω φ ω µ ε = − ⋅ − + − ⋅   _{ }   =_{  } − ⋅ − − − ⋅ _=_{ } =    







.

• De forma que, calculando:

2 0 2 0 1 E D E B H B

ε

µ

µ

⋅ = × = =



0

ε

µ

2 E     

• Então, a densidade volumétrica de energia, transportada por uma onda EM é:

(

2 2

)

2 2 0 1 2 1 E E n u E c E ε ε µ ε   = _  = _ 

+ = , onde usamos que: 0 0

0 1 e sendo R R n c

µ ε

ε

ε

ε

_ε

 = =    ₌ 

• Da mesma forma, para o Vetor de Poynting:

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 1 ˆ ˆ ˆ cos cos 0 cos cos 0 p s s p p s u S E H E t Kz E t Kz n n E t Kz E t Kz c c ω φ ω µ ω ω φ = × = − − − − − −


; com 0 1 H
= _µ B
⇒ aqui, vemos que os dois campos contribuem na mesma proporção para a energia de

(

)

(

)

2 2 2 2

0 0

0 0

ˆ ˆ

Componente p do campo elétrico Componente s do campo elétrico ao quadrado ao quadrado ˆ cos cos p s n n S E H E t K r E t K r u c ω φ c ω µ µ       = × = − ⋅ − + − ⋅      






 

( )

2

( )

2 ₂ E_p + E_s = E • Portanto: (em mó ) 2 0 dulo 2 0 1 ˆ n S E u S n E c c µ µ   = _ ⇒ =      _ 

• Ou seja, a energia da onda é proporcional ao quadrado do campo elétrico. • Agora, substituindo este último resultado na expressão da densidade de energia u: 0 1 u µ = 2 n 2 c 0 µ c n (vetorialmente) ˆ n S u S cu u c S n ⇒ = ⇒
=

• Em termos de velocidade de propagação da onda: ˆ p p c v u S u v n = ⇒
=

• Interessante notar, deste último resultado, a analogia com J
=ρv
, que define o vetor densidade de corrente elétrica. Ou seja, talvez possamos entender S
como uma

“densidade de corrente energética”, ou densidade de energia (na verdade potência) que se desloca com a velocidade vp da onda.

• Outra observação interessante: a dependência de u e S
(da onda) com o tempo depende do estado de polarização da onda! Isto porque, do que vimos na aula passada:

(

)

( )

2 2 2 2 2

0 0

z=

(real, para 0) = _pcos _scos

E E ωt−φ +E ωt

• Para polarização circular: E0s =E0p e =φ ±π₂, daí:

(

)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 ₂ sin sin 2

= _pcos _scos _psin _scos

t t E E t E t E t E t ω ω π ω ω ω ω = = + = + ∓ ∓  • Na situação que 2 2

(

2 2

)

0 0 0 0 1 sin cos p s E E E E E ωt ωt = = = ⇒ = +  2 2 2 0 0 = _{p s} constante no tempo! E E E ∴ = ≡

• Por outro lado, para ondas linearmente polarizadas (φ = 0,π): E2=E₀2_pcos2

( )

ωt +E₀2_scos2

( )

ωt =

(

E₀2_p+E₀2_s

)

cos2

( )

ωt

Densidade de energia Versor varia de 0 a 1 ⇒ E2 é sempre positivo ⇒

• Mas, se os valores de E2

são diferentes nestes dois casos, como analisarS

? • Veja que este último resultado, em termos de valores médios:

(

)

2 2 2 0 0 1 2 p s E = E +E ,

que poderia ter sido calculado fazendo: (ver apêndice):

(

*

)

2 1 Re 2

E = E E

⋅

• Igualmente, posso fazer:

(

)

(

)

* * * 1 1 2 2 1 2 Re Re u E D B H S E H  = ⋅ + ⋅    = × 

Ondas planas monocromáticas em

meios condutores

• A solução de onda plana, neste caso, pode ser obtida de maneira bastante análoga ao que

fizemos com meios dielétricos. Vamos continuar considerando ρ = 0 e J
só existirá em resposta ao campo elétrico da onda EM: J
=σE E
;
≡ campo da onda EM.

• Desta forma, da 4a equação de Maxwell:

i t iK D H E iK H E i D t ω ω σ σ   ∂ _{ } ∇ × = + ⇒ ⇒ × = −   ∂ _{ } ∂ _→ ∂ ∇ →









⇒ ⇒ K H₀ D₀ i E₀ usando B= 0H D E µ ω σ ε  × = − − ⇒  = 



_



⇒ ⇒ _{0 2 0} 0 R i K B E c ω σ ε ε ω   × = −  +   

_


• Note que, fazendo σ→ 0 caímos no caso do meio dielétrico! (veja aula 7). • Agora, permitindo que a constante dielétrica seja um grandeza complexa: 0 R R R iσ ε ε ε ε ω →  = + ,

(não importa qual das grandezas eu escolho conjugada) no cálculo dos valores médios ( )

(

0

)

i K r t E e ⋅ −ω


 ( )

(

0

)

i K r t H e ⋅ −ω




(

( )

)

0 i K r t D e ⋅ −ω




então, esta 4a equação de Maxwell adquire a mesma forma que tínhamos para meios dielétricos: 0 2 R 0 K B E c ω ε × = −

_
  , (3)

de forma que os mesmos procedimentos anteriores de análise podem ser seguidos. Veja que este é um modelo matemático e a suposição, que está sendo feita, irá facilitar na abordagem dos problemas.

• Assim, da 3a equação de Maxwell: B E i t ∂ ∇ × = − ⇒ ∂


0 K
×E
 = iωB
₀ • Multiplicando vetorialmente ambos os lados

( )

×K
:

(

0

)

0 K
× K
×E
 =ωK
×B
 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓

(usando a relação _A B C = B A C -
× ×

(

⋅

) (

C A B

⋅

)

_ e a equação (3) acima) ⇓ ⇓ ⇓ ⇓   2 0 0 2 0 2 0 R K K K E E K K E c ω ε = =   _{ }  _⋅ _{−  ⋅ = −}     _{ }  


<sub>



</sub>  • Portanto: 2 2 2 R K c ω ε =  ⇒ K R n c ε c ω ω =  = 

• Igualmente, da equação acima, vemos que (mantendo ω real) K
também corresponde a uma grandeza complexa (para meios condutores):

• Então, posso fazer: K
=K
_r+i K
_i =

(

K_r +i K u_i

)

ˆ=K u ˆ

• Assim procedendo, praticamente todas os resultados obtidos anteriormente para meios dielétricos também valerão, como veremos, para meios condutores, com a ressalva: ε_R, e n K
→ ε_R, e n K
 .

• Desta forma, as expressões dos campos, com K
→K


(

K r
⋅ =
K
_r⋅ +r
i K r
_i⋅

)

:

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0

( , )

( , )

r i r i i K r t K r i K r t K r

E r t

E e

e

B r t

B e

e

ω ω ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅







=





















₌







_

_



_

_

• Que correspondem a uma onda plana propagando-se na direção e sentido de Kr

, com 2 r K π

λ= , mas com amplitude que não é mais constante (decai exp. ao propaga-se)!

Note que eu estou impondo ε_R =n, em vista do resultado anterior, com dielétricos!

Apêndice

(

,

)

0 ˆ ( ) 0 ˆ ( ) i K r t i K r t p s E=E r t =E p e ⋅ −ω φ− +E s e ⋅ −ω ⇒






( ) ( )

(

)

(

( ) ( )

)

* 2 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ E E E E _pp e−i K r⋅ −ω φt− E s e_s −i K r⋅ −ωt E _pp ei K r⋅ −ω φt− E s e_s i K r⋅ −ωt ⇒ = ⋅ = + ⋅ + ⇒









2 2 2 0 0 2 2 0p 0 0 0s p s E E E E +E ⇒ _{= + + + =} = 0 = 0