Efeitos de desordem e ruído em modelos de formação de opiniões

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

INSTITUTO DE F´

ISICA

ALLAN RODRIGUES VIEIRA

EFEITOS DE DESORDEM E RU´IDO EM MODELOS DE

FORMAC

¸ ˜

AO DE OPINI ˜

OES

Niter´

oi

2017

(2)

ALLAN RODRIGUES VIEIRA

EFEITOS DE DESORDEM E RU´IDO EM MODELOS DE

FORMAC

¸ ˜

AO DE OPINI ˜

OES

Tese

apresentada

ao

programa

de P´

os-gradua¸c˜

ao em F´ısica da

Universidade Federal Fluminense

como requisito parcial para

ob-ten¸c˜

ao do grau de doutor em

F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. Nuno Miguel Melo Crokidakis

Peregrino

(3)

V657 Vieira, Allan Rodrigues.

Efeitos de desordem e ruído em modelos de formação de opiniões / Allan Rodrigues Vieira ; orientador: Nuno Miguel Melo Crokidakis Peregrino. –- Niterói, 2017.

87 p. : il.

Tese (Doutorado) – Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2017.

Bibliografia: p. 82-87.

1.FÍSICA ESTATÍSTICA. 2.SISTEMAS COMPLEXOS. 3.DINÂMICA DE OPINIÃO. 4.TRANSIÇÃO DE FASE. 5.SISTEMAS SOCIAIS.

I.Peregrino, Nuno Miguel Melo Crokidakis, orientador. II.Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física, Instituição responsável. III. Título.

(4)

(5)

Resumo

Neste trabalho utilizamos modelos de agentes para estudar a forma¸c˜ao de opini˜ao

em sociedades artificiais na presen¸ca de ru´ıdo e desordem. Estes modelos apresen-tam estados estacionários fora do equil´ıbrio, ou seja, não obedecem às regras de balan¸co detalhado. Analisamos as transi¸cões de fases fora do equil´ıbrio utilizando o ferramental de f´ısica estat´ıstica para estudar a criticalidade e a universalidade dos sistemas. Chegamos em resultados numéricos através de simula¸cões de Monte Carlo e em alguns casos também foi poss´ıvel obter resultados anal´ıticos.

(6)

Abstract

In this work we use agent-based models in order to study opinion formation in artificial societies, in presence of noise and disorder. These models exhibit nonequi-librium stationary states which means that they do not obey the rules of detailed balance. We analyze nonequilibrium phase transitions with statistical physics tools and study their criticality and universality. We obtain numerical results by Monte Carlo simulations and in some cases we also find out analytical results.

(7)

Agradecimentos

Muito do que sou hoje certamente ´e fruto das diversas intera¸c˜oes que tive com

pessoas e ideias ao longo de minha vida.

N˜ao caberia aqui nem todos os nome nem todos os fatos vividos. Ent˜ao, antes

de mais nada, aproveito para me desculpar com aqueles que n˜ao foram textualmente

lembrados, mas ainda assim tenho um grande carinho. Agrade¸co

• `a minha esposa Luiza e ao meu filho Theo;

• ao meu pai, Pedro Paulo, e `a minha m˜ae, Rute;

• `as minhas irm˜as, todas mais velhas do que eu;

• ao meu avˆo Bernadino, por me parabenizar tantas vezes por estar fazendo o

doutorado em f´ısica;

• aos meus amigos dos tempos de gradua¸c˜ao em f´ısica no IF-UFF: Antonio,

Leonardo, Rosembergue e tantos outros amigos e amigas do cora¸c˜ao;

• ao Caio, `a Rebecca, `a tia Marisa e ao tio Antonio pela amizade de longa data; • ao meu orientador Nuno Miguel Melo Crokidakis Peregrino, que topou orientar

meu doutorado tendo 2 anos e meio para finalizar;

• ao pessoal do grupo de F´ısica Estat´ıstica e Sistemas Complexos do IF-UFF, professores e alunos; e tamb´em pelas rodadas de cerveja nas comemora¸c˜oes de artigos publicados;

(8)

• `a Celia Anteneodo, ao J¨urgen Stilck, ao Paulo Murilo e ao S´ılvio Manuel

Duarte Queir´os, membros da banca.

• aos amigos e professores do Laboratório de Ótica Quântica da UFF que

esti-veram comigo durante boa parte da minha vida acadˆemica;

• aos funcionários e às funcionárias do IF-UFF;

• às funcionárias da biblioteca que tão gentilmente sempre nos auxiliavam tanto

nas buscas por itens quanto no gerenciamento dos prazos de devolu¸c˜ao;

• aos professores e `as professoras do IF-UFF e da UFF com quem tive aulas ou

tive a oportunidade de conhecer;

• `as agˆencias de fomento CAPES e CNPq por finaciarem meu projeto de

(9)

Roteiro

1 Introdu¸c˜ao 13

2 Metodologia 16

2.1 Introdu¸c˜ao . . . 16

2.2 Teoria cin´etica de Landau . . . 18

2.3 Expoentes cr´ıticos . . . 21

2.4 Homogeneidade das fun¸cões termodinâmicas ou hipótese se escala . . 21

2.5 An´alise de tamanho finito . . . 23

2.6 Classes de universalidade . . . 25

2.7 Modelos . . . 26

2.7.1 Trocas cin´eticas de opini˜oes . . . 26

2.7.2 Votante majorit´ario . . . 30

3 Transi¸cão de fase para estados absorventes em um modelo de forma¸cão de opiniões 33 3.1 Introdu¸cão . . . 33

3.2 Modelo e Resultados . . . 34

3.3 Conclus˜oes . . . 43

4 Transi¸cão de fase no modelo do votante majoritário na presen¸ca de dois ru´ıdos 46 4.1 Introdu¸cão . . . 46

4.2 Modelo e Resultados . . . 48

(10)

4.2.2 Rede quadrada - 2D . . . 54

4.3 Conclus˜ao . . . 56

5 Efeitos de conviçcão e independência em modelos com opiniões cont´ınuas 59 5.1 Introdu¸cão . . . 59

5.2 Modelo . . . 60

5.3 Resultados . . . 63

5.3.1 Intera¸c˜oes competitivas e independˆencia . . . 64

5.3.2 Conviçcões heterogêneas e independência . . . 69

5.4 Conclus˜oes . . . 73

(11)

Lista de Figuras

3.1 Fra¸cão de opiniões +1 no estado estacionário contra q para valores

t´ıpicos de p obtida pela equa¸c˜ao (3.9). Para um valor fixo de p,

escolhendo q < qc(p) temos duas possibilidades para f1. A curva em

preto f1 = f−1 representa a solu¸c˜ao de f1 na fase paramagn´etica. . . . 38

3.2 Parˆametro de ordem O contra o ru´ıdo q para valores t´ıpicos de p. Os

pontos foram obtidos através de simula¸cões numéricas e as linhas são dadas pela equa¸cão (3.13). Para p > pc= 1/4 o sistema não apresenta

transi¸cão de fase ferro-paramagnética. Para p > 0 o modelo apresenta uma transi¸cão ferro-paramagnética nos pontos dados pela equa¸cão

(3.7) e uma transi¸c˜ao paramagn´etica-absorvente em qc = 1/2. Em

detalhe, vemos que O = 0 para q ≥ 1/2 para todos valores de p. O tamanho da popula¸c˜ao ´e N = 104_{, e os resultados s˜}_{ao tomados em}

m´edias sobre 100 simula¸c˜oes independentes. . . 41

3.3 Gr´afico de algumas quantidades de interesse para p = 0.1. (a)

Sus-ceptibilidade V próximo da transi¸cão ferro-paramagnética para valo-res t´ıpicos do tamanho da popula¸cão N . O melhor colapso foi obtido para os valores γ ≈ 1, 1/ν ≈ 1/2 e qc ≈ 0.33, considerando as rela¸cões

(3.20) e (3.21). (b) Parˆametro de ordem O para N = 105 _para

dife-rentes valores de q pr´oximo da transi¸c˜ao de fase para-absorvente. O melhor colapso foi obtido para os valores δ ≈ 1, 1/ν|| ≈ 1 e qc ≈ 0.5,

considerando as rela¸c˜oes (3.22) e (3.23). Todos dados foram obtidos

(12)

3.4 Diagrama de fases do modelo no plano q contra p. A região em azul representa a fase absorvente, e a curva em vermelho representa divisa entre as fases ferromagnética e paramagnética, equa¸cão (3.7).

Note que para p = 0 o sistema apresenta um transi¸c˜ao de fase

ativo-absorvente. . . 44

4.1 Parâmetro de ordem m como fun¸cão da probabilidade de independência

p para valores t´ıpicos do ru´ıdo q, considerando o modelo formulado em campo médio. Os s´ımbolos são resultados numéricos para popula¸cões com N = 104 _{indiv´ıduos, com m´}_{edias tomadas em 100 simula¸c˜}_oes

in-dependentes, e as linhas são dadas pelo resultado anal´ıtico da equa¸cão (4.13). Repare que para valores suficientemente grandes de p e q o sistema está desordenado, o que corresponde à solu¸cão anal´ıtica m = 0. 51

4.2 Diagrama de fases para o modelo formulado em campo m´edio, no

plano p (probabilidade de independˆencia) contra q (ru´ıdo usual).

Po-demos ver as fases Ordenada e Desordenada. Os quadrados s˜ao

esti-mativas numéricas para os pontos cr´ıticos pc(q) e a curva é a previsão

teórica, equa¸cão (4.14). As barras de erro são menores que os pontos. 52 4.3 Análise de tamanho finito da transi¸cão de fase para o modelo na rede

completamente conectada, para q = 0.05. O melhor colapso foi obtido para pc≈ 0.2555, β ≈ 1/2, γ ≈ 1 e ν ≈ 2. . . 53

4.4 Parâmetro de ordem m como fun¸cão da probabilidade de independência

p para valores t´ıpicos do ru´ıdo q, para o modelo definido na rede quadrada com L = 100. Observe que para valores suficientemente

grandes de p e q, o sistema est´a desordenado. Cada ponto foi obtido

através de médias sobre 100 simula¸cões independentes. As linhas são guias para os olhos. . . 55

4.5 An´alise de tamanho finito da transi¸c˜ao para o modelo na rede

(13)

4.6 Diagrama de fases para o modelo definido na rede quadrada, no plano p contra q, separando as fases ordenada e desordenada. Os quadrados s˜ao as estimativas num´ericas dos pontos cr´ıticos pc(q), obtidos pela

an´alise do cumulante de Binder. As barras de erro s˜ao menores que

os pontos no gráfico, e a linha tracejada é uma descri¸cão qualitativa da fronteira que separa as duas fases, como discutido no texto. . . 57

5.1 Parˆametro de ordem contra a probabilidade de independˆencia q, para

alguns valores da fra¸c˜ao p de intera¸c˜oes negativas, com ci = 1 para

todo i. Pode-se observar transi¸c˜oes em diferentes pontos qc(p), por´em

o valor máximo de O diminui com p e a transi¸cão é eliminada para um

valor suficientemente grande de p. As popula¸c˜oes possuem N = 104

indiv´ıduos e as médias foram feitas sobre 100 simula¸cões independentes. 65 5.2 Análise de tamanho finito para a transi¸cão como fun¸cão de q, para

p = 0.1 e ci = 1 para todo i. O melhor colapso foi obtido para

qc≈ 0.173, β ≈ 1/2, γ ≈ 1 e ν ≈ 2. . . 66

5.3 Diagrama de fase no plano q (probabilidade de independˆencia)

con-tra p (probabilidade de intera¸c˜oes negativas), quando ci = 1 , ∀i. Os

s´ımbolos são as estimativas numéricas dos pontos de transi¸cão, en-quanto que a linha tracejada foi obtida pela equa¸cão (5.5). As barras de erro são estimadas via ATF. . . 67

5.4 Histograma normalizado de opini˜oes, no estado estacion´ario, para

q = 0.0 (no quadro ao topo `a esquerda), q = 0.05 (no quadro ao

topo `a direita), e q = 0.2 (no quadro a baixo), para v´arios valores de

p, quando ci = 1 , ∀i. Os s´ımbolos vazios (preenchidos) representam

os estados ordenados (desordenados). Nos detalhes aumentados os

resultados excluindo-se os agentes extremistas com as opini˜oes

majo-ritárias. As popula¸cões têm N = 104 _{indiv´ıduos, e os dados foram}

tomados sob m´edias de 100 simula¸c˜oes independentes, como explicado no texto. . . 68

(14)

5.5 Parâmetro de ordem contra a probabilidade de independência q, para vários valores da fra¸cão w de conviçcões negativas, quando p = 0.

Pode-se observar transi¸c˜oes ordem-desordem para diferentes pontos

qc(w), mas a transi¸c˜ao ´e suprimida para um valor suficientemente

grande de w. As m´edias foram feitas sobre 100 simula¸c˜oes em

po-pula¸c˜oes de N = 104 _{indiv´ıduos. . . 70}

5.6 An´alise de tamanho finito da transi¸c˜ao de fase para w = 0.2 e p = 0.0.

O melhor colapso foi encontrado para qc ≈ 0.079, β ≈ 1/2, γ ≈ 1 e

ν ≈ 2. . . 71

5.7 Diagrama de fase para o modelo no plano q (probabilidade de

inde-pendência) versus w (probabilidade de conviçcões negativas), quando

p = 0. Os s´ımbolos s˜ao as estimativas num´ericas dos pontos de

transi¸c˜ao, enquanto que a linha tracejada foi obtida pela substitui¸c˜ao

de p por w na equa¸c˜ao (5.5), como explicado no texto. As barras de

erro são estimadas via ATF. . . 72 5.8 Histograma normalizado de opiniões, no estado estacionário, para q =

0.0 (no quadro ao topo `a esquerda), q = 0.05 (no quadro ao topo `a

direita), e q = 0.1 (no quadro a baixo), para v´arios valores de w

(e p = 0). Os s´ımbolos vazios (preenchidos) representam os estados ordenados (desordenados). As popula¸c˜oes tˆem N = 104 _{indiv´ıduos, e}

os dados foram tomados sob médias de 100 simula¸cões independentes, como explicado no texto. . . 73 5.9 Fra¸cão média de agentes com opiniões extremas como fun¸cão de w

(probabilidade de convic¸c˜oes negativas) para valores t´ıpicos de q

(pro-babilidade de independˆencia), quando p = 0. Pode-se ver que o

número de agentes extremistas na popula¸cão reduz-se (até mesmo a

zero) para valores suficientemente grandes de w. A popula¸c˜ao possui

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

O estudo de sistemas sociais por f´ısicos, apesar de incomum, não é tão estranho a esse

ramo da ciˆencia. Embora Maxwell e Boltzmann tenham se guiado em estat´ıstica de

sistemas sociais para desenvolverem a teoria cinética dos gases, tais sistemas não fo-ram alvo de pesquisa de f´ısicos por muito tempo [1, 2]. Recentemente, abordagens de alguns fenômenos em uma sociedade utilizando-se ferramentas da f´ısica estat´ıstica,

ao negligenciar a complexidade dos indiv´ıduos, tˆem sido capazes de explicar

com-portamentos coletivos conhecidos [2].

Uma das defini¸c˜oes mais comuns para um sistema complexo ´e tal que a soma das

partes isoladas que comp˜oem o sistema (unidades, indiv´ıduos ou elementos) n˜ao

cor-responde ao todo, ou seja, tais sistemas apresentam um comportamento coletivo n˜ao

linear. Sistemas Complexos vˆem sendo utilizados para descrever diversos fenˆomenos

fora da f´ısica e al´em disso em sistemas sociais, tais como: dinˆamica de pedestres

e multidões, sistemas socio-econômicos e modelos econômicos, redes de

transpor-tes, redes de telecomunica¸cões, dinâmica entre culturas, evolu¸cão de linguagens e dinâmica de opiniões [2].

A dinâmica de opiniões busca compreender quais são os ingredientes necessários

para uma sociedade atingir, por exemplo, o consenso, polariza¸c˜oes ou mesmo

frag-menta¸c˜oes entre os indiv´ıduos que a comp˜oem. Entendemos por consenso: o estado

onde todos indiv´ıduos possuem a mesma opini˜ao, por polariza¸c˜oes: duas ou mais

(16)

es-tado onde todas as opiniões são igualmente prováveis naquela sociedade, isto é, não há nenhuma opinião majoritária.

Compreender como um indiv´ıduo, um grupo de pessoas ou uma popula¸c˜ao se

comporta diante de um debate (questão sócio-econômica, pol´ıtica, sobre uma

dou-trina ou uma questão moral) tem um impacto direto em nossa sociedade. Não é por

acaso que somos bombardeados por in´umeras propagandas (publicit´aria, pol´ıtica,

doutrinária e etc.) diariamente. Algumas áreas da ciência visam entender como um

indiv´ıduo/grupo se portam ao formar uma opini˜ao e o que acontece em suas vias

cognitivas, como por exemplo psicologia, a sociologia e a neurociˆencia [3, 4, 5, 6, 7]. O termo opini˜ao pode se referir tanto a um conjunto de cren¸cas ou conhecimentos

referentes a um ´unico indiv´ıduo quanto a um consenso coletivo, dito senso comum.

De fato, a diferen¸ca entre um comportamento individual e um comportamento

co-letivo é um dos pontos-chave para esta tese. Os modelos de dinâmica de opinião

apresentados aqui tratam um indiv´ıduo de maneira bastante simplificada. Por um lado, isto pode n˜ao representar a realidade, por outro lado, tais simplifica¸c˜oes

permi-tem que os modelos de agentes apresenpermi-tem resultados macrosc´opicos contundentes,

como por exemplo a emergˆencia de comportamentos coletivos.

O objetivo da modelagem computacional de sistemas sociais n˜ao ´e reproduzir um

ser humano e toda sua complexidade. Muito pelo contr´ario, os modelos de agentes

visam reproduzir cen´arios onde uma ou poucas caracter´ısticas de um indiv´ıduo sejam relevantes para o comportamento coletivo.

Em F´ısica, esta premissa se baseia na Teoria de Escala e Grupo de Renorma-liza¸cão, onde caracter´ısticas macroscópicos de sistemas não dependem de detalhes

microsc´opicos do mesmo, apenas de caracter´ısticas globais tais como simetrias,

di-mens˜ao, leis de conserva¸c˜ao do sistema [8].

Seguindo o desenvolvimento deste texto, no cap´ıtulo 2 apresentamos uma breve revisão sobre alguns assuntos como: transi¸cão de fase, fenômenos cr´ıticos, expoentes cr´ıticos, análise de tamanho finito. Também apresentamos uma descri¸cão de dois

(17)

do votante majorit´ario.

Nos cap´ıtulos 3, 4 e 5 apresentamos resultados para diferentes modelos de forma¸cão de opinião publicados nas referências [9], [10] e [11], respectivamente. Sua

orga-niza¸cão não segue a ordem cronológica em que os artigos foram publicados, mas

segue uma organiza¸c˜ao did´atica.

No cap´ıtulo 3 analisaremos um modelo de troca cinética com opiniões discretas. Além da transi¸cão de fase ordem-desordem encontrada em outros modelos deste tipo,

ao adicionarmos no modelo um ru´ıdo de indecis˜ao observamos mais duas transi¸c˜oes

de fases para um estado absorvente, uma partindo de uma fase ferromagn´etica e

outra da fase paramagn´etica.

No cap´ıtulo 4 apresentamos outro modelo com opini˜oes discretas (com duas

opini˜oes apenas, σ = ±1), o modelo do votante majorit´ario. Investigamos este

sistema na presen¸ca de dois ru´ıdos: a hesita¸cão e a independência. Além disso, analisaremos o sistema em duas topologias distintas, em redes completamente

co-nectadas e em redes quadradas. Tamb´em apresentamos alguns resultados anal´ıticos

para uma aproxima¸c˜ao de campo m´edio simples.

No cap´ıtulo 5 voltamos ao modelo de trocas cin´eticas de opini˜ao, agora com

opini˜oes cont´ınuas. Inclu´ımos o ru´ıdo de independˆencia e duas formas diferentes

de desordem, e por isso apresentaremos duas vers˜oes para o modelo. Al´em de

in-vestigarmos as transi¸c˜oes de fases no modelo trazemos uma an´alise mais detalhada

através de histogramas para alguns estados estacionários do sistema. Nesta análise, mostramos que o modelo apresenta alguns resultados mais realistas.

Na conclus˜ao, faremos um breve resumo dos resultados e indicamos algumas

(18)

Cap´ıtulo 2

Metodologia

Neste cap´ıtulo faremos uma revisão teórica sobre transi¸cões de fase cont´ınuas, expo-entes cr´ıticos, análise de tamanho finito classes de universalidade e de dois modelos de dinâmica de opinião.

2.1 Introdu¸

c˜

ao

As transforma¸cões nos estados f´ısicos da água estão entre os exemplos mais cotidi-anos e qualitativos de transi¸cões de fase: fusão, ebuli¸cão e sublima¸cão. Por outro lado, o diagrama de fases da água é bem mais complexo do que a versão apresentada

nos livros de ensino m´edio: o gelo, por exemplo, apresenta mais de 16 fases

dife-rentes. Tamb´em observamos diferentes fases termodinˆamicas para diversas outras

substˆancias, como por exemplo o ferro fundido − muitas vezes usado na ind´ustria.

Há porém diversos outros exemplos de transi¸cões de fase na natureza:

1. entre as v´arias fases magn´eticas (ferromagnetismo, paramagnetismo,

antifer-romagnetismo, ferrimagnetismo e vidros de spin);

2. nos metais que apresentam uma fase supercondutora em baixas temperaturas; 3. nos compostos que apresentam a superfluidez;

(19)

Estas transi¸cões podem ser controladas externamente através de alguns parâmetros

como: termperatura, press˜ao, volume, etc. Mas a transi¸c˜ao em si pode ser abrupta

ou suave. Uma transi¸cão abrupta (por exemplo a transi¸cão sólido-l´ıquido da água), apresenta coexistência de fases, isto é, durante a transi¸cão teremos as duas fases

(´agua l´ıquida e gelo) coexistindo simultaneamente. Por outro lado, se tal

passa-gem entre as duas fases for suave não teremos coexistência de fases. Na transi¸cão

l´ıquido-vapor da ´agua, no entanto a passagem de uma fase para a outra pode ser

feita havendo a coexistˆencia de fases ou n˜ao.

A classifica¸cão de Ehrenfest para as transi¸cões de fase de ordem n está associada `

a descontinuidade na derivada de ordem n da energia livre do sistema com respeito `

a suas variáveis termodinâmicas [12]. As transi¸cões de primeira ordem apresentam um descontinuidade na primeira derivada, por exemplo

S = − ∂F (T, V, N ) ∂T ! V,N , V = ∂G(T, P, N ) ∂P ! T,N , M = ∂G(T, H, N ) ∂H ! T ,N ,

onde F e G s˜ao as energias livres de Helmholtz s Gibbs, respectivamente. Logo

espera-se uma descontinuidade na entropia S, no volume V (ou densidade) e na magnetiza¸cão M (para sistemas magnéticos) na transi¸cão de fase de primeira ordem.

Consequentemente, tais grandezas s˜ao cont´ınuas na transi¸c˜ao de segunda ordem,

uma vez que a segunda derivada da energia livre deveria ser descont´ınua. No entanto,

neste caso a derivada de primeira ordem ´e cont´ınua enquanto a derivada de segunda

ordem diverge, por exemplo

C = T∂ 2_F ∂T2, κ = − (1/V ) ∂2_G ∂P2, χ = − ∂2_F ∂H2,

onde C é a capacidade térmica, κ é a compressibilidade e χ é a susceptibilidade. A classi¸cão moderna substitui transi¸cões de primeira e segunda ordem por transi¸cões de fase descont´ınua e cont´ınua, respectivamente [12]. Esta classifica¸cão pode se refe-rir à derivada (descont´ınua ou cont´ınua) de primeira ordem da energia livre ou ainda

(20)

vai a zero continuamente ou apresenta uma descontinuidade, ou seja, as duas fases

coexistem no ponto cr´ıtico. Um parˆametro de ordem escalar ´e identicamente nulo

quando o sistema apresenta alguma simetria (fase desordenada) e diferente de zero

quando h´a uma assimentria (fase ordenada) [13, 14]. Como exemplos de parˆametro

de ordem temos a magnetiza¸c˜ao em um magneto simples ou a diferen¸ca entre as

densidades de l´ıquido e vapor no processo de ebuli¸c˜ao da ´agua.

Além disso, diversos sistemas apresentam transi¸cões de fase fora do equil´ıbrio termodinâmico ou mesmo fora da f´ısica tradicional. Muitas vezes esses sistemas não possuem hamiltonianas ou fun¸cão de parti¸cão, e são definidos apenas pelas taxas de transi¸cão entre seus estados [15].

Daremos mais aten¸cão às transi¸cões de fases cont´ınuas devido ao carater de universalidade de seus expoentes. Todos os resultados apresentados nos cap´ıtulos 3, 4 e 5 são relativos a transi¸cões cont´ınuas.

2.2 Teoria cin´

etica de Landau

O conceito de parˆametro de ordem para um sistema, introduzido por Landau para

a descri¸cão de transi¸cões de fase de segunda espécie [13, 14, 16], será associado às

fases do sistema. Apresentaremos um modelo para um sistema com um parˆametro

de ordem (m) e a transi¸cão de fase será induzida por um parâmetro de controle p. De

tal modo que para p acima de um ponto cr´ıtico pc o estado estacion´ario do sistema

apresentar´a m = 0 caracterizando uma fase desordenada do sistema enquanto para

p < pc o estado estacionário terá m 6= 0 indicando uma fase ordenada. O sistema é

definido em um reticulado e a cada s´ıtio é associada uma variável estocástica σi cuja

média hσii pode ser identificada com o parâmetro de ordem. A evolu¸cão temporal

da distribui¸cão de probabilidade que governa o sistema é descrita por uma equa¸cão

mestra [14]. Portanto podemos apresentar a evolu¸c˜ao temporal do parˆametro de

ordem como

dm

(21)

onde f = f (m) por constru¸c˜ao.

Supondo que o sistema apresente apenas a simetria de inversão, ou seja, o sistema permanece invariante sob a opera¸cão de inversão σi → −σi em todas as variáveis do

sistema. Sob esta opera¸c˜ao, temos m → −m, f → −f e

d

dt(−m) = −f (m). (2.2)

Comparando as equa¸c˜oes (2.1) e (2.2) vemos que f (−m) = −f (m), ou seja uma

fun¸cão ´ımpar. Supondo que f (m) possa ser desenvolvida em uma série de potências de m temos

f (m) = c1m + c3m3+ c5m5+ · · · , (2.3)

que pode ser aproximada tomando-se apenas os primeiros termos da expans˜ao, ou

seja,

dm

dt = −am − bm

3_, _(2.4)

onde a e b dependem de p, a pode ser positivo, negativo ou mesmo nulo e b

estrita-mente positivo. Multiplicando ambos os membros da equa¸c˜ao (2.4) por m teremos

1 2

d dtm

2 _{= −am}2_{− bm}4_. _(2.5)

Resolvendo a equa¸cão (2.5) chegamos à seguinte solu¸cão (para a 6= 0)

m2 = a

ce2at_{− b}, (2.6)

onde c é uma constante obtida a partir da condi¸cão inicial. Para t → ∞ a equa¸cão (2.6) apresentará duas solu¸cões distintas de acordo com o sinal de a. Se a > 0

teremos m → 0, correspondente ao estado desordenado. Se a < 0 ent˜ao m → ±m∗

onde m∗ = q|a|/b, correspondente ao estado ordenado. Admitindo que a depende

de p tal que a = A(p − pc) para valores pr´oximos de pc, onde A > 0, quando p

(22)

e quando p < pc, a < 0 e teremos o estado estacion´ario ordenado tal que

m∗ ∼ (pc− p)1/2. (2.7)

Podemos reescrever a equa¸c˜ao (2.7) como (pc− p)β, onde β = 1/2. Este valor para

o expoente β é tipicamente encontrado em aproxima¸cões de campo médio [14]. Ainda na vizinhan¸ca da transi¸cão de fase, na região desordenada, para tempos

longos, podemos aproximar a equa¸c˜ao (2.6) para

m =

r_a

c e

−t/τ

, (2.8)

ou seja, um decaimento exponencial com tempo caracter´ıstico τ = 1/a. Portanto, temos

τ ∼ (p − pc)−1. (2.9)

O mesmo se d´a na regi˜ao p < pc (a < 0), onde m decai exponencialmente para seu

valor estacion´ario m∗. No entanto, para p = pc (a = 0) o decaimento deixa de ser

exponencial. Da equa¸c˜ao (2.4), com a = 0 temos

dm

dt = −bm

3

, (2.10)

cuja solu¸cão é da forma m = 1/√2bt + c. Assim, o comportamento assintótico de m para tempos longos é algébrico, tal que

m ∼ t−1/2. (2.11)

Isto é, fora do ponto cr´ıtico o parâmetro de ordem decai exponencialmente para seu valor estacionário com um tempo caracter´ıstico, o tempo de relaxa¸cão τ . Aproximando-se do ponto cr´ıtico o tempo de relaxa¸cão cresce indefinidamente e diverge em pc. Esse

(23)

2.3 Expoentes cr´ıticos

Na vizinhan¸ca do ponto cr´ıtico, podemos descrever uma fun¸c˜ao termodinˆamica tal

que

f (t) = Atλ(1 + Btx+ . . .) , (2.12)

onde t é o parâmetro de controle externo, A, B, x são constantes e x > 0. Podemos definir o expoente cr´ıtico λ

λ = lim

t→0

ln f (t)

ln t , (2.13)

e assim podemos associar a cada grandeza f´ısica um expoente cr´ıtico. O

compor-tamento assint´otico de algumas grandezas pode ser expresso em termos de leis de

potˆencia, por exemplo:

1. a magnetiza¸c˜ao a campo nulo m ∼ |Tc− T |β, onde Tc´e a temperatura cr´ıtica,

2. a magnetiza¸c˜ao no ponto cr´ıtico m(H, Tc) ∼ H1/δ,

3. a susceptibilidade magn´etica χ ∼ |Tc− T |−γ,

4. o calor espec´ıfico C(T ) ∼ |Tc− T |−α

5. o comprimento de correla¸c˜ao espacial ξ ∼ |Tc− T |−ν,

6. o tempo de relaxa¸c˜ao τ ∼ ξz, etc.

2.4 Homogeneidade das fun¸

c˜

oes termodinˆ

amicas

ou hip´

otese se escala

Seja a energia livre na vizinhan¸ca de um transi¸c˜ao de fase em um magneto uniaxial

simples g = g(t, h), onde t ´e a temperatura reduzida

t = Tc− T Tc

(24)

e h é o campo magnético externo. Supondo que g(t, h) é uma fun¸cão homogênea generalizada [18] temos g(t, h) = λg(λat, λbh). (2.15) Usando λat = 1 → λ = t−1/a (2.16) na equa¸cão (2.15), teremos

g(t, h) = t−1/ag(1, λ−b/ah) = t−1/aF h tb/a

!

. (2.17)

Tomando a magnetiza¸c˜ao m para o valor de λ dado pela equa¸c˜ao (2.16) temos

m = ∂g ∂h ! t = t−a1− b aF0 h tb/a ! . (2.18)

Para campo nulo, h = 0, teremos a expressão assintótica em lei de potência e

identificamos o valor de β para os parˆametros a e b

m(t, h = 0) = t−1a− b aF0(0) ∼ tβ ⇒ β = −1 a − b a. (2.19)

Podemos descrever a susceptibilidade como a derivada segunda da energia livre

ou como a derivada primeira da magnetiza¸c˜ao com respeito ao campo

χ = ∂ 2_g ∂h2 ! t = ∂m ∂h ! t = t−1a− 2b aF00 h tb/a ! . (2.20)

A campo nulo temos

χ(t, h = 0) = t−1a− 2b aF00(0) ∼ t−γ ⇒ γ = 1 a + 2b a. (2.21)

(25)

g(t, h) com rela¸c˜ao `a temperatura Ch ∼ ∂2_g ∂t2 ! h=0 ∼ t−1a−2F (0) ∼ t−α ⇒ α = 1 a + 2. (2.22)

Dos valores encontrados para os expoentes β, γ e α nas equa¸c˜oes (2.19), (2.21)

e (2.22), respectivamente, encontramos o limite inferior da rela¸c˜ao de Rushbrooke

[18]

α + 2β + γ = 2 (2.23)

Existem outros expoentes cr´ıticos e outras rela¸c˜ao entre eles, por exemplo

δ − 1 = γ

β (2.24)

e

2 − α = dν. (2.25)

2.5 An´

alise de tamanho finito

Na vizinhan¸ca da transi¸cão, algumas quantidades apresentam comportamento cr´ıtico, como por exemplo o parâmetro de ordem O, suas flutua¸cões V (∼ [hO2i − hOi2]),

o cumulante de Binder U = 1 − hO

4_i

3hO2_i2 [19], o comprimento de correla¸c˜ao ξ, etc.

Podemos escrever da seguinte forma:

O ∼ (p − pc)β, (2.26)

V ∼ (p − pc)−γ, (2.27)

ξ ∼ (p − pc)−ν, (2.28)

onde p ´e o parˆametro de controle do sistema (temperatura reduzida, ru´ıdos em

geral) e pc ´e o valor cr´ıtico deste parˆametro. Podemos ver que V e ξ apresentam

comportamentos divergentes na vizinhan¸ca da transi¸c˜ao. O cumulante de Binder,

(26)

No entanto, estes comportamentos s˜ao esperados no limite termodinˆamico, ou

seja, para sistemas com tamanho N → ∞. Logo, as rela¸c˜oes (2.26−2.28) precisam

ser ajustadas. Como o comprimento de correla¸c˜ao ξ diverge em um sistema infinito

podemos associ´a-lo ao tamanho N de um sistema finito tal que ξ ∼ N . Al´em disso,

em um sistema finito a flutua¸c˜ao V atinge um valor m´aximo para p = pc(N ) (dito

ponto pseudo-cr´ıtico), ou seja, espera-se um valor de V cada vez maior a medida que aumentamos N e no limite termodinˆamico teremos V divergindo tal que pc(N ) → pc.

Assim, da equa¸c˜ao (2.28) na vizinhan¸ca da transi¸c˜ao temos

(p − pc) = pc(N ) − pc∼ N−1/ν. (2.29)

Portanto, para sistemas finitos, reescreveremos as rela¸c˜oes (2.26,2.27) e o cumulante de Binder:

O(N ) ∼ N−β/ν, (2.30)

V (N ) ∼ Nγ/ν, (2.31)

U (N ) ∼ constante. (2.32)

O gr´afico da quantidade U (N ) contra p para alguns tamanhos N vai nos fornecer

uma estimativa para o ponto cr´ıtico pc na regi˜ao onde as curvas U (N ) se cruzam.

Se analisarmos o gr´afico de U (N ) contra (p − pc)N1/ν na vizinhan¸ca de pc para

diferentes tamanhos do sistema veremos apenas uma curva universal (para a escolha

correta do expoente ν) pois eliminamos a dependˆencia com o tamanho do sistema

no eixo horizontal.

Realizando a mesma estrat´egia para as quantidades O(N )Nβ/ν _{e V (N )N}−γ/ν

contra (p − pc)N1/ν obteremos estimativas para os expoentes β e γ. O conjuntos

dos trˆes expoentes β, γ e ν nos indicam a que classe de universalidade este sistema

(27)

2.6 Classes de universalidade

Dentre as caracter´ısticas mais surpreendentes das transi¸cões de fase cont´ınuas e sua fenomenologia, está a universalidade dos expoentes cr´ıticos. Isto é, alguns sistemas completamente diferentes apresentam os mesmos expoentes cr´ıticos.

N˜ao aprofundaremos esta discuss˜ao neste trabalho, contudo as bases para tal

identidade em um conjunto de expoentes cr´ıticos remonta `a Teoria de Grupo de

Renormaliza¸c˜ao [18]. Nela identificamos os ingredientes em um modelo que

deter-minam seus expoentes cr´ıticos, como por exemplo: simetrias, dimens˜ao, alcance de

intera¸c˜ao e a dimensionalidade do parˆametro de ordem.

Dessa forma, uma transi¸c˜ao de fase est´a associada a uma classe de universalidade, ou seja, um conjunto de expoentes cr´ıticos que caracterizam aquela classe.

Além disso, em uma dada classe de universalidade encontramos tanto transi¸cões de fase para sistemas f´ısicos no equil´ıbrio termodinâmico quanto fora deste. E mais, também encontram-se sistemas que sequer possuem atributos clássicos da descri¸cão

de qualquer sistema f´ısico, como por exemplo hamiltoniana (a¸c˜ao), ou fun¸c˜ao de

parti¸c˜ao. expoente CM d = 1 d = 2 d = 3 d = 4 β 1 0.276486(8) 0.584(4) 0.81(1) 1 ν⊥ 1/2 1.096854(4) 0.734(4) 0.581(5) 1/2 ν|| 1 1.733847(6) 1.295(6) 1.105(5) 1 z 2 1.580745(10) 1.76(3) 1.90(1) 2

Tabela 2.1: Tabela apresentando os expoentes da Percola¸c˜ao Direcionada [20].

Nas tabelas (2.1) e (2.2) encontramos alguns dos expoentes para a Percola¸c˜ao

Direcionada [20] e para o modelo de Ising [16, 21], respectivamente. Os expoentes são classificados pela dimensão do sistema d = 1, 2, 3, ≥ 4 e CM (sigla para campo médio).

Como notamos, nas tabelas, os expoentes em campo m´edio − discutiremos seu

significado a seguir − são idênticos aos expoentes para a dimensão d = 4, tanto no

(28)

expo-expoente CM d = 1 d = 2 d = 3 d = 4

β 1/2 – 1/8 0.326419(3) 1/2

ν 1/2 – 1 0.629971(4) 1/2

γ 1 – 7/4 1.237075(10) 1

δ 3 – 15 4.78984(1) 3

Tabela 2.2: Tabela apresentando os expoentes do modelo de Ising (ferromagn´etico

com intera¸c˜ao de primeiros vizinhos) [16, 21].

entes cr´ıticos não se alteram para uma dimensão d ≥ 4, denomina-se que a dimensão

cr´ıtica superior ´e dc = 4. Por outro lado, o modelo de Ising em dimens˜ao d = 1

não apresenta transi¸cão de fase. E por fim, os expoentes em campo médio (também

chamados de expoentes cl´assicos) s˜ao obtidos em abordagens que apresentam

in-tera¸cões de campos efetivos ou ainda em aproxima¸cões que negligenciam partes das correla¸cões entre os elementos do modelo [14, 16]. Além da teoria cinética de Landau

já mencionada, também podemos citar a teoria de Van der Waals, a aproxima¸cão

de Bethe-Peierls e o campo molecular de Curie-Weiss como exemplos de regime de campo m´edio [14, 16].

2.7 Modelos

Apresentaremos uma breve revis˜ao dos modelos explorados nos cap´ıtulos 3, 4 e 5 :

o modelo de trocas cinéticas de opinião [22] e o modelo do votante majoritário [23].

2.7.1 Trocas cin´

eticas de opini˜

oes

Para apresentar as trocas cin´eticas de opini˜oes devemos introduzir o modelo LCCC

[24]. O modelo LCCC, batizado com as iniciais dos nomes de seus autores, por sua

vez ´e inspirado em modelos de transa¸c˜oes financeiras. Nele, cada agente i em uma

sociedade artificial (completamente conectada) de N indiv´ıduos possui uma opini˜ao

oi, onde −1 ≤ oi ≤ 1. Para um dado instante t, selecionam-se dois indiv´ıduos i e j.

(29)

instante t + 1 para

oi(t + 1) = λ[oi(t) + toj(t)] , (2.33)

oj(t + 1) = λ[oj(t) + 0toi(t)] , (2.34)

onde λ representa a conviçcão (0 ≤ λ ≤ 1) e não se altera com o tempo (parâmetro congelado), e por outro lado é um parâmetro estocástico uniformemente distribu´ıdo entre [0, 1] e muda com o tempo. As rela¸cões (2.33) e (2.34) são lineares, no entanto uma não-linearidade é introduzida no modelo quando tais rela¸cões levam a |oi,j| ≥ 1.

No caso de o ≥ 1 (o ≤ −1) faz-se o = 1 (o = −1). Outro ponto importante sobre o modelo LCCC está na não conserva¸cão da soma das opiniões referentes às equa¸cões (2.33) e (2.34), ou seja, em princ´ıpio oi(t) + oj(t) 6= oi(t + 1) + oj(t + 1).

Em simula¸cões numéricas, introduzindo-se o parâmetro de ordem

O = 1 N N X i=1 oi , (2.35)

mostra-se que o sistema apresenta duas fases, uma para 0 ≤ λ ≤ λc tal que oi = 0

para todos agentes i, o que implica em O = 0, e outra para λ > λc, onde o sistema

apresenta O > 0.

Este modelo pode ser associado a um mapa iterativo para a vari´avel o(t) tal que

o(t + 1) = λ(o(t) + to(t)) = λ(1 + t) o(t) (2.36)

onde 0 ≤ o(t) ≤ 1. Aproximando t por seu valor m´edio t ' hi = 1/2, podemos

mostrar que o∗ = 0 é ponto fixo para λ ≤ 2/3, isto é λc = 2/3. Além disso, os

resultados num´ericos e o mapa iterativo mostram que para λ > λc todos os agentes

possuem uma opini˜ao positiva (negativa) no estado estacion´ario, de acordo com as

condi¸c˜oes iniciais, tal que O > 0.

Dentre as diversas varia¸c˜oes propostas ao modelo LCCC, chegamos ao modelo

(30)

intera¸cões negativas podem ser associadas à dissidência, similarmente ao

compor-tamento dos contr´arios de Galam [25, 26]. Al´em disso, este modelo tem duas

for-mula¸cões, em uma as opiniões dos agentes são números reais entre [−1, +1] e na

outra as opini˜oes pertencem a um conjunto de trˆes estados {−1, 0, +1}. Em ambas

formula¸cões, a opinião de um indiv´ıduo i será atualizada no instante de tempo t + 1

levando-se em conta a opini˜ao do indiv´ıduo j no instante t de modo que

oi(t + 1) = oi(t) + µijoj(t), (2.37)

onde µij ´e um termo de acoplamento entre os agente i, j e −1 ≤ µij ≤ +1 para o

modelo com opini˜oes cont´ınuas e µij = ±1 para o modelo com opini˜oes discretas. O

valor de µij é determinado de acordo com um parâmetro externo p, associado à fra¸cão

de intera¸c˜oes negativas. No primeiro caso, com uma probabilidade p o termo µij

será identificado a um número sorteado em uma distribui¸cão uniforme no intervalo

[−1, 0] e complementarmente com probabilidade 1−p teremos µij sendo sorteado em

uma distribui¸c˜ao uniforme agora no intervalo [0, +1]. No segundo caso (modelo com

estados discretos) com probabilidade p → µij = −1 e com probabilidade (1 − p) →

µij = +1.

No modelo com opiniões discretas, definimos as fra¸cões das popula¸cões de in-div´ıduos com opinião +1, −1 e 0 como f1, f−1 e f0, respectivamente. Desse modo,

podemos contabilizar as intera¸c˜oes entre dois agentes i e j que aumentam, diminuem

ou n˜ao alteram o parˆametro de ordem O. Por exemplo:

1. dois indiv´ıduos com opini˜ao o = +1 interagem negativamente (µ < 0) tal

que um deles passa para o estado neutro o = 0. Essa intera¸c˜ao decresce o

parˆametro de ordem de um taxa pf1f1;

2. dois indiv´ıduos com opini˜ao o = −1 interagem positivamente, logo ambos

permanecem com suas mesmas opiniões. Portanto esta intera¸cão não aumenta

(31)

positivamente (µ > 0) de tal modo que o indiv´ıduo i passa a ter opinião oi = −1 também. Então, esta intera¸cão decresce o parâmetro de ordem com

uma taxa (1 − p)f0f−1.

Se contabilizarmos todas as taxas poss´ıveis podemos escrever uma equa¸c˜ao mestra

para o parˆametro de ordem

dO

dt = {taxas que aumentam} − {taxas que diminuem}. (2.38)

No estado estacion´ario teremos

dO dt = 0 = (1 − p)f−1f1+ pf 2 −1+ (1 − p)f0f1+ pf0f−1 − (1 − p)f1f−1+ pf12+ pf0f1+ (1 − p)f0f−1 . (2.39)

Usando a normaliza¸c˜ao, f1+ f−1+ f0 = 1, chegamos no seguinte resultado

(f1− f−1) (p − f0(1 − p)) = 0, (2.40)

isto ´e, ou f1 = f−1 (o que implica em uma fase desordenada), ou

f0 =

p

(1 − p) (2.41)

na fase ordenada.

Contabilizando agora as taxas que aumentam e diminuem a fra¸c˜ao f0 temos

df0

dt = pf

2

1 + (1 − p)f1f−1+ (1 − p)f−1f1+ pf−1f−1 (2.42)

− ((1 − p)f0f1 + pf0f1 + (1 − p)f0f−1+ pf0f−1) . (2.43)

Para o estado estacion´ario da fase desordenada (f1 = f−1 = 1−f₂ 0) teremos

(32)

que admite duas solu¸c˜oes, ou f0 = 1 ou f0 = 1/3. Descartando a primeira solu¸c˜ao

pois o modelo n˜ao apresenta uma fase absorvente, teremos f0 = 1/3 para a fase

desordenada. Como esta solu¸cão e a equa¸cão (2.41) valem no ponto cr´ıtico, igualando as duas encontramos pc= 1/4 como valor cr´ıtico para o parâmetro p.

Continuando esta análise, a equa¸cão mestra no estado estacionário para a fra¸cão f1 nos fornece f1 = −(2p − 1) ±√1 − 4p 2(1 − p) . (2.45) Usando O = f1− f−1 = 2f1− 1 + f0, (2.46)

pelas equa¸c˜oes (2.41) e (2.45) temos

O = ± √

1 − 4p

1 − p . (2.47)

Logo podemos descrever o comportamento do parˆametro de ordem na vizinhan¸ca

da transi¸c˜ao de fase como O ∼ (p − pc)β com pc = 1/4 e β = 1/2. Analisando as

grandezas V e U na vizinhan¸ca de pcchegamos aos expoentes γ ' 1 e ν ' 2, obtidos

numericamente através da análise de tamanho finito, que são os expoentes para o

modelo de Ising em campo m´edio (usando ν = dν0 onde ν0 = 1/2 e d = 4 representa

uma dimens˜ao efetiva para o modelo com intera¸c˜ao de longo alcance) [22].

O sistema com opini˜oes cont´ınuas apresenta os mesmos expoentes da vers˜ao

discreta, no entanto o ponto cr´ıtico aumenta para pc≈ 0.34.

2.7.2 Votante majorit´

ario

O modelo do votante majorit´ario [23] ´e definido em uma rede quadrada onde os

elementos possuem simetria de invers˜ao [27] (muitas vezes chamada de simetria de

Ising). Nele, cada agente possui uma opinião σ = ±1 e sua opinião será atualizada de acordo com a opinião majoritária de seus primeiros vizinhos. Além disso,

(33)

majorit´aria. Desse modo dizemos que q representa a fra¸c˜ao de indiv´ıduos hesitantes no modelo ou a probabilidade de um agente agir hesitantemente.

A taxa de transi¸c˜ao wi ´e dada por

w(σi)i = 1 2 ( 1 − (1 − 2q)σiS X δ σi+δ !) , (2.48)

onde S(x) dá o sinal de x, e a soma é feita sobre os 4 primeiros vizinhos de i. Embora este modelo possua simetria de inversão (σi → −σi) ele não obedece as

regras de balan¸co detalhado, isto é, o modelo não é revers´ıvel microscopicamente. Consequentemente, seus estados estacionários não são estados de equil´ıbrio

termo-dinˆamico, diferentemente do modelo de Ising, por exemplo.

Mesmo assim, o modelo do votante majorit´ario apresenta uma transi¸c˜ao de fase

fora do equil´ıbrio na rede quadrada para um valor cr´ıtico do ru´ıdo de hesita¸c˜ao

qc ≈ 0.075 [23]. Utilizando a mesma defini¸c˜ao para o parˆametro de ordem

m = 1 N N X i=1 σi , (2.49)

para valores q < qc o sistema apresenta uma fase ordenada em regime estacion´ario

onde m > 0. Quando q ≥ qc teremos m = 0, representando uma fase desordenada.

Não há uma solu¸cão para o modelo em rede quadrada. Uma maneira de se obter

alguns resultados anal´ıticos está em uma aproxima¸cão de campo médio simples [14]. Podemos descrever a evolu¸cão temporal da média hσii através da equa¸cão mestra

d

dthσii = −2hσiwi(σ)i. (2.50)

Adotando σ0 para o agente central e σ1,2,3,4 para seus vizinhos, usando (2.48),

tere-mos d dthσ0i = −hσ0i + 3 8(1 − 2q) (hσ1i + hσ2i + hσ3i + hσ4i) − (1 − 2q) 8 (hσ1σ2σ3i + hσ1σ2σ4i + hσ1σ3σ4i + hσ2σ3σ4i) . (2.51)

(34)

Até aqui não realizamos nenhuma aproxima¸cão. No entanto para determinar a evolu¸cão de hσ0i precisamos ter de antemão as correla¸cões de três pontos, como por

exemplo de hσ1σ2σ3i. Por isso, vamos desprezar as correla¸c˜ao fazendo hσ1σ2σ3i =

hσ1ihσ2ihσ3i. Al´em disso, vamos considerar o sistema invariante translacionalmente,

tal que hσ0,1,2,3,4i = m. Desse modo a equa¸c˜ao (2.51) fica

d

dtm = − m −

(1 − 2q)

2 m

3_, _(2.52)

onde = 1 − 3₂(1 − 2q). Multiplicando-se a equa¸c˜ao por m e integrando temos

m2(t) = 2m0

e2t_{(2 + (1 − 2q)m}2

0) − (1 − 2q)m20

. (2.53)

No regime estacionário (tempo t → ∞) a equa¸cão (2.54) fornece duas solu¸cões. Se > 0 então m2(t) = 0, ou seja, fase desordenada. No entanto se < 0 então

m2(t) = m∗ = s 2|| 1 − 2q = s 1 − 6q 1 − 2q . (2.54)

Portanto, podemos descrever o parˆametro de ordem do sistema como m∗ ∼ (qc−q)β,

onde qc = 1/6 e β = 1/2. Novamente, encontramos o mesmo expoente da equa¸c˜ao

(35)

Cap´ıtulo 3

Transi¸

c˜

ao de fase para estados

absorventes em um modelo de

forma¸

c˜

ao de opini˜

oes

3.1 Introdu¸

c˜

ao

Nos ´ultimos anos, tem-se dado muita aten¸c˜ao aos chamados modelos de troca

cinética de opinião (do inglês kinetic exchange opinion models) (MTCO) [22, 24,

28, 29], inspirados nos modelos de transa¸c˜oes financeiras [30, 31, 32]. O modelo

LCCC foi o primeiro a considerar trocas cin´eticas entre pares de agentes com

esta-dos (opini˜oes) cont´ınuos [24]. Neste caso, o modelo apresenta uma transi¸c˜ao de fase

cont´ınua entre um estado absorvente, onde todos os agentes possuem opini˜ao nula,

e uma fase onde todos os agentes tˆem opini˜ao positiva (negativa) − vide cap´ıtulo

2. Posteriormente, algumas extensões desse trabalho foram analisadas para opiniões tanto cont´ınuas quanto discretas. Por exemplo, a adi¸cão de intera¸cões competitivas [22], intera¸cões entre três agentes [29], dinâmica envolvendo conviçcões próprias (do inglês dynamic self-confidence) [33], presen¸ca de agentes inflex´ıveis [34], entre

ou-tras, similarmente ao que foi feito anteriormente em outros modelos de dinˆamica de

(36)

O processo de tomada de decisão tem sido investigado em diversos trabalhos em Psicologia [3, 4] e Neurociência [5, 6, 7]. Já em dinâmicas de opinião, encontramos vários modelos f´ısicos que explicam o processo de tomada de decisão ou de troca de opiniões através da intera¸cão entre agentes [2]. Utilizando trocas cinéticas (MTCO [22, 24, 28, 29]), imita¸cão (modelo do votante - “voter model” [36], o modelo Sznajd

[37]) ou ainda a persuas˜ao de uma maioria local (modelo da regra da maioria [25],

modelo do votante majorit´ario [23]), dentre outros. Contudo, a inclus˜ao de ru´ıdo e

desordem tamb´em pode ser considerada nesses modelos [2, 38, 39, 40].

Usualmente, os modelos de dinâmica de opiniões discretas consideram dois posici-onamentos ou opiniões diferentes o = ±1 (sim ou não, direita ou esquerda, candidato A ou candidato B). Eles podem ser enriquecidos incluindo-se um terceiro estado, o = 0, representando o estado neutro ou indeciso. A indecisão é um fenômeno atual

e crescente que pode afetar tanto democracias novas ou consolidadas [41]. V´arios

motivos podem levar um indiv´ıduo a se tornar indeciso ou neutro, pode ser

associ-ado, por exemplo, a um anticonformismo/inconformismo `as propostas de ambos os

lados do debate. O impacto da indecis˜ao/neutralidade foi considerado recentemente

em v´arios trabalhos [22, 29, 34, 41, 42, 43, 44, 45, 46].

Neste cap´ıtulo consideraremos um MTCO discretas na presen¸ca de ru´ıdo e de-sordem. Além da intera¸cão de pares aleatória, incluiremos um ru´ıdo de indecisão

que afeta significativamente a dinˆamica do sistema. Nosso objetivo ´e analisar o

comportamento cr´ıtico do sistema. Neste caso, baseados em resultados anal´ıticos e numéricos, encontramos três transi¸cões de fase diferentes, a chamada transi¸cão de fase ferro-paramagnética usual, e duas transi¸cões distintas para um estado absor-vente: a partir de um estado ferromagnético e a partir de um estado paramagnético. Os resultados deste cap´ıtulo estão publicados na referência [9].

3.2 Modelo e Resultados

(37)

positi-completamente conectada. No instante t cada agente i possui uma de três opiniões oi(t) = +1, −1, 0. Os agentes vão interagir de acordo com as regras microscópicas:

1. escolhemos dois agentes ao acaso, i e j, de forma que o agente j vai influenciar o agente i;

2. com probabilidade 1 − q o agente i vai atualizar sua opinião no instante t + 1 segundo a regra de intera¸cão cinética: oi(t + 1) = sgn[oi(t) + µijoj(t)];

3. com probabilidade q, o agente i torna-se neutro: oi(t + 1) = 0.

Na regra 2 acima, sgn(x) ´e a fun¸c˜ao sinal tal que sgn(0) = 0, garantindo que os

agentes est˜ao restritos ao conjunto de opini˜oes do modelo [22, 29, 34]. O termo

de acoplamento µij é uma variável aleatória do tipo congelada (“quenched ” - se

mantém constante em uma simula¸cão) que segue a distribui¸cão de probabilidades

F (µij) = p δ(µij+ 1) + (1 − p) δ(µij− 1). Logo o parˆametro p representa a fra¸c˜ao de

intera¸cões negativas. Sabe-se que a inclusão de intera¸cões negativas produz um efeito similar à introdu¸cão dos contrários de Galam na popula¸cão [25, 26]. Além disso, intera¸cões competitivas também já foram estudadas em modelagem de forma¸cão de coliga¸cões [47]. Enfatizamos que o produto µijoj(t) não é uma soma sobre j. Já a

probabilidade q age como um ru´ıdo no sistema, ela permite que um indiv´ıduo tome

uma decis˜ao autˆonoma para se tornar neutro [48, 49]. Este comportamento pode ser

relacionado com uma volatilidade onde um indiv´ınduo espontaneamente muda de opinião. Em um cenário de vota¸cão com dois candidatos (Trump x Hillary ou ainda

Crivella x Freixo, em exemplos recentes), se um dado agente n˜ao concorda com

os argumentos apresentados por ambos, este pode decidir n˜ao votar em nenhum

dos dois candidatos, e assim tornar-se neutro. Neste caso, a indecis˜ao deve ser

desassociada dos ru´ıdos usuais, como por exemplo a independˆencia, uma vez que

prioriza apenas o estado neutro.

Fazendo q = 0, o sistema apresenta uma transi¸c˜ao de fase fora do equil´ıbrio em

pc = 1/4 [22]. Na fase ordenada/ferromagn´etica os agentes com opini˜oes extremas

(38)

os três estados são igualmente populados com 1/3 da popula¸cão total.

Sejam f1, f−1, f0 as densidades de indiv´ıduos com opini˜oes +1, −1, 0,

respecti-vamente. E ainda, seja O o parˆametro de ordem do sistema definido da seguinte

forma O = * 1 N N X i=1 oi + , (3.1)

onde h. . .i representa médias temporais e médias de realiza¸cões tomadas no estado estacionário. A evolu¸cão temporal de O é obtida através das probabilidades que

aumentam e diminuem o parˆametro de ordem do sistema, como feito em [22, 29].

Por exemplo, a probabilidade de um agente com opini˜ao −1 tornar-se neutro pelo

ru´ıdo q ´e dada pelo produto qf−1, al´em disso, esta mudan¸ca do estado o = −1 para

o = 0 faz O aumentar. Como outro exemplo, se dois agentes ambos com opini˜ao +1

interagirem negativamente (µij = −1), a probabilidade ser´a dada por (1 − q)pf12, e

portanto nesta intera¸c˜ao O diminui. Assim, podemos escrever uma equa¸c˜ao mestra

para O considerando todas as transi¸c˜oes poss´ıveis entre as opini˜oes,

d dtO = qf−1+ (1 − q)[(1 − p)f1f−1+ pf 2 −1+ (1 − p)f0f1+ pf0f−1] − − qf1− (1 − q)[(1 − p)f1f−1+ pf₁2+ (1 − p)f0f−1+ + pf0f1] = 0 . (3.2)

No estado estacionário, dO/dt = 0, e encontramos duas solu¸cões para a equa¸cão

acima. Usando a condi¸c˜ao de normaliza¸c˜ao f1+ f−1+ f0 = 1, temos 2f1+ f0 = 1

que implica em f1 = f−1 = (1 − f0)/2 (solu¸c˜ao na fase desordenada), ou

f0 =

q + p(1 − q)

(1 − p)(1 − q) , (3.3)

que nos d´a a fra¸c˜ao de indiv´ıduos indecisos na fase ordenada. Caso q = 0

recu-peramos f0 = p/(1 − p), como na referˆencia [22]. Analogamente ao procedimento

(39)

diminuem a densidade f0. Assim obtemos: d dt f0 = q(f1+ f−1) + p(1 − q)(f 2 1 + f 2 −1) + 2(1 − p)(1 − q)f1f−1− − (1 − p)(1 − q)f0(f1+ f−1) − p(1 − q)f0(f1+ f−1) . (3.4)

No estado estacionário, temos df0/dt = 0, o que nos dá na fase paramagnética (onde

f1 = f−1 = 1−f₂0) (1 − q) 1 − f0 2 !2 = [(1 − q)f0− q] 1 − f0 2 ! , (3.5)

onde obtemos duas solu¸c˜oes: ou f0 = 1 que vamos descartar para analisar as outras

duas fra¸c˜oes f1 e f−1 [22], ou

f0 =

1 + q

3(1 − q). (3.6)

A equa¸c˜ao acima representa a densidade de agentes neutros na fase paramagn´etica.

Igualando as solu¸cões de f0 na fase ferromagnética e paramagnética temos:

qc(p) =

1 − 4p

2(1 − p) . (3.7)

A expressão qc(p) separa as fases ferromagnética e paramagnética. Além disso

recu-peramos f0 = 1/3 e pc = 1/4 quando q = 0 [22].

Para obter uma express˜ao anal´ıtica para o parˆametro de ordem, vamos analisar

as taxas envolvendo a popula¸cão de agentes com opinião o = +1. A equa¸cão mestra para f1 é d dt f1 = (1 − q) [(1 − p)f0f1+ pf0f−1] − (1 − q) h pf₁2+ (1 − p)f1f−1 i − − qf1 . (3.8)

(40)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 f1 q p = 0.0 p = 0.1 p = 0.2 f₁ = f_-1

Figura 3.1: Fra¸cão de opiniões +1 no estado estacionário contra q para valores t´ıpicos de p obtida pela equa¸cão (3.9). Para um valor fixo de p, escolhendo q < qc(p) temos

duas possibilidades para f1. A curva em preto f1 = f−1 representa a solu¸c˜ao de f1

na fase paramagn´etica.

Usando a normaliza¸cão e a expressão de f0 na fase ferromagnética, equa¸cão (3.3),

obtemos uma equa¸c˜ao para f1 no estado estacion´ario,

f1 =

(2p − 1)[1 − 2(p + q − pq)] ±√∆

2(1 − p)(2p − 1)(1 − q) , (3.9)

onde

∆ = (1 − 2p)[1 − 2(p + q − pq)][1 − 2(2p + q − pq)] . (3.10)

A express˜ao para f1 pode ser observada na figura 3.1. Al´em disso, como a

equa¸cão (3.9) prediz, há dois resultados poss´ıveis (referentes aos sinais ±) onde se um representa a fra¸cão f1 então o outro representa fra¸cão f−1, quando q < qc(p).

Isto ´e, ou f1 = −B +√∆ 2A e f−1 = −B −√∆ 2A , (3.11) ou f1 = −B −√∆ 2A e f−1 = −B +√∆ 2A , (3.12) usando B = −(2p − 1)[1 − 2(p + q − pq)] e A = (1 − p)(2p − 1)(1 − q). Ainda na

(41)

f−1) n˜ao ser´a populada quando p = 0.

Uma outra forma de obter o parâmetro de ordem, equa¸cão (3.1) é O = |f1−f−1| =

|2f1+ f0− 1|. Considerando as equa¸c˜oes (3.3) e (3.9) para f0 e f1, respectivamente,

obtemos

O =

q

[1 − 2(p + q − pq)] [1 − 2(2p + q − pq)]

(1 − p)(1 − q)√1 − 2p . (3.13)

A partir da equa¸cão (3.13) pode-se ver que o consenso só é alcan¸cado quando p = q = 0, ou seja, na ausência de intera¸cões negativas e ru´ıdo de indecisão todos os

agentes do sistema v˜ao compartilhar a mesma opini˜ao +1 ou −1 (veja as figuras

3.1 e 3.2). Para obter o expoente cr´ıtico β que governa o parˆametro de ordem na

vizinhan¸ca da transi¸cão de fase ordem-desordem, vamos simplificar a expressão para O usando as equa¸cões (3.3) e (3.7). Neste caso,

O = v u u t 2(1 − f0)(q − qc) (1 − q)(2p − 1) , (3.14)

onde f0 é dado pela equa¸cão (3.3), logo esta solu¸cão é válida na fase ferromagnética.

Ou seja, podemos escrever o parˆametro de ordem da forma usual O ∼ (q − qc)β,

onde β = 1/2, um expoente t´ıpico de Ising em campo m´edio em uma transi¸c˜ao

de fase ferro-paramagn´etica, sugerindo que nosso modelo est´a na mesma classe de

universalidade do modelo de Ising em campo m´edio, como era de se esperar devido

ao caráter das intera¸cões em campo médio.

Por outro lado, para p = 0 o sistema apresenta outro comportamento. Fazendo p = 0 na equa¸c˜ao (3.3) obtemos

f0(p = 0) =

q

1 − q . (3.15)

Usando este resultado, qc(p = 0) = 1/2 obtido na equa¸c˜ao (3.7) e colocando p = 0

na equa¸c˜ao (3.14), o parˆametro de ordem pode ser reescrito como

O(p = 0) = 2q − 1

(42)

portanto, O(p = 0) ∼ (q − qc)β, onde β = 1 e qc = 1/2. Al´em disso, usando

q = qc = 1/2 na equa¸c˜ao (3.15), teremos f0 = 1, o que implica em f1 = f−1 = 0 por

causa da normaliza¸c˜ao. Este resultado nos diz que para q > 1/2 e p = 0 todos os

agentes v˜ao estar no estado neutro o = 0. Observando as regras microsc´opicas que

definem o modelo, vemos que o sistema vai permanecer neste estado para sempre,

o que indica uma fase absorvente. Portanto, com p = 0 teremos uma transi¸c˜ao de

fase ativo-absorvente (ferromagn´etico-absorvente), ou seja, o comportamento cr´ıtico

´e afetado e o sistema pode ser mapeado na classe de universalidade da percola¸c˜ao

direcionada (ou processo de contato) [15, 20, 50].

Como foi discutido anteriormente, se p 6= 0 ent˜ao o parˆametro de ordem vai

a zero com β = 1/2, indicando uma transi¸c˜ao de fase no ponto cr´ıtico qc(p) dado

pela equa¸cão (3.7). Continuando nossa análise, para q > qc(p) a solu¸cão de f0,

equa¸cão (3.3), na fase ferromagnética deixa de ser válida. Sendo assim, a solu¸cão válida para f0 passa a ser dada pela equa¸cão (3.6), válida na fase paramagnética.

Ent˜ao podemos reescrever a express˜ao para as densidades de indiv´ıduos na fase

paramagn´etica, f1 = f−1= (1 − f0)/2, obtendo

f1 = f−1 =

1 − 2q

3(1 − q) , (3.17)

ilustrado na figura 3.1 como resultado para f1 = f−1. ´E poss´ıvel observar na equa¸c˜ao

(3.17) que f1 < 0 e f−1 < 0 para q > 1/2. Porém estes resultados não são f´ısicamente

aceitáveis, portanto a solu¸cão válida para q > 1/2 é f1 = f−1 = 0 e f0 = 1. Além

disso, como O = 0 na fase paramagn´etica, usaremos outro parˆametro de ordem para

analisar o sistema na vizinhan¸ca de q = 1/2,

¯

O = 1 − f0

2 =

1 − 2q

3(1 − q) , (3.18)

onde usamos a equa¸c˜ao (3.6). Neste caso, temos ¯O = 0 na fase absorvente (onde

(43)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 O q p = 0.0 p = 0.1 p = 0.2 p = 0.3 0 0.03 0.06 0.09 0.12 0.3 0.4 0.5 0.6

Figura 3.2: Parˆametro de ordem O contra o ru´ıdo q para valores t´ıpicos de p. Os

pontos foram obtidos através de simula¸cões numéricas e as linhas são dadas pela equa¸cão (3.13). Para p > pc= 1/4 o sistema não apresenta transi¸cão de fase

ferro-paramagnética. Para p > 0 o modelo apresenta uma transi¸cão ferro-paramagnética nos pontos dados pela equa¸cão (3.7) e uma transi¸cão paramagnética-absorvente em

qc = 1/2. Em detalhe, vemos que O = 0 para q ≥ 1/2 para todos valores de p. O

tamanho da popula¸c˜ao ´e N = 104_{, e os resultados s˜}_{ao tomados em m´}_{edias sobre 100}

simula¸c˜oes independentes.

o sistema vai para o estado absorvente com todos agentes no estado neutro o = 0

(ou ainda f0 = 1), independentemente de p. Logo, podemos ter uma transi¸c˜ao do

tipo ativo-absorvente para p = 0, ou paramagn´etico-absorvente para p > 0, ambas

em qc = 1/2 e pertencentes `a classe de universalidade da percola¸c˜ao direcionada

(expoente cr´ıtico β = 1) [15, 20, 50]. Esta ´e a primeira vez que uma transi¸c˜ao

para-absorvente aparece em modelos de trocas cin´eticas de opini˜oes.

Para complementar os resultados, realizamos simula¸c˜oes num´ericas para

po-pula¸c˜oes com N = 104 _{indiv´ıduos. Obtivemos o parˆ}_{ametro de ordem via equa¸c˜}_ao

(3.1). Os resultados para O contra q para valores t´ıpicos de p podem ser observados na figura 3.2, juntamente com o resultado anal´ıtico dado pela equa¸c˜ao (3.13). H´a

transi¸c˜oes de fase em diferentes pontos qc dependendo do valor de p, com efeito

de tamanho finito usual para p = 0.1, 0.2 e 0.3 (veja no detalhe da figura 3.2).

Al´em disso, podemos ver que o parˆametro de ordem vai exatamente para zero para

q ≥ 1/2, independentemente do valor de p, confirmando a transi¸c˜ao para um estado

(44)

Finalmente, nós estimamos outros expoentes cr´ıticos via simula¸cões numéricas, uma vez que nosso resultado anal´ıtico nos dá somente os pontos cr´ıticos e o expoente β. Para a transi¸cão de fase ferro-paramagética, nós utilizamos as rela¸cões usuais para análise de tamanho finito (ATF),

O(N ) ∼ N−β/ν , (3.19)

V (N ) ∼ Nγ/ν , (3.20)

q − qc ∼ N−1/ν , (3.21)

onde V = N [< O2 _{> − < O >}2_{], que s˜}_{ao v´}_{alidas na vizinhan¸ca da transi¸c˜}_{ao. E para}

as transi¸c˜oes com estados absorventes (ferro-absorvente e para-absorvente), usamos

as rela¸c˜oes dinˆamicas para ATF [15, 20],

O(t) ∼ t−δ , (3.22)

q − qc ∼ t−1/ν|| . (3.23)

Na figura 3.3 h´a resultados para p = 0.1 como exemplo. No quadro (a) vemos o

resultado do colapso para a susceptibilidade V (N ) nas proximidades da transi¸c˜ao

ferro-paramagn´etica, onde os valores obtidos foram expoentes de Ising em campo

médio γ ≈ 1 e ν ≈ 2, que são os expoentes padrão para modelos com troca cinética

de opiniões na aproxima¸cão de campo médio [22, 24, 29, 34]. Na figura 3.3 (b)

vemos a evolu¸c˜ao temporal do parˆametro de ordem (em detalhe) na vizinhan¸ca da

transi¸c˜ao de fase para-absorvente e o resultado do colapso (na figura principal), para

valores pr´oximos ao ponto cr´ıtico qc = 1/2. Nossas estimativas para os expoentes

cr´ıticos δ e ν||est˜ao de acordo com os valores para percola¸c˜ao direcionada (e processo

de contato), δ ≈ 1 e ν|| ≈ 1 [15, 20]. Esses expoentes tamb´em podem ser obtidos

analiticamente, como discutido no Apˆendice.

Em resumo, na figura 3.4 n´os apresentamos o diagrama de fases para o modelo

(45)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 -5 0 5 10 V N − γ / ν (q − qc) N 1 / ν N = 1000 N = 2000 N = 5000 N = 10000 0 5 10 15 0 0.2 0.4 0.6 V q 10-3 10-2 10-1 100 101 102 103 104 10-2 10-1 100 101 102 103 104 t δ O(t) t1/ν||_{(q - q} c) 10-6 10-4 10-2 100 100 101 102 103 O(t) t

Figura 3.3: Gr´afico de algumas quantidades de interesse para p = 0.1. (a)

Sus-ceptibilidade V próximo da transi¸cão ferro-paramagnética para valores t´ıpicos do

tamanho da popula¸c˜ao N . O melhor colapso foi obtido para os valores γ ≈ 1,

1/ν ≈ 1/2 e qc ≈ 0.33, considerando as rela¸c˜oes (3.20) e (3.21). (b) Parˆametro de

ordem O para N = 105 para diferentes valores de q pr´oximo da transi¸c˜ao de fase

para-absorvente. O melhor colapso foi obtido para os valores δ ≈ 1, 1/ν|| ≈ 1 e

qc ≈ 0.5, considerando as rela¸c˜oes (3.22) e (3.23). Todos dados foram obtidos a

partir de m´edias sobre 100 simula¸c˜oes independentes.

q > ¯qc = 1/2 representa a fase absorvente, para todos os valores de p, e tamb´em ´e

poss´ıvel ver a transi¸c˜ao ferro-absorvente no eixo p = 0.

3.3 Conclus˜

oes

Estudamos como a inclusão das intera¸cões de pares negativas (desordem) e indecisão (ru´ıdo) afeta o comportamento cr´ıtico do modelo com trocas cinéticas de opiniões.

O agente pode estar em um dos trˆes estados (opini˜oes) poss´ıveis, representados

por vari´aveis discretas o = +1, −1 e o = 0. A topologia da sociedade ´e dada por

uma rede completamente conectada. A desordem ´e governada pelo parˆametro p,

representando a fra¸cão de intera¸cões negativas, e o ru´ıdo é controlado pelo parâmetro q, representando a probabilidade de uma troca espontânea para o estado neutro. Nós

analisamos o comportamento cr´ıtico do sistema nos estados estacion´arios.

O consenso relativo a uma das opini˜oes extremas +1 ou −1, onde todos agentes

possuem a mesma opini˜ao o = 1 (o = −1), ´e alcan¸cado somente quando os dois

ingredientes, desordem e ru´ıdo, s˜ao completamente ausentes (p = q = 0). Para um

(46)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 q p Absorvente Paramagnética Ferromagnética

Figura 3.4: Diagrama de fases do modelo no plano q contra p. A regi˜ao em azul

representa a fase absorvente, e a curva em vermelho representa divisa entre as fases

ferromagnética e paramagnética, equa¸cão (3.7). Note que para p = 0 o sistema

apresenta um transi¸c˜ao de fase ativo-absorvente.

(ordenada), onde uma das duas opini˜oes extremas +1 ou −1 ´e compartilhada pela

maioria da popula¸cão. Este estado representa a situa¸cão onde um dos dois tópicos

em debate vence, e apresenta um parâmetro de ordem 0 < O < 1. Nós também

encontramos os pontos qc(p) que separam a fase ferromagn´etica (ordenada) da fase

paramagnética (desordenada). Nesta última fase, as fra¸cões de opiniões extremas

s˜ao iguais e temos um parˆametro de ordem nulo, O = 0. Neste caso o debate

n˜ao apresenta um lado vencedor. O expoente cr´ıtico associado ao parˆametro de

ordem foi obtido analiticamente como β = 1/2, e encontramos via simula¸c˜ao de

Monte Carlo estimativas para os outros expoentes, γ ≈ 1 e ν ≈ 2, t´ıpicos expoentes

de campo m´edio pertencentes `a classe de universalidade do modelo de Ising. Neste

caso, nossos resultados apresentam os efeitos de tamanho finito t´ıpicos no parˆametro

ordem quando o sistema passa pela trasi¸c˜ao de fase ordem-desordem.

Por outro lado, para p = 0, ou seja, na ausˆencia das intera¸c˜oes negativas, o

sistema ´e governado apenas pelo ru´ıdo q. Neste caso, nossos resultados num´ericos

e anal´ıticos mostram que h´a um ponto cr´ıtico em qc(p = 0) = 1/2 acima do qual o

sistema est´a em um estado absorvente. Neste estado, todos os agentes se tornam

(47)

os efeitos de tamanho finito usuais de transi¸c˜oes ordem-desordem. Nosso resultado

anal´ıtico prediz um expoente β = 1 para o parˆametro de ordem na vizinhan¸ca

da transi¸c˜ao, e numericamente n´os estimamos outros expoentes, δ ≈ 1 e ν|| ≈ 1.

Os valores desse conjunto de expoentes s˜ao tipicamente encontrados em percola¸c˜ao

direcionada em campo médio, um protótipo de transi¸cão de fase para um estado

absorvente. [15, 20, 50].

E finalmente, considerando o caso p 6= 0 e q ≥ qc(p), quando o sistema est´a em

estado paramagnético, nós observamos outra transi¸cão. Nesse caso, para q > 1/2 o

sistema sempre estar´a no estado absorvente, ∀p. Esta fase ´e a mesma observada no

caso p = 0, mas agora o sistema parte de uma fase paramagn´etica com parˆametro

de ordem nulo para um estado absorvente tamb´em com O = 0. Neste caso, para

calcularmos o expoente cr´ıtico β, definimos outro parˆametro de ordem baseado na

fra¸c˜ao estacion´aria f0 de agentes indecisos, dado por ¯O = (1 − f0)/2. Temos ¯O 6= 0

na fase paramagn´etica, com opini˜oes as extremas +1 e −1 coexistindo com o estado

neutro 0, e temos ¯O = 0 na fase absorvente, com f0 = 1. Nesse caso, tamb´em

observamos um expoente β = 1, e a transi¸cão paramagnético-absorvente também

(48)

Cap´ıtulo 4

Transi¸

c˜

ao de fase no modelo do

votante majorit´

ario na presen¸

ca de

dois ru´ıdos

4.1 Introdu¸

c˜

ao

O modelo do votante majorit´ario vem sendo estudado intensamente nos ´ultimos 20

anos [23]. Em sua formula¸c˜ao original, cada s´ıtio de uma rede quadrada possui uma

variável que assume os estados ±1 (spin de Ising) associados com as opiniões de um indiv´ıduo em um dado grupo social. A evolu¸cão temporal do modelo é governada por uma dinâmica centralizadora, onde o s´ıtio central é influenciado por seus vizinhos

mais pr´oximos: um indiv´ıduo localizado no s´ıtio central adota o sinal da maioria

dos spins em sua vizinhan¸ca com probabilidade 1 − q ou o sinal oposto ao sinal

da maioria dos spins com probabilidade q. Os resultados num´ericos indicam que o

modelo exibe uma transi¸c˜ao de fase fora do equil´ıbrio no ru´ıdo cr´ıtico qc ≈ 0.075,

e os expoentes cr´ıticos obtidos s˜ao os mesmos para o modelo de Ising em 2D no

equil´ıbrio, ou seja, β ≈ 0.125, γ ≈ 1.75 e ν ≈ 1.0 [23]. A transi¸c˜ao separa uma fase