Dinâmica das excitações topológicas em sistemas magnéticos de baixa dimensionalidade

Sistemas Magneticos de Baixa

Dimensionalidade

ArmandoVillares Ferrer

Dissertac~ao apresentada ao

Instituto de Fsica Gleb Wataghin

para obtenc~ao do ttulo de Doutor em Fsica

Banca Examinadora:

Orientador: Prof. Dr. Amir O. Caldeira (Unicamp)

Prof. Dr. Eduardo Miranda (Unicamp)

Prof. Dr. Edison Zacarias da Silva (Unicamp)

Profa. Dra. Maria Carolina Nemes (Ufmg)

Prof. Dr. Antonio Sergio Teixeira Pires (Ufmg)

DFESCM - IFGW - UNICAMP

GostariadeagradecerprimeiramenteaoProf. Dr. AmirO.Caldeirapelaorientac~aoepaci^encia

ao longo destes quatroanos, pelas horas dedicadas a esclarecer minhas constantes duvidas e pela

muita fsica completamente nova paramim quemeincentivou a aprender.



Acomiss~aodepos-graduac~aodoIFGWpelaoportunidadederealizarestatesededoutoramento

na UNICAMP.



Asag^enciasCNPqeFAPESPpeloapoionanceiro,semoqualestetrabalhon~aoseriapossvel.

Entre tantas pessoas que ajudaram de alguma forma para que este trabalho fosse nalizado

ocupaum lugarespeciala Pilinha,que compartilhouosbonse maus momentoscom incrvel bom

humor.

Ao Crispinoe a ^

Angela,sem osquaisteria sidoimpossvela minhavindaao Brasil.

Ao Marcelo, Eduardo M., Rodrigo, Jereson, Eduardo P., Alexis, Kristian e Paulo, pelas

dis-cuss~oesno grupoe pelas muitasvezes queescutaram pacientemente falar sobreeste trabalho.

AoAryeao Jefersonpelas muitasvezesqueajudaramcomoLATEX eaoDSFpelapaci^encia.



A grande 

Elida pelas innitas correc~oes de portugu^es e, ao Zola, pelos momentos de

descon-trac~ao.

Aos bons novos e velhos companheiros: Banana, Super, Laura, Luciano, Cabelo, Fernanda,

Humbel,Dania, Martinha, Tersio, Romae Lazaro queanimaram-me este tempotodo.



AdonaCidapelo carinhodem~ae.

Aosmeuspais eirm~aspeloapoio, compreens~ao e estmulode sempre.

O objetivo principal deste trabalho e o estudo da din^amicadas excitac~oes topologicas em

sis-temas magneticos de baixa dimensionalidade e pode ser dividido essencialmente em duas partes:

fundamentos e aplicac~oes. Nos fundamentos apresentamos os conceitos basicos sobre os solitons

em uma e duas dimens~oes e a forma em que e possvel calcular este tipo de soluc~ao. Os casos

particulares da equac~ao de sine-Gordon (1D) e do modelo sigma n~ao linear (2D) s~ao discutidos

em detalhe. Demostraremos que, ao contrario do que acontece do ponto de vista classico, numa

teoria qu^antica o centro do soliton se acopla com as utuac~oes do campo em torno da soluc~ao

solit^onica levando a uma equac~ao de movimento dissipativa. Para construir uma teoria qu^antica

dos solitonsfoi utilizadoo metodo dascoordenadas coletivas. Este metodo permitiutratar

corre-tamenteosmodosde frequ^enciazeroquesurgememteoriasinvariantesportranslac~aoeao mesmo

tempo deduzir uma hamiltoniana qu^antica geral parao sistema interagente soliton- utuac~oes em

uma e duas dimens~oes. Posteriormente, partindo de uma hamiltoniana geral em 2Dde interac~ao

soliton- utuac~oes e usando o formalismo de Feynman e Vernon, e demostrado que o movimento

das excitac~oes topologicas nestes sistemas edo tipo Browniano e pode ser caracterizado poruma

constantededecaimentoquedependedatemperatura. Umaexpress~aoexplcitaparaesta

constan-te que dene a mobilidadedos solitons em duas dimens~oes foi tambem calculada. Os resultados

obtidos tanto na quantizac~ao como na din^amica dos solitons foram posteriormente aplicados na

descric~aodas excitac~oestopologicas dossistemas magneticos de baixadimensionalidade.

Na primeiradas aplicac~oesapresentamoso estudo da din^amicadasparedesde Blochque

apa-recem em um toy model para uma cadeia de spins ferromagnetica completamente anisotropica.

Demostramos que neste sistema as paredes dos domnios magneticos corresponedem aos solitons

de uma teoria de campos escalar efetiva em 1D que possui uma equac~ao de movimento do tipo

sine-Gordon. Utilizandoa teoriageraldesenvolvida previamente obtivemos umahamiltoniana

doscoecientesde re ex~ao etransmis~aodopotencialefetivoqueage sobre asondasde spincriado

pelapresenca da parede. Demostrou-se queparavalores nitosdo campomagnetico externo

apli-cado no sistema a mobilidade da parede e tambem nita. O espectro do potencial para campos

magneticos fortes foi calculado e isto permitiu computar o valor da constante de decaimento da

parede paraqualquer valor da temperatura. Comoresultadonalapresentamos adepend^encia da

mobilidadeda paredecom a temperaturae como campo magnetico aplicado.

Asegundaaplicac~aodateoriadesenvolvidaparaadin^amicadossolitonscorrespondeaoestudo

dos skyrmions. Como e demonstrado, os skyrmions s~ao as excitac~oes carregadas de mais baixa

energia que aparecem no sistema de Hall em torno de  = 1 e podem ser detectados usando a

tecnica de resson^ancia nuclear magnetica. Do ponto de vista teorico, partindo da densidade de

lagrangiana proposta para a din^amica dos spins no sistema de Hall, descreveremos os skyrmions

pelassoluc~oesdomodelosigman~aolinearcomumtamanhoxo. Comosedemostra,estetamanho

esta determinado pela competic~ao dos termos de Zeeman e Coulomb no sistema. Usando ent~ao

esta soluc~ao solit^onica para descrever os skyrmions, calculamos uma hamiltoniana de interac~ao

skyrmion-magnon via metodo das coordenadas coletivas. Posteriormente usando o formalismo

desenvolvidoestudamosamobilidadedosskyrmionsnosistemaskyrmion-magnondogas

bidimen-sional de eletrons. A depend^encia do coecientede transporte que caracteriza a din^amica de um

skyrmioncom a temperatura e como campomagnetico foi calculada. Finalmente,a in u^encia do

carater dissipativodomovimento dos skyrmionsnasexperi^enciasde espalhamento de neutronsfoi

We have studied the problem of the dissipative motion of Bloch walls considering a totally

anisotropic one dimensional spin chain in the presence of a magnetic eld. Using the so-called

\collective coordinate method" we construct an eective Hamiltonianfor the Bloch wall coupled

to the magnetic excitations of the system. It allows us to analyze the Brownian motion of the

wall in terms of the re ection coeÆcient of the eective potential felt by the excitations due to

the existence of the wall. We nd that for nite values of the external eld the wall mobility is

also nite. Thespectrum of thepotentialat largeeldsis investigatedand the dependenceof the

dampingconstant on temperatureisevaluated. Asaresult we ndthe temperature andmagnetic

eld dependenceof thewallmobility.

Ontheother hand, exploringa classicalsolutionof thenon-linearsigma modelfora quantum

Hallferromagnet,askyrmion-magnoneectivehamiltonianisobtainedviathecollective

coordina-tes method. Usingthe Feynman-Vernon functionalintegral formalism we investigate in a general

waythedynamicsofthe2-Dsolitons. Ourtreatmentisapplyedtotheskyrmion-magnonmodelfor

the2-Delectrongas. ThetemperaturedependenttransportcoeÆcientswhichcharacterize asingle

skyrmion dynamics is found. Finally an investigation on the possible in uence of the skyrmion

1 Excitac~oes Topologicas 12

1.1 Introduc~ao. . . 12

1.2 Excitac~oesTopologicasem 1-D . . . 15

1.2.1 Equac~ao de sine-Gordon . . . 18

1.3 Excitac~oesTopologicasem 2-D . . . 19

1.3.1 OModelo Sigman~ao Linear. . . 20

1.4 Quantizac~aodos Solitons . . . 24

1.4.1 Introduc~ao . . . 24

1.4.2 Modos Translacionais . . . 28

1.4.3 Metodo dasCoordenadasColetivas. . . 28

1.4.4 Quantizac~ao dasSoluc~oes Solit^onicas . . . 32

1.5 Conclus~oes . . . 34

2 Din^amica das Paredes de Bloch 35 2.1 Introduc~ao. . . 35

2.2 Modelo Microscopicodas Paredesde Bloch . . . 38

2.3 Modelo Contnuo dasParedes deBloch . . . 40

2.4 Din^amicadasParedesde Bloch . . . 44

2.4.1 Introduc~ao . . . 44

2.4.2 Mobilidadeda Parede de Bloch . . . 46

2.5 Mobilidadeda Parede deBloch 2 paraCamposMagneticos Fortes. . . 49

2.5.1 Desviosde Fase . . . 49

2.5.2 OCoeciente deDecaimento . . . 53

3.1 Introduc~ao. . . 56

3.2 Detecc~ao ExperimentaldosQHS . . . 58

3.2.1 Sinalde NMRde umPoco Qu^antico . . . 58

3.2.2 Detecc~ao dosQHSusando OPNMR . . . 61

3.3 Din^amicada Cadeiade Spins . . . 66

3.3.1 EstadosCoerentes deSpin. . . 67

3.3.2 Ac~ao na Representac~ao dosEstados Coerentesparaum Spin. . . 67

3.3.3 Ac~ao para aCadeia de Spins . . . 70

3.4 Ac~ao Efetiva paraosQHS . . . 71

3.5 Tamanho eEnergia dosQHS . . . 75

3.6 Conclus~oes . . . 77

4 A Din^amica dos Skyrmions 78 4.1 Introduc~ao. . . 78

4.2 HamiltonianaEfetivade Interac~ao Skyrmion-Magnons . . . 80

4.2.1 Expans~ao Funcional do Potencial . . . 81

4.2.2 Ondasde Spinno 2DEG. . . 83

4.2.3 Acoplamento Skyrmion-Magnons . . . 84

4.3 OOperadorDensidadeReduzidoDin^amico . . . 88

4.3.1 Introduc~ao . . . 88

4.3.2 SuperpropagadornaRepresentac~ao dosEstadosCoerentes. . . 90

4.4 Funcionalde In u^encia . . . 92

4.4.1 Aproximac~ao de Fase Estacionaria . . . 92

4.4.2 Integrac~ao do Funcionalde In u^encia . . . 94

4.5 Din^amicado Skyrmion . . . 99

4.5.1 Equac~ao de Movimento . . . 99

4.5.2 A Matrizde Decaimento . . . 101

4.6 Conclus~oes . . . 104

5 Din^amica dos Skyrmions e Espalhamento de Neutrons 105 5.1 Introduc~ao. . . 105

5.2 Espalhamento deNeutrons e Func~oesde Correlac~ao . . . 107

5.3 Func~ao de Correlac~ao Din^amicaparaos Skyrmions . . . 110

5.3.1 Movimento n~ao Dissipativo . . . 112

5.3.2 Movimento Dissipativo. . . 113

6 Conclus~oes 115

A Teorema de Derrick 118

B Calculo dos Desvios de Fase 120

C \Knight Shift" 122

D Estados Coerentes 125

E Calculo do Propagador 128

F Operador de Densidade 

r

em Termos dos Estados Coerentes 132

G Soluc~ao das Equac~oes de Movimento 134

Do ponto de vista classico muitos sistemas na natureza s~ao descritos adequadamente por

equac~oesdemovimento queenvolvem termosdissipativos(proporcionaisavelocidade). Um

exem-plo conhecidoe o movimento de uma partcula qualquer atraves de um uido. Em muitos casos

em que existedissipac~ao, n~ao e necessario levar em conta efeitos qu^anticos, pois a teoria classica

descreve corretamenteofen^omeno. Infelizmente,iston~aoacontece emtodasassituac~oespossveis.

Podemosesperar, porexemplo, que para temperaturas relativamente baixas, os efeitos qu^anticos

setornem relevantes. Nestasituac~ao somosobrigados a encontaruma formade conciliarequac~oes

de movimento dissipativascom oprocesso de quantizac~ao.

Um fato bem conhecido e que n~ao e possvel obter diretamente uma equac~ao de movimento

dissipativausandoaformulac~ao lagrangianaouhamiltonianasemdepend^enciaexplcitadotempo.

Assimsendo,pararesolveroproblemadadissipac~aoqu^antica,somosobrigadosaescolherumadas

formulac~oes ja desenvolvidas: o uso de novos metodos de quantizac~ao [1 ]-[4 ] ou o tratamento do

sistemana forma partculamaisreservatorio [5]-[7]. Neste ultimon~ao setenta quantizaro sistema

dissipativo diretamente mas sim trata-lo como um subsistema que interage com um reservatorio

complexo. Nesta interac~aoesta, precisamente,a origemda dissipac~ao.

Sendoo sistemacomposto conservativo e possivelusar,ent~ao,os procedimentosconvencionais

de quantizac~ao. Cumprida esta etapa, poderemos tracar as coordenadas do reservatorio e obter

assim uma equac~ao de movimento para a evoluc~ao do subsistema que carrega a informac~ao da

perda de energia. Esta ideia foi desenvolvida por Caldeira e Leggett [8] no estudo do

movimen-to Browniano qu^antico usando o metodo do funcional de in u^encia de Feynman-Vernon. Nesse

trabalho, escolhendouma forma particular da interac~ao do subsistema com o reservatorio, se

cal-cula o funcional de in u^encia de forma fechada em termos de par^ametros macroscopicos como a

viscosidade. Este resultado mostrou que as propriedades de transporte de um sistema qu^antico

nossistemas classicos.

Um dos resultados mostrados em [8] e o fato do movimento da partcula Browniana ser

dis-sipativo mesmo para temperatura zero. Como veremos no caso das propriedades de transporte

dos solitonsiston~ao acontece, pois a partcula(subsistema) e o reservatorio t^em a mesma origem

microcopica. O calculo das propriedades de transporte de sistemas que possuem excitac~oes

to-pologicas envolve dois pontos fundamentais. Por um lado, a quantizac~ao de teorias classicas que

possuem solitonscomo soluc~oesdas equac~oes n~ao lineares de movimento [9 ] e, poroutro,a forma

corretadeselidarcomsistemasdissipativosqu^anticos[8 ]. Umaabordagemsistematica,queunica

estes dois pontos, foi desenvolvida com sucesso porCastro Neto e Caldeira [10 ]. Nela se mostra,

de forma consistente, uma forma corretade se calcularaspropriedades detransporte(mobilidade

e coeciente de difus~ao)dossolitonsde umateoriade campoescalar em 1-D.

Emuma teoriaclassica de camposossolitonss~ao congurac~oesdeste campo quese

movimen-tam com velocidadeconstante sem mudar a forma. Portanto, e suciente conhecermos a posic~ao

do centro do soliton em func~ao do tempo para descrever a sua din^amica. Ja do ponto de vista

qu^antico, as teorias classicas invariantes por translac~ao podem ser quantizadas usando o metodo

das coordenadas coletivas [9 ]. Nesta descric~ao, o centro do soliton pode ser interpretado como

umavariavel qu^antica din^amicaquedescreve osolitoncomopartcula[10 ]. 

Eimportanteressaltar

neste caso que,paratemperaturasnitas, nemtodosos grausde liberdadedo sistemacontribuem

paraaformac~aodo solitone,portanto,n~aoepossivelqueomesmo semovimentelivrementecomo

acontece na teoriaclassica. Oobjetivo fundamentaldeste trabalhoe oestudo daspropriedades de

transportedos solitonsem sistemas magneticos. Nele mostraremos que a din^amicadasexcitac~oes

topologicastemcaraterdissipativocomoconsequ^encia dainterac~aocomosgrausde liberdade

\re-siduais"(ondasdespin)nosistema. Estudaremosdoistiposdeexcitac~oes: asparedesdosdomnios

magneticos ou paredesde Bloch e os\Quantum HallSkyrmions",ou simplesmenteskyrmions.

As paredes de Bloch s~ao as regi~oes que separam os domnios num material com propriedades

magneticas [11], enquanto osskyrmions s~ao as excitac~oes carregadas de menorenergia no sistema

de Hallquando ofator de preenchimento dosnveis de Landaue proximo de 1[12 ].

Oprimeiro captulo sera dedicado a introduzir osconceitos fundamentaisque ser~ao utilizados

ao longodo trabalho. Mostraremosaspropriedadesfundamentaisdassoluc~oessolit^onicasemuma

e duas dimens~oes. Logo emseguida, partindode uma ac~ao geralpara umcampo escalar em uma

metodo dascoordenadas coletivas. A partenal docaptulosera dedicadaa obter ahamiltoniana

que descreve a interac~ao entre o solitone as utuac~oes docampo emtorno deste tipo de soluc~ao.

Nosegundocaptulo,partindodeummodelomicroscopicounidimensionalestudaremosadin^amica

dasparedesdeBloch[13 ]. Usandoolimitecontnuoparadescreverasmesmas,demostraremosque

asparedes dosdomniosmagneticos queaparecem nosferromagnetos correspondema solitonsdas

equac~oes de movimento para as variaveis de spin. Por outro lado, a ac~ao classica que descreve o

sistematemessencialmenteamesmaformaqueaquelautilizadaparailustrarometododas

coorde-nadascoletivasnocaptulo1. Istonospermitiraobterumahamiltonianaqueacoplaomomento da

parede com omomento dasondasde spineque sera usadaparaestudar adin^amicada excitac~ao.

A forma em que e possvel realizar a detecc~ao e a descric~ao teorica dos \quantum Hall

skyr-mions"e o tema fundamental do captulo 3. Nele discutiremos como, usando a tecnica de

Res-son^ancia NuclearMagnetica, podemoster evid^enciasda presencado skyrmionno sistemade Hall.

Logoemseguidaapresentaremosaac~aoefetivaquedescreveosskyrmionsdopontodevistateorico.

Como veremos, a mesma n~ao e mais que um modelo sigma n~ao linear geralizado. Isto permite o

calculo dotamanho eenergia dasexcitac~oes usandoas soluc~oesde Belavine Polyakov [14 ].

Nocaptulo4abordaremoso estudoda din^amicadosskyrmionsno sistemadeHall[15 ]. Como

veremos, partindodadensidade de lagrangianaparaas utuac~oesde spinapresentadano capitulo

anteriore usandoo metodo dascoordenadacoletivas, deduziremosumahamiltonianade interac~ao

skyrmion-magnons. Posteriormente usando o formalismode Feynman-Vernon,calcularemos uma

ac~aoreduzida,queenvolvebasicamente ascoordenadasdocentrodaexcitac~aoequepodeser

utili-zadadeformageralparaestudaradin^amicadesolitonsen duasdimens~oes. Finalmenteobteremos

umaequac~aode movimentoefetivaparaoskyrmionquecarregaa informac~aoda interac~ao comos

magnons.

Os ultimos captulos ser~ao dedicados a estudar a in u^encia da din^amica do skyrmionnas

ex-peri^encias de espalhamento de neutrons e a apresentar as conclus~oes nais sobre o trabalho e as

Excitac~oes Topologicas

Este captulo sera dedicado a apresentar conceitos fundamentais que ser~ao utilizados ao longo

do nosso trabalho. Nele introduziremos o conceito de excitac~oes topologicas, mostraremos como e

possvel calcula-las e ilustraremos o procedimento com os casos particulares da equac~ao de

sine-Gordon e do modelo sigma n~ao-linear. Finalmente discutiremos a forma correta de realizar a

quantizac~ao destas soluc~oes utilizando o metodo das coordenadas coletivas.

1.1 Introduc~ao

Emmeadosdosanos70foramdesenvolvidosmetodos[16]quetornaram possvelaobtenc~ao de

soluc~oesexatasdeequac~oesn~aolineares. Esteeopontodepartidanatentativadeobterinformac~ao

acerca das propriedades qu^anticas de um determinado sistema partindo da soluc~ao das equac~oes

do campo classico do mesmo. Como e de se esperar, n~ao e possvel relacionar todas as soluc~oes,

derivadas de uma teoria de campos classica, com as propriedades do sistema na teoria qu^antica

correspondente. Deformaintuitivaveremosqueparaobterestarelac~ao,devemosprocurarsoluc~oes

geradaspelas equac~oes n~ao linearesquecaraterizam ocampoque sejam localizadasno espaco.

As soluc~oes localizadas s~ao, a grosso modo, pacotes de energia que viajam sem deformar-se

com umavelocidadeuniforme. Este tipode soluc~aoefrequentementechamadade solitonouonda

solitaria. Maisadianteveremos comoe possveldarumadenic~aorigorosa dessasoluc~ao.

Para ilustrar melhor as propriedades das soluc~oes localizadas, tomemos, por exemplo, o caso

mais simples,aequac~aode onda

1 c 2 @ 2 @t 2 @ 2 @x 2 ! (x;t)=0: (1.1)

Comoesabido,qualquerfunc~aodaformaf(xct)esoluc~aodaequac~ao(1.1). Seemparticular,

f eumafunc~aolocalizada,ent~ao,podemosconstruirumpacotequeviajecomvelocidadeuniforme

csem mudarasua forma como tempo.

Poroutrolado,esemprepossvelvericarquequalquercombinac~aodefunc~oesdaformaf

1 (x

ct)+f

2

(x+ct) e sempre soluc~ao de (1.1). A analise da evoluc~ao temporal deste tipo de soluc~ao

revela que, para t ! 1, o sistema e composto por dois pacotes separados e aproximando-se

entre si. Paratnito, ospacotes sobrep~oem-se simulando umacolis~aoe, parat!+1,o sistema

volta a estarcomposto basicamente pelos pacotesseparados,comassuas formasiniciaismantidas

e afastando-se entre si. Estas caratersticas das soluc~oes da equac~ao (1.1) podem ser resumidas

como:

(i)A conservac~ao daforma e velocidadedopacote simples.

(ii)Aconservac~ao,aomenosassintotica,daformaevelocidadedevariospacotesdepoisdeuma

colis~ao entre eles.

Como sabemos as partculas elementares s~ao de certa forma pacotes localizados que viajam

sem deformar-se,e acredita-se,sejamdescritas poralgumateoria decamposrelativstica. Logoas

propriedades(i)e(ii)enunciadasanteriormente,assemelham-seasdosestadosestendidosqu^anticos,

ou de partculalivre.

No casoparticular da equac~ao de onda(1.1), aspropriedades (i)e (ii) s~ao consequ^encia direta

dalinearidadeen~aodispersividadedamesma. Umaanaliselevianadestefato,sugerir-nos-ia,an~ao

exist^enciadesoluc~oessolit^onicasemareasdafsicaemqueossistemass~aogovernadosporequac~oes

que cont^em termos n~ao lineares e dispersivos. O fato interessantee que, apesar da complexidade

que estas modicac~oes podem introduzir, existem sistemas descritos por equac~oes n~ao lineares

que possuem soluc~oes com as caratersticas (i) e (ii), ou seja, admitem a exist^encia de solitons 1

.

Isto nos leva a pensar que, apesar dos solitons serem soluc~oes de equac~oes classicas n~ao lineares

do campo, estas guardam alguma relac~ao com os estados qu^anticos de partcula livre da teoria

qu^antica correspondente. Certamente a ideia anterior e puramente intuitiva,mas proporcionou a

motivac~ao necessaria para desenvolver o formalismo conhecido como quantizac~ao dos solitons [9]

que estabeleceu justamente essa relac~ao.

Voltandoaspropriedadesdassoluc~oeslocalizadas,agoradopontodevistaformal,precisa-se de

umagrandezafsicaadequadaparaclassicarassoluc~oesdedeterminadosistemaemsolit^onicasou

1

n~ao. Paradarumadenic~aodesolitonutiliza-secomumenteadensidadedeenergiacomograndeza

fsicaparamedira localizac~aodassoluc~oes. Ent~ao,asoluc~aodeumaequac~aon~ao linearassociada

a um determinado campo classico (x;t) tem carater solit^onico quando a densidade de energia

correspondente a elapodeser escrita como

"(x;t)="(x ut); (1.2)

ondeu e umvetor velocidadee"(x) e umafunc~aolocalizada,ou seja

lim

x!1

"(x;t)=0: (1.3)

As equac~oes anteriores, (1.2) e (1.3), n~ao s~ao mais que a express~ao formal da propriedade (i)

apresentadaanteriormente. Poroutroladoa condic~aode conservac~aoda formadospacotesdepois

dascolis~oespode serexpressa como:

"(x;t)= 8 > < > : P N i=1 " 0 (x a i u i t) parat! 1 P N i=1 " 0 (x a i u i t Æ i ) parat!+1 (1.4) ondea i

eaposic~aodocentrodoi-esimosolitoneosÆ

i

s~aoapenasvetoresconstantesquerepresentam

umamudanca natrajetoriaoriginaldosmesmos. Estaultimapropriedadee bemmaiscomplicada

de servericada napratica,peloquemuitasvezes abusa-seda linguagemchamandode solitonsas

soluc~oesdasequac~oesn~ao linearesquedenemdeterminadocampo,quando naverdade,cumprem

apenascom a primeiradaspropriedades (i).

Como foi apontado anteriormente, existe um procedimento que estabelece a correspond^encia

entre soluc~oes solit^onicas e propriedades qu^anticas, conhecido como quantizac~ao dos solitons. A

teoria que faz esta ligac~ao foi desenvolvida porvarios autores usando diferentes tecnicas (ver por

exemplo[18 ]-[23])emostraqueepossvelassociarn~aosoumestadodepartculaestendidaasoluc~ao

classicado tiposoliton,mastambemtoda umaseriede estadosexcitados. Estesestadosexcitados

se obtem atraves da quantizac~ao das utuac~oes do campo em torno de uma soluc~ao solit^onica e

permitemobter propriedades daquasi-partcula qu^antica solit^onica,como massae fator deforma.

Tendo introduzido o conceito de soliton passamos em seguida a ilustrar, com exemplos que

usaremosaolongo destetrabalho,arelac~aoqueosmesmospossuemcomatopologiadossistemas.

Estudaremos oscasos particulares da equac~ao de sine-Gordone domodelo sigman~ao linear.

Pos-teriormente apresentaremos o procedimento para realizar a quantizac~ao das soluc~oes localizadas,

analisandoemdetalheadiculdadede quantizarsistemasquepossueminvari^anciade translac~ao e

1.2 Excitac~oes Topologicas em 1-D

Aspropriedadesdossolitons,que foramenunciadasna sec~ao anterior,n~ao possuemapenasum

caraterformal,poiss~aousadasnapraticaquandoprocuramossoluc~oeslocalizadasemdeterminado

sistema. Usualmente a imposic~ao das caratersticas solit^onicas as soluc~oes procuradas t^em como

consequ^enciaosurgimento deumagrandezaconservadaconhecidacomocargatopologicaoundice

de Pontryaguin [24 ].

Apesardacargatopologicaserumnumerointeiro,elatemumaorigemdiferentedaorigemdos

numeros qu^anticos. Esta carga esta diretamente relacionada com o comportamento dos campos

envolvidosnoinnito. Istosignica,ent~ao,queapresencadassoluc~oeslocalizadasemdeterminado

sistema esta relacionada com a topologia do mesmo, o que da origem a denominac~ao excitac~oes

topologicas paraeste tipo de soluc~ao.

Parailustraroprocedimentoaseseguirnocalculodassoluc~oessolit^onicasem1-Deesclarecera

import^anciaeopapeldacargatopologica,trataremosemseguidaocasogeraldeumcampoescalar

emduasdimens~oes(1temporal +1espacial). Posteriormenteusaremosa metodologiaexposta na

obtenc~ao desoluc~oessolit^onicasqueser~aousadasnoestudodadin^amicadasparedesdeBloch[13 ].

Paraumaanalisegeral,consideremosumcampoescalar(x;t) cujadin^amicaegovernadapela

densidade de lagrangiana L(x;t)= 1 2  _  2  0 2  U(); (1.5)

ondea func~ao potencial e positivadenidae o seuvalor mnimoe zero. A equac~ao de movimento

gerada pelaaplicac~ao do princpiovariacionalem (1.5) tema forma

   00 = @U() @ ; (1.6)

e a densidadetotal de energiado sistemae

"(x;t)= 1 2  _  2 + 0 2  +U(): (1.7)

Vamossupor,porsimplicidade,queafunc~aoU tenhaM (M 0)pontosondealcancaomnimo

absoluto. Sejam ent~ao estespontos g (i)

com i=1;2;3:::M. Por outro ladoe evidente que,nestes

pontos, ofuncional de energiae nulo, ou seja

E[g (i)

]=0; (1.8)

(a)

(b)

φ

(

U

−

φ)

−

U

(φ)

φ

₁

φ

φ

φ

φ

1

2

3

Figura1.1: (a)Opotencial U()queage sobre apartculafcticiaquandoU()possuiumunico

mnimo

1

. (b)Casoem queU() possuitr^es mnimosdegenerados.

Como ja vimos, as soluc~oes solit^onicas movimentam-se com velocidade uniforme. Portanto,

podemosprocurar soluc~oes localizadasestaticas e, posteriormente, atraves de uma transformac~ao

de Lorentz (ou Galileu), obter soluc~oes dependentes do tempo. As soluc~oes assim obtidas, s~ao

soluc~oes do problemaoriginal (1.6) pois a lagrangiana (1.5) e invariante pelas transformac~oes de

Lorentz. Desta forma oproblemaestatico a serresolvidosera ent~ao

 00 = @U() @ : (1.9)

Antesdepassar aresolverexplicitamenteestetipode equac~ao,devemosimporascondic~oesde

contorno necessarias. Como as soluc~oes solit^onicas devem ter energia nita e uma densidade de

energia localizada,teremos

lim

x!1

(x)=g (i)

: (1.10)

Se o potencial U() tiver somente um ponto de mnimo g, ent~ao, quando x !1, (x)!g

necessariamente. Se pelo contrario, o potencial U() tiver varios pontos onde alcanca o mnimo

degenerado, ent~ao (x) deve tender a um desses pontos de mnimo para x ! 1 e ao mesmo

valor,ou a umoutro ponto de mnimo diferente, quandox!+1.

Usandoascondic~oesdecontorno (1.10),aequac~ao(1.9)podeserresolvidaparaqualquerforma

do potencial U(). Porem, antes de encontrar uma forma geral do campo (x) em func~ao do

potencial, e conveniente, para a analise topologica, notar que a equac~ao (1.9) possuium analogo

mec^anico [25 ]. Se na equac~ao (1.9) tomamos acoordenadax como o tempoe a variavel como a

unitariaquesemovimentasobaac~aodeumpotencial U(). Portantoasoluc~ao(x)representara

a posic~ao desta partcula,com umaenergia associada,que seconservaem cadainstante x

W  1 2  d dx  2 U(): (1.11)

Das condic~oes de contorno (1.10) vemos que a energia da partcula ctciae sempre nula.

Certa-menteesta energian~ao deve ser confundidacom aenergia real dosistema, que pode sercalculada

pelasimples integrac~ao de (1.7).

UsandoaanalogiacomapartculactciavamosanalisarocasoemqueopotencialU()possui

um unico mnimo. Nesta situac~ao a partcula fcticia esta sujeita a ac~ao de umpotencial como o

que aparece na Figura 1.1(a). Obviamente n~ao e possvel executar qualquer movimento (a n~ao

ser o trivial) em que o sistema evolua partindo de 

1

em um passado remoto (x = 1) e volte

novamente a

1

emumfuturotambemremoto(x=+1)semviolaraconservac~aodaenergia. Esta

simplesilustrac~aopermitearmarqueseafunc~aoU()temumunicomnimoabsoluto,n~aoexistem

soluc~oeslocalizadasestaticas n~ao triviais. Por outro ladono caso emque o potencial U() possui

varios mnimos degenerados, como aparece na Figura 1.1(b), a partcula ctcia pode partir de

qualquerumdestesmnimose chegarateoproximo,sempre semultrapassa-lo. Ofatodaevoluc~ao

nunca acontecer entre os pontos 

1 e 

3

, por exemplo, tem a ver com a anulac~ao da velocidade

e a acelerac~ao ctcias  0

e  00

nos pontos de mnimo. Desta forma conclumos que a partcula

havendo deixado 

1

movimentar-se-ia na direc~ao de 

2

, alcancando este ponto assintoticamente,

pois nele todasas derivadas do movimento se anulam. Logo, quando U() possui varios mnimos

degenerados,assoluc~oesestaticaslocalizadasdevemsertaisqueconectemosmnimosvizinhosaos

pares.

Poroutrolado,comoosvaloresadmissveisdoscamposnoinnitoformamumconjuntodiscreto

(o conjunto dos mnimosde U()), n~ao e possvelconectar soluc~oes que unam mnimos distintos

atraves de deformac~oes contnuas de um valor de mnimo a outro mantendo a energia do sistema

nita em todo momento. Portanto se uma soluc~ao determinada (1;t

0 ) = 

1

, ela permanecera

estacionaria neste ponto sem pular para outro valor de mnimo 

2

. Isto sugere, ent~ao, que o

espacodetodasassoluc~oeslocalizadasn~aosingularesdeenergianitapodeserdivididoemsetores

caracterizados pelos valoresdas soluc~oes no innito,(+1) e ( 1). Os setores assim denidos

s~ao topologicamente desconectados, pois como foi apontado, n~ao e possvel deformar a soluc~ao

que pertence a um determinado setor em outra que pertence a um setor diferente sem violar a

Alem da classicac~ao baseada nos valores (+1) e ( 1), usa-se amiudea carga topologica

paraidenticaro setordo espaco aquepertenceumadeterminadasoluc~ao. A cargatopologicaem

1-De simplesmente Q= 1 2 Z 1 1 @ @x dx; (1.12)

que n~ao e mais que a diferenca entre os valores das soluc~oes no innito. Certamente o valor de

Q n~ao e suciente para classicar os setores topologicos, porem em muitos problemas fsicos as

grandezas calculadas dependem apenas da carga topologica e n~ao do valor absoluto dos campos

no innito. A analise anterior nos permite armar que os ndices topologicos s~ao basicamente

condic~oesde contorno quese conservam devidoao valor nito da energia do sistemaem qualquer

instante.

Esclarecidoo papelda topologia, podemosvoltaragora a soluc~ao da equac~ao (1.9). Estapode

ser resolvidafacilmenteemuma dimens~ao,pois

Z  0  00 dx= Z dU d  0 dx; 1 2  0 2 =U(); (1.13) ent~ao x x 0 = Z (x) (x 0 ) d p 2U() : (1.14)

Aexpress~ao anterior (1.14) e geralparaassoluc~oeslocalizadasestaticasem1-D e nospermite

estudar,porexemplo,ocasoconcretodaequac~aodesine-Gordon. Aequac~aodesine-Gordonpossui

uma import^ancia particular em fsica, pois aparece nos estudos de propagac~ao de deslocamentos

emcristais[26 ],din^amicade paredesdeBlochemsistemas magneticos[13]emodelosde partculas

elementares bidimensionais [27 ]. Com o objetivo de ilustrar os conceitos apresentados ate aqui e

paraousoposteriorno estudodadin^amicadasparedesdeBlochnocaptulo2,apresentaremosem

seguida assoluc~oes solit^onicasda equac~ao de sine-Gordon.

1.2.1 Equac~ao de sine-Gordon

A densidadede lagrangiana quegeraa equac~ao de sine-Gordontem a forma

L(x;t)= 1 2  _  2  0 2  (1 cos); (1.15)

onde (x;t) e um campo escalar em uma dimens~ao. Neste caso o potencial 1 cos possui um

numero innito de mnimos, que podemser escritos como g

n

vimosna analisedo papel da topologianos sistemas unidimensionais,a carga topologica pode ser

calculada partindode (1.12). Neste caso particularsera simplesmente

Qn 1 n 2 = 1 2 Z 1 1 @ @x dx: (1.16)

Mascomonossistemascaracterizadosporumcampoescalarem1-Dassoluc~oesestaticaslocalizadas

devemconectar osmnimosvizinhos de1 cos, conclumos queQ=1.

Poroutro lado,substituindoo potencial envolvido em(1.15) em (1.14) teremos

x x 0 = Z (x) (x 0 ) d 2sin(=2) ; (1.17)

que integrandosetransforma em

(x)= 8 > < > : 4arctane x x 0

parao sinalpositivo

4arctane x x0

parao sinalnegativo:

(1.18)

A soluc~ao positiva, chamada de soliton, tem valores que v~ao de 0 a 2 de 2 a 4, 4 a 6

etc, e carrega, portanto, carga topologica Q = 1. Por outro lado, a soluc~ao negativa conhecida

como antisoliton possuicarga topologica Q= 1. Na Figura1.2 aparecem asformasdassoluc~oes

anteriores e a densidade de energiaassociada a elas para x

0

=1. Como era esperado a densidade

de energia tem realmente uma forma localizada mantendo a energia do sistema sempre nita.

Finalmente,paraobtersoluc~oesdependentesdotempobastarealizarumatransformac~aodeLorentz

nassoluc~oes(1.18).

Apesarde n~aoapresentarmosaquiademonstrac~ao,assoluc~oeslocalizadasdaequac~ao de

sine-Gordon obtidass~ao verdadeirossolitons[28],ou seja, soluc~oesque cumpremcomas exig^encias (i)

e (ii)apresentadas na introduc~ao deste captulo.

1.3 Excitac~oes Topologicas em 2-D

Ateagoraapresentamosalgumasdascaratersticasfundamentaisdassoluc~oeslocalizadasestaticas

para um campo escalar em 1-D e a suarelac~ao com a topologia. Porem, n~ao e possvel estender,

a priori, a forma de procurar e classicar as soluc~oes para o caso em que existem dois ou mais

camposescalaresacoplados envolvidosnoproblema[29 ]. Porissoapresentamosemseguidao caso

particular do modelosigma n~ao linearque pode serresolvidoexatamente [14 ] e quesera usado no

-8.0

-4.0

0.0

4.0

8.0

-8.0

-4.0

0.0

4.0

8.0

Figura1.2: Aslinhastracejadascorrespondemassoluc~oessolit^onicasealinhacontnuaadensidade

de energia associada a elas.

1.3.1 O Modelo Sigma n~ao Linear

Omodelosigman~aolinear(NLM)[14]consisteemtr^escamposescalaresn=(n

1 ;n 2 ;n 3 )reais

em duasdimens~oessujeitos ao vnculon
n=1 e caracterizadospeladensidade de lagrangiana

L(r;t)= 1 2 X  (@  n)
( @  n): (1.19)

Estemodelotemsidoutilizadoporvariosautoresparaestudarasexcitac~oestopologicasque

apare-cem emferromagnetos, antiferromagnetos e supercondutoresde alta temperatura crtica [30 ],[31 ].

Aac~ao associadaadensidadedelagrangianaanterior,quelevaemconta ovnculo,podeserescrita

como S = Z X  " ( @  n)
(@  n)+(x;t) X i n 2 i (x) 1 !# dxdt; (1.20)

que,porsuavez,gera umaequac~aopara oscamposescalares n

i

(x)(i=1;2;3) estaticos daforma

r 2

n(r)+n(r)=0: (1.21)

Utilizandoo vnculon
n=1 naequac~aoanterior,e possvelobter ovalor domultiplicador de

Lagrange emtermos doscamposescalares n

i

(x) como

= n( r)
r 2

n(r): (1.22)

Portanto aequac~ao (1.21) escreve-se daforma

r 2 n(r)  n(r)
r 2 n(r)  n(r)=0: (1.23)

Poroutro lado,a energiaassociada aac~ao (1.20) pode sercalculada partindo de E = 1 2 Z ( @ i n) 2 d 2 x; (1.24)

que fornece a condic~ao imprescindvel para a exist^encia das soluc~oes localizadas estaticas para a

equac~ao dos campos com energia nita, pois, para a converg^encia da integral anterior, devemos

garantir que: lim r!1 rkrnk=0 ! lim r!1 n=n 0 ; (1.25) onden 0 

eumvetorunitarionoespacointerno(oespacodoscamposn

i

). Istosignicaqueamedida

em quenosafastamos daorigem de coordenadasem qualquerdirec~ao,n(r) tendeao mesmo valor

limite. Este fato e essencialmente equivalente a compactar o espaco real R 2

em uma superfcie

esfericaque chamaremos S phy

2

(o que poderser feito usando a projec~ao estereograca). Por outro

lado, o espaco interno e tambem uma superfcie esferica de raio um que denotaremos por S int

2 ,

logo qualquer congurac~ao estatica dos campos n

i

(x) com energia nita n~ao sera mais que um

mapeamento de S phy 2 emS int 2 .

Todososmapeamentosn~ao-singularesdeumasuperfcieesfericaS

2

;emoutrasuperfcieesferica

S

2

;podem serclassicadosemsetores homotopicos[17 ]. Aquelesmapeamentospertencentesaum

certosetortopologicopodemserdeformadosdemaneiracontnuaemoutrodentrodomesmosetor,

poremnuncanaquelesqueseachamforadele. Poroutro lado,ossetoreshomotopicoss~aoinnitos,

numeraveiseformamumgrupoqueeisomorfoaogrupodosinteiros,oqueformalmenteescrevemos

como  2 (S 2 )=Z ; (1.26) onde  n (S m

) representa o grupo de homotopias associadas aos mapeamentos de S

n ! S

m e Z o

conjuntodosinteiros. Estenumeroe agoraacarga topologica oundicede Pontryaguine descreve

basicamente onumerode vezes que umasuperfcieenvolvea outra.

Ondicede Pontryaguin pode ser calculadodiretamentedascongurac~oesdoscamposcomo

Q= 1 8 Z "  n
(@  n@  n)d 2 x: (1.27)

Como vimos anteriormente a carga topologica tem um papel importante na classicac~ao das

so-luc~oes. Nestecasoparticular,aconservac~aodeQpermiteprocurarsoluc~oesdaequac~aodoscampos

Para issopartiremosdeum vetor convenientemente construdo[14 ] V =@  n"  n@  n; (1.28)

e da condic~ao de normapositiva paratodo vetor noespaco interno. Desta forma

Z d 2 x[( @  n"  n@  n)
(@  n"  n@  n) ]0: (1.29)

Assimpodemosescrever

Z d 2 x[(@  n)
(@  n)+"  (n@  n)
"  (n@  n) ]  (1.30) 2 Z d 2 x["  n
( @  n@  n)]:

Osdois termos dolado esquerdo da equac~ao anteriors~ao exatamente iguais,portanto

2 Z d 2 x[(@  n)
(@  n)]2 Z d 2 x["  n
(@  n@  n)] (1.31)

que n~aoe mais que

E4jQj: (1.32)

Esta desigualdade fornece um limite inferior para as energias das congurac~oes estaticas em

cada setortopologico. Logoa equac~ao doscampos(1.23) pode ser resolvidaachandoos extremos

do funcionalenergia levandoem conta ovnculoque permitesovetoresde normaunitaria.

Por outro lado,emum certo setortopologico, a desigualdade (1.32) setornara uma igualdade

sempre quea inequac~ao (1.29) o fortambem, e istoacontece see somente se

@  n="  n@  n: (1.33)

A equac~ao anterior (1.33) pode ser simplicada usando a mudanca de variaveis da projec~ao

estereograca, ouseja,

! 1 = 2n 1 1 n 3 ; ! 2 = 2n 2 1 n 3 : (1.34) 

E convenientetambemintroduzir

! =! 1 +i! 2 = 2( n 1 +in 2 ) 1 n 3 = 2n 1 n 3 ; n=n 1 +in 2 ; (1.35) e ent~ao @ 1 !  @! @x 1 = 2[ (1 n 3 )@ 1 n+n@ 1 n 3 ] ( 1 n 3 ) 2 ; (1.36)

@ 1 != 2 ( 1 n 3 ) 2  @ 1 n+n@ 1 n 3  ; (1.37)

ondeb@a=b@a a@b. Usando agoraasnovasvariaveis,a equac~ao (1.33) pode serescrita como

@ 1 n=i(n@ 2 n 3 ); @ 2 n=i(n@ 1 n 3 ); (1.38)

que ao seremsubstitudasem (1.37) geramasrelac~oes

@ 1 !=@ 2 !; (1.39) @! 1 @x 1 = @! 2 @x 2 ; @! 1 @x 2 = @! 2 @x 1 : (1.40)

As relac~oes que aparecem em (1.40) s~ao aquelas de Cauchy-Riemann para ! e logo qualquer

func~ao analtica !(z) e soluc~ao delas. Um prototipo de soluc~ao com qualquer valor dondice de

Pontryaguin (N)sera: !(z)=  z z 0   N (1.41)

que paraN=1no espaco real adotaa forma:

n 1(2) = 4x(y) r 2 +4 2 ; n 3 = r 2 4 2 r 2 +4 2 (1.42)

sendo otamanho daexcitac~ao localizada como centrona origem de coordenadas.

Comovimosn~aofoiusadonenhumformalismogeralparatrataresteproblema,poisparaocaso

de dois ou mais campos escalares acoplados n~ao existe tal possibilidade[32 ]. O motivo peloqual

um tratamento semelhante ao exposto para o caso de um campo escalar em uma dimens~ao n~ao



e possvelpode ser compreendido facilmente. Consideremos umsistema descrito pordois campos

escalares acopladosem umadimens~ao. Adin^amicadeste sistema seragovernada peloconjunto de

equac~oes  00 1 = @U( 1 ; 2 ) @ 1 ;  00 2 = @U( 1 ; 2 ) @ 2 : (1.43)

Ao contrario da equac~ao (1.9), que pode ser integrada facilmente por quadratura, n~ao existe

ummetodo geralquepermitaresolverosistemaacoplado(1.43). Mesmoassim,podemserobtidas

algumascaractersticasdassoluc~oeslocalizadasnestescasos. Porexemplo,aocontrariodossistemas

compostos por um unico campo escalar, em que n~ao existiam soluc~oes localizadas quando U()

tinhaummnimon~aodegenerado,ossistemascompostospordoisoumaiscampospossuemsoluc~oes

2

, permiteque a partcula ctcia possa executar um movimento fechado voltando ao mnimo g

de ondepartiuinicialmente.

Outropontointeressante, naexist^encia de soluc~oes estaticaslocalizadasparadimens~oes

maio-res que um, e o conhecido teorema de Derrick [33 ] (ver Ap^endice A). Este teorema proporciona

basicamente um resultado negativo, pois mostra que para sistemas descritos por densidades de

lagrangianas da forma L(x;t)= 1 2 (@  )
(@  )) U(); (1.44) onde (x;t)= i

(x;t) com i=1;2;::N em D dimens~oes espaciais,n~ao existem soluc~oes estaticas

localizadas para D  3. A obtenc~ao deste resultado tambem fornece uma condic~ao interessante

para o caso de duas dimens~oes. Isto e, o valor do potencial U() na soluc~ao localizada 

1 , por

exemplo, deve ser identicamente nulo, ouseja,

U(

1

)0: (1.45)

Ent~ao, se U((x)) tem mnimosdiscretos degenerados, teremos somente a soluc~ao trivial, ou

seja, aquela em que  e iguala um dos mnimos de U. Por outro lado, se o potencial possui um

conjuntocontnuodemnimos,ent~aoepossvelumasoluc~aodiferentedatrivial,ouseja,dependente

de x, ondemuda continuamente dentro doconjunto contnuo demnimos. Estee,precisamente,

o caso do modelo sigma n~ao linear,em queo potencial envolvido e identicamente nulo e portanto

possuiumconjunto demnimoscontnuo.

Paracompletarestebreveestudosobreassoluc~oeslocalizadas,quenospermitira

posteriormen-te investigara din^amicadasmesmas,e precisoestabelecera correspond^enciaentre ossolitonseos

estados qu^anticos de partcula livre. Portanto, a proxima sec~ao sera dedicada a apresentar o

for-malismo dequantizac~ao dassoluc~oessolit^onicasqueestabeleceprecisamenteestacorrespond^encia.

1.4 Quantizac~ao dos Solitons

1.4.1 Introduc~ao

Partindo da forma can^onica da hamiltoniana dos sistemas que admitem soluc~oes localizadas,

ChristeLee[9 ]desenvolveramummetodosimplesparaaquantizac~aodossolitons. Paraintroduzir

a ideia que esta por tras deste metodo, e conveniente explorar o modelo de uma partcula n~ao

x

U(x)

a

b

Figura 1.3: Potencial U(x) que age sobre uma partcula ctcia n~ao relativstica. A equac~ao de

Newton teracomo soluc~oesestaticas ospontos ae b.

na Figura1.3. Doponto de vistaclassico,o movimento dapartculasera descritopelasegundalei

de Newton d 2 x dt 2 = dU(x) dx ; (1.46)

e portanto assoluc~oes estaticas deste problema ser~ao os extremos de U(x), ou seja os pontos a e

b. Destaforma, a energia associada ao sistema no primeirodos estados, sera E

cl as

=U(a). Ja do

pontodevistaqu^antico,osestadosemqueapartculaseachaemaoubn~aos~aopermitidos,poiso

princpiodeincertezaprobeumestado demomentumnuloeposic~aodenida. Comoconsequ^encia

a partcula utuara em torno da posic~ao a,porexemplo, de forma que a energia mnima tenha a

forma E 0 =E cl as +
0 ; (1.47) onde
0

representa a correc~ao qu^antica derivada do movimento doponto zero.

Explorandoaideiaanterior,seopotencialU(x)foraproximadamenteharm^onicopertodoponto

a,podemosfazeruma expans~ao tipo weak-coupling eassociar ao sistema umconjunto de estados

localizadosemtorno dea. Neste caso

E n =E cl as +(n+ 1 2 )h !: (1.48)

Com algumas diferencas, podemos ent~ao estender a ideia anterior a sistemas governados por

la-grangiana L[]= Z ( 1 2  @ @t  2 1 2  @ @x  2 U() ) dx; (1.49)

onde (x;t) e umcampo escalar em duas dimens~oes(1 espacial+ 1 temporal)e U e uma func~ao

deste campo. Paraexplorar aanalogia com a ideia da quantizac~ao exposta acima, escreveremos a

equac~ao (1.49) como L[]=T[]+V[]; (1.50) onde T[]= Z 1 2  @ @t  2 dx e V[]= Z ( 1 2  @ @x  2 U() ) dx: (1.51)

Aequac~ao de Euler-Lagrangequeseobtemde (1.50) e simplesmente

@ 2 (x;t) @t 2 = ÆV [] Æ ; (1.52)

sendo o lado direito uma derivada funcional. As soluc~oes estaticas de (1.52) s~ao os extremos do

potencial V [] ,que podem serobtidosde

ÆV []

Æ

=0; (1.53)

no espaco dascongurac~oesdo campo.

Consideremosagoraapossibilidadedeconheceralgumadassoluc~oesde(1.53)quedenotaremos

por

0

(x). Ent~ao,a expans~aofuncional deV[]emtorno de 

0 (x)tera a forma V[]=V[ 0 ]+ Z 1 2 8 < : (x) " @ 2 @x 2 + @ 2 U @ 2 #  0 (x) 9 = ; dx+


; (1.54) onde(x)(x)  0 (x):

Comovemos ofuncional V[]desenvolvidoem tornode 

0

gera umproblemade autovalores e

autofunc~oesdadopelaequac~ao diferencial

" @ 2 @x 2 + @ 2 U @ 2 # 0  i (x)=! 2 i  i (x); (1.55) sendo i

(x)oconjuntodemodos normais (ortonormais)ou utuac~oesemtornode

0 (x). Podemos ent~ao escrever(x)(x)  0 (x)[34 ] como  i (x;t) X i c i (t)n i (x): (1.56)

Substituindo(1.55) e (1.56) em (1.49) teremos L= 1 2 X i  dc i (t) dt  2 V[ 0 (x)]+ 1 2 X i [ c i (t)] 2 ! 2 i ! +


; (1.57)

queclaramentecorrespondeaumconjuntodeosciladoresharm^onicos,umparacadamodonormal,

alem de um termo constante V[

0

]. Como uma consequ^encia direta de (1.57) podemos construir

umateoriaqu^antica,emtornodoestadoclassico

0

,comoumconjuntodeautoestadosharm^onicos

aproximados. Isso pode ser feito quantizando os coecientes c

i

, e desta forma as energias dos

estados ser~ao E n i =V[ 0 (x)]+h X i (n i + 1 2 )! i +


; (1.58) sendon i

onumerodequantadoi-esimomodonormal. Aequac~ao(1.58) (primeirotermo)relaciona

aproximadamente a energia de um certo estado qu^antico com a soluc~ao classica 

0

, e, por outro

lado, as frequ^encias de oscilac~ao !

i

aos possveis estados excitados, ou utuac~oes em torno da

soluc~ao localizada 

0 (x).

Oexemploanterior ilustracomo funcionam asideias basicas da associac~ao de umconjunto de

estadosqu^anticosa umasoluc~aoestatica qualquer,semprequeestaultima sejaummnimoestavel

do potencial envolvido no problema. Uma situac~ao diferenteaparece quando se trata de soluc~oes

quepossuemestabilidadeneutra,ouseja,asegundaderivadafuncionalnulaemdeterminadoponto

doespacointernoemtornodoqualqueremosaplicarometododequantizac~aodescritonestasec~ao.

Para demonstrara exist^encia destes pontos de sela,e conveniente escrever a equac~ao de

movi-mento (1.53) na seguinte forma

@ 2 (x) @x 2 = @U() @ ; (1.59)

e tomara derivada daexpress~ao anteriorem relac~ao a x. Destamaneira obtemos

@ 2 @x 2 + @ 2 U() @ 2 ! @ 0 @x =0: (1.60)

Istodemonstra quea equac~ao tipo Schrodinger(1.55), possuiautovalores de frequ^encia nula e

que a autofunc~ao associada a este modo, e simplesmente@

0

=@x, sendo 

0

um extremode V().

Nestecasoaestrategiaaseguirparaaquantizac~aoediferente,poisometodoexpostoanteriormente

falha comoconsequ^encia da presencados modoscom !

i =0.

Osmodosdefrequ^encianulas~aoconhecidoscomo modos translacionais e podemser tratados

apropriadamente. A seguir analisaremos um pouco mais a fundo a origem e as implicac~oes dos

1.4.2 Modos Translacionais

Os modos de frequ^encia zero aparecem sempre que se quantizam soluc~oes estaticas de uma

teoria quepossuiinvari^ancia de translac~ao. Emoutras palavras, quandouma soluc~aoqualquer da

equac~ao demovimento 

0

(x)e transladadapara

0

(x a), estaultima continua sendosoluc~ao da

equac~ao quegerou

0

(x) paratodo a. Nesta situac~ao aenergia potencial do problemaem quest~ao

n~ao dependerade aeserapossveldenircurvasequipotenciaisno espaco interno.

Opontochaveemtalcasoequeapesardasoluc~ao

0

(x)serumextremodeV[], elan~aoeum

mnimo nem mesmo localmente. Esta armac~ao pode ser entendida da seguinte forma: partindo

de

0

(x)sempreepossveldeslocar-se(noespacointerno)aolongodacurvadepotencialconstante

ao longo da qual a segunda derivada funcional e nula (estabilidade neutra). Este fato explica a

conex~ao entre umtipode simetriacontnuae a exist^encia dosmodosde frequ^encianula.

Havendocompreendidoaorigemdosmodostranslacionais,podemospassaraanalisaroimpacto

queestest^emnaconstruc~aodosestadosqu^anticos. Paraissoretomaremosateoriadecampoescalar

em uma dimens~ao espacial. Opotencial V[], em torno de um dos seus possveis mnimos,tem a

forma de umvale, nofundodo qualseestendea curva equipotencial,ou sejauma parametrizac~ao

poradasoluc~ao

0

(x a). Emqualquerdirec~aoortogonalaestacurvaovalordeV[]aumenta,o

quetrazcomoconsequ^enciaapossibilidadedeconstruirestadosnaformadescritanasec~aoanterior.

Noentanto,aolongodacurva,opotencialn~aotemac~aoconnante,oqueprovocaan~aolocalizac~ao

no espaco real da func~ao de onda associada a essa direc~ao. Este fato sugere a exist^encia de um

termo dotipoondaplana na energiado sistema.

Comoconsequ^encia imediata, paracada modo translacional,deve aparecer na energia do

pro-blema umtermo do tipo partcula livre, alem das correc~oes provenientes da expans~ao harm^onica.

Um resultado deste tipo n~ao e possvel de se obter atraves do formalismo desenvolvido ate aqui.

Entretanto, como veremos a seguir , ao introduzirmos modicac~oes no metodo proposto, o caso

das frequ^encias nulas sera tratado apropriadamente. O formalismo queapresentaremos em

segui-da, conhecido como o metodo das coordenadas coletivas, nos permite quantizar as soluc~oes

solit^onicas lidandode formacorreta com osmodosde frequ^encia nula, outranslacionais.

1.4.3 Metodo das Coordenadas Coletivas

Nesta sec~ao apresentaremos o metodo das coordenadas coletivas para o caso de um campo

numero arbitrario de campos escalares em duas dimens~oes espaciais poder ser feito seguindo o

tratamento que apresentaremos (para detalhesver,porexemplo, [9]).

Paraexporasideias fundamentaisdesteformalismo,partiremosnovamentedosistemadescrito

pela densidade de lagrangiana (1.49). Suponha, ainda, que existam soluc~oes conhecidas

cl (x) 

(x X) daequac~ao demovimento (1.53) aela correspondente. Comojavimos,

(x;t)=(x X)+ 1 X i=0 c i (t) i (x X); (1.61)

ondei=0,correspondenteaomododefrequ^enciazero, n~aoeumaboaescolhanocasodeexistirem

autovalores nulosda equac~ao

" @ 2 @x 2 + @ 2 U @x 2 !# (x X)  i (x X)=! 2 i  i (x X): (1.62) 

E importante notar que o valor de X nestescasos n~ao e relevante, pois o sistema e invariante

portranslac~ao.

Emlugarde (1.61),a ideiado metodo consisteemexpandir(x;t) como

(x;t)=(x X(t))+ 1 X i=1 q i (t) i (x X(t)): (1.63)

Neste caso, o termo i = 0 n~ao aparece na soma (1.63) e o vetor X, que n~ao tinha import^ancia

alguma, passa a ter um papel determinante na descric~ao do sistema, pois agora e dependente do

tempo. Este vetor recebe onome de coordenada coletiva e descreve omovimento do centro da

excitac~ao,quecomovemosem(1.63)estaacopladaas utuac~oespelacoordenadarelativax X(t).

Oponto chave dometodoe ousodeX(t)eq

i

(t)(comi>0) comocoordenadas dosistema, ao

invesdo conjunto c

i

(t)como foifeito em (1.61). A derivada temporal de sera

d(x;t) dt = @ @x + 1 X i=1 q i (t) @ @x ! dX(t) dt + 1 X i=1  @q i @t : (1.64) 

Econvenientepassaragoraaumanovanotac~ao,ondeu

0 (t)=X(t)eu i (t)=q i (t)(parai>0).

Logo, utilizando(1.64) podemosescrevera energiacinetica do sistemacomo

K 1 2 Z dx  d dt  2 = 1 2 1 X i;j=0 du i dt D i;j du j dt ; (1.65) ondeD i;j

D 0;0 = Z dx @ @x + 1 X i q i @ i @x ! 2 (1.66) D 0;j = Z dx @ @x + 1 X i q i @ i @x !  j = 1 X i Z dx @ i @x  j q i ; j6=0 (1.67) D i;j =Æ i;j ; i;j 6=0 (1.68)

Naobtenc~aodasexpress~oesanterioresusamosaortogonalidadeentreasfunc~oes

i

(i6=0)e

0 ,

emvirtudede(1.60). ComooselementosdeD

i;j

s~aoinvariantesdetranslac~ao,asuaintegrac~aon~ao

dependeradeX(t)e portanto ser~aosofunc~ao defq

i

g. Analogamenteo termodeenergiapotencial

nadensidadede lagrangianae tambeminvariante detranslac~ao ecomoconsequ^enciaindependente

de X(t).

Podemosescreverent~ao

U[] Z dx ( 1 2  @ @x  2 +V[g ) =U(fq n g); (1.69)

que,com aajudade (1.63) e (1.60), setransformaem

U[]= 1 2 1 X n=1 q 2 n ! 2 n +


(1.70)

Portanto alagrangiana dosistema emtermos dascoordenadasu

i

podera serescrita como

L= 1 2 1 X i;j=0 @u i @t D i;j (fq n g) @u j @t U(fq n g): (1.71)

Paraconstruirahamiltonianaassociadaalagrangianaanterior,devemoscalcularosmomentos



i

canonicamente conjugadosascoordenadasu

i . Estes s~ao  i  @L @
u i =D i;j @u j @t : (1.72) Ent~ao, H 1 X i=0  i du i dt L= 1 X i;j=0 1 2  i (D 1 ) i;j  j +U(fq n g); (1.73)

Poroutro lado,usando asexpress~oes quedenema matriz Dteremos

(D 1 ) 0;0 = 1 D ; (D 1 ) 0;i = D 0;i D i6=0; (1.74) (D 1 ) i;j =Æ i;j + D 0;i D 0;j D i;j 6=0; (1.75)

sendo Do determinante damatriz D i;j ,dadopor D=DetD i;j =D 0;0 1 X i=1 D 2 0;i : (1.76) Ao substituiroselementosD i;j

pelos seus valores (1.66) o determinanteadota a forma

D = A+2 Z @ @x 1 X i=1 q i @ i @x ! dx+ Z dx 1 X i=1 q i @ i @x ! 2 1 X i=1 " Z dx i 1 X i=1 q j @ j @x !# 2 : (1.77)

Se na express~ao anterior expandirmos P 1 i=1 q i @ i @x em termos da base  j (x X(t)), incluindo  0 (x X(t))=1= p A @(x X) @x

;a express~ao do determinante sereduza:

D=  p A+  2 ; (1.78) onde = Z  0 1 X i=1 q i @ i (x X) @x ! dx: (1.79)

Substituindo(1.78) e (1.79) em (1.73) e denotando o momento 

0

como P,a hamiltoniana do

sistema pode serescrita como

H= P 2 2D + P D 1 X i=1 D 0;i  i + 1 2 1 X i;j=1  Æ i;j + D 0;i D 0;j D   i  j +U(fq n g) (1.80) ou simplesmente H= 1 2D P + 1 X i=1 D 0;i  i ! 2 + 1 2 1 X i=1  2 i +U(fq n g): (1.81)

Como pode-se notar na express~ao anterior, a energia do sistema contem agora um termo do

tipo partcula livre associado ao movimento do centro do soliton. Este resultado concorda com

a analise feita anteriormente quando estudamos a origem e relev^ancia dos modos translacionais.

Portanto, podemosconcluirqueatravesdamudancadevariaveisdo campo(x;t)paraoconjunto

fX(t);q

n

(t)g, consegue-se tratar adequadamente o modo de frequ^encia nula. Por outro lado,

de-pois de calcular de forma adequada a hamiltoniana que carateriza o sistema, podemos realizar a

quantizac~aodamesmae,destaforma,obteraenergianosetordoespacodeHilbertcorrespondente



1.4.4 Quantizac~ao das Soluc~oes Solit^onicas

Para a quantizac~ao de uma teoria unidimensional escalar escrita em termos das coordenadas

coletivas e dos seus momentos canonicamente conjugados, devemos promover a categoria de

ope-radores asvariaveis u

i e

i

,de formaque asregrasde comutac~ao

[ u n (t); m (t)]=iÆ nm [u n ;u m ]=[ n ; m ]=0 (1.82)

sejam satisfeitas. Para escrever a hamiltonianaclassica (1.80) em termos dos operadores posic~ao

e momento, devemos resolver o problema da ambiguidadena ordemdestes operadores. Para isso

assumiremosqueanovahamiltoniana(qu^antica)possuaaforma\can^onica",ouseja, assumiremos

que ahamiltoniana qu^antica na representac~ao de Schrodingertenha a forma:

H= Z 1 2 (^(x)) 2 dx+V[(x)] (1.83)

onde(x)eooperadorcanonicamenteconjugadoaocampo(x),deformaqueestesejaconsistente

com asrelac~oesde comutac~ao (1.82) e denidopeladerivada funcional

(x)= i Æ

Æ[(x)]

(1.84)

A mudanca de variaveis de (x) para as novas coordenadas u

i

pode ser feita convertendo o

operador diferencial funcional (1.84) em um operador envolvendo este novo conjunto de

coorde-nadas. Das regras do calculo sabemos que quando temos um numero nito de variaveis 

i com

i=1;2;3:::N,olaplacianopode serescritoemtermosde umconjuntodiferentede coordenadas

i como: N X i=1 @ 2 @ 2 i = N X i;j=1 1 p B @ @ i  B 1  i;j p B @ @ j (1.85) onde B i;j = N X k=1 @ k @ i @ k @ j B =DetB i;j (1.86)

Nossoproblemaenvolveumnumeroinnitodevariaveis, logodevemos usarumageneralizac~ao

de (1.86), istoe B i;j = Z dx @(x) @u i @(x) @u j : (1.87)

Usando(1.63)podemosmostrarqueB

i;j =D

i;j

,ondeoselementosD

i;j

coincidemcomaexpress~ao

(1.66). Neste ponto estamos em condic~oes de escrever a hamiltonianado sistema em termos dos

operadores diferenciais. Assim,

H= 1 2 1 X n;m=0 1 p D @ @u n  D 1  i;j p D @ @u m +V(fu i g) (1.88)

Fazendo agora i@=@u

n = 

n

, que e consistente com as relac~oes de comutac~ao (1.82), a

ex-press~ao paraa hamiltonianaadotaa forma:

H = 1 2 p D " ^ P 2 p D ^ P 1 X n=1  D 0;n p D ^  n +^ n D n;0 p D  # + + 1 2 p D 2 4 1 X n;m=1 ^  n  Æ nm p D+ D 0;n D 0;m p D  ^  m 3 5 +V(fq n g); (1.89)

onde agora, a matriz D

0;i 

e um operador que envolve ascoordenadas fq

n

g. Esta express~ao pode

ser ainda simplicada para facilitar a sua interpretac~ao fsica. Para isso substituimoso valor de

D

0;n

em(1.89), queusando asregrasde comutac~ao podeser escrito como

H= 1 2D 2 4 ^ P 1 X m;n=1 G mn ^ q m ^  n 3 5 2 + 1 2 1 X n=1 ^  2 n +V[q n ]; (1.90) onde G mn = Z 1 1 @ m (x) @x  n (x)dx: (1.91)

Poroutrolado,lembrandodaexpans~aoemmodosnormaisdopotencial,ahamiltonianadosistema

podeser escrita nalmentecomo

H= 1 2D 2 4 ^ P 1 X m;n=1 G mn ^ q m ^  n 3 5 2 + 1 2 1 X n=1 ^  2 n +! 2 n q 2 n : (1.92)

Osegundotermodahamiltoniana(1.92)correspondeaumconjuntodeosciladoresdesacoplados.

Claramentea origemdestesmodosnormaisestarelacionada coma utuac~ao docampo (x;t) em

tornodasoluc~aosolit^onicaetemumaorigempuramentequ^antica. Poroutroladooprimeirotermo

correspondeao acoplamento deste sistema deosciladorescom omomento da excitac~ao topologica,

e deveser examinadocom atenc~ao. Porexemplo,sendo ^

P uma constantede movimento,pois

_ ^ P = 1 ih h ^ P;H i =0; (1.93) ^

P n~ao deve ser confundidocom o momentum da excitac~ao topologica. Ao mesmo tempo,pode-se

vericar que _ ^ x 0 = 1 ih [^x 0 ;H ]= 1 D 2 4 ^ P 1 X n;m=1 G mn ^ q m ^  n 3 5 ; (1.94)

portantoecorretointerpretarD _

^ x

0

comoomomentumdosolitoneotermo P 1 n;m=1 G mn ^ q m ^  n como

1.5 Conclus~oes

Esclarecidosaorigem e signicadodostermos quecomp~oem ahamiltonianado sistema,

pode-mos ent~ao concluirque,sempre queum sistemapossuiinvari^anciatranslacional e admitesoluc~oes

localizadas,estasultimas apresentar~aoumadin^amicadescritaporumahamiltonianadotipo(1.92).

Nestes casos,devido aosolitonter oseu momento acopladoas utuac~oes docampo,suadin^amica

passa a ser n~ao trivial. No proximo captulo apresentaremos o estudo daspropriedades de

trans-porte de excitac~oes topologicasque aparecem em sistemas magneticos unidimensionais. Veremos

que partindo de um modelo puramente microscopico, e possvel construir uma hamiltoniana do

tipo (1.92) que descreva o comportamento dasexcitac~oese mostrar como pode ser enfrentado, de

Din^amica das Paredes de Bloch

Neste captulo mostraremos como e possvel estudar a din^amica das excitac~oes topologicas em

uma dimens~ao. Para isso, partiremos de um modelo microscopico simplicado para os sistemas

ferromagneticos. Veremos que, no limite contnuo, as excitac~oes topologicas das equac~oes de

mo-vimento da teoria correspondem a parede dos domnios magneticos. Estas excitac~oes ser~ao

quan-tizadas usando o metodo das coordenadas coletivas apresentado no captulo 1, o que permite obter

uma hamiltoniana que acopla a parede dos domnios com as ondas de spin. Finalmente, para n~ao

sermos redundantes ao calcular a mobilidade das excitac~oes, nos limitaremos a usar a express~ao

particular do coeciente de decaimento para o caso 1-D, cuja deduc~ao para um caso mais geral

(2-D) eapresentada integralmente no captulo4.

2.1 Introduc~ao

Comoe conhecido,ossistemasferromagneticostridimensionais,abaixode umacerta

tempera-turacrtica,apresentamumatransic~aodefasedesegundaordem[35]. Amanifestac~aomacroscopica

destefen^omeno,eosurgimentodeumamagnetizac~ao(M)mesmonaaus^enciadecampomagnetico

externo. Dopontodevistaexperimental,verica-sequenestetipodesistemascoexistemfasescom

diferentes valores de M, o que pode ser perfeitamente explicado a luz da teoria das transic~oes

de fase de Landau [36 ]. Quando isto acontece, as amostras estudadas podem car divididas em

regi~oes, que permanecem em contato, onde M aponta em diferentes direc~oes. Estas regi~oes com

magnetizac~ao espont^anean~ao nula, s~ao conhecidascomo domniosmagneticos [36].

Figura2.1: DomniosmagneticosnumatadeCoFeSiBamorfaobtidausandooefeitoKerr,cortesia

de K. Pirotae M. Knobel,LMBT, IFGW, UNICAMP.

dist^ancias da ordem da separac~ao interat^omica, e possvel demarcar claramente a regi~ao estreita

que separaosdomnios. Estasregi~oes de transic~ao s~ao conhecidascomo paredesdo domnioe em

diversassituac~oesdevemser tratadascomo entesfsicosreais. Defato, aocalcularmos aestrutura

de domnios, devemos necessariamente incluir a energia correspondente as paredes [37]. Sabe-se

tambem que para baixas frequ^encias e campos magneticos fracos, a func~ao resposta din^amica e

determinada pela resposta das paredes dos domnios [11], que devera incluir a mobilidade das

mesmase a suamassa.

Por outro lado o surgimento de novas tecnicas de crescimento de materiais, Chemical Beam

Epitaxy (CBE) e Molecular Beam Epitaxy (MBE) por exemplo, possibilitaram a fabricac~ao de

sistemas magneticos de baixa dimensionalidade [38 ]. Neste novo tipo de sistema, de enorme

im-port^ancia tecnologica 1

, tambem aparecem domnios magneticos e portanto paredes de domnios

conhecidascomo paredesde Bloch.

Como se sabe, as paredes de Bloch, podem se deslocar pela amostra. De fato, Landau e

Lifshitz[39 ]sugeriramqueomovimentodasmesmasedissipativodevidoapresencadasexcitac~oes

1

magneticas elementares(magnons) nosistema. Defato,quando asparedesdeBlocheasondasde

spincoexistem,ascolis~oesentreelas,envolvendotransfer^enciademomentum,provocamareduc~ao

da velocidadedas paredese portanto umamobilidadenita dasmesmas.

A mobilidade das paredes de Bloch tem sido estudada amplamente do ponto de vista teorico

e experimental. A maioria dos trabalhos teoricos parte de considerac~oes fenomenologicas, o que

n~ao permiteavaliar a in u^encia dos diferentes fatores (defeitos e ondas de spin, por exemplo) na

mobilidade das mesmas. Do ponto de vista experimental existem varios metodos para observar

a exist^encia das parades 2

. Um dos mais utilizados baseia-se no efeito Kerr. Este efeito consiste

fundamentalmente na variac~ao do plano de polarizac~ao da luz depois que esta se re ete numa

amostra que possui magnetizac~ao n~ao nula na supercie. Ent~ao, estudando a luz que provem

da amostra com um polarizador, consegue-se distinguir nitidamente as regi~oes de polarizac~oes

diferentes que aparecem com tonalidades claras e escuras (ver Figura 2.1). Poroutro lado, se na

mesma experi^encia, observa-se com detalhes a amostra ao microscopio, poder~ao ser vistasregi~oes

de tonalidades intermediariasseparando osdomnios. Estas regi~oes de transic~ao s~ao precisamente

asparedes dosdomniosou paredesde Bloch.

Depoisdeidenticarasregi~oesquecorrespondemasparedes,epossivelestudarseumovimento

submetendo-as a um gradiente de campo magnetico ou forcar as mesmas a executar um

movi-mentooscilatorioquando submetidasacamposmagneticosvariaveis notempo. Estasexperi^encias

mostram, sem duvidas, que o movimento das paredes e dissipativo. No entanto, existem poucos

trabalhosrelacionados com ain u^encia da temperaturanomovimento dasmesmas.

Ain u^enciada temperaturano movimento dasparedesde Bloch estarelacionadacoma

popu-lac~aodemagnonsnosistema. Comoapopulac~aodosmagnonsdependefortementedatemperatura

e estes est~ao acoplados de alguma forma as paredes, a din^amica dasmesmas torna-se dependente

da temperatura. Estadepend^enciasera o principalobjetivo a serestudado nopresentecaptulo.

Partindo de um modelo microscopico ferromagnetico unidimensional,sera demonstrado que a

abordagemsemiclassicadoproblemadaexist^enciadasparedes,permiteidenticaracongurac~aode

spinscorrespondenteasmesmascomassoluc~oeslocalizadasde umateoriadecampoefetiva. Logo

em seguida, usando ummetodo sistematico para o estudo da din^amica dasexcitac~oes topologicas

[40 ] [41 ], apresentaremos umestudo da mobilidadedas paredesde Bloch coma temperatura.

2

a

b

c

x

y

z

Figura2.2: (a)Congurac~aocorrespondenteao mnimodofuncionaldeenergiaquandoB =0. (b)

Parede de Bloch , congurac~ao correspondente a um mnimo local do funcional de energia para

B = 0. (c) Parede de Bloch 2, congurac~ao correspondentea um mnimo local do funcional de

energia quandoB 6=0.

2.2 Modelo Microscopico das Paredes de Bloch

Para estudar as paredes de Bloch usaremos um modelo magnetico unidimensional totalmente

anisotropico. Este sistema e composto por um conjunto de spins dispostos ao longo da direc~ao

^

z, com um espacamento a entre eles, submetidos a um campo magnetico externo. Este tipo de

sistemaedescritopelahamiltoniana

H = X hiji  J x S (x) i S (x) j +J y S (y) i S (y) j +J z S (z) i S (z) j    h B
X i S i : (2.1) Naexpress~ao(2.1)S () j

eacomponente(=x;y;z)doi-esimospindosistema, eomodulodo

momento magnetico em cadastioe B eomodulodo campo magnetico externo. Asconstantes de

acoplamento s~ao tais que J

x >J

y >J

z

>0 e porconveni^encia assumiremosque B esta orientado

na direc~aox.^

Para fazermos uma analise dos possveis estados de um sistema descrito pela hamiltoniana

(2.1), e conveniente comecar pelo caso em que B = 0. Nesta situac~ao, o estado fundamental do

x

y

φ

θ

z

Figura 2.3: Descric~ao classica dosspins, P 3 i=1 S (i) 2 =S 2 .

estado diferente da soluc~ao uniforme. Nos referimos a aquele estado que, sendo um mnimo local

dofuncionaldeenergia,n~aopodeserobtidopartindodacongurac~aocompletamenteuniformepor

qualqueroperac~aoqueconserveaenergiadosistemanita. Umexemplodestetipodecongurac~ao

aparecenaFigura2.2(b). Paradescreverdeformaqualitativaesteestadoeconvenienterepresentar

osspinsclassicamente,ouseja,porvetoresdenormaS (como aparecenaFigura2.3). Destaforma

S i =S(sin i cos' i ;sin i sin' i ;cos i ) (2.2) onde i e ' i

s~ao os^angulospolaresdo i-esimo spin.

Usandoasnovasvariaveis 

i e '

i

,a congurac~aoda Figura2.2(a) correspondeao caso emque

 i ==2 com ' i =0 ou ' i

=. Por outro lado a congurac~ao 2.2(b) corresponde a situac~ao em

que  i = =2 e ' i = 0 quando i ! +1 e ' i

=  quando i ! 1. Esta congurac~ao em que

S

i

roda em torno da direc~ao z^comecando em (;')=(=2;0) e terminandoem (;')=(=2;)



e conhecida como parede de Bloch  [42 ]. Como veremos posteriormente esta soluc~ao e do tipo

localizada e pode ser calculada, na aproximac~ao de magnetizac~ao contnua, usando as tecnicas

expostas no captulo1.

Voltando aanalise dosistema, no casoem queo campo magnetico e diferentede zero,

quebra-se a degenerec^encia entre os estados ' = 0 e ' =. De fato, por simples inspec~ao vemos que o

estado emqueS (x)



eparaleloaocampo externo('=0)possuimenorenergiaqueo estadoemque

S (x)

e antiparaleloa B ('=). Nesta situac~ao ainda e possvelencontrar uma congurac~ao que

correspondaaummnimolocaldofuncionaldeenergia. Claramente,nestecaso

i

==2emquanto

que'

i