APLICANDO CADEIAS DE MARKOV PARA ANÁLISE DE PREÇOS DE COMMODITIES: ESTUDO DE CASO NO MINÉRIO DE FERRO
Mônica Pasolini monipasolini@hotmail.com Leandro Luis Corso llcorso@ucs.br Mateus Muller Franco mateusfranco@yahoo.com.br Amanda Dalla Rosa Monegat adrmonegat@ucs.br
O minério de ferro se destaca na exportação do Brasil, sendo a segunda commodity de maior importância, quando se considera o preço. Mundialmente o país tem a segunda maior reserva do mineral e é o segundo maior exportador. Analisando isto, informações como variação do preço podem ser úteis para gestores de mineradoras e investidores. Este artigo estudou a variação do preço da commodity minério de ferro, obtida com o uso das Cadeias de Markov. Para isso, os dados foram coletados no endereço eletrônico da IndexMundi, e são referentes aos meses de janeiro de 2008 a março de 2018. Foi verificado que a maior probabilidade de variação mensal é de 0 a 8%
do preço, e que seu tempo de recorrência esperado é 3 meses.
Palavras-chave: Cadeias de Markov, Commodity, Minério de ferro, Análise de preço
2 1. Introdução
As constantes mudanças nos preços de commodities tendem a ser maior do que nos preços de bens manufaturados, porque tais produtos sofrem a influência de fatores como produção sazonal, mercados de negociação diferenciados e maior concentração de sua produção em um número reduzido de países que dispõem de vantagens comparativas nesses produtos.
(BRANCO, 2013).
Além disso, os preços das commodities também causam impactos importantes sobre o sistema produtivo do país sendo que, devido ao grande aumento da quantidade das commodities de exportação e a importância dos preços na determinação da evolução dos volumes exportados, são características que de acordo com Branco (2013), permitem classificar, no cenário atual, o Brasil no grupo de países em que o câmbio é influenciado pela evolução dos preços das commodities.
De acordo com Black (2018), no que ser refere aos preços das principais commodities exportadas pelo país, destacam-se a soja com 10,44% das exportações brasileiras, seguido pelo minério de ferro com 7,17%. Desta forma, a necessidade de analisar preços de commodities tem aumentado significativamente, dado as importantes variações de preços nos últimos anos e também em virtude do desenvolvimento de mercados futuros específicos para a negociação de tais bens (Branco 2013).
De acordo com Carvalho et al (2014), o Brasil tem a segunda maior reserva de minério de ferro do mundo e é o segundo maior exportador desta commodity, atrás apenas da Austrália. A previsão é que se mantenha nessa mesma posição até 2021, prazo da análise de Carvalho et al (2014). Partindo disso, a análise do preço das commodities é fundamental para entender o avanço dos sistemas de produção que tem sua regularização na exportação.
Levando em conta o novo modelo de negociação, por meio dos mercados futuros e a importância do minério de ferro na exportação brasileira, existe a necessidade de conhecer os preços atuais e futuros do produto, a fim de gerar alguma previsibilidade nas transações e dar maior confiabilidade ao cenário econômico futuro. A Engenharia de Produção com técnicas da área de Pesquisa Operacional, pode auxiliar na previsão de preços das commodities utilizando como ferramenta as Cadeias de Markov, que é uma análise estatística de um processo, que o estado futuro depende unicamente do estado atual. Dos dois principais
3 produtos exportados, o objetivo deste trabalho é calcular a probabilidade de variação do preço do minério de ferro, com as Cadeias de Markov, como também o tempo de recorrência esperado, a fim de ser uma informação útil aos gestores da mineração, exportação e investidores.
2. Referencial teórico
A metodologia de Cadeias de Markov (MC, do inglês Markov Chains) pode ser aplicada em diversos cenários. Ching, Ng e Fung (2008), realizaram um estudo aplicando o modelo de Cadeias de Markov multivariada de ordem superior em uma empresa de refrigerantes da cidade de Hong Kong com o objetivo de prever a demanda de vendas e resolver o problema que a empresa estava enfrentando quanto aos estoques. Já Yang et al. (2011), utilizaram um modelo similar de primeira ordem para gerar uma série de dados do tempo que envolve radiação solar, ar temperatura de bulbo seco e umidade absoluta com objetivo de avaliar o desempenho de sistemas de energias renováveis em edifícios de Hong Kong.
Siltala e Granvik (2017), utilizaram as de Cadeias de Markov para estimar a massa de um asteroide, e tiveram como resultado da aplicação do algoritmo desenvolvido, estimativas de incertezas mais realistas, comparando com os outros cálculos realizados. Pasolini, Franco e Corso (2016), aplicaram as Cadeias de Markov para calcular a probabilidade da variação do preço do leite, e o resultado foi a variação entre 0 a 2% (aumento do preço) com tempo de recorrência de dois meses.
De acordo Ruhoff, Fantin-Cruz e Collischonn (2010) e Siltala e Granvik (2017) as cadeias de Markov assumem que o estado futuro do sistema depende apenas do seu estado presente e das possibilidades de transição, sendo independente da trajetória que o levou aquele estado. As probabilidades de transição são usualmente derivadas de amostras relativas a certo instante de tempo (PASOLINI, FRANCO, CORSO; 2015).
De acordo com Leotti (2007), a principal característica de uma cadeia de Markov é que, a cada tempo t ≥ 0, o próximo estado da cadeia, ., depende do passado somente através do estado atual . Isto pode é definido pela Equação (1).
(1)
4 Sobre o processo estocástico, Leotti (2007) afirma que é uma família de variáveis aleatórias
. A variável t é interpretada como tempo, quando , representa o estado do
processo no tempo t de um dado conjunto T que pode ser discreto ou contínuo. A probabilidade de que um processo passe do estado i ao estado j em ‘t’ passos é dado por , ou seja, são as probabilidades que o processo esteja no estado j no instante t, dado que estava no estado i no instante 0.
Moreira (2006) e Taha (2007) explicam que esta característica gera uma matriz de transição P de dimensão NxN, onde o somatório dos elementos de cada linha é igual a um. Na matriz da Equação 2, pode-se considerar como exemplo que , indica a probabilidade de o processo estar no estado 1, mas se transferir para o estado 2, ou seja, a matriz P resulta nas probabilidades de se estar em determinado estado para todas as condições ou estados iniciais possíveis (STAUDT, COELHO, GONÇALVES; 2011 E ANDERSEN, NILSEN, REINHARDT; 2017).
(2)
Ruhoff, Fantin-Cruz e Collischonn (2010), afirmam que os estados possíveis de acontecer são representados em matrizes de possibilidades de transição. Moreira (2006) e Taha (2007) destaca que o somatório das probabilidades da cadeia se encontrar em i ou j devem ser iguais, explicado pela equação . Staudt, Coelho e Gonçalves (2011), afirmam que para garantir que se chegou nas condições de regime estacionário, a cadeia deve ser ergódica, isso significa que ela descreve matematicamente um processo no qual é possível ir de um estado a outro qualquer.
Para Staudt, Coelho e Gonçalves (2011), a parte mais importante na montagem de uma cadeia de Markov são a definição dos estados do sistema, ou também chamados de blocos, e a construção da matriz de transição probabilística. Eles explicam que após decorrido um número elevado de períodos de tempo , a probabilidade do processo estar no estado j
5 é constante e independente do estado inicial i, ou seja, são as probabilidades estacionárias de absorção.
Hillier e Lierberman (2005) então apresentam a probabilidade de estado estável 𝜋j para uma cadeia ergódica de Markov na Equação 3 e sua propriedade na Equação 4.
, para j = 0, 1, 2, ..., M (3)
(4) Também é possível analisar o tempo esperado de recorrência, representado por , que é o número esperado de transições até que o processo retorne ao estado inicial 𝑖, apresentado na Equação 5.
(5)
3. Metodologia
Para atingir o objetivo deste estudo foram realizadas quatro etapas, onde cada uma define um procedimento desenvolvido estudo. As fases do trabalho estão listadas na Figura 1.
Figura 1 - Etapas da metodologia
Fonte: Elaborado pelos autores (2018)
6 Na primeira etapa é feito o levantamento de dados do histórico do preço médio do minério de ferro entre os meses decorrentes janeiro de 2008 a março de 2018. A base utilizada para coleta dos dados foi o site da IndexMundi, que apresenta cotações mundiais das commodities. A etapa 2 tem como premissa analisar os dados coletados no site. Nessa fase é realizada a análise da variação do preço médio do minério de ferro entre os meses subsequentes (Ex.:
entre março e abril, abril e maio). Para isso será utilizada a Equação 6.
(6) Onde é o preço do mês anterior e é o preço do mês atual.
Os resultados obtidos nesta etapa foram considerados como a base para a elaboração da matriz de transição, etapa 3 do estudo. Por último, na quarta etapa é feita a análise dos cenários do preço cotado do minério de ferro, onde também obtém-se o estado estável de cada uma das faixas de variação definida. Considera-se o sistema formado pelo conjunto de Equações 3 e 4, onde representa este termo. Para solução matemática deste conjunto de equações lineares, considera-se que uma das equações formadas pelo primeiro termo seja retirada, por ser redundante. A partir deste ponto pode-se calcular o tempo esperado de recorrência destas probabilidades.
4. Resultados e discussão
Nas seções seguintes apresentam-se o desenvolvimento de cada uma das etapas deste estudo de caso.
4.1. Coleta de dados das cotações do minério de ferro
Para este estudo foram coletados os preços das cotações do minério de ferro, de acordo com o endereço eletrônico do IndexMundi, que é referência mundial na informação de preços de commodities. O intervalo de tempo dos dados é mensal derivativos das principais Bolsas de Valores mundiais e são referentes a janeiro de 2008 a março de 2010. A unidade de medida é dólar americano por tonelada métrica seca de minério de ferro. Em Anexo encontram-se os preços analisados.
4.2. Análise dos dados
7 A primeira etapa da análise de dados, foi verificar a variação percentual entre os meses. Para isso foi utilizada a Equação 6. Exemplificando = 64,07 é o preço do mês de março do ano de 2009 e 59,78 é o preço do mês de abril desse mesmo ano, o resultando foi de - 6,70%, esse valor foi a variação do preço entre esses dois meses e o sinal negativo mostra a queda na cotação do minério de ferro no mês de abril. No total foram obtidas 122 variações de preços entre os meses de janeiro de 2008 a março 2018. Para mostrar a variação dos preços foi construído o gráfico mostrado na Figura 2.
Figura 2 - Variação do preço do minério de ferro
Fonte: Elaborado pelos autores (2018)
4.3. Construção da matriz de transição
Para poder calcular a matriz de transição, foi necessário definir intervalos para a variação percentual, conforme exibido na Tabela 1.
Tabela 1 - Intervalos das variações
Intervalos de variação
8
< -32%
-32% a -24%
-24% a -16%
-16% a -8%
-8% a 0%
0% a 8%
8% a 16%
16% a 24%
Fonte: Elaborado pelos autores (2018)
Na sequência, foi possível analisar a frequência e o percentual acumulativo que ocorriam as variações em cada um destes intervalos, apresentados na Figura 3. Assim, utilizando estas informações, foi possível calcular a matriz com as probabilidades de transição de Markov, analisando quantas vezes a variação do preço saiu do estado 𝑖 para o estado 𝑗. A matriz é apresentada na Figura 4.
Figura 3 - Histograma dos intervalos de variação do preço do minério de ferro
Fonte: Elaborado pelos autores (2018)
Figura 4 - Matriz de transição
9
Fonte: Elaborado pelos autores (2018)
4.4. Análise dos resultados
A análise de cenários necessita do cálculo do estado estável, conforme explicado na Equação 3 e 4. Então, as Equações 7 e 8 apresentam o estado estável para a variação do preço do minério de ferro.
(7)
(8)
Resultando no seguinte sistema de equações, exibido pelas Equações 9 a 17. = (9)
= (10)
= (11)
= (12)
= (13)
= (14)
= (15)
10
= (16)
1 = (17) É necessário eliminar uma das equações entre (9) a (17), por haver oito equações e sete incógnitas. Resolvendo o sistema de equações, obtem-se os resultados mostrados na Tabela 2, que representam a possibilidade de se encontrar nos determinados estados.
Tabela 2 – Probabilidade de estado estável
Intervalo Incógnita que
representa o intervalo Probabilidade encontrada
< -32% π0 0,0082 0,82%
-32% a -24% π1 0,0082 0,82%
-24% a -16% π2 0,0326 3,26%
-16% a -8% π3 0,1466 14,66%
-8% a 0% π4 0,2934 29,34%
0% a 8% π5 0,3130 31,30%
8% a 16% π6 0,1317 13,17%
16% a 24% π7 0,0663 6,63%
Fonte: Elaborado pelos autores (2018)
Com a Tabela 2, observa-se que a maior probabilidade é que o preço do minério de ferro varie de 0 a 8%, com uma probabilidade de 31,3%. Ainda, calculando com a Equação 5 apresentada anteriormente, é possível analisar o tempo de recorrência esperado para cada probabilidade de estado estável, conforme a Tabela 3.
Tabela 3 - Tempo de recorrência esperado
Intervalo Incógnita que representa o intervalo
Tempo de recorrência esperado
< -32% π0 µ0 = 122 meses
-32% a -24% π1 µ1 = 122 meses
-24% a -16% π2 µ2 = 31 meses
-16% a -8% π3 µ3 = 7 meses
-8% a 0% π4 µ4 = 3 meses
0% a 8% π5 µ5 = 3 meses
8% a 16% π6 µ6 = 8 meses
16% a 24% π7 µ7 = 15 meses
Fonte: Elaborado pelos autores (2018)
11 Com a Tabela 3, observa-se que, quando se está analisando uma variação de 0 a 8%, por exemplo, o tempo de recorrência esperado para esta variação é de 3 meses, ou seja, é aguardado que em 3 meses ocorra novamente um valor do minério de ferro que varie entre 0 a 8%.
5. Considerações finais
Este estudo aplicou Cadeias de Markov para analisar a variação do preço do minério de ferro, um mineral de grande importância para a exportação do país e para a produção mundial. As Cadeias de Markov, são um modelo estatístico de processos que pode ser utilizado em aplicações reais, fazem parte dos estudos de Pesquisa Operacional, que compõe a grade curricular do curso de Engenharia de Produção.
Os cálculos foram realizados utilizando o software Excel, devido a flexibilidade no trabalho dos dados. Utilizou-se dados do preço do minério de ferro mensal referentes a janeiro de 2008 a março de 2018. Foi observado na análise de cenários que a maior probabilidade de variação mensal do preço do minério de ferro é de 0 a 8%, e que essa variação provavelmente ocorrerá novamente em 3 meses.
Informações como esta podem ser vantajosas na produção das mineradoras e dos investidores no minério de ferro, pois a previsão da variação dos preços permite ajudar na tomada de decisão quanto a extração, compra e/ou venda da commodity. Ainda, este conceito estudado pode ser utilizado como ferramenta de auxílio no processo de planejamento das organizações, sejam do setor público ou iniciativa privada. Assim, este trabalhou apresentou um método para analisar o preço de commodities, podendo fornecer informações para as organizações e, consequentemente, podem ter um melhor direcionamento de seus esforços e investimentos quanto a comercialização do minério de ferro, pelo monitoramento de seus preços.
Por fim, cabe destacar que este artigo atingiu os objetivos satisfatoriamente, pois foi possível ter previsibilidade no preço mensal do minério de ferro, por proporcionar resultados que podem ser estudados de forma analítica. Como trabalhos futuros, sugere-se o uso de Cadeias de Markov para se analisar outras commodities, como carne bovina, suína e combustíveis.
REFERÊNCIAS
12
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<https://www.indexmundi.com/pt/pre%C3%A7os-de-mercado/?mercadoria=min%c3%a9rio-de- ferro&meses=360>. Acesso em 28 abr. 2018.
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ANEXO
Preços mensais utilizados para análise do minério de ferro
Ano Mês Preço
Minério Ano Mês Preço
Minério Ano Mês Preço
Minério Ano Mês Preço Minério
13
2008
1 193,37
2009
1 72,51
2010
1 125,72
2011
1 179,18
2 186,12 2 75,59 2 127,49 2 187,18
3 197,12 3 64,07 3 139,69 3 169,36
4 195,95 4 59,78 4 172,47 4 179,33
5 192,95 5 62,69 5 161,35 5 177,05
6 183,93 6 71,66 6 143,63 6 170,88
7 180,50 7 83,95 7 126,36 7 172,98
8 178,74 8 97,67 8 145,34 8 177,50
9 139,64 9 80,71 9 140,63 9 177,23
10 88,67 10 86,79 10 148,48 10 150,43
11 64,95 11 99,26 11 156,10 11 135,54
12 69,98 12 105,07 12 163,10 12 136,39
2012
1 140,26
2013
1 150,49
2014
1 128,12
2015
1 68,23
2 140,40 2 154,64 2 121,37 2 62,75
3 144,66 3 139,87 3 111,83 3 58,05
4 147,64 4 137,39 4 114,58 4 52,28
5 136,61 5 124,01 5 100,56 5 60,30
6 134,66 6 114,82 6 92,74 6 62,63
7 127,94 7 127,19 7 96,05 7 52,39
8 107,50 8 137,06 8 92,61 8 56,19
9 99,47 9 134,19 9 82,38 9 56,95
10 113,95 10 132,57 10 81,06 10 53,12
11 120,35 11 136,32 11 73,73 11 46,86
12 128,51 12 135,79 12 68,39 12 40,50
2016
1 41,88
2017
1 80,41
2018
1 76,34
2 46,83 2 89,44 2 77,46
3 56,20 3 87,65 3 70,35
4 60,92 4 70,22 4
5 55,13 5 62,43 5
6 51,98 6 57,48 6
7 57,26 7 67,74 7
8 60,89 8 76,07 8
9 57,79 9 71,53 9
10 59,09 10 61,66 10
11 73,10 11 64,24 11
12 80,02 12 72,25 12
Fonte: INDEXMUNDI, (2018)
