Notas de Curso Teoria dos Grupos
Nivaldo Medeiros Thiago Fassarella
Matemática UFF
fevereiro 2021
Sumário
Introdução v
1 Conceitos Básicos 1
1.1 Primeiras definições . . . 1
1.2 Subgrupos . . . 5
1.3 Classes laterais . . . 7
1.4 Subgrupos normais . . . 9
1.5 Produtos de subgrupos . . . 12
1.6 Homomorfismos . . . 13
1.7 O produto direto . . . 16
1.8 Grupos cíclicos . . . 17
1.9 Permutações . . . 19
1.9.1 Conjugações emSn . . . 25
1.10 O teorema da correspondência . . . 26
1.11 Automorfismos . . . 30
1.12 Exercícios . . . 31
2 Grupos de matrizes 41 2.1 Grupo linear . . . 41
2.2 Grupo ortogonal . . . 42
2.3 Grupo diedral . . . 46
2.4 Grupo afim . . . 47
2.5 Grupo de transformações de Möbius . . . 48
2.6 Grupos de matrizes sobre corpos finitos . . . 50
2.7 O produto semi-direto . . . 53
2.8 Exercícios . . . 60 iii
3.1 Ações de grupos . . . 65
3.2 A equação de classes de conjugação . . . 69
3.2.1 Grupos de ordem p2. . . 71
3.3 Os teoremas de Sylow . . . 72
3.3.1 Primeira aplicação . . . 76
3.3.2 Grupos de ordem pq. . . 78
3.3.3 Grupos de ordem pqr. . . 80
3.4 Classificação de grupos de ordem≤15 . . . 81
3.5 Algumas palavras sobre p-grupos . . . 86
3.6 Grupos abelianos finitos . . . 87
3.7 Exercícios . . . 88
4 Grupos simples e grupos solúveis 93 4.1 Grupos simples . . . 93
4.1.1 An é simples,n>4 . . . 93
4.1.2 Critério de Iwasawa . . . 97
4.1.3 PSL2(K)é simples,∣K∣ >3 . . . .100
4.1.4 Sobre a classificação de grupos simples finitos . . . .104
4.2 O teorema de Jordan-Hölder . . . 106
4.3 Grupos solúveis . . . 109
4.4 Exercícios . . . 112
Introdução
Este texto está em preparação. Destina-se a contemplar a ementa do novo curso de Teoria de Grupos do Bacharelado em Matemática da Universidade Fede- ral Fluminense.
Aqui você encontrará os elementos básicos da teoria dos grupos: teorema de Lagrange, subgrupos normais e quocientes, grupos simétricos, grupos de matri- zes, o produto semi-direto. Nossa abordagem para os teoremas de Sylow é via ação de grupos, que consideramos fundamental. Classificamos os grupos com or- dem≤15. E para terminar temos grupos solúveis, o Teorema de Jordan-Hölder e resultados sobre a simplicidade do grupo alternado An (n ≥5) e PSL2(K)(K um corpo com pelo menos 4 elementos).
É ainda uma versão bastante rudimentar. Sugestões e comentários são muito bem-vindos.
Nivaldo, Thiago Fevereiro, 2021.
v
Capítulo 1
Conceitos Básicos
1.1 Primeiras definições
Umgrupo Gé um conjunto com uma operação “⋅”, satisfazendo três proprie- dades:
1. Associatividade:
(a⋅b) ⋅c=a⋅ (b⋅c), para quaisquera,b,c∈G;
2. Elemento neutro: existe um elemento emG, denotado simplesmente por “1”, que satisfaz:
1⋅g=g⋅1=g, para todog∈G;
3. Inversos: dadog∈G, existeh∈Gtal que g⋅h=h⋅g=1.
O elemento neutro deGé único (verifique!). Dadog∈G, o inverso degé único (verifique!), e é denotado sugestivamente porg−1. Da associatividade, o elemento
gn ∶= g⋅g⋯g
´¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¶
(nvezes)
fica bem definido. Sen<0, tomamosgn ∶= (g−1)−n e, paran=0, g0 ∶=1, para todo g∈G. Com estas convenções,
gn⋅gm =gn+m para todosn,m∈Ze todog∈G. (1.1) 1
É também comum denotar o elemento neutro por “e” e, principalmente em textos introdutórios, a operação por “*”. Não seguiremos estas convenções aqui.
Exemplo 1.1.1. Alguns exemplos de grupos:
(1) Os números inteirosZ com a operação de soma; ou aindaQ,RouCtambém com a operação de soma.
(2) O anelZn das classes residuais módulon, com a operação de soma.
(3) O conjunto A∗dos elementos invertíveis de um anel(A,+,⋅), com a operação de produto do anel. Em particularQ∗,R∗ouC∗com a operação de multipli- cação. O elemento neutro é o ’1’.
(4) (O grupo linear). O conjunto GLn(K)das matrizes quadradas de ordem nin- vertíveis, com entradas em um corpoK(por exemplo,K =C,R,QouZpcom p um número primo), com o produto usual de matrizes. O elemento neu- tro é a matriz identidade. Esse é o grupo dos elementos invertíveis do anel (Mn(K),+,⋅)formado por todas as matrizes quadradas de ordem ncom ope- ração usual de soma e multiplicação de matrizes.
(5) O conjunto S1dos números complexosz com módulo∣z∣ =1, com a operação de produto.
(6) O conjunto GL(V) formado pelas transformações lineares invertíveis de um espaço vetorialV em si mesmo, com a operação de composição de funções. O elemento neutro é a função identidade.
(7) (Grupo das permutações) O conjunto PermCdas bijeções C → C, ondeC é um conjunto qualquer, com a operação de composição de funções. A notação para conjuntos finitos é especial:
Sn ∶=Perm{1, 2, . . . ,n}
é chamadogrupo simétrico. É comum usar a notação matricial para elementos deSn, por exemplo (1 2 3 43 4 1 2)indica a bijeçãoσ ∶ {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4}tal que σ(1) =3, σ(2) =4,σ(3) =1 eσ(4) =2.
1.1. PRIMEIRAS DEFINIÇÕES 3 (8) O conjunto das bijeções do plano em si mesmo que preservam distâncias, com a operação de composição, é o grupo dasisometriasdo plano. É um fato notá- vel que toda isometria do plano pode ser escrita como composição de transla- ções, rotações e reflexões. Veja [1, Capítulo 5].
(9) O conjunto das isometrias do plano que preservam X⊂R2, isto é, Sim(X) ∶= {σé isometria∣σ(X) =X}
é o grupo dassimetrias de X. ◻
Exemplo 1.1.2. (Grupos diedrais) O grupo de simetrias de um polígono regularP denlados é denominado ogrupo diedral Dn.
O grupo Dn possui exatamente 2nelementos: ndeles são rotações de ângulos 2kπ/n (k = 0, . . . ,n−1) em torno do baricentroo de P; os outros nelementos são as reflexões com respeito aos n eixosdo polígono: são as retas que ligam o aos vértices e pontos médios dos lados de P(note que há 2ndesses pontos). O grupo diedral volta na Seção2.3.
SejaρθeRLas isometriasR2→R2dadas pela rotação de um ânguloθem torno da origem no sentido anti-horário e a reflexão sobre uma retaL, respectivamente.
Figura 1.1: Eixos de polígonos regulares
● n=3: O grupo diedralD3é o grupo de simetrias de um triângulo equilátero.
Escrevendoρ=ρ2π/3eRipara a reflexão sobre os eixos passando pelo vértice iparai=1, 2, 3, temos:
D3= {1,ρ,ρ2,R1,R2,R3}. Note queρ2=ρ○ρ=ρ4π/3.
● n = 4: Já o grupo diedral D4 é o grupo de simetrias de um quadrado. De- notando ρ =ρπ/2e por Rd,Re,Rv eRh as reflexões sobre os eixos/, /,∣ e —, respectivamente, temos:
D4= {1,ρ,ρ2,ρ3,Rd,Re,Rv,Rh}. Note queρ2=ρπ/2eρ3=ρ3π/2.
◻ Exemplo 1.1.3. (O grupo dos quatérnios) Este é um exemplo importante e surge em diversos contextos, tendo relevância na Física e na Geometria.
O conjuntoQ = {±1,±i,±j,±k} de 8 elementos com a operação multiplicativa definida pelas relações
i2=j2=k2=i⋅j⋅k= −1
forma um grupo, conhecido como o grupo dosquatérnios. Estas relações são sufi- cientes para deduzir todos os produtos possíveis no grupo: como exercício, veri- fique que valem os produtos
i⋅j=k, j⋅i= −k j⋅k=i, k⋅j= −i k⋅i=j, i⋅k= −j
que correspondem a acompanhar a figura à direita no sentido indicado pelas setas, trocando o sinal quando mudarmos a ordem no produto.
No Exercício 1.40 veremos como construir concretamente este grupo usando
matrizes. ◻
Assim, em cada uma dessas situações, temos um conjunto com uma operação que satisfaz as três propriedades exigidas para um grupo. É comum usar o sím- bolo “⋅” para a operação do grupo. Porém muitas vezes escrevemos apenasgh no lugar deg⋅hquando não há risco de confusão sobre a operação envolvida. Note a abordagem abstrata que desenvolvemos. Qualquer teorema ou conceito que apre- sentarmos, se não impusermos restrições, se aplica a qualquer um dos exemplos apresentados.
1.2. SUBGRUPOS 5 É tradicional utilizar uma notação especial para o caso dos grupos nos quais a operação écomutativa, isto égh = hgpara quaisquerg,h. Tais grupos são chama- dosabelianos, ouaditivos. A simbologia com respeito à operação é convencionada assim: trocamos “⋅” por “+”, g−1 por−g; o elemento neutro é denotado por 0; e, finalmente, substituímos gn porng. No Exemplo1.1.1, os grupos em (a), (b) e (d) são abelianos. Já os grupos diedrais e os quatérnios não são abelianos.
A ordem de um grupo G é simplesmente a sua cardinalidade e a denotamos por ∣G∣. Por exemplo, os grupos Sn e Zn são finitos, e suas ordens são n! e n, respectivamente.
1.2 Subgrupos
Dado um grupoG, um subconjunto H ⊂G é umsubgrupodeGse é não-vazio e se é fechado com respeito a inversos e produtos de seus elementos, isto é, se
h−1∈H e h⋅h′∈H para todoh,h′∈H.
Em particular, 1 ∈ H. Quando H é um subgrupo de G escrevemos H < G. Note que, herdando o produto deG, o subgrupoH é também um grupo.
Exemplo 1.2.1.
(1) Para qualquer grupo G, os subconjuntos {1}e G são subgrupos, apelidados subgrupos triviais.
(2) Zé um subgrupo do grupo aditivoQ;
(3) S1é um subgrupo do grupo multiplicativoC∗; (4) Ogrupo linear especial
SLn(R) = {A∈GLn(R) ∣detA=1}
formado pelas matrizes de determinante 1, é um subgrupo de GLn(R); (5) Ogrupo das matrizes ortogonais
On(R) = {A∈GLn(R) ∣ At =A−1}
é um subgrupo de GLn(R). O grupo ortogonal estará de volta na Seção2.2.
(6) Znnão éum subgrupo aditivo deZ.
(7) As translações e as rotações (em torno de um centro fixado) são subgrupos das isometrias do plano. Já o conjunto das reflexões não: a composição de duas reflexões com respeito a retas distintas não é uma reflexão, já que a composta de duas reflexões preserva orientação.
Dado um subconjuntoS de um grupo G, definimos o subgrupo gerado por S, denotado por⟨S⟩, como o menor subgrupo deGque contémS. Formalmente:⟨S⟩ é, por definição, a interseção de todos os subgrupos deGque contémS.
De maneira equivalente, quandoS é não-vazio, o subgrupo gerado porS é o conjunto de todos os produtos finitos de elementos deSou seus inversos:
⟨S⟩ = {s1s2⋯sn ∣n∈N, si∈S∪S−1}.
No caso particular em queS= {g}é um conjunto unitário, temos
⟨{g}⟩ = {gn ∣n∈Z}
que denotamos simplesmente por ⟨g⟩. Pode acontecer que este subgrupo seja finito, uma vez que pode ocorrergi=gjmesmo quei≠j.
A ordemde g, denotada o(g), é definida como o menor inteiro positivo n tal que gn =1, caso tal inteiro exista; caso contrário, definimos o(g) ∶= ∞. É um fato básico que este número coincide com a cardinalidade de⟨g⟩, como provaremos a seguir.
Proposição 1.2.2. o(g) = ∣⟨g⟩∣.
Demonstração. Suponha que gtem ordem finitan. Dado um inteiroa, perfazemos a divisão euclidiana porn, obtendoa=qn+rcom 0≤r≤n−1. Daíga= (gn)q⋅gr= gr, donde concluímos
⟨g⟩ = {1,g,g2, . . . ,gn−1}.
Caso a ordem seja infinita, entãogi ≠gjsempre quei≠j: caso contrário (digamos j>i), tem-segj−i=1, contradição. Logo⟨g⟩é infinito neste caso.
Exemplo 1.2.3.
1.3. CLASSES LATERAIS 7 (1) É claro que seGé um grupo finito, então todo elemento deGtem ordem finita.
A recíproca não vale: todo elemento do grupo infinito Z2×Z2×Z2× ⋯
possui ordem 2 (veja seção1.7).
(2) Todo inteiro não nulo possui ordem infinita emZ.
(3) O grupo multiplicativo GL2(R) das matrizes 2×2 invertíveis com entradas reais é infinito; entretanto, toda matriz idempotente, isto é, as matrizes Apara as quais existe n tal que An = I, possui ordem finita (você pode encontrar alguma?).
(4) Pode ocorrer que g e h possuam ordem finita mas gh seja um elemento de ordem infinita! Procure por exemplos no grupo GL2(R)do item anterior.
(5) No grupo Q dos quatérnios: o(1) = 1,o(−1) = 2 e todos os outros elementos tem ordem 4.
1.3 Classes laterais
A operação de um grupoG diz respeito a seus elementos. Mas naturalmente podemos estendê-la para subconjuntos: dados A,B⊆G, definimos
AB= {a⋅b∣a∈A, b∈B} e A−1= {a−1∣a∈A}. Note que
A(BC) = (AB)C e (AB)−1=B−1A−1
uma vez que estas propriedades são válidas para elementos. Quando um dos conjuntos é unitário, abreviamos {a}B por aB. Produtos de conjuntos são muito úteis e serão utilizados frequentemente a seguir.
Seja Hum subgrupo de um grupo G. Associamos a H duas relações de equi- valência. A primeira delas:
x∼e y se xH =yH,
para x,y ∈ G. Assim, x ∼e y se e somente se x ∈ yH ou ainda se e somente se y−1x ∈ H. O conjunto dos elementos que são equivalentes ax é portanto xH, e é denominado a classe lateral à esquerdade x. A segunda relação de equivalência é definida por
x∼dy se Hx=Hy.
Analogamente, o conjunto dos elementos equivalentes axsob esta relação éHx, e é chamadoclasse lateral à direita de x. Com frequência mencionamos apenas “classe lateral”, omitindo “à esquerda” ou “à direita” sempre que o contexto o permitir.
Em geral, as classes laterais à esquerda e à direita de um elemento g ∈ G não coincidem. Por exemplo, tome H como sendo o subgrupo gerado por uma refle- xão qualquer em D3 e considere as classes laterais de uma rotação r ≠ 1; então rH ≠ Hr. SeGé abeliano, entãogH =Hg para todo subgrupo He todo elemento x∈G(porém esta propriedade não caracteriza um grupo abeliano; veja o exemplo dos quatérnios). Portanto, os conjuntos quocientes
G/∼e∶= {classes laterais à esquerda deHem G} e
G/∼d∶= {classes laterais à direita de HemG} não coincidem em geral. Ainda assim, a aplicação
xH↦Hx−1
está bem definida e define uma bijeção entre estes dois conjuntos. Isto nos permite definir oíndice de H em G, que denotamos por(G∶H), como sendo o número (ou, melhor, a cardinalidade) de classes laterais à esquerda (ou à direita, tanto faz). O índice de um subgrupo pode ser finito ou infinito.
Por outro lado, dadog∈G, a aplicação H → gH
h ↦ gh
define uma bijeção; consequentemente, todas as classes laterais possuem a mesma cardinalidade, igual a ordem de H. Veja a figura1.2. Como Gé a união disjunta de suas(G ∶ H)classes laterais (à esquerda, digamos), fica demonstrado então o teorema a seguir.
1.4. SUBGRUPOS NORMAIS 9
Figura 1.2: As classes laterais tem o mesmo tamanho, isto é,∣H∣ = ∣aH∣ = ⋯. Aqui o índice é(G∶H) =4.
Teorema 1.3.1. Seja G um grupo finito. Então
∣G∣ = ∣H∣ (G∶H).
Corolário 1.3.2. (Lagrange) Se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, então a ordem de H divide a ordem de G. Em particular, o(g)divide∣G∣para todo g∈G.
O corolário acima foi provado por Lagrange quando G é um grupo simétri- co. Foi Jordan quem, percebendo na prova de Lagrange os elementos essenciais, provou o Teorema1.3.1.
Como ilustração, em um grupo de ordem 20 podemos ter subgrupos apenas de ordens 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Nada nos garante que existam subgrupos com cada uma dessas ordens. De fato a recíproca do Teorema de Lagrange não vale! Por exemplo, o grupoA4de permutações pares tem ordem 12 mas não possui nenhum subgrupo de ordem 6 (veja o Exemplo1.9.7).
1.4 Subgrupos normais
Seja Hum subgrupo de um grupo G. É relativamente rara a situação em que as classes laterais à esquerda e à direita de H em Gcoincidam. Os casos em isto acontece são importantes e os estudamos agora.
Dizemos que o subgrupo H é normal em G, o que indicamos por H ⊲ G, se, para todo elemento de G, suas classes laterais à esquerda e à direita coincidem;
mais precisamente, se Hg=gH para todog∈G.
Este conceito pode ser reformulado de outras maneiras.
Proposição 1.4.1. São equivalentes:
(a) H é normal em G, isto é, gH=Hg para todo g∈G;
(b) gHg−1=H, para todo g∈G;
(c) gHg−1⊆H, para todo g∈G.
Demonstração. É imediato que (a) é equivalente a (b) e que (b) Ô⇒ (c). Mostremos então que (c) Ô⇒ (b): seja g um elemento de G. Aplicando (c) para g−1 no lugar de g, obtemosg−1Hg ⊆ He daí segue H ⊆ gHg−1. A outra inclusão decorre diretamente de (c) e portanto vale a igualdade em (b).
Na proposição acima, a formulação mais útil sem dúvida é a do item (c); nos diz que um subgrupo é normal se e somente se é fechado por conjugações. Em termos ainda mais explícitos: H é normal em G se e somente se ghg−1 ∈ H para todo g∈G,h∈H.
Uma pergunta que surge naturalmente é se o conjunto de classes lateraisG/∼e é um grupo, para isso precisamos definir uma operação “⋅” entre duas classes laterais qualquer xH eyH, e como você já deve ter percebido uma forma natural de definir essa operação seria
(xH) ⋅ (yH) ∶=xyH.
Mas a vida não é tão simples: essa operação nem sempre está bem definida pois o resultado do lado direito pode depender dos representantes xe yescolhidos, ou seja, mesmo que aH =xH ebH =yHpode acontecer abH ≠ xyH. Porém quando H é um subgrupo normal de G, o resultado independe dos representantes e a operação está bem definida, como veremos agora. Seja H um subgrupo normal de um grupoG. Então os conjuntos quocientesG/∼e eG/∼dsão iguais; denotemo- los por G/H. Se xH e yH são classes laterais, então temos as igualdades (como conjuntos)
(xH)(yH) = (xH)(Hy) =x(HH)y=x(Hy) =xyH (1.2)
1.4. SUBGRUPOS NORMAIS 11
Figura 1.3: ComoHé normal em G, o produto de classes está bem definido.
dado queHé normal emGe tendo em vista o Exercício1.16. Isto nos leva adefinir uma operação emG/H, a saber,
(xH) ⋅ (yH) ∶= (xy)H. (1.3) Por (1.2) esta operação está bem definida, i.e., independe dos representantesxey escolhidos. Veja a figura1.3.
A operação em (1.3) faz do conjuntoG/Hum grupo. Com efeito, esta operação herda a associatividade do grupo G; o elemento neutro é a classe 1H = H; e o inverso da classe xH é a classe x−1H. O grupo (G/H,⋅) é denominado o grupo quocientedeGporH.
Exemplo 1.4.2. Dado um grupoG, ocentrodeG, denotado porZ(G), é o conjunto dos elementos deGque comutam com todos os outros, ou seja,
Z(G) = {x∈G∣gx=xg, para todo g∈G}.
O centro deGé sempre um subgrupo normal. Note queGé abeliano se e somente
seG=Z(G). ◻
Exemplo 1.4.3. Osubgrupo dos comutadoresdeGé definido por G′ = [G,G] ∶= ⟨{x−1y−1xy∣x,y∈G}⟩
ou seja,G′ é o menor subgrupo deGque contém todos os comutadores [x,y] ∶=x−1y−1xy.
Este é um subgrupo normal deGe, além disso, o quocienteG/G′ é abeliano. Veja o Exercício1.31. Note queGé abeliano se e somente seG′= {1}. ◻ Exemplo 1.4.4(Centralizador e normalizador). Dado um subgrupo H deGdefi- nimos ocentralizadordeHem Gpor
CG(H) = {g∈G∣gh=hg, para todoh∈H}. Quando H= ⟨x⟩, dizemos que
CG(x) =CG(⟨x⟩) = {g∈G∣gx=xg}.
é ocentralizador de x em G. OnormalizadordeHemGé definido por NG(H) = {g∈G∣gHg−1=H}.
Claramente temos:
1. CG(H) <NG(H) <G;
2. H⊲NG(H)eNG(H)é o maior subgrupo deGcom essa propriedade (Exer- cício1.30).
Além disso vale
CG(H) ⊲NG(H) veja o Exercício1.62.
1.5 Produtos de subgrupos
SejamA,B, subgrupos de um grupoG. Perguntamos: o produto AB= {ab∣a∈A,b∈B}
é um subgrupo de G? Em geral, a resposta é não (busque um contra-exemplo em S3: tome duas transposições distintas). Ainda assim, podemos determinar a ordem doconjunto AB:
1.6. HOMOMORFISMOS 13 Proposição 1.5.1. Sejam A,B subgrupos finitos de um grupo G. Então
∣AB∣ = ∣A∣ ∣B∣
∣A∩B∣. (1.4)
Demonstração: Considere a função A×B→ ABdada por(a,b) ↦ab. Dadosa ∈ A eb ∈ B, tudo que precisamos fazer é mostrar que a imagem inversa de abpossui exatamente∣A∩B∣elementos, pois segue daí que
∣A×B∣ = ∣A∩B∣ ∣AB∣.
Para tal fim, escrevemos A∩B= {g1, . . . ,gn}e definimosai=agiebi=g−1i b. Então aibi =ab, para cada i. Por outro lado, se x ∈ A ey ∈ Bsão tais que xy= ab, então a−1x=by−1∈A∩Be logox=ai ey=bipara algumi.
Felizmente não é difícil caracterizar as situações em que o produto de subgru- pos ainda é um subgrupo.
Proposição 1.5.2. AB é um subgrupo de G se e somente se AB=BA.
Demonstração: Suponha que ABé um subgrupo deG. Então, pelo Exercício1.16, BA= (A−1B−1)−1= (AB)−1=AB
como desejado. Reciprocamente, se AB=BA, então
(AB)(AB) =A(BA)B=A(AB)B= (AA)(BB) =AB e (AB)−1=B−1A−1=BA=AB
e daí decorre ABé um subgrupo, mais uma vez pelo Exercício1.16.
1.6 Homomorfismos
Uma aplicação f∶G→Hentre dois grupos é umhomomorfismose f(x⋅y) = f(x) ⋅ f(y) ∀x,y∈G.
Note que o produto do lado esquerdo é feito emG, enquanto o do lado direito é realizado em H.
Decorre da definição que
f(1G) =1H e f(x−1) = f(x)−1.
Sejam A e B subconjuntos de G e H, respectivamente. A imagem de A por f é definida da maneira usual
f(A) = {f(g) ∣g∈G}
Em contrapartida, a imagem inversadeBpor f é o subconjunto dos elementos de Gque são levados emB:
f−1(B) = {g∈G∣ f(g) ∈B}.
Proposição 1.6.1. Se A e B são subgrupos de G e H, então f(A)é um subgrupo de H e f−1(B)é um subgrupo de G.
Demonstração: Dados x,y em f(A), tome a,b em A tais que x = f(a) e y = f(b). Então xy = f(a)f(b) = f(ab) e x−1 = f(a)−1 = f(a−1). Como A é um subgrupo, temosabea−1em Ae logoxyex−1estão em f(A).
Tome agoraa,bem f−1(B)e sejamx= f(a),y= f(b), que estão no subgrupoB.
Logo xy= f(ab)ex−1 = f(a−1)estão em B, donde concluímos que abe a−1 estão f−1(B), o que termina a prova.
Umisomorfismo é, por definição, um homomorfismo bijetor. Um fato impor- tante é que função inversa f−1 de um isomorfismo f é também um homomor- fismo. Veja o Exercício1.36.
Observe que um homomorfismo injetor induz um isomorfismo deGsobre sua imagem f(G). Por este motivo, um homomorfismo injetor é por vezes chamado ummergulho.
Como usual, o núcleo N de um homomorfismo f∶G → H é definido como o conjunto dos elementos deGque são levados no elemento neutro deH, ou seja,
n ´ucleof = {g∈G∣ f(g) =1H}.
Também é comum denotar por ker(f)para o núcleo de f, sigla que vem do inglês kernel. O núcleo de um homomorfismo é um subgrupo de G. Mais ainda, se n pertence ao núcleo de f eg∈Gé arbitrário,
f(gng−1) = f(g)f(n)f(g−1) = f(gg−1) =1H
1.6. HOMOMORFISMOS 15 ou seja,gNg−1⊆N. Portanto, o núcleo é um subgrupo normal deG.
E vale a recíproca: todo subgrupo normal é de fato o núcleo de algum homo- morfismo: dado N normal emG, temos aprojeção canônicaπ∶G →G/N, dada por g↦gN, um homomorfismo sobrejetor cujo núcleo é exatamenteN.
Dois elementosx,yem Gdefinem a mesma classe lateral com respeito ao nú- cleo se e só se possuem a mesma imagem pelo homomorfismo f:
xN=yN ⇐⇒ y−1x∈N ⇐⇒ f(x) = f(y).
Temos portanto uma aplicação induzida do grupo quociente G/N no grupo H, xN↦ f(x), que analisamos a seguir.
Teorema 1.6.2(Teorema dos Homomorfismos). Seja f∶G→H um homomorfismo de grupos, N o seu núcleo. Então a aplicação
ϕ∶G/N → H xN ↦ f(x)
é um homomorfismo injetor. Em particular, os grupos G/N e f(G)são isomorfos.
Demonstração: Temos
ϕ(xN⋅yN) =ϕ(xyN) = f(xy) = f(x)f(y) = ϕ(xN) ⋅ϕ(yN)
e logo a aplicação é realmente um homomorfismo. Se ϕ(xN) =ϕ(yN), então 1H =ϕ(xN)ϕ(yN)−1=ϕ((xN)(yN)−1) =ϕ(xy−1N) = f(xy−1)
e logo xy−1 ∈ N, isto é, xN = yN, mostrando a injetividade e terminando a de- monstração.
Exemplo 1.6.3. O teorema dos homomorfismos é uma ferramenta eficaz para des- crever quocientes de grupos em termos de isomorfismos. Na prática, para mostrar queA/B≅C, tudo o que você necessita é um homomorfismo sobrejetorA→Ccujo núcleo seja exatamenteB. Vejamos alguns exemplos.
(1) O núcleo do homomorfismoR →S1 dado port ↦e2πité exatamente o grupo dos inteirosZ. Como esta aplicação é sobrejetora, segue do Teorema1.6.2que R/Z ≅ S1. Da mesma forma, mostra-se que o quociente R2/Z2 é isomorfo ao toroS1×S1.
(2) O determinante det∶GLn(R) →R∗é um homomorfismo sobrejetor, cujo núcleo é SLn(R), as matrizes de determinante 1. Assim, vale que
GLn(R)/SLn(R) ≅R∗.
(3) Suponha queHeNsão subgrupos deG, e queNé normal. EntãoHN é ainda um subgrupo deG. Por outro lado, a aplicaçãoH →HN/Ndada porh↦hN é um homomorfismo sobrejetor, cujo núcleo é H∩N. Segue daí que
H
H∩N ≅ HN N (compare com a Proposição1.5.1).
1.7 O produto direto
A maneira mais simples de construir um grupo a partir de dois gruposGeHé através do produto direto: como conjunto, consiste do produto cartesiano G×H.
O produto é feito coordenada a coordenada:
(g1,h1) ⋅ (g2,h2) ∶= (g1g2,h1h2)
com g1,g2 ∈ G, h1,h2 ∈ H. O elemento neutro é (1G, 1H). O inverso de (g,h) é (g−1,h−1). Nessa construção, observe que, identificando G = G× {1H} e H = {1G} ×H, temos
G⊲G×H, H⊲G×H, G∩H= {1} e GH =G×H.
O produto direto de uma família finita de gruposG1,G2, . . . ,Gk é definido de maneira análoga.
O produto direto de uma família infinita{Gλ}λ∈Λé definido como sendo o sub- conjunto dos elementos(gλ) ∈ ∏λ∈ΛGλ tais que gλ ≠1 somente para um número finito de índicesλ.
Em Álgebra Linear há uma situação parecida: seU eVsão subespaços vetori- ais de um espaço W tais queU+V =W eU∩V = {0}, entãoW =U⊕V, ou seja, é a soma direta dos subespaços. Em particular, cada vetor de W se escreve, de maneira única, como soma de vetores deUeV.
Vale algo similar para grupos, desde que seja acrescida, naturalmente, a hipó- tese de que os subgrupos envolvidos sejam normais.
1.8. GRUPOS CÍCLICOS 17 Proposição 1.7.1. Sejam A,B subgrupos normais de um grupo G, tais que AB = G e A∩B= {1}. Então ϕ∶A×B→G dada por(a,b) ↦ab é um isomorfismo. Em particular, todo elemento de G se escreve, de maneira única, como produto de elementos de A e B.
Demonstração: Para começar, note que se a ∈ A e b ∈ B, então ab = ba. Para isto, basta mostrar que aba−1b−1 ∈ A∩B = {1}, o que de fato ocorre: por um lado, aba−1∈Buma vez queBé normal; por outroba−1b−1∈A, pois Aé normal.
Agora, como a aplicação do enunciado é sobrejetora, basta mostrar que se trata de um homomorfismo injetor. Sex= (a,b)ey= (a′,b′), então
ϕ(xy) = ϕ(aa′,bb′) =aa′bb′=aba′b=ϕ(x)ϕ(y)
onde vale a penúltima igualdade vale pois mostramos que os elementos de AeB comutam entre si. Finalmente:
1=ϕ((a,b)) =ab Ô⇒ a=b−1 Ô⇒ a,b∈A∩B= {1} e portanto o núcleo é trivial, ou seja, a aplicação é injetora.
Nas condições da proposição, dizemos queGé oproduto direto internodos sub- grupos, o que fica indicado porG=A⊙B.
Há uma generalização importante desta construção para o caso em que apenas um dos subgrupos é normal. Veja a Seção2.7sobre o produto semi-direto.
1.8 Grupos cíclicos
Um grupo G é dito cíclico se G é gerado por um único elemento, isto é, se existeg∈Gtal queG= ⟨g⟩ = {gn ∣n∈Z}. Em virtude de (1.1), todo grupo cíclico é abeliano. A recíproca não vale: o exemplo mais simples éZ2×Z2.
Exemplo 1.8.1.
(1) O grupo aditivo dos números inteiros é um grupo cíclico infinito. De fato,Zé gerado por 1 ou por−1 e estes são seus únicos geradores.
(2) Para cada n >0, Zn é um grupo cíclico de ordemn, gerado por exemplo por
¯1. De forma geral, mostraremos no lema seguinte é queZn = ⟨k¯⟩se e somente
se mdc(k,n) =1. LogoZn possuiφ(n)geradores distintos, onde φ∶N →Né a função de Euler:
φ(n) =#{a∈ {1, . . . ,n} ∣mdc(a,n) =1}. Por exemplo,φ(4) =φ(6) =2; eφ(5) =4, etc.
Lema 1.8.2. Seja n um inteiro positivo. As seguintes afirmações são equivalentes.
(a) Zn= ⟨k⟩; (b) mdc(k,n) =1;
(c) k∈Z∗n.
Demonstração. Primeiramente, observe que k geraZn se, e somente se, podemos escrever 1 como 1 = ak, a ∈ Z. Portanto é imediato que (a) é equivalente a (c).
Agora, 1 = ak para algum a ∈ Z se, e somente se, existem a e b inteiros tais que ak+bn=1, que equivale a dizer que mdc(k,n) =1. Com isto concluímos que (a) é equivalente a (b).
Os exemplos em1.8.1compreendem, a menos de isomorfismos, todos os gru- pos cíclicos, como vemos na proposição a seguir.
Proposição 1.8.3. Seja G um grupo cíclico, digamos G= ⟨g⟩. Então:
(a) A aplicaçãoZ→G dada por k↦gké um homomorfismo sobrejetor.
(b) Se G é infinito, então G≅Z; se G é finito, então G≅Zn, onde n= ∣G∣.
(c) Todo subgrupo de G é cíclico. Se G é finito de ordem n e A <G tem ordem m, então A= ⟨gn/m⟩.
(d) Se G é finito de ordem n e m∣n, então existe um único subgrupo de G com ordem m.
Demonstração: (a) e (b): Sendo um subgrupo de Z, o núcleo da aplicação acima é da forma nZ, para algum n ≥ 0. Daí, pelo teorema dos homomorfismos, temos G ≅Z/nZ =Zn. Se n =0, então G ≅Z; sen > 0, entãoG é isomorfo ao grupo de resíduos módulon.
1.9. PERMUTAÇÕES 19 (c): Se Gé infinito, então G≅Z e logo A ≅kZ para algum inteirok≥0. Suponha que Gé finito. Sejad o menor inteiro positivo tal quegd ∈ A. Sejaa∈ A, digamos a=gk. Então existem únicosq,r∈Ztais que
k=qd+r, com 0≤r<d.
Logogr =gk−qd é um elemento deA. Segue-se quer=0, pela escolha ded. Assim, A= ⟨gd⟩. Em particular, se∣A∣ =m, entãod=n/m.
(d): O subgrupo ⟨gn/m⟩ possui ordem me, pelo item (c), é o único com esta pro- priedade.
Recorde que aordemde um elementogé a cardinalidade do subgrupo gerado porg. Em particular, se Gé finito, entãoo(g)divide∣G∣e portantog∣G∣=1. Segue desta observação o bem conhecido:
Teorema 1.8.4. (Euler)Seja n>0um inteiro. Semdc(a,n) =1, então aφ(n)≡1 (modn).
Demonstração: O resultado segue simplesmente do fato de que o grupo multipli- cativo(Zn)∗possui ordemφ(n).
Como um caso particular do teorema de Euler, temos o popular
Corolário 1.8.5. (Pequeno Teorema de Fermat)Se p é um primo e p∤a, então ap−1≡1 (mod p).
1.9 Permutações
Recorde que PermA= {bijeçõesA→A}é o grupo de permutações de um con- junto A. A operação é a composição de funções. De fato, muitas vezes o conjunto Aem si não interessa muito, apenas sua cardinalidade: se Bé um outro conjunto e existe uma bijeção entre A e B, então PermA e PermB são isomorfos. Se A é finito comnelementos, então na maioria das vezes consideramos A= {1, 2, . . . ,n}
e abreviamos PermAporSn.
Seja G um grupo. Uma maneira de definir uma ação de G em si mesmo é através das translações: dado g ∈ G, definimos τg∶G → G porτg(x) = gx (x ∈ G).
Vem da existência de inversos que esta aplicação é injetora e sobrejetora, mesmo seGfor infinito (verifique!).
Assim, a cada elemento de Gfica associada uma bijeção, isto é, um elemento do grupo PermG. Dessa observação segue um resultado famoso de Cayley, que mostra quão importantes são os grupos simétricos.
Teorema 1.9.1(Cayley). A aplicaçãoτ∶G →PermG dada por g ↦τg é um homomor- fismo injetor. Como consequência, todo grupo finito de ordem n é isomorfo a um subgrupo de Sn.
Demonstração: Se g,h,x∈G, então
τgh(x) = (gh)x=g(hx) =τg(τh(x)),
isto é, τgh =τg○τh, e portantoτ é um homomorfismo, que é injetor. LogoGe sua imagemτ(G)são isomorfos e este último é um subgrupo de PermG.
Seja σ ∈ Sn uma permutação, ou seja, uma bijeção {1, 2, . . . ,n} → {1, 2, . . . ,n}. Como descrevê-la? Uma maneira simples, porém de escrita longa, é arranjar o domínio e imagem em linhas, fazendo corresponder em uma mesma coluna um elemento e sua imagem:
( 1 2 ⋯ n
σ(1) σ(2) ⋯ σ(n)).
Entretanto certos tipos de permutações podem ser descritas de maneira mais efi- ciente. Sejamj1,j2, . . . ,jr números distintos. Denotamos por
(j1j2⋯jr)
a permutação que leva ji em ji+1 para i < r, leva jr em j1 e fixa todo elemento diferente dos ji’s. Uma tal permutação é chamada umr-cicloou umciclo de com- primento r. Por exemplo,
(1 5 2 6) = (1 2 3 4 5 6 5 6 3 4 2 1) é um 4-ciclo emS6.
1.9. PERMUTAÇÕES 21 Um mesmo r-ciclo pode ser representado de várias formas diferentes. Por exemplo, (5 2 6 1), (2 6 1 5) e (6 1 5 2) representam exatamente o mesmo 4-ciclo acima. De fato, umr-ciclo pode ser representado exatamente de r maneiras dis- tintas. Nem toda permutação é um ciclo:(1 2 3 43 4 1 2)é um exemplo.
Umr-ciclo possui ordem r, mas a recíproca não vale. Todavia, se p é primo, uma permutação de ordem pemSpé ump-ciclo.
Dois ciclos (j1⋯jr) e (k1⋯ks)são ditos disjuntos se os conjuntos dos ji’s e ki’s são disjuntos. Ciclos disjuntos permutam entre si.
Teorema 1.9.2. Toda permutação pode ser escrita como um produto de ciclos disjuntos.
Tal escrita é única, a menos da ordem na qual os ciclos aparecem.
A prova do teorema se faz por indução. É mais útil fazer um exemplo e mostrar como funciona.
Exemplo 1.9.3. Tome σ = (1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 4 1 2 9 3 7 5 8) ∈ S9. Para a decomposição, acompa- nhamos aplicações sucessivas da permutação ao número 1: 1 ↦6 ↦3 ↦1 o que
“fecha” um ciclo. Tome agora um número que não apareceu, digamos 5. Então 5↦9↦8↦5, fechando outro ciclo. Tomamos um número que ainda não surgiu e repetimos: 2↦4 ↦2. Finalmente, falta apenas o número 7, que é levado em si mesmo 7↦7 e portanto podemos ignorar. Assim
σ= (1 6 3)(5 9 8)(2 4)
é a decomposição em ciclos disjuntos. ◻
Em outras palavras, toda permutação se fatora como um produto de ciclos; em uma analogia, os ciclos desempenham o mesmo papel que os números primos na aritmética dos inteiros.
Os ciclos mais simples depois da identidade são os 2-ciclos e estes são chama- dos de transposições. Um r-ciclo qualquer se escreve como um produto de r−1 transposições: de fato,
(j1j2⋯jr) = (j1j2)(j2j3)⋯(jr−1jr). (1.5) Por exemplo, (6 1 3 7) = (6 1)(1 3)(3 7). Como toda permutação é um produto de ciclos, segue-se que
Toda permutação é um produto de transposições.
Na escrita como produto de transposições, não há unicidade; Por exemplo, o 4- ciclo acima também admite as expressões
(6 1 3 7) = (7 6)(6 1)(1 3) = (2 3)(7 6)(6 1)(1 2)(2 3).
Entretanto a paridadedo número de transposições que aparecem em uma tal de- composição está bem definida, como veremos adiante.
Osinalde uma permutaçãoσ∈Sn é definido por sinal(σ) = ∏
1≤i<j≤n
σ(j) −σ(i)
j−i (1.6)
onde o produto percorre todos os(n2)pares(i,j) ∈I×Icomi<j, paraI = {1, 2, . . . ,n}. Uma permutação é ditaparse seu sinal é positivo eímparcaso contrário. Veja- mos alguns exemplos.
Exemplo 1.9.4.
(1) O 3-cicloσ= (1 2 3) ∈S3é uma permutação par:
sinal(σ) =3−2 2−1⋅1−2
3−1⋅1−3 3−2 =1 (2) Já o 4-cicloσ= (1 2 3 4)emS4é uma permutação ímpar:
sinal(σ) = 3−2 2−1⋅4−2
3−1⋅1−2 4−1⋅4−3
3−2⋅1−3 4−2⋅1−4
4−3 = −1 (3) Verifique que(1 2)(3 4) ∈S4é uma permutação par.
(4) Sejaτ = (1 2). Dado j>i, entãoτ(j) <τ(i)se e somente se j=2 ei=1 e logo sinal(1 2) = −1.
A princípio, o resultado do produtório em (1.6) é simplesmente um número racional. Olhando com mais cuidado, percebemos de fato que o sinal assume somente os valores−1 ou+1: com efeito dado um par(i,j)comi< j, observe que paraa=σ−1(i)eb=σ−1(j)tem-seσ(a) −σ(b) = ±(j−i); ou seja, cada denominador na expressão em (1.6) também aparecem como algum numerador, eventualmente com o sinal trocado. Isso fica bastante claro nos exemplos.
Calcular o sinal via a definição é muito trabalhoso. O resultado fundamental é que o sinal é multiplicativo:
1.9. PERMUTAÇÕES 23 Teorema 1.9.5. Sejamα,β∈Sn permutações quaisquer. Então:
sinal(α⋅β) =sinal(α) ⋅sinal(β). Demonstração: Basta observar que
sinal(α⋅β) = ∏
i<j
α(β(j)) −α(β(i)) j−i
= ∏
i<j
α(β(j)) −α(β(i)) β(j) −β(i) ⋅ ∏
i<j
β(j) −β(i)
j−i =sinal(α)sinal(β) poisαeβsão bijeções.
Corolário 1.9.6. As propriedades básicas para calcular o sinal de uma permutação são as seguintes:
(a) Toda transposição tem sinal−1. Em particular, um produtoτ1τ2⋯τmde transposições tem sinal(−1)m.
(b) sinal(σ−1) =sinal(σ).
(c) O sinal de um r-ciclo é(−1)r−1.
(d) O produto de ciclos de ordens r1, . . . ,rk tem sinal(−1)r1−1⋯(−1)rk−1.
Demonstração. Provemos (a). Vimos no exemplo acima que sinal(1 2) = −1. Tome k ≠1, 2 e observe que(1k) = (2k)(1 2)(2k). O Teorema1.9.5nos diz que o sinal é multiplicativo e logo
sinal(1k) =sinal(2k)sinal(1 2)sinal(2k) =sinal(1 2)sinal(2k)2= (−1). Finalmente, dadosi,j∉ {1, 2}, temos(ij) = (1i)(1j)(1i)e logo
sinal(i j) =sinal(1j)sinal(1i)sinal(1j) = (−1)(−1)(−1) = −1
como queríamos. Da multiplicatividade do sinal vem que o produto de mtrans- posições tem sinal(−1)m.
Para (b), notamos que σ⋅σ−1= (1)e usamos que o sinal é multiplicativo. Para (c), vimos em (1.5) que todor-ciclo se escreve como produto der−1 transposições e logo basta usar (a). Finalmente, (d) segue de (c).
Na permutação do Exemplo1.9.3:
sinal(1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 4 1 2 9 3 7 5 8) =sinal((1 6 3)(5 9 8)(2 4)) = (−1)2(−1)2(−1) = −1.
Considere agora o subconjunto das permutações com sinal positivo An = {permutações pares deSn}
que são exatamente aquelas dadas como produto de um número par de transpo- sições. Produtos e inversos de permutações pares são ainda permutações pares, e portantoAn é um subgrupo deSn, chamado ogrupo alternadode graun.
Da multiplicatividade do sinal vem que temos um homomorfismo de grupos sinal∶Sn → {±1}
cujo núcleo é exatamenteAn, que é portanto um subgrupo normal deSn. Paran≥ 2 vale a sobrejetividade e do Teorema dos Homomorfismos vem que∣An∣ =n!/2.
Exemplo 1.9.7. Para referência, apresentamos agora uma lista completa dos sub- grupos de A4:
(1) 1 subgrupo de ordem 1: {(1)}
(2) 3 subgrupos de ordem 2: ⟨(12)(34)⟩,⟨(13)(24)⟩e⟨(14)(32)⟩
(3) 4 subgrupos de ordem 3: ⟨(123)⟩,⟨(124)⟩,⟨(134)⟩e⟨(234)⟩
(4) 1 subgrupo de ordem 4 (grupo de Klein):
V= {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(32)}
(5) 1 subgrupo de ordem 12: A4.
Entre eles, o único subgrupo próprio normal é o grupo de Klein.
Na próxima proposição vamos mostrar queAn,n≥3, pode ser gerado apenas pelos 3-ciclos.
Proposição 1.9.8. Para todo n≥3, tem-se An = ⟨3-ciclos⟩.
1.9. PERMUTAÇÕES 25 Demonstração: Como vimos, todo r-ciclo se escreve como produto de r−1 trans- posições, em particular todo 3-ciclo é uma permutação par. Por outro lado, cada permutação em An se escreve como um produto de um número par de transpo- sições. Agrupando-as de par em par, temos dois casos: elas são disjuntas ou não.
Para cada caso, temos
(ab)(cd) = (acb)(acd) e (ab)(bc) = (abc)
e portanto todo elemento de An se escreve como produto de 3-ciclos, o que ter- mina a demonstração.
1.9.1 Conjugações em S
nDizemos que dois elementosg,hem um grupoGsãoconjugadosse existex∈G tal que g = xhx−1. Veremos agora que realizar conjugações em Sn é uma tarefa relativamente simples.
Começamos com um caso concreto: tome α = (134) um 3-ciclo e considere σ= (1 2 3 42 4 1 3). Afirmamos que
σασ−1= (2 1 3)
como você pode verificar diretamente, se quiser. Note que o resultado ainda foi um 3-ciclo, milagrosamente obtido aplicando-se σ nas entradas do ciclo original, isto é,
σασ−1= (σ(1)σ(3)σ(4)). E isto é o que acontece em geral!
Recorde que sempre podemos escrever uma permutação como produto de ci- clos disjuntos. A sequência das ordens dos ciclos é chamada estruturaoutipode ciclos da permutação. Por exemplo,(134)(27)(68)tem estrutura de ciclos(3, 2, 2). Proposição 1.9.9. Conjugações preservam estruturas de ciclos. De maneira precisa, dada uma permutaçãoσem Sn qualquer, temos:
(a) Seρ= (a1a2⋯ar)é um r-ciclo, entãoσρσ−1é o r-ciclo(σ(a1)σ(a2)⋯σ(ar)).
(b) Dadaα ∈ Sn uma permutação qualquer, entãoα eσασ−1 têm a mesma estrutura de ciclos.
(c) Mais ainda, duas permutações em Sn são conjugadas se e somente se têm a mesma estrutura de ciclos.
Demonstração. Para (a), devemos provar que
σρσ−1 e γ= (σ(a1)σ(a2) ⋯σ(ar))
são permutações iguais. Aplicando or-cicloγem σ(a1)obtemosσ(a2). Por outro lado,
(σρσ−1)(σ(a1)) = (σρ)(a1) =σ(ρ(a1)) =σ(a2).
Uma conta análoga mostra que as permutações concidem emσ(ai)para todoi. E seb/∈ {σ(a1), . . . ,σ(ar)}, entãoσ−1(b) /∈ {a1, . . . ,ar}, e portantoγ(b) =b=σρσ−1(b).
Para (b), basta observarσρ1ρ2σ−1=σρ1σ−1σρ2σ−1, etc e usar o item (a).
Finalmente, para (c) é suficiente observar que dadas duas partições quaisquer {A1, . . . ,As} e {B1, . . . ,Bs} de {1, 2, . . . ,n} em subconjuntos ordenados tais que
∣Ai∣ = ∣Bi∣para todoi, existe uma permutaçãoσemSntal queσ(Ai) =Bi.
Corolário 1.9.10. Seja n≥5. Todos os3-ciclos são conjugados entre si em An, i.e., dados α eβdois3-ciclos, então existeσ∈An tal queα=σβσ−1.
Demonstração. Basta mostrar que qualquer 3-ciclo α é conjugado a (123)em An. Pela proposição anterior, existeτ ∈Sn tal queτατ−1= (123). Seτ ∈ An então não há nada a fazer, escolhemosσ=τ. Seτ ∉An tomandoσ= (45)τ∈An ainda temos
σασ−1= (45)τατ−1(45)−1= (123) como queríamos.
1.10 O teorema da correspondência
Nosso próximo passo é descrever a estrutura dos subgrupos de um quociente G/N em termos dos subgrupos de G que contém N. Necessitamos de um resul- tado auxiliar.
Lema 1.10.1. Seja f∶G→H um homomorfismo de grupos e tome N seu núcleo.
(a) Se A é um subgrupo de G contendo N, então f−1(f(A)) =A.
1.10. O TEOREMA DA CORRESPONDÊNCIA 27 (b) Se K é um subgrupo de f(G), então f(f−1(K)) =K.
Demonstração: Para começar, observe que para quaisquer subconjuntos A ⊂ G e K⊂Hvalem
f−1(f(A)) ⊇A e f(f−1(K)) =K∩f(G).
Isso prova (b) e nos deixa apenas a tarefa de provar a inclusão restante em (a).
Tome x em f−1(f(A)). Então f(x) = f(a) para algum a ∈ A e, sendo f um ho- momorfismo, segue-se que a−1x pertence a N, que supomos contido em A; logo x∈A, como desejado.
Teorema 1.10.2(Teorema da Correspondência). Seja f∶G→H um homomorfismo de grupos e N o seu núcleo. Temos uma bijeção
Ψ∶ {subgrupos de G contendo N} → {subgrupos de f(G)}
A ↦ f(A)
f−1(K) ↤ K
onde as aplicações indicadas são inversas uma da outra. Esta bijeção preserva quase tudo que você possa desejar: inclusões, índices, interseções, produtos, conjugados, subgrupos normais e quocientes. De maneira precisa, se A e B são subgrupos de G que contém N, então:
(a) (G∶A) = (f(G) ∶ f(A)). (b) f(A∩B) = f(A) ∩ f(B).
(c) f(A⋅B) = f(A) ⋅f(B).
(d) B=gAg−1se e somente se f(B) = f(g)f(A)f(g)−1. (e) A⊲G se e somente se f(A) ⊲ f(G).
(f) Se A⊲G, então G/A≅ f(G)/f(A).
G f // f(G)
B // f(B)
A // f(A)
N //{1}
Demonstração: O ponto mais importante, de que as aplicações indicadas são in- versas (tanto à esquerda quanto à direita) uma da outra, foi provado no oportuno Lema 1.10.1. É evidente que inclusões são preservadas. Resta-nos conferir a lista de afirmações.
Para o item (a), note quexA↦ f(x)f(A)estabelece uma bijeção entre{classes laterais de A em G} e{classes laterais de f(A) em f(G)}; sua inversa se define assim: dadoy∈ f(G), associey f(A) ↦zA, ondez∈Gsatisfaz f(z) =y(qualquer escolha dezserve). Você está convidado a verificar os pormenores.
Para (b), observe que para conjuntos sempre vale
f−1(f(A) ∩ f(B)) = f−1(f(A)) ∩ f−1(f(B))
e logo a igualdade segue do item (b) do Lema 1.10.1. Prova-se (c) e (d) com um artíficio similar. Para (e):
gAg−1=A ⇐⇒ f(gAg−1) = f(A) ⇐⇒ f(g)f(A)f(g)−1= f(A).
Finalmente, o item (f): como o homomorfismo G → f(G)/f(A) dado por x ↦ f(x)f(A)é sobrejetor e tem como núcleo f(A), basta aplicar o Teorema dos Ho- momorfismos1.6.2.
Uma situação típica de aplicação do teorema é para quocientes: se N é um subgrupo normal de G, consideramos a projeção canônica π∶G → G/N. A cor- respondência acima nos diz que temos um “espelho”: entender os subgrupos de G/Nsignifica entender os subgrupos deGque contémN; informações de um lado se traduzem do outro lado. Como sempre, tudo se entende melhor com um bom exemplo.
Exemplo 1.10.3. Faremos aqui algumas afirmações que serão justificadas mais tarde. O objetivo aqui é ilustrar a correspondência no Teorema1.10.2.
TomeS4o grupo das permutações de 4 elementos e considere ogrupo de Klein V= {(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
(Vvem deVier, ‘quatro’, em alemão). Note que o grupoVé formado por todos os produtos possíveis de transposições disjuntas em quatro elementos. Como conju- gações em Sn preservam estruturas de ciclos, segue que este é subgrupo normal deS4. O quocienteS4/Vé portanto um grupo com seis elementos. Paraα= (12)V eβ= (13)V, temos
αβ= (213)V ≠ (312)V =βα.
e logo S4/V não é abeliano. Da classificação dos grupos de ordem 6 que veremos adiante, segue-se queS4/V ≅S3. Agora, como conhecemos todos os subgrupos de
1.10. O TEOREMA DA CORRESPONDÊNCIA 29 S3, podemos dizer que conhecemos todos os subgrupos deS4 que contémV, via o Teorema da Correspondência1.10.2. Um diagrama, mil palavras:
S4
2
3 3
3
S4/V≅S3
H ⟨(123)⟩
T12 T13 T23 ⟨(12)⟩ ⟨(13)⟩ ⟨(23)⟩
V {1}
Aqui,HeTijindicam os subgrupos deS4correspondendo aos subgrupos⟨(123)⟩
e⟨(ij)⟩de S3, respectivamente. Os números acompanhando as linhas indicam o índice. Por exemplo,(S4∶H) =2, ou seja, Hpossui 12 elementos. Deduzimos daí que H=A4, pois este é o único subgrupo deS4com esta cardinalidade.
Cada um dos grupos Tij possui 8 elementos. Ocorre quetodo subgrupo T de S4
com ordem 8 contém V como subgrupo. Para ver isto, note que T não está contido em A4e logo metade dos seus elementos são permutações pares. EmS4, as únicas permutações pares são os elementos do grupo de Klein ou os 3-ciclos. Porém T não contém 3-ciclos e logoV ⊂T.
A conclusão é queS4possui exatamente 3 subgrupos de ordem 8, os subgrupos Tijque aparecem na correspondência acima. Um deles é nosso velho conhecido, é o famigeradoD4= ⟨(1234),(12)(34)⟩. Os subgrupos⟨(i j)⟩são conjugados emS3e logo os subgruposTijsão conjugados entre si emS4; portanto os outros subgrupos de ordem 8 são ⟨(1324),(13)(24)⟩ e ⟨(1243),(12)(34)⟩, todos isomorfos entre si.
Em particular, os subgruposTij não são normais emS4.
Embora trabalhoso, é um instrutivo exercício estabelecer concretamente a cor- respondência acima. Para isso é necessário escolher um isomorfismo entreS4/V→ S3 e há vários deles: basta escolher elementos de ordens 2 e 3. Em um exemplo, tome α = (12)V eγ = (123)V e associe α ↦ (12) eγ ↦ (123). Você está escalado
para descobrir o que acontece neste caso. ◻
1.11 Automorfismos
Umautomorfismo de um grupoGé um isomorfismo de G em si mesmo. Com a operação de composição, os automorfismos de Gformam um grupo, denotado por AutG.
Dadog∈G, a função ιg∶G→G dada por x↦gxg−1é um automorfismo deG.
Como
ιgh =ιg○ιh (g,h∈G) (1.7) temos um homomorfismo Int ∶ G → AutG, que associa cada elemento g ∈ G ao elementoιg∈AutG. Em particular, sua imagem, Int(G), é um subgrupo de AutG, chamado o grupo dos automorfismos internos. Um automorfismo interno ιg é a aplicação identidade de G se e somente se g comuta com todos os elementos de G. Pelo teorema dos homomorfismos, temos
Int(G) ≅ G
Z(G). (1.8)
Como aplicação, mostremos todo grupo com pelo menos três elementos possui automorfismos distintos da identidade.
Proposição 1.11.1. Todo grupo finito G de ordem≥3possui pelo menos um automorfismo não-trivial.
Demonstração: Temos três casos.
SeGé não-abeliano, entãoZ(G)é um subgrupo próprio deGe do isomorfismo em (1.8) vem queGpossui um automorfismo interno não-trivial.
SeGé abeliano, então x↦x−1define um automorfismo, que não é trivial caso exista algum elemento com ordem>2.
Por fim, se Gé abeliano e todo elemento de G∖ {1}possui ordem 2, então G é isomorfo ao produto Zk2 =Z2× ⋯ ×Z2 para algumk (este é um bom exercício!);
como ∣G∣ ≥ 3, temos k ≥ 2 e daí (x,y, . . .) ↦ (y,x, . . .) define um automorfismo não-trivial deG.
Para concluir essa seção vamos estudar o grupo de automorfismos de Zn, e consequentemente o grupo de automorfismos de qualquer grupo finito cíclico.
1.12. EXERCÍCIOS 31 Proposição 1.11.2. Seja n um inteiro positivo, então
(AutZn,○) ≃ ((Zn)∗,⋅).
Mais precisamente, AutZn é o grupo formado pelos automorfismos multiplicativos µk ∶ Zn →Zn, m↦km, ondemdc(k,n) =1.
Demonstração. Seja ϕ∶Zn →Zn um homomorfismo. Observe que ϕé o homomor- fismo de multiplicação porϕ(1) ∈Zn, pois
ϕ(m) =ϕ(¯1+ ⋯ +¯1) =ϕ(¯1) + ⋯ +ϕ(¯1) =m⋅ϕ(¯1).
Para queϕseja um automorfismo é necessário e suficiente queϕenvie gerador em gerador, e pelo Lema1.8.2, ϕ(1)é um gerador deZnse, e somente se, ϕ(1) ∈Z∗n.
A função
Ψ∶ (AutZn,○) → ((Zn)∗,⋅) ϕ ↦ ϕ(1)
é um homomorfismo de grupos claramente injetivo. Além disso,Ψé sobrejetiva pois dadok∈Z∗n, considerando o homomorfismoµk∶Zn→Zn que enviamem km, temosΨ(µk) =k. Isto termina a prova da proposição.
1.12 Exercícios
Primeiras definições
1.1. Determine se os conjuntos abaixo, com as operações indicadas, são grupos.
Caso não sejam, diga quais os axiomas de grupo não são válidos.
(a) G=Z; a∗b∶=a−b.
(b) G=N; a∗b∶=ab.
(c) G= {x∈R∣x>0}; a∗b∶=ab.
(d) G=GL2(R); a∗b∶= a+b.
(e) G=R2; (x1,y1) ∗ (x2,y2) ∶= (x1x2,y1+y2).
1.2. Seja S1 ∶= {z∈C; ∣z∣ = 1}o conjunto dos números complexos de norma 1 (o círculo unitário). Prove queS1é um subgrupo multiplicativo deC∗.
1.3. Dadosa,b∈G, mostre que(a⋅b)−1=b−1⋅a−1.
1.4. Se todos os elementos deG∖ {1}possuem ordem 2, então Gé abeliano.
1.5. Todo grupo de ordem 4 é abeliano?
1.6. Calcule a ordem dos elementos abaixo:
(a) ¯4 emZ7. (b) ¯4 emZ10. (c) 3 emR∗. (d)ρ2π/3emD6. (e)(1 2 3 42 3 4 1)emS4. 1.7. Dadog∈G:
(a) Seg≠1, entãogtem ordem 2 se e somente seg=g−1. (b) o(g) =o(g−1).
(c) Segn =1, entãoo(g)dividen.
(d) Seo(g) =mn, entãoo(gm) =n.
(e) Seo(g) =nes∈Z, entãoo(gs) = nd, onded=mdc(n,s).
1.8. Se AeBsão subgrupos finitos e tais que mdc(∣A∣,∣B∣) =1, entãoA∩B= {1}. 1.9. Um subconjunto H ⊂G é um subgrupo de G se e somente se H ≠ ∅e para
quaisquera,b∈H tem-sea⋅b−1∈H.
1.10. A interseção de dois subgrupos de um grupoGé ainda um subgrupo de G.
De modo geral, a interseção arbitrária de subgrupos é um subgrupo.
1.11. Seja G = ⟨a,b⟩ um grupo tal que seus geradores comutam entre si, isto é, ab=ba. Prove queGé abeliano.
1.12. Todo subgrupo deZé da formanZ, para algumn∈Z. 1.13. Construa a tabela de multiplicação deD3.
Exercícios 33
Classes laterais
1.14. Dados dois subconjuntosA,B⊆G, entãoxA=yBse e somente sey−1xA=B.
1.15. SeH é um subgrupo deG, então: xH=H ⇐⇒ x∈H ⇐⇒ Hx=H.
1.16. Dado um subconjuntoH⊆Gnão-vazio, temos que:
Hé um subgrupo deG ⇐⇒ HH=H e H−1=H.
1.17. Considere o subgrupoH= ⟨R⟩ <D3, ondeRé uma reflexão qualquer. Deter- mine suas classes laterais à esquerda e à direita e verifique que nem sempre coincidem: existex∈D3tal quexH ≠Hx.
1.18. EmD4(simetrias do quadrado), sejaρa rotação de 90 graus e tome H= ⟨ρ⟩. Então:
(a) ∣H∣ =4.
(b) Nenhuma das reflexões pertence aH.
(c) D4=H∪RH, para qualquer reflexão R∈D4.
(d) Conclua que, sem explicitar as classes laterais, que RH=HRpara toda reflexãoR.
1.19. Dados inteiros positivosm,n, determine o índice demZ∩nZemZ.
1.20. Suponha que G é finito e considere uma cadeia de subgrupos K < H < G.
Usando o teorema de Lagrange, mostre que(G∶K) = (G∶H)(H∶K). 1.21. SejamHeKsubgrupos de um grupo finitoGtais que∣H∣ >
√
∣G∣e∣K∣ >
√
∣G∣. Mostre que H∩K≠ {1}.
Subgrupos normais
1.22. Se A,Bsão subgrupos deGe um deles é normal, então o produto ABé um subgrupo deG.
1.23. Se AeBsão ambos subgrupos normais deG, entãoABé normal emG.
1.24. Se A⊲GeB⊲H<G, entãoAB⊲AH.
1.25. SeN ⊲GeH<G, então(H∩N) ⊲H.
1.26. Se Htem índice 2 emG, entãoHé normal em G.
1.27. Seja [x,y] ∶= x−1y−1xy o comutador de x,y. Para simplificar a notação, de- note por ax ∶= x−1ax oconjugado dea por x. Mostre então que as seguintes identidades são válidas:
(a) xy=x[x,y]. (b) [y,x] = [x,y]−1.
(c) [x,zy] = [x,y] ⋅ [x,z]y. (d) [xz,y] = [x,y]z⋅ [z,y].
(e) [x,y−1] = [y,x]y−1.
1.28. Verifique que o centroZ(G)e o subgrupo G′ dos comutadores são subgru- pos normais deG.
1.29. SejaCG(x)o centralizador de um elementox∈G. Prove:
(a) x∈Z(G)se, e somente se,CG(x) =G.
(b) Z(G) = ⋂x∈GCG(x).
1.30. Seja H subgrupo de G. Mostre que o normalizador NG(H)de H em G é o maior subgrupo deGque contém Hcomo subgrupo normal.
1.31. Dado N ⊲ G, mostre que as classes xN e yN comutam se e somente se o comutador[x,y]está emN. Consequentemente,
G/Né abeliano ⇐⇒ G′⊂N
ou seja,G′ é o menor subgrupo deGcujo quociente é abeliano. O quociente G/G′é chamado oabelianizadodeG.
1.32. V ou F? Justifique sua resposta, apresentando uma prova sucinta ou um contra-exemplo, conforme o caso.
