PUC-SP
Edson Eduardo Castro
UM ESTUDO EXPLORATÓRIO DAS RELAÇÕES FUNCIONAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES NO TERCEIRO CICLO DO ENSINO FUNDAMENTAL
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
PUC-SP
Edson Eduardo Castro
UM ESTUDO EXPLORATÓRIO DAS RELAÇÕES FUNCIONAIS E SUAS REPRESENTAÇÕES NO TERCEIRO CICLO DO ENSINO FUNDAMENTAL
Material apresentado à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Profa
. Dra
Barbara Lutaif Bianchini.
Banca Examinadora
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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
DEDICATÓRIA
À Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, financiadora da
pesquisa, sem a qual a realização não seria possível.
À professora Dr
aBarbara Lutaif Bianchini, orientadora da pesquisa, pelos
seus esclarecimentos, atenção e motivação.
À professora Dr
aElizabeth Adorno de Araújo e à professora Dr
aSonia
Pitta, por participarem da banca qualificadora e pelas sugestões e críticas,
efetivamente contributivas para a realização deste trabalho.
Aos professores do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação
Matemática da PUC-SP.
Aos amigos do curso do Programa de Estudos Pós-Graduados em
Educação Matemática da PUC-SP.
Aos alunos participantes da pesquisa da E.E. Porf
aJulieta Farão, pela
dedicação e seriedade com que colaboraram.
À Supervisora Ana Maria, da Diretoria de Ensino Leste 4, responsável
pela bolsa Mestrado, pela atenção e esclarecimentos prestados durante esse
período.
Aos colegas do grupo GPEA pelas valiosas sugestões e observações durante
a elaboração da sequência de atividades.
A todos os familiares e amigos que me dirigiram palavras de otimismo e
O presente trabalho é uma pesquisa qualitativa cujo foco é a iniciação à Álgebra no terceiro ciclo do Ensino Fundamental. Uma das grandes dificuldades encontradas pelos alunos quando entram em contato com a aprendizagem da Álgebra deve-se à ruptura entre as formas de pensar e representar existentes até então e as que passam a ser necessárias em contextos algébricos. Existem diversas abordagens possíveis para a iniciação ao estudo da Álgebra, tais como: generalização de padrões, modelagem, equações etc. A presente pesquisa optou em explorar a variação entre grandezas ou as relações funcionais em diferentes representações com dez alunos do 7º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública da zona leste de São Paulo. O objetivo é investigar como as relações funcionais em diferentes representações contribuem para a introdução ao pensamento e linguagem da Álgebra. Com esse propósito, foi elaborada, aplicada e analisada uma sequência didática desenvolvida de acordo com a metodologia de pesquisa denominada Engenharia Didática, proposta por Michèle Artigue (1995). Frente à abordagem escolhida para iniciação à Álgebra, usou-se a Teoria dos Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval como referencial teórico, a fim de subsidiar a elaboração e a análise da produção dos alunos. Mediante a sequência didática aplicada, constatou-se a viabilidade do trabalho com alunos do 7º ano do Ensino Fundamental com as relações funcionais em diferentes representações, a fim de desenvolver o pensamento e a linguagem da Álgebra. No entanto, deve-se levar em consideração que a presente abordagem é um estudo que requer um planejamento longitudinal, visto que, de acordo com o referencial adotado, “a
aprendizagem em Matemática consiste na mobilização simultânea de ao menos dois
registros de representação”. Pelas produções dos alunos, verificou-se que, apesar de equívocos nas suas escritas algébricas, a maioria conseguiu pensar genericamente e escrever simbolicamente uma expressão envolvendo duas grandezas. Assim sendo, finalizando esta dissertação consta um produto separado (versões digital e impressa) e que pode servir de subsídios aos professores, visto que foi testado e de fato apresentou resultados que devem ser levados em consideração na introdução à Álgebra.
Palavras-chave
:
Educação Algébrica, Álgebra, Variável, Relação Funcional,This study is a qualitative research whose focus is the introduction to algebra in the third cycle of elementary school. One of the great difficulties encountered by students when they come into contact with the learning of algebra due to the rupture between the ways of thinking and representing existing so far and those that become necessary in algebraic contexts.There are several possible approaches to the introduction to the study of algebra, such as generalization of patterns, modeling, equations etc. This study has chosen to explore the variation between magnitudes or the functional relationships in different representations with ten Year 7 students from elementary school to a public school in the eastern zone of Sao Paulo. The goal is to investigate how the functional relationships in different representations contribute to the introduction to the thought and language of algebra. With this purpose, we developed, implemented and evaluated a didactic sequence developed according to the research methodology called didactic engineering proposed by Michèle Artigue (1995). Faced with the approach chosen for initiation into algebra used to Representation Theory of Semiotics records of Raymond Duval as a theoretical framework to support the development and analysis of students' production. Through didactic sequence applied, we found the feasibility of working with students from the 7th year of elementary school with the functional relationships in different representations in order to develop thinking and language of algebra. However, one should take into consideration that this approach is a study that requires a longitudinal design, since, according to the references adopted, "learning mathematics is the simultaneous mobilization of at least two registers of representation." The products of the students showed that despite mistakes in his writings algebraic most students could think broadly and write symbolically an expression involving two quantities. Thus, finishing this thesis contained a separate product (digital and print versions) and can serve as a support to teachers as it has been tested and results showed that in fact should be taken into consideration in the introduction to Algebra.
Introdução ... 11
Capítulo 1 CONSIDERAÇÕES SOBRE A ÁLGEBRA...,... 21
1.1 A IMPORTÂNCIA DA ÁLGEBRA ... 21
1.2 As dimensões da Álgebra segundo os PCNF...22
1.2.1 A Álgebra como aritmética generalizada ... 23
1.2.2 A Álgebra funcional...23
1.2.3 A Álgebra como equação...24
1.2.4 A Álgebra estrutural...24
1.3 A ÁLGEBRA E A ARITMÉTICA ... 25
1.4 ALGUMAS DIFICULDADES EM APRENDER ÁLGEBRA...27
1.5 Pensamento algébrico...30
1.6 Breve histórico da simbologia na Álgebra...34
1.7 O ensino da Matemática e o uso da simbologia... 42
1.8 A idéia de variação... 49
Capítulo 2 OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA E O ESTUDO DE FUNÇÕES... 57
2.1 Os dois tipos de transformações nas representações semióticas...63
2.2 Os quatro tipos de registros...64
Capítulo 3 DISSERTAÇÕES CORRELATAS À PESQUISA... 71
Capítulo 4 METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS...79
4.1 A Engenharia Didática...80
4.2 Procedimentos metodológicos...82
4.3 Atividades, análises a priori e a posteriori das atividades...86
Capítulo 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS...156
Referências...164
Anexo I Autorização...170
Anexo II Atividade para introdução à leitura e representação gráfica...171
Figura 1 – Fluxo da Álgebra na linha do tempo...36
Figura 2 – Título da tradução Latina do Clássico de Diofanto, efetuada no século XVII...38
Figura 3 – Médias de proficiência em Matemática – Brasil – 1995 – 2005...45
Figura 4 – Diferentes representações de uma função...60
Figura 5 – Representação geométrica da área do quadrado de lado A + B...62
Figura 6 – Gráfico da função y = 2.x ...63
Figura 7 – Classificação dos diferentes registros mobilizáveis no funcionamento matemático ... 64
Figura 8 – Esquema de organização semiótica e do funcionamento das representações gráficas ... 65
Figura 9 – Protocolo da dupla D3– Atividade 1...89
Figura 10 Protocolo da dupla D1– Atividade 1...90
Figura 11 Protocolo da dupla D4– Atividade 1...90
Figura 12 Protocolo da dupla D5– Atividade 1...90
Figura 13 Protocolo da dupla D1– Atividade 1...91
Figura 14 Protocolo da dupla D4– Atividade 1...92
Figura 15 Protocolo da dupla D2– Atividade 1...92
Figura 16 Protocolo da dupla D3– Atividade 1...92
Figura 17 Protocolo da dupla D5– Atividade 1...92
Figura 18 Protocolo da dupla D5– Atividade 1...93
Figura 19 Protocolo da dupla D4– Atividade 1...94
Figura 20 Protocolo da dupla D1– Atividade 1...94
Figura 21 Protocolo da dupla D2– Atividade 1...94
Figura 22 Protocolo da dupla D2– Atividade 1...95
Figura 23 Protocolo da dupla D2 e D5– Atividade 1...96
Figura 24 Protocolo da dupla D2– Atividade 2...99
Figura 25 Protocolo da dupla D4– Atividade 2...99
Figura 26 Protocolo da dupla D1– Atividade 2...99
Figura 27 Protocolo da dupla D1– Atividade 3...106
Figura 28 Protocolo da dupla D3– Atividade 3...106
Figura 29 Protocolo da dupla D2– Atividade 3...107
Figura 30 Protocolo da dupla D4– Atividade 3...107
Figura 31 Protocolo da dupla D5– Atividade 3...107
Figura 32 Protocolo da dupla D1– Atividade 4...112
Figura 33 Protocolo da dupla D3– Atividade 4...113
Figura 34 Protocolo da dupla D5– Atividade 4...113
Figura 35 Protocolo da dupla D1– Atividade 4...114
Figura 36 Protocolo da dupla D4– Atividade 4...114
Figura 37 Protocolo da dupla D1, D3 e D4– Atividade 5...122
Figura 38 Protocolo da dupla D2 e D5– Atividade 5...123
Figura 39 Protocolo da dupla D1 e D2 – Atividade 5...124
Figura 40 Protocolo da dupla D4 e D5– Atividade 5...125
Figura 41 Protocolo da dupla D5– Atividade 5...126
Figura 42 Protocolo da dupla D4– Atividade 5...126
Figura 43 Protocolo da dupla D3– Atividade 5...127
Figura 44 Protocolo da dupla D4– Atividade 5...127
Figura 45 Protocolo da dupla D2– Atividade 5...128
Figura 48 Protocolo da dupla D2– Atividade 5...129
Figura 49 Protocolo da dupla D4– Atividade 5...130
Figura 50 Protocolo da dupla D5– Atividade 5...130
Figura 51 Protocolo da dupla D2– Atividade 5...130
Figura 52 Protocolo da dupla D2– Atividade 5...131
Figura 53 Protocolo da dupla D1– Atividade 5...131
Figura 54 Protocolo da dupla D3– Atividade 5...132
Figura 55 Protocolo da dupla D4 e D5– Atividade 5...133
Figura 56 Protocolo da dupla D3– Atividade 5...134
Figura 57 Protocolo da dupla D1– Atividade 6...137
Figura 58 Protocolo da dupla D5– Atividade 6...138
Figura 59 Protocolo da dupla D2– Atividade 6...138
Figura 60 Protocolo da dupla D3– Atividade 6...138
Figura 61 Protocolo da dupla D4– Atividade 6...139
Figura 62 Protocolo da dupla D5– Atividade 6...139
Figura 63 Protocolo da dupla D3– Atividade 6...140
Figura 64 Protocolo da dupla D1– Atividade 6...140
Figura 65 Protocolo da dupla D2– Atividade 6...140
Figura 66 Protocolo da dupla D4– Atividade 6...140
Figura 67 Protocolo da dupla D1– Atividade 7...148
Figura 68 Protocolo da dupla D4– Atividade 7...148
Figura 69 Protocolo da dupla D3– Atividade 7...148
Figura 70 Protocolo da dupla D5– Atividade 7...149
Figura 71 Protocolo da dupla D4– Atividade 7...149
Figura 72 Protocolo da dupla D3– Atividade 7...149
Figura 73 Protocolo da dupla D3, D4 e D5– Atividade7...150
Figura 74 Protocolo da dupla D4– Atividade7...151
Figura 75 Protocolo da dupla D1– Atividade...152
Figura 76 Protocolo da dupla D4– Atividade...152
Lista de quadros Quadro 1 Concepções ou Dimensões da Álgebra segundo os PCNEF ( 1998)...25
Quadro 2 Apreensões Qualitativas mediante mudança na figura-forma e representação algébrica... ...66
Quadro 3 Síntese de algumas das respostas que nortearam a análise a posteriori da sessão I...101
Quadro 4 Síntese de algumas das respostas que nortearam a análise a posteriori da sessão II...116
Quadro 5 Síntese de algumas das respostas que nortearam a análise a posteriori da sessão III...142
INTRODUÇÃO
O estudo da Álgebra é fundamental para a aprendizagem da Matemática. Por meio de seu estudo, desenvolve-se um novo tipo de pensamento e linguagem que certamente contribuirão para a formação escolar dos alunos nas mais diversas áreas do conhecimento humano.
No decorrer de minha prática docente, ao lecionar para todas as séries dos Ensinos Fundamental e Médio, constatei que um dos entraves para a aprendizagem da Matemática acontece justamente a partir das dificuldades encontradas no contato inicial que os alunos têm com a Álgebra.
Esse contato inicial envolve novos conceitos, rompendo quase que totalmente com a forma habitual de pensar, calcular e escrever em Matemática dos alunos, gerando, assim, algumas dificuldades iniciais e formação equivocada dos novos conceitos.
Algumas dessas dificuldades e conceitos equivocados permanecem por vários anos; e quando não sanados, acabam por se acentuarem, visto que grande parte do conteúdo da Matemática é desenvolvido a partir dos conhecimentos e conceitos da Álgebra.
Esta Dissertação de Mestrado aborda a introdução à Álgebra no 7º ano do Ensino Fundamental1, no qual geralmente é iniciado o estudo formal da Álgebra.
Segundo Ruiz (1982, p. 60), a motivação para uma pesquisa pode surgir de três fontes: a vivência pessoal sobre determinado assunto, as polêmicas sobre ele ou a reflexão dele advinda. Em meu caso, conforme descrevo em seguida, percebo a influência de todas as fontes citadas.
Primeiramente, uma das motivações para enveredar em uma pesquisa foi a minha experiência de 15 anos na prática docente, lecionando Matemática nos Ensinos Fundamental e Médio da rede pública de ensino. A experiência profissional revelou-me que a aprendizagem da Álgebra básica não se dá de forma tão natural quanto pensava; e que, em muitos casos, torna-se um obstáculo intransponível para um grande número de alunos.
Depois de algum tempo lecionando, as reflexões sobre a prática do magistério, fizeram-me concluir que, infelizmente, em meu caso, a licenciatura forneceu apenas alguns conhecimentos específicos da Matemática e o “direito” para lecionar; e que, certamente, a experiência necessária para o magistério dar-se-ia efetivamente com o decorrer do tempo, na prática cotidiana da sala de aula.
Assim, no decorrer dos primeiros anos de magistério, apoiando-me em livros didáticos e apostilas e seguindo rigorosamente suas indicações e listas de exercícios propostos, concluí que os resultados ainda eram insatisfatórios em relação à aprendizagem da Álgebra.
Dessa forma, após os primeiros anos como docente, senti que “alguma coisa estava fora da ordem” e precisava entender melhor essa questão que tratava do ensino da Álgebra básica e as dificuldades que os discentes apresentavam sobre o assunto.
Em 1998, após quatro anos de prática docente e sentindo que as coisas não funcionavam como desejava ou como deveriam ser, resolvi ingressar no curso de Pós-Graduação Lato Sensu2 da Universidade São Judas Tadeu, na tentativa de sanar e compreender as dificuldades encontradas na prática docente.
Apesar de o curso acrescentar substancialmente o conhecimento pessoal em relação à Matemática, não forneceu os conhecimentos procurados, pois, de
2 São cursos de especialização e de aperfeiçoamento e os MBA (do inglês Master in
forma geral, foram abordadas disciplinas como: Equações Diferenciais, Teoria dos Grupos, Geometria Projetiva e outras, que eram, na verdade, uma complementação de conteúdos de Matemática do terceiro grau; assim, respostas para indagações sobre as causas das dificuldades no ensino da Álgebra na escola básica não foram alcançadas.
Em 2000, após aprovação no processo seletivo da PUC-SP para cursar o Mestrado em Educação Matemática, surgiu uma proposta para lecionar em uma escola da rede particular de ensino; por se tratar de uma nova experiência profissional, acabou por protelar meu ingresso no Mestrado em Educação Matemática.
Se por um lado deixei de ingressar no Mestrado para obtenção de novos conhecimentos sobre ensino da Matemática, houve de certa forma a possibilidade de obtenção de novas concepções na aprendizagem da disciplina.
Uma das concepções adquiridas mediante a experiência profissional nesse estabelecimento de ensino que julgo relevante comentar é que as dificuldades no ensino e aprendizagem da Álgebra são as mesmas verificadas na escola pública.
O ingresso no Mestrado Profissional em Educação Matemática na PUC-SP foi ocorrer somente no 1° semestre de 2008, após desligamento da rede
particular de ensino.
Como aluno do Mestrado em Educação Matemática e convicto de que a área de estudo e pesquisa seria sobre o ensino da Álgebra básica, ingressei no GPEA (Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica), no qual as pesquisadoras Barbara Lutaif Bianchini, Silvia D. A. Machado (coord.) e M.Cristina S. de A. Maranhão (coord.) conduzem um projeto que se intitula: Qual a Álgebra a ser ensinada na formação de professores? Desse projeto, que é considerado o projeto maior, surgiram ramificações ou subprojetos, cujos focos são obviamente o ensino da Álgebra.
A minha pesquisa está inserida no subprojeto Contribuições a materiais de Orientação à Docência na Educação Básica, que se originou de outro concluído em 2010, denominado Expressões, Equações e Inequações: Pesquisa, Ensino e Aprendizagem.
que tratavam sobre o assunto. Dessa forma, tive contato com inúmeras pesquisas que discutiam sobre o ensino e a aprendizagem da Álgebra na Escola Básica. Sendo assim, pude perceber que as dúvidas e questionamentos sobre a aprendizagem da Álgebra eram assuntos amplamente discutidos e pertinentes na Educação Matemática, não só no Brasil, mas também em outros países como Portugal, Inglaterra e Estados Unidos.
De forma geral, a pesquisa bibliográfica e as disciplinas realizadas trouxeram constatações e compreensões de que o ensino e a aprendizagem da Álgebra são permeados por obstáculos inerentes à própria área, que naturalmente influenciam no desenvolvimento do pensamento e da linguagem da Álgebra. Entre os obstáculos, podemos mencionar: as diferentes concepções a que o conteúdo está submetido; o significado da variável e suas diferentes nomenclaturas em uma expressão algébrica; sua estreita relação ou não com a Aritmética; as possíveis abordagens para sua introdução; e o momento certo de sua iniciação na Escola Básica. Mais adiante, serão discutidas com mais detalhes essas questões de suma importância para compreensão das dificuldades encontradas pelos alunos na aprendizagem da Álgebra.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCNEF)3, sugerem que no desenvolvimento do pensamento algébrico no terceiro ciclo deve-se levar o aluno a “traduzir informações contidas em tabelas e gráficos, em linguagem algébrica e vice-versa, generalizar regularidades e identificar o significado das letras” (BRASIL, 1998, p. 64). Quanto aos conteúdos, uma das sugestões é que os alunos “compreendam a noção de variável e reconheçam a expressão algébrica como forma de traduzir a relação entre a variação de duas grandezas” (BRASIL,1998, p. 68). Seguindo essa sugestão, a pesquisa tem esse viés, a significação entre quantidades que variam e suas diferentes representações.
Decidi, então, que minha pesquisa limitar-se-ia a estudar a contribuição e a influência que o estudo da variação entre duas grandezas ou a introdução à abordagem funcional podem proporcionar ao desenvolvimento do pensamento e linguagem algébrica, uma vez que essa abordagem está em consonância com
os PCNEF (BRASIL, 1998), por sugerir a tradução de informações em diferentes meios de representação.
Concomitantemente às leituras e escolha desta abordagem para aprofundar a pesquisa, entrei em contato com várias teorias da didática da Matemática, cujo objetivo é contribuir com o ensino e aprendizagem da disciplina. Entre elas, verifiquei que a pesquisa encontraria pressupostos teóricos na teoria desenvolvida por Raymond Duval, cuja abordagem cognitiva explora e destaca a importância da diversidade dos Registros de Representação Semiótica e a mobilização desses na aprendizagem da Matemática.
Sendo assim, destinei minhas leituras e investigações sobre o que as pesquisas diziam a respeito da abordagem funcional no ensino da Álgebra no terceiro ciclo do Ensino Fundamental. Após uma vasta procura, foi possível concluir que eram escassas as pesquisas que tratavam desta abordagem neste ciclo de ensino; entretanto, diversas pesquisas apontam que o assunto “função” não tem sido bem compreendido pelos alunos que terminam o Ensino Médio, tais como a de Oliveira (1997), Macedo (2004) e a de Ribeiro (2005), que constatam que os alunos chegam ao nível superior com conhecimentos limitados sobre o tema funções.
Quais seriam as causas dessas dificuldades?
Na experiência de lecionar Matemática nos Ensino Fundamental e Médio, percebo que uma das possíveis causas é o fato de o ensino intuitivo das funções geralmente ficar destinado nos livros didáticos para o 4° bimestre do 9 ano do
Ensino Fundamental; e devido à extensão do conteúdo de Matemática, quase sempre há atrasos em cumpri-lo, o que implica dizer que, na maioria das vezes não é abordado tal assunto de forma satisfatória.
Smole, Centurión e Diniz (1989, p.1) traduzem bem essa situação quando afirmam que:
[...] em algum momento da 8ª série ou 7ª série queremos ensinar em
poucas horas: o que é função, suas propriedades, salientarmos as funções reais, fazemos gráficos das funções lineares e quadrática, e aplicamos tudo isso em alguns problemas[...].
de trabalhar as funções: modulares, exponencial, logarítmica e as trigonométricas, suas representações e propriedades.
Outro aspecto que merece destaque é em relação à concepção dos professores quanto ao momento adequado para o ensino das funções no Ensino Fundamental; pesquisas como de Tinoco (2009) e Machado, R. F. G., (2005) mostram que, segundo os professores pesquisados, esse assunto deve ser tratado a partir do 9° ano do Ensino Fundamental.
De acordo com Leal (1990, apud TINOCO 2009, p.1), tal concepção pode trazer implicações à aprendizagem de funções:
A falta de preparação dos alunos para o desenvolvimento do conceito, ao longo dos primeiros sete anos de escolaridade é uma das principais responsáveis pelas dificuldades da aprendizagem desse tópico.
Ao trabalhar com o conceito formal de funções no Ensino Médio, o aluno já deveria ter trabalhado anteriormente o conceito de função de forma intuitiva, explorado a ideia de variação entre grandezas, a noção de interdependência entre quantidades e suas possíveis representações. A definição formal ao ensino de funções exige uma série de conceitos preliminares que, uma vez não compreendidos põem em xeque todo o ensino posterior.
[...] a complexidade do conceito de função também é parcialmente responsável pelas dificuldades dos alunos. Notemos que a definição de função, tal como ensinado atualmente, envolvem muitos conceitos ─
domínio, contradomínio, conjunto imagem, regra de correspondência. Assim, ou temos de certeza que esses conceitos foram compreendidos em todas as representações, antes de continuarmos a ensinar mais coisas sobre funções, ou temos de optar por deixar de lado alguns aspectos (MARKOVITS, EYLON e BRUCKHEIME,1994, p. 59).
Ainda destacando minha prática docente, verifico que ocorre realmente o que comentaram Markovitz, Eylon e Bruckheimer (1994): os professores acabam por deixar de lado ou omitir alguns aspectos sobre as funções devido à sua complexidade e ao tempo necessário para seu desenvolvimento.
Dessa forma, acredito que o ensino tardio, as dificuldades inerentes ao assunto e a falta de tempo para uma abordagem que abranja o ensino das funções de forma satisfatória são as causas da defasagem dos alunos em conceitos básicos sobre o conteúdo e suas diferentes representações ao chegarem ao ensino superior.
Atualmente, Carraher, Schliemann e Schwartz (2008, p. 37) consideram as funções como assunto fundamental na introdução da Álgebra elementar, assim como Felix Klein, que, no início do século 20, propôs o conteúdo como unificador no ensino da Matemática, capaz de unir temas muitas vezes apresentados de forma desconexas ou isolados como operações, frações, razão, proporção e fórmulas.
Outro aspecto interessante para o ensino das funções nas séries iniciais é a possibilidade de propiciar aos alunos diferentes representações de uma mesma situação, em diferentes sistemas simbólicos que envolvem a correspondência entre duas grandezas.
Pode-se ainda justificar a introdução da Álgebra via variação entre grandezas ou relação funcional pelo fato de que tal abordagem pode conduzir ou ser contexto para o estudo das equações, explorando-se também a noção de incógnita (BRASIL,1998, p. 121).
Diferentemente das equações, a abordagem funcional ou variação entre grandezas abre espaço para dar um significado diferente à expressão algébrica, pois a variável assume um caráter dinâmico; seu valor varia, proporcionando, ainda, a necessidade de se fazer generalizações; ou seja, a variação entre grandezas assume um padrão de variação que pode ser expresso em diferentes representações.
aprendizagem do estudo das funções no Ensino Médio. Sendo assim, acredito que essa abordagem deva estar presente de forma intuitiva já no terceiro ciclo do Ensino Fundamental.
Concordo com Kaput e Blanton (2005, apud CARRAHER, SCHLIEMANN e SCHWARTZ, 2008, p. 37) quando afirmam que existem diferentes pontos de vista sobre uma abordagem mais promissora no ensino da Álgebra; e, certamente, um só tipo de abordagem é incapaz de cumprir o papel de satisfazer à complexidade em que o ensino e a aprendizagem da Álgebra estão envolvidos. Na pesquisa bibliográfica, foram encontrados outros trabalhos que abordam o enfoque das funções para o ensino da Álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental.
Machado, R. F. G., (2005) dá ênfase ao discurso praticado nos livros didáticos e a concepções dos professores na introdução desse conceito nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Kern (2008) considera as funções como um conceito capaz de abordar diferentes assuntos da Matemática; sendo assim, trabalha com uma sequência didática com alunos do 7° ano do Ensino
Fundamental, explorando a relação funcional via objetos de aprendizagem e modelagem. Também por meio da modelagem, Pires, F. S., (2009), investiga a possibilidade da introdução da função afim no 7° ano do Ensino Fundamental.
Por meio de uma sequência didática que enfatiza a variação entre grandezas com diferentes representações, pretende-se observar e analisar as resoluções, registros, dúvidas e argumentos dos alunos durante a realização da sequência proposta, que servirão de subsídios para responder à seguinte questão de pesquisa:
Quais as dificuldades e avanços encontrados na introdução ao pensamento e à linguagem algébrica no terceiro ciclo do Ensino Fundamental quando introduzidos por uma sequência didática que aborde a variação entre grandezas com diferentes registros de representação?
Diante das considerações feitas até o momento e dando prosseguimento ao desenvolvimento da pesquisa, destaco que esta encontra-se desenvolvida em cinco capítulos, cujos conteúdos são os seguintes:
inerentes ao seu ensino e aprendizagem. Suas diferentes concepções, o tipo de pensamento, o tipo de linguagem, um breve resumo das reformas que afetaram seu ensino no Brasil, são alguns dos aspectos abordados nesse capítulo em relação ao ensino da Álgebra.
Finalizando, discorro sobre a abordagem que julgo pertinente para a introdução ao pensamento e linguagem da Álgebra.
Levando-se em consideração a abordagem escolhida para introdução da Álgebra buscou-se subsídios na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (2003, 2009) de Raymond Duval. Portanto, no capítulo 2, são feitas considerações sobre a teoria de Duval proposta por ele, que serviram de referência para elaborar a sequência didática e analisar os protocolos dos alunos.
No capítulo 3, apresento um resumo de pesquisas desenvolvidas com temas e nível de ensino relacionado à abordagem utilizada.
No capítulo 4, apresento as fases da Engenharia Didática de Michèle Artigue e as razões de sua escolha como metodologia de pesquisa. Descrevo também os procedimentos utilizados no desenvolvimento da pesquisa, a sequência didática e as análises realizadas.
CAPÍTULO
1
CONSIDERAÇÕES SOBRE A ÁLGEBRA
1.1 A importância da Álgebra
A Álgebra é uma parte importante da Matemática. Está presente em todos os níveis escolares, é um poderoso meio de acesso e produção de conhecimento e competências entre diversas áreas do conhecimento humano e também da própria Matemática. Sua importância e os diferentes tipos de abordagens dedicadas a ela oscilaram em diversas reformas curriculares ocorridas no Brasil e no mundo (MIORIM, 1998). Hoje a Álgebra ocupa um papel de destaque no Brasil e em muitos países. No Brasil, podemos destacar o que é mencionado nosPCNEF sobre seu ensino (BRASIL, 1998, p. 115).
O estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver problemas.
Nos Estados Unidos da América, foram redigidos por comunidades científicas e matemáticas vários relatórios que tiveram por objetivo recomendar medidas para fortalecer a educação cientifica e matemática daquele país de forma a competirem e prosperarem com sucesso e segurança na sociedade globalizada do século 21; entre eles, podemos destacar o Rising Above the Gathering Storm (Gateway, 2006).
envolvidos no processo educacional professores, alunos, administradores, diretores e professores em formação proporcionando, numa abordagem longitudinal, um conhecimento algébrico necessário para se ter sucesso profissional em todas as carreiras profissionais; e também preparar um número crescente de estudantes para as carreiras de ciência e tecnologia. Portanto, conclui-se que os Estados Unidos reconhecem a importância da Matemática e, em particular da Álgebra para manter sua hegemonia econômica, tecnológica e militar, reforçando que isso só será possível mantendo-se à frente na corrida tecnológica mundial; e que isso também só acontecerá se seus habitantes, de forma geral, forem pessoas altamente qualificadas.
Tinoco (2008, p. 1) também destaca artigos de pesquisadores como Souza e Diniz (1994), Fiorentini, Miorim, e Miguel (1993) e Coxford e Shulte (1994) que evidenciam a importância da Álgebra e a contribuição que esta pode propiciar para o “desenvolvimento da criatividade, da concentração, do raciocínio lógico e do abstrato, das habilidades de generalizar e comunicar ideias”.
Usiskin (1994, p. 9), na abertura de um de seus artigos, afirma: “não é fácil definir Álgebra”. Apesar de nesse artigo Usiskin tratar da Álgebra do Ensino Médio, sua afirmação foi dada considerando-se a Álgebra em todos os níveis de ensino.
Não é objetivo desta pesquisa discutir amplamente as várias dimensões da Álgebra e concepções de pesquisadores em Educação Algébrica.
Destacarei brevemente as dimensões da Álgebra recomendadas pelos PCNEF (BRASIL, 1998, p.116) que visam desenvolver o pensamento e a linguagem algébrica.
1.2 As dimensões da Álgebra segundo os PCNEF
De acordo com os PCNEF (BRASIL, 1998), as dimensões da Álgebra são: a aritmética generalizada, funcional,equações e estrutural.
1.2.1 A Álgebra como Aritmética Generalizada
Quando adicionamos dois números, a ordem dos mesmos não é importante; em particular podemos exemplificar com 5 + 7 = 7 + 5. No entanto, para dois números quaisquer ou genéricos designados por m e n, podemos escrever a propriedade comutativa da adição, m + n = n + m, que é bem diferente da forma anterior. Na primeira forma de escrever, temos apenas um caso particular, já na segunda forma de escrever, estamos escrevendo de forma geral ou generalizada.
Sugere-se assim que os professores proponham situações de modo que os alunos possam identificar e generalizar propriedades de operações aritméticas, padrões aritméticos e geométricos e também obter fórmulas por meio de regularidades.
1.2.2 A Álgebra Funcional
Na dimensão funcional é destacada a importância das situações-problema sobre a variação entre grandezas como excelente contexto para explorar a noção de função. Em um dos exemplos mencionados no PCNEF é explorado um contexto sobre Matemática comercial e financeira, no qual o aluno poderá perceber a vantagem da escrita algébrica de forma a expressar o preço de venda (v) em função do preço de custo (c). Verifica-se aqui que há duas variáveis, a variável independente (que varia livremente em seu domínio) e a variável dependente (que tem seu valor determinado pelo valor da variável independente)
Como exemplo de aplicação, temos o preço de venda (v) de uma determinada mercadoria que deve superar em 40% seu preço de custo (c). Dessa forma, o aluno deverá perceber a vantagem da escrita algébrica para expressar de forma geral a relação entre grandezas, no caso, v = c + 0,4 x c;
1.2.3 A Álgebra como Equação
Nessa dimensão, as equações surgem necessariamente como ferramenta na resolução de problemas.
Utilizando-se da relação funcional exposta anteriormente, v = c + 0,4xc,
pode-se sugerir que os alunos determinem o preço de custo (c) da mercadoria que tem preço de venda (v), de R$ 11,20. A expressão 11,20 = c + 0,4xc deverá sofrer simplificações ou transformações de forma a fornecer o valor procurado. A variável assume o papel de incógnita.
1.2.4 A Álgebra Estrutural
Na dimensão da Álgebra estrutural, as letras são somente símbolos, e a grande característica dessa dimensão é o cálculo ou manipulação algébrica para a obtenção de expressões equivalentes por meio de fatorações e simplificações.
De acordo com os PCNEF (BRASIL, 1998), os cálculos de áreas e perímetros de retângulos poderão servir de recurso para dar significado às expressões algébricas e para a verificação de expressões equivalentes.
a 3
a
No cálculo da área do retângulo acima, podemos obter as seguintes expressões algébricas: a2 + 3
xa ou a x(a + 3); ou seja, a2 + 3xa = ax(a + 3).
Quadro 1 - Concepções ou Dimensões da Álgebra segundo os PCNEF (1998)
Fonte: BRASIL, 1998, p. 116
Segundo os PCNEF (BRASIL, 1998, p. 116), existe um consenso de que para se garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos devem-se garantir atividades que inter-relacionem todas as dimensões da Álgebra mencionadas acima.
Conforme visto, uma das características do estudo da Álgebra na escola é o uso de símbolos (letras) para representar números. Tais símbolos, geralmente sem distinção, são chamado por Usiskin (1994, p.11) de variável; ele afirma que a concepção de variável como “símbolo que representa indistintamente os elementos de um conjunto” parece tão natural hoje em dia que raramente é questionada. Portanto, esclarece-se que é muito comum chamar a letra “símbolo” de variável, especificando-a somente quando da necessidade de observar a natureza de sua aplicação.
1.3 A Álgebra e a Aritmética
Conforme se pode perceber, a Álgebra é uma linguagem permeada por símbolos e operações conhecidas da Aritmética. Souza e Diniz (1996, p. 4) definem Álgebra da seguinte forma:
as regras são as mesmas da Aritmética que nos permite manipular os símbolos assegurando o que é permitido e o que não é permitido.
Pelo exposto, somos levados a pensar que o aluno está envolvido com Álgebra quando está trabalhando com cálculo literal, equações ou funções; no entanto, para Lins e Gimenez (1997, p. 89), isso caracteriza apenas um certo consenso em relação às coisas de que trata a Álgebra; e, salientam os autores, é necessário investigar quais os significados que estão sendo produzidos quando está se trabalhando com Álgebra.
Ainda para Lins e Gimenez (1997, p. 138), existe uma diferença fundamental entre o que seria uma atividade algébrica e o que necessariamente seja Álgebra. Segundo esses autores, atividade algébrica “consiste no processo de investigação de significados para a Álgebra”, enquanto Álgebra “consiste em um conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significados em termos de números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdades ou desigualdades”.
Para esses autores, Álgebra não é necessariamente o trabalho com letras; Álgebra e Aritmética são definidas em função dos conteúdos que abordam. Para Kieran (1994, p.104), a Álgebra é muitas vezes chamada de “aritmética generalizada” e a principal diferença entre Aritmética e Álgebra é a distinção entre as operações utilizadas no processo de resolver equações e as operações indicadas nas equações. Para Souza e Diniz (1996, p. 4), Aritmética e Álgebra são diferenciadas pelos seus objetivos, “enquanto a Aritmética trata de números e operações e de suas propriedades em problemas de situações numéricas, a Álgebra trata em expressar o genérico”.
Lins e Gimenez (1997, p. 98) expõem uma situação interessante diante da “conta”:
3 5 5 5
, em que alguém responde “5” como “resultado”; em seguida,
mudando-se agora a “conta” com 4 parcelas de 5 e dividindo-se por 4 e assim sucessivamente, e a resposta continua sendo 5, Lins e Gimenez questionam: estamos diante de uma atividade aritmética ou algébrica?
constata-se que existe certa generalização, o que nos conduz, conforme a afirmação de Souza e Diniz, a dizer que se trata de Álgebra.
Teles (2004), explorando essa relação em três contextos, a saber: na Matemática escolar (senso comum); na Matemática acadêmica (dos matemáticos); e na Educação Matemática (autores citados acima), encontra também três diferentes pontos de vista entre Aritmética e Álgebra.
Na Matemática do senso comum, a ideia mais presente é que a Aritmética trata de números e a Álgebra de expressões com letras. Na Matemática dos matemáticos, o uso da variável letra não é critério para diferenciar Aritmética e Álgebra.
O grupo de educação algébrica, o GPEA, do qual faço parte, assume a posição de que existe uma relação entre a Aritmética e Álgebra, uma sobreposição em muitos momentos na forma de pensar; portanto, não é possível separá-las.
Diante do que foi exposto acima, acredito que é quase impossível estabelecer uma divisória ou um limite entre ambas; e que é justamente nesses momentos em que a Aritmética e a Álgebra estão relacionadas pela forma de pensar que se deva tirar proveito na passagem da primeira para a segunda.
1.4 Algumas dificuldades em aprender Álgebra
São vastas as pesquisas e a literatura que apontam os erros e dificuldades mais comuns dos alunos na aprendizagem da Álgebra: Booth (1994), Kieran (1994), Ursini et al(2005) e muitos outros.
Booth (1984) realizou pesquisas com alunos de 13 a 16 anos e, de forma geral, constatou que, apesar da diferença de idade e experiência em Álgebra, eles cometiam erros semelhantes que podiam ser interpretados em diversos aspectos.
geralmente não acontece; a resposta em muitos casos é dada na forma geral com um significado muito mais amplo, estabelecendo relações e não produzindo resultados numéricos, mas, sim, significados.
Outra grande dificuldade constatada foi em relação aos símbolos + e =, que têm ainda sua interpretação na Aritmética, que são indicações de ações a serem efetuadas sobre os termos, de forma que + significa realizar a operação adição; ou seja, numa situação da forma 3x + 2y deve resultar num só termo, que erroneamente, é apresentado muitas vezes como 5xy. Esse tipo de resposta é atribuída por Collins (1975, apud BOOTH, 1994, p. 27), à dificuldade dos alunos em aceitar a “ausência do fechamento”, ou seja, uma resposta única.
Booth (1994, p. 28) ainda comenta que esse tipo de erro pode-se justificar pelo fato de algumas notações na Aritmética serem possíveis; como exemplo, temos a justaposição de termos, que pode ser usada em alguns casos para
indicar a adição, como por exemplo,
2 1 2 2 1
2 ou 4 dezenas + 5 unidades =
45.
Essas possibilidades de representação podem certamente confundir os alunos de forma a transferirem-na para a Álgebra e cometerem sistematicamente aquele tipo de erro.
O sinal de igualdade que utilizamos desde as séries iniciais também é fonte de confusão por parte dos alunos. Em Aritmética, o sinal de = significa escrever uma resposta, é unidirecional; já em Álgebra, tanto pode representar um resultado quanto uma equivalência, sendo bidirecional (propriedade transitiva e reflexiva). Kieran (1981, apud BOOTH, 1994, p. 28) afirma que essa interpretação não se restringe a crianças da escola primária, podendo atingir também crianças de 12 a 14 anos de idade.
Essas são apenas algumas das possíveis dificuldades com que os alunos poderão se defrontar quando começarem a estudar Álgebra. Portanto, cabe ao professores de Matemática conhecerem tais obstáculos inerentes ao ensino e à aprendizagem da Álgebra, e, assim, proporcionarem condições para que a iniciação algébrica não se torne um obstáculo permanente na compreensão da Matemática.
Geralmente, quando alguns obstáculos não são superados durante o Ensino Fundamental levam o aluno a enxergar a Álgebra como algo fora da realidade, simplesmente como um conjunto de técnicas que devem ser utilizadas para um fim em si mesmo, como observado abaixo:
com freqüência os alunos vêem a Álgebra como um conjunto de operações abstratas, pouco vinculadas com o mundo real. Embora talvez sejam capazes de repetir certos modelos de manipulações algébricas, muitas vezes lhes falta o conhecimento de conceitos algébricos necessários para aplicação da Álgebra a uma gama de situações problemas (CARPENTER et al., 1981, apud SIMON e STIMPSON, 1994, p. 155).
Conforme visto anteriormente na sessão 1.2, que trata sobre as dimensões da Álgebra segundo os PCNEF, para que o aluno desenvolva certas competências é necessário que se trabalhe de forma integrada todas as dimensões da Álgebra durante o terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental. No entanto, isso muitas vezes não ocorre. Muitos professores ainda acreditam que é suficiente aos alunos dominarem técnicas de cálculo algébrico e técnicas para resolverem equações (BRASIL, 1998, p. 117).
Rodrigues (2008), em sua dissertação de mestrado, investigou a compreensão que alunos do terceiro ano do Ensino Médio tinham em relação ao conceito de variável (incógnita, número genérico e relação funcional). Constatou à luz do seu referencial teórico que os alunos não apresentam dificuldades em interpretar, simbolizar e manipular a variável como incógnita. No entanto, em relação à variável como número genérico e em relação funcional apresentam dificuldades ou não as compreendem bem.
Investigando a produção escrita dos alunos do terceiro ano do Ensino Médio em questões de Matemática, Alves (2006), em sua dissertação de mestrado, teve como um de seus objetivos observar indícios do pensamento algébrico nos alunos participantes da pesquisa.
Os resultados mostraram que, na resolução das questões que necessitavam do uso de conhecimentos de Álgebra, muitos alunos utilizavam procedimentos e estratégias no campo Aritmético, num nível muito aquém da escolaridade em que estavam situados. Os alunos que utilizaram conhecimentos algébricos apresentaram dificuldades em diferenciar o uso da variável como incógnita e relação funcional, geralmente restringindo o seu uso à variável como incógnita.
Portanto, além das dificuldades mencionadas, tais como interpretação de sinais, símbolos e notações, que certamente confrontam o ensino e a aprendizagem e que certamente deverão ser enfrentadas pelos alunos na iniciação algébrica, é necessário propiciar aos alunos um ensino que possibilite a compreensão do conceito de variável.
Caso contrário, continuaremos a receber alunos no Ensino Médio que insistirão em aplicar regras e técnicas na solução de problemas, pois não compreenderam os conceitos fundamentais da Álgebra, tendo, assim, dificuldades em relacioná-las às aplicações práticas, visto que não construíram um tipo de pensamento fundamental para a aprendizagem da Álgebra, o pensamento algébrico.
1.5 Pensamento Algébrico
Apesar de a Álgebra se assemelhar à Aritmética em alguns aspectos, elas diferem em muitos outros, como em algumas situações mencionadas anteriormente.
atividades especificas para que o aluno desenvolva o pensamento algébrico (CASTRO, 2003).
Os resultados dessas pesquisas têm apontado que é possível e necessário iniciar o estudo da Álgebra já nas séries iniciais do Ensino Fundamental. Esse contato com a Álgebra, ou pré-álgebra, como alguns denominam, visa uma aproximação maior entre dois campos que até pouco tempo eram vistos como distintos, a Aritmética e a Álgebra. Esse contato com a Álgebra no inicio da escolarização permitiria aos alunos desenvolverem mais cedo o pensamento algébrico, facilitando, assim, o desenvolvimento de uma linguagem simbólica e de conceitos algébricos nos terceiros e quartos ciclos do Ensino Fundamental, idéia essa defendidas por Lins e Gimenes (1997), Falcão (2003), Meira (2003), Castro (2003), Brizuela (2006), Fiorentini, Miorim e Miguel (1993).
Para Tinoco (2008, p. 49), pensar algebricamente é pensar em leis gerais, no que é genérico, exprimindo relações entre objetos, independentemente da natureza dos mesmos; é generalizar situações que apresentam regularidades, acompanhada da capacidade de apresentar argumentos que justifiquem a validade da lei para quaisquer casos.
O pensamento algébrico pode ser desenvolvido sem o uso da linguagem simbólica e em diferentes domínios da Matemática. Segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993, p. 87), o pensamento algébrico é um tipo especial de pensamento e pode se manifestado por meio da linguagem natural, da linguagem aritmética, da linguagem geométrica, ou qualquer outra forma de expressão que o reflita , que se caracteriza por:
[...] percepção de regularidades, percepção de aspectos invariantes em contraste com outros que variam, estabelecer relação entre grandezas, tentativas de expressar ou explicitar a estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de generalização.
A necessidade de se conduzir os alunos a um progressivo e efetivo desenvolvimento do pensamento algébrico e linguagem simbólica pode ser verificada também em Kaput (1999, apud MATOS e PONTE, 2008, p.197), quando afirma que:
Através de processos de conjecturas e argumentações, estabelecem generalizações sobre dados e relações matemáticas, expressas por meio de linguagens cada vez mais formais. Esse processo de generalização pode ocorrer com base em situações aritméticas, geométricas de modelação ou em quaisquer outras situações matemáticas lecionadas desde os primeiros anos de escolaridade.
A ideia central que parece ser compartilhada pelos autores é: para que o desenvolvimento do pensamento algébrico e da linguagem simbólica sejam mais estimulados, o professor deve propor atividades que permitam ao aluno a capacidade de pensar e expressar genericamente regularidades por meio da variável letra. Considerando ainda que a Aritmética e a Álgebra podem ser trabalhadas juntas em todos os ciclos, é fundamental que o professor proponha atividades que permitam ao aluno verificar a limitação de seus métodos informais e aritméticos, pois será por meio dessas limitações, discutidas e esclarecidas, que o professor terá a oportunidade de despertar no aluno a necessidade de uma resolução de forma mais geral, justificando a necessidade da linguagem algébrica.
Se é o tipo de problema ou situação que conduz ao desenvolvimento do pensamento algébrico; e se reconhecermos que nas fases inicias do ensino da Álgebra, ela, em muito momentos, apóia-se em procedimentos aritméticos, devemos despertar esse tipo de pensamento mais cedo, o que vai ao encontro do que pensam Lins e Gimenez (1997, p.113), quando afirmam:
Quando dissemos que a diferença entre Aritmética e Álgebra era o tratamento de foco, estávamos sugerindo não apenas que uma se beneficia da outra, como também uma depende da outra.
O que precisamos fazer é entender de que modo a Álgebra e Aritmética se ligam, o que elas têm em comum. Feito isso, teremos encontrado uma verdadeira raiz, o que permitirá repensar a educação aritmética e algébrica de forma única.
É a partir dos conhecimentos sobre números, operações e resolução de
problemas significativos que o professor deve partir para permitir que os alunos desenvolvam, ampliem e aperfeiçoem novos conhecimentos e consolidem estratégias de cálculos, descobrindo regularidades e propriedades numéricas, geométricas e métricas; desenvolvendo novos conceitos de outros domínios; desenvolvendo processos como intuição, dedução e capacidade de fazer analogias.
Verifica-se, portanto, o conceito de número, operações e suas propriedades de forma bem acentuada no desenvolvimento de toda a Matemática e em especial o da Álgebra.
Em relação ao pensamento algébrico, os PCNEF destacam a importância de os alunos se apropriarem da capacidade de:
- reconhecerem as representações algébricas como meio de expressar generalizações de propriedades das operações aritméticas e traduzir a resolução de problemas favorecendo a resolução;
- traduzirem informações contidas em tabelas e gráficos e vice-versa e generalizarem regularidades identificando o significado das letras;
- utilizarem os conhecimentos sobre as operações numéricas construindo estratégias de cálculos algébricos (BRASIL, 1998, p. 64).
De forma geral, os PCNEF (BRASIL, 1998) tratam o pensamento algébrico da mesma forma que Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), Kaput (1999), Lins e Gimenez (1997), autores citados anteriormente; no entanto, já apontam para a formalização desse tipo de pensamento ao final do terceiro ciclo; os alunos já devem expressar generalizações por meio de expressões algébricas, sendo que os dados a serem generalizados podem advir das mais diversas situações-problema, como: padrões aritméticos e geométricos, tabelas, gráficos e propriedades numéricas.
Para Ponte (2006, p. 7), falar em desenvolvimento do pensamento algébrico é considerar os próprios objetivos da Álgebra escolar; ou seja, “o estudo da estruturas, da simbologia, da modelação e ao estudo da variação”.
relações, propriedades e resolução de problemas por meio da representação simbólica da Álgebra.
No entanto, o autor adverte que, apesar da manipulação e uso da linguagem simbólica fazer parte do pensamento algébrico, não se deve dar maior ênfase a esse elemento que aos demais.
Savioli (2009, p. 2) comenta que a falta de conhecimento de uma linguagem simbólica ou sua não utilização pode caracterizar a não ocorrência desse tipo de pensamento na solução de questões.
Já Machado, S. D. A., (2010, p. 4), frente às diversas concepções do pensamento algébrico, menciona que parece “impossível dissociar-se a notação algébrica, ou simbólica, do pensamento algébrico”.
De acordo com o exposto, pode-se concluir que, em diversas situações, a manifestação inicial do pensamento algébrico e sua expressão podem ocorrer sem o uso de uma linguagem simbólica da Álgebra. No entanto, para que haja sua concretização, é imprescindível que as expressões das relações obtidas entre os objetos inicialmente comunicadas por meio da língua natural, sejam também comunicadas e compreendidas por meio da linguagem simbólica da Álgebra, que, conforme visto, é parte essencial do pensamento algébrico e da Matemática.
Historicamente, o desenvolvimento de técnicas na resolução de problemas contribuiu de forma efetiva para o surgimento e desenvolvimento da notação simbólica matemática; e esta, à medida que evoluía, também contribuía para o desenvolvimento da Matemática. Portanto, as origens da Álgebra estão associadas às técnicas de cálculo desenvolvidas pelos egípcios e babilônicos da Antiguidade.
1.6 Breve Histórico da Simbologia na Álgebra
(FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993; LINS e GIMENEZ, 1997; PONTE, 2006; TINOCO, 2008).
Essa preocupação ganha destaque quando, a partir do terceiro ciclo do Ensino Fundamental, a linguagem matemática passa a se utilizar cada vez mais do simbolismo algébrico, o que representa para os alunos uma ruptura no modo de pensar e escrever em Matemática.
Os alunos, até então acostumados a resolver situações-problema que envolviam em sua maioria respostas com quantidades numéricas bem definidas, passam a ter que usar símbolos e letras para representar números e quantidades de coisas desconhecidas e abstratas, que podem assumir valores diferentes num determinado momento, numa dada situação.
Podemos dizer que chegou o momento de trabalhar em Matemática com a generalização e a abstração, não só no pensamento e na oralidade, mas também na utilização da linguagem em seu último estágio, a linguagem escrita, considerada por Vigotsky (1993, p. 85) como uma função superior, uma vez que exige a existência de uma linguagem interior (fala interna orientada para a própria pessoa); e esta, por sua vez, a existência prévia de uma linguagem oral. Assim sendo, trata-se assim de um trabalho mental mais desenvolvido.
Um breve histórico da evolução da linguagem algébrica pode contribuir para uma reflexão sobre algumas das dificuldades dos alunos em relação a essa linguagem.
Principais correntes no fluxo da Álgebra
Figura 1 - Fluxo da Álgebra na linha do tempo Fonte: Baumgart (1992, p. 2)
A própria palavra Álgebra não acompanha o desenvolvimento das técnicas para resolver problemas que existiam na Antiguidade, que caracterizavam a existência da Álgebra propriamente dita.
A origem da palavra Álgebra surgiu da obra Hisâb al-jabr wa’lmuqâbalab, produzida por volta de 825 a.C. pelo matemático árabe Mohammed ibd – Musa al- Khowarismi, de quem a Matemática, por meio de algumas traduções, passou a utilizar a palavra algoritmo (al-khowarizmi), que significa “arte de calcular de uma maneira particular”.
tradução latina, e fez a palavra al-jabr , ou Álgebra, sinônimo de ciência das equações (EVES, 2004, p. 266).
Para Baumgart (1992, p. 3), a palavra Álgebra tem um significado muito mais amplo:
Ainda que originalmente a “Álgebra” refira-se às equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases: (1) Álgebra antiga (elementar) é o estudo das equações e métodos de resolvê-las. (2) Álgebra moderna (abstrata) é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e corpos para mencionar apenas algumas.
Portanto, o estudo da Álgebra é anterior ao surgimento da própria palavra e também é caracterizado de acordo com a notação algébrica usada em diferentes épocas.
Segundo autores como Boyer (1974), Eves (2004) e Baumgart (1992), a notação algébrica pode ser distinguida em três estágios em relação às suas representações.
A forma verbal, ou a Álgebra retórica, caracteriza-se pelo fato de as expressões e argumentos na resolução de um problema serem escritos em palavras sem abreviações. Esse período inicia-se por volta de 2000 a.C., quando tanto os egípcios como os babilônios já centravam seus estudos na Aritmética, criando seus sistemas de numeração primitivos, resolviam equações quadráticas e discutiam equações cúbicas e algumas biquadradas. Apesar de já obterem um sistema numérico escrito para mensurar coisas práticas, ainda não tinham desenvolvido uma “ciência” dos números. Isso só iria acontecer muito mais tarde, conforme (EVES, 2004, p. 57-74).
É por volta do século VI a.C., na Grécia antiga, que a Matemática começa a deixar de ser somente um conjunto de técnicas para contar e calcular com a finalidade de resolver problemas práticos. Tales de Mileto introduziu a ideia de demonstração matemática, na qual, por meio de algumas afirmações matemáticas básicas e encadeamentos lógicos, poderiam ser demonstradas e deduzidas outras afirmações e propriedades geométricas. Dessa forma, tornou a Matemática uma área de investigação e uma atividade intelectual.
Para Boyer (1974, p. 79), os gregos antigos possuíam uma Álgebra geométrica que equivaleria à nossa Álgebra simbólica.
O início de uma nova fase acontece por volta do século III d.C, e tem como fundador o matemático grego Diofanto de Alexandria. Diofanto (250 d.C.) introduziu o estilo sincopado de escrever equações em que se adotavam abreviações na escrita das palavras que representavam quantidades e operações.
Figura2 - Título da tradução latina do clássico de Diofanto, efetuada no século XVII Fonte: Matemática: A Ciência dos Padrões (DEVLIN, 2002, p. 10)
Eves (2004, p. 208) acredita que “pode ter sido Diofanto o primeiro a dar os primeiros passos rumo a uma notação algébrica”. Já tinha abreviação para incógnita, expoente, subtração, igualdade e inversos.
Os símbolos que usamos hoje para resolver os nossos problemas de Álgebra básica ainda são recentes, têm apenas 500 anos; “a vulgarização da Álgebra na Europa desencadeou, por sua vez, grandes avanços científicos e técnicos e levou a uma precisão considerável do simbolismo operatório” (IFRAH, 2001, p. 338).
Para Baumgart (1992, p.13), os símbolos modernos começaram a ser introduzidos por volta de 1500 e, segundo esse autor, é muito difícil determinar quem os inventou; no entanto, cita dois símbolos e seus respectivos inventores:
1) O sinal de =, introduzido por Robert Record em seu The Whetstone of wite (1557). Usou esse símbolo por entender que não havia coisas tão iguais quanto duas retas paralelas.
2) O símbolo , possivelmente uma alteração de r de radix (raiz),
introduzido por Christoff Rudolff, em seu livro de Álgebra Die coss (1525).
Os símbolos + e -, segundo Eves (2004), surgiram pela primeira vez com a Aritmética de Johann Widman (1460); porém, não tinham significado operacionais dos dias atuais, já que eram usados para indicar excesso e deficiência, respectivamente. O símbolo + poderia ser uma contração da palavra latina et, frequentemente usada para adição; e o símbolo – seria uma abreviação
m para menos. Quem supostamente usou primeiro os símbolos + e – nas
operações algébricas foi o matemático holandês Vander Hoecke, em 1514. Todavia, reiterando o que afirmou acima Baumgart, no caso das simbologias, é necessária uma pesquisa minuciosa para se chegar a uma conclusão segura.
No século XVI, François Viéte contribuiu de forma decisiva no desenvolvimento do simbolismo algébrico. Na sua obra In artem, Viéte introduziu de forma simples e fecunda a prática de se usar vogais para representar incógnitas e consoantes para representar constantes (EVES, 2004, p. 309).
O que escreveríamos 5BA2– 2CA + A3 = D,
Viète escreveria B 5 in A quad – C plano 2 in A cub aequatur D sólido.
Percebe-se que sua Álgebra é fundamentalmente sincopada e não simbólica, mas coube a Viète, ainda, perceber a força da Álgebra, destinando seu uso para além de encontrar o número ou segmento desconhecido (BOYER,1974, p. 224).
Mendes (1994, apud TINOCO, 2008, p. 33) completa dizendo que:
[...] a Álgebra do início do século XVI se restringia apenas, a encontrar valores desconhecidos numa dada equação com coeficientes numéricos específicos. A Álgebra era ainda, essencialmente, um
conjunto de “truques” e não um método geral; cada caso específico necessitava de um “truque” diferente. A ideia de se estudar uma
equação geral que representasse uma classe inteira de equações ainda não havia surgido. E esta ideia básica, de se fazer uma distinção clara entre parâmetros (valores conhecidos) e variáveis (valores desconhecidos) surgiu com François Viète (1540 – 1603). Viète usou vogais para representar variáveis e, consoantes para representar parâmetros. A passagem para uma notação algébrica totalmente simbólica só ocorreu durante o intervalo de tempo entre Viète e Descartes.[...] (p. 20).
Baumgart (1992, p.14) afirma ainda que Viète foi o divisor de águas do pensamento algébrico (separando o antigo fluxo raso da “solução manipulativa de equações” da corrente profunda que começa com propriedades teóricas das equações).
A breve e resumida explanação acima, de aproximadamente 3500 anos, visou mostrar que o uso dos símbolos na Álgebra e na Matemática não foi algo tão evidente e natural quanto podemos imaginar. Seu desenvolvimento dependeu também de outras descobertas fundamentais, como o sistema posicional decimal e a criação do zero. Essas descobertas, como muitos podem pensar, não foram realizadas de forma linear; muito pelo contrário, foram descontínuas e fragmentadas.
formas de se organizar da humanidade no convívio em coletividade, passando pela busca do conhecimento em si mesmo por meio do rigor e pela lógica, pela expansão comercial, pelas tentativas de desvendar mistérios da natureza, chegando até a vaidades pessoais.
Coube a Viéte dar o passo decisivo para a Álgebra utilizar definitivamente a notação literal e colocar a Matemática numa nova era.
A notação literal, em especial o uso das letras como o “x” e o “y”, ou qualquer outra letra, em pouco tempo libertou-se da necessidade de representar números ou grandezas, criando vida própria, ultrapassando o objeto representado, adquirindo uma significação regida por regras de cálculos próprias, permitindo a concentração de ideias e o trabalho com o abstrato (IFRAH, 2001, p. 338).
Segundo ainda Ifrah (p. 338):
Mas não se trata de um mero artifício de forma. O uso da letra alfabética para designar um parâmetro ou uma incógnita liberou a Álgebra da escravidão do verbo. Antes da descoberta na notação literal, qualquer proposição geral não passava de um palavrório e continuava prisioneira das ambigüidades que comportavam as línguas humanas: qualquer afirmação levava ao domínio das interpretações sujeitas a todo tipo de variação. Ao contrário, esse simbolismo criou uma espécie de “língua internacional” compreendida sem equívoco pelos matemáticos do mundo inteiro.
A linguagem simbólica da Álgebra e as notações algébricas, conforme vimos, sofreram diversas modificações e simplificações, tornando seus símbolos carregados de significados. O uso da variável letra e da simbologia algébrica permite muitas vezes que conceitos dos mais elementares aos mais complexos possam ser combinados e manipulados de forma simples e coerente, permitindo ao homem transitar onde jamais seu pensamento espontâneo o levaria. Sem o uso do símbolo, grande parte da própria Matemática não existiria (DEVLIN, 2002, p. 11).
Leibniz (apud IFRAH, 2001, p. 338) afirma que:
Este método, ”poupa o espírito humano e a imaginação, cujo uso é
preciso economizar. Ele nos permite raciocinar sem muito esforço, ao colocar os caracteres no lugar das coisas para desimpedir a
imaginação”.
