Operadores hipercíclicos em espaços vetoriais topológicos

(1)

em espa¸cos vetoriais topol´ogicos

D´ebora Cristina Brandt Costa

DISSERTAC ˜AO APRESENTADA AO

INSTITUTO DE MATEM ´ATICA E ESTAT´ISTICA DA

UNIVERSIDADE DE S ˜AO PAULO PARA

OBTENC ˜AO DO GRAU DE MESTRE EM

CIˆENCIAS

´

Area de concentra¸c˜ao: Matem´atica

Orientadora: Profa. Dra. Mary Lilian Louren¸co

Durante a elabora¸c˜ao deste trabalho, a autora recebeu apoio financeiro da FAPESP.

(2)

em espa¸cos vetoriais topol´ogicos

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da disserta¸cão devidamente corrigida e defendida por Débora Cristina Brandt Costa e aprovada pela comissão julgadora.

S˜ao Paulo, 16 de mar¸co de 2007.

Banca examinadora:

• Prof. Dr. Mary Lilian Loureno IME-USP

• Prof. Dr. Andr´e Arbex Hallack UFJF

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Aos Meus Pais,

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Agradecimentos

Reservo este espa¸co para expressar minha gratidão àqueles que, de alguma forma, contribu´ıram para a concretiza¸cão deste trabalho.

Primeiramente, agrade¸co à professora Mary Lilian Louren¸co, não apenas pela orienta¸cão, mas pela amizade e compreensão ao longo desses últimos três anos. Também sou grata ao prof. André Arbex Hallack, pela disposi¸cão em ajudar-me nos assuntos pertinentes à esse trabalho, por ter assistido meus seminários e ter lido várias versões preliminares desta disserta¸cão.

Agrade¸co à Neusa Rogas Tocha, pelo companheirismo, paciência em me ouvir treinar apresenta¸cões e ajudar em muitos momentos no decorrer desse mestrado. Aos meus colegas de gradua¸cão e mestrado Eliza R. Andrade, Tatyana Okano, Maria Cristina (Macris) Amaral, Ednei Reis, Márcio M. Onodera, Márcio Villar, Rodnei Silva, Sérgio Malacrida, Carlos Griese e Guilherme Benitez, pela amizade e pela cumplicidade em tantos momentos que passamos juntos nesses vários anos aqui no IME; em especial ao Paulo (Piu) Taneda, Pedro Kaufmann e Fernando (Bolha) Lima, pelo aux´ılio nos últimos momentos antecedentes à defesa.

O meu muito obrigada aos demais professores e funcionários do IME pela aten¸cão e solicitude com que sempre me trataram nos assuntos acadêmicos e burocráticos.

Tamb´em aos meus colegas do Maps Risk, principalmente ao senhor Victor Hugo Pafume, pela boa vontade em me liberar todas as quintas `a tarde, para que pudesse concluir esse trabalho.

Tenho muito a agradecer aos meus pais, pelo carinho e compreensão e prin-cipalmente ao meu marido Lúcio, pela for¸ca, companheirismo, paciência e apoio incondicional em todos os momentos, que só quem ama consegue dedicar.

(5)

Resumo

Dado E um espa¸co vetorial topológico e T um operador linear cont´ınuo em E, diremos que T é hiperc´ıclico se, para algum elemento x ∈ E, a órbita de x sob T, Orb(x, T) = {x, T x, T2_{x, ...}}_{, for densa em} _E_{. Nosso objetivo será apresentar} al-guns resultados sobre hiperciclicidade e observar como alal-guns espa¸cos comportam-se diante dessa classe de operadores.

Abstract

Let E be a topological vector space and T a continuous linear operator on E. We say that T is hypercyclic if, for some x ∈ E, the orbit of x on T, Orb(x, T) =

(6)

Nota¸c˜ao iv

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 Categorias de Baire . . . 4

1.2 Topologias Fraca e Fraca-Estrela . . . 4

1.3 Operadores em Espa¸cos de Banach . . . 7

1.4 Espa¸cos Localmente Convexos . . . 9

1.5 Espa¸co C(G) de Fun¸c˜oes Cont´ınuas (G⊂C _{aberto) . . . 13}

1.6 O Espa¸co H(C_{) das Fun¸c˜oes Inteiras em} C_{. . . 18}

2 Hiperciclicidade 22 2.1 Exemplos Cl´assicos . . . 24

2.2 Alguns Resultados sobre Hiperciclicidade . . . 31

3 Hiperciclicidade em ‘Weighted Shifts’ Bilaterais 38 4 Os Operadores de Convolu¸cão 54 5 Polinômios d-Homogêneos em Espa¸cos de Banach 66 5.1 Polinômios Homogêneos em Espa¸cos Normados . . . 66

5.2 Existˆencia de Polinˆomio Hiperc´ıclicos . . . 74

Referˆencias 82

(7)

Ao longo desta disserta¸c˜ao, estaremos utilizando as seguintes nota¸c˜oes:

X espa¸co normado

E espa¸co vetorial topol´ogico

N₀ _{o conjunto dos n´}_{umeros inteiros n˜ao negativos} N _{o conjunto dos n´}_{umeros naturais}

K _{o corpo} R _ouC

lp(I) o espa¸co de Banach das seqüências (xn)n∈I p−somáveis, onde pé um número natural e I =N _ou_I ₌Z

BX a bola unit´aria fechada de um espa¸co normadoX

B_X◦ a bola unit´aria aberta de um espa¸co normado X X∗ o dual topol´ogico de X, munido da sua norma usual

B(X, Y) o espa¸co de todas as aplica¸c˜oes lineares limitadas entre os espa¸cos normados X eY

T∗ o operador adjunto de T ∈ B(X, Y),

ek a seqüência (0,0, ...,0,1,0, ...) com 1 nak−ésima posi¸cão, pertencente a lp(N₎

[x, y] o subespa¸co vetorial gerado pelos elementos x e y H(C₎ _{o espa¸co das fun¸c˜oes inteiras} _f _:C_→C

f(n) a derivadan-´esima de f ∈ H(C₎

Tn(x) o operador T aplicado n vezes sobre o vetorx

(8)

Sabemos que a Análise se caracteriza pelo estudo de processos limitantes. Clara-mente, nem todo processo limitante converge. Entretanto, ao longo do tempo, foram encontrados exemplos de processos que, apesar de divergirem, o faziam de uma maneira maximal. Essa “divergência maximal” está freqüentemente associada ao fenômeno da universalidade.

Defini¸cão Dados E e F espa¸cos topológicos, uma fam´ılia de aplica¸cões cont´ınuas

Tl : E → F, (l ∈ I), ´e dita universal se o conjunto {Tlx : l ∈ I} for denso em F para algum x∈E.

A importância do estudo das universalidades reside na observa¸cão que qualquer processo em Análise que diverge ou se comporta irregularmente parece produzir (em alguns casos) um elemento universal e, se é confirmada a existência, ela é abundante: em muitos casos, quase todo elemento é universal (no sentido de categorias de Baire). Assim, universalidade tem-se mostrado um fenômeno genérico em Análise.

O primeiro exemplo conhecido de operadores universais vem de 1929, com um trabalho de G. D. Birkhoff [6], no qual foi provada a existência de uma fun¸cãof no espa¸co de Fréchet H(C_{) das fun¸cões inteiras em} C _{munido da topologia}

compacto-aberta, tal que o conjunto{f(z), f(1 +z), ..., f(n+z), ...}´e denso emH(C_{). J´a em}

1952, MacLane provou em [18] que existe uma fun¸c˜aof ∈H(C_{) tal que o conjunto} {f, f′_{, ..., f}(n)_{, ...}}_{´e denso em} _H₍_C_).

Durante os últimos 20 anos, um tipo particular de universalidade vem sendo estu-dado intensamente: em espa¸cos vetoriais topológicos, usualmente espa¸cos de Banach ou Hilbert, considera-se uma seqüência (Tn)n∈Nde operadores gerada a partir de um

´

unico operador linear cont´ınuo T via itera¸cão. Se tal seqüência for universal, dize-mos que T é um operador hiperc´ıclico. Mais precisamente:

Defini¸cãoSejam E um espa¸co vetorial topológico e T um operador linear cont´ınuo em E. Diremos que T é hiperc´ıclico se, para algum elemento x ∈ E, a órbita de

x sob T, Orb(x, T) = {x, T x, T2_{x, ...}}_{, for densa em} _E_{. Nesse caso, tal elemento}

(9)

x∈E ser´a chamado um vetor hiperc´ıclico para T.

Em hiperciclicidade, além dos aspectos de universalidade mencionados acima, temos um terceiro aspecto: hiperciclicidade é uma propriedade geométrica do ope-radorT envolvido. Mais precisamente, um elementoxserá hiperc´ıclico se, e somente se, E não possuir subconjuntos fechados T-invariantes não triviais contendo x.

Os primeiros exemplos conhecidos de operadores hiperc´ıclicos em espa¸cos de Banach ou Hilbert são devidos a Rolewicz em 1969 [26]. Considerando determinados espa¸cos de seqüências complexasX (X =lp,1≤p < ∞ouX =c0), e os operadores

Tλ em X, conhecidos na literatura como “weighted backward shifts”, definidos por

Tλ :X −→ X

(x1, x2, ...) 7→ (λx2, λx3, ...)

Rolewicz mostrou que, sempre que λ > 1, existe um vetor hiperc´ıclico associado a esses operadores.

Embora os exemplos de Rolewicz tenham sido os primeiros em hiperciclicidade em espa¸cos de Banach ou Hilbert, salientamos que, tanto o resultado de Birkhoff quanto o de MacLane, podem ser vistos em termos de operadores hiperc´ıclicos em

H(C_{), como operadores transla¸c˜ao e diferencia¸c˜ao respectivamente.}

O termo hiperciclicidadefoi utilizado pela primeira vez por B. Beauzamy [4] e foi motivado pelo bem estabelecido conceito de ciclicidade na teoria de operadores em espa¸cos de Hilbert: dadosH um espa¸co de Hilbert eT :H →H um operador linear cont´ınuo, dizemos que um vetor x∈H ´e c´ıclico se [x, T x, T2_{x, ..., T}n_{x, ...}_{] for denso} emH. Os vetores c´ıclicos s˜ao importantes no estudo de subespa¸cos invariantes: dado

T um operador definido em um espa¸co de HilbertH, H não contém subespa¸cosT -invariantes fechados não triviais se, e somente se, todo vetor não nulo do espa¸co

H for c´ıclico. Assim, como a no¸cão de ciclicidade corresponde ao problema de subespa¸co fechado não trivial T-invariante, a no¸cão de hiperciclicidade corresponde ao problema do subconjunto fechado não trivial T-invariante.

(10)

O primeiro cap´ıtulo apresentará alguns resultados e defini¸cões conhecidos tanto de Análise Funcional como de Análise Complexa. Com isso, pretendemos apresentar os pré-requisitos para o entendimento dessa disserta¸cão, tornando-a o mais auto-consistente poss´ıvel.

Em seguida, apresentaremos alguns resultados gerais sobre hiperciclicidade exis-tentes nos artigos [1], [7] e [11], juntamente com os primeiros exemplos conhecidos de operadores hiperc´ıclicos em Análise Complexa. Esse será o conteúdo do cap´ıtulo dois.

Já no terceiro cap´ıtulo mostraremos como certos operadores definidos no espa¸co de seqüências l2(Z_{) comportam-se em rela¸cão à hiperciclicidade.}

Ainda nesse sentido, o cap´ıtulo quatro ser´a dedicado ao comportamento do espa¸co de Fr´echetH(C_{). Verificaremos que existem operadores hiperc´ıclicos definidos}

sobre H(C_{), a saber, os operadores de convolu¸c˜ao .}

Outro espa¸co que iremos estudar sob esse aspecto ser´a o espa¸co dos polinˆomios

(11)

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar algumas defini¸cões e resultados que serão utilizados ao longo deste trabalho.

1.1 Categorias de Baire

No que segue, enunciaremos o Teorema de Baire, pois este ser´a ´util no Cap´ıtulo 2 para o estudo de vetores hiperc´ıclicos.

Teorema 1.1 (Teorema de Baire) Seja M um espa¸co métrico completo. Então toda interseçcão enumerável de abertos densos em M é também um subconjunto denso em M.

Demonstra¸c˜ao: Ver [21], p´agina 37.

1.2 Topologias Fraca e Fraca-Estrela

As defini¸cões e resultados a seguir serão utilizados no decorrer desta disserta¸cão, mais precisamente ao longo dos Cap´ıtulos 4 e 5. Inicialmente, definiremos as topologias fraca e fraca-estrela sobre um espa¸co de Banach X.

Defini¸c˜ao 1.2 Seja X um espa¸co de Banach.

(i) Chamamos de topologia fraca, ou w-topologia, sobreX a topologia gerada pelos conjuntos

O ={x∈X :|fj(x−x0)|< ε, para j = 1, ..., n},

quaisquer que sejamx0 ∈X, f1, ..., fn ∈X∗eε >0e a denotamos tal topologia por σ(X, X∗_).

(12)

(ii) A topologia fraca-estrela, ou w∗_{-topologia, definida sobre o espa¸co dual de} _X_,

X∗_{, ´e a topologia gerada por uma base formada pelos conjuntos}

O∗ ₌_{f _∈_X∗ _:_|₍_f ₋_f₀₎₍_x

j)|< ε, para j = 1, ..., n},

quaisquer que sejam f0 ∈X∗, x1, ..., xn ∈X e ε >0. Denotamos tal topologia por σ(X∗_{, X}_).

Dizemos que uma seqüência é fracamente convergente (w-convergente) se con-vergir com respeito à topologia fraca em X. Analogamente, uma seqüência é dita fraca-estrela convergente (w∗-convergente) se convergir com respeito à topologia fraca-estrela emX∗.

A seguir, introduziremos uma proposi¸cão que será utilizada ao longo do Cap´ıtulo 5, mais precisamente na Proposi¸cão 5.14. Visando facilitar a sua demonstra¸cão, consideraremos o seguinte resultado:

Lema 1.3 Seja X um espa¸co normado separável de dimensão infinita. Então: (a) existe uma seqüência (vn)n∈N linearmente independente densa em X.

(b) existe uma seq¨uˆencia(y∗

n)n∈Nlinearmente independente densa emX∗na

topolo-gia fraca-estrela.

Demonstra¸cão: ([14], página 57, Proposi¸cões 3 e 4).

Proposi¸cão 1.4 Sejam X um espa¸co de Banach separável de dimensão infinita e

X∗ _{o seu dual. Ent˜ao existem seq¨}_uˆencias ₍_x

n)n∈N ⊂X e (x∗_n)_n∈N⊂X∗ linearmente

independentes tais que

    

[xn:n∈N] =X, [x∗

n:n∈N] w∗

=X∗_,

x∗

m(xn) =δnm.

Demonstra¸cão: Sejam (yn)n∈N uma seqüência de elementos não nulos deX tais

que [yn :n∈N] =X (cuja existˆencia ´e garantida pelo Lema 1.3(a)), e (yn∗)n∈N⊂X∗

uma seq¨uˆencia tal que [y∗

n :n ∈N] w∗

=X∗ _{(Lema 1.3(b)).} Observe que, se para todo n∈N_, _y∗

n(x0) = 0 comx0 ∈X, segue que g∗(x0) = 0, para todo g∗ _∈ _[_y∗

n : n ∈ N]. Consideremos agora f ∈ X∗, e R > 0 tal que

f ∈ RBX∗. Como X é um espa¸co de Banach separável, RB_X∗ é metrizável na

(13)

(g∗

n)n∈N⊂ [y_n∗ :n ∈N] ∩ RB_X∗ tal que, para todo x∈X, temos lim

j→∞g ∗

j(x) =f(x). Em particular,

y∗_n(x0) = 0, ∀n∈N₌_⇒_g∗

j(x0) = 0, ∀j ∈N=⇒f(x0) = lim_j→∞gj∗(x0) = 0.

Nesse caso, como f foi escolhido arbitrariamente, segue que x0 = 0, se yn∗(x0) = 0, para todo n∈N _(1).

Feita essa observa¸c˜ao, vamos construir indutivamente elementos (xn)n∈N em X

e (x∗

n)n∈N em X∗ tais que      x∗

m(xn) = δmn,

[yn:n∈N] = [xn:n∈N], [y∗

n:n∈N] = [x∗n:n∈N]. Comecemos considerando x1 =y1 e x∗1 =

y∗

k₁

y∗

k₁(y1), onde k1 ´e qualquer inteiro tal que y∗

k1(y1)6= 0 (comoy1 6= 0, por (1), existe tal k1). Ent˜ao Seja h2 o menor inteiro tal

que y∗ h2 6∈[x

∗

1] e consideremos

x∗₂ =y_h∗₂ −x∗₁.y_h∗₂(x1).

Pela forma como foi escolhido, x∗

2 6= 0. Podemos ent˜ao tomar

x2 =

yk2 −x1.x

∗ 1(yk2)

x∗ 2(yk2)

,

onde k2 é qualquer ´ındice tal que x∗2(yk2) 6= 0 (cuja existência é garantida por (1)).

Note que

x∗₁(x1) = y ∗ k1(y1)

y∗ k1(y1)

= 1;

x∗₁(x2) = x∗₁

yk2 −x1.x

∗ 1(yk2)

x∗ 2(yk2)

=

= x

∗

1(yk2)−x

∗

1(x1).x∗1(yk2)

x∗ 2(yk2)

= 0;

x∗₂(x1) = (y∗_h₂ −x∗₁.y_h∗₂(x1))(x1) = = y∗_h₂(x1)−x₁∗(x1).y_h∗₂(x1) = 0;

x∗₂(x2) = x∗₂

yk2 −x1.x

∗ 1(yk2)

x∗ 2(yk2)

=

= x

∗

2(yk2)−x

∗

2(x1).x∗1(yk2)

x∗ 2(yk2)

(14)

Assim, pela nossa escolha, x∗

m(xn) =δmn para 1≤m, n≤2.

No pr´oximo passo, seja h3 o menor inteiro tal que yh3 6∈[x1, x2] e consideremos

x3 =yh3 −x1.x

∗

1(yh3)−x2.x

∗ 2(yh3),

x∗ 3 =

y∗ k3 −x

∗

1.yk∗3(x1)−x

∗

2.yk∗3(x2)

y∗ k3(x3)

,

ondek3 ´e qualquer ´ındice tal queyk∗3(x3)6= 0. Assim, pode-se mostrar quex

∗

m(xn) =

δm

n para 1≤m, n≤3.

Continuamos a constru¸cão da seqüência dessa mesma forma: no passo 2n, come¸camos emX∗ _{e constru´ımos primeiro o elemento}_x∗

2n, enquanto no passo 2n+1, come¸camos construindo ox2n+1. Por constru¸cão, as seqüências (xn)n∈Ne (x∗_n)n∈Nsão linearmente

independentes.

Observe agora que, do modo como foram constru´ıdos os vetores xn, temos que [yn : n ∈ N] = [xn : n ∈ N]. De fato, claramente, [xn : n ∈ N] ⊂ [yn : n ∈ N]. Por outro lado, pela forma como foi definido x1, temos quey1 ∈[x1]. Considerando então y2, claramente y2 ∈/ [x1], pois y1 e y2 são linearmente independentes. Então ou y2 ∈ [x1, x2] ou o ´ındice 2 é o menor inteiro tal que y2 ∈/ [x1, x2]. Nesse caso, pela forma como x3 foi constru´ıdo, segue que y2 = x3 +x1.x∗1(y2) + x2.x∗2(y2), ou seja, y2 ∈[x1, x2, x3]. Novamente, y3 ∈/ [x1, x2, x3], pois y1, y2 e y3 são l.i. Assim, ou

y3 ∈[x1, x2, x3, x4] ou o ´ındice 3 ´e o menor inteiro tal que y3 ∈/ [x1, x2, x3, x4]. Ent˜ao

y3 =x5+x1.x∗1(y3)+x2.x∗2(y3)+x3.x3∗(y3)+x4.x∗4(y3), ou seja,y3 ∈[x1, x2, x3, x4, x5]. Generalizando, yn∈[x1, x2, x3, ..., x2n−1], para todo n ∈N.

Assim, mostramos que [yn : n ∈ N] = [xn : n ∈ N]. Por um argumento an´alogo, mostramos que [y∗

n : n ∈ N] = [x∗n : n ∈ N]. Como [yn :n∈N] = X, e [y∗

n :n ∈N] w∗

=X∗_{, segue que}

  

 

[yn:n∈N] = [xn:n∈N] e [xn :n ∈N] =X, [y∗

n:n∈N] = [x∗n:n∈N] e [x∗n :n ∈N] w∗

=X∗_,

x∗

m(xn) = δmn.

1.3 Operadores em Espa¸cos de Banach

Sejam X e Y espa¸cos de Banach complexos. Denotaremos porB(X, Y) o espa¸co de Banach das aplica¸c˜oes lineares limitadas de X em Y. Se X = Y, denotaremos tal espa¸co porB(X).

Considerando agora os duais X∗ _e_Y∗ _de_X _e_Y _{respectivamente, a aplica¸c˜ao} _T∗ deY∗ _em _X∗ _{´e definida da seguinte forma:}

(15)

Defini¸c˜ao 1.5 SejamX um espa¸co de Banach complexo eT ∈ B(X, Y). O espectro

σ(T) de T ´e definido por

σ(T) ={λ∈C_:_λI ₋_T _{n˜ao ´e invert´ıvel}_},

onde I é o operador identidade. Chamamos de espectro pontual de T, σp(T), ao conjunto dos autovalores de T, isto é, ao conjunto de todos os λ ∈ σ(T) para os quais a aplica¸cão (T −λI) não é injetora.

A próxima proposi¸cão nos fornece uma rela¸cão entre a aplica¸cãoT ∈ B(X) e sua adjunta T∗ _{∈ B}₍_X∗_{), onde} _X _{é um espa¸co de Banach. Tal resultado será utilizado} ao longo do Cap´ıtulo 2.

Proposi¸c˜ao 1.6 Sejam X um espa¸co de Banach e T ∈ B(X). Ent˜ao o operador

T∗ _{ser´a injetor se, e somente se, a imagem de} _T _{for densa em} _X_.

Demonstra¸c˜ao: Ver [21], p´agina 290, Teorema 3.1.17(b).

O teorema a seguir diz respeito a extensões de aplica¸cões lineares cont´ınuas definidas sobre espa¸cos de Banach. Tal resultado será utilizado ao longo do Cap´ıtulo 4.

Teorema 1.7 Sejam Y um espa¸co de Banach e Z um subespa¸co de um espa¸co normado X. Se T :Z →Y for uma aplica¸cão linear cont´ınua, então T possui uma extensão T˜: ¯Z →Y linear cont´ınua de norma kTk=kT˜k.

Demonstra¸cão: Consideremos x∈ Z¯. Então existe uma seqüência (xn)n∈N ⊂ Z

tal que xn →x. Agora, T ´e cont´ınua; logo, quaisquer que sejam m, n∈N,

kT xn−T xmk=kT(xn−xm)k ≤ kTkkxn−xmk.

Assim, a seqüência (T xn)n∈Né de Cauchy emY, uma vez que (xn)n∈Né convergente

em X.

Como Y é completo, existe y ∈ Y tal que T xn → y. Definamos então ˜T x= y. Note que tal y independe da escolha feita para a seqüência (xn)n∈N: de fato, se

considerarmos duas seq¨uˆencias (xn)n∈N,(wn)n∈N ∈ Z convergindo ambas para x,

teremos

(16)

Vamos mostrar a seguir que ˜T ´e linear.

Sejam y, z ∈Z¯ e λ∈K _{quaisquer. Ent˜ao existem (}_y_n)n∈_N_,₍_z_n)n∈_N_∈_Z _{tal que} y= limyn=⇒T y˜ = limT yn e z = limzn =⇒T z˜ = limT zn.

Logo

˜

T y+λT z˜ = limT yn+λlimT zn = lim(T yn+λT zn) = = limT(yn+λzn) = ˜T(y+λz),

pois yn+λzn→y+λz.

Dados x ∈ Z¯ e (xn)n∈N ∈ Z com xn → x, vimos que limT xn = ˜T x. Como T ´e cont´ınua, kT xnk ≤ kTkkxnk para todo n e, pela continuidade da norma temos

kT xk ≤ kT˜ kkxk. Agora

kT˜k= inf{M >0 :kT xk ≤˜ M.kxk ∀x},

o que implica emkT˜k ≤ kTk. Agora, como ˜T ´e extens˜ao deT,kT˜k ≥ kTk. Portanto

kT˜k=kTk.

1.4 Espa¸cos Localmente Convexos

DadoE um espa¸co vetorial sobre um corpoK _{munido de uma topologia}_τ_{, dizemos}

que E é um espa¸co vetorial topológico, ou simplesmente um EVT, se as aplica¸cões (x, y)∈E×E → x+y∈E e

(λ, y)∈K_×_E _→ _λ.y_∈_E

s˜ao cont´ınuas.

Exemplo: Qualquer espa¸co normado ´e um espa¸co vetorial topol´ogico.

Defini¸c˜ao 1.8 Sejam E um espa¸co vetorial sobre K _e _A _{um subconjunto de} _E_.

Diremos que A ´e convexo se, para quaisquer x, y em A e para quaisquer α, β ≥ 0 com α+β = 1, temos que αx+βy ∈A.

Se X ´e um espa¸co normado, as bolas s˜ao exemplos de conjuntos convexos. ´

(17)

Defini¸cão 1.9 Um espa¸co vetorial topológico E é denominado espa¸co localmente convexo (ELC) se cada vizinhan¸ca de zero contém uma vizinhan¸ca convexa. Nesse caso, diremos que a topologia de E é uma topologia localmente convexa.

Dado um espa¸co normado X qualquer, vimos que X´e um EVT com a topologia induzida pela norma. As bolas

B(0;ε) ={x∈X :kxkX < ε}

com ε >0, formam uma base de vizinhan¸cas convexas de zero. Conseq¨uentemente, cada espa¸co normado ´e um espa¸co localmente convexo.

Defini¸cão 1.10 (i) Um espa¸co vetorial topológico E é dito metrizável se existe uma métrica em E que define sua topologia.

(ii) Todo espa¸co localmente convexo metrizável completo será chamado espa¸co de Fréchet.

Exemplo: Todo espa¸co de Banach X ´e um espa¸co de Fr´echet.

Proposi¸cão 1.11 Seja(Tn)uma seqüência de aplica¸cões lineares cont´ınuas definidas de um espa¸co de Fréchet E com valores em um espa¸co vetorial topológico Hausdorff

F tal que lim

n→∞Tn(x) existe para cada x ∈E. Consideremos a aplica¸c˜ao T definida como

T :E −→ F

x 7−→ T x= lim

n→∞Tn(x). Então T é uma fun¸cão linear cont´ınua de E em F.

Demonstra¸cão: Ver a demonstra¸cão em [21], página 200.

OBS: Na verdade, para a proposi¸cão acima ser válida, basta queE seja um espa¸co vetorial topológico de Baire ([22], página 58). Como todo espa¸co metrizável completo é de Baire, e trabalharemos no decorrer da disserta¸cão com espa¸cos de Fréchet, optamos por enunciá-lo desta forma.

A seguir vamos estudar algumas topologias localmente convexas a partir de fam´ılias de seminormas.

Defini¸cão 1.12 Seja E um espa¸co vetorial. Uma fun¸cão p:E →R_{é chamada de}

(18)

(a) p(x)≥0 para todo x∈E;

(b) p(λx) =|λ|p(x) para todo x∈E e λ∈K_;

(c) p(x+y)≤p(x) +p(y) para todo x, y ∈E.

OBS: Uma seminorma pser´a uma norma se p(x) = 0 implicar em x= 0.

DadosE um espa¸co vetorial qualquer ep:E →R_{uma seminorma, consideremos}

o conjunto

Up,ε={x∈E :p(x)< ε}, onde ε >0.

Consideremos agora P uma fam´ılia de seminormas em E e o conjunto

B0 ={∩p∈P0Up,ε:P0 ⊂P finito , ε >0}.

Pode-se mostrar que existe uma única topologia localmente convexa τ0 em E que admiteB como base de vizinhan¸cas de zero. Essa topologia é a mais fraca emE tal que cada p∈P é cont´ınua. ChamamosτP de topologia localmente convexa definida por P. A demonstra¸cão desse fato pode ser encontrada em [22], página 88. Na ver-dade, toda topologia localmente convexa é gerada por uma fam´ılia de seminormas.

Exemplo: As topologias fracaw e fraca-estrelaw∗ _{definidas anteriormente s˜ao} ger-adas a partir de fam´ılias dirigidas de seminormas. De fato, lembrando da defini¸c˜ao de conjunto dirigido:

Um conjunto Λ´e dito ser dirigido se existe uma rela¸c˜ao ≺ sobre Λ satisfazendo: (a) λ≺λ, para cada λ∈Λ;

(b) se λ1 ≺λ2 e λ2 ≺λ3, ent˜ao λ1 ≺λ3,

(c) se λ1, λ2 ∈Λ, ent˜ao existe um λ3 ∈Λ satisfazendo λ1 ≺λ3 e λ2 ≺λ3,

Sejam E um espa¸co normado eE∗ _{o espa¸co dual de}_E_{. Para cada} _A_⊂_E∗ _finito, definimos a seminorma

pA:E −→ R

x 7−→ pA(x) = max y∗_∈A|y

∗₍_x₎_|.

A fam´ılia {pA:A⊂E∗ é finito }é dirigida pela rela¸cão

(19)

e os conjuntos

UA,ε ={x∈E :pA(x)< ε},

onde ε >0 e A⊂E∗ _{finito, formam uma base de vizinhan¸cas de zero.} Analogamente, definindo a fam´ılia dirigida de seminormas

pB :E∗ −→ R

y∗ 7−→ pB(y∗) = max x∈B |y

∗₍_x₎_|, com B ⊂E finito, os conjuntos

UB,ε={y∗ ∈E∗ :pB(y∗)< ε},

onde ε >0, formam uma base de vizinhan¸cas convexas de zero.

O exemplo a seguir trata de dois espa¸cos dos quais voltaremos a falar nas pr´oximas se¸c˜oes deste cap´ıtulo.

Exemplo: Seja E um espa¸co topol´ogico e consideremos C(E) o espa¸co vetorial sobre o corpo C _{de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas definidas em} _E _{com valores em} C_.

Consideremos a fam´ılia de seminormas pK :C(E)→R definidas por

pK(f) = sup_x∈K|f(x)|,

onde K ´e um subconjunto compacto de E. Os conjuntos

UK,ε ={f ∈ C(E) :pK(f)< ε},

comε >0 formam uma base de vizinhan¸cas abertas convexas de zero e, portanto, in-duzem uma topologiaτP localmente convexa. Chamamos essa topologia de topologia compacto-aberta em C(E) e a denotamos por τ0.

Consideremos agora o espa¸co H(C_{) constitu´ıdo de todas as fun¸c˜oes} _f _: C _→ C

holomorfas. Claramente, H(C₎ _{⊂ C}₍C_{). Mais ainda: se considerarmos a mesma}

fam´ılia de seminormas pK onde K ⊂C compacto, os conjuntos

UK,ε ={f ∈ H(C) :pK(f)< ε},

com ε > 0, formam a base de vizinhan¸cas de zero na topologia τ0. Logo H(C) ´e subespa¸co topol´ogico deC(C_{), munido da topologia compacto-aberta.}

Proposi¸c˜ao 1.13 Sejam E e F dois espa¸cos localmente convexos e sejam P e Q

(20)

Demonstra¸cão: Seja q ∈ Q e suponhamos T : E −→ F uma aplica¸cão linear cont´ınua. Então existem p ∈ P e δ > 0 tais que p(x) ≤ δ =⇒ q(T x) ≤ 1. Seja

x ∈ E tal que p(x) 6= 0, e consideremos y = _p(x)δ x. Ent˜ao p(y) = δ e portanto

q(T y)≤1. Logo

q

T

δ p(x)x

= δ

p(x)q(T x)≤1 =⇒q(T x)≤ 1

δp(x).

Se p(x) = 0, claramente q(T x) ≤ 1

δp(x) ≤ 1 e, portanto, a desigualdade acima continua v´alida. Assim, tomandoc= 1

δ, segue que q(T x)≤cp(x), para todox∈E. Reciprocamente, suponhamos que para cada q ∈ Q, existem p∈ P e c >0 tais que q(T x) ≤ cp(x), para todo x ∈ E. Dado ε > 0, consideremos δ = ε

c. Se x ∈ E for tal que p(x)< δ, ent˜ao q(T x) ≤ cp(x)≤ cε

c =ε. Segue que T ´e cont´ınua em 0 e, portanto, em E.

1.5 Espa¸co

C

(G)

de Fun¸c˜

oes Cont´ınuas (G

⊂

C

_aberto)

O desenvolvimento a seguir objetiva mostrar que o espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas definidas num aberto G ⊂ C_, _C₍_G_{), munido da topologia compacto-aberta ´e um}

espa¸co de Fréchet. Para provar tal afirma¸cão, recordamos que, sendo E um espa¸co topológico, um subconjunto A ⊂ E será dito conexo se não existirem abertos V e

W disjuntos de E tais que A∩V 6=∅, A∩W 6=∅ e A⊂V ∪W. Um subconjunto conexo maximal de A ser´a chamado de componente conexa deA.

Observemos que quaisquer duas componentes conexas deAsão disjuntas e, além disso, A é a união de suas componentes conexas. De fato, se considerarmos V e W

duas componentes conexas distintas deA, e supormosV ∩W 6=∅, ent˜aoV ∪W ser´a um subconjunto conexo, contrariando o fato deV eW serem componentes conexas deA.

Proposi¸cão 1.14 Seja G um aberto em C_{. Então existe uma seq¨}_uência ₍_K_n)n∈N

de subconjuntos compactos de G tal que G = ∞

[

n=1

Kn. Mais ainda: os conjuntos Kn

podem ser escolhidos de tal forma que satisfa¸cam as seguintes condi¸c˜oes:

(a) Kn⊂intKn+1;

(21)

Demonstra¸c˜ao: Dadoz ∈G qualquer, temos que

d(z,C_\_G_{) = inf}_{|z₋_w|_:_w_∈C_\_G}.

Para cada n∈N _{, seja}

Kn ={z :|z| ≤n} ∩ {z :d(z,C\G)≥ 1

n} ⊂G.

Como {z :|z| ≤ n} é a imagem inversa do intervalo [0, n] pela fun¸cão módulo, que é cont´ınua, segue que{z :|z| ≤n} é fechado.

Tamb´em o conjunto {z : d(z,C_\_G₎ _< 1

n} ´e imagem inversa do intervalo [0, n] pela fun¸c˜ao cont´ınua,

g :G −→ R

z 7−→ g(z) = inf{|z−w|:w∈C_\_G},

do aberto (0,1/n). Assim, cada Kné fechado, e limitado em C. Segue que cadaKn é compacto. Além disso,

Kn⊂

{z :|z|< n+ 1} ∩

z :d(z,C_\_G₎_> 1 n+ 1

é aberto, contém Kn e está contido em Kn+1. Da´ı segue o item (a). Vamos mostrar a seguir que G=

∞

[

n=1

Kn. Para isso, consideremosz ∈G. Então existen1 ∈Ntal que|z| ≤n1. Também existen2 ∈Npara o qual d(z,C\G)≥ _n1₂. Sendo então n = max{n1, n2}, segue que z ∈Kn. Em outras palavras, G⊂

∞

[

n=1

Kn.

Por outro lado, Kn⊂Gpara todon. PortantoG= ∞

[

n=1

Kn. Mais ainda: do fato

deG ser aberto, segue que

G=

∞

[

n=1

intKn.

Assim, estamos em condi¸c˜oes de provar (b): de fato, seK for um subconjunto com-pacto de G, visto que G =

∞

[

n=1

Kn com Kn ⊂ Kn+1 para cada n ∈ N, segue que existen0 ∈N tal que K ⊂Kn0.

Seja G um aberto em C _{tal que} _G ₌

∞

[

n=1

Kn, onde cada Kn ´e compacto e Kn ⊂ intKn+1. Para cada n, definamos ρn(f, g) = sup

z∈Kn

(22)

Definamos tamb´em

ρ(f, g) = ∞

X

n=1 1 2n

ρn(f, g)

1 +ρn(f, g), ( 1)

para f, g ∈ C(G) quaisquer. Note que a série (1) é dominada pela série ∞

X

n=1 1 2n, que converge.

Lema 1.15 A fun¸cão ρ:C(G)× C(G)→[0,∞) definida em (1) é uma métrica em

C(G).

Demonstra¸c˜ao: Para ρ ser uma m´etrica, ρ tem que satisfazer as seguintes pro-priedades:

(a) ρ(f, g)≥0, ∀f, g∈ C(G); (b) ρ(f, g) = 0 =⇒f =g;

(c) ρ(f, g) = ρ(g, f), ∀f, g∈ C(G);

(d) Dadosf, g ∈ C(G) quaisquer, ρ(f, g)≤ρ(f, g) +ρ(f, g).

Dos itens acima, o único que não é trivial é o item (d). Para demonstrá-lo, sejaF a fun¸cão de [0,∞) em [0,∞) definida porF(t) = _1+tt . Observe que F é cont´ınua para todo t≥0, e F′₍_t_{) =} 1

(1+t)2 ≥0. Logo a fun¸c˜ao ´e crescente.

Consideremos agora f, g, h∈ C(G). Para todo z ∈C_, |f(z)−g(z)| ≤ |f(z)−h(z)|+|h(z)−g(z)|.

[0,∞). Ent˜ao, para cadan,

ρn(f, g)

1 +ρn(f, g) = F(ρn(f, g))≤F(ρn(f, h) +ρn(h, g))

= ρn(f, h)

1 + [ρn(f, h) +ρn(h, g)] +

ρn(h, g)

1 + [ρn(f, h) +ρn(h, g)]

≤ ρn(f, h)

1 +ρn(f, h)+

(23)

Da´ı segue que

ρ(f, g) = ∞

X

n=1 1 2n

ρn(f, g) 1 +ρn(f, g) ≤

∞

X

n=1 1 2n

ρn(f, h) 1 +ρn(f, h)+

ρn(h, g) 1 +ρn(h, g)

= ρ(f, h) +ρ(h, g).

Vimos na se¸cão anterior que a fam´ılia de seminormas {pK :K ⊂G compacto} definidas no espa¸co C(G) gera uma topologia τ0 chamada de topologia compacto-aberta. A seguir, vamos mostrar que essa topologia e a gerada pela métrica ρ são equivalentes.

Lema 1.16 Consideremos o espa¸co C(G) munido da m´etrica ρ definida anterior-mente em (1). Dado ε >0, existem um δ >0 e um compacto K ⊂G tais que, para quaisquer f, g ∈ C(G,C_),

sup z∈K

{|f(z)−g(z)|} ≤δ=⇒ρ(f, g)≤ε.

Reciprocamente, dados δ > 0 e K ⊂ G um compacto, existe um ε > 0 tal que, para quaisquer f, g ∈ C(G,C_),

ρ(f, g)≤ε=⇒sup z∈K

{|f(z)−g(z)|} ≤δ.

Demonstra¸c˜ao: Vimos que existe uma fam´ılia de compactos {Kn} tal que G = ∞

[

n=1

Kn e {Kn} satisfaz a Proposi¸c˜ao 1.14. Ent˜ao, dado ε > 0, seja p ∈ N tal que ∞

X

n=p+1

1/(2n)< ε/2 e consideremos K =Kp.

Por outro lado, do fato da fun¸c˜ao F definida anteriormente no Lema 1.15 ser cont´ınua, existe δ >0 tal que, se 0≤t < δ,

t

1 +t <

1 2ε.

Tomemos ent˜ao f, g ∈ C(G) tais que sup_z∈K{|f(z)−g(z)|} ≤δ.

Como Kn ⊂ K para todo n com 1 ≤ n ≤ p, segue que 0 ≤ ρn(f, g) < δ, para todo n= 1, ..., p e, portanto,

ρn(f, g) 1 +ρn(f, g) <

(24)

Assim

ρ(f, g) = p X n=1 1 2n

ρn(f, g) 1 +ρn(f, g)

+ ∞ X n=p+1 1 2n

ρn(f, g) 1 +ρn(f, g)

< p X n=1 1 2n 1 2ε+

∞

X

n=p+1 1 2n <

ε

2 +

ε

2 < ε

Reciprocamente, sejam δ >0 e K ⊂G um compacto quaisquer. Como

G=

∞

[

n=1

Kn = ∞

[

n=1

intKn

pela Proposi¸c˜ao 1.14, existe um p >1 tal que K ⊂Kp. Logo

sup z∈K

{|f(z)−g(z)|} ≤ sup z∈Kp

{|f(z)−g(z)|} = ρp(f, g).

Consideremos ent˜ao ε > 0 tal que, se 0 ≤ s < 2p_ε_, s

1−s < δ (podemos supor a existˆencia de tal ε pela continuidade da fun¸c˜ao s

1−s para s ∈[0,1)). Assim,

ρ(f, g)< ε=⇒

∞

X

n=1

ρn(f, g)

2n_{(1 +}_ρ_n(_{f, g}₎₎ < ε=⇒

ρp(f, g) 1 +ρp(f, g) <2

p_ε.

Portanto tomando s = ρp(f,g)

1+ρp(f,g), teremos que supz∈K{|f(z)−g(z)|} ≤ ρp(f, g)≤ δ.

Do lema acima, segue que

Lema 1.17 (a) Um conjunto O em(C(G), ρ)´e aberto se, e somente se, para cada

f ∈ O, existirem um compacto K ⊂G e um δ >0 tal que

{g ∈ C(G) : sup z∈K

|f(z)−g(z)|< δ} ⊂ O.

(b) Uma seq¨uˆencia (fn)n∈N em (C(G), ρ) converge se, e somente se, (f_n)_n∈N

con-vergir uniformemente sobre todos os compactos de G. Proposi¸cão 1.18 O espa¸co métrico (C(G), ρ) é completo.

Demonstra¸cão: Seja (fn)n∈N uma seqüência de Cauchy em C(G). Então, para

cada compactoK ⊂Ga seqüência das fun¸cões restritas aK, (fn|K)n∈Né de Cauchy,

ou seja, dado ε >0, existe Nε∈N tal que sup

z∈K

{|fn(z)−fm(z)|}<

ε

(25)

Em particular, para cada z ∈ G, a seqüência (fn(z))n∈N é de Cauchy em C. Como

C _{´e completo, existe} _ξ_z _∈ C _{tal que lim}

n→∞fn(z) = ξz. Consideremos ent˜ao a fun¸c˜ao

f : G→ C _{definida por} _f₍_z_{) =} _ξ_{z; vamos mostrar que} _f _{´e cont´ınua, e que} _f_n_|_K _→ f|K uniformemente.

Fixemos ε > 0 e seja Nε ∈ N tal que valha (2). Dado z ∈ K qualquer, pela defini¸c˜ao de f, existe mz > Nε para o qual |fmz(z)−f(z)| <

ε

2. Assim, para todo

sup z∈K

{|fn(z)− f(z)|} < ε, para todo n ≥ Nε. Como n independe de z, a fun¸c˜ao

f|K é limite uniforme da seqüência (fn|K))n∈N, implicando em f ser cont´ınua em

K ([8], página 29, Teorema 6.1). Visto que K ⊂ G foi pêgo arbitrariamente, pela Proposi¸cão 1.14, segue que f é cont´ınua em G e, assim, a seqüência {fn} converge uniformemente sobre compactos para a fun¸cão cont´ınua f. Portanto, pelo Lema 1.17, (C(G), ρ) é completo.

Os resultados anteriores nos garantem que as topologias compacto-aberta τ0 e a induzida pela métrica ρ definida acima coincidem. Assim, temos que C(G) é um espa¸co localmente convexo metrizável completo. Em outras palavras, C(G) é um espa¸co de Fréchet.

1.6 O Espa¸co

H

(

C

₎

_{das Fun¸c˜}

_{oes Inteiras em}

C

_.

Vamos a seguir estudar o subespa¸co topol´ogico H(C_{) de} _C₍C_{). Considerando a}

restri¸c˜ao da m´etrica ρ definida anteriormente ao H(C_{), para que esse subespa¸co}

herde as propriedades deC(C_{), é necessário e suficiente mostrar que}_H₍C_{) é fechado}

em C(C_).

Teorema 1.19 (Teorema de Morera) Seja G um aberto conexo de C _e

consi-deremos uma fun¸c˜ao cont´ınua f : G → C _{tal que} R

T f = 0, para todo caminho triangular T em G. Ent˜ao f ser´a holomorfa.

Demonstra¸c˜ao: Ver [8], p´agina 86.

Observamos que a integral definida num caminho triangular T corresponde a soma das integrais definidas nos segmentos que o comp˜oe.

Teorema 1.20 Sejam (fn)n∈N uma seqüência em H(C) e f uma fun¸cão em C(C)

(26)

Demonstra¸cão: Mostraremos quef é holomorfa aplicando o Teorema de Morera. Sabemos, por hipótese que fn → f. Então, dado ε > 0, seja T ⊂ C um caminho triangular qualquer. Como T é compacto (fechado e limitado), existe n0 ∈ N tal que

sup z∈T

|fn(z)−f(z)|< ε

∆T, ∀n > n0,

com ∆T denotando a ´area de T. Em particular, para todon > n0,

Z

T

fn(z)dz−

Z

T

f(z)dz

≤

Z

T

|fn(z)−f(z)|dz < ε

∆T∆T =ε.

Então R_T fn(z)dz → R_T f(z)dz quando n → ∞. Agora, T é uma caminho fechado e fn é holomorfa para todo n; logo temos que

R

T fn(z)dz = 0, para todo n e, pela unicidade do limite,R_T f(z)dz = 0. Assim, para qualquer caminho triangularT ∈C_,

R

Tf(z)dz = 0; segue do Teorema de Moreira, que f ´e holomorfa.

Vamos a seguir, mostrar que fn(k) → f(k), para todo inteiro k ≥ 1, utilizando para isso a estimativa de Cauchy ([8], página 73). Dado ε > 0, fixemos k ≥ 1 e consideremos K ⊂C _{um compacto. Então existe} _{R >} _{0 tal que} _K _⊆_RB_C _{e, como} fn→f por hipótese, existe n1 ∈N tal que

sup w∈RBC

|fn(w)−f(w)|< εR

k

k!, ∀n > n1,

uma vez que o conjunto RBC ´e compacto. Agora, para cada z ∈ K, encontramos

rz >0 tal que (rzB+z)⊆RBC. Assim, para cadan ∈N, |fn(v)−f(v)| ´e limitado

qualquer que seja v ∈(rzB+z). Aplicando a estimativa de Cauchy,

|f(k)

n (z)−f(k)(z)| ≤

k!

Rk sup v∈(rzB+z)

|fn(v)−f(v)| ≤

k!

Rk sup w∈RBC

|fn(w)−f(w)|< ε,

para todo n > n1, qualquer que seja z ∈K. Em particular, sup

z∈K

|f(k)

n (z)−f(k)(z)|< ε, ∀n > n1.

Como K foi escolhido arbitrariamente, seque que fn(k) →f(k) uniformemente sobre compactos, para todo inteirok ≥1.

Corolário 1.21 O subespa¸co (H(C₎_{, ρ}₎_{é um espa¸co localmente convexo metrizável}

completo, ou seja, (H(C₎_{, ρ}₎ _{´e um espa¸co de Fr´echet.}

(27)

Proposi¸cão 1.22 SejamK um subconjunto compacto de C_e _G_{uma vizinhan¸ca de} K tal que C_\_G _{é conexo. Então, para cada fun¸cão} _f _{anal´ıtica em} _G_{, existe uma}

seqüência de polinômios (pn)n∈N em C convergindo uniformemente para f em K.

Omitiremos aqui a demonstra¸cão da proposi¸cão acima, mas salientamos que tal resultado é uma conseqüência do Teorema de Runge, cujos enunciado e demons-tra¸cão podem ser encontrados em ([8], páginas 198 a 200).

O próximo resultado será utilizado no Cap´ıtulo 4 dessa disserta¸cão. Entretanto, antes de enunciá-lo, iremos definir fun¸cões de tipo exponencial.

Defini¸cão 1.23 Uma fun¸cão f ∈ H(C₎_{é dita ser de tipo exponencial quando}

exis-tem C >0 e R > 0 tais que |f(z)| ≤CeR|z|_{, para todo} _z _∈_C_.

O espa¸co vetorial constitu´ıdo por todas as fun¸c˜oes de tipo exponencial ´e denotado por Exp(C_).

Proposi¸c˜ao 1.24 Sejam f uma fun¸c˜ao holomorfa e ∞

X

n=0

f(n)

n! (x0)(x−x0) n

sua série de Taylor em x0 ∈ C. Então f é de tipo exponencial se, e somente se, a seqüência (|f(n)₍_x

0)|

1

n)_n∈_N for limitada.

Demonstra¸cão: Suponhamos inicialmente que a fun¸cão f seja de tipo exponen-cial. Então existemC >0 e R >0 tais que|f(z)| ≤CeR|z|_{, para todo}_z _∈_C_{. Vamos} mostrar que (|f(n)₍_x₀₎_|_n1_)n∈

N´e limitada. De acordo com a estimativa de Cauchy ([8],

p´agina 73), para cada n∈N _{e para todo} _{ρ >}_0,

|f(n)(x0)| ≤

n!

ρn

sup |x−x0|=ρ

|f(x)| ≤

n!

ρn

sup |x−x0|=ρ

(CeR|x|)

=

n!

ρn

sup |x−x0|=ρ

(CeR|(x−x0)+x0|₎_≤_CeR|x0|

n!e Rρ

ρn

.

Tomando ent˜ao ρ = _Rn, segue que |f(n)₍_x₀₎_{| ≤} _CeR|x0|

n!en_nRnn

para cada n ∈ N_.

Agora, a F´ormula de Stirling garante que, para n >>1, n! = nn

en. Nesse caso, |f(n)₍_x₀₎_{| ≤}_CeR|x0|_Rn₌_{⇒ |f}(n)₍_x₀₎_|n1 ≤(CeR|x0|)

1

nR.

Logo lim

n→∞sup|f (n)₍_x

0)|

1

n < R e, portanto, a seq¨uˆencia (|f(n)(x0)|

1

n)n∈_N ´e limitada.

Reciprocamente, suponhamos que (|f(n)₍_x₀₎_|_n1_)n∈

N´e limitada e vamos encontrar

C >0 eR >0 para os quais|f(z)| ≤CeR|z|_{, para todo}_z _∈_C_{. Como (}_|f(n)₍_x₀₎_|_n1_)n∈

(28)

´e limitada, existe M > 0 tal que |f(n)₍_x₀₎_|_n1 _≤ _M _{para todo} _n _∈ _N_{0, ou seja,}

|f(n)₍_x₀₎_{| ≤}_Mn _{para todo}_n _∈_N_{0. Ent˜ao}

|f(x)| = |

∞

X

n=0

f(n)

n! (x0)(x−x0) n_{| ≤}

∞

X

n=0

|f(n)₍_x₀₎_|

n! |x−x0| n

≤

∞

X

n=0

Mn

n! |x−x0| n₌

∞

X

n=0 1

n!(M|x−x0|) n

= eM|x−x0|_≤_eM|x0|_eM|x|_.

(29)

Hiperciclicidade

Conforme mencionamos na introdu¸cão desse trabalho, o conceito de fam´ılias univer-sais teve sua origem em um trabalho de G. D. Birkhoff em 1929, onde foi provada a existência de uma fun¸cão f em H(C_{) tal que o conjunto}_{f₍_z₎_{, f}_{(1 +}_z₎_{, ..., f}₍_n₊ z), ...}é denso em H(C_{), quando} _H₍C_{) está munido da topologia compacto-aberta.}

Mais tarde, em 1952, MacLane encontrou uma fun¸cão f ∈H(C_{) tal que o conjunto} {f, f′_{, ..., f}(n)_{, ...}}_{é denso em} _H₍_C_{). Já o primeiro exemplo conhecido de operadores} hiperc´ıclicos em espa¸cos de Banach e Hilbert na literatura foi o desenvolvido por Rolewicz em 1969. A seguir, apresentaremos demonstra¸cões desses resultados. Para os exemplos de Birkhoff e MacLane, seguiremos o artigo [2] e, para o exemplo de Rolewicz, reproduziremos a demonstra¸cão original existente no artigo [26]. Feito isso, apresentaremos alguns resultados sobre hiperciclicidade.

Defini¸cão 2.1 SejamE um espa¸co vetorial topológico e T um operador linear con-t´ınuo em E. Dizemos que T é hiperc´ıclico se, para algum elemento x∈X, a órbita de x sob T, Orb(T, x) ={x, T x, T2_{x, ...}}_{, for densa em}_E_{. Nesse caso, tal elemento}

x∈E ser´a chamado de vetor hiperc´ıclico para T.

De acordo com a defini¸cão de operador hiperc´ıclico, para que um espa¸co ve-torial topológico E tenha algum operador hiperc´ıclico definido em E, E precisa ser separável, ou seja, E precisa conter um subconjunto enumerável denso. Outra observa¸cão a ser feita é que não existem operadores hiperc´ıclicos em espa¸cos de di-mensão finita, uma vez que todo espa¸co E de dimensão finita m > 0 é isomorfo a

Km_{. Em particular, se considerarmos um operador linear} _T _{definido no espa¸co} _E e a forma de Jordan de T em rela¸c˜ao a uma base apropriada B, teremos uma das

(30)

seguintes situa¸c˜oes:

(i) [T]B =

     

λ 0 ... 0

0

... A(m−1)×(m−1) 0      

no caso de E ter pelo menos um autovalor λ ou

(ii) [T]B =

       

a −b 0 ... 0

b a 0 ... 0

0 0

... ... B(m−2)×(m−2) 0 0        

no caso deE ser umR_{-espa¸co vetorial e n˜ao possuir autovalor. Nesse caso, podemos}

considerar a+ib=r(cosϕ+isenϕ), comr >0 e ϕ∈R _([14]).

Vamos analisar ambos os casos separadamente.

(i) Consideremos x ∈ E e escrevamos x na base B como x = (x1, x2, ..., xm)B. Ent˜ao, tomandon ∈N_,

[Tn]B.

      x1 x2 ... xm      =      

λn ₀ _... ₀

0

... A′

(m−1)×(m−1) 0      .       x1 x2 ... xm      =      

λn_x 1 v2 ... vm      

quaisquer que sejam as coordenadas v2, ..., vm−1, vm.

Supondo λ = |λ|(cosθ +i senθ) e x1 6= 0, e tomando n → ∞, teremos trˆes

situa¸c˜oes: _

 

 

|λ|<1 ⇒ |λn_x

1| →0,

|λ|= 1 ⇒ |λn_x

1| =|x1|,

|λ|>1 ⇒ |λn_x

1| → ∞, implicando em {λn_x

1 :n∈N} n˜ao ser denso em K. (ii) Por outro lado, seT n˜ao tem auto-valores

[Tn]B.

        x1 x2 x3 ... xm         =        

rn_cos(_nϕ₎ _−rn_sen(_nϕ_{) 0} _... ₀

rn_sen(_nϕ₎ _rn_cos(_nϕ₎ ₀ _... ₀

0 0

... ... B′

(31)

=

       

rn_cos(_nϕ₎_x

1−rnsen(nϕ)x2

rn_sen(_nϕ₎_x

1+rncos(nϕ)x2

w3 ...

wm

       

para alguns w3, ..., wm. Note que

k(rn(cos(nϕ)x1−sen(nϕ)x2), rn(sen(nϕ)x1+ cos(nϕ)x2))k2 =|r|n(x21+x22)1/2. Logo, fazendo o mesmo tipo de an´alise da feita no caso (i), concluiremos que

{(rn(cos(nϕ)x1−sen(nϕ)x2), rn(sen(nϕ)x1+ cos(nϕ)x2)) :n ∈N} n˜ao pode ser denso em K2_.

Agora, para j ∈ {1, ..., m}, consideremos a fun¸c˜ao

f :Km _−→ Kj

(y1, ..., yj−1, yj, yj+1, ..., ym) 7−→ (y1, ..., yj−1, yj).

Claramente, f ´e cont´ınua e sobrejetora. Logo, leva densos de Km _{em densos de} Kj_{. Suponhamos agora que} _x _{= (}_x₁_{, ..., x}_{m) seja um vetor hiperc´ıclico associado}

a T. Ent˜ao a ´orbita Orb(T, x) = {Tn₍_x

1, ..., xm) : n ∈ N} é densa em Km e, conseqüentemente, f(Orb(T, x)) também seria densa emKj_{. Entretanto, acabamos}

de demonstrar que para j = 1,2 isso não ocorre. Portanto, {Tn_x _: _n _∈ _N_} _{não é} denso em E, qualquer que seja x∈E, ou seja,T não pode ser hiperc´ıclico.

Resumindo: n˜ao existem operadores hiperc´ıclicos em espa¸cos de Banach de di-mens˜ao finita.

Sendo assim, de agora em diante, trabalharemos apenas com espa¸cos de Fréchet separáveis de dimensão infinita.

2.1 Exemplos Cl´

assicos

Mencionamos na introdu¸c˜ao deste trabalho que o primeiro exemplo conhecido de operadores hiperc´ıclicos foi dado por Birkhoff em 1929 ([6]). A seguir, exibiremos tal exemplo, seguindo para isso a demonstra¸c˜ao dada por Aron e Markose no artigo [2].

Teorema 2.2 (Birkhoff ) Existe uma fun¸c˜aof ∈H(C₎_{com a seguinte propriedade:}

(32)

natural n tal que |f(z+n)−g(z)|< ε qualquer que seja z com |z| ≤R. Em outras palavras, o operador

L:H(C₎ _−→ _H₍C₎ f 7−→ L(f),

onde L(f)(z) = f(z+ 1), ∀z ∈C_{, ´e hiperc´ıclico.}

Demonstra¸c˜ao: Sabemos que o espa¸co dos polinˆomios com coeficientes complexos

P(C_{) é denso em} _H₍C_{). Como ele é separável, podemos escolher uma seq¨}_{uência de}

polinˆomios (Pj)j∈N densa em H(C). Para facilitar o argumento da demonstra¸c˜ao,

vamos supor que cada Pj aparece uma quantidade infinita de vezes na seqüência. Consideremos agora (Dj)j∈N uma seqüência de discos fechados disjuntos, cada

Dj com raio j e centro cj de tal forma que (cj)j∈N é uma seqüência crescente de

números inteiros positivos. Seja também (Ej)j∈N uma seqüência de discos fechados

centrados na origem e de tal forma que Dj ⊂ Ej e Dj+1 ∩Ej = ∅. Em outras palavras,

Dk ⊂Ej, para todo 0≤k ≤j e

Dk∩Ej =∅, para todo k≥j. Vamos a seguir construir a fun¸c˜ao f.

Seja Q1 =P1 e consideremos K1 =E1∪D2.

ComoE1 eD2 são compactos, segue queK1é compacto, e podemos considerar uma fun¸cão h1 holomorfa em uma vizinhan¸ca de K1 satisfazendo

h1(z) =

(

0 se z ∈E1

P2(z−c2)−Q1(z) se z ∈D2

uma vez que E1 e D2 são disjuntos. Como C\K1 é conexo por caminhos, pela Proposi¸cão 1.22, existe um polinômio Q2 tal que

kQ2kE1 <

1

2 e supz∈D2

|Q2−(P2(z−c2)−Q1(z))|< 1 2.

Repetindo o procedimento acima, podemos encontrar um polinˆomio Q3 tal que

kQ3kE2 <

1

22 e sup z∈D3

|Q3−h2(z)|< 1 22,

onde h2(z) ´e uma fun¸c˜ao holomorfa em uma vizinhan¸ca de E2∪D3 tal queh2(z) =

(33)

Em geral, seja Qn um polinˆomio tal que

kQnkEn−1 <

1

2n−1 e sup z∈Dn

|Qn−(Pn(z−cn)− n−1

X

j=1

Qj(z))|< 1

2n−1. ( 1)

Observemos que a s´erie ∞

X

n=1

Qn ´e de Cauchy. De fato, seja ε > 0. Ent˜ao, dado K um compacto de C_{, existe} _N _∈ N _{para o qual} _K _⊂ _E_N _{e 1}_/₍₂N₎ _{< ε}_{. Assim, para} n > m ≥N suficientemente grandes,

sup_z∈K |

n

X

j=1

Qj(z)−

m

X

j=1

Qj(z)| ≤ sup z∈EN

|

n

X

j=1

Qj(z)− m

X

j=1

Qj(z)|

= sup z∈EN | n X j=m+1

Qj(z)| ≤ sup z∈EN

n

X

j=m+1

|Qj(z)|

≤

n

X

j=m+1 1 2j <

1 2m <

1

2N < ε. ( 2)

Como esse espa¸co ´e completo, segue que ∞

X

n=1

Qn´e convergente. Seja ent˜aof ∈ H(C)

dada por f = ∞

X

n=1

Qn e vamos mostrar que a órbita def sob transla¸cões é densa em

H(C_{). Para isso, basta mostrar que, dados} _{ε >}_{0 e} _{R >} _{0, para cada}_P_k _∈ ₍_P_j)j∈_N

´e poss´ıvel encontrar lk ∈ N tal que sup |z|≤R

|f(z +clk)−Pk(z)| < ε. De fato, como

a seqüência (Pj)j∈N é densa em H(C), para cada g ∈ H(C) existe k ∈ N tal que

sup |z|≤R

|g(z)−Pk(z)|< ε. Logo,

sup |z|≤R

|f(z+clk)−g(z)| ≤ sup

|z|≤R

|f(z+clk)−Pk(z)|+ sup

|z|≤R

|g(z)−Pk(z)|<2ε.

Conseqüentemente, {f(z+clj) : j ∈ N} ⊂ {f(z+n) : n ∈ N} também será denso

em H(C_).

Consideremos ent˜ao Pk∈ (Pj)j∈N. Como, por hip´otese, P_k aparece uma

quanti-dade infinita de vezes na seq¨uˆencia, existe l ∈N_{suficientemente grande para que} l > R, 1

2l−1 <

ε

2, e Pl =Pk. ( 3)

Notemos que, se z ∈ C _{for tal que} _{|z| ≤} _R_{, ent˜ao} _w ₌ _z ₊_c_l _∈ ₍_RB_C ₊_c_l₎ _⊂

(lBC+c_l)⊂D_l ⊂E_l. Logo

sup_|z|≤R |f(z+cl)−Pk(z)| ≤ sup w∈Dl

(34)

≤ sup w∈Dl

f(w)−

l

X

j=1

Qj(w)+ sup w∈Dl l X j=1

Qj(w)−Pl(w−cl)

≤ sup w∈Dl ∞ X n=1

Qn(w)−

l

X

j=1

Qj(w)

+ sup w∈Dl l X j=1

Qj(w)−Pl(w−cl)

≤ sup w∈Dl ∞ X n=l+1

|Qn(w)|+ sup w∈Dl l X j=1

Qj(w)−Pl(w−cl)

≤ 1

2l + 1

2l−1 < ε, por (2), (1) e (3) respectivamente. Segue que sup

|z|≤R

|f(z+cl)−Pk(z)|< ε e, portanto, o conjunto {f(z+n) :n∈N_} _´e

denso em H(C_).

Em 1952, MacLane provou em [18] que o operador diferencia¸c˜ao definido no espa¸coH(C_{) ´e hiperc´ıclico. Novamente, vamos seguir o artigo [2] de Aron e Markose}

para exibir essa demonstra¸c˜ao.

Teorema 2.3 (MacLane) Existe uma fun¸c˜ao inteira f tal que {f(n) _: _n _∈ _N_} _´e denso em H(C_).

Demonstra¸cão: Para construir tal fun¸cãof, vamos utilizar a aplica¸cãoI :H(C₎_→ H(C_{) definida por}

I(h)(z) =

Z z

0

h(w)dw.

Sabemos que o espa¸co de polinˆomios ´e denso em H(C_{). Pensando em facilitar a}

demonstra¸c˜ao do teorema, estudaremos inicialmente o comportamento deIaplicado ao polinˆomio g(z) =zn_{, com}_n _∈_N_{. Como}_I₍_g₎₍_z_{) =} zn+1

n+1, temos que

Ik(g)(z) = z n+k

(n+k)...(n+ 1), para todo k ∈N. Ent˜ao, se considerarmos z ∈C_{, com} _{|z| ≤}_R_,

|Ik₍_g₎₍_z₎_{| ≤} Rn+k

(n+k)...(n+ 1) ≤R nRk

k!, ∀k ∈N. Assim, temos que sup|z|≤R|Ik(g)(z)| →0 quando k→ ∞.

Dados P um polinˆomio, δ > 0 e R > 0 quaisquer, existe ek ∈ N _{para o qual}

(35)

Consideremos agora h uma fun¸c˜ao inteira qualquer. Dados ε > 0 e M ∈ N_,

suponhamos R ≥ 2 e δ < _M!ε ; se sup|z|≤R|h(z)| < δ ent˜ao, pela estimativa de Cauchy,

sup |w|≤R

2

|h(j)₍_w₎_{| ≤} j! sup|z|≤R|h(z)| (R/2)j ≤j!

2

R

j

δ < ε

para qualquer j = 0, ..., M (lembrando que 0! = 1).

Assim, dadosP um polinˆomio,ε >0,R ≥2 eM ∈N_{quaisquer, existem}_{δ <} ε

M! e ek ∈ N _{tal que, se} _k _≥ e_k_{, ent˜ao sup}

|z|≤2R|Ik(P)(z)|< δ. Denotando Ik(P)(z) por

Q(z), temos

sup |z|≤R

|Q(j)₍_z₎_|_{< ε} _{( 4)}

para qualquer j = 0, ..., M.

Consideremos uma seqüência de polinômios (Pj)j∈N densa emH(C) tal que cada

Pj aparece uma quantidade infinita de vezes na seqüência. Construiremos a fun¸cão

f de tal forma que

f = ∞

X

j=1

Ikj₍_P

j)

para ´ındices kj apropriados.

Consideremos k1 = 0, Q1 = P1. Tomando ε = 1/22, R = 2 e M = k1, por (4) existe um ek∈N _{tal que, se} _k_≥e_k _e _Ik₍_P₎₍_z₎_≡_Q₍_z_{), temos}

sup |z|≤2

|Q(k1)₍_z₎_|_< 1

22.

Assim, seja k2 > max{k1 + degP1,ek}. Ent˜ao, chamando Q2 = Ik2(P2), teremos sup_|z|≤2|Q2(z)|<1/22_.

Procedendo de modo an´alogo, agora para ε = 1/23_, _R _{= 3 e} _M ₌ _k_{2, podemos} escolher k3 tal que k3 > k2+ degP2 e, sendoQ3 =Ik3(P3),

sup |z|≤3

|Q3(z)| < 1

23, sup

|z|≤3

|Q′

3(z)| < 1 23, (...) sup

|z|≤3

|Q(k2)

(36)

Em geral, seja kn > kn−1+ degPn−1 grande o suficiente para que, se Qn=Ikn(Pn),

sup |z|≤n

|Qn(z)| < 1

2n, sup

|z|≤n

|Q′_n(z)| < 1

2n, (...) sup

|z|≤n

|Q(kn)

n (z)| < 1 2n.

Note que ∞

X

n=1

Qn ´e de Cauchy. De fato, seja ε >0. Ent˜ao, dadoK um compacto de

C_{, existe} _N _∈ N _{para o qual} _K _⊂ _{N B}_C_{. Assim, para} _{n > m} _≥_N _{suficientemente}

grandes, sup z∈K | n X j=1

Qj(z)− m

X

j=1

Qj(z)| ≤ sup z∈N BC

|

n

X

j=1

Qj(z)− m

X

j=1

Qj(z)|

= sup z∈N BC

|

n

X

j=m+1

Qj(z)|

≤ sup

z∈N BC

n

X

j=m+1

|Qj(z)|

≤

n

X

j=m+1 1 2 < ε.

Como o espa¸co H(C_{) ´e completo, segue que}

∞

X

n=1

Qn ´e convergente.

Consideremos ent˜ao a fun¸c˜ao f = ∞

X

n=1

Qn e vamos mostrar que f ´e a fun¸c˜ao na qual estamos interessados.

Sejam g ∈ H(C₎_{, R >} _{0 e} _{ε >} _{0 quaisquer e escolhamos} _n₀ _∈ N _{tal que} _n₀ _{> R} _e

(1/2n0−1₎_{< ε/}_2.

Pela escolha da seqüência de polinômios (Pn), existe l > n0 para o qual sup

|z|≤n0

|g(z)−Pl(z)|< ε

2. Assim, lembrando que Qj =Ikj(Pj),∀j ∈N,

sup |z|≤n0

|g(z)−f(kl)₍_z₎| ₌ _sup

|z|≤n0

|g(z)−

∞

X

j=1

Q(kl)

(37)

≤ sup |z|≤n0

(|g(z)−Pl(z)|+|Pl(z)−

∞

X

j=l

Q(kl)

j (z)|)

≤ sup

|z|≤n0

|g(z)−Pl(z)|+ sup |z|≤n0

|

∞

X

j=l+1

Q(kl)

j (z)|)

≤ ε

2+ ∞

X

j=l+1 1 2j ≤

ε

2+ 1 2l <

ε

2 + 1 2n0−1 < ε

Portanto o conjunto {f(n) _:_n_∈_N_} _{´e denso em} _H₍_C_).

Os dois resultados anteriores exibiram exemplos de hiperciclicidade em H(C_).

Já em espa¸cos de Banach ou Hilbert, os primeiros exemplos conhecidos na literatura foram dados por Rolewicz em 1969 ([26]): ele construiu vetores hiperc´ıclicos para os operadores conhecidos como “weighted backward shifts” em determinados espa¸cos de seqüências complexas (lp(N),1≤p <∞, ou c0). A seguir, vamos reproduzir sua demonstra¸cão para o espa¸co lp(N_).

Teorema 2.4 (Rolewicz) Sejalp(N_{) (1}_≤_{p <}_∞₎_{o espa¸co de Banach das seq¨}

uˆen-cias p-som´aveis e consideremos, para cada a∈R_{, o operador} _T_a _{definido como} Ta:lp(N) −→ lp(N)

(x1, x2, ...) 7−→ a(x2, x3, ...)

conhecido como “weighted backward shift”. Se a >1, ent˜ao T ser´a hiperc´ıclico.

Demonstra¸c˜ao: Sejam

T : lp(N₎ _−→ _l_p(N₎

(x1, x2, ...) 7−→ (x2, x3, ...)

e S : lp(N) −→ lp(N) (x1, x2, ...) 7−→ (0, x1, x2, ...) os operadores backward shift e forward shift respectivamente.

Sejam agora Ta =aT e B =S/a, onde a >1. Mostraremos que o operador Ta é hiperc´ıclico. Para isso, construiremos o vetor y ∈ lp(N_{) cuja órbita Orb(}_T_a_{, y}_{) é}

densa em lp.

Consideremos a seq¨uˆencia (xn_)n∈

N ⊂lp(N) tal que, para cadan,xn= (xn₁, xn₂, ...)∈

lp(N_{) possui apenas uma quantidade finita de coordenadas n˜ao nulas. Sabemos que}

essa seqüência é densa emlp(N_{). Seja}_k₍_n_{) o maior ´ındice da coordenada de} _xn _que

não é 0. Tomemos agora uma seqüênciar(n) de inteiros positivos tal que

r(n) > max

1≤i≤nk(i) e ( 5)

||Br(n)xn|| = 1

ar(n)||x

(38)

Sendo p(n) = n

X

i=1

r(i), consideremos y= X n

Bp(n)xn; por (5), y est´a bem definido. Por outro lado, de (5) tamb´em segue que Tar(n)xi = 0, para todo i < n. Logo,

T_ap(n)y=xn+ ∞

X

m=n+1

Bp(m)−p(n)xm.

Mas

||

∞

X

m=n+1

Bp(m)−p(n)xm|| ≤

∞

X

m=n+1

||Bp(m)−p(n)xm|| ≤

∞

X

m=n+1 1

ap(m)−p(n)||x m_||

≤

∞

X

m=n+1 1

ar(m)||x m_{|| ≤}

∞

X

m=n+1 1 2m =

1 2n. Portanto||Tap(n)y−xn|| ≤ ₂1n.

Vamos, a seguir, provar a densidade de Orb(Ta, y) em lp(N). Seja ε > 0; ent˜ao existe m ∈ N _{tal que} 1

2m < ε. Considerando agora a subseq¨uˆencia (xk)k∈I onde I =N_{\ {n} _|_{n < m}}_{, temos que (}_xk_)k∈I _{continua densa em} _l_p(N_{). Assim, dado um}

elemento z ∈lp(N_{), existe} _n_∈_I _{tal que} _||z₋_xn_||_{< ε} _e 1

2n < ε. Logo, ||T_ap(n)y−z|| ≤ ||T_ap(n)y−xn||+||xn−z||

≤ 1

2n +ε <2ε.

Comoz ∈X arbitrário, segue que Orb(Ta, y) é denso emlp(N) e, conseqüentemente,

Ta ´e um operador hiperc´ıclico em lp(N).

2.2 Alguns Resultados sobre Hiperciclicidade

Consideremos E um espa¸co de Fréchet. A topologia em E é induzida por uma métrica completa invariante sob transla¸cões d. Então, para caday∈E, escrevemos

B(y, ε) ={x∈E :d(y, x)< ε}

a bola aberta de centro y e raio ε >0.

(39)

Demonstra¸cão: Seja (yj)j∈N uma seqüência densa em E. Como T é cont´ınuo,

para cada n ∈N_, _Tn _{tamb´em ´e cont´ınuo e, assim,} _T−n_B_y j,1_k

´e aberto, quais-quer que sejam n, j, k∈N_.

Seja HC(T) o conjunto de todos os vetores hiperc´ıclicos para T.Por hip´otese,

HC(T) é não vazio e, para cada x ∈ HC(T), a órbita de x sob T, Orb(T, x), é densa em E. Então, dado x ∈ HC(T), para cada j, k ∈ N _existe _n_j,k _∈ N _{tal que} Tnj,k_x ∈ _B

yj,_k1

. Logo, para cada j, k ∈ N_, _x _∈ _T−nj,k_B₍_y

j,1/k). Considerando ent˜ao, para cada j, k ∈N_{, o conjunto aberto}

Gj,k =

[

n∈N

T−n

Byj,1/k

,

segue que HC(T)⊂ ∩j,k∈NGj,k.

Por outro lado, se x∈ ∩j,k∈NGj,k, vamos mostrar que x ∈HC(T). Dado ε >0,

para cada z ∈ E, existem j0, k0 ∈ N tais que 1/k0 < ε/2 e d(z, yj0) <

ε

2. Como

x∈Gj0,k0, T

n0_x_∈_B₍_y

j0,1/k0) para algumn0 ∈N. Assim,

d(Tn0_{x, z}₎_≤_d₍_Tn0_{x, y}

j0) +d(yj0, z)<

1

k0 + ε

2 < ε.

Logo a ´orbita de x sob T ´e densa em E, para todo x ∈ ∩j,k∈NG_j,k. Segue que

HC(T) = ∩j,k∈NG_j,k.

Agora, se xfor um vetor hiperc´ıclico paraT, para todon∈N_,_Tn_x_{tamb´em ser´a}

pois a órbita Orb(T, Tn_x_{) é igual a órbita Orb(}_{T, x}_{) menos uma quantidade finita de} elementos, permanecendo, portanto, densa no espa¸coE. Logo Orb(T, x)⊂HC(T). Da´ı segue que HC(T) =∩j,k∈NG_j,k é denso em E.

Nem sempre é fácil mostrar que um dado operador T num espa¸co de Fréchet é hiperc´ıclico exibindo o vetor cuja órbita é densa no espa¸co. Entretanto, existe um critério que nos diz se o operador em questão é hiperc´ıclico. Esse resultado é conhecido como Critério de Hiperciclicidade.

Teorema 2.6 (Critério de Hiperciclicidade) SejaT um operador linear cont´ınuo em um espa¸co de FréchetEseparável. Suponhamos que existem subconjuntos densos

Z eY deE, uma seqüência de inteiros positivos(nk)k∈Ne uma fam´ılia de aplica¸cões

Snk :Z →Z tal que

(i) para cada y∈Y, Tnk_y7→_{0, quando} _k → ∞_;

(ii) para cada z ∈Z, Snkz 7→0, quando k → ∞;

(iii) Tnk ◦S

nkz 7→z, quando k→ ∞, para todo z ∈Z.