REGINA DE LOURDES VAZ
O USO DAS ISOMETRIAS DO SOFTWARE
CABRI-GÉOMÈTRE COMO RECURSO NO PROCESSO DE
PROVA E DEMONSTRAÇÃO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
PUC/SP
São Paulo
REGINA DE LOURDES VAZ
O USO DAS ISOMETRIAS DO SOFTWARE
CABRI-GÉOMÈTRE COMO RECURSO NO PROCESSO DE
PROVA E DEMONSTRAÇÃO
PUC/SP
São Paulo
2004
Banca Examinadora
___________________________
___________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
DEDICATÓRIA
AGRADECIMENTOS
À Lulu Healy, minha orientadora e amiga, por sua orientação competente
sem a qual este trabalho não seria possível, por sua dedicação e apoio em
todos os momentos.
À Prof
aDrª Ana Paula Jahn, por seu incentivo e por todos os comentários
que contribuíram na realização deste trabalho.
Ao Prof. Dr. Paulo Ferreira Leite, pelas sugestões dadas na qualificação.
A todos os colegas do Grupo de Pesquisa TecMeM, pela paciência
inesgotável em escutar meu projeto e pelas valiosas sugestões.
Aos colegas do Mestrado, por sua amizade e companheirismo em todos os
momentos do curso.
A meus pais, Luiz (em memória) e Laura, por me ensinarem o valor da
educação.
A meu marido, Marcelo, pelo companheirismo, pelo apoio em todas as horas
e pela compreensão nos momentos difíceis.
A Áurea, pela amizade dedicada, que esta dissertação sirva de incentivo ao
seu Mestrado.
Aos alunos que participaram das atividades, pela colaboração incansável.
Ao Colégio Giordano Bruno, por abrir o espaço para a realização desta
pesquisa.
A todos os meus alunos e ex-alunos, por me fazerem acreditar que através
da educação tudo é possível.
SUMÁRIO
LISTA DE TABELAS ...IX LISTA DE FIGURAS ...X RESUMO...XIII ABSTRACT... XIV APRESENTAÇÃO... XV CAPÍTULO 1
GEOMETRIA E AS TRANSFORMAÇÕES NA MATEMÁTICA E NO SEU ENSINO... 1
1.1. HISTÓRIA DO ENSINO DA GEOMETRIA NO BRASIL... 1
1.2. PCN ... 3
1.3. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS, ISOMETRIAS E SIMETRIA... 5
1.3.1. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E ISOMETRIAS... 5
1.3.2. SIMETRIA... 9
1.3.3. “AS SIMETRIAS” ... 11
1.4. RESUMO... 14
CAPÍTULO 2 PROVA E O DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO GEOMÉTRICO... 15
2.1. A TRIÁDE INTRA, INTER, TRANS (PIAGET E GARCIA)... 15
2.2. DGS... 18
2.2.1. CABRI-GÉOMÈTRE... 18
2.3. PROVA ... 21
2.3.1. TIPOS DE PROVA... 26
2.4. DGS E PROVA... 28
2.5. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E CABRI... 31
2.6. RESUMO E QUESTÕES DA PESQUISA... 33
CAPÍTULO 3 METODOLOGIA... 35
3.1. EXPERIMENTO DE ENSINO... 35
3.1.1. FASE DE DESENVOLVIMENTO... 37
3.1.2. FASE DE EXPERIMENTAÇÃO... 56
CAPÍTULO 4 EXPLORANDO E CARACTERIZANDO AS TRANSFORMAÇÕES: ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS ALUNOS... 58
4.1. VISÕES DA PROVA... 58
4.1.1. SISTEMA DE APRENDIZAGEM A... 58
4.1.2. SISTEMA DE APRENDIZAGEM B... 60
4.1.3. CONCLUSÃO... 61
4.2.1. PRIMEIRO CONJUNTO DE ATIVIDADES... 62
4.2.2. ATIVIDADE 1... 63
4.2.3. ATIVIDADE 2... 67
4.2.4. ATIVIDADE 3... 72
4.2.5. RESUMO DO PRIMEIRO CONJUNTO DE ATIVIDADES... 76
4.2.6. INTRODUÇÃO AO SEGUNDO CONJUNTO DE ATIVIDADES... 78
4.2.7. ATIVIDADE 4... 78
4.2.8. ATIVIDADE 5... 84
4.2.9. ATIVIDADE 6... 92
4.2.10. ATIVIDADE 7... 99
4.2.11. RESUMO DO SEGUNDO CONJUNTO DE ATIVIDADES... 104
CAPÍTULO 5 CONSTRUINDO PROVAS: ANÁLISE DAS ATIVIDADES DOS ALUNOS... 106
5.1. TERCEIRO CONJUNTO DE ATIVIDADES... 106
5.1.1. ATIVIDADE 8... 107
5.1.2. ATIVIDADE 9... 113
5.1.3. ATIVIDADE 10 ... 125
5.1.4. CONCLUSÕES SOBRE O TERCEIRO CONJUNTO DE ATIVIDADES... 140
CAPÍTULO 6 CONCLUSÃO... 142
6.1. INTRODUÇÃO... 142
6.2. PRINCIPAIS RESULTADOS... 146
6.2.1. AS QUESTÕES DE PESQUISA... 148
6.3. IMPLICAÇÕES PARA O ENSINO... 152 ANEXOS
ANEXO 1 - ATIVIDADES DESENVOLVIDAS PELA DUPLA TESTE ANEXO 2 - ATIVIDADES DO EXPERIMENTO DE ENSINO ANEXO 3 - VISÕES DE PROVA
LISTA DE TABELAS
TABELA 3.1: CLASSIFICAÇÃO DE PRODUÇÕES DE ALUNOS... 57
TABELA 4.1: PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LEVANTADAS NO CONJUNTO 1... 77
TABELA 4.2: PROPRIEDADES LEVANTADAS PELO GRUPO DA 8ª SÉRIE DURANTE O CONJUNTO 2 ... 105
TABELA 5.1: QUADRO COM AS TRANSFORMAÇÕES E RESPECTIVAS PRIMITIVAS NECESSÁRIAS... 106
TABELA 5.2: PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS... 113
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1.1: EXEMPLO DE REFLEXÃO... 6
FIGURA 1.2: EXEMPLO DE TRANSLAÇÃO... 7
FIGURA 1.3: EXEMPLO DE ROTAÇÃO... 8
FIGURA 1.4: FIGURAS COM SIMETRIA AXIAL SEGUNDO IMENES & LELLIS (2002) ... 10
FIGURA 1.5: EIXO DE SIMETRIA SEGUNDO IMENES & LELLIS (2002) ... 10
FIGURA 1.6: SIMETRIA DE ROTAÇÃO SEGUNDO IMENES & LELLIS (2002) ... 11
FIGURA 1.7: FIGURAS SIMÉTRICAS SEGUNDO IMENES & LELLIS (2002)... 11
FIGURA 1.8: SIMETRIA DE ROTAÇÃO SEGUNDO IMENES & LELLIS (2002) ... 12
FIGURA 1.9: SIMETRIA DE TRANSLAÇÃO SEGUNDO IMENES & LELLIS (2002) ... 12
FIGURA 2.1: DESENHO DE UMA CASA COM ÊNFASE EM ASPECTOS INTRAFIGURAIS E INTERFIGURAIS... 16
FIGURA 2.2 : PROVA NA MATEMÁTICA E NA ESCOLA (OLIVERO, 2002; P. 19) ... 25
FIGURA 2.3: AS TRANSFORMAÇÕES DO CABRI-GÉOMÈTRE... 31
FIGURA 2.4: EXEMPLO DE REFLEXÃO NO SOFTWARE CABRI-GÉOMÈTRE... 32
FIGURA 2.5: EXEMPLO DE ROTAÇÃO NO SOFTWARE CABRI-GÉOMÈTRE... 32
FIGURA 2.6: EXEMPLO DE TRANSLAÇÃO NO SOFTWARE CABRI-GÉOMÈTRE... 32
FIGURA 3.1: FASES DE DESENVOLVIMENTO DE UM EXPERIMENTO DE ENSINO... 37
FIGURA 3.2: ATIVIDADE 1 SOBRE REFLEXÃO... 39
FIGURA 3.3: SEGUNDA ATIVIDADE SOBRE REFLEXÃO... 40
FIGURA 3.4: QUADROS DE VOLPI... 41
FIGURA 3.5: ATIVIDADE 2 SOBRE TRANSLAÇÃO... 41
FIGURA 3.6: ATIVIDADE 3 SOBRE ROTAÇÃO... 42
FIGURA 3.7: ATIVIDADE 4 SOBRE PROPRIEDADES DAS ISOMETRIAS... 44
FIGURA 3.8: ATIVIDADE 5 REALIZADA DURANTE O TESTE... 45
FIGURA 3.9: ATIVIDADE 6 REALIZADA NO TESTE... 46
FIGURA 3.10: ATIVIDADE 5 SOBRE PARALELISMO DAS FIGURAS... 47
FIGURA 3.11: ATIVIDADE 6 SOBRE PERPENDICULARISMO DAS FIGURAS... 48
FIGURA 3.12: ATIVIDADE 7 SOBRE DISTÂNCIAS A UM PONTO... 49
FIGURA 3.13. ATIVIDADE ENVOLVENDO A CONSTRUÇÃO E PROVA DE UM QUADRADO... 51
FIGURA 3.14: ATIVIDADE 8 APRESENTANDO UM MODELO DE PROVA... 52
FIGURA 4.1: DEFINIÇÕES DE ANA SOBRE PROVA, JUSTIFICATIVA E DEMONSTRAÇÃO... 59
FIGURA 4.2: DEFINIÇÃO DE JÚLIA SOBRE JUSTIFICATIVA... 59
FIGURA 4.3: DEFINIÇÕES DE FELIPE SOBRE PROVA, JUSTIFICATIVA E DEMONSTRAÇÃO... 60
FIGURA 4.4: RESPOSTA DE LYLLI À QUESTÃO G1 DO TESTE ESCRITO... 61
FIGURA 4.5: FASES DE RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE 1 PELAS DUPLAS JÚLIA/MAÍRA E PAULA/GUILHERME.. 64
FIGURA 4.6: EXEMPLOS DE CONFIGURAÇÕES FINAIS DA ATIVIDADE 1... 65
FIGURA 4.7: OBSERVAÇÕES DA DUPLA JÚLIA/MAÍRA SOBRE A ATIVIDADE 1... 65
FIGURA 4.8: OBSERVAÇÕES DA DUPLA PEDRO/FELIPE SOBRE A ATIVIDADE 1... 66
FIGURA 4.9: FASES DE RESOLUÇÃO DA PRIMEIRA PARTE DA ATIVIDADE 2 PELA DUPLA JÚLIA/MAÍRA... 68
FIGURA 4.11: FASES DE RESOLUÇÃO DA SEGUNDA PARTE DA ATIVIDADE 2 PELA DUPLA JÚLIA/MAÍRA... 69
FIGURA 4.12: CONFIGURAÇÃO FINAL DA ATIVIDADE 2 DA DUPLA JÚLIA/MAÍRA... 69
FIGURA 4.13: OBSERVAÇÕES DA DUPLA LETÍCIA/ANA SOBRE A ATIVIDADE 2... 70
FIGURA 4.14: OBSERVAÇÕES DA DUPLA JÚLIA/MAÍRA SOBRE A ATIVIDADE 2... 70
FIGURA 4.15: OBSERVAÇÕES DA DUPLA PAULA/GUILHERME SOBRE A ATIVIDADE 2 ... 70
FIGURA 4.16: OBSERVAÇÕES DA DUPLA HENRIQUE/LILLY SOBRE A ATIVIDADE 2 ... 71
FIGURA 4.17: OBSERVAÇÕES DA DUPLA CÍNTHIA/FLÁVIA SOBRE A ATIVIDADE 2 ... 71
FIGURA 4.18: EXEMPLO DAS FASES DA RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE 3... 73
FIGURA 4.19: EXEMPLO DE CONFIGURAÇÃO FINAL DA ATIVIDADE 3... 73
FIGURA 4.20: OBSERVAÇÕES DA DUPLA JÚLIA/MAÍRA SOBRE A ATIVIDADE 3... 74
FIGURA 4.21: OBSERVAÇÕES DA DUPLA FELIPE/PEDRINHO SOBRE A ATIVIDADE 3... 75
FIGURA 4.22: DESENHO DA DUPLA FELIPE/PEDRINHO NA ATIVIDADE 3... 75
FIGURA 4.23: EXEMPLO DE CONFIGURAÇÃO OBTIDA ATRAVÉS DA REFLEXÃO DA ATIVIDADE 4. ... 79
FIGURA 4.24: RESPOSTA DA PRIMEIRA PARTE DA ATIVIDADE 4 REALIZADA PELA DUPLA PAULA/GUILHERME ... 80
FIGURA 4.25: EXEMPLO DE CONFIGURAÇÃO DA ROTAÇÃO DA ATIVIDADE 4. ... 80
FIGURA 4.26: RESPOSTA DA SEGUNDA PARTE DA ATIVIDADE 4 REALIZADA PELA DUPLA PAULA/GUILHERME ... 81
FIGURA 4.27: CONFIGURAÇÃO FINAL DA ATIVIDADE 4 DA DUPLA JÚLIA/MAÍRA... 81
FIGURA 4.28: RESPOSTA DA TERCEIRA PARTE DA ATIVIDADE 4 REALIZADA PELA DUPLA PAULA/GUILHERME ... 81
FIGURA 4.29: EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DA REFLEXÃO SUGERIDA POR ANA PAULA NA ATIVIDADE 5... 85
FIGURA 4.30: EXEMPLO DA CONSTRUÇÃO DAS REFLEXÕES DA ATIVIDADE 5... 86
FIGURA 4.31: EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DA TRANSLAÇÃO DA ATIVIDADE 5 ... 87
FIGURA 4.32: EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DA ROTAÇÃO DA ATIVIDADE 5... 88
FIGURA 4.33: EXEMPLO DA ORDENAÇÃO DA CONSTRUÇÃO DE DANILO DA ATIVIDADE 6... 93
FIGURA 4.34: EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DOS PASSOS DE DANILO DA ATIVIDADE 6 ... 93
FIGURA 4.35: EXEMPLO DE RESPOSTA PARA AS CONDIÇÕES OBSERVADAS SOBRE A REFLEXÃO DA ATIVIDADE 6 ... 94
FIGURA 4.36: CONSTRUÇÃO DA TRANSLAÇÃO DA ATIVIDADE 6 ELABORADA PELA DUPLA JÚLIA/MAÍRA.... 94
FIGURA 4.37: EXEMPLO DE RESPOSTA SOBRE A TRANSLAÇÃO DA ATIVIDADE 6 ... 95
FIGURA 4.38: EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DA ROTAÇÃO DA ATIVIDADE 6... 95
FIGURA 4.39: EXEMPLO DE RESPOSTA SOBRE A ROTAÇÃO DA ATIVIDADE 6 ... 96
FIGURA 4.40: EXEMPLO DE RESPOSTA DA PRIMEIRA PARTE DA ATIVIDADE 7 ... 100
FIGURA 4.41: EXEMPLO DE RESPOSTA DA SEGUNDA PARTE DA ATIVIDADE 7... 100
FIGURA 4.42: EXEMPLO DE CONFIGURAÇÃO FINAL DA ATIVIDADE 7... 101
FIGURA 5.1: EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DA ATIVIDADE 8... 107
FIGURA 5.2: RESPOSTA DA ATIVIDADE 8 REALIZADA PELA DUPLA JÚLIA/MAÍRA E GUILHERME/PAULA.... 109
FIGURA 5.3: CORREÇÃO DA ATIVIDADE 8... 111
FIGURA 5.5: EXEMPLO DA DESCRIÇÃO DA CONSTRUÇÃO DA ATIVIDADE 9 DO SISTEMA DE APRENDIZAGEM A
... 115
FIGURA 5.6: PROVA CONSTRUÍDA PELA DUPLA JÚLIA/MAÍRA PARA A ATIVIDADE 9 ... 116
FIGURA 5.7: PROVA CONSTRUÍDA PELA DUPLA PAULA/GUILHERME PARA A ATIVIDADE 9... 119
FIGURA 5.8: PROVA CONSTRUÍDA PELA DUPLA LETÍCIA/ANA PARA A ATIVIDADE 9 ... 120
FIGURA 5.9: EXEMPLO DA DESCRIÇÃO DA CONSTRUÇÃO DA ATIVIDADE 9 DO SISTEMA DE APRENDIZAGEM B ... 121
FIGURA 5.10: PROVA CONSTRUÍDA PELA DUPLA PEDRO/FELIPE PARA A ATIVIDADE 9 ... 122
FIGURA 5.11: PROVA CONSTRUÍDA PELA DUPLA CÍNTHIA/FLÁVIA PARA A ATIVIDADE 9... 123
FIGURA 5.12: PROVA CONSTRUÍDA PELA DUPLA LYLLI/HENRIQUE PARA A ATIVIDADE 9... 124
FIGURA 5.13: PASSOS DA CONSTRUÇÃO DO PARALELOGRAMO DA ATIVIDADE 10... 126
FIGURA 5.14: POSIÇÃO FINAL DO SEGMENTO BC NA CONSTRUÇÃO DO PARALELOGRAMO DA ATIVIDADE 10 ... 127
FIGURA 5.15: EXEMPLO DE CONSTRUÇÃO DA ATIVIDADE 10 REALIZADA NO SIST. DE APRENDIZAGEM A 127 FIGURA 5.16: PASSOS DA CONSTRUÇÃO ELABORADA PELA DUPLA MAÍRA/PAULA PARA A ATIVIDADE 10 127 FIGURA 5.17: RESULTADO DA MANIPULAÇÃO DO VETOR DA ATIVIDADE 10 ... 128
FIGURA 5.18: PROVA DA ATIVIDADE 10 REALIZADA PELA DUPLA MAÍRA/PAULA... 129
FIGURA 5.19: RESULTADO DA MANIPULAÇÃO DO VÉRTICE A DA CONSTRUÇÃO ELABORADA PARA A ATIVIDADE 10... 131
FIGURA 5.20: PROVA DA ATIVIDADE 10 REALIZADA PELA DUPLA ANA/LETÍCIA... 131
FIGURA 5.21: PASSOS DA CONSTRUÇÃO DA ATIVIDADE 10 REALIZADA PELA DUPLA CÍNTHIA/FLÁVIA... 134
FIGURA 5.22: PRIMEIROS PASSOS DA CONSTRUÇÃO DA DUPLA LYLLI/HENRIQUE NA ATIVIDADE 10 ... 135
FIGURA 5.23: PASSOS DA CONSTRUÇÃO DE LYLLY/HENRIQUE NA ATIVIDADE 10 ... 135
FIGURA 5.24: CONSTRUÇÃO DO PARALELOGRAMO PELA DUPLA LYLLI/HENRIQUE... 135
FIGURA 5.25: RESULTADO DA MANIPULAÇÃO DA CONSTRUÇÃO DE LYLLI/HENRIQUE... 136
FIGURA 5.26: PROVA ELABORADA PELA DUPLA CÍNTHIA/FLÁVIA PARA A ATIVIDADE 10 ... 136
FIGURA 5.27: PROVA CONSTRUÍDA PELA DUPLA PEDRO/FELIPE PARA A ATIVIDADE 10 ... 137
FIGURA 5.28: PROVA DE LYLLI/HENRIQUE PARA A ATIVIDADE 10 ... 138
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo a investigação de uma abordagem sobre o
ensino e a aprendizagem da prova, baseada no uso das ferramentas de transformação geométrica do software Cabri-Géomètre. Pesquisas já realizadas sobre este tema verificaram que, tanto a ênfase predominantemente nos aspectos indutivos, quanto nos dedutivos, não são suficientes para que os aprendizes construam significados robustos para as noções envolvidas. Por esta razão, nesta pesquisa, pretendeu-se engajar os estudantes em atividades que favorecem os movimentos espontâneos entre as abordagens dedutiva e indutiva num ambiente informatizado – Cabri-Géomètre – no qual a ação e sua formalização podem ocorrer simultaneamente (Healy, 2000).
Para esse fim foi elaborado um experimento de ensino envolvendo estudantes de 7a e 8ª séries de uma escola particular da cidade de São Paulo. Tal experimento foi composto de duas fases, o design e a análise. Na fase de design, três conjuntos de atividades foram elaborados e testados. A fase de análise foi apoiada na teoria de Piaget & Garcia (1987) sobre o desenvolvimento das noções geométricas, na classificação de prova de Balacheff (1988), na distinção entre figura/desenho e construção mole/robusta no software Cabri-Géomètre.
Através das interações dos estudantes nestas situações, explorou-se o papel das ferramentas de transformação nos diferentes aspectos do processo de prova, desde a apropriação das noções de dependência geométrica até a construção de provas formalmente apresentadas. Como resultados, obteve-se a importância do dinamismo do software para que seja dado um tratamento geral ao diagrama, a incorporação de fatos advindos de atividades anteriores nas provas construídas pelos alunos, em especial, aqueles que enfatizam os aspectos intrafigurais e a elaboração de justificativas válidas apenas localmente nas provas construídas.
ABSTRACT
This work aims to investigate an approach to the teaching and learning of proof
using the geometrical transformation tools of the software Cabri-Géomètre.
Previous research related suggests that neither approaches emphasising predominately inductive aspects nor those privileging the deductive, are sufficient to enable learners to construct robust meaning for the notions involved in constructing valid proofs. With this in mind, the approach developed in this study seeks to engage students in activities that favour spontaneous movement between induction and deduction in a computer-based environment – Cabri-Géomètre – in which action and its formalisation can occur simultaneously (Healy, 2000).
To this end, a teaching experiment was conducted with students of the 7th and 8th grades of a private school in the city of São Paulo. This experiment comprised two phases, design and analysis. During the design phase, three activity sets were developed and piloted. In the analysis phase, theoretical support was drawn from the theory of Piaget and Garcia (1987) concerning the development of geometrical notions, the classification of proofs in Balacheff (1988) and the distinctions figure/drawing and robust/soft in relation to constructions in Cabri-Géomètre. Through the interactions of the students with the research situations, the role of the transformation tools in different aspects of the proof process was explored, from the appropriation of notions of geometrical dependency to the construction of formally-presented proofs. Analysis of the results indicated that the dynamism of the software had an important role in encouraging figures to be seen as general rather than specific cases. It was also found that that students were incorporating some facts, especially those of an intrafigural nature, established in the first activities sets in the proofs written during the final set, although the justifications they elaborated were locally but not globally valid.
APRESENTAÇÃO
O ensino da Geometria foi, durante grande parte do século XX, relegado a um segundo plano. Com o advento dos PCN essa situação começou a mudar, pois o bloco de conteúdos Espaço e Forma aborda diversos aspectos sobre o ensino da Geometria. Entre estes aspectos, os PCN destacam a relevância do estudo das transformações geométricas por possibilitarem o desenvolvimento de uma geometria dinâmica em contraposição a uma abordagem estática.
Os PCN também manifestam o desejo de que o aluno deva conjecturar e provar suas próprias conjecturas. Através dos problemas de Geometria, os alunos devem ter seus primeiros contatos com a necessidade e as exigências estabelecidas por um raciocínio dedutivo e, em especial, no 4º ciclo do Ensino Fundamental (7ª e 8ª séries) é importante que o aluno desenvolva através deste trabalho sua capacidade de argumentar sem deixar de lado as verificações empíricas das propriedades e relações (MEC, 1998; p.86).
No entanto, é pouco evidente como o estudo de argumentação e prova pode ser abordado de uma forma que permita aos aprendizes construir significados robustos para as noções envolvidas. O processo de construção de uma prova geométrica é bastante complexo e necessita satisfazer duas condições: (i) a apreciação que certos fatos geométricos emergem como conseqüência de outros e (ii) a organização de uma seqüência de argumentos coerentes pelas quais o segundo conjunto de fatos pode ser inferido a partir do primeiro. A ênfase exclusiva tanto nos aspectos empíricos quanto nos pragmáticos conduz a grandes dificuldades na elaboração das provas, quando a ênfase ocorre apenas na forma dedutiva-axiomática, a prova acaba sendo vista como uma ritual inacessível e sem significado. Quando a abordagem ocorre apenas no contexto indutivo, os alunos compreendem o que é pedido mas não conseguem construir suas provas (Healy e Hoyles, 2000).
Abaixo se encontra uma descrição sumária desta dissertação:
No Capítulo 1 será abordada uma pequena parte da história do ensino da Geometria no Brasil no século XX até o advento dos PCN, que engloba o ensino da Geometria no bloco de conteúdos Espaço e Forma. Neste bloco, aparece com destaque o ensino das transformações geométricas. Tais transformações serão definidas matematicamente neste capítulo através de citações de livros didáticos recentes. O conceito simetria encontra-se abordado neste capítulo com o objetivo de clarificar as diferentes abordagens em que o mesmo aparece nos livros didáticos.
No Capítulo 2 serão apresentadas as diferentes noções teóricas utilizadas durante a análise da pesquisa, em particular, destacam-se: as fases de desenvolvimento das noções geométricas de Piaget & Garcia (1987), as classificações de prova de Balacheff (1988), a distinção entre figura/desenho e construção mole/robusta no software Cabri-Géomètre.
No Capítulo 3 é destinado à apresentação da metodologia de pesquisa escolhida, ou seja, o experimento de ensino. A descrição do experimento englobará suas duas fases, a fase de desenvolvimento onde será apresentado o processo de desenvolvimento das atividades que resultou na elaboração de três conjuntos com objetivos distintos sendo o primeiro conjunto com o objetivo de introduzir as transformações geométricas, o segundo com o objetivo de levantar as propriedades das transformações e o terceiro com o objetivo da construção de provas pelos alunos assim como ocorreu a seleção de alunos e o papel atribuído ao professor; e a fase de experimentação, descrevendo como ocorreu a coleta e a análise dos dados obtidos apresentando os critérios de análise a que serão submetidas as atividades.
Nos Capítulos 4 e 5 serão mostrados os resultados das interações dos alunos nos três conjuntos de atividades, a análise dos resultados obtidos e a comparação entre os dois sistemas de aprendizagem.
CAPÍTULO 1
GEOMETRIA E AS TRANSFORMAÇÕES NA MATEMÁTICA E NO SEU ENSINO
“As atividades que envolvem as transformações de uma figura no plano devem ser privilegiadas nesses ciclos, porque permitem o
desenvolvimento de conceitos geométricos de forma significativa,
além de obter um caráter mais “dinâmico” para este estudo.”
(Brasil, 1998; p. 124)
1.1. HISTÓRIA DO ENSINO DA GEOMETRIA NO BRASIL
Durante grande parte do século passado, pouca ênfase foi dada ao ensino da Geometria no Brasil. Neste período, a grande maioria dos currículos privilegiou o ensino da Aritmética e da Álgebra.
Pires, Curi & Campos (2000; p. 20-21) analisaram programas oficiais, manuais didáticos e entrevistas com professores para elaborar a divisão da história do ensino da Geometria no Brasil nos três períodos ilustrados abaixo:
• 1955 a 1965: o ponto central era a aprendizagem da nomenclatura de linhas e figuras, o cálculo de perímetros, áreas e volumes. Este trabalho era baseado na memorização de fórmulas.
• 1966 a 1975: influência da Matemática Moderna ocasionando pouca ênfase no ensino da Geometria que enfocava pontos, retas e planos no quadro da teoria dos conjuntos.
• 1976 a 1998: surge o interesse no resgate do ensino da Geometria originando o desenvolvimento de propostas curriculares e artigos sobre o assunto, culminando no desenvolvimento dos Parâmetros Curriculares Nacionais.
matemáticos em diferentes áreas do conhecimento como Álgebra, Aritmética e Geometria. Estes conteúdos variavam de acordo com as diferentes séries e sofreram alterações conforme as reformas educacionais da época. Em 1951, novos programas de Geometria foram desenvolvidos e passaram a vigorar até o final da década de 60. Uma das recomendações desse programa era que se destinasse:
“para as primeiras séries do curso ginasial, um ensino essencialmente prático e intuitivo. O método dedutivo deve ser introduzido ainda no curso ginasial, à medida que o aluno vá percebendo ser necessário justificar, provar e demonstrar certas afirmações. Recomenda-se que se apele à intuição e não se exagere a idéia de rigor” (Pavanello, 1993; p. 12).
Em 1963, o Conselho Federal de Educação realizou um estudo sobre o ensino de Matemática no curso secundário (atual Ensino Fundamental II) tendo em vista a lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei 4024/61. Neste parecer, considerou que durante a quarta série (atual 8ª série) deveria ter início o estudo da geometria plana dedutiva “limitada, porém, à demonstração dos teoremas mais importantes e sempre com vistas às aplicações de ordem utilitária” (Pavanello, 1993; p. 12).
Porém, o que se observou foi exatamente o contrário: o ensino de Geometria aproximou-se do ensino tradicional da Geometria Euclidiana, na qual as atividades de prova ficaram restritas à memorização das provas formais sem nenhuma relação com sua utilidade ou com a realidade do aluno.
5692/71, a obrigatoriedade do currículo deixou de existir. Com isso, ficou a cargo do professor, segundo as especificidades de sua turma, a elaboração de seu
programa. Como conseqüência, ocorreu o desaparecimento do ensino da
Geometria pois, a maioria dos professores passou a enfocar a Aritmética e as
noções de conjunto durante as séries iniciais. O ensino de Geometria passou a
ser realizado, em algumas escolas, no segundo grau, resultando em dificuldades
ainda maiores por parte dos alunos por não disporem dos conhecimentos
geométricos básicos.
Durante a década de 80, os educadores matemáticos começaram a expressar
grande interesse sobre a falta de ênfase do conteúdo de Geometria na escola
iniciando assim uma nova fase de experimentação que contribuiu decisivamente
para a elaboração dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).
1.2. PCN
Publicados em 1998 pelo Ministério da Educação e Cultura (MEC), os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN) apresentam, em sua introdução, um resumo da
trajetória do ensino da Matemática no Brasil. Segundo esta análise, o ensino da
Matemática ficou marcado “pela formalização precoce de conceitos, pela
excessiva preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos
sem compreensão” (Brasil, 1998; p. 19). Além disso, os currículos, até então,
apresentavam uma organização linear rígida que impedia que os alunos
realizassem articulações entre os conteúdos aprendidos.
Nas décadas de 60/70, com o advento da Matemática Moderna, o ensino de
Matemática passou a enfatizar as estruturas tornando-a abstrata para a grande
maioria dos alunos. Tal ênfase na teoria dos conjuntos levou ao comprometimento
do ensino da Geometria, das medidas e do cálculo aritmético.
Uma das características principais do pensamento matemático, segundo os PCN,
diz respeito aos aspectos indutivo e dedutivo. Apesar da Matemática ser dotada
de um sistema formal, estruturado logicamente a partir de um conjunto de
“demonstração” sua única forma de validação de resultados perante a comunidade científica, ela não é uma ciência puramente dedutiva mas é, em muitos casos, indutiva pois, a partir da observação de casos particulares, pode-se descobrir regularidades e novas hipóteses podem ser formuladas (Brasil, 1998; p. 26).
A Geometria, através da publicação dos PCN, voltou a representar uma área de conhecimento relevante para o ensino, contida no bloco de conteúdo intitulado Espaço e Forma. Este bloco abrange as formas geométricas, as noções relativas à posição, localização de figuras, deslocamentos no plano, sistemas de coordenadas e construções com régua e compasso. Destaca-se neste bloco a importância atribuída ao estudo das transformações geométricas (isometrias e homotetias) como recurso para a construção e consolidação de conceitos e princípios.
Especialmente no 4o ciclo (7a e 8a séries), destaca-se o estudo das transformações de uma figura como ferramenta que possibilita o desenvolvimento de uma geometria dinâmica em contraposição a uma abordagem estática. Através das transformações (reflexão na reta, translação ou rotação), os PCN pretendem que os alunos observem a igualdade das medidas dos lados e ângulos construindo, dessa forma, a noção de congruência de figuras planas. Já o conceito de semelhança deverá ser observado pela redução e ampliação de figuras obtidas por meio do uso da homotetia (Brasil, 1998; p. 86).
Aceitando o desafio proposto pelos PCN, este trabalho visa o desenvolvimento de situações de aprendizagem que estimulem os alunos na elaboração de uma prova matemática. Para este fim, torna-se necessário abordar as concepções
matemáticas constantes nesta pesquisa.
1.3. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS, ISOMETRIAS E SIMETRIA
Conforme as orientações dos PCN, os livros didáticos publicados após 1998 - e
aprovados com distinção no Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) -
apresentam, entre os conteúdos programáticos, o tema Transformações
Geométricas. A apresentação deste tópico costuma ocorrer através da exploração
dos objetos do mundo físico, obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e
artesanato onde ocorrem tais transformações (Brasil, 1998; p. 51-52). Por esta
razão, estes livros, ao tratar este tema, acabam reduzindo-o a aplicações práticas
não oferecendo aos alunos análises matemáticas mais profundas. Este tópico tem
como objetivo clarificar a definição de transformações geométricas, isometrias e
simetria apresentando definições originárias de livros didáticos e demais fontes
que serão assumidas para efeito deste trabalho.
1.3.1. TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E ISOMETRIAS
Sob o ponto de vista matemático, uma transformação é definida (Coxeter, 1961)
como uma correspondência um a um de pontos P• P’ que, para cada ponto do
plano (ou do espaço) associa um outro. As regras para essa associação de
pontos são: cada par tem um primeiro membro em P e o segundo membro em P’
e cada ponto deve ocorrer como primeiro membro de um único par e também
como o segundo membro de apenas um par.
Em particular, as isometrias são vistas como as transformações em que as
distâncias entre os pontos são conservadas sendo que as isometrias do plano
consistem em quatro transformações: reflexão, rotação, translação e reflexão
transladada. Para o presente trabalho, o foco se concentra apenas nas três
primeiras transformações já que a última não possui, originalmente, ferramenta
1.3.1.1. REFLEXÃO:
A reflexão (simetria axial ortogonal) pode ser descrita como uma isometria em que
um ponto qualquer da imagem e seu correspondente na figura original são eqüidistantes de uma reta (Thompson, 1985; p.213), chamada de eixo de simetria.
Observando a Figura 1.1 podemos verificar as propriedades da reflexão elencadas em Healy (2002):
Figura 1.1: Exemplo de reflexão
• A imagem de um ponto (D) no eixo de simetria é o próprio ponto (D = D’). Os pontos do eixo podem ser considerados invariantes sob esta transformação.
• O eixo de reflexão bissecciona perpendicularmente o segmento que une um ponto qualquer a sua imagem (n é mediatriz de AA').
• A imagem de uma linha reta é uma outra linha reta (Tn(l) = l’), e o eixo de reflexão bissecciona o ângulo ADA’ no ponto em que a linha e sua imagem se encontram (n é bissetriz do ∠ADA').
• A reflexão da imagem obtida através da reflexão é a figura inicial (Tm(A) = A’, Tm(A’) = A).
• A reflexão inverte a orientação de pontos não-colineares (no ∆ABC a orientação dos pontos A B C (nesta ordem) é anti-horário, no ∆A'B'C' a respectiva imagem dos pontos tem sentido horário).
1.3.1.2. TRANSLAÇÃO:
A translação é a isometria obtida pelo deslocamento de todos os pontos da figura original por um vetor (vρ) (Figura 1.2) . Este vetor é responsável pelo comprimento (v), pela direção do deslocamento e por seu sentido. Uma translação não possui pontos invariantes. Suas propriedades, que podem ser observadas na figura abaixo, são:
Figura 1.2: Exemplo de translação
• Um objeto geométrico e sua imagem são congruentes ∆ABC≅∆A'B'C'.
• Um segmento e sua respectiva imagem são paralelos AB //A’B’, BC//B’C’ e AC//A’C’.
• Qualquer segmento que une um ponto qualquer da figura original e sua respectiva imagem é paralelo ao vetor.
• Invertendo-se o sentido do vetor verifica-se que transladando a imagem obtida inicialmente obtém-se a figura original.
• A translação não inverte a orientação de pontos não-colineares (no ∆ABC os
pontos A B C (nesta ordem) é horário, em ∆A'B'C' a respectiva imagem dos
pontos também tem sentido horário).
1.3.1.3. ROTAÇÃO:
Uma rotação do plano em torno de um ponto P é uma isometria que tem P como ponto invariante. Numa rotação de ângulo orientado1 α em torno do ponto P, a relação de um ponto qualquer A com sua imagem A’ é tal que PA≡ PA' e
' ˆA P
A = α (Figura 1.3).
Figura 1.3: Exemplo de rotação
• A distância de qualquer ponto da figura original ao ponto P e da imagem deste ponto a P é sempre a mesma.
• O ângulo com vértice no ponto P e lados obtidos pela união da semi-reta que une um ponto qualquer da figura original ao ponto P e a semi-reta que une a imagem do ponto escolhido ao ponto P é congruente ao ângulo de rotação.
• Um objeto geométrico e sua imagem são congruentes ∆ABC≅∆A'B'C'.
1
• A rotação não inverte a orientação de pontos não-colineares (no ∆ABC os pontos A B C (nesta ordem) é horário, em ∆A'B'C' a respectiva imagem dos
pontos também tem sentido horário).
As propriedades das isometrias relevantes para este trabalho são características das três isometrias ilustradas acima: conservação da distância entre os pontos, conservação do alinhamento dos mesmos e conservação das medidas dos ângulos.
1.3.2. SIMETRIA
A simetria é um conceito que se apóia na noção de transformação geométrica e
particularmente nas isometrias (Araújo, 2000). Este conceito tem sido freqüentemente abordado nos livros didáticos atuais. Intuitivamente, o conceito de simetria relaciona-se ao espelhamento, ou seja, pode–se dizer que uma figura é simétrica quando, colocando-se um espelho sob “metade” da figura, sua imagem coincide com a outra metade.
Segundo o dicionário Aurélio (Ferreira, 1995) simetria é:
simetria . [do gr. Symmetría, ‘justa proporção’.] s. f. 1. correspondência, em grandeza, forma e posição relativa, de partes situadas em lados opostos de uma linha ou plano médio, ou, ainda, que se acham distribuídas em volta de um centro ou eixo. 2. harmonia resultante de certas combinações e proporções regulares. 3. Anál. Mat. Propriedade duma função que não se altera numa determinada transformação de suas variáveis. 4. geom. Propriedade duma configuração que é invariante sob transformações que não alteram as relações métricas, mas alteram a posição dos seus elementos constitutivos. 5. lóg. Propriedade da relação que, afirmada entre a e b, pode ser afirmada entre b e a, sem transformação.
FIGURAS SIMÉTRICAS: A coleção Imenes & Lellis apresenta, nos livros do 3º ciclo (especificamente na 5ª série), o tema simetria. Porém, a definição encontra-se apenas no Vocabulário: “Simetria: Propriedade das figuras simétricas” (Imenes & Lellis, 2002; p. 296). Para “figuras simétricas” encontra-se a seguinte definição:
“são simétricas duas figuras geométricas que admitem um eixo de simetria entre elas.
Os triângulos ABC e A’B’C’ são figuras simétricas em relação ao eixo e” (Imenes & Lellis, 2002; p. 287).
Figura 1.4: Figuras com simetria axial segundo Imenes & Lellis (2002)
O vocábulo indica ainda que seja visto também o termo eixo de simetria cuja definição apresentada é:
“numa figura simétrica, o eixo de simetria divide a figura em duas partes que podem ser superpostas.
Dobrando o papel na linha reta e, o lado esquerdo da figura superpõe-se ao lado direito. Cada ponto da parte esquerda cai sobre um ponto correspondente da parte direita. Assim, o ponto A cai sobre o ponto A’; eles são pontos simétricos.“ (Imenes & Lellis, 2002; p.286)
Figura 1.5: Eixo de simetria segundo Imenes & Lellis (2002)
As abordagens deste livro incluem duas situações: a simetria como característica de duas figuras distintas cujos pontos correspondentes distam igualmente do eixo de simetria e a simetria de uma única figura cujo eixo a divide exatamente ao meio, originando duas partes congruentes.
1.3.3. “AS SIMETRIAS”
A mesma coleção citada anteriormente apresenta, no 4º ciclo (especificamente no volume de 7ª série), as diferentes simetrias: axial, de rotação e central. O livro texto também não apresenta definições de cada transformação mas ilustrações de
figuras que apresentam tais simetrias, deixando a cargo dos alunos que as definam em um dos exercícios propostos. A definição presente no livro encontra-se no anexo Vocabulário conforme o texto abaixo:
“Simetria: propriedade das figuras geométricas. Distinguem-se a simetria axial e a simetria central. Há também a simetria de rotação. Veja o caso do pentágono regular: um giro de 72º em torno do seu centro não altera a figura. Por isso, dizemos que esse polígono tem simetria de rotação de 72º (Imenes & Lellis, 2002; p. 324).
Figura 1.6: Simetria de rotação segundo Imenes & Lellis (2002)
Para “figuras simétricas”, o livro de 7ª série apresenta, além da simetria axial conforme a Figura 1.4, o caso de simetria central ilustrado através da figura seguinte:
Figura 1.7: Figuras simétricas segundo Imenes & Lellis (2002)
A simetria de rotação aparece no “Vocabulário” do exemplar de 8ª série da
seguinte forma:
“Rotação: Giro de uma figura em que cada ponto descreve um arco de circunferência, de modo que todos os arcos tenham um mesmo centro e correspondam a ângulos centrais de mesma medida.
Considerando o triângulo ABC e o triângulo A’B’C’ (que resulta da rotação) figuras distintas, dizemos que os triângulos são simétricos por rotação.” (Imenes & Lellis, 2002; p. 343).
Figura 1.8: Simetria de rotação segundo Imenes & Lellis (2002)
A translação aparece no livro de 8ª série também como sendo uma simetria. O texto também não apresenta definição, sendo que esta se encontra no vocabulário deste exemplar:
Translação: Movimento de uma figura geométrica em que cada ponto se desloca sobre um segmento de reta e todos esses segmentos são paralelos e de mesmo comprimento.
AA’ // BB’ // CC’ // DD’ AA’ = BB’ = CC’ = DD’
Considerando ABCD e A’B’C’D’ figuras distintas, dizemos que ambas são simétricas por translação.“ (Imenes & Lellis, 2002; p. 345).
A definição acima diz que o deslocamento efetuado pela translação ocorre sobre um segmento de reta e não por um vetor, o que ofereceria o sentido ao deslocamento.
Araújo (2000) apresenta uma visão enfatizando, não apenas as isometrias, mas também, o conceito de invariância de uma figura:
“O conceito de simetria, do ponto de vista matemático, se fundamenta em dois conceitos: o de isometria e o de invariância de uma figura por um grupo de isometrias (Weyl, 1952). No estudo da simetria, três elementos intervêm de forma indissociável: a transformação, a figura geométrica e a invariância da figura em face da transformação.” (p. 19-20)
Sobre dois dos elementos, a figura geométrica e a transformação, já discorremos anteriormente. Resta-nos apresentar a invariância da figura em face da transformação. Essa invariância diz respeito “ao fato de essa transformação não alterar esse conjunto de pontos” (Araújo, 2000; p. 20). Nesse caso, uma figura é simétrica se uma transformação aplicada à figura tem como imagem a própria
figura original. Nota-se, então, que a rigor, a simetria de translação só pode
ocorrer em figuras ilimitadas.
Em relação à primeira destas duas abordagens para simetria (a visão de Imenes & Lellis), percebe-se sua similaridade com o conceito de congruência, tendo em vista que a figura original e sua imagem têm forma e tamanho iguais. No decorrer
deste estudo, inicialmente, foi adotada a concepção de simetria como invariância
de uma figura sobre uma transformação, porém, à medida que os alunos
passaram a manifestar seus pontos de vista e estes, aproximavam-se da visão de
1.4. RESUMO
Os PCN sugerem que o ensino do tema prova seja iniciado durante o quarto ciclo do Ensino Fundamental, ou seja, 7ª e 8ª séries. Enfatizam ainda o uso das transformações geométricas no estudo da congruência e da semelhança de figuras. Unindo estas duas sugestões, encontra-se o uso dos softwares de geometria dinâmica que possibilitam a conceitualização através do uso das propriedades comuns das isometrias como ponto de partida para a prova.
Ressalta-se que as propriedades dos invariantes associados às isometrias serão extremamente relevantes para este trabalho. Estas invariantes são: conservação da distância entre pontos, conservação dos ângulos e conservação do alinhamento dos pontos. Estas três propriedades serão aceitas como premissas ou seja, aceitas sem demonstração. É importante, neste momento, reiterar que neste estudo, as propriedades das ferramentas de isometria do Cabri-géomètre servem como ponto de partida para a prova, isto é, definem o sistema teórico de referência e podem ser tratadas pelos estudantes como fatos que não requerem justificativas. As propriedades observadas pelos estudantes que trabalharam nas atividades são conseqüências destes três postulados (no contexto euclidiano do Cabri-géomètre). Estamos tratando as ferramentas de transformação como "primitivas geométricas" - construções em que os aprendizes têm acesso às figuras governadas pelas propriedades geométricas, sem o conhecimento de todos os passos destas construções (Laborde, 1993) - em um sistema dedutivo.
CAPÍTULO 2
PROVA E O DESENVOLVIMENTO DO RACIOCÍNIO GEOMÉTRICO
“Mas em sala de aula o papel chave da prova é a promoção da compreensão matemática. … Um dos caminhos potencialmente mais
efetivos é o uso dos softwares de geometrica dinâmica.” (Hanna, 2001)
Diferentes noções teóricas foram utilizadas no presente trabalho e serão apresentadas no decorrer deste capítulo. Inicia-se com o desenvolvimento das estruturas geométricas de Piaget e Garcia (1987) que terá papel fundamental na elaboração e análise das atividades desenvolvidas com alunos. Em seguida, serão explicitadas noções envolvidas nos softwares de DGS (Dynamic Geometry System), em especial no software Cabri-géomètre como a distinção entre figura e desenho, construção mole e robusta. Será discutido ainda, através da classificação de Balacheff (1988), o tema prova. Uma alternativa para o ensino da prova será formulada: o uso das transformações geométricas do DGS Cabri-Géomètre.
2.1. A TRIÁDE INTRA, INTER, TRANS (PIAGET E GARCIA)
A construção das estruturas geométricas no desenvolvimento cognitivo dos indivíduos ocorre, segundo Piaget e Garcia, através de um processo contínuo e complexo cujo funcionamento pode ser percebido nas passagens de uma etapa a outra.
As três etapas desta construção são:
2. Interfigural: a criança consegue relacionar uma figura com outras externas a
ela. Neste estágio, a criança passa a prestar atenção às relações e transformações entre objetos e realiza formulações e provas de resultados;
3. Transfigural: caracteriza-se pela construção de uma estrutura subjacente nas quais as relações dos níveis intra e inter são coerentemente organizadas.
A primeira etapa, das relações intrafigurais, tem início com o desenho através da
distinção entre figuras abertas e fechadas, curvas e retas, ângulos retos ou não,
etc.
A oposição entre a etapa intrafigural e a interfigural pode ser percebida através da
construção de retas perpendiculares. Por exemplo, para uma criança, desenhar
duas retas como sendo uma figura, como uma cruz, é bastante simples. Mas,
desenhá-la como uma figura com relação a um referencial externo é difícil.
Observa-se este fato no exemplo abaixo onde a chaminé na primeira figura
aparece paralela ao telhado enquanto na segunda o posicionamento da chaminé
está paralelo à margem da folha de papel.
Intrafigural Interfigural
Figura 2.1: Desenho de uma casa com ênfase em aspectos intrafigurais e interfigurais
Efetuar comparações entre duas figuras não está relacionado à etapa interfigural,
ou seja, quando a criança descobre que a soma dos ângulos internos de um
triângulo é 180o e aplica esta descoberta a outro triângulo, não é estabelecida uma relação interfigural pois, a criança continua a pensar na figura apenas em
relação a suas propriedades internas e não enquanto espaço englobante.
O termo transfigural significa aquilo que não pode ser verificado diretamente em
uma única figura e deve, portanto, ser calculado. O estágio transfigural está
partir dos 11-12 anos) quando as estruturas lógico-aritméticas se libertam inteiramente do geométrico e quando a geometria se “algebriza”. O aspecto transfigural mostra-se presente quando dois sistemas se integram formando uma estrutura total.
Piaget e Garcia estabelecem relações entre as três etapas apresentadas anteriormente e o desenvolvimento histórico da Matemática:
“A geometria começa, com Euclides, por um período durante o qual se estuda a propriedade das figuras e dos corpos geométricos enquanto relações internas entre os elementos destas figuras e destes corpos. Não se toma em consideração o espaço enquanto tal, nem, por conseqüência, as transformações das figuras no interior de um espaço que as compreenderia todas. Chamaremos a esta fase intrafigural, utilizando uma expressão já utilizada em psicologia genética para dar conta do desenvolvimento das noções geométricas na criança.
Vem em seguida uma etapa caracterizada por um estabelecimento de relações das figuras entre elas, cuja manifestação específica é a procura das transformações, ligando figuras segundo múltiplas formas de correspondências, mas sem chegar à subordinação das transformações às estruturas de conjunto. É o período durante o qual a geometria dominante é a geometria projectiva. Chamaremos esta fase de “interfigural”.
Em seguida, começa uma terceira etapa, que chamaremos de “transfigural”, caracterizada pela preeminência das estruturas. A expressão mais característica desta etapa é o Programa de Erlanger de Félix Klein.
Estas três etapas, bem delimitadas na história da geometria, testemunham a evolução no processo da conceptualização das noções geométricas. Não se trata de períodos de “crescimento” dos conhecimentos (em relação à etapa precedente), mas de uma reinterpretação total dos fundamentos conceptuais” (Piaget & Garcia, 1987; p. 110-111).
Para este estudo é particularmente interessante a análise da transição entre as etapas intrafigural - com seu enfoque nas propriedades internas das figuras na geometria plana - e interfigural – onde as transformação são consideradas por si mesmas e a atenção está voltada aos elementos externos à figura. Estudos recentes sugerem que, atividades nos sistemas de geometria dinâmica (DGS),
facilitam a transição entre estas etapas (Jahn, 1998; Healy, 2002).
2.2. DGS
Desde a introdução dos computadores na educação, diversos softwares têm sido
elaborados visando o aprimoramento da relação ensino e aprendizagem. Na área
de Matemática, ou mais especificamente, na área de Geometria, vários
programas tem sido desenvolvidos. Isto ocorre devido ao papel fundamental das
representações gráficas nesta área do conhecimento (Laborde, 1993).
A facilidade oferecida pelos softwares de Geometria Dinâmica (DGS) não é
apenas a possibilidade de desenhar rapidamente e de forma precisa mas também
a de movimentação e modificação das representações gráficas construídas.
Segundo Olivero (2002), um DGS é um conjunto de pontos móveis, o que não
apresenta equivalência no ambiente papel e lápis. Isto significa que, através do
DGS, é possível construir figuras geométricas e manipulá-las, alterando suas
medidas, forma e posição, visualizando imediatamente as modificações
realizadas. Tal fato proporciona aos alunos a possibilidade de elaborar
conjecturas sobre as novas características do diagrama e comprovar ou refutar
suas hipóteses.
2.2.1. CABRI-GÉOMÈTRE
O Cabri-géomètre (Baulac, Bellemain & Laborde, 1994) é um DGS que consiste num ambiente para construção e manipulação de figuras no contexto da
geometria Euclidiana (Olivero, 2002). Seus comandos permanecem disponíveis
na barra de ferramentas de sua tela. Entre estes, podemos distinguir os
que se utilizem as primitivas geométricas e os comandos de construção (retas paralelas, perpendiculares, ponto médio, bissetrizes etc) que servem para efetuar construções que dependem daquelas anteriormente realizadas através dos comandos de criação.
Healy (2000b) aponta características que diferenciam o Cabri-geométre, assim como os demais DGS, de outros ambientes de aprendizagem de Geometria. Entre estas características destaca-se: “
• as ferramentas de construção e de criação possibilitam aos estudantes produzir um diagrama que seja simultaneamente um desenho e uma figura (Laborde, 1993);
• as ferramentas de arrastar permitem aos estudantes examinar suas construções, para identificar os relacionamentos que permanecem invariantes e para impor visualmente relacionamentos adicionais (Hölzl, 1996; Arzarello, Micheletti, Olivero e Robutti, 1998);
• ferramentas da verificação de propriedades que permitem que os estudantes considerem o domínio da validade de propriedades visualmente identificáveis de suas construções (Laborde e Laborde, 1995);
• ferramentas de medição que permitem estudantes considerar casos particulares e fornecer meios diferentes de focalizar em relacionamentos invariantes (Healy, 2000a).” (p.1-2)
A diferenciação entre desenho e figura é essencial no processo de aprendizagem pois dela se originam algumas dificuldades. Em muitos casos, os alunos utilizam desenhos enquanto seus professores crêem que eles estão utilizando figuras. Este fato ocorre porque a preocupação dos alunos é criar um diagrama apenas visualmente correto e não, como pretende o professor, utilizar as propriedades geométricas envolvidas na construção (Laborde, 1993).
Relacionada às definições de desenho e figura, mas atrelada ao processo de
construção dos diagramas temos as noções de construções moles e robustas. Os
diagramas podem ser construídos no Cabri através de ferramentas que envolvem
a descrição explícita das propriedades das figuras e sua comunicação para o computador. Após a construção de um diagrama, existe a possibilidade de manipulação do mesmo. Quando, após a manipulação, o diagrama continuar possuindo as mesmas características definidas pela construção, esta pode ser chamada de construção robusta. Caso contrário, ou seja, se o diagrama não apresentar as características originais após a manipulação, podemos chamar sua construção de mole.
Estas definições podem auxiliar na distinção entre figura e desenho (Laborde, 1993) pois, se o usuário, através do deslocamento de seu diagrama tem acesso à representação de todos os casos da classe e não de um representante específico, então, o diagrama construído é uma figura. Porém, é importante não confundir a noção de figura com a de construção robusta pois, também é possível que os usuários construam diagramas através de uma construção mole (onde uma ou mais propriedades são visíveis numa configuração particular na tela mas não se mantêm após deslocamento) o que não significa necessariamente que o diagrama não é uma figura para o usuário, pois o que importa é sua atenção: se ele se mantém focado na “descrição canônica” das construções podemos
argumentar que os alunos estão trabalhando com figuras e não com desenhos,
mesmo que a construção realizada seja mole.
2.3. PROVA
A abordagem sobre a Geometria, apresentada nos Elemento de Euclides, dominou o ensino da Matemática e, especialmente, as considerações sobre prova por mais de dois mil anos. Segundo Greenberg (1997), o método axiomático de Euclides é o protótipo do que hoje chamamos "Matemática Pura”, no sentido de
“pensamento puro”, ou seja, sem o uso de experimentos físicos para sua comprovação mas apenas através da exatidão do raciocínio utilizado.
Para afirmar que algo é correto usando o método axiomático duas condições devem ser satisfeitas:
1. Aceitação de certas afirmações chamadas “axiomas” ou “postulados” sem qualquer justificativa.
2. Acordo sobre como e onde uma afirmação “deriva logicamente” de outra, ou seja, um acordo sobre certas regras de raciocínio.
Euclides pretendia, em Os Elementos, derivar toda sua geometria de apenas cinco postulados, sendo o quinto, o agora famoso postulado das paralelas. Em contraste aos quatro primeiros postulados, cuja auto-evidência foi aceita por cerca de dois mil anos, os matemáticos tentaram, sem sucesso, derivar o quinto postulado dos anteriores ou substituí-lo por outro que satisfizesse a condição de auto-evidência. Eventualmente, isso resultou tanto em propostas de geometrias não-euclidianas quanto na reformulação da geometria euclidiana (para uma discussão mais extensiva sobre este tema ver Greenberg,1997).
Várias tentativas surgiram, visando definir modelos para geometrias que permitissem provas mais rigorosas do que as propostas nos Elementos de Euclides (baseadas principalmente nos diagramas), assim, um sistema maior de axiomas explícitos tornou-se necessário. Entre estes estudos, destaca-se o sistema de axiomas elaborado por Hilbert que, se não foi o primeiro, certamente foi o mais próximo do espírito da geometria euclidiana.
(lado-ângulo-lado) como um axioma, enquanto Euclides não, “provando-o” através da sobreposição. Tal “prova” deriva da experiência física do desenho de dois triângulos no papel, do corte dos mesmos e da sobreposição de uma figura sobre a outra. Apesar de ser uma forma de convencimento, não se pode dizer que seja uma prova pois Euclides nunca afirmou em seus axiomas algo sobre o movimento de figuras sem alteração do tamanho e forma das mesmas.
No Programa de Erlanger, Felix Klein adotou uma abordagem diferente em relação à congruência através do estudo das propriedades das figuras que permanecem invariantes sob um grupo particular de transformações. Apesar das transformações terem sido usadas por muitos anos e por diversos matemáticos anteriores a Klein, sua originalidade consiste em reverter os papéis, começando com o grupo e deixando-o operar nas várias geometrias, procurando por invariantes.
Klein classificou várias geometrias como subgeometrias da geometria projetiva do plano real. Em especial, a geometria euclidiana foi classificada como o estudo dos invariantes do subgrupo das transformações (chamadas “motions”) que preservam a distância (Greenberg, 1997; p.314).
Na visão de Piaget & Garcia (1987; p.106), a Geometria, com Klein, inicia uma fase transfigural, sendo que o grande passo para essa mudança de foco a passagem das transformações às estruturas que as explicam, possibilitando a substituição das próprias transformações (ênfase intrafigural e interfigural) pelas análises das relações internas do grupo (ênfase transfigural).
Diversos estudos sobre o tema prova (Arzarello, Micheletti, Olivero & Robutti, 1998; Gravina, 2000, entre outros) abordam o tema prova, baseados nas construções da geometria euclidiana "clássica" e na congruência de triângulos como ferramentas principais para a prova. O presente estudo oferece uma alternativa a esta abordagem enfocando três das transformações geométricas: reflexão, translação e rotação.
como conseqüência de certos outros dentro um dado sistema formal e (ii) a organização de uma seqüência de argumentos coerentes pelas quais o segundo conjunto de fatos pode ser inferido a partir do primeiro. A dificuldade dos alunos em construir uma prova matemática tem sido assunto abordado em diversos estudos (Marrades & Gutierrez, 2000; Gravina, 2000; Barbin, 1996; Vinner & Kopelman, 1998; Healy e Hoyles, 2001, entre outros). Se, por um lado, em (ii), a forma dedutiva-axiomática é enfatizada sem conexão com qualquer referência empírica, todas as indicações sugerem que o tema prova será visto como um ritual inacessível e sem significado (veja, por exemplo, Harel & Sowder, 1998). Por outro lado, se a atenção para o raciocínio dedutivo é adiada, ou seja, a prova é introduzida apenas no contexto de experimentação empírica, aprendizes parecem entender melhor o que é requerido nas provas, mas não conseguem construí-las (Healy e Hoyles, 2000).
De qualquer forma, Olivero (2002) descreveu como, em geral, o tema prova recebe, na escola, pequena ênfase pois raramente é solicitado ao aluno que a elabore. Como resultado, muitos aprendizes não compreendem o que devem fazer quando recebem tal tarefa.
As principais dificuldades dos aprendizes na construção de uma prova, segundo Chazan (1993, apud Olivero, 2002), advém da preferência dos estudantes por argumentos empíricos em detrimento aos dedutivos e também por não saberem como diferenciar ambos. Em muitos casos, o professor influi para esta situação pois “muitos professores aceitam argumentos indutivos como provas de afirmações matemáticas, e ao mesmo tempo muitos professores aceitam argumentos dedutivos como provas” (Olivero, 2002; p. 27). Desta forma, aprendizes crêem que o pensamento indutivo está presente na vida enquanto o dedutivo apenas na Matemática. Porém, eles necessitam de ambos para ter certeza de uma afirmação e é aí que reside a dificuldade do aluno: na coordenação dos pensamentos dedutivo e indutivo.
competências dos estudantes como a identificação de hipóteses, isolamento das propriedades e estruturas e a organização lógica dos argumentos (Healy &
Hoyles, 2000).
O processo de prova é bastante complexo e tem sido amplamente estudado
através da abordagem de três diferentes aspectos (Olivero, 2002):
- histórico-epistemológico: aborda a evolução da noção de prova no tempo
(Barbin, 1996; Domingues, 2002; Silva, 2002) e o status dos objetos matemáticos,
propriedades e relações envolvidas neste ensino (por exemplo, Balacheff ,1988).
- cognitivo: envolve o processo cognitivo da construção e compreensão da prova
(por exemplo, Healy, 2000a).
- didático: analisa o papel da prova no currículo de Matemática e os possíveis
meios de abordagem do tema no contexto ensino e aprendizagem (por exemplo,
Hoyles, 1997).
Do ponto de vista histórico-epistemológico, Hanna (2001) discute o papel da
prova relatando que na Matemática este papel encontra-se em si mesmo pois se
trata de uma forma de resolução de problemas e de justificativa dos resultados
através de seqüências de sentenças em que cada uma das afirmações deriva da
anterior. Segundo esta autora, no ensino, a prova deve promover o entendimento
matemático ao aluno, cabendo ao educador, encontrar formas que a direcionem
para este objetivo.
Segundo Hanna (2001), a prova possui diferentes funções:
“- verificação (preocupação com a verdade da afirmação)
- explanação (provando o porquê é verdade)
- sistematização (a organização de vários resultados num sistema dedutivo de
axiomas, conceitos e teoremas)
- descoberta (a descoberta ou invenção de novos resultados)
- comunicação (transmissão do conhecimento matemático)
- construção de uma teoria empírica
- exploração de significados de uma definição ou conseqüências de uma afirmação
- incorporação de fatos bem conhecidos em uma nova estrutura e com uma nova
Olivero (2002) apresenta uma divisão das funções acima, atribuindo-as ou à Matemática (como ciência) ou à Matemática escolar conforme a Figura 2.2.
Figura 2.2 : Prova na Matemática e na escola (Olivero, 2002; p. 19)
Em algumas escolas a abordagem da prova ainda é realizada de forma “tradicional” (Barbin, 1996). Porém, nesta forma de ensino, não há possibilidade de se falar de aprendizagem da demonstração pois para mostrar a prova, o professor a coloca na lousa, separando, do lado esquerdo as hipóteses e do lado direito, as conclusões. A demonstração consiste em ir de uma a outra através do raciocínio dedutivo citando os teoremas e proposições utilizadas e mostrando a quais objetos estes são aplicados. Cabe aos alunos, em seguida, demonstrar, ou seja, reproduzir o que lhe foi ensinado já que, com a ocultação do processo de prova, esta não tem significado aparente para o aluno. Aparecem portanto as dificuldades cognitivas pois o aluno não percebe a necessidade de pensar, ensaiar e errar, princípios primordiais para a aprendizagem da prova, ressaltados
também por Gravina (2000), que enfatiza a importância do conhecimento do aluno sobre toda a complexidade envolvida na prova: identificação de hipóteses, realização de conjecturas, procura por casos especiais etc.
Em alguns países, como na Inglaterra, por exemplo, no currículo de Matemática, são comuns atividades de “investigação”, onde os alunos realizam observações, geram seus dados, sintetizam os mesmos numa conjectura geral a ser explorada
MATEMÁTICA ESCOLA
VERIFICAÇÃO – ESTABELECIMENTO DA
VERDADE
SISTEMATIZAÇÃO
COMPREENSÃO – EXPLICAÇÃO DO PORQUÊ
DESCOBERTA
COMUNICAÇÃO
e, se possível, provada (Hoyles, 1997). Estes estudos podem envolver situações numéricas, algébricas e/ou geométricas, embora, no ambiente escolar, a prova normalmente apareça apenas no estudo da Geometria (Arzarello et al., 1998). Essas situações visam abordar o conhecimento indutivo e sua passagem para o dedutivo porém, a transição entre ambos é muito complexa – alguns autores apontam a existência de um obstáculo cognitivo decorrente da transição entre o
conhecimento geométrico espontâneo (adquirido a partir de experiências práticas)
e a teoria matemática (geometria axiomatizada) (Gravina, 2000). Outras enfatizam
a importância de estratégias que possibilitam a conexão entre experimentação e
prova (Arzarello et al., 1998).
As pesquisas que tem como foco a descrição e análise das provas produzidas
pelos alunos contemplam esta transição. Nelas é possível identificar diversas
classificações abordando diferentes dimensões da prova. A abordagem que será
utilizada neste trabalho advém de Balacheff (1988) que divide as provas em duas
categorias: pragmáticas e conceituais conforme será explicitado a seguir.
2.3.1. TIPOS DE PROVA
As provas produzidas por alunos podem ser analisadas através da lógica nela
envolvida ou através das práticas matemáticas dos estudantes. A abordagem
presente neste estudo, contemplará a segunda concepção, explorada com ênfase
por Balacheff (1988). Segundo este autor, a abordagem experimental envolve o
processo de busca da solução de um problema por parte dos alunos, analisando
como os estudantes se convencem da validade de suas respostas.
Para Balacheff (1988), as provas são divididas em duas categorias: pragmáticas
e conceituais. As pragmáticas utilizam recursos de ação, como por exemplo,
desenhos (o que chamamos de “mostração”), envolvendo habilidades de
observação de figuras estando os conhecimentos necessários implícitos no
pensamento de quem prova, ou seja, baseiam-se nos teoremas-em-ação
(Vergnaud). As provas conceituais, segundo Balacheff, não envolvem ações, mas
formulações de propriedades em questão e as relações estabelecidas entre estas
propriedades. Caracterizam-se por seu caráter genérico envolvendo a linguagem,
lógicas. A prova conceitual utiliza: a descontextualisation (descontextualização – distanciamento do processo de solução do problema); a depersonalisation (despersonalização – o conhecimento torna-se objeto de reflexão); e a
detemporalisation (atemporalização – sem características do tempo e duração). A passagem das provas pragmáticas para as conceituais envolve saltos qualitativos no pensamento dos estudantes. E, segundo Balacheff (1988), a prova tem características hierárquicas dependendo da qualidade de suas generalizações e da conceitualização do conhecimento envolvido.
O desenvolvimento da prova ocorre através da passagem entre as 5 etapas de
desenvolvimento abaixo:
1. Empiricismo ingênuo: verificam-se vários casos e então se conclui a validade para todos aceitando o fato como verdadeiro. Este processo
rudimentar apresenta-se insuficiente pois não é possível analisar todos os exemplos possíveis mas apresenta-se como uma primeira forma do processo de generalização.
2. Experimento crucial: escolhe-se um exemplo com certas características com a intenção de verificar sua validade para este caso específico. Caso confirmado, conclui-se seu caráter geral.
3. Exemplo genérico: escolhe-se um objeto representativo da classe, ou seja, que possua propriedades características e estrutura representativa desta classe. A partir deste exemplo, torna-se explícito as razões da verdade de uma
asserção por meio das operações ou transformações que representam a
classe.
4. Experimento de pensamento: invoca a ação pela superação de qualquer caso específico e sua internalização. Não envolve situações particulares. As
operações e relações fundamentais de prova são indicadas, não através de
exemplos, mas pelo resultado de seu uso. Este experimento envolve
5. Cálculos nas afirmações: envolve construções intelectuais mais ou menos formalizadas aparecendo como resultados de cálculos inferenciais, de definições ou da explicitação de propriedades características.
Na visão de Balacheff, as três primeiras etapas pertencem à categoria de provas pragmáticas enquanto as demais, à categoria de provas conceituais.
Neste trabalho, as etapas acima descritas serão denominadas através do termo tipos pois, embora haja concordância sobre a diferença qualitativa entre estes, acredita-se que cada um deles envolve aspectos conceituais e pragmáticos. A diferença talvez seja que a ênfase pragmática decresça para cada um dos tipos apresentados na seqüência. Em particular, a classificação de exemplo genérico como pragmático, e não conceitual, é particularmente difícil para o presente trabalho pois se trata de um exemplo característico da classe, ou seja, tem uma representatividade pois está provido de força e meios acessíveis para convencer e explicar. Trata-se portanto do meio termo entre a generalização e as provas formais.
2.4. DGS E PROVA
Em geral, o grande desafio identificado nas inúmeras pesquisas sobre prova é compreender e facilitar a passagem entre as considerações pragmáticas (baseados na ação e evidências) e considerações conceituais (e as teorias de referência na qual elas se fundamentam). De certa forma, essa passagem pode ser análoga à distinção figura/desenho discutida anteriormente. Por esta razão, não é surpreendente que uma abordagem que vem sendo crescentemente explorada, a fim de que um equilíbrio entre o raciocínio indutivo e dedutivo possa ser conseguido, é a integração de sistemas dinâmicos da geometria (DGS) nas situações de aprendizagem associadas à prova (ver, por exemplo, Arzarello et al., 1998; Gravina, 2000; Healy & Hoyles, 2001; Mariotti, 2000; Marrades & Gutiérrez, 2000).
ocorre pois os estudantes podem “ver” as condições de veracidade/falsidade de uma propriedade através da manipulação do diagrama (Olivero, 2002) encorajando a aceitação de provas predominantemente pragmáticas.
Gravina (2000), por outro lado, atribui ao computador o potencial de favorecer a exteriorização de idéias e propiciar conflitos cognitivos que podem levar à construção de significados. Especificamente no caso dos DGS, a autora descreve a possibilidade dos alunos elaborarem suas próprias conjecturas sentindo-se motivados a buscar a demonstração que comprove suas observações.
Hanna (2001) concorda com Gravina e salienta que o uso dos DGS oferece um novo ímpeto à exploração matemática, auxiliando os alunos a compreenderem proposições e permitindo que eles realizem construções geométricas com alto grau de precisão, tornando mais fácil verificar o significado das proposições e realizar testes em suas conjecturas.
Marrades & Gutiérrez (2000) apontam duas contribuições potenciais do DGS no
ambiente de aprendizagem: (i) oferecer um ambiente onde os estudantes experimentam livremente (foco nos aspectos pragmáticos), e (ii) oferecer formas não tradicionais para os estudantes aprenderem e entenderem conceitos e métodos matemáticos (envolvendo aspectos conceituais).
Em geral, parece haver concordância entre estes autores de que o uso de DGS incentiva o usuário a se tornar ciente das propriedades geométricas e da relação entre os artefatos visuais produzidos, mas não pode se esperar emergir espontaneamente que a interação com estes artefatos possa ajudar os aprendizes a justificar o quando e o porquê destes relacionamentos.
Para possibilitar esta transição entre pragmático e conceitual, Arzarello et al. (1998) apresenta um modelo teórico. Tal modelo possui quatro fases:
ingredientes estão presentes mas as relações invertidas. Nesta fase, a ênfase encontra-se na ação e nas evidências.
2. Início da fase dedutiva: as relações passam a ser vistas na forma condicional através da concatenação lógica, ou seja, os aprendizes
começam a se engajar em experimentos de pensamento;
3. Procura por provas similares, exploração de configurações diferentes e contra-exemplos dando origem a uma nova fase de exploração, mas ainda
com ênfase em fatores mais conceituais do que pragmáticos;
4. Conexões lógicas de forma global e articulada, controle do produto da exploração e conjecturas. Seleção das afirmações importantes para a prova (o estudante age como um agente racional). As conjecturas são
reformuladas para combinar melhores concatenações lógicas e novas explorações. Esta fase possui semelhanças ao tipo de prova, descrito por Balacheff, chamado cálculo com afirmações.
A importância do modelo de Arzarello reside no destaque oferecido às
modalidades de exploração e seleção durante todo o processo de conjectura e prova.
