PROBABILIDADE
ORIGEM: jogos de azar
ATUALMENTE: os governos, as empresas, as organizações profissionais incorporam a teoria das probabilidades em seus processos diários de deliberações.
Independente de qual seja a aplicação a utilização das probabilidades indica que existe um elemento de acaso , ou de
incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro. Assim é que, em muitos casos, pode ser virtualmente impossível firmar por
antecipação o que ocorrerá; mas é possível dizer o que pode ocorrer.
as probabilidade são úteis porque auxiliam a desenvolver estratégias.
O ponto central em todas essas situações é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado evento.
Um espaço amostral () é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento, ou seja, o conjunto universo.
Ex.: as cartas de um baralho (52 cartas), as faces de uma moeda (cara ou coroa), as faces de um dado (1, 2, 3, 4, 5 ou 6), etc.
Os resultados de um experimento chamam-se eventos (A), ou seja, é um subconjunto do espaço amostral.
Ex.: Extrair a carta de 10 de paus;
ao jogar uma moeda, dar coroa;
ao jogar um dado, dar a face 5; etc.
K K K K
Q Q Q Q
J J J J
10 10 10 10
9 9 9 9
8 8 8 8
7 7 7 7
6 6 6 6
5 5 5 5
4 4 4 4
3 3 3 3
2 2 2 2
A A A A
Exemplo:
Consideremos agora o experimento que consiste em "extrair uma carta de um baralho de 52 cartas". Há 52 eventos elementares no espaço amostral.
EVENTOS
COMPLEMENTARES
Ex.: A ...“Carta é de copas” A’ ...“Carta não é de copas”
MUTUAMENTE EXCLUDENTES,
não podem ocorrer simultaneamente
Ex.: A ...“Carta de copas” ; B ...“Carta de ouros”
COLETIVAMENTE EXAUSTIVOS
Se ao menos um tiver que ocorrer durante um dado experimento, ou seja,
esgotam todas as possibilidades.
A A
O B
A
A A'
1) Escreva o COMPLEMENTO de cada um dos seguintes eventos:
• Ganhar num jogo de futebol:
• Extrair uma carta de copas de um baralho de 52 cartas:
.
• Extrair uma carta vermelha de um baralho de 52 cartas:
.
• Obter dois ou três na jogada de um dado:
• Apresentar menos de 10 defeitos:
• Apresentar 10 ou menos defeitos:
1) Escreva o COMPLEMENTO de cada um dos seguintes eventos:
• Ganhar num jogo de futebol:
Não ganhar num jogo de futebol.
• Extrair uma carta de copas de um baralho de 52 cartas:
Não extrair uma carta de copas de um baralho de 52 cartas.
• Extrair uma carta vermelha de um baralho de 52 cartas:
Extrair uma carta preta de um baralho de 52 cartas.
• Obter dois ou três na jogada de um dado:
Obter 1, 4, 5 ou 6 na jogada de um dado
• Apresentar menos de 10 defeitos:
Apresentar 10 ou mais defeitos
• Apresentar 10 ou menos defeitos:
Apresentar mais de 10 defeitos
2) Assinale quais eventos que são COLETIVAMENTE EXAUSTIVOS:
a) Obter nota A ou C numa prova;
b) Ganhar, perder ou empatar num jogo de futebol;
c) Uma garrafa estar cheia ou vazia;
d) Feliz ou triste;
e) Feliz ou não feliz;
f) Promovido ou não promovido
g) Uma árvore pequena, média ou grande.
2) Assinale quais eventos que são COLETIVAMENTE EXAUSTIVOS:
a) Obter nota A ou C numa prova;
Não
b) Ganhar, perder ou empatar num jogo de futebol;
Sim
c) Uma garrafa estar cheia ou vazia;
Não
d) Feliz ou triste;
Não
e) Feliz ou não feliz;
Sim
f) Promovido ou não promovido Sim
g) Uma árvore pequena, média ou grande.
Não Resp.: b,e,f
3) Assinale os pares de eventos que são MUTUAMENTE EXCLUDENTES:
A) Chover Não chover
B) Nota B em química Nota A no mesmo teste C) Dirigir um carro Andar a pé
D) Dirigir um carro Falar
E) Nadar Sentir frio
F) Ganhar num jogo Perder num jogo G) Ganhar num jogo Empatar num jogo H) Extrair um dama de
um baralho Extrair uma carta vermelha de um baralho
A) Chover Não chover
B) Nota B em química Nota A no mesmo teste C) Dirigir um carro Andar a pé
D) Dirigir um carro Falar
E) Nadar Sentir frio
F) Ganhar num jogo Perder num jogo G) Ganhar num jogo Empatar num jogo H) Extrair um dama de
um baralho Extrair uma carta vermelha de um baralho
Resp.: A, B, C, F e G
Não se pode fazer simultaneamente
A probabilidade de ocorrer um evento A de um espaço amostral () é:
possíveis resultados
de total número
A evento ao
associados resultados
de número A)
( P
ou seja
) n(
A) n(A)
( P
PROBABILIDADE DE UM
EVENTO
A probabilidade de um evento A, denotada por P(A), é um número de 0 a 1 que indica a chance de ocorrência do evento A, isto é, 0 ≤ P(A) ≤1. Logo podemos dizer que:
quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de ocorrência de A, e quanto mais próxima de 0, menor é a chance de ocorrência do evento A .
A um evento impossível atribui-se probabilidade ZERO , enquanto que um evento certo tem probabilidade UM.
I - Probabilidade da união
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o B é dada por:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
caso A e B sejam eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A B
= , então:
P(A B) = P(A) + P(B)
caso A e B sejam eventos exaustivos, A B = , então:
P(A B) = P(A) + P(B) = P( ) =1
A probabilidade de aparecer cinco ou seis numa jogada de um dado equilibrado é:
P(5 ou 6) = P(5) + P(6) P(5 ou 6) =
Analogamente, a probabilidade de extração de uma carta de copas ou uma de paus de um baralho de 52 cartas é :
P(copas ou paus) = P(copas) + P(paus) P(copas ou paus) =
3 1 6
2 6
1 6
1
2 1 52 26 52
13 52
13
Outra forma , devemos subtrai a probabilidade conjunta da extração de dez de paus.
A probabilidade conjunta é o produto das probabilidades marginais
Num baralho de 52 cartas, há 13 cartas de paus, 4 dez e um dez de paus.
Então:
P(paus) = 13/52, P(dez) = 4/52 e P(dez de paus) = 1/52. Logo,
P(paus, ou dez, ou ambos) = P(paus) + P(dez) - P(dez de paus)
P(paus, ou dez, ou ambos) =
52 16 52
1 52
4 52
13
52 16 52
. 4 52 13 52
4 52
13
P(paus, ou dez, ou ambos) =
Probabilidade Conjunta
A probabilidade da ocorrência de dois eventos A e B, é chamada
probabilidade conjunta , e seu cálculo difere , conforme os eventos sejam ou não independentes.
Dois eventos são independentes entre si se a ocorrência de um não influência a ocorrência do outro. Ex.: No lance de dois dados, o
conhecimento do resultado de um deles em nada ajuda a predizer o resultados do outro.
Dois eventos são dependentes entre si se o conhecimento da ocorrência de um influencia a predizer a ocorrência do outro. Ex.: Uma criança em geral chora quando se machuca; Um copo em geral se quebra quando cai no chão.
Se dois eventos, A e B, são independentes, então a probabilidade da ocorrência de ambos é igual ao produto da probabilidades individuais:
P(A B) = P(A).P(B)
Exemplo: Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem cara?
Solução:
P(cara e cara) = P(cara). P(cara)
P(cara e cara) =
4 1 2
. 1 2
1
Se dois eventos, A e B, são dependentes, então a probabilidade
simultânea dos dois é dada pelo produto da probabilidade de um dos eventos , pela probabilidade condicional do outro evento:
P(A B) = P(A).P(BA) ou
P(A B) = P(B).P(AB)
Exemplo: Suponhamos duas urnas com fichas. A primeira contém 8
vermelhas e 2 brancas. A segunda contém 5 vermelhas e 5 brancas. Isto é:
Vamos extrair uma ficha de uma das urnas. Se escolhermos a primeira urna, P(vermelha) = 8/10. Se escolhermos a segunda urna, P(vermelha) = 5/10. Logo , P(vermelha) depende de qual seja a urna escolhida. Assim, a probabilidade condicional de escolha de ficha vermelha, admitindo-se
escolhida a urna Y, é 8/10. Simbolicamente, escreve-se P(vermelhaUrna Y). A barra vertical significa "supondo a Urna Y', ou "dada a Urna Y'. É claro agora que:
P(vermelhaUrna Z) = 5/10 P(brancaUrna Y) = 2/10 P(vermelhaUrna Z) = 5/10
Vermelhas Brancas Total
Urna Y 8 2 10
Urna Z 5 5 10
Suponhamos agora que as duas urnas sejam indistinguíveis e que a probabilidade de escolher qualquer delas seja 1/2 , isto é:
P(Y) = P(Z)= 1/2.
Qual a probabilidade de extrair uma ficha vermelha da urna Z?
P(Urna Z ficha vermelha) = P(Urna Z). P(vermelhaUrna Z)
P(Urna Z ficha vermelha) =
4 1 20
5 10
. 5 2
1
) (
) ) (
|
( P B
B A
B P A
P
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral , chama-se probabilidade de A condicionada a B, a probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu ou vai ocorrer o evento B.
P(A B) = P(B).P(AB)
Exemplo: Uma comissão é formada por 5 homens de até 30 anos, 4 homens com mais de 30 anos, 8 mulheres de até 30 anos e 5
mulheres com mais e 30 anos. Escolheu-se ao acaso, uma pessoa para presidir a comissão. Sabendo-se que a pessoa escolhida tem mais de 30 anos, qual a probabilidade de que essa pessoa seja homem?
9 4 22 229
4 anos)
30 de P(mais
anos) 30
de mais com
P(homem anos)
30 de mais |
P(homem
Exemplo: De 100 pessoas que solicitam emprego de programador de computadores, durante o ano passado, em uma grande empresa, 40
possuíam experiência anterior e 30 possuíam um certificado profissional.
Vinte dos candidatos possuíam tanto experiência como certificado profissional e foram incluídos nas contagens dos dois grupos. Qual a probabilidade de que um candidato escolhido aleatoriamente:
(a) tenha experiência ou certificado (ou ambos)?
P (E C) = 0,4 + 0,3 – 0,2 = 0,5 (b) tenha experiência ou certificado, mas não ambos?
P (E C) - P (E C) = 0,5 - 0,2 = 0,30
(c) tenha um certificado, dado que tenha alguma experiência anterior?
P (C | tenha experiência anterior) = P (E C)/P(E) = 0,2/0,4 = 0,5
Exemplo: A tabela abaixo mostra as probabilidades de homens(H) e mulheres(M) sendo empregados (E) ou desempregados(D) em uma dada cidade.
Determine:
a) a probabilidade condicional de emprego dado que a pessoa é do sexo masculino.
P(E|H) = P(E e H) / P(H) = 0,52/0,57 = 0,9123 = 91,23%
b) a probabilidade condicional de ser homem dado que a pessoa esteja empregada.
c) P(H|E) = P(E e H) / P(E) = 0,52/0,93 = 0,5591 = 55,91%
Propõe que , se eventos E1, E2,..., Em são partições do espaço amostral , então:
) (
) (
).
| ) (
|
( P B
Ei P
Ei B
B P Ei
P
Homem 0,30
Mulher 0,70
>1,80m 0,10
>1,80m 0,02
1,80m 0,90
1,80m 0,98
0,30*0,10
0,30*0,90
0,70*0,02
0,70*0,98
Exemplo: Numa classe , sabe-se que 10% dos homens e 2% das
mulheres tem mais que 1,80m. A sala tem 70% de mulheres e 30 % de homens. Um estudante foi escolhido aleatoriamente, e constatou-se que tem mais de 1,80m. Qual a probabilidade de que seja homem?
682 ,
02 0 ,
0
* 070 ,
10 ,
0
* 30 ,
0
10 ,
0
* 30 ,
0
) 80 ,
1 (
) 80
, 1 ) (
80 ,
1
| (
P
H H P
P
Exemplo: Sua empresa recentemente apresentou proposta para um projeto de marketing. Se seu principal concorrente apresenta uma proposta, há apenas 0,25 de chance da empresa do leitor ganhar a ocorrência. Se seu concorrente não apresentar proposta, há 2/3 de chance da empresa do leitor ganhar. A chance de seu principal concorrente apresentar a proposta é de 50%. Determine:
a) Qual a probabilidade de sua empresa ganhar a concorrência?
P(ganhar) = 0,50.0,25+0,50.2/3 = 0,4583 = 45,83%
b) Qual a probabilidade de seu concorrente ter apresentado a proposta, dado que a empresa do leitor ganhou a concorrência?
P(apresentar proposta| ganhou) = 0,50.0,25/0,4583 = 0,2727 = 27,27%
