A equação de Schroedinger II
Aula 11
O poço quadrado infinito
Para ilustrar várias propriedades das funções de onda, vamos estudar a o poço quadrado infinito, ou uma partícula em uma caixa. Para isto vamos construir a caixa usando eletrodos e grades em um tubo evacuado.
P/ tornar as paredes mais altas e mais íngremes, basta aumentar o potencial V e diminuir a distância entre os eletrodos C e as grades G.
Como a energia potencial é infinita fora do poço, a função de onda é necessariamente nula nesta região, isto é, a partícula não pode deixar o poço.
Devemos resolver a equação apenas para o interior do poço e a função de onda deve ser nula em x = 0 e x = L. Esta imposição chama-se condição de contorno.
A equação de Schroedinger independente do tempo, p/ V(x) = 0 é
Onde
A equação possui solução da forma
O poço quadrado infinito
O poço quadrado infinito
No limite, a energia potencial tem o aspecto
Um problema assim é claramente artificial, mas serve para obter as soluções da equação de Schroedinger, está relacionado ao problema da corda vibrante, ilustra aspectos gerais dos problemas em quântica, serve como boa aproximação para situações reais, como o elétron livre no interior de um metal.
Em x = L,
Tal que
Os níveis de energia quantizados são
O poço quadrado infinito
Para determinar o valor de A, vamos usar a condição de normalização
Assim,
As funções ficam
Exatamente iguais às ondas estacionarias de uma corda vibrante.
O poço quadrado infinito
O poço quadrado infinito
Cada função está associada a um valor de energia específico.
são chamadas autofunções ou autoestados.
são chamadas autovalores de energia.
O número n é chamado número quântico e especifica tanto a energia quanto a função de onda.
E1 é denominado estado fundamental.
As funções de onda e as densidades de probabilidades são mostradas abaixo rápida.
O poço quadrado infinito
A equação de Schroedinger completa envolve a parte temporal
Usando
Podemos escrever
Exatamente o caso de onda estacionária numa corda vibrante. Esta função de onda estacionária pode ser considerada como superposição de duas ondas de mesma frequência e amplitude, se propagando em sentidos opostos.
O poço quadrado infinito
Um elétron viajando em um fio de metal é uma aproximação razoável para uma partícula em um poço quadrado infinito unidimensional. O potencial no interior do fio é constante mas aumenta bruscamente nas extremidades. Suponha que o fio tenha 1,0 cm de comprimento. Suponha que a posição do elétron possa ser medida enquanto o elétron se encontra no estado fundamental.
(a) Calcule a energia do estado fundamental do elétron.
(b) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na região 0 < x < L/4 ?
(c) Qual é a probabilidade de encontrar o elétron em uma região com de largura e centro em x=5L/8?
Exercício
Vamos considerar agora o comportamento qualitativo da função de onda para uma função energia potencial mais geral, a do poço quadrado finito.
As soluções são diferentes pois a partícula não está confinada e qualquer valor de energia é permitido, ou seja, não existe quantização da energia.
Vamos supor que E < V0 .
No interior do poço (II), V(x) = 0, e a equação de Schroedinger é
O poço quadrado finito
I II III
Fora do poço (I) e (III), para 0 > x > L
Sendo
A solução é da forma
A condição de contorno exige que e sejam contínuas nas paredes do poço. A função de onda também deve tender a zero nos extremos para garantir convergência (valor finito da área sob a curva), assim, .
O poço quadrado finito
O poço quadrado finito
Vamos estudar o comportamento da equação de Schroedinger independente do tempo.
As propriedades dependem de V(x), pois ela que determina a força que atua no sistema.
Representa a e energia potencial de um átomo que pode estar ligado a um átomo semelhante, formando uma molécula diatômica.
O poço quadrado finito
Precisamos encontrar um valor de E como algo que determine o valor de e preserve as propriedades de .
O poço quadrado finito
Vamos escolher um valor de energia tal que a molécula esteja ligada.
•
Não há solução da eq. de Schroedinger independente do tempo.
•
Há solução para a eq. de Schroedinger.
Quando a relação entre a energia total de uma partícula e sua energia potencial é tal que classicamente a partícula estaria confinada a uma região limitada do espaço, pois senão a energia potencial excederia a energia total fora da região, então a teoria de Schroedinger prevê que a energia total é quantizada.
Quando esta relação é tal que a partícula não estaria confinada em uma região limitada, então a teoria prevê que a energia total pode ter qualquer valor.
O poço quadrado finito
Um poço de potencial unidimensional é um filme fino de uma substância condutora que limita o movimento dos elétrons na direção perpendicular à superfície, mas não restringe nas outras direções.
Nos poços tridimensionais, chamados pontos quânticos, os movimentos são limitados nas 3 direções.
Poços bidimensionais, ou fios quânticos, oferecem a possibilidade de aumentar a velocidade com que os elétrons se movem em uma direção, aumentando a velocidade de transmissão de dados.
Poços são usados nos lasers semicondutores (CD, DVD, leitor de código de barra).
Os pontos quânticos poderão ser usados como memórias de computador e em computadores quânticos, que seriam mais velozes.
Poços Quânticos
O oscilador harmônico simples
Seja uma partícula sujeita ao potencial do oscilador harmônico simples (vibração de moléculas em gases e sólidos)
Na mecânica clássica, a partícula está confinada na região entre os pontos de retorno.
As soluções permitidas da equação de Schroedinger
Hn são polinômios de Hermite.
O oscilador harmônico simples
As funções de onda para n = 0, 1 e 2 são
As funções de onda são simétricas p/
valores pares de n e antissimétricas p/
valores ímpares de n.
O oscilador harmônico simples
Estas funções de onda apresentam a propriedade
A menos que n = m ± 1. O que implica numa condição para que as transições entre os estados sejam permitidas. Esta condição é chamada regra de seleção, que estabelece que em uma radiação emitida ou absorvida por um oscilador harmônico simples:
A diferença entre os números quânticos do estado final e inicial deve ser igual a + 1 ou -1.
