DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

MATEMÁTICA I

© UNESP 6 Agosto 2008

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

Limeira, 14 de Junho 2012

AULA 4 – Parte 5

DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Para esta aula será importante o conceito de logaritmo. Observe que:

log x = y ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ b

= x

Expoente Valor

log

x = y ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ b

= x

O logaritmo natural ou neperiano é o logaritmo na base e, isto é, na base e = 2,71. Assim:

log x = y ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ln x = y

Expoente

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log

x = y ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ln x = y

Base e

Ou seja, o logaritmo de x na base e é igual a y e isto equivale a dizer que o logaritmo natural de x é y.

DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Pode ser provado, usando-se derivação implícita, que:

d(ln(x))/dx = 1/x

Exemplo 1: Derive y = ln(x

+ 1):

Seja u = x

+ 1, então, y = ln(u).

d(y)/dx = (dy/du)*(du/dx) = (d(ln(u))/du)*(d(u)/dx) =

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se u = x

+ 1:

(1/u)*(d(x

+ 1)/dx) = (1/(x

+ 1))*(3x

) = (3x

)/(x

+ 1)

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Os cálculos de funções complicadas envolvendo produtos, quocientes ou potências podem ser simplificados usando-se logaritmos em um método denominado de derivação logarítmica e segue os seguintes passos:

DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Passo 1: Aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da equação y = f(x) e usar as propriedades dos Logaritmos.

Logaritmos.

Passo 2: Derive implicitamente em relação a x.

Exemplo 2: Derive y = x

:

Usando derivação logarítmica:

Passo 1: ln y = ln x

→ → → → ln y = x * ln x

Passo 2:Aplicando derivação implícita em ambos os lados da eq.: d(ln y)/dx = d(x * lnx)/dx

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d(ln y)/dx = usando a regra da cadeia

= (1/y)*(y’) = y’/y

d(x * lnx)/dx = usando regra do produto

= 1*(lnx) + x*(1/x) = lnx + 1 Logo: y’/y = lnx + 1

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Passo 3:

y’/y = lnx + 1 y’ = y * (lnx + 1) Se y = x

, então:

DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

y’ = x

(lnx + 1)

Exemplo 3: Derive y = x

:

Usando derivação logarítmica:

Passo 1: ln y = ln x √√√√

→ → → → ln y = x

* ln x

Passo 2:Aplicando derivação implícita em ambos os lados da eq.: d(ln y)/dx = d(x

* lnx)/dx

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d(ln y)/dx = usando a regra da cadeia

= (1/y)*(y’) = y’/y

d(x

* lnx)/dx = usando regra do produto

= (1/2*x

)*(lnx) + x

*(1/x) = (x

/2)*(ln x)+(1/x

)

= lnx/2x

+ 1/x

= (lnx + 2)/2x

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Passo 3:

y’/y = (lnx + 2)/2x

y’ = y * ((lnx + 2)/2x

) Se y = x

, então:

DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

y’ = x

* ((lnx + 2)/2x

)

Exemplo 4: Derive y = ( √√√√ x)

:

Usando derivação logarítmica:

Passo 1: ln y = ln √√√√ x

→ → → → ln y = x * ln x

Passo 2:Aplicando derivação implícita em ambos os lados da eq.: d(ln y)/dx = d(x * lnx

)/dx

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d(ln y)/dx = usando a regra da cadeia

= (1/y)*(y’) = y’/y

d(x * lnx

)/dx = usando regra do produto e da cadeia:

= (1)*(lnx

) + x *((1/x

)*((1/2)*x

))

= lnx

+ x*(1/(2*x)) = lnx

+ 1/2

12

Passo 3:

y’/y = (lnx

+ 1/2) y’ = y * (lnx

+ 1/2) Se y = ( √√√√ x)

, então:

DERIVADAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

y’ = ( √√√√ x)

* (lnx

+ 1/2)

Em problemas de taxas relacionadas a ideia é calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra (que pode ser medida mais facilmente). O procedimento é:

Passo 1: Ache uma equação que relacione as duas grandezas.

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Passo 2: Aplique a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo.

TAXAS DE VARIAÇÃO

Exemplo 5: Um balão de ar está sendo bombeado e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm

/s. Quão rápido o raio do balão cresce quando o diâmetro for 50 cm?

r

Seja V o volume e r o seu raio. Pode

ser escrito que:

r

r ser escrito que:

Para relacionar dV/dt e dr/dt usa-se a esfera e a equação do volume da esfera:

V = 4/3 ππππ r

Aplicando a Regra da Cadeia (V e r são funções de t):

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d(V)/dt = (dV/dr)*(dr/dt) = (3*4/3* ππππ *r

)*(dr/dt) Isolando dr/dt:

(dr/dt) = (1/(4* ππππ *r

))*(d(V)/dt) Se r = 25cm e dV/dt = 100cm

/s:

dr/dt = (1/(4* ππππ *(25)

))*(100) = 1/(25* ππππ ) = 0,0127 cm/s

TAXAS DE VARIAÇÃO

Exemplo 6: Uma escada com 5m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da Escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rápido o topo da escada escorrega p/

baixo quando a base da escada está à 3m da parede?

y parede

solo 5 m

dy/dt = ?

Sejam x e y funções do tempo, e foi dado que dx/dt=1m/s e dy/dt deve ser encontrado para x = 3m. Neste problema, a relação entre x e y é dada pelo Teorema de Pitágoras:

X

+ y

= 5

Derivando em relação à t e usando a Regra da Cadeia:

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2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0 Isolando dy/dt:

(dy/dt) = -x/y*(dx/dt)

Quando x = 3, dx/dt = 1 e y = 4 (Teorema de Pitágoras):

Logo: dy/dt = (-3/4)*(1) = -3/4 m/s

O sinal - indica que o topo da escada desliza p/ baixo.

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OBRIGADO !!!

FIM !!!

OBRIGADO !!!