UFPE — MA989 — 2011.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA v. 1.0 DO GABARITO DO TESTE 1 (16/08/2011)
Quest˜ao ´unica. Seja (N,0, S) um sistema de n´umeros naturais (sistema de Peano). Demonstrar que nenhum n´umero natural ´e seu sucessor imediato.
Dica: Observemos que a proposi¸c˜ao equivale a: todo n´umero natural ´e dife- rente de (“n˜ao ´e”, “n˜ao ´e igual a”) seu sucessor imediato.
Uma solu¸c˜ao num formato para calouros: Denotemos porX o subcon- junto deN que consiste exatamente dos n´umeros naturaisnque s˜ao diferentes de seus respectivos sucessores imediatos, ou seja, n 6=S(n). Desejamos mos- trar que X ´e todo o conjuntoN. Para tanto, usaremos o P.I.F. (princ´ıpio de indu¸c˜ao finita)1, que ´e um dos axiomas de Peano:
• Caso n = 0: 0 n˜ao ´e sucessor imediato de n´umero natural algum (por um dos axiomas de Peano). Em particular, 0 n˜ao pode ser S(0) e, portanto, 0∈X;
• Se n ∈ X (isto ´e, se n ´e um n´umero natural tal que n 6= S(n)), ser´a que S(n) ∈ X (ou seja, ser´a que o sucessor de n tamb´em pertence a X) ? Ora, S´e uma fun¸c˜ao injetiva (por um dos axiomas de Peano), ou seja, manda n´umeros distintos em valores distintos. Como a hip´otese de indu¸c˜ao afirma que n 6= S(n), aplicando S a ambos os lados da desigualdade, conclu´ımos que: S(n) 6= S(S(n)), ou seja, S(n) ∈ X.
Assim, X ´e fechado com rela¸c˜ao `a sucess˜ao.
Pelo P.I.F., os dois fatos acima a respeito de X permitem-nos concluir que X =N, ou seja, que todo n´umero natural n satisfaz n 6=S(n). Q.E.D.
Uma solu¸c˜ao t´ıpica: Desejamos mostrar que ∄n ∈N : n =S(n), isto ´e,
∀n ∈N, n6=S(n). A demonstra¸c˜ao ser´a feita por indu¸c˜ao finita sobre n.
• Caso-base: 0∈/ Im(S) (por um dos axiomas de Peano) ∴06=S(0);
• Passo indutivo: Suponhamos quen6=S(n) para um dadon ∈N. Apli- cando S a ambos os membros da desigualdade, temos, da injetividade de S (que ´e um dos axiomas de Peano), que S(n)6=S(S(n)).
Por indu¸c˜ao finita, concluimos que ∀n ∈N, n6=S(n). Q.E.D.
1Se um subconjuntoXdeNcont´em 0 e cont´em os sucessores de todos os seus elementos, ent˜aoX =N.
