Quest˜ ao 1.

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UFPE — MA301 — 2012.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

EXERC´ ICIOS RESOLVIDOS 01 – v. 1.0

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os pas- sos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Só conferir a solu¸cão de um item após tentar resolvê-lo seriamente.

Quest˜ ao 1.

Nota¸ c˜ ao: Nesta questão, os conectivos (operadores) lógicos nega¸cão (“não”), conjun¸cão (“e”), disjun¸cão (“ou”) e disjun¸cão exclusiva (“ou exclusivo”), e as constantes “falso” e “verdadeiro” serão denotados, respectivamente, por: ¬,

∧, ∨, ˙ ∨, F e V .

1.a. Utilizando tabelas lógicas (tabelas-verdade) passo a passo, demonstrar a seguinte propriedade: A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (distributividade da disjun¸cão sobre a conjun¸cão), onde A , B e C são variáveis proposicionais;

1.b. Utilizando apenas os conectivos ∧, ∨ e ¬, os valores de suas opera¸c˜oes na presen¸ca de uma constante F ou V , e as propriedades comutatividade e distributividade, demonstrar a seguinte propriedade:

(X ∧ Y ) ∨ Y = Y (absor¸c˜ ao), onde X e Y s˜ao express˜oes booleanas;

1.c. Partindo da absor¸cão acima, e aplicando a nega¸cão e as leis de De Morgan convenientemente, obter sua absor¸cão dual: (X ∨ Y ) ∧ Y = Y ;

Recordar que um conjunto de operadores lógicos C é dito universal ou funcionalmente completo se e somente se todo operador lógico

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em vari´aveis proposicionais A

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, . . . , A

n

pode ser escrito como uma expressão lógica que consiste apenas de aplica¸cões de operadores em C àquelas variáveis.

1.d. O operador lógico “não-ou”, aqui denotado por ∨, é definido como e A ∨B e := ¬(A ∨ B). Demonstrar que

e

∨ ´e universal.

Dica: Sendo os conjuntos {∧, ¬} e {∨, ¬} universais, é suficiente expri- mir os operadores lógicos de um destes conjuntos em termos de ∨; e

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n pode ser qualquer n´ umero natural positivo. O operador ´e dito um operador n − ´ ario .

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1.e. Demonstrar que {→ , ¬} ´e universal.

Quest˜ ao 2.

Nota¸ c˜ ao: Nesta questão, os conectivos (operadores) lógicos nega¸cão (“não”), conjun¸cão (“e”), disjun¸cão (“ou”) e disjun¸cão exclusiva (“ou exclusivo”), e as constantes “falso”e“verdadeiro”serão denotados, respectivamente, por: barra (como em A para a nega¸cão de A)

²

, multiplica¸cão (como em AB ), adi¸cão, L , 0 e 1. Em suma,será utilizada a nota¸cão algébrica.

Considere-se a seguinte fun¸c˜ao booleana:

f (A, B, C, D) = A ⊕ B ⊕ D

+ AB C + A B C D.

2.a. Escrever f em sua forma normal disjuntiva (soma de mintermos);

2.b. Escrever f em sua forma normal conjuntiva (produto de maxtermos);

SOLU ¸ C ˜ OES

Solu¸ c˜ ao – 1.a: As colunas em negrito s˜ao idˆenticas:

A B C B ∧ C A ∨ ( B ∧ C ) A ∨ B A ∨ C ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C )

F F F F F F F F

F F V F F F V F

F V F F F V F F

F V V V V V V V

V F F F V V V V

V F V F V V V V

V V F F V V V V

V V V V V V V V

Solu¸ c˜ ao – 1.b: ( X ∧ Y )∨ Y = ( X ∧ Y )∨( V ∧ Y ) = ( X ∨ V )∧ Y = V ∧ Y = Y , onde: a primeira e ´ ultima igualdades foram obtidas pela neutralidade de V

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Tamb´em poderia ter sido utilizada a linha, como em A

′

.

2

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para a conjun¸c˜ao; a segunda por distributividade; e a pen´ ultima pela disjun-

¸c˜ao com V (uma das propriedades `as vezes denominadas limita¸c˜ oes). Q.E.D.

Solu¸ c˜ ao – 1.c: Uma vez que a absor¸cão acima já está demonstrada, aplique- se a nega¸cão a ela: ¬ Y = ¬(( X ∧ Y ) ∨ Y ). Aplicando-se ambas as leis de De Morgan: ¬Y = ¬(X ∧ Y ) ∧ ¬Y = (¬X ∨ ¬Y ) ∧ ¬Y . Aplicando-se este resultado às nega¸cões das variáveis

³

, tem-se: ¬¬Y = (¬¬X ∨ ¬¬Y ) ∧ ¬¬Y . Pela involu¸cão da nega¸cão (”dupla nega¸cão”): (X ∨ Y ) ∧ Y = Y . Q.E.D.

Solu¸ c˜ ao – 1.d: Aplicando-se ∨ e a A e A, tem-se: Ae ∨A = ¬(A ∨ A) = ¬A, onde a ´ ultima igualdade foi obtida pela idempotência da disjun¸cão. Assim, a nega¸cão é obtida.

Dadas A e B variáveis proposicionais, já se têm ¬A e ¬B acima. Assim:

¬ A ∨ ¬ e B = ¬(¬ A ∨ ¬ B ) = ¬¬ A ∧ ¬¬ B = A ∧ B , onde a pen´ ultima e ´ ultima igualdades foram obtidas, respectivamente, por uma das leis de De Morgan e pela involu¸cão da nega¸cão. Assim, a conjun¸cão é obtida.

Pela universalidade de {¬, ∧}, tem-se que {e ∨} tamb´em ´e universal. Q.E.D.

Solu¸ c˜ ao – 1.e: Dadas variáveis proposicionais A e B , pode-se produzir sua disjun¸cão A ∨ B a partir de {→ , ¬} facilmente: é ´ util lembrar que, para todas as variáveis proposicionais P e Q, a implica¸cão (ou condicional) P → Q está definida com valor F se e somente se P = V e Q = F , enquanto a disjun¸cão desejada tem valor F se e somente se A = F = B , diferindo da implica¸cão apenas com rela¸cão à primeira variável. Assim, uma adapta¸cão simples (com- posi¸cão) para que a implica¸cão passe a ter valor F apenas quando os dados de entrada forem ambos F é usar Q = B mas P = ¬ A : A ∨ B = ¬ A → B . Pela universalidade de {¬, ∨}, tem-se que {→, ¬} também é universal. Q.E.D.

Obs.: O(a) estudante pode querer se aprofundar neste tópico devido a Jan Lukasiewicz lendo o verbete C´ alculo proposicional implicacional na Wikipé- dia. Para tal leitura, é ´ util observar que, para toda variável proposicional P , a proposi¸cão P → P é (sempre) verdadeira (ou seja, é uma tautologia) e, portanto, a proposi¸cão ¬(P → P ) é (sempre) falsa (ou seja, é uma contradi-

¸cão). Esta ´ ultima proposi¸cão pode ser tomada como a proposi¸cão constante F naquele hipertexto, onde a nega¸cão ¬ é substitu´ıda por uma proposi¸cão

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Ou seja, aplicando-se ¬ A = ((¬ B ∨ ¬ A ) ∧ ¬ A a A = ¬ Y e B = ¬ X

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universalmente falsa (uma contradi¸cão), permitindo ao(à) leitor(a) adaptar a discussão sobre o conjunto {→ , F } do artigo ao conjunto {→ , ¬} desta questão.

Solu¸ c˜ ao – 2.a. Os mintermos da forma normal disjuntiva (soma de minter- mos) são identificados através das palavras-código em que a fun¸cão booleana tem valor 1. Pode-se fazer uma tabela l´ ogica. ´ E um método seguro, mas moroso. Aqui, tomar-se-á um caminho menos prático, mas que explora a es- trutura da fun¸cão dada e, portanto, espera-se que seja um exerc´ıcio educativo.

Observe-se que f é uma disjun¸cão de dois termos e, portanto, terá valor 1 quando ao menos um dos dois tiver tal valor. O primeiro é a disjun¸cão exclusiva de A, B e D, a qual tem valor 1 quando ou apenas um dos três lite- rais tem valor 1, ou todos os três o têm. Isto dá quatro possibilidades. Além disto, C pode ter qualquer valor (0 ou 1). Assim, há oito palavras-código em que f tem valor 1, a saber (em decimal): 0, 2 (só D = 1, isto é, D = 0); 5, 7 (só B = 1); 9, 11 (só A = 1); 12 e 14 (os três têm valor 1).

Já o segundo termo, que é (AB C + A B C)D = (A + B) C D + A B C D, terá valor 1 na palavra-código (em decimal) 9, correspondente ao mintermo A B C D , e nas três em que C = D = 1 mas A e B não são simultaneamente 1, a saber: 3, 7, 11. Combinando-se os resultados, tem-se que:

f ( A, B, C, D ) = P

m (0 , 2 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 12 , 14) = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A B C D . Solu¸ c˜ ao – 2.b: Os maxtermos da forma normal conjuntiva (produto de maxtermos) são identificados através das palavras-código em que a fun¸cão booleana tem valor 0, as quais se obtêm do Item 2.a por complemento, pois são as palavras-código que simbolizam (na base 2) os n´ umeros de 0 a 15 não utilizados naquele somatório: f ( A, B, C, D ) = Q

M (1 , 4 , 6 , 8 , 10 , 13 , 15).

Cada maxtermo é a soma das nega¸ c˜ oes dos literais correspondentes a 0 ou 1 como valor das respectivas variáveis. Por exemplo, a palavra-código 0001 fornece o maxtermo A + B + C + D. Assim: f (A, B, C, D) =

(A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D) (A + B + C + D)(A + B + C + D)(A + B + C + D)

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