• Nenhum resultado encontrado

de n observações para a variável x, é dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e o número total de observações: ...

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "de n observações para a variável x, é dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e o número total de observações: ..."

Copied!
11
0
0

Texto

(1)

Estatística

Resumo

Em Estatística, medidas de centralidade são usadas para representar toda uma lista de observações com um único valor. Já as medidas de dispersão mostram o quão esticada ou espremida está uma distribuição de observações.

Medidas de centralidade Média:

Média aritmética simples:

A média aritmética simples de um conjunto

x x x1, 2, 3,...,xn

de n observações para a variável x, é dada pelo quociente entre a soma dos valores observados e o número total de observações:

1 2 3 ... n

x x x x

x n

+ + + +

=

Ex.: Seja um grupo de 3 pessoas e I o conjunto das idades dessas 3 pessoas. I =

12,10,11

. Calculando a média da idade desse grupo, temos:

12 10 11 33

11 anos

3 3

x= + + = =

Média aritmética ponderada:

A média aritmética ponderada de um conjunto

x x x1, 2, 3,...,xk

de k observações para a variável x, com frequências absolutas

n n n1, 2, 3,...,nk

, é dada pela expressão:

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

k k

k

x n x n x n x n

x n n n n

 +  +  + + 

= + + + +

Ex.: Para passar no curso de matemática devemos obter média 7, sendo que a p1 tem peso 1 e a p2 tem peso 2. Dessa maneira calculamos a média da seguinte maneira:

1 1 2 2

3 7

p  +p  =

(2)

Moda:

É valor de maior frequência em uma série de dados, ou seja, o que mais se repete.

Ex: Alguns alunos fizeram a segunda chamada de uma prova de matemática. Suas notas foram tabuladas na tabela abaixo:

Aluno Nota Aluno 1 2 Aluno 2 7 Aluno 3 3 Aluno 4 4 Aluno 5 3 Aluno 6 3,5

A nota que mais aparece no conjunto de dados é a nota 3. Portanto, a moda é 3.

Mediana:

Ordenando as observações de uma variável de forma crescente ou decrescente (Rol), a mediana é a observação que ocupa o valor central.

Ex.: A quantidade de atrasos dos alunos de uma turma, registrados por mês, de março a novembro, formam o seguinte conjunto de dados: 23, 34, 21, 48, 51, 20, 38, 29, 13.

Ordenando esses dados de forma crescente, temos:

13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51 Como há 9 observações, a observação central é a quinta:

13 – 20 – 21 – 23 – 29 – 34 – 38 – 48 – 51 Portanto, a mediana é igual a 29.

Cuidado! E se a quantidade de elementos da amostra não for um número ímpar? Se o tamanho da amostra for par, então não terá um elemento central. Dessa maneira, precisamos fazer a média aritmética simples entre os dois centrais.

Ex.: Seja uma amostra A=

1, 2,3, 4

. Para calcular a mediana, precisamos colocar os elementos em ordem: 1, 2, 4, 7. Agora, fazemos a média aritmética simples entre os dois termos centrais:

2 4 3 2 + = Assim, 3 é a mediana.

(3)

Medidas de Dispersão

Enquanto as medidas de centralidade, vistas anteriormente são usadas para representar todos os números de dado grupo as medidas de dispersão são aplicadas para determinar a variação dos números em relação à média. Existem casos que as medidas de dispersão são suficientes para comparar resultados de grupos. O exemplo a seguir ilustrará esse caso.

Exemplo: Três amigos, Arnaldo, Bernardo e Carlos estão jogando dardos e desejam saber que foi o vencedor.

O critério para descobrir quem foi melhor era a média de pontos e em caso de empate o vencedor seria o mais constante. Os resultados após seis rodadas estão expostos abaixo:

Arnaldo: 20 pontos, 20 pontos, 20 pontos, 20 pontos, 20 pontos e 20 pontos.

Bernardo: 22 pontos, 23 pontos, 18 pontos, 19 pontos, 20 pontos e 18 pontos.

Carlos: 62 pontos, 39 pontos, 4 pontos, 6 pontos, 8 pontos e 1 ponto.

Quem foi o vencedor do jogo?

Primeiro critério seria a média:

20 20 20 20 20 20 120

: 20

6 6

22 23 18 19 20 18 120

: 20

6 6

62 39 4 6 8 1 120

: 20

6 6

A B C

+ + + + + = =

+ + + + + = =

+ + + + +

= =

Observe que as médias foram iguais, então a medida de centralidade não foi suficiente para caracterizar e comparar os grupos. Para saber quem foi mais constante, precisamos calcular as medidas de dispersão, são elas a variância e desvio padrão.

Variância (Var)

A Variância é a média aritmética dos desvios quadrados entre os valores da variável e a média das observações.

2 2 2

1 2

( ) ( ) ... ( )

( ) x x x x xn x

Var x

n

− + − + + −

=

Calculando os valores respectivos do exemplo anterior:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

(20 20) (20 20) (20 20) (20 20) (20 20) (20 20) 0

: 0

6 6

(22 20) (23 20) (18 20) (19 20) (20 20) (18 20) 22

: 3, 6

6 6

(62 20) (39 20) (4 20) (6 20) (8 20) (1 20) 3082

: 513, 6

6 6

A B C

− + − + − + − + − + −

= =

− + − + − + − + − + −

= =

− + − + − + − + − + − = =

(4)

De forma geral, as medidas de dispersão medem o quão homogênea uma amostra é. Ou seja, quanto mais homogênea é a amostra, menores serão os valores da variância e desvio padrão. Logo, no nosso exercício, O Arnaldo seria o vencedor.

Desvio padrão (DP)

O desvio-padrão de um conjunto de dados é calculado tirando a raiz quadrada da sua variância. A importância do desvio padrão é facilitar a interpretação de dados, já que é expresso na mesma unidade dos dados observados (já que na variância, elevando ao quadrado a unidade dos dados também é elevada ao quadrado).

A fórmula do Desvio Padrão (DP) é dada por:

DP= Var

Outra notação comum é a variância ser 2 e o desvio padrão ser .

Usando o dado do nosso exercício:

0 0 3, 6 1, 9 513, 6 22, 6

A B C

DP DP DP

= =

= 

= 

Pela mesma lógica, o Arnaldo seria o vencedor.

(5)

Exercícios

1. Um concurso é composto por cinco etapas. Cada etapa vale 100 pontos. A pontuação final de cada candidato é a média de suas notas nas cinco etapas. A classificação obedeça à ordem decrescente das pontuações finais. O critério de desempate baseia-se na maior pontuação na quinta etapa.

A ordem de classificação final desse concurso é a) A, B, C, E, D.

b) B, A, C, E, D.

c) C, B, E, A, D.

d) C, B, E, D, A.

e) E, C, D, B, A.

2. Três alunos, X, Y e Z, estão matriculados em um curso de inglês. Para avaliar esses alunos, o professor optou por fazer cinco provas. Para que seja aprovado nesse curso, o aluno deverá ter a média aritmética das notas das cinco provas maior ou igual a 6. Na tabela, estão dispostas as notas que cada aluno tirou em cada prova.

Com base nos dados da tabela e nas informações dadas, ficará(ão) reprovado(s) a) apenas o aluno Y.

b) apenas o aluno Z.

c) apenas os alunos X e Y.

d) apenas os alunos X e Z.

e) os alunos X, Y e Z.

(6)

3. Cinco amigos marcaram uma viagem à praia em dezembro. Para economizar, combinaram de ir num único carro. Cada amigo anotou quantos quilômetros seu carro fez, em média, por litro de gasolina, nos meses de setembro, outubro e novembro. Ao final desse trimestre, calcularam a média dos três valores obtidos para escolherem o carro mais econômico, ou seja, o que teve a maior média. Os dados estão representados na tabela:

Qual carro os amigos deverão escolher para a viagem?

a) I b) II c) III d) IV e) V

4. Em uma fábrica de refrigerantes, é necessário que se faça periodicamente o controle no processo de engarrafamento para evitar que sejam envasadas garrafas fora da especificação do volume escrito no rótulo.

Diariamente, durante 60 dias, foram anotadas as quantidades de garrafas fora dessas especificações.

O resultado está apresentado no quadro.

A média diária de garrafas fora das especificações no período considerado é a) 0,1.

b) 0,2.

c) 1,5.

d) 2,0.

e) 3,0.

(7)

5. Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em um empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos.

Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior. O candidato aprovado será

a) K.

b) L.

c) M.

d) N.

e) P.

6. Uma pessoa, ao fazer uma pesquisa com alguns alunos de um curso, coletou as idades dos entrevistados e organizou esses dados em um gráfico.

Qual a moda das idades, em anos, dos entrevistados?

a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 21

7. Em um concurso, as notas finais dos candidatos foram as seguintes:

Com base na tabela anterior, é correto afirmar que a variância das notas finais dos candidatos foi de:

a) 0,75 b) 0,65 c) √0,65 d) √0,85

(8)

8. Para o cálculo da inflação, utiliza-se, entre outros, o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), que toma como base os gostos das famílias residentes nas áreas urbanas, com rendimentos mensais compreendidos entre um e quarenta salários mínimos. O gráfico a seguir mostra as variações do IPCA de quatro capitais brasileiras no mês de maio de 2008.

Com base no gráfico, qual item foi determinante para a inflação de maio de 2008?

a) alimentação e bebidas.

b) artigos de residência c) habitação

d) vestuário e) transportes

9. Para as pessoas que não gostam de correr grandes riscos no mercado financeiro, a aplicação em caderneta de poupança é indicada, pois, conforme a tabela (período 2005 até 2011), a rentabilidade apresentou pequena variação.

Com base nos dados da tabela, a mediana dos percentuais de rentabilidade, no período observado, é igual a

a) 6,2.

b) 6,5.

c) 6,6.

(9)

10. Os salários, em reais, dos funcionários de uma empresa são distribuídos conforme o quadro:

A mediana dos valores dos salários dessa empresa é, em reais, a) 622,00.

b) 933,00.

c) 1 244,00.

d) 2 021,50.

e) 2 799,00.

(10)

Gabarito

1. B

Calculando as médias dos candidatos, temos:

A -> 4 . 90 + 60 / 5 = 84 B -> 4 . 85 + 85 / 5 = 85 C -> 4. 80 + 95 / 5 = 83 D -> 4. 60 + 90 / 5 = 66 E -> 4. 60 + 100 / 5 = 68

Logo, a ordem de classificação será a da alternativa B.

2. B

Como a média para a reprovação é menor que 6 então: a média do aluno X=31/5=6,2 a média do aluno Y=30/5=6

a média do aluno Z = 29/5=5,8

Logo temos que o aluno Z foi reprovado.

3. C

Fazendo a média de cada um dos carros temos:

I – (6,2 + 9 + 9,3)/3 = 8,16 II – (6,7 + 6,8 + 9,5)/3 = 7,6 III – (8,3 + 8,7 + 9)/3 = 8,6 IV – (8,5 + 7,5 + 8,5)/3 = 8,16 V – (8 + 8 + 8)/3 = 8

Logo, o carro III é mais econômico.

4. B

A resposta é dada por 0 52 1 5 2 2 3 1 12

52 5 2 1 60 0, 2

 +  +  + 

= =

+ + +

5. D

Percebemos que a mediana de cada candidato, após colocarmos suas notas em ordem crescente, é dada por: K – 33 L – 33,5 M – 35 N – 36 P – 31.

Assim, o candidato com maior mediana é o candidato N

(11)

7. E

Inicialmente, deve-se calcular a media (x) que nesse caso será ponderada:

7.6 2.7 9 10 6,5

x + +

= =

Assim, a variância será:

7.(6 6,5)² 2.(7 6,5)² (9 6,5)²

var 0,85

10

− + − + −

= =

8. A

Admitindo-se que os cinco componentes elencados (alimentação e bebidas, artigos de residência, habitação, vestuário e transportes) tenham “pesos” iguais no cálculo da inflação, o item determinante foi o que mais variou, no caso, alimento e bebidas.

9. D

Colocando os valores percentuais em ordem crescente, temos:

4,9; 6,2; 6,4; 6,8; 7,0; 7,0; 7,2

A mediana será o valor central da sequência, nesse caso o valor 6,8.

10. B

Após ordenar os dados em ordem crescente, pegamos os 2 termos centrais (por se tratar de uma sequência par) e calculamos:

Referências

Documentos relacionados

O objetivo do curso foi oportunizar aos participantes, um contato direto com as plantas nativas do Cerrado para identificação de espécies com potencial

esta espécie foi encontrada em borda de mata ciliar, savana graminosa, savana parque e área de transição mata ciliar e savana.. Observações: Esta espécie ocorre

O valor da reputação dos pseudônimos é igual a 0,8 devido aos fal- sos positivos do mecanismo auxiliar, que acabam por fazer com que a reputação mesmo dos usuários que enviam

O primeiro passo para introduzir o MTT como procedimento para mudança do comportamento alimentar consiste no profissional psicoeducar o paciente a todo o processo,

▪ Quanto a solução para os conflitos entre os pais e a escola, houve um grande número de pais que não responderam, o que pode nos revelar que os pais não fizeram

• Quando o navegador não tem suporte ao Javascript, para que conteúdo não seja exibido na forma textual, o script deve vir entre as tags de comentário do HTML. <script Language

Ficou com a impressão de estar na presença de um compositor ( Clique aqui para introduzir texto. ), de um guitarrista ( Clique aqui para introduzir texto. ), de um director

da quem praticasse tais assaltos às igrejas e mosteiros ou outros bens da Igreja, 29 medida que foi igualmente ineficaz, como decorre das deliberações tomadas por D. João I, quan-