Introdução a Ciência da Computação Representação números inteiros

Introdução a Ciência da Computação

Representação números inteiros

Elverton Fazzion

2017/02

Representação binária

● Sistemas digitais reconhecem apenas 0’s e 1’s

○ Conceito de bit já visto anteriormente …

Memória RAM

Endereço 0 (Byte 0)

...

Endereço 1 (Byte 1)

Representação binária

Converter imagem para digital

2 cores: 0 preto e 1 branco

Representação binária

Endereço 0 (Byte 0)

0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0

Endereço 1 (Byte 1) Endereço 2 (Byte 2)

Memória RAM

Representação binária

Endereço 0 (Byte 0)

0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0

Endereço 1 (Byte 1) Endereço 2 (Byte 2)

Memória RAM

Nosso objetivo é representar números inteiros

(positivos e negativos)

Números em ASC II

● Já vimos um pouco sobre ASC II

○ A codificação ASC II define um mapeamento entre um caractere para uma sequência de bits

● Podemos representar números em ASC II 89 = 00111000 00111001

8 9

Números em ASC II

● Já vimos um pouco sobre ASC II

○ A codificação ASC II define um mapeamento entre um caractere para uma sequência de bits

● Podemos representar números em ASC II 89 = 00111000 00111001

8 9

EXISTE UM PROBLEMA ...

Números em ASC II

● Já vimos um pouco sobre ASC II

○ A codificação ASC II define um mapeamento entre um caractere para uma sequência de bits

● Podemos representar números em ASC II 89 = 00111000 00111001

8 9

EXISTE UM PROBLEMA …

ARMAZENAMENTO

Números em ASC II

Dígitos Bits

1 8

2 16

3 24

... ...

n 8*n

● Para armazenar 1 bilhão (10 dígitos) precisamos de 80 bits.

○ Como fazer melhor?

Números em ASC II

Dígitos Bits

1 8

2 16

3 24

... ...

n 8*n

● Para armazenar 1 bilhão (10 dígitos) precisamos de 80 bits.

○ Como fazer melhor?

● Quantos bits precisamos para representar 1 bilhão de valores distintos?

Números em ASC II

Dígitos Bits

1 8

2 16

3 24

... ...

n 8*n

● Para armazenar 1 bilhão (10 dígitos) precisamos de 80 bits.

○ Como fazer melhor?

● Quantos bits precisamos para representar 1 bilhão de valores distintos? 30 bits

Representação inteiro positivo

● Como podemos representar números positivos em um computador?

○ Nós já vimos isso ...

Representação inteiro positivo

● Como podemos representar números positivos em um computador?

○ Nós já vimos isso …

● Usando o sistema de numeração binário

Inteiro decimal Binário

0 000

1 001

2 010

3 011

... ...

Representação inteiro positivo

● Usando o sistema de numeração binário

○ Com 32 bits podemos representar 4.2 bilhões de valores

○ Em ASC II seriam 80 bits

○ Economia de 48 bits … (muita coisa)

Inteiro decimal Binário

0 000

1 001

2 010

3 011

... ...

Representação inteiro negativo

● E negativos?

Representação inteiro negativo

● E negativos?

Inteiro decimal Binário

... 1 ...

-2 1010

-1 1001

-0 1000

+0 0000

1 0001

2 0010

... 0 ...

Representação inteiro negativo

● E negativos?

Inteiro decimal Binário

... 1 ...

-2 1010

-1 1001

-0 1000

+0 0000

1 0001

2 0010

... 0 ...

Bit de sinal

0 positivo e 1 é negativo

Representação em Sinal e Magnitude

● Representação em Sinal e Magnitude

○ Se n bits são utilizados para representar um número, 1 bit representa o sinal e n-1 bits representam a magnitude

0 1 0 1 1 1 0 1

Magnitude = 5 Magnitude = 5

Sinal positivo Sinal negativo

Decimal 5

s b ... b

Sinal Magnitude

Decimal -5

Aritmética em Sinal e Magnitude

● Como fazer somas?

0 0 0 1

+ 1 1 0 1

1 0 1 1

Aritmética em Sinal e Magnitude

● Como fazer somas?

○ Verifica-se o bit de sinal

■ Sinais iguais: Separa o bit de sinal e faz a soma os números normalmente. O sinal do resultado é o bit de magnitude os operandos.

■ Sinais diferentes: Considere os números sem o bit de sinal. Faça o menor valor como subtraendo e realize a subtração. O sinal do resultado é o bit do maior número sem o bit de sinal.

0 0 1 0

+ 0 1 0 1

0 1 1 1

1 1 0 1

+ 1 0 1 0

1 1 1 1

Bit de sinal iguais

1 1 0 1

- 0 0 1 0

1 0 1 1

Bit de sinal diferentes

Minuendo: maior valor Subtraendo: menor valor

Bit do minuendo Bit de sinal

iguais

Aritmética em Sinal e Magnitude

● Como fazer subtrações?

Aritmética em Sinal e Magnitude

● Como fazer subtrações?

○ Basta trocar o sinal do subtraendo e fazer os passos da soma

0 0 1 0

+ 0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 0 1

- 1 0 0 1

0 1 0 0

Bit de sinal

0010 - 1010 = 0010 + 0010 = 0100 0101 - 0001 = 0101 + 1001 = 1110

Bit de sinal

Aritmética em Sinal e Magnitude

● Multiplicação

○ Faz a multiplicação normalmente, ignorando os bits de sinal dos números

○ O bit de sinal do resultado é 1 se os bits de magnitude dos números forem diferentes e 0 caso contrário.

● Divisão

○ Faz a divisão normalmente, ignorando os bits de sinal dos números

○ O bit de magnitude do resultado é 1 se os bits de sinal dos números forem diferentes e 0 caso contrário.

Aritmética em Sinal e Magnitude

0 0 1 0 + 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0

0010 x 1011 = 1110

Bits de sinal diferentes

Bits adicionados (representação de de 4 bits sendo 1 de sinal)

0010 / 1010 = 1001

0 1 0 0 1 0 - 0 1 0 0 0 1

0 0 0

Bits descartados (representação de 4 bits sendo 1 de sinal)

Bits de sinal diferentes

Desvantagens do Sinal e Magnitude

● O zero tem duas representações

○ Exemplo com 4 bits: 0000 e 1000

○ Problema para o programador

● Muita manipulação com bit de sinal para realizar contas

○ Para realizar uma soma, tem que comparar o bit de sinal

○ A depender dos bits de sinal, realizar uma soma ou uma subtração

○ Hardware fica mais complexo

● Outras abordagens para representar inteiros

○ Excesso de k

○ Complemento a um

○ Complemento a dois

EXCESSO DE K

Representação em Excesso de k

● Essa representação utiliza um parâmetro k

○ Esse k particiona o conjunto formado pelos n bits utilizados

○ Define o menor negativo (-k)

○ Temos k-1 números negativos, um zero e 2ⁿ - k números positivos

○ Tem apenas um valor para o 0

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

K = 7

Negativos Positivos

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Negativos K =4 Positivos

Representação em Excesso de k

O número X na representação em excesso de k é dado por X’ = X+k

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

K = 7

Negativos Positivos

X = -4₁₀

X' = -4₁₀ + 7₁₀ = 3₁₀ 3₁₀ = 0011₂

X = 4₁₀

X' = 4₁₀ + 7₁₀ = 11₁₀ 11₁₀ = 1011₂

X = 0₁₀

X' = 0₁₀ + 7₁₀ = 7₁₀ 7₁₀ = 0111₂

Aritmética em Excesso de k

● Dado dois números em excesso de k, X' e Y', a soma é bem simples

○ Basta somar os números X' e Y'

○ Como ambos têm k somado, temos que subtrair k

X’ + Y’ = X + k + Y + k = X + Y + 2*k (X + Y)’ = X + Y + k

Logo, basta subtrair k de X + Y + 2*k e temos X + Y + k

Aritmética em Excesso de k

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

K = 7

Negativos Positivos

X’ = 0010₂(-5) e Y’ = 0101₂(-2) X’ + Y’ = 0010₂ + 0101₂ = 0111₂ Subtraindo o excesso k=7 (0111₂) X’ + Y’ = 0111₂ - 0111₂ = 0000₂ (-7)

X’ = 0100₂(-3) e Y’ = 1001₂(2) X’ + Y’ = 0100₂ + 1001₂ = 1101₂ Subtraindo o excesso k=7 (0111₂) X’ + Y’ = 1101₂ - 0111₂ = 0110₂ (-1)

Aritmética em Excesso de k

● Para realizar subtrações é fácil

○ Inverte o sinal do subtraendo e soma normalmente

○ Como invertemos o sinal de um número em excesso de k?

Aritmética em Excesso de k

● Para realizar subtrações é fácil

○ Inverte o sinal do subtraendo e soma normalmente

○ Como invertemos o sinal de um número em excesso de k?

○ Dado um número X’ em Excesso de k, seu inverso é 2*k - X’

Temos X’ = X + k e queremos (-X)' = (-X) + k X’ = X + k pode ser reescrito como -X = k - X’

Substituindo na equação que queremos (-X)’ = k - X’ + k = 2*k - X’

Aritmética em Excesso de k

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

K = 7

Negativos Positivos

X’ = 0010₂ (-5) e Y’ = 0101₂ (-2) (-Y)' = 1110₂ - 0101₂ = 1001₂ (2)

X’ - Y’ = X’ + (-Y)’ = 0010₂ + 1001₂ = 1011₂ Subtraindo o excesso k=7 (0111₂)

X’ + Y’ = 0111₂ - 0111₂ = 0000₂ (-7)

Aritmética em Excesso de k

● Segue um algoritmo para multiplicação e divisão

○ Recupera o valor absoluto dos operandos

○ Transforma os operandos em binário subtraindo k

○ Realiza a conta em binário

○ Soma k ao resultado para transformar em Excesso de k

○ A depender dos sinais, é necessário realizar uma inversão

Aritmética em Excesso de k

X’ = 0011₂(-4) e Y’ = 0101₂(-2)

(-X)’ = 1110₂ - 0011₂= 1011₂ (4) e X = 1011₂ - 0111₂ = 0100₂ (4 em binário) (-Y)’ = 1110₂ - 0101₂= 1001₂ (2) e Y = 1001₂ - 0111₂= 0010₂ (2 em binário)

X * Y = 1000₂ (8) + 0111₂ (excesso k) = 1111₂ (8 em Excesso de k) (ambos negativos, não precisa inverter o sinal)

X / Y = 0010₂ (8) + 0111₂ (excesso k) = 1001₂ (2 em Excesso de k) (ambos negativos, não precisa inverter o sinal)

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

K = 7

Negativos Positivos

Extensão de sinal

● Extensão de sinal significa aumentar o número de bits da representação

○ Útil para padronizar o tamanho dos números para realizar operações em hardware (similar a acrescentar zeros a esquerda

● Em Sinal e Magnitude, a extensão de sinal não é direta

○ Deve-se acrescentar 0’s a esquerda e o bit mais significativo (sinal) deve receber o sinal correto

1 1 0 1

Número -5 em Sinal e Magnitude com 4 bits

1 0 0 1 0 1

Número -5 em Sinal e Magnitude com 6 bits 0’s a esquerda

Sinal

Extensão de sinal

● Em Excesso de k é direto (em partes)

○

○ Porém variar o k não é trivial pois mudamos toda a representação

000 001 010 011 100 101 110 111

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

K = 3

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

K = 3 Extensão direta mas

aumentamos apenas o número de positivos

COMPLEMENTO A UM

O que é complemento a base - 1?

● O complemento a base - 1 de um número x na base b (x’) é dado por:

x + x’ = ddd...d

onde d é o maior dígito da base b

Exemplos:

➔ Complemento a 9: 745

10 = 999₁₀ - 745₁₀ = 254₁₀

➔ Complemento a 15: 5AF₁₆ = FFF₁₆ - 5AF₁₆ = A50₁₆

➔ Complemento a 1: 110001₂ = 111111₂ - 110001₂ = 001110₂

Complemento é útil na subtração

● O processo de subtração entre dois números (x-y) em complemento a base - 1 é:

○ Calcula o complemento de y (y’)

○ Calcula o resultado r = x + y’

○ Incrementa r em 1

○ Ignora o dígito mais significativo de r

4 5 3

- 3 9 8

0 5 5

4 5 3

+ 6 0 1

1 0 6 4

+ 1

1 0 5 5

5 2 1

- 0 5 9

4 6 2

5 2 1

+ 9 4 0

1 4 6 1

+ 1

1 4 6 2

Exemplo complemento a 9 (base 10) Exemplo complemento a 9 (base 10)

Complemento é útil na subtração

● O processo de subtração entre dois números (x-y) em complemento a base - 1 é:

○ Calcula o complemento de y (y’)

○ Calcula o resultado r = x + y’

○ Incrementa r em 1

○ Ignora o dígito mais significativo de r

1 0 1

- 0 1 0

0 1 1

1 0 1

+ 1 0 1

1 0 1 0

+ 1

1 0 1 1

1 1 1

- 1 1 1

0 0 0

1 1 1

+ 0 0 0

1 1 1

+ 1

1 0 0 0

Exemplo complemento a 1 (base 2) Exemplo complemento a 1 (base 2)

Complemento é útil na subtração

● Qual a intuição por trás dessa subtração?

Suponha o exemplo anterior do complemento a 9 (base 10) onde temos X = 453 e Y = 398

X₁₀ - Y₁₀ = 453₁₀ - 398₁₀ = 55₁₀ O que fizemos foi:

X₁₀ + (999₁₀ - Y₁₀) + 1₁₀ - 1000₁₀ = X ₁₀+ 1000₁₀ - Y₁₀ - 1000₁₀ = X₁₀ - Y₁₀

Ou seja, simplemente adicionamos e subtraímos 1000 de um jeito mais elaborado na conta

Representação em Complemento a um

● Essa ideia é interessante …

○

○

Decimal Binário

-3 100

-2 101

-1 110

-0 111

+0 000

1 001

2 010

3 011

Inverte-se os bits

Representação em Complemento a um

● O bit mais significativo é o de sinal (unicidade)

○ Sem o sinal, 1100 (12) que teria complemento de um 0011 (-12) entraria em conflito com o número +3 que também é 0011

○ Como a representação negativa inverte os bits, garantimos uma única representação positiva e negativa para cada número

Decimal Binário

-3 100

-2 101

-1 110

-0 111

+0 000

1 001

2 010

3 011

Inverte-se os bits

Representação em Complemento a um

● O bit mais significativo é o de sinal (unicidade)

○ Ou seja, para n bits, temos 2^n-1 números positivos e 2^n-1 negativos

Decimal Binário

-3 100

-2 101

-1 110

-0 111

+0 000

1 001

2 010

3 011

Inverte-se os bits

sinal

Aritmética em Complemento a um

● Como fazer uma soma?

○ Basta somar os binários normalmente

○ Se tiver um “vai um” na última casa, somamos esse “um” no resultado para obter o número correto (end-around carry)

0 1 0 (2) + 0 0 1 (1) 0 1 1 (3)

1 0 1 (-2) + 1 0 1 (-2)

1 0 1 0

+ 1

0 1 1 (-4) 1 0 1 (-2)

+ 0 1 1 (3) 1 0 0 0

+ 1

0 0 1 (1) 1 0 1 (-2)

+ 0 0 1 (1) 1 1 0 (-1)

Aritmética em Complemento a um

● Por que o algoritmo funciona?

○ A base está na definição de complemento que vimos

○ O que fazemos com o end-around carry é subtrair 2ⁿ e somar 1 ao resultado

Aritmética em Complemento a um

● Temos que verificar caso a caso considerando n bits para representação

○ Soma de dois positivos X e Y: a soma é direta

○ Soma de um positivo X com um negativo Y

■ Se X > Y então

X + (-Y) = X + Y’ = X + (2ⁿ - 1 - Y) = (X - Y) + 2ⁿ - 1

O termo (X - Y) é o resultado que queremos pois ele já está na sua forma positiva.

O que temos que fazer é apenas anular o último termo somando - 2ⁿ + 1

■ Se Y > X então

X + (-Y) = X + Y’ = X + (2ⁿ - 1 - Y) = 2ⁿ - 1 - (Y - X)

O termo (Y - X) é o resultado em sua forma positiva. Como Y > X, então o resultado é negativo.

Essa transformação já está embutida dado que subtraímos o resultado de 2ⁿ - 1.

Aritmética em Complemento a um

● Temos que verificar caso a caso considerando n bits para representação

○ Soma de dois negativos X e Y

- X + (-Y) = X’ + Y’ = (2ⁿ - 1 - X) + (2ⁿ - 1 - Y) = [2ⁿ - 1 - (X+Y)] + 2ⁿ -1 O termo (X + Y) é o resultado em sua forma positiva. Como ambos são negativos, o resultado deve estar na forma negativa, que está embutida na expressão entre colchetes.

Temos apenas que anular o último termo somando - 2ⁿ + 1

Aritmética em Complemento a um

● Como fazer uma subtração?

○ Basta inverter o subtraendo e realizar o algoritmo da soma

0 1 0 (2) - 0 0 1 (1)

0 1 0 (2) + 1 1 0 (-1)

1 0 0 0

+ 1

0 0 1 (1) Inverte o

subtraendo e faz uma soma

Aritmética em Complemento a um

● Como fazer multiplicação e divisão?

○ Converta os números para binário

○ Realize o cálculo e verifique os sinais dos operandos

■ Se forem iguais, o resultado está pronto.

■ Se forem diferentes, converta o resultado para a sua forma negativa em complemento a um (inverte os bits)

● Extensão de sinal

○ Positivo: acrescenta 0 a esquerda

○ Negativo: os 0’s a esquerda da representação positiva viram 1

○ Resumo: apenas replicar o bit mais significativo

1 1 0 1

Número -2 em Complemento a um com 4 bits

1 1 1 1 0 1

Número -2 em Complemento a um com 6 bits

COMPLEMENTO A DOIS

O que é complemento a base?

● O complemento a base de um número x na base b (x’) é dado por:

x + x’ = 100...00

Exemplos:

➔ Complemento a 10: 745₁₀ = 1000₁₀ - 745₁₀ = 255₁₀

➔ Complemento a 16: 5AF₁₆ = 1000₁₆ - 5AF₁₆ = A51₁₆

➔ Complemento a 2: 110001₂ = 1000000₂ - 110001₂ = 001111₂

Complemento a base vs a base - 1

● Ambos são úteis na subtração

○ A diferença é que não precisamos somar 1 no resultado antes de ignorar o dígito mais significativo

○ Esse 1 já está embutido no complemento do número

4 5 3

- 3 9 8

0 5 5

4 5 3

+ 6 0 2

1 0 5 5

Exemplo complemento a 10 (base 10)

4 5 3

- 3 9 8

0 5 5

4 5 3

+ 6 0 1

1 0 5 4

+ 1

1 0 5 5

Exemplo complemento a 9 (base 10)

Complemento a base vs a base - 1

● Ambos são úteis na subtração

○ A diferença é que não precisamos somar 1 no resultado antes de ignorar o dígito mais significativo

○ Esse 1 já está embutido no complemento do número

1 0 1

- 0 1 0

0 1 1

1 0 1

+ 1 1 0

1 0 1 1

Exemplo complemento a 2 (base 2)

1 0 1

- 0 1 0

0 1 1

1 0 1

+ 1 0 1

1 0 1 0

+ 1

1 0 1 1

Exemplo complemento a 1 (base 2)

Representação em Complemento a dois

● Como no complemento a um, utilizamos o complemento a dois de um número como sua representação negativa

○ Para calcular o complemento a dois de um número basta inverter todos os bits e somar 1

○ Equivalente a subtrair o número positivo de 2ⁿ onde n é o número de bits utilizados na representação

● Exemplo: Calcular o complemento a dois do número positivo 010

para uma representação com 3 bits

1 0 0 0

- 0 1 0

0 1 1 0

1 0 1

+ 1

0 1 1 0

OU

Inverte-se os bits e soma 1 Subtrai o número

de 2ⁿ

Representação em Complemento a dois

Decimal Binário

-3 101

-2 110

-1 111

-0 000

+0 000

1 001

2 010

3 011

Zero tem uma única representação

● Exemplo de complemento a dois com 3 bits

Representação em Complemento a dois

Decimal Binário

-4 100

-3 101

-2 110

-1 111

-0 000

+0 000

1 001

2 010

3 011

● Exemplo de complemento a dois com 3 bits

Ganhamos um negativo

Aritmética em Complemento a dois

● Como fazer uma soma?

○ Basta somar os binários normalmente (não existe end-around carry)

0 1 0 (2) + 0 0 1 (1) 0 1 1 (3)

1 1 0 (-2) + 1 1 0 (-2)

1 0 0 0 1 1 0 (-2)

+ 0 1 1 (3) 1 0 0 1 (1) 1 1 0 (-2)

+ 0 0 1 (1) 1 1 1 (-1)

Aritmética em Complemento a dois

● Por que o algoritmo funciona?

○ Temos os mesmos casos do complemento a um

○ Porém, nos casos de end-around carry em que subtraímos 2ⁿ e somamos 1, no complemento a dois subtraímos apenas 2ⁿ

● Ou seja, fica mais simples de implementar em hardware

Aritmética em Complemento a dois

● Como fazer uma subtração?

○ Mesma ideia do complemento a um

○ Basta converter o subtraendo para sua forma negativa e realizar o algoritmo da soma

0 1 0 (2) - 0 0 1 (1)

0 1 0 (2) + 1 1 1 (-1)

1 0 0 1 (1)

Aritmética em Complemento a dois

● Como fazer multiplicação e divisão?

○ Converta os números para binário

○ Realize o cálculo e verifique os sinais dos operandos

■ Se forem iguais, o resultado está pronto.

■ Se forem diferentes, converta o resultado para a sua forma negativa em complemento a dois

● Extensão de sinal

○ Igual ao complemento a um: apenas replicar o bit mais significativo

1 1 1 0

Número -2 em Complemento a dois com 4 bits

1 1 1 1 1 0

Número -2 em Complemento a dois com 6 bits

Aritmética em Complemento a dois

● Como fazer multiplicação e divisão?

○ Converta os números para binário

○ Realize o cálculo e verifique os sinais dos operandos

■ Se forem iguais, o resultado está pronto.

■ Se forem diferentes, converta o resultado para a sua forma negativa em complemento a dois

● Extensão de sinal

○ Igual ao complemento a um: apenas replicar o bit mais significativo

1 1 1 0

Número -2 em Complemento a dois com 4 bits

1 1 1 1 1 0

Número -2 em Complemento a dois com 6 bits

Existem algoritmos de multiplicação e divisão

especializados em complemento a dois que não serão vistos nesse

curso

OVERFLOW

O que é overflow ...

● O termo overflow refere-se a algo que extrapolou o limite

○ Em computação tem overflow aritmético, overflow de buffer, …

○ O fato essencial é saber identificar quanto houve um overflow

● No nosso estudo estamos interessados nas operações básicas: soma, subtração, multiplicação e divisão

● Um overflow acontece em operações que aumentam o valor do número

○ Soma e multiplicação

● A seguir veremos como identificar overflow de soma nas

representações que vimos

Identificando overflow de soma nas representações

● Ocorre overflow em uma soma em complemento a dois um overflow quando

○ Somamos dois números positivos e encontramos um número negativo

○ Somamos dois números negativos e encontramos um número positivo

1 1 0 (-2) + 1 0 1 (-3) 0 1 1 (3)

0 1 1 (3) + 0 1 1 (3) 1 1 0 (-2)

Operações aritméticas com overflow em complemeto a dois com 3 bits

Identificando overflow de soma nas representações

● Complemento a um: Se aplicam as mesmas regras de overflow para complemento a dois

● Sinal e Magnitude: Ocorre quando a soma das magnitudes resulta em um "vai 1" no último dígito

0 1 1 1 (7) + 0 1 0 1 (5) 1 1 0 0 (-4) Bit de sinal

Vai 1

Operações aritméticas com overflow em sinal e magnitude com 4 bits

1 1 1 1 (-7) + 1 1 0 1 (-5) 1 1 0 0 (-4) Bit de sinal

Vai 1

Identificando overflow de soma nas representações

● Excesso de k: A soma é feita direta em binário e, ao final, subtraímos k do resultado. Temos overflow quando:

○ Quando a soma direta fica abaixo de k (antes da etapa de subtrair k)

○ Quando o resultado final (já subtraído k) ultrapassa o valor de 2ⁿ-1

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 1 (-6) + 0 0 1 0 (-5)

0 0 1 1

Operações aritméticas com overflow

1 1 1 1 (8) + 1 1 0 1 (6) 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1

Subtrai 111 (k=7) 111 (k=7) é maior que 0011 (3)

10101 (21) ultrapassa o maior valor de 1111 (15)