Matemática. Função Afim e Função Quadrática

Super Tópicos Vestibulares 1

Matemática

Função Afim e Função Quadrática

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Resumo

Função do 1º grau

Chama-se função polinomial do 1° grau ou função afim, de qualquer função f dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0.

Na lei f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular e o número b é chamado de termo independente ou graucoeficiente linear.

Função Linear:

Um caso particular de função afim é aquele em que b = 0, neste caso, temos a função afim de f dada pela lei da função f(x) = ax, que recebe uma denominação especial de função linear.

Raiz ou zero da função:

Chama-se raiz, da função dada por f(x) = ax + b, o número real tal que f(x) = 0. Assim:

( ) 0 0 b

f x ax b x

=  + =  = − a

2 5 0

2 5

5 2 x x x

− =

=

=

A raiz de uma função é um dos pontos mais importantes pois é onde a função corta o eixo x. Uma função de 1° grau só pode ter uma raiz e real.

Taxa de crescimento:

Na lei da função f(x) = ax + b dizemos que o coeficiente a é chamado de taxa de variação, ou taxa de crescimento da função. Podemos calcular o coeficiente angular de duas maneiras:

ou y

a tg a

 ^ x

= =



Em que θ é o ângulo que a reta da função faz com o eixo x, no sentido anti-horário.

Gráfico:

O gráfico de uma função do 1° grau, dada por y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos eixos 0x e 0y.

Vamos construir o gráfico da função f(x) = 2x – 4.

Como o gráfico é uma reta basta obter dois pontos e ligá- los.

Para x = 0, temos y = 2.0 - 4 = -4. Portanto, um ponto é (0, -4).

Para y = 0, temos 0 = 2x - 4 ↔ x = 2. Portanto, outro ponto é (2, 0)

Reparou que a reta cortou o eixo y no ponto y = -4 e que o coeficiente linear vale exatamente – 4 também? Isso não é coincidência! O gráfico de uma função do 1º grau corta o eixo y justamente no ponto (0, b). Mas, por quê? Ora, veja:

0 (0) (0) (0) (0, ) ( )

x =  f = a +  b f =  b b  f x

Se a > 0, temos que a função é crescente e a reta é oblíqua para direita.

Se a < 0, temos que a função é decrescente e a reta é oblíqua para esquerda.

Função do 2º grau

Chama-se função polinomial do 2° grau, ou função quadrática, de qualquer função f dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais dados e a ≠ 0.

Zeros ou Raízes da função:

Zeros da função quadrática são os valores de x que anulam a função e podem ser obtidos pela fórmula de Bháskara:

² 4 2

b b ac

x a

−  −

=

Gráfico:

A função quadrática é representada graficamente por uma parábola, cuja concavidade pode ser voltada para cima (quando a > 0) ou voltada para baixo (quando a < 0).

Além disso, lembra que na função do 1º grau o gráfico cortava o eixo y no ponto (0, b)? Então, aqui, na função do segundo grau, a parábola corta o eixo y no ponto (0, c).

Repare:

0 (0) (0)2 (0) (0) (0, ) ( )

x= f =a +b + c f = c c f x

Super Tópicos Vestibulares 3 Vértice da parábola:

É a intersecção da parábola com o eixo de simetria. As coordenadas do vértice são dadas por

v

2 x b

= − a

v

4

y a

= − 

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Exercícios

1. Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula:

5( 32) 9 C = F −

Em que F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados.

a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit.

b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados?

2. O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será:

a) menor que 1150.

b) 218 unidades maior que em 2004.

c) maior que 1 150 e menor que 1 200.

d) 177 unidades maior que em 2010.

e) maior que 1 200.

3. As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:

20 4 46 2

O D

Q P

Q P

= − +

= −

em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.

A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.

Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?

a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33

4. O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.

Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como taxa de absorção (geralmente medida em moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se 𝑚1 é a taxa de absorção no claro e 𝑚2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é:

a) 𝑚1= 𝑚2

b) 𝑚₂= 2𝑚₁ c) 𝑚₁. 𝑚₂= 1 d) 𝑚₁. 𝑚₂= −1 e) 𝑚₁= 2𝑚₂

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5. O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q, fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25, e que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,25.

a) Calcule o valor inicial Q.

b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$ 75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia?

6. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

número de bolas (x) nível da água (y)

5 6,35 cm

10 6,70 cm

15 7,05 cm

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?

a) y = 30x b) y = 25x + 20,2 c) y = 1,27x d) y = 0,7x e) y = 0,07x + 6

7. Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.

Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?

a) 1 e 49 b) 1 e 99 c) 10 e 10 d) 25 e 25 e) 50 e 50

8. Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$1,50, cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi de R$1,48, foram vendidos 10.200 litros.

Considerando x o valor, em centavos, do desconto e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é:

a) V=10.000+50x-x² b) V=10.000+50x+x² c) V=15.000-50x-x² d) V=15.000+50x-x² e) V=15.000-50x+x²

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9. A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.

Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?

a)

16 3

b)

31 5

c)

25 4

d)

25 3

e)

75 2

10. Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t – 3t², onde h é a altura atingida em metros.

a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?

b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?

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Gabarito

1. a)

5( 32)

35 9

( 32)

7 9

63 32

95 F F F F

= −

= −

= −

=

b) F = 2C

5(2 32) 9

9 10 160

160 95 C C

C C

C F

= −

= −

=

=

2. C

Observe a figura:

Sendo y o número de favelas em 2016, temos y – 968 = 968 – 750. Dessa igualdade, resulta y = 1186. Portanto o número de favelas em 2016 será maior que 1150 e menor que 1200.

3. B

Sendo Q0 = – 20 + 4P e QD = 46 – 2P, o preço de equilíbrio se obtém para Q0 = QD. Logo:

– 20 + 4P = 46 – 2P ⇔ P = 11 4. E

Sabemos que dois pontos definem uma reta, começamos pela reta azul.

Claro: 𝑚₁ (3;12) e (4;16) Função genérica f(x) = ax + b

12 3 16 4

m b m b

= +

  = +



Subtraindo (I) de (II) temos que m = 4 e b = 0.

y = 4x

Fazendo agora com a reta vermelha, temos:

Super Tópicos Vestibulares 9 Escuro: 𝑚2

(1;2) e (2;4) Função genérica f(x) = ax + b

2 4 2

m b m b

 = +

 = +



Subtraindo (III) de (IV) temos m = 2 e b = 0.

y = mx + b y = 2x

Fazendo a relação ^𝑚1

𝑚₂,ficamos com:

𝑚₁ 𝑚₂=4𝑥

2𝑥 𝑚₁= 2𝑚₂ 5.

a) Isso é uma função do 1° grau y: preço

x: distancia

temos dois pontos: (3,6 ; 8,25) e ( 2,8 ; 7,25) A função do 1° grau tem equação :

y = ax + b

8, 25 7, 25 1, 25 3, 6 2,8

a y x

 −

= = =

 −

y = 1,25 x + b

vamos substituir qualquer um dos pontos 8,25 = 1,25 ( 3,6) + b

b = 3,75

3,75 ~> valor fixo b) a função ficou

y = 1,25 . x + 3,75 10 corridas 75

1 x

Multiplica em cruz, temos:

x = 7,5

7,5 = 1,25 x + 3,75 7,5 - 3,25 = 1,25x

x = 3 km cada corrida, porém foram 10 3 .10 = 30 km

6. E

Observe que para um aumento de 5 bolas que são colocadas o nível da água aumenta em 0,35 cm, isso quer dizer que o aumento do nível da água é proporcional a quantidade de bolas.

Teremos então uma Função Afim da forma y = ax+b.

Utilizando os pares (5, 6.35) e (10, 6.70) e substituindo, temos:

. Logo, y = 0,07x + 6.

Super Tópicos Vestibulares 10 7. D

O enunciado nos fala: “100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais”.

Disso, entendemos que o perímetro do retângulo de lados X e Y é 100. Logo, teremos 2x + 2y = 100

x + y = 50

A área será A = x . y = x . (50 – x) = -x² + 50x. Temos, agora, que achar o Xv:

50 25

2 2( 1)

v

X b

= − a = − =

−

Por fim, se x = 25, então, já que x + y = 50, y = 25.

8.

9. D

Podemos escrever a igreja na forma de parábola. As raízes da parábola serão: (5,0) e (-5,0). A questão nos dá também o ponto (x, y) = (4, 3).

A equação de uma parábola em função das raízes é:

1 2

( ) ( )( )

( ) ( 5)( ( 5)) ( 5)( 5) ( ² 25) y f x a x x x x

y f x a x x a x x a x

= = − −

= = − − − = − + = −

Assim, basta substituirmos o ponto (4, 3) na questão e encontrar o valor de a.

3 (4) (4² 25) 9 3 1

y = = f = a −  − a =  = − a 3

Logo, a equação procurada será:

( ² 25)

( ) 3

f x = − x −

A altura será o valor de y para o qual x é zero. Assim, encontrando o ponto (0, h), temos:

(0² 25) 25

( ) 3 3

f x = − − =

a) Achando as raízes da equação, temos:

3(t - t²) = 0 t – t² = 0 t(1 – t) = 0 t = 0 ou t = 1.

Ou seja, o grilo levou 1 segundo para retornar ao solo.

b) ℎ = 3.0,5 – 3(0,5)²

ℎ = 1,5 − 3.0,25 = 1,5 – 0,75 h = 0,75m