Propriedades do Conjunto Dominante Mínimo no Produto Lexicográfico

Propriedades do Conjunto Dominante M´ınimo no Produto Lexicogr´ afico

FILIPE RODRIGUES PEREIRA DA SILVA SHEILA MORAIS DE ALMEIDA

DEPARTAMENTO ACADˆ EMICO DE INFORM ´ ATICA

UNIVERSIDADE TECNOL ´ OGICA FEDERAL DO PARAN ´ A

ORIGEM

Teve como motiva¸c˜ ao inicial o problema de determinar o n´ umero m´ınimo

de rainhas que podem dominar todo um tabuleiro de xadrez.

CONJUNTO DOMINANTE

CONJUNTO DOMINANTE

CONJUNTO DOMINANTE

O QUE ´ E O PROBLEMA DO CONJUNTO DOMINANTE M´INIMO?

Dado um grafo, encontrar o menor conjunto de v´ ertices D tal que todo

v´ ertice perten¸ca a D ou seja vizinho de um v´ ertice de D.

NOTAC ¸ ˜ AO

O tamanho do conjunto dominante m´ınimo ´ e chamado de n´ umero de domina¸c˜ ao, denotado por γ (G ).

γ(G ) = 1

CONJUNTO DOMINANTE

γ(G ) = 3

MAS E SE UM GRAFO POSSUIR n V´ ERTICES?

N˜ ao existe um algoritmo que consiga encontrar o Conjunto Dominante

M´ınimo de um grafo qualquer em tempo polinomial.

CONJUNTO DOMINANTE

E QUANTO TEMPO ISSO LEVARIA?

Dependendo do grafo de entrada, um algoritmo por for¸ ca bruta poderia

levar mais de 500 bilh˜ oes de anos para obter uma resposta! Essa ´ e uma

das caracter´ısticas dos problemas NP-completos.

PRODUTO LEXICOGR´ AFICO

PRODUTO LEXICOGR´ AFICO

PRODUTO LEXICOGR´ AFICO

Figura: Grafos P

, C

e representa¸ c˜ ao gr´ afica do grafo P

• C

.

FORMALIZANDO...

O produto lexicogr´ afico de dois grafos G e H ´ e denotado por G • H, cujo conjunto de v´ ertices ´ e formado pelo produto dos conjuntos V (G ) e V (H).

Dois v´ ertices (x ₁ , y ₁ ) e (x ₂ , y ₂ ) s˜ ao adjacentes em G • H se x ₁ x ₂ ∈ E(G ),

ou se x ₁ = x ₂ e y ₁ y ₂ ∈ E (H).

RESULTADOS

TEOREMA DE ZHANG (2011)

Zhang determinou que se G ´ e um grafo simples e H ´ e um grafo com

γ (H) = 1, ent˜ ao γ(G • H) = γ(G ).

RESULTADOS

TEOREMA 1

Se G ´ e um grafo com v´ ertice universal de ordem pelo menos 2 e H um

grafo simples com γ(H) ≥ 2, ent˜ ao γ (G • H) = 2.

RESULTADOS

RESULTADOS

TEOREMA 2

Se G ´ e um grafo k -partido completo, k ≥ 2, e H um grafo simples sem

v´ ertice universal.

RESULTADOS

TEOREMA 3

Sejam G e H grafos simples e conexos, ent˜ ao γ(G • H) ≤ 2γ (G ).

RESULTADOS

RESULTADOS

TRABALHOS FUTUROS

E interessante notar que quanto menos componentes de tamanho 1 ´ houverem no subgrafo induzido pelo conjunto dominante m´ınimo de G , menor ser´ a a cardinalidade do conjunto dominante de G • H obtido pela t´ ecnica do Teorema 3. Observe que quando todo v´ ertice do conjunto dominante m´ınimo D ⊆ V (G ) possui um vizinho em D, ent˜ ao

γ (G • H) = γ(G ). Considerando esta observa¸c˜ ao ´ e interessante investigar

nos trabalhos futuros quais os grafos que sempre possuem um conjunto

dominante m´ınimo sem componentes de tamanho 1. Uma caracteriza¸ c˜ ao

de tais grafos seria um resultado relevante.

REFERˆ ENCIAS

[1] B. Bresar;et.al. Vizing’s conjecture: A survey and recent results.

Journal of Graph Theory, 69(1):46–76, 2011.

[2] B. Hartnell and D. F. Rall. Domination in graphs, advanced topics.

Marcel Dekker, Inc., 1998. Domination in cartesian products: Vizing’s Conjecture (Chapter 7), 163–189.

[3] T. W. Haynes. Fundamentals of domination in graphs. Marcel Dekker, Inc., New York, 1 edition, 1998.

[4] D. S. J. Michael R. Garey. Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. W. H. Freeman, 1 edition, 1979. p. 190, problem GT2.

[5] T. Sitthiwirattham. Domination on lexicographical product of cycles.

Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS), 75(1):193–200, 2013.

[6] V. G. Vizing. Some unsolved problems in graph theory. Uspehi Nauk, 23 edition, 1968.

[7] J. L. X. Zhang and J. Meng. Domination in lexicographic product

graphs. Ars Combin, 101(1):251–256, 2011.