A Circunferência Trigonométrica – Parte 1
Professor: Paulo César Sampaio
Resumo
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos no espaço é o menor comprimento de reta que liga esses dois pontos.
𝑑𝑃𝑄 = √∆𝑥2+ ∆𝑦2
𝑑𝑃𝑄= √(𝑥2− 𝑥1)2+ (𝑦2− 𝑦1)2
Equação de uma circunferência
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(𝑑𝐶𝑃) é o raio dessa circunferência. Então:
Reforço Engenharia
2Método
de completar quadradosO método de completar quadrados serve para quando temos equações incompletas e queremos escrever como um produto notável (quadrado da soma/diferença)
Produtos notáveis:
• Quadrado da soma
(𝑎 + 𝑏)2= 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
• Quadrado da diferença
(𝑎 − 𝑏)2= 𝑎2− 2𝑎𝑏 + 𝑏2
A ideia é que partimos de uma equação do segundo grau, completa ou incompleta, e a ajeitamos para que fique como um dos casos de produtos notáveis citados acima.
Exemplo:
1) Quando temos uma equação do 2º completa (temos os três termos do trinômio quadrado perfeito) 𝑥2+ 18𝑥 + 81 = 0
𝑥2+ 2.9. 𝑥 + 92= 0 (𝑥 + 9)2= 0 2) Quando temos uma equação do 2º incompleta
𝑥2+ 18𝑥 − 19 = 0
Temos os três termos, porém o termo independente não é um quadrado perfeito, isto é, não tem raiz quadrada, então precisamos ajeitar ele.
𝑥2+ 18𝑥 − 19+ 81=81 𝑥2+ 18𝑥 + 81 = 81 + 19
𝑥2+ 18𝑥 + 81 = 100 𝑥2+ 2.9. 𝑥 + 92= 102
(𝑥 + 9)2= 102
A circunferência trigonométrica
A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a origem dos arcos. Se começarmos em A e girarmos para a esquerda temos o sentido anti-horário (sentido positivo) e se girarmos para a direita teremos o sentido horário (sentido negativo).
No círculo trigonométrico, os eixos variam de –1 até +1, pois funcionam apenas com a circunferência de raio unitário. Esses eixos dividem o círculo em quatro partes, chamadas de quadrantes. Como tudo começa pelo ponto A, girando no sentido anti-horário, teremos o 1º quadrante na cor verde, o 2º na cor azul, o 3º na cor amarela e o 4º na cor rosa.
• Quadrante I: contém os números reais que vão de 0 até π/2 e os ângulos entre 0° e 90°.
• Quadrante II: contém os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos entre 90° e 180°.
• Quadrante III: contém os números reais que vão de π até 3π/2 e os ângulos entre 180° e 270°.
• Quadrante VI: contém os números reais que vão de 3π/2 até 2π e os ângulos entre 270° e 360°.
Reforço Engenharia
4Exercícios
1.
Calcule a distância entre os pontos:a) A(1,1) e B(4,4) b) A(1,4) e B(-2,-2) c) A(-2,-4) e B(-3,-2)
2.
Usando o método de completar quadrados, escreva o produto notável que representa cada item a seguir:a) 𝑥2+ 10𝑥 − 39 = 0 b) −2𝑥2+ 3𝑥 + 2 = 0 c) 𝑥2+ 8𝑥 = 33 d) 𝑥2+ 12𝑥 = 85
3.
Encontre a equação da circunferência de centro (3,2) que é tangente ao eixo X.4.
Qual a equação reduzida da circunferência que tem raio 3, tangencia o eixo das abscissas no ponto A(4,0) e está contida no 4º quadrante?5.
Verifique se as equações abaixo representam circunferências. Caso afirmativo, determine o centro e o raio das circunferências seguintes:a) x2 + y2 + 6x = 0 b) x2 + y2 = 9
c) x2 + y2 + 4x – 10y + 20 = 0
d) x2 + 2y2 + 4x + 18y – 100 = 0 e) x2 + 3y2 – 4 = 0
f) x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0
6.
Sabendo que x é um arco do primeiro quadrante e que sen x = 0,8 , determine cos x e tg x.Gabarito
1.
a) 3√2 b) 3√5 c) √5
2.
a) (𝑥 − 5)2= 82 b) (𝑥 −3
4)2= (5
4)2 c) (𝑥 + 4)2= 72 d) (𝑥 + 6)2= 112
3. (𝑥 − 3)2+ (𝑦 − 2)2= 4 4. (𝑥 − 4)2+ (𝑦 + 3)2= 9
5.
a) C(-3,0) e r = 3;
b) C(0,0) e r = 3;
c) C(-2,5) e r = 3;
d) não é circunferência;
e) não é circunferência;
f) C(-2,2) e r = 5;
6. Escreva o seno sob fração, terá o cateto oposto e a hipotenusa. Aplique o Teorema de Pitágoras e encontrará o cateto adjacente. Logo, cos x = 0,6 e tg x = 1,33...
