Hipersuperfícies com résima curvatura média constante positiva em Mm X R

(1)

DEPARTAMENTO DE MATEM ´

ATICA

Hipersuperf´ıcies com

r-´esima

Curvatura M´edia Constante Positiva

em

M

m

_×

R

Ant ˆ

onia Jocivania Pinheiro

F

ORTALEZA

- C

E

(2)

Hipersuperf´ıcies com

r-´esima

Curvatura M´edia Constante Positiva

em

M

m

_×

R

Tese submetida a Coordenaçao do curso de pós-Graduação em matemática da Universidade Federal do Ceará como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática. ´

Area de concentração: Geometria diferencial Orientador: Antônio Gervásio Colares

F

ORTALEZA

- C

E

(3)

p718h Pinheiro, Antˆonia Jocivania.

Hipersuperf´ıcies comr-´esima Curvatura M´edia Constante Positiva

emMm_×_R_.

50p

Orientador: Prof. Antˆonio Gervasio Colares.

Dissertação (Mestrado)- Universidade Federal do Ceará.

departamento de Matem´atica, 2010.

(4)

Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado força, saúde, coragem e

determinac¸˜ao diante de tantas dificuldades que a vida nos oferece.

Aos meus pais José e Risoneide pelo amor, carinho, dedicação e por que nunca

mediram esforc¸os para que eu continuasse minha jornada acadˆemica. Bem como

as minhas irm˜as Rogeria, Rozˆangela, Rosimeire e Jocineiva pelo carinho que

sem-pre tiveram por mim e semsem-pre comsem-preenderam a minha ausˆencia. N˜ao podendo

esquecer meus sobrinhos Jania Robys, Hugo, Nagela, Stefany e Rebeca. Obrigada

Senhor pela fam´ılia que tenho.

A todos meus tios e primos que de algum modo me deram forc¸a para esta

vit´oria. Em especial, agradec¸o a Rosilene e Aneildo os quais estiveram sempre

dispostos a me ajudar.

Ao meu namorado Tharlenton, que com determinac¸˜ao, amor e carinho esteve

sempre ao meu lado me dando forc¸a e incentivo.

A todos professores e colegas da graduação em matemática da UFC. Em

es-pecial, aos professores Afonso, Alexandre, Fernando Pimentel, Alessandro Wilk

e Ênio pela motivação, aos colegas (amigos) Eduardo, Horácio, Rilson e Cristina

pelo companheirismo.

A todos professores da pós-graduação e colegas do mestrado em matemática

da UFC. Em especial, aos professores Abdˆenago e Fabio por todo tempo que

disponibilizaram a me ajudar e aos colegas(amigos) Shirley, Val´eria, Cristiane,

Kiara, Priscila,Fernando, Davi e Tiago por toda ajuda e pelos momentos de alegria

que me proporcionaram.

Ao meu orientador, Professor Gervásio Colares, pela sua orientação, confiança,

determinação e por acreditar que eu seria capaz de fazer este trabalho. Agradeço

tamb´em por me motivar a continuar na busca pelo conhecimento.

(5)

Obrigada professor, sou muito grata por tudo que tem feito por mim. N˜ao posso

esquecer do meu conselheiro e amigo, professor Valter pelas longas conversas que

tivemos, sempre me dizendo o que devo ou n˜ao fazer.

A secretária da Pós-Graduação, Andrea, por esta sempre disposta a ajudar,

mesmo estando sempre muito ocupada. Aos funcion´arios da biblioteca Fernanda,

Erivan, Rocilda e Junior pelo carinho.

Aos professores Abdênago e Sebastião pelas sugestões, correções e dicas de

escrita, bem como por concordarem em participar da banca.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico-CNPq

pelo financiamento da bolc¸a de mestrado.

Por fim, agradec¸o a todos que de alguma maneira contribuiram para que esse

momento se concretizasse. Obrigada, vocˆes fizeram e fazem a diferenc¸a em minha

(6)

Neste trabalho, definimos as transformac¸˜oes de Newton e provamos algumas

propriedades relacionadas a elas. Fizemos um estudo sobre operador el´ıptico e

us-amos isso para provar que dadas algumas condic¸˜oes para a curvatura seccional de

uma variedade riemanniana M, conseguimos majorar a func¸˜ao altura (em modulo)

(7)

In this paper, we define the transformations of Newton and prove some

prop-erties related to them. We did a study on elliptic operator and use it to prove that

given some conditions for the sectional curvature of a riemannian manifold M,able

function of increasing height (in modulus) of a graph vertical compact immersed

(8)

1 Preliminares 4

1.1 Fatos B´asicos . . . 4

1.2 Imers˜oes Isom´etricas . . . 11

1.3 Variedade Produto . . . 15

2 Transformac¸˜ao de Newton e OperadorLr 17

2.1 As Transformac¸˜oes de Newton . . . 17

2.2 As Propriedades El´ıpticas do OperadorLr . . . 28

3 Estimativa de Altura de Gráficos Verticais e Aplicação 32

(9)

Nesta dissertac¸˜ao seguiremos o artigo de Xu Cheng e Harold Rosenberg [1].

Se Mm+1 ´e uma variedade Riemanniana orientada (m + 1)-dimensional e

Σm _{é uma hipersuperf´ıcie em}_{M ,}_a_r_{-ésima curvatura média de} _Σ_,_{denotada por} Hr, é a média aritmética dasr-ésimas funções simétricas da segunda forma

fun-damental(veja definição 2.1.) As hipersuperf´ıcies com r-ésima curvatura média

constante incluem tamb´em as de curvatura m´edia constante , e as de curvaturas de

Gauss-Kronecker constantes.

Neste trabalho, consideraremos hipersuperf´ıcies orient´aveis em uma variedade

produto orientada(m+ 1)-dimensionalM_×R_com_r_{-´esima curvatura m´edia}

con-stante positiva. Aqui M ´e uma variedade Riemannianam-dimensional com

cur-vatura seccional limitada. Os modelos t´ıpicos s˜ao quandoM =Rm_,_Sm_,_Hm₍₋₁₎_.

Obteremos estimativas da altura para tais gr´aficos verticais compacto com bordo

emM _{× {}0_}.N´os provaremos que,

Teorema 0.1 (Teo. 3.4)SejaM uma variedade Riemanniana orientadam-dimensional.

SejaΣum gr´afico vertical compacto na variedade produtoM_×R_{com bordo em}

M _{× {}0_} e com Hr constante positivo, para algum 1 _≤ r _≤ m. Denotemos

h: Σ_→R_{a func¸˜ao altura de}_Σ_.

(10)

(i) Se a curvatura seccional deM satisfazK _≥0, ent˜ao emΣ,

|h_{| ≤}H−

1

r

r .

(ii) Quandor = 2, se a curvatura seccional deM satisfazK _{≥ −}τ(τ >0),e

H2 > τ,ent˜ao emΣ,

|h_{| ≤}

√

H2

H2−τ

.

(iii) Quandor = 1, se a curvatura seccional deM satisfazK _{≥ −}τ(τ >0),e

H2 1 >

m₋1

m τ,ent˜ao emΣ

|h_{| ≤}

√

H1

H2

1 − mm−1τ .

Como aplicação do Teorema 0.1 daremos uma estimativa do diâmetro vertical

de hipersuperf´ıcies compactas em M _×R _com _Hr _{constante positiva, sobre as}

mesmas hip´oteses de curvatura do Teorema 0.1. Mais precisamente, provamos o

Teorema 0.2 SejaM uma variedade Riemannianam-dimensional e sejaΣuma hipersuperf´ıcie orient´avel compacta imersa em M _×R_com _Hr _> ₀_constante,

para algum1_≤r _≤m.EntãoΣé simétrica com relação a superf´ıcie horizontal

M _{× {}t0},para algumt0 ∈R.Al´em disso,

(i) Se a curvatura seccional deM safisfaz K _≥ 0,então o diâmetro vertical deΣnão é maior que2H−

1

r

r ;

(ii) Quando r = 2,se a curvatura seccional de M satisfaz K _{≥ −}τ e H2 >

τ(τ >0),então o diâmetro vertical deΣnão é maior que 2√H2

H2−τ.

(iii) Quandor = 1,se a curvatura seccional deM satisfazK _{≥ −}τ(τ > 0),e

H₁2 > m_m−1τ,então o diâmetro vertical deΣnão é maior que 2H1

H2 1−

m−1

m τ

(11)

Preliminares

1.1 Fatos B´asicos

Definição 1.1 Um campo de vetoresXem uma variedade diferenciávelM é uma

correspondˆencia que a cada pontop _∈ M associa um vetorX(p) _∈ TpM,onde

TpM é o plano tangente aM no pontop. O campo é diferenciável se a aplicação

X :M _−→T M é diferenciável, ondeT M é o fibrado tangente deM. O conjunto dos campos de vetores diferenciáveis emM será denotados porX(M).

´

E conveniente pensar em um campo de vetores como uma aplicac¸˜ao

X : D(M) _−→ F(M), do conjunto D(M) das funções diferenciáveis em M

no conjunto F(M)das funções em M,definida por Xf(p) = dfp(X(p)).Neste contextoX é diferenciável se, e somente se,Xf _∈D(M)para todof _∈D(M). Definição 1.2 Uma métrica Riemanniana em uma variedade M é uma

corre-spondˆencia que associa a cada pontopdeM um produto interno_h,_ip no espac¸o

tangenteTpM que varia diferenciavelmente, isto ´e, se x :U _⊂ Rn _−→_M _{´e um}

sistema de coordenadas locais em torno dep,comx(x1, x2, . . . xn) =q ∈ x(U)

(12)

e _∂x∂

i(q) =dx(0, . . . ,1, . . . ,0),ent˜ao

gij(x1, x2, . . . xn) = D _∂

∂xi(q), ∂ ∂xj(q)

E

q

é uma função diferenciável em U, para todo i, j = 1, . . . , n. As funções gij =

gjisão chamadas expressão da métrica Riemanniana no sistema de coordenadas

x : U _⊂ Rn _−→ _M. _{Uma variedade com a m´etrica Riemanniana chama-se}

variedade Riemanniana.

Definição 1.3 Uma conexão afim _∇ em uma variedade diferenciável M é uma aplicação_∇:X(M)×X(M)−→X(M),que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) _∇f X+gYZ =f∇XZ+g∇YZ

(ii) _∇X(Y +Z) = ∇XY +∇XZ

(iii) _∇X(f Y) =f∇XY +X(f)Y

para todoX, Y, Z _∈X(M)ef, g _∈D(M).

Definição 1.4 Dizemos que uma conexão_∇em uma variedade RiemannianaM

´e compat´ıvel com a m´etrica se, para todoX, Y, Z _∈X(M), X_hY, Z_i=h∇XY, Zi+hY,∇XZi.

E dizemos que_∇ ´e sim´etrica se, para todoX, Y _∈X(M),

∇XY − ∇YX = [X, Y]

Teorema 1.1 (Teorema de Levi-Civita): Dada uma variedade RiemannianaM,

existe uma única conexão afim_∇emM simétrica e compat´ıvel com a métrica de

M.

A conexão dada pelo teorema acima é denominada conexão de Levi-Civita ou

(13)

Definição 1.5 A curvaturaRde uma variedade RiemannianaM é a aplicação

R:X(M)×X(M)×X(M)−→X(M),

dada por,

R(X, Y)Z =_∇Y∇XZ− ∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,

para todoX, Y, Z ∈X(M), onde_∇´e a conex˜ao Riemanniana deM.

Proposição 1.1 Sejaσ _⊂TpM um subespaço bi-dimensional do espaço tangente

TpM e sejamx, y _∈σdois vetores linearmente independentes. Ent˜ao

K(x, y) = phR(x, y)x, yi

|x_|2_|_y_|2_{− h}_{x, y}_i2

n˜ao depende da escolha dos vetoresx, y _∈σ.

Definição 1.6 Dado um pontop_∈M e um subespaço bi-dimensionalσ_⊂TpMo numero realK(σ) = K(x, y),onde_{x, y_} é uma base qualquer deσ,é chamado curvatura seccional deσemp.

Definição 1.7 Um tensor T de ordemr em uma variedade Riemanniana é uma

aplicac¸˜ao multilinear

T :X(M)×X(M)×. . ._×X(M) | {z }

rf atores

−→D(M).

Isso quer dizer que dadosX1, X2, . . . , Xr ∈X(M), T(X1, . . . , Xr)é uma função

diferenci´avel emM,e queT ´e linear em cada argumento.

Definição 1.8 Para cadaZ _∈X(M)a derivada covariante é definida por

∇ZT(X1, . . . , Xr) = ∇T(X1, . . . , Xr, Z),

onde_∇T ´e a diferencial covariante definida por

∇T(X1, . . . , Xr, Z) = Z(T(X1, . . . , Xr))−T(∇ZX1, X2, . . . , Xr). . .

(14)

Definição 1.9 Dizemos que um conjunto de campos de vetores_{e1, e2, . . . , en} é

um referencial ortonormal local emM,quando em cada pontop_∈M,_{ei(p)_}´e uma base ortonormal do plano tangenteTpM.

Definição 1.10 Dadop _∈ M, existe uma vizinhançaU _⊂ M dep e campos de vetoresE1, . . . , Enem X(U), ortonormais em cada ponto deU, tais que

∇EiEj(p) = 0.Uma tal fam´ıliaE1, . . . , En de campos de vetores ´e chamada um

referencial(local) geod´esico emp.

Definição 1.11 SejaM uma variedade Riemanniana ef :M _−→R_{uma função}

diferenci´avel. Definimos o gradiente def, denotado porgrad f _∈X(M),o ´unico campo vetorial sobreM tal que

hgrad f, X_i=df(X), _∀X _∈X(M).

Proposição 1.2 Se_{e1, . . . , en}é um referencial ortonormal local emM,então,

grad f =

n

X

i=1

ei(f)ei.

Demonstrac¸˜ao:De fato, sendograd f =

n

X

i=1

αiei,temos que

ej(f) =_hgrad f, ej_i=D

n

X

i=1

αiei, ejE=αj

Logo,

grad f =

n

X

i=1

ei(f)ei.

Definic¸˜ao 1.12 SejamΩ _⊂ Rn_{um dom´ınio e}_a _{: Ω} _→ Rn2 _{uma matriz, dizemos}

ent˜ao quea ´e positiva definida se para quase todox_∈Ωtivermos

(15)

Lema 1.2 Sec0xm +c1xm−1y+. . .+cmym = 0tem todas suas raizes x_y reais,

então o mesmo é verdade para todas as equações não identicas obtidas pela sua

diferenciação parcial com respeito a x e y. Além disso, se E é qualquer uma

dessas equações, e tem uma raizα,entãoαé também uma raiz, de multiplicidade

maior que1,da equação cujoE foi derivado por diferenciação.

A demonstrac¸˜ao deste lema encontra-se em [7].

Proposição 1.3 Sea1, . . . , ansãonnúmeros reais positivos ou negativos,P0 = 1,

ePré a média aritmétrica dos produtos der a′_s_{diferentes, então}_Pr

−1Pr+1 ≤Pr2

parar = 1, . . . , n₋1,a menos que todos osa′ssejam iguais.

Demonstrac¸˜ao:Seja

f(x, y) = (x+a1y). . .(x+any) = P0xn+

n

1

P1xn−1y+. . .+Pnyn.

Como ai ₆= 0, _∀ i = 1, . . . , n temos Pn = X

i1<...<in

ai₁. . . ain = a1. . . an 6= 0

já que Cnn = 1e portanto xy = 0não é raiz de f, já que, x

y = 0 ⇒ x = 0, y 6=

0 _⇒ f(0, y) = Pnyn ₆_{= 0}_._{Assim pelo lema anterior,} x

y = 0n˜ao pode ser uma

raiz múltipla de qualquer das equações derivadas. Logo dois P′s consecutivos,

tais comoPr ePr+1n˜ao podem ser zero. Pois, caso contr´ario, x_y = 0seria raiz da

equac¸˜ao

Pr₋1x2+Prxy+Pr+1y2 = 0 (1.1)

obtida def por uma série de diferenciações, contradizendo o lema. Temos ainda

para x_y ₆= 0,

f(x, y) = ynx y +a1

_x

y +a2

. . .x y +an

= 0_⇔ x

y =−ai ∈R

logo, f tem todas suas ra´ızes reais x_y. Conclu´ımos ent˜ao pelo lema que (1.1)

(16)

Definição 1.13 Seja(U, ϕ)um sistema de coordenadas com funções coordenadas

x1, . . . , xm e seja p ∈ U. Para cada i ∈ {1, . . . , m}, definimos um campo de

vetores tangentes _∂x∂

i

p ∈Mppor

_∂

∂xi

p

(f) = ∂(f ◦ϕ− 1₎

∂ri

ϕ(p)

.

para cada funçãof cujo éC∞em uma vizinhança dep.

Teorema 1.3 Seja X um campo vetorial C∞_{em uma variedade} _M. _{Para cada}

m _∈M existea(m)eb(m)emRS_{±∞}_,_{e uma curva suave}

γm : (a(m), b(m))_→M (1.2)

tais que

(a) 0∈(a(m), b(m))eγm(0) =m.

(b) γm ´e uma curva integral deX.

(c) Seµ: (c, d)→M é uma curva suave satisfazendo as condições (a) e (b), então(c, d)_⊂(a(m), b(m))eµ=γm₍_c,d₎.

Definição 1.14 Para cadat_∈R_,_{definimos uma transformação}_Xt_com

dom´ınio

Dt={m ∈M;t ∈(a(m), b(m))}

por

Xt(m) =γm(t).

(d) Para cadam _∈M,existe uma vizinhaça abertaV deme umε >0tais que a aplicação

(t, p)_7→Xt(p)

(17)

(e) Dt ´e aberto para cadat.

(f) [

t>0

D_t=M.

(g) Xt:D_t_→D₋_t ´e um difeomorfismo com inversaX₋t.

(h) Sejasetnúmeros reais. Então o dom´ınio deXs_◦Xtestá contido, mas geralmente não é igual aD_s₊t.No entanto, o dom´ınio deXs_◦Xt éD_s₊_t nos casos em quesettêm ambos o mesmo sinal. Além disso, no dom´ınio

deXs_◦Xtnos temos

Xs_◦Xt =Xs+t.

A demonstrac¸˜ao deste teorema encontra-se em [14].

Proposição 1.4 Sejam p _∈ Mm _e _X _{um campo vetorial suave em} _M _{tais que} X(p) ₆= 0.Então existe um sistema de coordenadas(U, ϕ)com funções coorde-nadasx1, . . . , xm em uma vizinhança dep, tais que

X

U =

∂ ∂x1

U.

Demonstração:Escolha um sistema de coordenadas(V, τ)centradop, com funções coordenadasy1, . . . , ym,tais queXp = _∂y∂₁

p.

Temos pelo teorema anterior item (d) que existem um ε > 0 e uma vizinhac¸a

W de origem em Rm−1 _{tais que a aplicac¸˜ao} _σ _{: (}₋_{ε, ε}₎ _× _W _→ _M _dada

por σ(t, a2, . . . , am) = Xt(τ−1(0, a2, . . . , am)) est´a bem definida e ´e suave em (t, a2, . . . , am)∈(−ε, ε)×W ⊂Rm.

Sendodσ ∂ ∂r1

0

= Xp = ∂ ∂y1

p e dσ

∂ ∂ri

0

= ∂

∂yi

p parai ≥ 2temos que Ker(dσ) =_{0_}, e, portanto pelo Teorema da Func¸˜ao Inversa temos queϕ =σ−1

(18)

coordenadas do sistema de coordenadas(U, ϕ).Temos então pela definição (1.13) que

∂ ∂r1

(xi_◦σ)

(t,a2,...,am)

= ∂

∂r1

(xi_◦ϕ−1)

(t,a2,...,am)

= ∂xi

∂x1

Xt(τ−1(0,a2,...,am))

=δi1,

logo

Xσ(t,a2,...,am) = dσ

_∂

∂r1

(t,a2,...,am)

= m X i=1 ∂ ∂r1

(xi_◦σ)

(t,a2,...,am)

∂ ∂xi

σ(t,a2,...,am)

= m X i=1 δi1 ∂ ∂xi

σ(t,a2,...,am)

= ∂

∂x1

σ(t,a2,...,am)

. Portanto, X U = ∂ ∂x1 U .

1.2 Imers˜oes Isom´etricas

Definição 1.15 (Imersões Isométricas) SejamMm_e_Nn_{variedades diferenciáveis.}

Uma aplicação diferenciável f : M _−→ N é umaimersão se dfp : TpM _−→ Tf(p)N é injetiva para todop ∈ M(m ≤ n).Se, além disso, f é um

homeomor-fismo sobref(M)_⊂ N, onde f(M)tem a topologia induzida porN, diz-se que

f é ummergulho. CasoM _⊂N e a inclusãoi:M ֒_→N é um mergulho, diz-se queM é umasubvariedade deN.

Definic¸˜ao 1.16 (Isometria) SejamM eN variedades Riemannianas. Um

difeomorfismo f : M _→ N ( isto é,f é uma bijeção diferenciável com inversa diferenciável) é chamado umaisometriase :

hu, v_ip =hdfp(u), dfp(v)if(p)

(19)

Observação 1.1 Se f : Mn _→ Mn+m é uma imersão de uma variedade diferenciável M em uma variedade Riemanniana M então a métrica

Rieman-niana deM induz de maneira natural uma m´etrica Riemanniana emM dada por

hv1, v2ip =hdfp(v1), dfp(v2)if(p)parav1, v2 ∈ TpM. Desta forma,f passa a ser

uma imersão isométrica de M em M. Como, pela forma local das imersões,

dado p _∈ M existe uma vizinhança U _⊂ M de p tal que f(U) ⊂ M é uma subvariedade de M, é comum identificarmosU _≈ f(U)e assim considerarmos a decomposição: TpM = TpM _⊕(TpM)⊥_{, onde} ₍_TpM₎⊥ _{é o complemento}

or-togonal de TpM em TpM. Assim, dado v _∈ TpM, p _∈ M podemos escrever

v =v⊤₊_vN_{, onde}_v_⊤ _∈_TpM _e_vN _∈₍_TpM₎_⊥_.

Indicaremos por _∇, a conexão Riemanniana de M . Se X e Y são campos locais de vetores em M, e X, Y são extensões locais a M, definimos _∇XY =

(_∇_XY)⊤_{, onde esta ´e relativa a m´etrica induzida de}_M. _{Queremos definir a}

se-gunda forma fundamental da imersão f : M _−→ M. Para isto introduziremos previamente a seguinte definição;

Definição 1.17 Sejaf :M _−→M uma imersão. Dados campos locais

X, Y _∈M, a aplicac¸˜aoB :X(M)×X(M)−→X(M)⊥_{dada por}

B(X, Y) = ∇XY − ∇XY

´e um campo local emM normal aM.

Esta provado em [do Carmo p. 140]que B(X, Y)nao depende das extens˜oesX,

Y, logoB(X, Y)est´a bem definido.

Proposição 1.5 SeX, Y _∈X(M), a aplicaçãoB :X(M)_×X(M)_−→X(M)⊥

dada por

B(X, Y) = _∇_XY _{− ∇}XY

(20)

Demonstrac¸˜ao:DadosX, Y, Z, W _∈X(M)ef _∈D(M)temos que:

·B(X+Y, Z+W) = _∇_X₊_YZ +W _{− ∇}(X+Y)(Z+W)

= _∇_XZ +W +_∇_YZ+W _{− ∇}X(Z+W)− ∇Y(Z+W)

= _∇_XZ _{− ∇}XZ+∇XW − ∇XW +∇YZ − ∇YZ +∇YW − ∇YW

= B(X, Z) +B(X, W) +B(Y, Z) +B(Y, W).

·B(f X, Y) =∇f XY − ∇f XY =f∇XY −f∇XY,

mas emM temosf =f, logo

B(f X, Y) = f(_∇_XY _{− ∇}XY) = f B(X, Y)

·B(X, f Y) =_∇Xf Y − ∇X(f Y) =X[f]Y +f∇XY −X[f]Y −f∇XY,

como emM temosf =f,X =X eY =Y logo

B(X, f Y) = X[f]Y ₋X[f]Y +f(∇XY − ∇XY) =f B(X, Y),

PortantoB é bilinear. Para mostrar queB é simétrica, utilizaremos a simetria da

conex˜ao Riemanniana, isto ´e,[X, Y] =∇XY − ∇YXe[X, Y] =∇XY − ∇YX,

logo

B(X, Y) = ∇XY − ∇XY = [X, Y] +∇YX−[X, Y]− ∇YX

= ∇YX− ∇YX =B(Y, X),

j´a que emM, temos[X, Y] = [X, Y].

Corolário 1.4 Sejap_∈Meη _∈(TpM)⊥_._{A aplicação}_Hη _:_TpM_×_Tp_M _−→R_,

dada por

Hη(x, y) =_hB(x, y), η_i

(21)

Definição 1.18 (Segunda Forma Fundamental ) A forma quadráticaIIηdefinida

emTpM por

IIη(x) = Hη(x, x)

´e chamada a Segunda Forma Fundamental def empsegundo o vetor normalη.

Observe que a aplicaçãoHη fica associada a uma aplicação linear auto-adjunta

Aη :TpM _−→TpM por

hAη(x), y_i=Hη(x, y) =_hB(x, y), η_i. (1.3)

Proposição 1.6 Seja p _∈ M, x _∈ TpM e η _∈ (TpM)⊥_{. Seja}_N _{uma extensão}

local deηnormal aM. Ent˜ao

Aη(x) =₋(_∇xN)⊤

Demonstração: Sejay _∈TpM eX, Y extensões locais dex, y, respectivamente, e tangentes aM. SendoN normal a M temos_hY, N_i = 0,logo da compatibili-dade da métrica, temos

0 =X_hY, N_i=_h∇XY, Ni+hY,∇XNi,

ou seja,_h∇XY, Ni=−hY,∇XNi.Como∇XY = (∇XY)⊤ temos que

h∇XY, Ni= 0, portanto

hAη(x), y_i = _hB(X, Y)(p), N_i=_h∇XY − ∇XY, Ni(p)

= _h∇XY, Ni(p)− h∇XY, Ni(p)

= _−hY,_∇XNi(p) =hy,−∇xNi

= _hy,₋(_∇xN)⊤₋₍_∇_xN₎⊥_i

= _hy,₋(_∇xN)⊤_i₊_h_y,₋₍_∇_xN₎⊥_i

(22)

∀y_∈TpM.Logo

Aη(x) = ₋(_∇xN)⊤.

Definic¸˜ao 1.19 SejamM uma variedade Riemanniana eX _∈X(M).Sejap_∈M

e sejam U _⊂ M uma vizinhança de p, e ϕ : (₋ε, ε)_×U _→ M uma aplicação diferenciável tais que para todo q _∈ U a curva t _→ ϕ(t, q) é a trajetória de

X passando por q emt = 0. ( U e ϕ são dados pelo teorema fundamental das equações diferenciais ordinárias. ) X é chamado umcampo de Killing(ou

uma isometria infinitesimal) se, para todot0 ∈(−ε, ε),a aplicac¸˜ao

ϕ(t0) :U _⊂M _→M ´e uma isometria.

1.3 Variedade Produto

Proposição 1.7 Sejam Mm _e_Nn _{variedades diferenciáveis e sejam}_{₍_{Uα, xα}₎_}_,

{(Uβ, yβ)} estruturas diferenciáveis de M e N, respectivamente. Considere o produto cartesiano M _×N e a aplicação ϕαβ(p, q) = (xα(p), yβ(q)), p _∈ Uα,

q _∈Vβ.Ent˜ao valem os seguintes itens:

(i)_{(Uα_×Vβ, ϕαβ)_}´e uma estrutura diferenci´avel emM _×N;

(ii) As projeçõesπ1 :M ×N →M eπ2 :M ×N →N são diferenciáveis.

Demonstrac¸˜ao:Prova de (i) :

As aplicações ϕαβ : (Uα _×Vβ) _⊂ Rm _×_Rn _→ _M _× _N _{são injetivas, já que} ϕαβ = (xα, yβ),exα, yβ são injetivas. Sendo _{(Uα, xα)}, _{(Uβ, yβ)}estruturas diferenciáveis deM eN, respectivamente temos queM =[

α

xα(Uα)e

N =[

β

yβ(Vβ),e portanto,M _×N =[

α,β

(xα(Uα),yβ(Vβ)) =[

α,β

ϕαβ(Uα_×Vβ).

Sejam (α1, β1) e (α2, β2) tais que ϕα1β1(Uα1 × Vβ1)

T

ϕα2β2(Uα2 × Vβ2) 6= ∅.

(23)

para W1 = (xα1(Uα1), xα2(Uα2))e W2 = (yβ1(Vβ1), yβ2(Vβ2)). Sendo x−

1

αi(W1)

aberto deRm_e_y−1

βj(W2)aberto deR

n_,_para₁_≤_{i, j} _≤₂_,_{temos que} ϕ−_α1

iβi(W1×W2) = (x

−1

αi(W1), y

−1

βi (W2))´e aberto de

Rm_×_Rn_{, i}_{∈ {}₁_,₂_}_._Como x−_α₂1 _◦xα1 e y−

1

β2 ◦yβ1, s˜ao diferenci´aveis, segue-se queϕ

−1

α2β2 ◦ϕα1β1 = (x

−1

α2 ◦

xα₁, y_β−₂1 _◦yβ₁) é diferenciável. Concluimos então que _{(Uα _×Vβ, ϕαβ)} é uma estrutura diferenciável emM _×N.

Prova de (ii): Dado (p, q) ∈ M _×N e xα : Uα _→ M uma parametrizac¸˜ao em

p=π1(p, q),considereϕαβ :Uα×Vβ →M ×N uma parametrizac¸˜ao de(p, q).

Temos ent˜ao quex−1

α ◦π1◦ϕαβ :Uα×Vβ →Uα e

x−α1◦π1◦ϕαβ(xα−1(p), yβ−1(q)) =x−

1

α ◦π1◦ϕαβ◦ϕ−αβ1(p, q) =x−

1

α ◦π1(p, q) = x−α1(p),

logo, x−1

α ◦π1 ◦ϕαβ é a restrição da projeção π1 : M ×N → M a Uα × Vβ,

que é diferenciável, já que x−α1 o é. Analogamente conclu´ımos que a projeção π2 :M ×N →N é diferenciável.

Proposic¸˜ao 1.8 Sejam M e N variedades Riemannianas e considere o produto

cartesianoM_×N com a estrutura diferenci´avel produto. Sejamπ1 :M×N →M

e π2 : M × N → N as projeções naturais. Então fica definida uma métrica

Riemanniana emM _×N da seguinte maneira:

hu, v_i(p,q) :=hdπ1(u), dπ1(v)ip+hdπ2(u), dπ2(v)iq

para todo(p, q)_∈M _×N eu, v _∈T(p,q)(M ×N).

Demonstração:A prova decorre diretamente da linearidade das aplicaçõesdπ1, dπ2

(24)

Transformac¸˜ao de Newton e

Operador

L

_r

2.1 As Transformac¸˜oes de Newton

SejamMm+1 uma variedade Riemanniana orientada (m + 1)-dimensional e sejaΣm _{uma variedade Riemanniana orient´avel}_m_{-dimensional. Suponha}

x: Σ_−→Muma imersão isométrica. Escolha um campo normal unitárioNpara

Σe considere o operador forma Aassociado com a segunda forma fundamental de Σ, definido por (1.1). Sejamλ1, λ2, . . . , λm os autovalores de A. A r-´esima

função simétrica deλ1, λ2, . . . , λr, denotada porSr é definida como

Sr=           

1, se r= 0 X

i1<...<ir

λi1. . . λir, se1≤r≤m

0, se r > m

(2.1)

Definição 2.1 Com as notações acima, Hr = Sr

Cr

m, r = 1, . . . , m ´e chamado de

r-´esima curvatura m´edia dex.

(25)

Particularmente,H1 =

m

X

i=1

λi

m é a curvatura média;Hm =λ1. . . λm é a curvatura

de Gauss- Kronecker.

Definição 2.2 As transformações de NewtonTr : X(Σ) −→ X(Σ)são definidas porTr =

  

I, se r = 0

SrI₋Sr₋1A+. . .+ (−1)rAr, se r= 1, . . . , m

Proposic¸˜ao 2.1 Prove, parar= 1, . . . , m, os seguintes itens:

(i) Tr=SrI₋ATr₋1;

(ii) O operadorTrcomuta comA, isto ´e,TrA =ATr;

(iii) O operadorTr ´e auto-adjunto;

(iv) Tr ´e sim´etrico.

Demonstrac¸˜ao:

Item(i): Temos por definic¸˜ao que:

Tr = SrI₋Sr₋1A+Sr−2A2−. . .+ (−1)r−1S1Ar−1+ (−1)rAr = SrI₋A(Sr₋1I−Sr−2A+. . .+ (−1)r−2S1Ar−2+ (−1)r−1Ar−1) = SrI₋ATr₋1.

Item(ii): Provaremos por induc¸˜ao sobrer. Parar = 0, temosT0A = IA =A =

AI =AT0.Suponha queTr−1A=ATr−1.Assim

ATr =A(SrI₋ATr₋1) = A(SrI₋Tr₋1A) = SrA−ATr−1A= (SrI−ATr−1)A=TrA.

Item (iii): Usando induc¸˜ao sobrertemos, parar= 0, T0 =I,logo

(26)

∀X, Y _∈X(Σ).Suponha que vale_hTr₋1X, Yi=hX, Tr−1Yi.SendoAum

oper-ador auto-adjunto, obtemos: _∀X, Y _∈X(Σ)

hTrX, Y_i = h(SrI₋ATr₋1)X, Y_i

= hSrX, Y_{i − h}ATr₋1X, Yi = hX, SrY_{i − h}Tr₋1X, AYi = hX, SrY_{i − h}X, Tr₋1AYi = hX,(SrI₋Tr₋1A)Yi = hX, TrY_i.

Portanto_hTrX, Y_i=_hX, TrY_i,_∀X, Y _∈X(Σ).

Item(iv): O operador Tr ´e sim´etrico se, e somente se, [Tr]β em qualquer base

ortonormal β de X(Σ) ´e uma matriz sim´etrica. Dada uma base ortonormal de

X(Σ), temos que a matriz do operadorTr é dada por[Tr] = (_hTrei, ej_i), logo para que[Tr]seja simétrica devemos ter[Tr] = [Tr]⊤, onde[Tr]⊤ é a matriz transposta de Tr, ou ainda _hTrei, ej_i = _hTrej, ei_i, _∀ i ₆= j em _{1, . . . , m_}. Mas isso se verifica pois pelo item anterior Tr é auto-adjunto. Sejame1, . . . , em as direções

principais correspondentes respectivamente as curvaturas principais λ1, . . . , λm.

Para i = 1, . . . , m, seja Ai a restrição da transformação A sobre o subespaço

(m₋1)-dimensional normal aei, e sejaSr(Ai)a função simétrica associada aAi, logo

X

i1<...<ir

λi1. . . λir,

paraij ₆= i, j = 1, . . . , r.Note que fixadoi = 1, . . . , mpodemos dividir a soma

Sr em duas parcelas, uma onde λi aparece e outra não. AssimSr = A+λiB, ondeA = Sr(Ai)e por outro lado B é a soma cujas parcelas são soma de todos os produtos der₋1curvaturas principais, excetoλi.Logo

(27)

Proposic¸˜ao 2.2 Para0≤r_≤m,1≤i_≤m,temos (i) Tr(ei) = ∂Sr+1

∂λi ei =Sr(Ai)ei.

(ii) (m₋r)Sr =tr(Tr) =

m

X

i=1

Sr(Ai).

(iii) (r+ 1)Sr+1 =tr(ATr) =

m

X

i=1

λiSr(Ai).

(iv) S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2 =tr(A2Tr) =

m

X

i=1

λ2_iSr(Ai). Demonstrac¸˜ao:

Item (i): Provaremos por induc¸˜ao sobre r. Para r = 0, temosT0(ei) = I(ei) =

ei = 1ei =S0(Ai)ei.Suponha verdadeTr₋1(ei) =Sr₋1(Ai)ei.Assim

Tr(ei) = (SrI₋ATr₋1)(ei) = SrI(ei)−ATr₋1(ei)

= (Sr(Ai) +λiSr₋1(Ai))I(ei)−ATr₋1(ei) = Sr(Ai)ei+λiSr₋1(Ai)ei₋A(Sr₋1(Ai)ei) = Sr(Ai)ei+λiSr₋1(Ai)ei₋Sr₋1(Ai)A(ei) = Sr(Ai)ei+λiSr₋1(Ai)ei₋λiSr₋1(Ai)ei

= Sr(Ai)ei.

Logo _∀ r _{∈ {}1, . . . , m_}, temos Tr(ei) = Sr(Ai)ei. Para provarmos a segunda igualdade usaremos o fato de que Sr+1(Ai) e Sr(Ai) n˜ao dependem deλi,logo

∂

∂λi(Sr+1(Ai)) =

∂

∂λi(Sr(Ai)) = 0,assim

∂

∂λiSr+1ei = ∂ ∂λi

h

Sr+1(Ai) +λiSr(Ai)iei

= h ∂

∂λiSr+1(Ai) + ∂

∂λi(λiSr(Ai))

i

ei

= h ∂

∂λi(λi)Sr(Ai) +λi ∂

∂λi(Sr(Ai))

i

ei

(28)

Conclu´ımos ent˜ao queTr(ei) = ∂Sr+1

∂λi ei =Sr(Ai)ei.

Item (ii): A matriz [Tr] na base formada pelas direções principais é dada por

[Tr] = (aij), ondeaij =hTr(ei), ej_i, para1≤i, j _≤m.Assim pelo item anterior obtemos:

tr(Tr) =

m X i=1 aii = m X i=1

hTr(ei), ei_i

=

m

X

i=1

hSr(Ai)ei, ei_i=

m

X

i=1

Sr(Ai)hei, ei_i

=

m

X

i=1

Sr(Ai)

Sendo ent˜aotr(Tr) =

m

X

i=1

Sr(Ai),temos quetr(Tr) =

m

X

i=1

Sr(Ai) =

m

X

i=1 X

i1<...<ir

λi₁. . . λir,

paraij ₆=i. Portanto

tr(Tr) = (m₋r) X

i1<...<ir

λi₁. . . λir = (m−r)Sr

Item (iii): SendoTr+1 =Sr+1I −ATrtemos queATr=Sr+1I−Tr+1 logo pelo

item (ii) temos que:

tr(ATr) = trhSr+1I−Tr+1 i

=Sr+1tr(I)−tr(Tr+1) (ii)

= mSr+1−

m

X

i=1

Sr+1(Ai)

= mSr+1−

m

X

i=1 h

Sr+1−λiSr(Ai) i

=mSr+1−mSr+1+

m

X

i=1

λiSr(Ai)

=

m

X

i=1

λiSr(Ai).

Como pelo item (ii),(m₋(r+ 1))Sr+1 =tr(Tr+1)temos que

tr(ATr) = trhSr+1I−Tr+1 i

=Sr+1tr(I)−tr(Tr+1) (ii)

= mSr+1−(m−(r+ 1))Sr+1 = mSr+1−mSr+1+ (r+ 1)Sr+1

(29)

Item (iv): SendoTr+1 =Sr+1I−ATr temosATr+1=Sr+1A−A2Trlogo,

tr(A2Tr) = tr[Sr+1A−ATr+1] =Sr+1tr(A)−tr(ATr+1) (iii)

= S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2.

Por outro lado, sendoSr+1(Ai) = Sr+1−λiSr(Ai)temos

λiSr+1(Ai) =λiSr+1−λi2Sr(Ai).

Logo

m

X

i=1

λi2Sr(Ai) =

m

X

i=1 h

λiSr+1−λiSr+1(Ai) i

= Sr+1

m

X

i=1

λi₋ m

X

i=1

λiSr+1(Ai) (iii)

= S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2.

Dado o tensor Transformac¸˜ao de NewtonTr emΣtemos

(∇XTr)(Y) =∇X(TrY)−Tr(∇XY). Proposição 2.3 Para todoX _∈X(Σ)vale a seguinte equação

X(Sr) = tr(Tr₋1∇XA).

Demonstrac¸˜ao: Seja e1, e2, . . . , em um referencial ortonormal local emΣm que

diagonaliza o operadorA em um pontop _∈ Σ.Denotemos porAi1i2...ir _{a matriz}

r_×robtida quando consideramos apenas linhas e colunas de ordemi1, . . . , irde

A no referencial e1, e2, . . . , em; e por vji1...ir, j = 1, . . . , r, a j-´esima coluna da

matrizAi1i2...ir_._Temos

Sr = X

i1<...<ir

det(Ai1i2...ir₎

= X

i1<...<ir

det(vi1i2...ir

i1 , v

i1i2...ir

i2 , . . . , v

i1i2...ir

(30)

Assim

X(Sr) = X

i1<...<ir

X(det(vi1i2...ir

i1 , . . . , v

i1i2...ir

ir )).

Mas

X(det(vi1i2...ir

i1 , . . . , v

i1i2...ir

ir )) =

r

X

j=1

det(vi1i2...ir

i1 , . . . , X(v

i1i2...ir

ij ), . . . , v

i1i2...ir

ir ),

que emp´e igual a

r

X

j=1

λi1. . . X(aijij). . . λir.

Temos tamb´em

(_∇XA)(ei) = ∇X(Aei)−A(∇Xei)

= _∇X

_Xm

k=1

akiek₋A

m

X

j=1

h∇Xei, ejiej

=

m

X

k=1

∇X(akiek)− m

X

j=1

h∇Xei, eji m X s=1 asjes = m X k=1

(X(aki)ek+aki_∇Xek)− m X j=1 m X s=1

h∇Xei, ejiasjes

=

m

X

k=1

X(aki)ek+aki m

X

l=1

h∇Xek, eliel

− m X j=1 m X s=1

h∇Xei, ejiasjes

=

m

X

k=1

X(aki)ek+

m X l=1 m X k=1

aik_h∇Xek, eliel− m X s=1 m X j=1

(31)

Emptemos

tr(Tr₋1∇XA) = m

X

i=1

hTr₋1((_∇XA)ei), eii

=

m

X

i=1

h(∇XA)ei, Tr₋1eii =

m

X

i=1

h(∇XA)ei, Sr₋1(Ai)eii =

m

X

i=1 D_Xm

k=1

X(aki)ek+

m

X

l,k=1

aik_h∇Xek, eliel− m

X

s,j=1

h∇Xei, ejiasjes, Sr₋1(Ai)ei

E = m X i=1

X(aii) +

m

X

k=1

h∇Xek, eiiaki− m

X

j=1

h∇Xei, ejiaij

Sr₋1(Ai)

=

m

X

i=1

X(aii)Sr₋1(Ai) +

m

X

i=1 _Xm

k=1

X

j=1

h∇Xei, ejiaij

Sr₋1(Ai).

Mas, emp

m

X

i=1 _Xm

k=1

X

j=1

h∇Xei, ejiaij

Sr₋1(Ai) = 0,

pois,aij =   

λii, se i=j

0, se i₆=j

.

Logo

tr(Tr₋1∇XA) = m

X

i=1

X(aii)Sr₋1(Ai)

=

m

X

i=1

X(aii) X

i1<...<ir,ij6=i

λi1. . . λir

= X

i1<...<ir

m

X

j=1

λi1. . . X(aijij). . . λir

= X(Sr),

(32)

Proposição 2.4 Para cadar(1≤ r _≤m),seH1, H2, . . . , Hrsão não negativos,

ent˜ao:

(i) Hr₋1Hr+1 ≤Hr2;

(ii) H1Hr ≥Hr+1, ondeH0 = 1eHm+1 = 0;

(iii) H1 ≥H

1 2

2 ≥. . .≥H

1

r

r.

Demonstrac¸˜ao:

Item (i): Proposic¸˜ao 1.3

Item (ii): Provaremos por induc¸˜ao sobre r. Para r = 0, temos H1H0 = H1 =

H0+1.ParaHr > 0,∀r,suponha valerH1Hr−1 ≥ Hr.SendoHr >0temos que

pelo item anterior que

H1Hr−1Hr ≥Hr2 ≥Hr−1Hr+1,

e, portanto,H1Hr ≥Hr+1.No caso em queHr = 0,para algum r, temos: Hr =

Sr

Cr

m = 0 ⇒ Sr =

X

i1<...<ir

λi1. . . λir = 0. Como Sr+1 =

X

i1<...<ir+1

λi1. . . λir+1

pode ser reescrito por

Sr+1 = X

j

λj X

i1<...<ir

λi1. . . λir =

X

j

λj0 = 0_⇒Hj = 0_∀j _≥r,

logoH1Hr = 0 =Hr+1.Em qualquer casoH1Hr ≥Hr+1.

Item (iii): Provaremos por induc¸˜ao sobrerqueH

1

r

r ≥H

1

r+1

r+1,∀r.Parar = 1, temos

pelo item anterior que H₁2 _≥ H2 ⇒ H1 ≥ H

1 2

2. Suponha verdadeH

1

r−1

r−1 ≥ H

1

r

assim,Hr₋1 ≥H

r−1

r

r .Temos pelo item (i) e pela hipotese de induc¸˜ao que:

H_r2 _≥Hr₋1Hr+1 ≥H

r−1

r

r Hr+1 =H

1−1r

r Hr+1

Hr>0

⇒ Hr _≥H−

1

r

r Hr+1

Logo,

H

r+1

r

r =HrH

1

r

r ≥H

1

r

r.H−

1

r

(33)

e, portanto

H

1

r

r ≥H

1

r+1

r+1,∀r.

SeHj = 0, para algumj, temos queHi = 0_∀i _≥j,e logo a partir destej vale a igualdade. Portanto conclu´ımos que

H1 ≥H

1 2

2 ≥. . .≥H

1

r

r.

Definição 2.3 Dada uma função f em _C2(Σ) para p _∈ Σ, o operador linear Hessiano def é definido por

Hessf(X) =∇X(∇f), X ∈TpΣ,

onde_∇´e a conex˜ao induzida emΣ.

Com os operadores Tr eHess, podemos definir o operador diferencialLr como

segue:

Definic¸˜ao 2.4 Dadof _{∈ C}2_(Σ)_,₀_≤_r _≤_m,

Lr(f) =trTrHessf.

Dado p _∈ Σ, considere um sistema de coordenadas ortonormal de Σem pcom func¸˜oes coordenadasx1, . . . xm.Assim∇f =

m

X

i=1

∂ ∂xi(f)

∂

∂xi, logo,

Hessf ∂

∂xj

= ∇ ∂

∂xj(∇f) = ∇ ∂ ∂xj

_Xm

i=1

∂ ∂xi(f)

∂ ∂xi = m X i=1 _∂f

∂xi∇∂xj∂

∂

∂xi +

∂ ∂xj

∂(f)

∂xi ∂ ∂xi = m X i=1

(34)

Assim

TrHessf ∂

∂xj = m X i=1

∂2f ∂xj∂xiTr

_∂ ∂xi + m X i,k=1 ∂f ∂xiΓ k jiTr _∂ ∂xk = m X i=1

_∂2_f

∂xj∂xi + m X k=1 ∂f ∂xkΓ i jk

Tr ∂

∂xi

.

Temos ent˜ao que

Lrf(p) = tr(TrHessf)(p) =

m

X

j=1 D

TrHessf ∂

∂xj , ∂ ∂xj E = m X j,i=1

_∂2_f

∂xj∂xi + m X k=1 ∂f ∂xkΓ i jk D

Tr ∂

∂xi , ∂ ∂xj E = m X j,i=1 D Tr _∂ ∂xi , ∂ ∂xj

E _∂2_f

∂xj∂xi + m X i,j,k=1 D Tr _∂ ∂xi , ∂ ∂xj E_∂f ∂xkΓ i jk.

Afirmo queLr ´e el´ıptico se, e somente se,Tr ´e positivo definido. Com efeito,

supondoLrel´ıptico temos por definic¸˜ao que existeθ > 0tal que

X i,j D Tr ∂ ∂xi , ∂ ∂xj E

(p)vivj _≥θ_|v_|2,

para quase todo p _∈ Σ e_∀v _∈ TpΣ.Para provarmos que Tr é positivo definido devemos mostrar por definição que v⊤_ar₍_p₎_{v >} ₀_, _{para quase todo} _p _∈ _Σ _e

∀ v _∈ TpΣ, v ₆= 0, onde ar(p) ´e a matriz do operador Tr. Mas note que, dado

p_∈Σev =

n

X

i=1

vi ∂

∂xi ∈TpΣ

v⊤a_r(p)v= [v1. . . vn]      D Tr ∂ ∂x1 , ∂ ∂x1 E

. . . DTr ∂ ∂x1 , ∂ ∂xn E .. . ... ... D Tr ∂ ∂xn , ∂ ∂x1 E

. . . DTr ∂ ∂xn , ∂ ∂xn E           v1 .. . vn      = n X i,j D Tr ∂ ∂xi , ∂ ∂xj E

(p)vivj _≥θ_|v_|2 >0,

(35)

Reciprocamente seTr ´e positivo definido ent˜aoSr(Ai) > 0 ∀i = 1, . . . , ne portantomin_{Sr(Ai)_}>0,logo

n

X

i,j

D

Tr ∂

∂xi

, ∂

∂xj

E

(p)vivj = _hTr(v), v_i=DTr n

X

i

e

viei, n

X

j

e

vjejE

=

n

X

i,j

e

vivj_e_hTr(ei), ej_i=

n

X

i,j

e

vivj_eSr(Ai)hei, ej_i

≥ min_{Sr(Aj)}

n

X

i,j

e

vivj_e_hei, ej_i

= min_{Sr(Aj)}hv, v_i=min_{Sr(Aj)}|v_|2.

Logo tomandoθ =min_{Sr(Aj)_}temos queLr ´e el´ıptico.

Neste trabalho, o espac¸o ambiente qual estudamos ´e uma variedade produto

(m + 1)₋dimensionalMm _×_R_, _onde _M _{´e uma variedade Riemanniana de}

di-mensãom eΣ é uma hipersuperf´ıcie emM _×R_com_r₋_{ésima curvatura média}

constante positiva, isto ´e,Hr >0constante.

2.2 As Propriedades El´ıpticas do Operador

L

_r

Proposição 2.5 Sejam Mm+1 uma variedade Riemanniana orientada (m + 1) -dimensional eΣm_{uma variedade Riemanniana orientável}_m_{-dimensional conexa.}

Seja x : Σ _−→ M uma imersão isométrica. Se H2 > 0, então o operadorL1 é

eliptico.

Demonstração:SendoL1el´ıptico se, e somente se,T1é positivo definido,

provare-mos então queT1 é positivo definido. Temos pelo item (iii) da proposição 2.3 que

H2

1 ≥ H2,comoH2 > 0,ent˜aoH12 > 0. Mas sendoH1 continua temos queH1

(36)

em p. Podemos encontrar entao um normal N tais que H1 ´e positivo, j´a que,

quando mudamos a orientação o sinal do traço deA é alterado. Sendo

S₁2 =

m

X

i=1

λi2 =

m

X

i=1

λi2+ 2X

i<j

λiλj =

m

X

i=1

λi2+ 2S2,

temos que S2

1 > λ21,∀ i,pois H2 = _CS22

m > 0 ⇔ S2 > 0.Como H1 > 0temos

S1 > 0, logo existe pelo menos i ∈ 1, . . . , m tal que λi > 0, portanto S12 >

λ2

i ⇒Si > λi ⇒ S1(Ai) =S1−λi >0.Sendo, pelo item (i) da proposic¸˜ao 2.2,

T1(ei) =S1(Ai)ei,temos que

hT1ei, eji=S1(Ai)δij ≥0,∀j ∈ {1, . . . , m}.

Mas comoT1 ´e auto-adjunto obtemos:

S1(Aj)_hei, ej_i=_hei, S1(Aj)ej_i=_hei, T1(ej)_i=_hT1(ei), ej_{i ≥}0,_∀j _{∈ {}1, . . . , m_}.

Devemos terS1(Aj)>0,_∀j _{∈ {}1, . . . , m_},pois caso contr´ario , ter´ıamos

S1−λj =S1(Aj) = 0⇒S1 =λj ⇒λi = 0,∀i6=j ⇒S2 = 0,

contradizendo o fato deS2 >0.LogoT1 é positiva definida. Na proxima proposição,

provaremos a elipticidade de Lr quando a hipersuperf´ıcie Σ com r-ésima cur-vatura média positiva tem um ponto el´ıptico ou parabólico.

Proposic¸˜ao 2.6 SejaMm+1uma variedade Riemanniana(m+ 1)-dimensional e

Σm _{uma variedade Riemanniana orient´avel} _m_{-dimensional conexa (com ou sem}

fronteira). Suponha x : Σ −→ M uma imersão isométrica com Hr > 0 para algum1_≤r_≤m.Se existir um ponto interiorpdeΣtais que todas as curvaturas principais em psão não-negativas, então para todo1 ≤ j ≤ r−1,o operador

Lj é el´ıptico, e aj-ésima curvatura médiaHj é positiva.

Demonstração: Sendo Lj el´ıptico se, e somente se, Tj é positivo definido, é

(37)

para todo1 ≤ j _≤ r₋1e1 ≤ i _≤ m.Sejaλ1, . . . , λm as curvaturas principais

de x, logo por hip´otese λi _≥ 0 em p, assim Sk _≥ 0, e portanto Hk _≥ 0,_∀k.

Temos então, pela proposição 2.3 item (iii) que H1 ≥ H

1 2

2 ≥ . . . ≥ H

1

r

r,sendo

Hr > 0, obtemos que Hk > 0, para todo 1 _≤ k _≤ r. Sendo Hr > 0, temos

Sr = X

i1<...<ir

λi₁. . . λir > 0, em p, logo devemos ter pelo menos r curvaturas

principais positivas. Suponhamos por simplicidadeλ1, . . . , λr >0.Portanto, em

p,

Sj(Ai) = X

i1<...<ij,ik6=i

λi₁. . . λij >0.

Logo, por continuidade, existe uma bola B(p) _⊂ Σ centrada em p tais que as func¸˜oesSj(Ai) >0emB(p).SendoΣconexa, temos que dado qualquerq _∈ Σ,

existe um caminho γ(t), t _∈ [0,1], ligandop aq tais que γ(0) = pe γ(1) = q.

Definamos

J =_{t _∈[0,1];Sj(Ai)>0em γ_|_[0,t]}.

Seja t0 = supJ. Sendo Sj(Ai) > 0 emB(p) temos que t0 > 0. Mas note que

Sj(Ai)γ(t) > 0, para todo t ∈ [0, t0),temos por continuidade que Sj(Ai)γ(t0) =

lim

t_−→t−₀

Sj(Ai)γ(t) ≥ 0,isto ´e,Sj(Ai) ≥ 0 emt0.Provaremos que Sj(Ai) > 0em

t0, e assim t0 ∈ J. Consideremos primeiramente j = r − 1. Suponha existir

i_{∈ {}1, . . . , m_}tais queSr₋1(Ai) = 0emt0. Para estei, temos

Sr =λiSr₋1(Ai) +Sr(Ai) =Sr(Ai),

como Sr > 0 emΣ temosSr(Ai) > 0 emt0. SendoSj(Ai) ≥ 0 emt0, temos

Hj(Ai)≥0para1≤j _≤r₋1,eSr(Ai)>0⇒Hr(Ai)>0.Logo conclu´ımos da proposic¸˜ao2.4que

H1(Ai)≥H

1 2

2(Ai)≥. . .≥H

1

r−1

r−1(Ai)≥H

1

r

r (Ai)>0,

e portanto Hr₋1(Ai) > 0 _⇒ Sr₋1(Ai) > 0, contradição. Conclu´ımos então que Sr₋1(Ai) > 0, em t0. Sendo Sr−1(Ai) > 0 e H1(Ai) ≥ H

1 2

(38)

H

1

r

r(Ai) > 0emt0,temos queSj(Ai) > 0em t0, para1 ≤ j ≤ r−1.E ent˜ao

t0 ∈J.Afirmo quet0 = 1, pois caso contr´ario set0 <1,por continuidade, existe

uma bolaB(γ(t0))centrada emγ(t0),tais que,Sj(Ai) > 0emB(γ(t0)), isto ´e, existet1 > t0tal queSj(Ai)>0emt1, contradizendo o fato det0 =supJ.Assim

obtemos que em q, Sj(Ai) > 0. Comoq foi tomado arbitrariamente, temos que

Sj(Ai) > 0emΣ,e assimLj é el´ıptico, _∀1 ≤ j _≤ r₋1.Conclu´ımos ainda da proposição2.2que(m₋j)Sj =

m

X

i=1

(39)

Estimativa de Altura de Gr´aficos

Verticais e Aplicac¸˜ao

Neste capitulo, consideraremos hipersuperf´ıcie em uma variedade produto

(m+ 1)-dimensionalMm _×_R_com_r_{-´esima curvatura m´edia constante positiva.}

Usaremostpara denotar a ultima coordenada emM _×R_.

Definição 3.1 A função altura, denotada porh,deΣemM _×R _{é definida como}

a projeçãot_|_Σ : Σ→R_,_{isto é, se}_p_∈_Σ_{, x}₍_p₎_∈_M _{× {}_t_}_,_então_h₍_p_{) =} _t.

Considerando um sistema de coordenadas ortonormal com func¸˜oes

coorde-nadasx1, . . . xm+1 emptemos que:

∇h(p) =

m_X+1

i=1

∂ ∂xi(h)

∂

∂xi(p) = m

X

i=1

∂ ∂xi(h)

∂ ∂xi(p) +

∂ ∂xm+1

(h) ∂

∂xm+1 (p)

= ∂

∂t(h) ∂ ∂t(p) =

∂ ∂t(p).

Lema 3.1 SejaM uma variedade Riemanniana orientadam-dimensional e seja

Σ uma hipersuperf´ıcie orient´avel imersa em Mm _×_R _{(com ou sem fronteira).}

Ent˜ao

Lr₋1(h) =rSrn,

(40)

onde1≤r _≤m+ 1,hdenota a func¸˜ao altura deΣen =hN, ∂ ∂ti.

Demonstração:Fixep_∈Σ.Seja_{ei_}um referencial ortonormal geodésico deΣ

emp.Assim_∇eiej(p) = 0.Podemos assumir que{ei}são as direções principais

emp, isto é,A(ei)(p) = λiei(p), ondeλisão os autovalores(curvaturas principais) de A em p(este referencial pode ser obtido pela rotação de _{ei_}). Considere a translação verticalΦs :M×R−→M ×Rdada por

Φs(x, t) = (x, t+s).

Dados v, w _∈ T(x0,t0)(M ×R), considere as curvas α : I −→ M × R e β :

J _−→ M _×R_{dadas por} _α₍_r_{) = (}_x₍_r₎_{, t}₍_r₎₎_,_β₍_l_{) = (}_x₍_l₎_{, t}₍_l₎₎_{tais que}_α_{(0) =}

(x0, t0) =β(0),α

′

(0) =v eβ′(0) =wcom0_∈I_∩J.Assim temos que :

d(Φs)(x0,t0)(v) =

d

drΦs(α(r))

r=0 =

d dr

x(r), t(r) +s r=0 = d

drx(r)

r=0,

d drt(r)

r=0+

d drs r=0

= d

drx(r)

r=0,

d drt(r)

r=0

=α′(0) =v

Analogamente,d(Φs)(x0,t0)(w) = w.Logo

hd(Φs)(x0,t0)(v), d(Φs)(x0,t0)(w)iΦs(x0,t0) =hv, wi(x0,t0),

e portanto,Φs ´e uma isometria. Note que:

(i) Φ :R_×₍_M _×R₎_−→_M_×R_onde_Φ(_{s, x, t}_{) = (}_{x, t}₊_s₎_{´e diferenci´avel;}

(ii) _∀s_∈R_{a curva}_s_7−→_Φ(_{s, x, t}₎_{´e a trajet´oria de} ∂

∂t passando por(x, t)em s= 0. De fato, devemos verificar queΦs(x, t) = Φ(s, x, t) ´e o fluxo de _∂t∂,

isto ´e, _∂s∂

Φs(x, t)

= ∂

∂t

Φs(x, t)

.Com efeito, comoxn˜ao depende

nem desnem dettemos :

∂ ∂s

Φs(x, t)

= ∂

∂s

x, t+s= (0,1) = ∂

∂t

x, t+s= ∂

∂t

Φs(x, t)

(41)

Com as observac¸˜oes acima e sendoΦs:M ×R−→M×Ruma isometria,∀s,

temos por definição que _∂t∂ é um campo de Killing. Considere agora emM_×R_a

geod´esica dada pela retaR_{, denotemos ela por}_γ,_assim_γ′ ₌ ∂

∂t e portanto

∇∂ ∂t

∂

∂t =∇γ′γ

′

= 0.Considere um referencial geod´esico_{ei_}m_i₌₁+1 deΣem

p= (p1, . . . , pm, pm+1),e{Ei}mi=1 referencial geod´esico deM em(p1, . . . , pm).

Assim_{E1, . . . , Em,_∂t∂}forma um referencial ortogonal paraM ×R,e portanto

ei =

m

X

j=1

αjEj+β ∂ ∂t.

Logo

∇ei∇h=∇Xm

j=1

αjEj+β ∂ ∂t

_∂t∂ =

m

X

j=1

αj_∇Ej

∂

∂t+β∇∂t∂

∂ ∂t =

m

X

j=1

αj_∇Ej

∂ ∂t.

Mas note que,_∀i, j = 1, . . . , m

D

Ei, ∂ ∂t

E

= 0⇒0 =EjDEi, ∂ ∂t

E

=D∇EjEi,

∂ ∂t

E

+DEi,_∇Ej

∂ ∂t

E

,

e portanto,DEi,_∇Ej

∂ ∂t

E = 0.

E ainda, sendo _∂t∂ campo de Killing temos

D

∇Ej

∂ ∂t,

∂ ∂t

E

+D∇∂ ∂t

∂ ∂t, Ej

E

= 0⇒D∇Ej

∂ ∂t,

∂ ∂t

E = 0.

Concluimos ent˜ao que o campo_∇Ej

∂

∂t ´e nulo,∀j = 1, . . . , m.E, portanto

∇ei∇h=

m

X

j=1

αj_∇Ej

∂ ∂t = 0.

Assim temos que

Hess(h)(ei) = _∇ei(∇h) =

∇ei(∇h)

⊤

=_∇ei ∇h− h∇h, NiN

⊤

= h_∇ei ∇h

− ∇ei h∇h, NiN

i⊤

=₋h_∇ei h∇h, NiN

i⊤

(42)

onde_⊤denota a componente tangente dos vetores deT(Mm_×_R₎_em_Σ_._Logo,

hHess(h)(ei), ei_i(p) = ₋Dh_∇ei h∇h, NiN

i⊤

, eiE(p) = _−h∇ei h∇h, NiN

, ei_i(p)

= _−hei _h∇h, N_iN +_h∇h, N_i∇eiN, eii(p)

= _−h∇h, N_ih∇eiN, eii(p).

Mas note que

−A(ei) = (_∇eiN)⊤ =∇eiN −(∇eiN)⊥⇒ −∇eiN =A(ei)−(∇eiN)⊥,

e, portanto

h−∇eiN, eii=hA(ei)−(∇eiN)⊥, eii=hA(ei), eii−h(∇eiN)⊥, eii=λihei, eii=λi.

Logo,

hHess(h)(ei), ei_i(p) =λi_h∇h, N_i(p) =λi∂ ∂t, N

(p) = λin(p).

Assim

Lr₋1(h) = tr(Tr₋1Hess(h))(p) =

m

X

i=1

hTr₋1Hessh(ei), eii(p) =

m

X

i=1

hHessh(ei), Tr₋1(ei)i(p) =

m

X

i=1

Sr₋1(Ai)hHessh(ei), eii(p) =

m

X

i=1

Sr₋1(Ai)λin(p) = n(p)

m

X

i=1

λiSr₋1(Ai) = n(p)((r₋1) + 1)S(r₋1)+1=n(p)rSr.

ComorSrnindepende da escolha do referencial, obtemos que, emΣ,

(43)

Definição 3.2 SejaΣ⊂Mm+1uma hipersuperf´ıcie orientada. SejaDum dominio compacto deΣ.Definimos a variação deDpor

φ : (−ε, ε)×D_−→M _×R_{, ε >}₀_,_{tais que para cada}_s_∈₍₋_{ε, ε}₎_,_{a aplicac¸˜ao}

φs:_{s_{} ×}D_−→M _×R_{, φs}₍_p_{) =} _φ₍_{s, p}₎_{´e uma imers˜ao, e}_φ₀ ₌_D.

SejaAt(p)o operador forma deΣ(t)empe para0≤r_≤m,sejaSr(t)(p)a

r-ésima função simétrica dos autovalores deAt(p).

Proposic¸˜ao 3.1 SejaEs(p) = ∂

∂sφ(p, s)efs=hEs, Nsi,ondeNs ´e o normal

unit´ario aφs(D).Ent˜ao

∂

∂sSr(s) = Lr−1(fs) +fs S1Sr−(r+ 1)Sr+1

+fstr(Tr₋1RN) +Es⊤(Sr),

ondeRN ´e definido comoRN(X) = R(N, X)N, Ro operador curvatura deM ,

eEs⊤denota a parte tangente deEs.

Para provarmos esta proposic¸˜ao precisaremos do seguinte lema:

Lema 3.2 A′(s) = Hessf +f RN +f A2+_∇E⊤(A)(estamos desconsiderando

os ´ındices)

Demonstração do Lema: Dadop_∈Σeu, vcampos tangentes definidos numa vizinhança dep,sejamus =dφs(u)evs=dφs(v).Assim

II(s)(us, vs) =_−h∇usNs, vsi=hA(s)us, vsi.

Considerando primeiramenteII(s)(us, vs) = _−h∇usNs, vsitemos

−(II(u, v))′ ₌_h∇_E_∇_{uN, v}_i₊_h∇_uN,_∇_Ev_i_,_sendo_E ₌_E⊤₊_EN_,_{temos pela}

dfinic¸˜ao de_∇que,

−(II(u, v))′ =_h∇E⊤∇uN, vi+∇_E⊥∇uN, vi − hA(u),∇Evi. (3.1)

Mas sendoR(E⊥, u)N =_∇u∇E⊥N − ∇_E⊥∇uN +∇_[_E⊥_,u_]N,temos

(44)

E ainda, como[E, u] = 0temos

[E⊥, u] =₋[E⊤, u] (3.3) logo

∇[E⊥_,u_]N, v

=− ∇[E⊤_,u_]N, v

=A([E⊥, u]), v.(3.4)

Ainda por (3.3) temos que

−[E⊤, u] = [E⊥, u] =_∇E⊥u− ∇uE⊥,

assim_∇E⊥u=∇uE⊥−[E⊤, u],e portanto, comohN, ui= 0temos

0 = E⊥_hN, u_i=_h∇E⊥N, ui+hN,∇_E⊥ui,logo

h∇E⊥N, ui = −hN,∇_E⊥ui=−hN,∇uE⊥−[E⊤, u]i

= −hN,_∇uE⊥_i+hN,[E⊤, u]i

= −hN,_∇uE⊥_i (3.5)

Note que :

df(u) = u[f] =u[_hE, N_i] =u(_hE⊤, N_i+_hE⊥, N_i) = _h∇uE⊥, N_i+_hE⊥,_∇uN_i

= _h∇uE⊥, N_i.

Temos por (3.5) que para todoutangente

h∇E⊥N, ui=−hN,∇uE⊥i=−df(u) = −h∇f, ui=h−∇f, ui,

logo

(45)

Substituindo esses valores em (3.1) obtemos:

−(II(u, v))′ = h∇E⊤(−A(u)), vi+h∇u∇E⊥N +∇_[_E⊥_,u_]N −R(E⊥, u)N, vi

−hA(u),_∇Evi

= −h∇E⊤(A(u)), vi+h∇u∇E⊥N, vi − hR(E⊥, u)N, vi+h∇_[_E⊥_,u_]N, vi −

−hA(u),_∇Evi

= −h ∇E⊤(A(u))

⊤

+ ∇E⊤(A(u))

⊥_{, v}

i+h∇u(−∇f), vi+hA([E⊤, u]), vi

−hR(f N, u)N, v_{i − h}A(u),_∇Ev_i

= −h∇E⊤(A(u)), vi − h∇u(∇f), vi+hA(∇E⊤u− ∇uE⊤), vi

−f_hR(N, u)N, v_{i − h}A(u),_∇Ev_i

= −h∇E⊤(A)(u) +A(∇_E⊤(u)), vi − hHessf(u), vi+hA(∇_E⊤u), vi

−hA(∇uE⊤), vi −fhR(N, u)N, vi − hA(u),∇Evi

= −h∇E⊤(A)(u), vi − hHessf(u), vi − hA(∇uE⊤), vi

−f_hR(N, u)N, v_{i − h}A(u),_∇Ev_i

Portanto,

(II(u, v))′ = _h∇E⊤(A)(u), vi+hHessf(u), vi+hA(∇uE⊤), vi

+f_hR(N, u)N, v_i+_hA(u),_∇Ev_i. (3.7) Por outro lado, sendoII(s)(us, vs) =_hA(s)us, vs_i,temos que:

(II(u, v))′ ₌ _h∇

E(A(u)), vi+hA(u),∇Evi

= _h∇E(A(u)) + ∇E(A(u))

⊥

, v_i+_hA(u),_∇Ev_i

= _hE(A)(u) +A(_∇Eu), vi+hA(u),∇Evi

= _hA′(u), v_i+_hA(_∇Eu), vi+hA(u),∇Evi