Sistemas de comunicação quântica usando interferômetro de Sagnac e dinâmica do entrelaçamento de estados bipartites de qubitis em canais ruidosos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA

SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO QUÂNTICA USANDO

INTERFERÔMETRO DE SAGNAC E DINÂMICA DO

ENTRELAÇAMENTO DE ESTADOS BIPARTITES DE QUBITS

EM CANAIS RUIDOSOS

WELLINGTON ALVES DE BRITO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA

SISTEMAS DE COMUNICAÇÃO QUÂNTICA USANDO

INTERFERÔMETRO DE SAGNAC E DINÂMICA DO

ENTRELAÇAMENTO DE ESTADOS BIPARTITES DE QUBITS

EM CANAIS RUIDOSOS

Autor:

WELLINGTON ALVES DE BRITO

Orientador:

RUBENS VIANA RAMOS

Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-graduação em Engenharia de Teleinformática da Universidade Federal do Ceará, como parte dos requisitos exigidos para obtenção do grau

de Mestre em Engenharia de

Teleinformática.

Esta dissertação foi submetida como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre em Engenharia de Teleinformática, outorgado pela Universidade Federal do Ceará, e encontra-se à disposição dos interessados na biblioteca da referida universidade.

A citação de qualquer trecho desta dissertação é permitida, desde que feita de conformidade com as normas da ética científica.

_________________________________________ Wellington Alves de Brito

DISSERTAÇÃO APROVADA EM 18/09/2006 Banca examinadora:

__________________________________________ Dr. Rubens Viana Ramos (Orientador) Universidade Federal do Ceará – DETI/UFC

__________________________________________ Dr. Charles Casimiro Cavalcante

Universidade Federal do Ceará – DETI/UFC

__________________________________________ PhD. Jonas Mikael Alexander Söderholm Universidade de Nihon - Japão

_________________________________________ Dr. Francisco Marcos de Assis

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer à minha esposa Claudia e, especialmente minha filha Sophia, pelo apoio paciência e compreensão pelo tempo suprimido da convivência.

Aos parentes e amigos pelo incentivo e apoio, essencial para vencer as batalhas da vida diária.

Aos meus colegas de trabalho da UNIFOR pelo apoio, incentivo e compreensão por alguns momentos de ausência.

Aos colegas do GIQ/LCQ pelo apoio, amizade e companheirismo, requisitos essenciais para a criação de um ambiente propicio para a construção e difusão do conhecimento.

Ao colega João Batista Rosa pela amizade e idéia de utilizar o interferômetro de Sagnac. Aos colegas João Batista Rosa Silva e George André Pereira Thé pela permissão da utilização de uma parte de seus trabalhos nos apêndices A e B.

Ao professor Rubens Viana Ramos pela sua dedicação e amor a ciência, pelo seu comprometimento, amizade, compreensão e ajuda, sem a qual este trabalho não teria sido possível.

S

UMÁRIO

RESUMO... xiv

ABSTRACT... xiv

INTRODUÇÃO... 16

CAPÍTULO 1 – MEDIÇÃO LIVRE DE INTERAÇÃO E DISTRIBUIÇÃO QUÂNTICA DE CHAVES COM O INTERFERÔMETRO SAGNAC... 18

1.1 Introdução ... 18

1.2 Medição Livre de Interação com Interferômetro de Sagnac... 18

1.3 Distribuição Quântica de Chaves com Interferômetro de Sagnac... 26

1.4 Compartilhamento de Segredo com Interferômetro de Sagnac ... 29

CAPÍTULO 2 – DINÂMICA DO ENTRELAÇAMENTO DE ESTADOS BIPARTITES DE QUBITS PROPAGANDO EM CANAIS RUIDOSOS... 32

2.1. Introdução ... 32

2.2. Estados Mistos Maximamente Entrelaçados... 33

2.3. Dinâmica do Entrelaçamento em Canais Ruidosos Modelados por Conjunto Estatístico de Matrizes Unitárias... 35

2.4. Dinâmica do Entrelaçamento em Canais Ruidosos Modelados via Interação com o Ambiente ... 38

2.5. Simulações da Propagação do Estado Quântico por uma seqüência de Canais Ruidosos e seu efeito no Entrelaçamento e Entropia ... 46

2.6. Dinâmicas do Entrelaçamento e Entropia na Propagação do Estado Quântico em uma Seqüência de Canal Ruidoso e Porta Quântica ... 51

2.7. Correção do Erro Causado pelo Canal Modelado pela Operação Canônica Unitária .... 54

CAPÍTULO 3 – CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS... 57

A.1. Introdução ... 59

A.2. Estados Quânticos, Operadores e Notação de Dirac ... 59

A.3. Autoestados e Autovalores ... 63

A.4. Espaço de Hilbert Estendido... 65

A.5. Operador Densidade ... 66

A.6. Distinção de Estados Quânticos ... 71

A.7. Conceitos Básicos de Informação Quântica ... 74

A.8. Aplicações de Estados Entrelaçados ... 81

A.8.1. Código Superdenso... 81

A.8.2. Teleportação ... 82

A.8.3. Modelo de Espionagem em Distribuição Quântica de Chaves... 84

APÊNDICE B – DISTRIBUIÇÃO QUÂNTICA DE CHAVES... 86

B.1. Abordagem Quântica ... 86

B.2. Protocolos de Distribuição Quântica de Chaves - BB84 e B94 ... 89

B.2.1. Protocolo BB84... 89

B.2.2. Codificação de Fase ... 91

B.3. Taxas de Transmissão de Dados e de Erro ... 93

B.5. Sistema Quântico de Distribuição de Chaves Usando Interferômetro de Mach-Zehnder 95 B.6. Sistema Quântico de Distribuição de Chaves Usando Interferômetro de Michelson com Espelhos de Faraday ... 97

B.7. Sistema DQC Usando Interferômetro Plug-and-Play com Protocolo BB84... 99

APÊNDICE C – ESTADOS QUÂNTICOS COMPOSTOS: CRITÉRIOS DE SEPARAÇÃO E MEDIDAS DE ENTRELAÇAMENTO... 101

C.1. Introdução... 101

C.2. Critério de Separação de Peres-Horodecki... 102

C.3. Critério de Separação Baseado na Entropia de Tsallis ... 103

C.4. Medidas de Entrelaçamento Quântico... 105

C.5. Geração Aleatória de Estados Quânticos Bipartites de Qubits ... 109

C.6. Exemplo da Utilização de Critério de Separação, Medida de Entrelaçamento e Geração Aleatória de Estados... 111

REFERÊNCIAS... 115

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1: Interferômetro de Mach-Zehnder a fibra óptica. DFI – detector de fótons

isolados, PMA(B) - modulador de fase, LD – fonte de luz de fótons isolados e C1(2) –

acoplador óptico balanceado. ... 19

Figura 1.2: Experimento de medição livre de interação usando fóton isolado e interferômetro de Mach-Zehnder com φA=φB. Objeto a ser medido ausente... 20

Figura 1.3: Experimento de medição livre de interação usando fóton isolado e interferômetro de Mach-Zehnder com φA=φB. Objeto a ser medido inserido no braço 1. ... 20

Figura 1.4: Experimento de medição livre de interação utilizando polarização de fótons isolados. PBS1(2) – Divisor de feixes por polarização, R(±Δφ/2) – Rotacionador de polarização, M1 – Espelho unidirecional, M2(3) – Espelho, FM – Espelho de Faraday, P – Célula de Pockels. ... 21

Figura 1.5: Guiamento dos estados horizontal e vertical de polarização através do PBS 2x2. ... 21

Figura 1.6. Dois PBS conectados em série. Os comprimentos dos braços são iguais ... 22

Figura 1.7: Medição livre de interação utilizado interferômetro de Fabry-Perot. M1 – Espelho unidirecional, M2(3) – Espelho semitransparente, D0(1) – detectores de fótons. ... 23

Figura 1.8: Interferômetro de Sagnac. C1 – Circulador óptico, C – acoplador óptico... 24

Figura 1.9: Medição livre de interação utilizando interferômetro de Sagnac. ... 25

Figura 1.10: Medição livre de interação eficiente utilizando interferômetro de Sagnac. ... 26

Figura 1.11 – Distribuição quântica de chaves tipo circular. ... 27

Figura 1.12 – Distribuição quântica de chaves com interferômetro Sagnac... 28

Figura 1.13 – Esquema óptico para distribuição quântica de chaves usando polarização e interferômetro de Sagnac... 28

Figura 2.1: Entrelaçamento de formação (linha contínua) e entropia (linha pontilhada) do

estado (2.6) versus ε. ... 34

Figura 2.2: Alcance do entrelaçamento versus taxa de erro para os canais P(2) (*) e P(3) (o). ... 37

Figura 2.3: Variação do entrelaçamento e da entropia durante propagação nos canais ) 1 ( Pr ₍◊_), (2) Pr (○), and (3) Pr ₍∆_{). EF (sem linha no centro) e S (linha no centro). ... 37}

Figura 2.4: Modelo de um canal quântico ruidoso. ... 38

Figura 2.5: Geração de estados triparte puros C2⊗C2⊗C2... 39

Figura 2.6: Sab versus Eab_c... 40

Figura 2.7: Função densidade de probabilidade da perda de entrelaçamento, ΔE =E(ξab )-E(Φab). ... 42

Figura 2.8: E(ξab) – E(Φab) versus Sab. ... 43

Figura 2.9: Canal ruidoso modelado pela operação unitária canônica UD. ... 44

Figura 2.10: ΔE (= E(ΦAB) - E(ΓAB)) versus entropia (S) com ΦAB= (00 + 11)/ 2 e

(

θ₁,0,0

)

D U , com θ1 escolhido aleatoriamente para cada trecho do canal. ... 47

Figura 2.11: ΔE (=E(ΦAB) - E(ΓAB)) versus entropia (S) considerando ΦAB um estado quântico qualquer maximamente entrelaçado e U_D

(

θ₁,0,0

)

, com θ1 escolhido aleatoriamente para cada trecho do canal. ... 48

Figura 2.12: ΔE(=E(ΦAB) – E(ΓAB)) versus entropia (S) considerando ΦAB um estado quântico puro qualquer e U_D

(

θ₁,0,0

)

... 48

Figura 2.13: Célula composta por um trecho de canal quântico ruidoso e uma porta quântica de dois qubits... 51

Figura 2.14: Variação do entrelaçamento considerando o canal Pr(3) sem portas CNOTs (- -) e aplicando CNOTs a cada 50 unidades de comprimento (—)... 52

Figura 2.15: Comportamento do entrelaçamento de formação e da entropia de von Neumann para os canais (1) Pr (∆◊), _Pr(2) (◊), e Pr(3)₍○_{), quando da aplicação periódica da} porta i ( y x) e U = ασ ⊗σ . Na simulação α=0,1. ... 53

Figura 2.16: Sistema óptico para correção de erro de um qubit... 54

Figura A.2: Diagrama da porta CNOT. ... 77

Figura A.3: Circuito de troca (swap) com portas CNOT. ... 77

Figura A.4: Produção dos estados de Bell usando portas CNOT e Hadamard. ... 78

Figura A.5: Circuito quântico para a teleportação de um qubit... 83

Figura A.6: Esquema de ataque em um sistema de distribuição quântica de chaves. ... 84

Figura B.1: Distribuição de chave em criptografia convencional. ... 86

Figura B.2: Duas bases não-ortogonais. Os bits 0 e 1 são representados por estados ortogonais em qualquer uma das bases. ... 87

Figura B.3: Codificação dos bits 0 e 1 nos estados quânticos dos fótons... 88

Figura B.4: Representação, em diagrama de blocos, de um esquema de sistema quântico de distribuição de chaves. ... 89

Figura B.5: Princípio da distribuição quântica de chaves de acordo com o protocolo BB84. Alice envia, por uma fibra óptica, fótons polarizados aleatoriamente (linha 1). Bob escolhe aleatoriamente um dos seus detectores (linha 2) e grava seus resultados (linha 3). Então, eles comparam as bases usadas e conservam na seqüência somente as bases compatíveis (linha 4)... 90

Figura B.6: Configuração conceitual de um sistema interferométrico para distribuição quântica de chaves usando um interferômetro de Mach-Zehnder de fibra óptica: LD, diodo de laser; PM, modulador de fase; FDA, fotodiodo de Avalanche; C, acoplador óptico... 92

Figura B.7: Implementação de um sistema interferométrico (Mach-Zehnder), para distribuição quântica de chaves. FDA: fotodiodo de avalanche... 96

Figura B.8: Interferômetro para distribuição quântica de chaves com espelhos de Faraday: plug-and-play. ... 97

Figura B.9: Implementação do protocolo BB84 no interferômetro plug-and-play... 99

Figura C.1: Sab-Sa e Sb-Sab versus entrelaçamento de formação para 25.000 estados bipartites mistos... 112

Figura C.2: Sab-Sb versus a e p... 113

LISTA DE TABELAS

Tabela A.1: Transformações realizadas pelo circuito da Figura A.4. ... 79

Tabela A.2: Mapeamento das quatro possíveis medições de Alice e as transformações

unitárias correspondentes a serem utilizadas por Bob em sua metade de par de qubits.

... 83

LISTA DE ABREVIATURAS

BS Divisor de feixes (Beam Splitter) DQC Distribuição quântica de chaves DFI Detector de Fótons Isolados FDA Fotodiodo de Avalanche

FM Espelho de Faraday (Faraday Mirror) FP Interferômetro de Fabry-Perot

LD Diodo laser

MZ Mach-Zehnder

NEP Potência de ruído equivalente (Noise Equivalent Power)

PBS Divisor de feixe de luz por polarização (Polarization Beam Splitter)

PC Controlador de Polarização

PDL Perdas dependentes de polarização ( Polarization Dependent Losses) PM Modulador de fase (Phase Modulator)

QBER Taxa de erro de bits quânticos (Quantum Bit Error Rate) SL Linha de armazenamento de pulsos (Storage Line).

OTDM Multiplexação óptica por divisão no tempo (Optical Time-division

RESUMO

ABSTRACT

I

NTRODUÇÃO

A união, da física quântica com a teoria e tecnologia da informação, tem proporcionado a criação de novos problemas e novas soluções que, mesmo contrariando o senso comum devido ao caráter contra-intuitivo das leis da física quântica, encantam e empolgam. É o caso da teleportação quântica e da distribuição quântica de chaves. Basicamente, a teleportação quântica, que só existe graças a uma propriedade chamada entrelaçamento quântico, permite que a informação seja enviada de um ponto a outro distante sem que nada a porte. Por outro lado, a rede de computadores mundial, juntamente com seu conjunto de protocolos abertos, tem se mostrado como a alternativa mais viável para atender as necessidades de convergências dos serviços de telecomunicações. Entretanto, reside justamente na característica que é a maior responsável por seu rápido crescimento, o seu ponto mais fraco, a segurança na troca de informações confidenciais. O trânsito de informações bancárias, financeiras e comércio eletrônico, seja na transação entre empresas (B2B – business to business) ou entre empresas e consumidores (B2C – business to consumers), tem crescido a um ritmo cada vez maior. Além disso, existem a contra-espionagem industrial e militar e ações terroristas como fatores adicionais que aumentam a demanda por sistemas seguros de alta confiabilidade. Para garantir esta segurança, os sistemas de distribuição quântica de chaves podem ser empregados. Por fim, pode-se ainda citar a medição livre de interação como uma das “mágicas” que a física quântica proporciona. Classicamente, a determinação da presença de um objeto sempre se faz através da incidência de ondas, eletromagnéticas ou mecânicas, sobre o objeto e a posterior medição das ondas espalhadas pelo mesmo. Portanto, sempre com interação. A idéia da técnica de medição livre de interação, proposta inicialmente por Elitzur e Vaidman [1], consiste na detecção da presença de um objeto sem, de nenhuma forma, interagir com o mesmo. Assim, a medição livre de interação faz uso das propriedades da mecânica quântica que nos permite testar se algo poderia ter acontecido, mas não aconteceu, ou seja, uma contrafactualidade.

C

APÍTULO 1

– MEDIÇÃO LIVRE DE

INTERAÇÃO E DISTRIBUIÇÃO QUÂNTICA

DE CHAVES COM O INTERFERÔMETRO

SAGNAC

1.1 Introdução

A utilização dos conceitos da mecânica quântica para o processamento da informação tornou possível a realização de tarefas até então consideradas impossíveis, como a teleportação [Apêndice A], a medição livre de interação, a distribuição totalmente segura de chaves, dentre outras. As duas formas mais simples de observar os efeitos quânticos importantes para uso em tecnologia da informação são através do uso de fótons isolados em interferômetros ópticos e da polarização da luz. De fato, experimentos de distribuição quântica de chaves [Apêndice B] e medição livre de interação têm sido realizados fazendo uso de ambos. No caso do uso de interferômetros, os mais utilizados são os interferômetros de Mach-Zender (MZ) e de Michelson. Neste capítulo, o objetivo é discutir sistemas de medição livre de interação e de comunicação quântica, especificamente distribuição quântica de chaves e compartilhamento de segredos, utilizando conjuntamente a polarização da luz e o interferômetro de Sagnac.

1.2 Medição Livre de Interação com Interferômetro de Sagnac

Figura 1.1: Interferômetro de Mach-Zehnder a fibra óptica. DFI – detector de fótons isolados, PMA(B) - modulador de fase, LD – fonte de luz de fótons isolados e C1(2) – acoplador

óptico balanceado.

Na Figura 1.1, os acopladores ópticos C1 e C2 são balanceados, isto é, transmitem e refletem 50%

da luz incidente. Os detectores DFI0 e DFI1 são capazes de gerar um pulso elétrico quando da

incidência de um fóton nos mesmos. Quando luz de intensidade Iin incide no interferômetro, as

intensidades de luz que emergem nas saídas ‘0’ e ‘1’ do interferômetro são dadas por:

2 0

2 1

cos 2 2 A B in

A B in

I I

I I sen

φ φ

φ φ −

⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

−

⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠

Quando a luz que incide no interferômetro tem apenas um fóton, devem-se fazer Iin=1 e

interpretar as equações (1.1)-(1.2) como probabilidades. A interferência ocorre porque, como não há nada que determine por qual braço o fóton seguiu, ele se comporta como onda. Por outro lado, se algum medidor capaz de detectar a presença dos fótons e determinar por qual braço ele seguiu, mesmo sem absorvê-lo, é utilizado, então a interferência desaparece, as equações (1.1)-(1.2) deixam de ser válidas e o fóton se comporta como uma partícula. No experimento de medição livre de interação o interferômetro é construído de tal forma que φA=φB, isto é, todo fóton

incidente no interferômetro é medido, idealmente, pelo detector DFI0 com 100% de

probabilidade. Nunca haverá detecção em DFI1, como mostra a Figura 1.2.

LD

A

φ φB

‘0’

‘1’ DFI

Braço 1

Braço 2

C1

C2 1

(1.1)

Figura 1.2: Experimento de medição livre de interação usando fóton isolado e interferômetro de Mach-Zehnder com φA=φB. Objeto a ser medido ausente.

Portanto, sem a presença de um objeto absorvedor no caminho do fóton, nunca haverá detecção em DFI1. Por outro lado, se o objeto absorvedor é colocado no braço 1, como mostrado na Figura

1.3, ele se comportará como um detector de qual braço o fóton seguiu. Isto ocorre porquê, quando não houver nenhuma detecção em DFI0 e DFI1, pode-se ter certeza que o fóton seguiu pelo braço

1. Portanto, com a presença do objeto absorvedor o fóton se comporta como partícula. Assim, com probabilidade 50% ele emerge de C1 no braço 1 e é absorvido pelo objeto, e com

probabilidade 50% o fóton emerge de C1 no braço 2, sofre a modulação de fase φA que é

irrelevante, e atinge o acoplador C2. Neste, com probabilidade 50% o fóton segue para DFI0 e

com probabilidade 50% o fóton segue para DFI1. Portanto, quando o objeto estiver presente em

um dos caminhos do interferômetro, há uma probabilidade de haver detecção em DFI1 de 25%.

Figura 1.3: Experimento de medição livre de interação usando fóton isolado e interferômetro de Mach-Zehnder com φA=φB. Objeto a ser medido inserido no braço 1.

Portanto, sempre que houver detecção em DFI1 pode-se ter certeza que o objeto estava presente

em um dos braços do interferômetro. Além disso, uma vez que o fóton foi detectado em DFI1

então obviamente ele não interagiu com o objeto absorvedor.

LD

A

φ φB

‘0’

‘1’ DFI

Braço 1

Braço 2

C1

C2 1

100%

0%

LD

A

φ φB

‘0’

‘1’ DFI

Braço 1

Braço 2

C1

C2 1

Objeto absorvedor

25%

O experimento de medição livre de interação mostrado nas Figuras. 1.2-1.3 funciona, mas é pouco eficiente, pois para cada fóton utilizado a probabilidade de detectar a presença do objeto dado que ele está presente é de apenas 25%. Uma configuração óptica muito eficiente utilizando polarização da luz, proposta em [2], é mostrada na Figura 1.4, chamada de interferômetro de Michelson.

Figura 1.4: Experimento de medição livre de interação utilizando polarização de fótons isolados. PBS1(2) – Divisor de feixes por polarização, R(±Δφ/2) – Rotacionador de polarização, M1 – Espelho

unidirecional, M2(3) – Espelho, FM – Espelho de Faraday, P – Célula de Pockels.

Na Figura 1.4, R(±Δφ/2) são rotacionadores de polarização de ±Δφ/2; M1 é um espelho

unidirecional, isto é, a luz propaga livremente na direção da esquerda para a direita mas é totalmente refletida na direção da direita para a esquerda; M2 e M3 são espelhos comuns; FM é

um espelho de Faraday, isto é, um espelho que reflete e rotaciona a polarização da luz de π/2; P é uma célula de Pockels, um componente eletro-óptico que quando acionado se comporta como um rotacionador de polarização de π/2. Por fim, o PBS é um divisor de feixes por polarização e funciona como mostrado na Figura 1.5.

Figura 1.5: Guiamento dos estados horizontal e vertical de polarização através do PBS 2x2. R(-Δφ/2) R(Δφ/2)

M1

P

P M3

M2/FM

DH

DV PBS2

PBS1

V

H |1〉

H H

V

V

V

V

H H

1 ₁

2 2

θ θ θ

θ

(a) (b) Quando um fóton com polarização |θ〉 incide no PBS, com probabilidade cos2(θ) ele surge na

saída horizontal, possuindo a partir daí polarização horizontal. Por outro lado, com probabilidade sen2(θ) o fóton emerge na saída vertical, possuindo a partir daí polarização vertical. Por fim, quando dois PBS são conectados em série com comprimentos dos braços iguais, a polarização do estado que sai é igual a do estado que entra, como mostrado na Figura 1.6.a e seu equivalente, usando um PBS e dois espelhos, mostrado na Figura 1.6.b.

Figura 1.6. Dois PBS conectados em série. Os comprimentos dos braços são iguais.

No esquema óptico da Figura 1.4 o objetivo é determinar, sem interagir, quem está sendo usado se M2 ou FM. Se M2 é usado o comportamento do esquema óptico é como segue: o fóton,

inicialmente linearmente polarizado na direção horizontal, |0〉, entra no esquema óptico e sofre uma rotação em sua polarização de -Δφ/2, passa pelo espelho unidirecional e sofre outra rotação de Δφ/2 em sua polarização, recuperando a polarização horizontal do início. O fóton, então, passa pelo PBS1 e célula de Pockels P a caminho do espelho M3. Ele é refletido de volta para PBS1 e

guiado por este para o espelho M1. O fóton é refletido por M1 de volta ao PBS1. Neste caminho

PBS1-M1-PBS1 o fóton tem sua polarização rotacionada de Δφ. O fóton, agora com polarização Δφ, ao incidir em PBS1 encontra uma configuração exatamente igual à mostrada na Figura 1.6.b,

uma vez que as células de Pockels estão desativadas. Portanto, o fóton toma os dois caminhos ao mesmo tempo e após reflexão em M2/M3 ele é guiado para M1 através de PBS1 com a mesma

polarização Δφ. No caminho para M1 e deste para PBS1 a polarização é mais uma vez rotacionada

de Δφ e tudo se repete novamente. Após um número N de repetições a polarização do fóton incidindo em PBS1 é |NΔφ〉, que pode ser feita arbitrariamente próxima de |π/2〉, vertical. Neste

momento as duas células de Pockels são ativadas para rotacionar a polarização do fóton de π/2. Agora, o fóton ao chegar no PBS1 vindo de M2/ M3 é guiado ao PBS2 com polarização |NΔφ+π/2〉

1

Se FM é usado, ele pode identificar o caminho que o fóton tomou. Isto ocorre porque, ao incidir no FM a polarização é rotacionada de π/2 e, ao ser guiado para PBS1 vindo de FM, o fóton

com polarização horizontal é guiado para o PBS2 e detectado por DH, antes que as células de

Pockels sejam ativadas. Portanto, as sucessivas passagens pelo rotacionador R(Δφ) não causa uma rotação acumulada da polarização, como no caso anterior, uma vez que, na presença do FM, se não houve detecção em DH então certamente o fóton que veio de M1 tomou o caminho para M3

e, portanto, possui polarização horizontal. Assim, a cada nova passagem pelo caminho PBS1-M1

-PBS1 fóton sai da polarização horizontal para a polarização |Δφ〉. Assim, ao chegar em PBS1

vindo de M1, com probabilidade sen2(Δφ) o fóton é guiado para FM e depois detectado em DH e

com probabilidade cos2(Δφ) o fóton é guiado para M3. Após N repetições, as células de Pockels

são ativadas e o fóton, que com probabilidade cos2(Δφ) é horizontal, se torna vertical após passar por P e é guiado por PBS1 para PBS2 com polarização vertical sendo detectado em DV.

Resumindo, se M2 é usado, após N voltas, com probabilidade cos2(NΔφ+π/2) o fóton é detectado

por DH enquanto que, se FM é usado, após N voltas, com probabilidade cos2(Δφ) o fóton é

detectado em DV. Portanto, para uma grande eficiência Δφ deve ser pequeno o suficiente para que

cos2(Δφ)~1 e N deve ser grande o suficiente para que NΔφ~π/2.

Uma terceira construção de medição livre de interação, usando interferômetro de Fabry-Perot (FP) foi proposta em [3]. Nesta, mostrada na Figura 1.7, o objeto absorvedor é colocado no interior do interferômetro.

Figura 1.7: Medição livre de interação utilizado interferômetro de Fabry-Perot. M1 – Espelho unidirecional, M2(3) – Espelho semitransparente, D0(1) – detectores de fótons.

Basicamente, a transmissividade do interferômetro FP é ajustada para seu valor máximo na ausência do objeto, enquanto que na presença do mesmo a reflectividade cresce. Assim, toda detecção em D0 deve indicar a presença do objeto absorvedor no interior do interferômetro.

pode ser construída utilizando fótons isolados e interferômetros. Um tipo especial de interferômetro muito utilizado em metrologia é o interferômetro de Sagnac, mostrado na Figura 1.8 [4].

Figura 1.8: Interferômetro de Sagnac. C1 – Circulador óptico, C – acoplador óptico.

Modernos giroscópios a fibra óptica usados em navegação são baseados no interferômetro de Sagnac, permitindo medição de rotação com altíssima precisão. Este tipo de interferômetro encontra aplicação também em sistemas de multiplexação óptica por divisão no tempo (OTDM) como elemento de sincronismo e alinhamento dos canais para demultiplexação [5].

No esquema mostrado na Figura 1.8, temos uma única entrada de luz que é decomposta em dois feixes pelo acoplador balanceado C1 (50:50), seguindo os mesmos por caminhos ópticos

exatamente iguais, uma parte se propagando no sentido horário e outra parte no sentido anti-horário, passando pelos . Haverá interferência quando os dois feixes se encontrarem na saída do anel de tal forma que toda a luz que sai do interferômetro segue o caminho do detector D0,

havendo neste caso interferência construtiva tendo em conta que o deslocamento de fase relativo é Δφ = 0. Uma das principais vantagens no uso deste tipo de interferômetro é o fato deste ser um anel fechado, fazendo com que ao dividir o feixe de luz, os mesmos percorram caminhos exatamente iguais, embora em sentidos opostos, sofrendo os mesmos efeitos meio. Desta forma, evitamos os complicados processos de sincronização e ajustes dos caminhos que são necessários em outros tipos de interferômetros.

Figura 1.9: Medição livre de interação utilizando interferômetro de Sagnac.

O objetivo do esquema da Figura 1.9 é identificar, sem perder o fóton, quem está conectado no circulador C3, se o espelho M2 ou detector D2. Os comprimentos dos caminhos H-H e V-V são

iguais. Se o espelho M2 está conectado o funcionamento é como segue: o fóton vindo de LD, com

polarização horizontal, passa por C1 e tem sua polarização rotacionada de θ. Este fóton “enxerga”

o interferômetro de Sagnac como mostrado na Figura 1.8, pois a configuração dos PBS1 e PBS2 é

como mostrada na Figura 1.6.a. Assim, na presença do espelho M2, o fóton sempre é detectado

em D0. Por outro lado, quando o detector D2 está conectado, as probabilidades de detecção em

cada um dos três detectores são dadas por:

( )

( )

( )

( )

2 2

0 2 1

2 2

sen cos

4 sen

4 sen

2 P

P

P

θ θ

θ

θ

= +

=

=

Portanto, a probabilidade de identificar que o componente conectado em C3 é o detector D2 sem

perder o fóton, isto é, com detecção em D1, é dada por (1.4), cujo máximo valor é 25% quando θ=π/2. Assim, o esquema da Figura 1.9 é, em termos de eficiência, equivalente ao experimento de [1] mostrado nas Figuras 1.2 e 1.3. Entretanto, usando o esquema óptico da Figura 1.10, pode-se determinar a prepode-sença de D2 sem interação com probabilidade arbitrariamente próxima de 1

por cada fóton utilizado.

(1.3)

Figura 1.10: Medição livre de interação eficiente utilizando interferômetro de Sagnac.

Um outro esquema, proposto neste trabalho, é mostrado na Figura 1.10. O funcionamento deste circuito é similar ao da Figura 1.4. Inicialmente, o fóton enviado pela fonte LD possui polarização horizontal e a chave eletro-óptica EOS está conectando o circulador C1 ao espelho

M4. Desta forma, se M2 está conectado o fóton vai entrando e saindo do interferômetro de Sagnac

várias vezes e, a cada vez, tem sua polarização rotacionada de Δθ. Depois de várias voltas, a polarização fica próxima o suficiente da polarização vertical. Neste momento a chave eletro-óptica é acionada para conectar o circulador C1 ao PBS3. Na próxima passagem do fóton por C1

ele é guiado para o PBS3 e detectado em D0V com alta probabilidade (tão próxima de 1 quanto a

polarização do fóton estiver próxima da polarização vertical). Por outro lado, se D2 está

conectado, então a polarização do fóton ficará entre horizontal, ao sair do Sagnac, e |Δθ〉 antes de entrar no Sagnac. Após um número suficiente de voltas, a chave eletro-óptica é acionada para conectar PBS3 a C1 e, na próxima passagem do fóton por C1 ele é guiado para o PBS3 e detectado

em D0H com probabilidade cos2(Δθ). Portanto, para uma grande eficiência Δθ deve ser pequeno o

suficiente para que cos2(Δθ)~1 e N deve ser grande o suficiente para que NΔθ~π/2.

1.3 Distribuição Quântica de Chaves com Interferômetro de Sagnac

A primeira proposta de DQC usando o interferômetro de Sagnac, chamada DQC tipo circular, foi feita na referência [7]. O esquema óptico proposto é o mostrado na Figura 1.11.

0H

D

0V

Figura 1.11 – Distribuição quântica de chaves tipo circular.

Inicialmente Bob envia um pulso óptico de muitos fótons. Este pulso é divido no acoplador C em dois outros, sendo que um segue para Alice no sentido horário, PH, enquanto que

o outro segue para Alice no sentido anti-horário PAH. O pulso PH chega primeiro em Alice, pois o

pulso PAH passa primeiro pela linha de atraso. Ao chegar em Alice, o pulso PH sofre uma

atenuação em A, passa por PCA e PMA e segue de volta a Bob. Chegando em Bob, PH passa pela

linha de atraso, passa por PCB, sofre uma modulação de fase em PMB e, por fim, chega ao

acoplador C. O pulso PAH passa por PMB, PCB, linha de atraso e segue pelo canal óptico para

Alice. Em Alice, PAH sofre modulação de fase em PMA, depois passa por PCA, é atenuado em A e

segue para o acoplador C de Bob. Ambos os pulsos chegam em C ao mesmo tempo e sofrem interferência. Dependendo da diferença das fases aplicadas por Alice em PAH e por Bob em PH, o

pulso será guiado para o detector de fótons isolados D0 ou D1. Uma vez que ambos os pulsos

percorrem o mesmo caminho físico, flutuações de diferenças de fase são automaticamente compensadas. Os controladores de polarização PCA e PCB fazem o controle da polarização para

minimizar a taxa de erro. O valor de atenuação do atenuador A é tal que quando o pulso PAH

PM

A

Figura 1.12 – Distribuição quântica de chaves com interferômetro Sagnac.

O sistema da Figura 1.12 trabalha de forma similar ao da Figura 1.11, entretanto, no esquema da Figura 1.12, os moduladores de fase utilizados são acusto-ópticos e, por isso, são insensíveis à variação da polarização. Isto torna o sistema mais simples pois faz desnecessário o rigoroso sistema de controle da polarização requerido pelo sistema da Figura 1.11 que utiliza moduladores de fase de Niobato de Lítio (LiNbO3). A segunda diferença é a presença dos filtros ópticos F1 e

F2, acopladores ópticos CA1 e CA2 e os detectores clássicos DPIN1 e DPIN2. A presença destes

componentes é para evitar ataques do tipo Cavalo de Tróia. Neste ataque, a espiã envia um pulso óptico forte para Alice e analisa os pulsos transmitidos e refletidos a fim de tirar informações sobre qual valor de fase Alice utilizou. Assim, os filtros ópticos evitam que Eva utilize pulsos de grande largura espectral para analisar a variação do espectro do pulso refletido ou transmitido e os detectores clássicos DPIN1 e DPIN2 percebem se Eva enviou um pulso forte através da detecção

de parte do mesmo desviada pelo acoplador CA1 ou CA2, dependendo do sentido que Eva enviou o

pulso, horário ou anti-horário.

Diferentemente dos sistemas mostrados nas Figuras. 1.11 e 1.12, o esquema proposto neste trabalho para utilização do interferômetro de Sagnac em DQC é como mostrado na Figura 1.13.

Figura 1.13 – Esquema óptico para distribuição quântica de chaves usando polarização e interferômetro de Sagnac.

O funcionamento do protocolo de DQC usando o sistema da Figura 1.13 é como segue: Alice envia pulsos de fótons isolados para Bob. Para cada pulso enviado Alice escolhe aleatoriamente um valor de polarização do pulso de acordo com a codificação: Base 1 de Alice - {0 (0),π/2 (1)}; Base 2 de Alice - {π/4 (0),3π/4(1)} (em X (Y), X é a polarização e Y o valor do bit que ela representa). Para cada fóton que chega em Bob, ele aplica uma rotação de polarização, aleatoriamente escolhida, de acordo com a codificação: Base 1 de Bob - {0 (0),-π/2(1)}, Base 2 de Bob - {-π/4 (0),-3π/4(1)}. Após a transmissão de todos os fótons, Alice e Bob divulgam quais bases foram utilizadas e, nas situações em que as bases escolhidas foram iguais, Bob diz a Alice em qual detector DH ou DV houve a detecção. De posse desta informação, Alice, baseada na

polarização do fóton que enviou descobre qual polarização, e portanto o bit, que Bob escolheu. De fato, quando Alice e Bob acertam as bases utilizadas (θA+θB=0 ou ±π/2) o fóton que entra no

Sagnac possui polarização horizontal ou vertical respectivamente. No primeiro caso, o fóton se comporta como onda sofrendo interferência em C e sendo detectado em DH. No segundo caso, o

fóton se comporta como partícula e, se pegar o caminho no sentido horário é detectado em DV1.

Se pegar o sentido anti-horário, é detectado em DV2. Quando Alice e Bob erram as bases

(θA+θB=±π/4 ou ±3π/4) o fóton se comporta como onda e partícula ao mesmo tempo, podendo ser

detectado em qualquer dos detectores. Uma detecção em DH indica que o fóton se comportou

como onda. Uma detecção em DV1 ou DV2 indica que o fóton se comportou como partícula. Daí

surge a frase de John Wheeler “O passado se define no presente”. Ou seja, só após a medição do fóton poderemos saber o que aconteceu com o passado do fóton, isto é, se ele comportou-se como onda ou partícula.

1.4 Compartilhamento de Segredo com Interferômetro de Sagnac

mostrada na Figura 1.14 utilizando luz de fótons isolados, proposta neste trabalho, resolve o problema.

Figura 1.14: sistema óptico para geração segura de segredo entre 5 usuários usando interferômetro de Sagnac.

As probabilidades de detecção do fóton em D0 e D1 são dadas por:

( )

( )

( )

( )

2 2 2 2

0

2 2 2 2

1

cos cos sen cos

2 2

cos sen sen sen

2 2

a b c d

a b c d

P

P

φ φ φ φ

θ θ

φ φ φ φ

θ θ

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Quando o fóton for detectado no detector D0 o bit 0 é obtido enquanto que uma detecção em D1

implica na obtenção do bit 1. Observando (1.6) e (1.7), vemos que o participante que controla o polarizador, Fred, escolhe se o valor do bit é definido por Alice (a) e Bob (b) ou Charles (c) e David (d), esta é a parte do segredo que Fred detém. Os possíveis valores dos ângulos são: θ ∈ {0,π/2}, φabcd ∈ {0,dφ,2dφ,3dφ,...,Ndφ,π, dφ+π,2dφ+π,3dφ+π,...,Ndφ+π}. Os segredos que Alice,

Bob, Charles e David detêm é a seqüência particular de valores de deslocamento de fases que eles devem aplicar para cada fóton enviado por Fred. Para que as detecções ocorram em D0 e D1 de

forma determinística é necessário que φa-φb e φc-φd sejam iguais a 0 ou π rad. Assim, os segredos

acordo com valor do bit do segredo total, se 0 ou 1. O mesmo ocorre com Charles e David. Portanto, quando Fred quiser usar a seqüência secreta ele terá necessariamente que contar com a colaboração dos outros quatro participantes.

Neste capítulo, foi discutido o uso de interferômetros na implementação de sistemas de medição livre de interação e distribuição quântica de chaves. Primeiramente, soluções já conhecidas foram analisadas, como medição livre de interação utilizando interferômetros de Mach-Zehnder e Michelson, em seguida, foram propostas novas soluções tanto para medição livre de interação como para comunicações quânticas. Estas soluções estão baseadas no uso do interferômetro de Sagnac sendo o mesmo aplicado em três problemas: medição livre de interação, distribuição quântica de chaves e compartilhamento de segredo. Todos estes sistemas utilizam, idealmente, luz de um fóton. Entretanto, é perfeitamente possível e desejável, realizar comunicações quânticas com pares de fótons. Isto ocorre, por exemplo, quando se deseja fazer teleportação de qubits. A propriedades essencial para a implementação da teleportação é o entrelaçamento. Desta forma, é de extrema relevância e interesse estudar o comportamento desta propriedade quando os fótons interagem com um meio de transmissão (fibra óptica) ruidoso. Este assunto é o tema abordado no capítulo 2.

C

APÍTULO 2 –

DINÂMICA DO

ENTRELAÇAMENTO DE ESTADOS

BIPARTITES DE QUBITS

PROPAGANDO EM

CANAIS RUIDOSOS

2.1. Introdução

2.2. Estados Mistos Maximamente Entrelaçados

Estados mistos maximamente entrelaçados são aqueles estados mistos cujo entrelaçamento não pode ser aumentado pela aplicação de nenhuma porta quântica [7,8].

Seja o estado quântico misto Γ, cuja decomposição de autovalores é:

†

VD V_Γ

Γ = .

Em (2.1) D_Γ é a matriz diagonal cujos elementos são os autovalores de Γ e V é a matriz unitária cujas colunas são os autovetores de Γ. Seja agora a transformação unitária:

(

)

†

0 0 0 1

1 2 0 1 2 0

1 2 0 1 2 0

0 1 0 0

A B

U U U D V_φ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

= ⊗ _{⎢ ⎥}

−

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

,

na qual UA e UB são transformações unitárias locais dos sistemas A e B, respectivamente. Dφ é

uma matriz diagonal unitária, portanto, seus elementos são da forma _eiφ_{. Desconsiderando as} transformações unitárias locais e aplicando (2.2) em (2.1), obtem-se o estado:

4

1 3 1 3 †

1 3 1 3

2

4 3 2 1

0 0 0

0 0

2 2

0 0

2 2

0 0 0

00 00 11 11

U U λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ

λ λ − − λ λ + +

⎡ ⎤

⎢ _{+ −} ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

Φ = Γ _{= ⎢ ⎥}

− +

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Φ = + Ψ Ψ + + Ψ Ψ

.

Em (2.3)-(2.4) λii=1,2,3,4 são os autovalores de Γ e Φ com λ3 ≥λ4 ≥λ1 ≥λ2 e λ3 + λ4 + λ1 + λ2=1

e |Ψ±〉=(|01〉±|10〉)/21/2. Os estados do tipo (2.3)-(2.4) são chamados de estados mistos (2.1)

(2.2)

(2.3)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

ε

E

nt

rel

aç

a

m

e

nt

o

E

nt

rel

aç

a

m

e

nt

o

En

tro

p

ia

E S

maximamente entrelaçados, MEMS (maximally entangled mixed states). Nenhuma transformação unitária pode aumentar o entrelaçamento de estados MEMS, que é dado, usando a concurrência, por:

(

0, 3 1 2 2 4

)

max λ −λ − λ λ

=

C .

A fórmula para criar um estado MEMS a partir de um estado puro é primeiramente tornar o estado puro misto e então aplicar a transformação unitária (2.2). Uma questão que naturalmente surge é qual o máximo valor de entrelaçamento de um estado MEMS. Para responder esta questão, pode-se considerar o seguinte estado MEMS:

( )

00 00 11 11 1

3 3 3

ε ε + + ε _ε − −

Φ = + Ψ Ψ + + − Ψ Ψ .

Neste caso podemos definir o estado através de um único parâmetro. A variação do entrelaçamento de formação e da entropia de (2.6) com ε é mostrada na Figura 2.1.

Figura 2.1: Entrelaçamento de formação (linha contínua) e entropia (linha pontilhada) do estado (2.6) versus ε.

(2.5)

Como pode ser visto na Figura 2.1, pode-se construir um estado MEMS com entrelaçamento tão próximo do valor máximo (=1) quanto desejarmos, basta para isso fazermos ε próximo o suficiente de zero.

2.3. Dinâmica do Entrelaçamento em Canais Ruidosos Modelados por

Conjunto Estatístico de Matrizes Unitárias.

Nesta seção, o objetivo é analisar, através de simulações numéricas, a variação do entrelaçamento e entropia durante a propagação em canal ruidoso. Inicialmente, considera-se como modelo de canal quântico ruidoso um conjunto estatístico de matrizes unitárias [11]. Nesta abordagem, o canal é modelado por um conjunto de matrizes unitárias onde cada uma ocorre com uma dada probabilidade. Por exemplo, o canal representado por { }n

i i p

U, ₁ significa que, com

probabilidade pi o canal será representado pela transformação unitária Ui. Neste modelo, se o

estado quântico na entrada do canal é o estado Γab, então o estado na saída do canal é dado por:

†

1

n

ab _i= p Ui i abUi

Φ =

∑

Γ .

Para simplificar, assumiremos que somente o subsistema A é enviado pelo canal e que o subsistema B permanece intacto. Na prática, isto equivaleria, por exemplo, ao usuário B produzir um par de qubits, ficar com um e enviar o outro para a sua parceira A, a fim de que ambos possam realizar um protocolo de comunicação quântica como teleportação. O modelo de canal ruidoso escolhido tem como matrizes unitárias as quatro matrizes de Pauli: σ0=I2 (identidade

2x2), σ1, σ2 e σ3 [11]. Além disso, todas as quatro probabilidades são funções da taxa de erro ε.

Assim pode-se variar o canal mudando apenas um parâmetro. Três tipos de canais

{

σ_k,p_k

}

_k k=0,1,2,3, são considerados. Os vetores de probabilidades diferenciam os tipos de canais:

( )j

[

j j j j

]

p p p p

P = ₀, ₁, ₂, ₃ , j=1,2,3 [10]:

[

]

(1)

(2)

(3)

1 , 0, 0, 1 , 0, ,

2 2 1 , , ,

3 3 3

P

P

P

ε ε

ε ε ε

ε ε ε ε

= −

⎡ ⎤

= −_{⎢ ⎥}

⎣ ⎦

⎡ ⎤

= −_{⎢ ⎥}

⎣ ⎦

0 1 2 3

1 0 0 1 0 1 0

, , ,

0 1 1 0 0 0 1

i i

σ =⎡_⎢ ⎤_⎥ σ =⎡_{⎢ ⎥}⎤ σ =_⎢⎡ − _⎥⎤ σ =_⎢⎡ ⎤_⎥ −

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦.

Em (2.8), por exemplo, com probabilidade (1-ε) o canal será representado pela matriz identidade,

σ0, e com probabilidade ε o canal será representado pela matriz σ3. O estado quântico na saída do

canal j (=1,2,3) caracterizado por P(j) é:

( )

₍

_{) (}

₎

3

† 0

j

AB k k AB k

k

P σ I σ I

=

Φ =

∑

⊗ Φ ⊗ .

Em (2.12) P_k( )j é o k-ésimo componente do vetor P(j). É fato conhecido que a propagação em canal ruidoso causa aumento da entropia e diminuição do valor do entrelaçamento. Então, para um canal em particular, é interessante perguntar qual distância um estado inicialmente maximamente entrelaçado alcança antes que o entrelaçamento se torne zero. Esta distância será chamada DE. Na Figura 2.2 pode-se observar DE, para os canais P(2) e P(3), versus a taxa de erro ε,

com esta variando no intervalo 0,001 ≤ ε ≤ 0,004. Como pode ser observado na Figura 2.2, o aumento da taxa de erro implica na diminuição de DE. Pode-se também notar que, para o mesmo

valor da taxa de erro ε, o canal (2)

Pr é menos prejudicial que o canal (3)

Pr . Isto acontece por que, na faixa de ε usada, o canal (3)

Pr é mais desordenado (ou seja, ele tem maior entropia clássica) que o canal (2)

Pr . É interessante notar que, dado um canal, o valor de DE não depende do

particular estado maximamente entrelaçado na entrada do canal.

(2.10) (2.9) (2.8)

Figura 2.2: Alcance do entrelaçamento versus taxa de erro para os canais P(2) (*) e P(3) (o).

As variações do entrelaçamento e da entropia durante a propagação nos canais (1)

Pr , (2)

Pr e Pr(3), com ε= 0,5 são mostradas na Figura 2.3.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Dinâmica do Entrelaçamento e da Entropia de um estado bipartite para diferentes tipo de Canal

Distância L do canal ou número de interações do estado inicial com o meio

E

n

tr

el

aç

am

en

to d

e

F

o

rm

aç

ã

o e

E

nt

rop

ia

Ef canal tipo 3 S canal tipo 3 Ef canal tipo 2 S canal tipo 2 Ef canal tipo 1 S canal tipo 1

Figura 2.3: Variação do entrelaçamento e da entropia durante propagação nos canais )

1 (

Pr ₍◊_), (2)

Pr ₍○_{), and} (3)

Comparando os modelos dos canais utilizados até aqui pode-se verificar que, enquanto a complexidade aumenta do canal (1)

Pr para o canal (3)

Pr , o entrelaçamento decai mais rapidamente e a entropia alcança maiores valores.

Seja agora o canal

{

(σ₀,p₀) (; σ₁,p₁) (; σ₂,p₂) (; σ₃,p₀)

}

com 2p0+p1+p2=1. Se o estado

maximamente entrelaçado Φ+ =

(

00 + 11

)

2 é enviado por este canal, então na saída do

mesmo obtem-se o estado

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

+ −

− +

= Γ

0 2 1 2 1

2 1 2 1 0

0 0

0

0 2

2 0

0 2

2 0

0 0

0

p p p p p

p p p p p

,

que é um estado MEMS. Portanto, a propagação de um estado quântico inicialmente maximamente entrelaçado em um canal ruidoso pode levar a um estado MEMS.

2.4. Dinâmica do Entrelaçamento em Canais Ruidosos Modelados via

Interação com o Ambiente

Uma segunda forma de tratar canais ruidosos é considerar que o ruído quântico aparece devido ao fato que nem todas as variáveis existentes são acessíveis [11]. Consideremos primeiramente um estado puro ρi=|θ〉〈θ|, propagando em um canal quântico. A interação do

estado quântico com o canal é representada pela evolução unitária U. O estado inicial do canal é

ρ=|0〉〈0|. Após propagação do qubit, este e o canal estarão possivelmente entrelaçados e o estado total será ΓAB=U(ρi⊗ρ)U†, com os estados individuais ρo e ρc, como mostrado na Figura 2.4.

Figura 2.4: Modelo de um canal quântico ruidoso.

ρi=|θ〉〈θ|

ρ=|0〉〈0|

ρo

ρc

ΓAB

U

ξ

ab

ρ

c

ρ

b

ρ

a

σ

c

σ

b

σ

a

U

2

Φ

ab

Φ

bc

Ψabc

U

1

Φ

ac

Entretanto, o estado ρc não é accessível e ρo=Trc(ΓAB) é o estado do qubit na saída do canal.

Como o estado total ΓAB é puro, se ele possuir algum entrelaçamento então, necessariamente, ρo

será um estado misto. Isto é óbvio pois o entrelaçamento de ΓAB é numericamente igual à entropia

quântica de Von Neumann de ρo. De forma semelhante, também se pode modelar um canal

quântico ruidoso para um estado bipartite como uma interação unitária entre o estado bipartite e um qubit representando o meio. Assim, nesta seção serão analisados os estados bipartites obtidos a partir de estados puros triparte do tipo C2⊗C2⊗C2. Uma das possíveis formas de produzir

estados triparte é mostrado na Figura 2.5.

Figura 2.5: Geração de estados triparte puros C2⊗C2⊗C2.

Na Figura 2.5, o estado bipartite ξab, produzido pela matriz unitária U1, é entrelaçado com o qubit

σc pela evolução unitária U2, gerando o estado puro triparte Ψabc. Para realizar a simulação,

100.000 estados foram gerados usando σa=σb=σc=|0〉〈0| e as matrizes U1 e U2 foram escolhidas

aleatoriamente segundo (C.40)-(C.41). A simulação destes estados mostrou que o entrelaçamento, medido pelo quadrado da concurrência, entre o estado bipartite Φab e o qubit ρc,

Eab_c, é dado por E(Ψab_c)≡Eab_c∝S(Φab)≡Sab=S(ρc)≡Sc. A relação entre Sab e Eab_c pode ser vista

Figura 2.6: Sab versus Eab_c.

Se considerarmos Ψa_bc, Φbc e ρa, resultados similares aos mostrados na Figura 2.6 são

encontrados. O mesmo acontece quando Ψac_b é considerado. Como exemplo analítico, pode-se

considerar o estado quântico:

abc abc

abc abc

abc =a1 000 +a2 101 +a3110 +a4 011

Ψ

que pode ser gerado tendo na Figura 2.5 σa=σb=σc=|0〉〈0| e as seguintes matrizes unitárias:

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − = ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 u u u u u u u u U ,

na qual 0<u1(2)<1. De (2.14) pode-se obter os estados considerando o entrelaçamento de um estado bipartite de qubits e um qubit:

2 4 2 2 2 4 2 3 2 1 3 1 2 4 2 2 2 3 2 1 _ 0 1 1 0 ; 1 1 0 0 1 0 a a a a a a a a a a a a b a b a ab b a b a ab c ab c ab c ab + + = Φ + + = Φ Φ + + Φ + = Ψ − + − + 2 3 2 2 3 2 2 4 2 1 4 1 2 3 2 2 2 4 2 1 _ 0 1 1 0 ; 1 1 0 0 1 0 a a a a a a a a a a a a c b c b bc c b c b bc bc a bc a bc a + + = Φ + + = Φ Φ + + Φ + = Ψ − + − + 2 3 2 4 3 4 2 2 2 1 2 1 2 4 2 3 2 2 2 1 _ 0 1 1 0 ; 1 1 0 0 1 0 a a a a a a a a a a a a c a c a ac c a c a bc b ac b ac b ac + + = Φ + + = Φ Φ + + Φ + = Ψ − + − + .

Os estados bipartites obtidos de (2.14) são:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

+ +

(

)

− − − − + + − − + + Φ Φ + + Φ Φ + = Γ Φ Φ + + Φ Φ + = Γ Φ Φ + + Φ Φ + = Γ ac ac ac ac ab bc bc bc bc bc ab ab ab ab ab a a a a a a a a a a a a 2 4 2 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 4 2 1 2 4 2 2 2 3 2 1 .

Por fim, os estados individuais são:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0

(

)

1 1

1 1 0 0 1 1 0 0 2 4 2 2 2 3 2 1 2 4 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 4 2 1 a a a a a a a a a a a a c b a + + + = + + + = + + + = ρ ρ ρ .

Observando os coeficientes de (2.16)-(2.27), as seguintes relações são facilmente encontradas:

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

ac b

)

( ) ( )

ac b

Obviamente as relações (2.28)-(2.30) estão de acordo com as simulações numéricas mostradas na Figura 2.6 e suas similares não mostradas. Portanto, verifica-se diretamente que o estado bipartite só será puro (e não perderá entrelaçamento) na saída do canal se ele não se entrelaçar com o estado quântico do canal.

No modelo do canal quântico considerado, os estados ξab e Φab são, respectivamente, os

estados na entrada e na saída do canal, sendo este representado pela matriz unitária I⊗U2 e o

sistema auxiliar σc. Como o canal é ruidoso, o entrelaçamento do estado final deverá ser menor

que o entrelaçamento do estado inicial. Escolhendo U1 e U2 da Figura 2.5 aleatoriamente, de acordo com (C.39)-(C.45), e usando o entrelaçamento de formação para medir o entrelaçamento dos estados ξab e Φab, pode-se obter as probabilidades de perda de entrelaçamento, ΔE=E(ξab

)-E(Φab). A Figura 2.7 mostra a curva da função densidade de probabilidade não normalizada desta

variação.

Figura 2.7: Função densidade de probabilidade não normalizada da perda de entrelaçamento, ΔE =E(ξab)-E(Φab).

Adicionalmente, traçando a perda de entrelaçamento, ΔE, versus a entropia do estado final, Sab,

(2.32) Figura 2.8: E(ξab) – E(Φab) versus Sab.

Portanto, como esperado, o estado na saída do canal será puro somente se não houver perda de entrelaçamento durante a propagação no canal. Na referência [10], para o mesmo esquema mostrado na Figura 2.5, foi apresentando um limite superior para o aumento da entropia de von Neumann durante a propagação no canal ruidoso. O aumento da entropia de von Neumann para um estado bipartite n⊗m é limitado por:

( ) ( ) ( ) ( )

S S S

( )

m

S Φ_ab − ξ_ab ≤ ρ_a − ξ_ab +log₂ .

Nos problemas considerados neste trabalho ξab é puro e m=2, portanto S(ξab)=0 e E(ξab)=S(ρa).

Sob estas condições, considerando (2.31) e a desigualdade obtida a partir da Figura 2.8, tem-se que:

( ) ( ) ( ) ( )

ξ_ab −E Φ_ab ≤S Φ_ab ≤E ξ_ab +1

E .

Portanto (2.32) tem o limite inferior e superior para a entropia de von Neumann do estado na saída do canal mostrado na Figura 2.5. Se o estado na saída do canal é desentrelaçado, então a entropia de Von Neumann do mesmo pertence ao intervalo [E(ξab),E(ξab)+1]. Isto indica que o

(2.33) (2.34)

(2.35) saída do canal. Assim, o estado bipartite na saída do canal só poderá ser maximamente misto (Φab

=I4/4) se o estado na entrada for maximamente entrelaçado.

Seja agora o canal quântico ruidoso modelado como mostrado na Figura 2.9.

Figura 2.9: Canal ruidoso modelado pela operação unitária canônica UD.

Ou seja, o qubit interage com o meio através da operação unitária canônica mostrada na Seção A.7, equação (A.92). O estado na entrada do canal é o estado de Bell Φ+_AB enquanto que na saída do canal há o estado misto ΓAB dado por:

(

)

(

)

(

)

{

†

}

2 2 3 1 exp

AB C D AB AB C D

D k k k

k

Tr I U I U

U i

ρ

θ σ σ

+ +

=

Γ = ⊗ Φ Φ ⊗ ⊗

⎛ ⎞

= _⎜− ⊗ _⎟

⎝

∑

⎠

.

Matricialmente o estado ΓAB obtido é dado por:

(2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.40) (2.41) (2.42) ( )

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

( )

[

( ) ( ) ( ) ( )

]

8 8 3 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2 3 3 1 3 1 2 2 2 2 3 , 2 2 2 2 2 4 , 1 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − + − − + − − + − + − − + + − − = Γ + + + = Γ i i i i AB i i i i AB e e e e e e e e

No cálculo da concurrência do estado (2.35)-(2.37) os autovalores são {cos(θ1+θ2)cos(θ1 -θ2),0,0,sin(θ1+θ2)sin(θ1-θ2)}. Com as condições π/4≥θ1≥θ2≥θ3≥0 satisfeitas [12] tem-se que:

( )

Γ_AB =cos(2θ₁)

C .

Embora na faixa de valores considerados para θ1C(ΓAB) seja sempre positivo, optou-se por usar

como medida de entrelaçamento o tangle, dado pelo quadrado da concurrência:

( )

cos2(2 ₁)

2 θ

τAB =C ΓAB = .

Desta forma, a perda de entrelaçamento durante a propagação é dada por:

) 2 ( ) 2 ( cos 1

1 2 ₁

1

2 θ θ

τ sen

E = − _AB = − =

Δ .

De (2.38)-(2.40) pode-se inferir que apenas a componente de σx em UD altera o valor do

entrelaçamento. A perda de entrelaçamento pertence ao intervalo [0,1], dependendo do valor de

θ1. Quando θ1=0 tem-se também θ2=θ3=0 e UD torna-se a matriz identidade, portanto o

entrelaçamento não varia. Quando θ1=π/4, tem-se

( )

( )

[

2 2

]

2

[

( )

2

( )

2

]

1 1 2 2 1 1 2 2 1 sin cos ; sin cos 0 0 -0 0 0 0 0 0 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ − = + = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = − − − − A A e A e iA e A e iA e iA e A e iA e A U i i i i i i i i D .

(2.43) (2.44)

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

( ) ( )

[

]

[

( ) ( )

]

( )

[

2

]

( )

2( )3

( )

2( )3

( )

2( )3

( )

2( )3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 , cos , 2 1 4 0 0 4 0 4 4 0 0 4 4 0 4 0 0 4 θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ sen s c c x s c x is c s c x is c x is c s c x is c s c AB = = + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + + + − − + − + = Γ

Usando o critério de Peres-Horodecki no estado (2.43)-(2.44), observa-se que os autovalores de A

T AB

Γ são [½, ½, 0, 0], portanto, como esperado, o estado é desentrelaçado para quaisquer valores de θ2 e θ3.

2.5. Simulações da Propagação do Estado Quântico por uma seqüência de

Canais Ruidosos e seu efeito no Entrelaçamento e Entropia

Utilizando como base a estrutura mostrada na Figura 2.9, é considerada, agora, a propagação dividindo o canal em trechos, sendo que cada trecho é modelado por uma matriz unitária canônica aleatoriamente escolhida. Uma vez escolhida a seqüência de matrizes que representarão o canal, diferentes estados iniciais para Φ_AB são aplicados à entrada do mesmo, e o comportamento do entrelaçamento e da entropia são avaliados. Seja inicialmente o estado

(

00 11

)

2

AB

+

Φ = + como entrada. Escolhendo para cada trecho de canal a matriz U_D

(

θ₁,0,0

)

, com θ1 aleatoriamente escolhido segundo uma distribuição uniforme, foi analisado o efeito

variação do entrelaçamento (ΔE=Eent-Esaída) versus entropia de Von Neumann (S). A curva é

Figura 2.10: ΔE (= E(ΦAB) - E(ΓAB)) versus entropia (S) com ΦAB= (00 + 11)/ 2 e

(

θ₁,0,0

)

D

U , com θ1 escolhido aleatoriamente para cada trecho do canal.

Na Figura 2.11 é traçado o mesmo gráfico agora considerando na entrada do canal o estado ΦAB

sendo qualquer estado puro maximamente entrelaçado, gerado aleatoriamente usando (A.37) e (A.38). Analisando os resultados observados nas Figuras. 2.10 e 2.11, pode-se constatar que o comportamento do entrelaçamento e da entropia é o mesmo independente de qual seja o estado maximamente entrelaçado na entrada do canal. Ou seja, este comportamento depende somente do entrelaçamento inicial e não do estado quântico particular na entrada. Quando esta mesma simulação foi realizada considerando na entrada do canal estados puros com valores quaisquer de entrelaçamento gerados a partir de (C.35) e (C.36), não é possível encontrar um padrão de resposta que permita tirar alguma conclusão, como mostra a Figura 2.12.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Entropia (S)

Ee

n

t

Es

a

íd