Despoupando o passado : o caso das hipotecas reversas

ANA LUIZA OLIVEIRA CHAMPLONI

DESPOUPANDO O PASSADO: O CASO DAS HIPOTECAS REVERSAS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Economia de Empresas da Universidade Católica de Brasília, como requisito parcial para obtenção do Título de Mestre em Economia.

Orientador: prof. Dr. Jaime José Orrillo Carhuajulca

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer a todos que colaboraram para a conclusão deste curso de Mestrado em Economia, especialmente:

- À minha família, pelo apoio e compreensão durante minha vida acadêmica; - Ao Julian, pela ajuda em todos os momentos e por ser o meu maior incentivador;

- Aos meus professores da Universidade Católica, e principalmente ao prof. Jaime, que me orientou neste trabalho, aos profs. Wilfredo e Marcelo, por suas valiosas sugestões, e ao prof. Gilson, que sugeriu o título desta dissertação;

RESUMO

Referência: CHAMPLONI, Ana Luiza O. Despoupando o passado: o caso das hipotecas reversas. 36 folhas. Dissertação de Mestrado em Economia de Empresas – Universidade Católica de Brasília, Brasília, 2010.

Nesta dissertação, um modelo de equilíbrio geral com mercados incompletos (GEI) é construído para a análise dos mercados de hipotecas reversas. Mais especificamente, é mostrado que, de acordo com a teoria microeconômica, tal inovação financeira é compatível com mercados bem-comportados, nos quais os agentes são tomadores de preços. Ou seja, por meio do desenvolvimento e da prova de um teorema e de lemas complementares, é possível mostrar que, em um modelo que considere as características essenciais e descreva o funcionamento desse mercado, o equilíbrio sempre existe, dado que certas hipóteses acerca das funções de utilidade e das dotações iniciais sejam atendidas. Além disso, esta dissertação apresenta uma revisão da literatura sobre o assunto, destacando os riscos, vantagens e desvantagens desse mercado, uma discussão sobre implicações em políticas públicas e os alertas envolvendo uma possível implementação das hipotecas reversas no Brasil.

ABSTRACT

In this dissertation a general equilibrium model with incomplete markets (GEI) is constructed for the analysis of reverse mortgage markets. More specifically, it is shown that according to microeconomic theory, such financial innovation is compatible with well-behaved markets in which agents are price takers. That is, by developing and demonstrating a theorem and complementary lemmas, it is possible to show that, in a model that essentially captures the main features and describes how this market operates, the equilibrium always exists, given that certain hypothesis on utility functions and initial endowments are met. In addition, this dissertation provides a state-of-art literature review highlighting the risks, advantages and disadvantages of such a market, discusses policy implications and the caveats associated with its potential implementation in Brazil.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 6

2. REVISÃO DE LITERATURA ... 10

3. HIPOTECAS CONVENCIONAIS ... 16

3.1 MODELOS DE MERCADOS INCOMPLETOS... 16

3.2 HIPOTECAS NO CONTEXTO DE MERCADOS INCOMPLETOS ... 18

4. MODELO COM HIPOTECAS REVERSAS ... 20

4.1 MODELO ... 21

4.2 EQUILÍBRIO ... 25

4.3 EXISTÊNCIA ... 25

4.4 RESULTADO ... 27

4.5 O JOGO GENERALIZADO ... 27

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 32

6. APÊNDICE ... 34

1. INTRODUÇÃO

A população brasileira está envelhecendo, e será necessária uma adaptação a essa nova realidade. De acordo com os Indicadores Sociodemográficos e de Saúde (2009) divulgados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o rápido processo de envelhecimento da população, aliado a fatores como queda dos índices de mortalidade, melhoria nos serviços de saúde e acesso ao saneamento básico nas cidades tem causado modificações profundas na composição etária da população. O gráfico 1 apresenta a evolução da porcentagem de indivíduos acima dos 60 anos residentes do Brasil, de acordo com a Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (IBGE). A partir desses dados, estima-se que a proporção de idosos chegou a 11.1% da população em 2008. Esse número parece pequeno em relação aos países desenvolvidos, mas já indica a necessidade de o Brasil estabelecer políticas que garantam qualidade de vida a um número crescente de idosos.

Gráfico 1. Proporção de pessoas acima de 60 anos residentes no Brasil, em milhões

Fonte: Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios - IBGE (2009)

os benefícios cobertos pelo INSS1, tais gastos seguem uma trajetória ascendente, relacionada tanto ao aumento no número de idosos (beneficiários) quanto a outros fatores, como o aumento real do salário mínimo nos últimos anos.

Gráfico 2. Despesa total da Previdência Social deflacionada– INSS (R$ bilhões)

73 78 80

89

101 109

123 131 132

10 30 50 70 90 110 130 150

2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Fonte: Ministério da Previdência Social (2009)

Do ponto de vista da teoria econômica, a solução para esse problema está na adequada distribuição entre o consumo e a poupança durante a vida produtiva, conforme sugerido pelos modelos macroeconômicos de ciclo de vida. Neri e outros (1999) tratam sobre o assunto ao analisar os motivos que levam os idosos a acumular riquezas durante suas vidas. Segundo os autores, Modigliani (1986) apresentou uma versão simplificada da teoria do ciclo de vida, no qual os jovens não têm acesso ao mercado financeiro. A renda dos indivíduos é constante durante a vida produtiva, e o montante poupado tem como objetivo financiar o consumo nos anos de inatividade. Ainda há outra versão do modelo de ciclo da vida no qual há a possibilidade de os jovens se endividarem, quando existe a expectativa de aumento dos rendimentos ao longo da vida, de forma que seja possível pagar o empréstimo contraído e ainda assim, acumular riqueza para a aposentadoria.

Nota-se que, nas duas versões desse modelo, não há previsão de que os descendentes contribuam para o sustento de seus idosos. A idéia é que todos dependessem apenas de seus rendimentos para sobreviver, e que, ao final da vida, todos os ativos fossem exauridos e que

1 _{Os benefícios do INSS incluem: aposentadorias, auxílio-doença, pensão por morte, salário-maternidade, entre}

não houvesse herança. No entanto, existem restrições do ponto de vista operacional para que os mecanismos sugeridos por Modigliani sejam efetivados na realidade, devido ao elevado grau de incerteza em relação à expectativa de vida dos idosos, o que dificulta a inserção dessas pessoas no mercado financeiro. Uma possível solução para esse problema é a chamada hipoteca reversa.

No período da aposentadoria, os idosos proprietários de imóveis podem se deparar com o seguinte dilema: permanecer em suas residências, com proventos de aposentadoria, muitas vezes insuficientes para suas necessidades, e deixar a casa como herança, ou vender o imóvel – nem sempre uma opção desejada – e mudar-se para uma residência alugada, utilizando parte do valor da venda da casa para aumentar seus rendimentos. No entanto, caso vivam mais do que o esperado, o montante adquirido com a venda da casa pode não ser suficiente para financiar seus gastos durante todo o período. Para tais situações, a hipoteca reversa parece ser uma opção interessante (BARTEL, DALY and WRAGE, 1980).

Hipoteca reversa é um tipo de empréstimo, somente disponível para idosos, que permite resgatar o ativo imobiliário acumulado pelas pessoas durante a vida, na forma de um pagamento único (lump sum), pagamentos múltiplos ou linha de crédito. Aqueles idosos que forem elegíveis para esse empréstimo receberão, em alguma das modalidades disponíveis, uma parte de seu ativo imobiliário enquanto residirem no imóvel a ser dado como garantia. O empréstimo apenas será pago quando o idoso falecer ou deixar de viver na casa. O montante disponível para empréstimo dependerá, essencialmente, da idade do(s) proprietário(s), do valor do imóvel e da taxa de juros corrente. Quanto mais velha for a pessoa e mais valiosa for sua casa, maior será o empréstimo que ela poderá realizar.

Caetano and Mata (2009) fazem uma comparação com a hipoteca convencional, evidenciando as diferenças entre os dois tipos de empréstimo. Cabe ressaltar que, em ambos os casos, a propriedade do imóvel permanece com o credor.

• Na hipoteca convencional, o objetivo é a compra ou refinanciamento de um imóvel. Com o passar do tempo, os pagamentos se efetuam e a dívida contraída cai, enquanto o ativo imobiliário da pessoa aumenta.

• Na hipoteca reversa, o objetivo é dar liquidez ao ativo imobiliário acumulado durante a vida. À medida que os idosos recebem os pagamentos do credor, sua dívida aumenta, e o valor líquido de sua residência cai.

Os vários tipos de hipoteca reversa não têm sido imunes a críticas. Conforme Bartel, Daly and Wrage (1980), alega-se que o programa estimularia os idosos a permanecerem em casas grandes demais para eles e com altos custos de manutenção, sendo mais eficiente que eles vendessem a casa e se mudassem para locais menores. Para as pessoas que preferirão ficar na mesma casa, independentemente da renda auferida, a hipoteca reversa é algo positivo, pois proverá recursos que poderão financiar inclusive a manutenção dessa casa. Assim, o indivíduo terá interesse em fazer isso, pois poderá se beneficiar de uma futura valorização da casa, diminuindo o valor de seu débito ou aumentando o valor de seus pagamentos.

Apesar de a operação parecer simples, o mercado de hipotecas reversas nos países que já as adotaram tem encontrado dificuldades em ser estabelecido devido aos riscos da operação, de acordo com Caetano e Mata (2009) e Álvarez e outros (2007). Para os emprestadores, há o risco de descasamento entre ativo e passivo, ou seja, o valor da dívida superar o valor do imóvel; risco de longevidade do hipotecário, que torna incerta a data do pagamento do empréstimo; risco judicial, onde os herdeiros entrariam na justiça para reaver o imóvel hipotecado e também as flutuações de preços, tanto do imóvel dado em garantia como dos imóveis em geral. Do ponto de vista dos idosos, há o risco de falência do credor, caso em que ele não receberia os pagamentos combinados; risco de suspensão de benefícios assistenciais, risco tributário, entre outros. Para maior detalhamento, consultar os trabalhos mencionados.

necessária em sua casa, uma vez que o máximo que ele poderá dever é o valor de mercado do imóvel, além dos complexos psicológicos envolvendo o termo “hipoteca”, relacionando-o à possibilidade de perda da casa.

Esta dissertação está organizada da seguinte forma: no capítulo 2, foi feita uma revisão da literatura sobre hipotecas reversas. O capítulo 3 trata brevemente sobre as hipotecas convencionais, relacionando seu funcionamento ao modelo de mercados incompletos. Tal arcabouço também foi utilizado posteriormente, na elaboração do modelo de hipotecas reversas. O capítulo 4, por sua vez, corresponde à parte principal deste trabalho, cuja contribuição ao estudo de hipoteca reversa está na criação de um modelo de equilíbrio geral onde esse tipo de empréstimo está disponível. Nessa economia, onde os agentes são os idosos e os investidores e há apenas dois períodos de tempo, foi possível demonstrar através de um teorema e três lemas que o equilíbrio competitivo existe em mercados bem-comportados, considerando hipóteses como dotações iniciais não nulas, entre outras.

2. REVISÃO DE LITERATURA

O principal objetivo deste não é oferecer um a vasta descrição acerca das hipotecas reversas, mas citar trabalhos que abordam esse tema para saber de que forma esse empréstimo tem se desenvolvido nos países que as adotaram. Além disso, serão indicados trabalhos que visam estudar sua viabilidade em vários países do mundo.

Não foi possível precisar a origem desse tipo de empréstimo, porém Bartel, Daly and Wrage (1980) afirmam que a idéia das hipotecas reversas deveu-se a um projeto criado na província canadense de Nova Escócia, em 1979. Direcionado aos proprietários de casa aposentados, o objetivo era aumentar a renda dos idosos por meio de conversão de parte do ativo imobiliário em pagamentos mensais regulares ao seu proprietário. Nesse programa, o idoso não tinha mais a propriedade da casa. Na ocasião da morte do pensionista, a casa seria vendida para recuperar o dinheiro do empréstimo, com a primeira opção de venda para o membro mais direto da família do falecido. O programa seria estabelecido e administrado por alguma agência governamental. No entanto, um esquema semelhante já estava em operação na Inglaterra há alguns anos, oferecido por uma empresa privada denominada Home Reversions Limited. O que pode ser dito é que o país onde esse tipo de empréstimo desenvolveu-se de forma relativamente bem-sucedida foi os EUA.

Dentre as vantagens apresentadas pelo HECM, podemos citar o seguro governamental, que pode ser acionado em caso de falência do credor e de descasamento entre ativo e passivo; flexibilidade de formas de pagamento ao hipotecado, conforme Tabela 1; ampla divulgação nos meio de comunicação, para tornar o produto conhecido entre o público-alvo; o idoso não terá que pagar impostos sobre a renda obtida no programa – solucionando a questão do risco tributário – e essa quantia não será considerada na elegibilidade de programas assistenciais do governo. Como principais desvantagens, poderíamos citar os altos custos de entrada, as restrições impostas pela HUD para a adesão ao programa (idade mínima de 62 anos, entre outras). Para maiores detalhes, consultar Caplin (2000) e Caetano e Mata (2009).

Tabela 1. Formas de pagamento: prós e contras

Opção de pagamento Prós Contras

Linha de crédito: os recursos são acessados de acordo com a necessidade

1) Flexibilidade: a pessoa só usa o

dinheiro quando precisar 1) O idoso pode exaurir sua linha de crédito antes da hora. 2) Atualização do valor não

utilizado porque o imóvel teve seu valor apreciado no ano anterior e o morador ficou um ano mais velho

2) Para acessar os fundos, a pessoa deverá fazer um requerimento ao seu respectivo emprestador.

Pagamento a prazo: são feitos pagamentos mensais por um determinado período de tempo

1) O dinheiro pode ser depositado automaticamente na conta bancária do indivíduo

1) O montante recebido por mês é fixo.

2) A pessoa recebe parcelas mensais maiores do que as da opção da pagamento vitalício

2) Os pagamentos mensais não são indexados à inflação

Pagamento vitalício: A pessoa recebe pagamentos mensais fixos enquanto viver na casa

1) Os pagamentos mensais

continuam enquanto a pessoa viver em sua residência, mesmo que o total recebido durante a vida exceda o valor da casa.

1) O montante recebido por mês é fixo.

2) Os pagamentos mensais não são indexados à inflação

Pagamento a prazo modificado: pagamentos mensais por um período de tempo, além de uma linha de crédito

1) Disponibiliza duas fontes de

fundos 1) Os pagamentos mensais são _{reduzidos, uma vez que parte do} valor da casa é destinada à linha de crédito

2) Combina vantagens de duas modalidades

Pagamento vitalício modificado: pagamentos mensais enquanto a pessoa viver na casa, além de uma linha de crédito.

1) Disponibiliza duas fontes de

fundos 1) Os pagamentos mensais são

reduzidos, uma vez que parte do valor da casa é destinada à linha de crédito

2) Combina vantagens de duas modalidades

Fonte: National Reverse Mortgage Lenders Association (2009)

de imóveis com idade acima de 62 anos. Já Reed and Gibler (2003) reconhecem a fraca demanda inicial pelo produto por não existir um histórico de sua implementação, e por seu público-alvo ser de pessoas idosas, mais resistentes a inovações financeiras. Ainda assim, é possível observar um aumento sustentável no número de hipotecas reversas HECM na última década, como pode ser visto no gráfico 3, favorecido pelo fato de o Congresso Americano ter autorizado as agências federais a oferecerem seguros nesse tipo de operação em 1988.

Gráfico 3. Número de hipotecas reversas HECM por ano

8.127 14.181

21.636

47.266 48.493

108.293 115.176

85.639

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Fonte: NMRLA (2009)

Numa pesquisa para avaliar os motivos pelos quais os idosos que poderiam realizar hipotecas reversas não o fazem, Redfoot e outros (2007) encontraram: o desconhecimento e falta de confiança no programa. Entre aqueles que conhecem o HECM, o principal motivo da não-adesão são os altos custos do programa, razão que também afasta desse mercado os possíveis emprestadores. Os custos são superestimados porque consideram o máximo de recursos que o idoso irá utilizar durante o período do empréstimo. O programa tem alcançado altos níveis de satisfação entre seus usuários, mas a confiança do consumidor em geral nesse tipo de produto permanece baixa.

regulatório consolidado e de uma definição precisa do tratamento tributário para se consolidar no país. Na Austrália, esse tipo de empréstimo também não possui regulação específica, e sua adoção impede que os hipotecados sejam qualificados para programas de previdência e assistência social. O Reino Unido, por sua vez, apresenta um marco regulatório bem consolidado, mas o governo não oferece seguro público para esse tipo de empréstimo.

A viabilidade das hipotecas reversas em outros países é objeto de estudo de pesquisadores de várias partes do mundo. Mitchell and Piggott (2004), estudaram a adoção desse mecanismo no Japão, tendo em conta particularidades desse país, como a queda brusca da taxa de natalidade após a Segunda Guerra Mundial, o que tem gerado uma pressão cada vez maior nos sistemas previdenciários, e o alto valor das residências em geral naquele país, ou seja, idosos detendo ativos imobiliários consideráveis. Como possíveis empecilhos para o desenvolvimento desse mercado no Japão, os autores destacaram o longo período de recessão econômica pelo qual o país passou, fazendo com que o valor dos imóveis caísse e os juros permanecessem extremamente baixos, e a conseqüente dificuldade em conseguir emprestadores para as hipotecas reversas. Apesar desses fatores, os autores concluíram que os benefícios superariam os custos decorrentes dessa operação.

Chou e outros (2006) estudaram o uso desse instrumento em Hong Kong, onde os idosos representam uma parcela significativa da população pobre, e a participação em programas assistenciais é estigmatizada. Os autores enfatizaram a imprevisibilidade do comportamento dessa população à possibilidade de não deixar suas residências como herança, costume amplamente adotado por esse povo de origem chinesa. Por meio de uma análise econométrica sobre a disposição dos habitantes de Hong Kong em aderir ao programa, caso fosse disponibilizado, chegou-se à conclusão que essa disposição é maior nos indivíduos que não tem filhos. Uma maior receptividade também foi encontrada nos adultos de meia-idade que possuem certa quantidade de ativos financeiros, ao contrário do esperado. No entanto, para que as hipotecas reversas consigam melhorar a renda dos idosos pobres proprietários de imóveis, o governo deverá interferir nesses programas, subsidiando-os para reduzir os custos administrativos.

estoque residencial e do fluxo de renda da população idosa no Brasil. Através da elaboração de um modelo de preços hedônicos baseado no valor do aluguel ou da prestação mensal do imóvel, foi possível estimar o valor total dos imóveis. Para isso, supôs-se que o valor do aluguel esteja entre 0,3% e 0,7% do valor do imóvel. Com isso, foi possível estabelecer três conjuntos de dados: quantidade de idosos proprietários de imóveis; valor desses imóveis e se o imóvel serve de residência apenas para idosos ou se é coabitado por seus descendentes, fator que inibiria a adoção da hipoteca reversa por representar um risco de perda do imóvel para a família.

3. HIPOTECAS CONVENCIONAIS

No capítulo anterior, foram analisados os principais mecanismos de funcionamento das hipotecas reversas, suas vantagens e limitações. Antes de entrar no modelo envolvendo a existência dessa nova modalidade de empréstimo, é importante entender o funcionamento do mercado de hipotecas convencionais, considerando o modelo de mercados incompletos.

3.1 MODELOS DE MERCADOS INCOMPLETOS

Geanakoplos (1996) explica que ao imaginarmos uma sociedade ideal, sob a qual são construídos modelos e teorias econômicas, era de se esperar que os agentes fossem racionais e que mantivessem as promessas, de todos os tipos, feitas com os demais agentes. Na vida real, contudo, as negociações não funcionam assim: é preciso garantir que as promessas sejam cumpridas, e esse objetivo é obtido com maior eficiência por “colaterais”, ativos tangíveis que tenham algum valor no longo prazo e sirvam de garantia para o recebimento para o emprestador no caso de default, por exemplo.

Assim, é possível analisar o funcionamento de três tipos possíveis de mercado:

• Equilíbrio em mercados completos (Arrow-Debreu): é aquele que considera que toda promessa poderá ser negociada num primeiro momento, devido ao número suficiente de ativos para cobrir todos os estados da natureza. Como Arrow e Debreu mostraram nos anos 50, nessa situação o equilíbrio distribui eficientemente o risco e não há espaço para a atuação do governo para o aumento do bem-estar. O máximo que poderia ser feito é a aplicação de punições àqueles que entrem em default, uma vez que essa situação só ocorreria por má-fé de algum devedor, que deixaria de honrar suas promessas para obter algum benefício.

O valor do bem durável pode variar com o tempo ou conforme os estados da natureza, devido a mudanças nas preferências dos indivíduos em cada estado, ou porque se espera que essas preferências mudem num modelo com vários períodos. Mesmo assim, não se espera que o preço do bem mude, porque quando os mercados são completos, os agentes se previnem para mudanças de estado da natureza. Nesse tipo de equilíbrio, não existe relação entre o valor da promessa a ser paga e o valor dos bens duráveis.

• Equilíbrio em mercados sem ativos: no outro extremo do modelo de Arrow-Debreu, considera-se uma economia na qual não há como garantir o cumprimento das promessas, devido à ausência de ativos suficientes para cobrir todos os estados da natureza. Nesse caso, os agentes antecipam que todas as promessas serão quebradas, e a economia ficaria reduzida de modo a não haver nenhum ativo. Seria, então, proibido fazer promessas para o futuro.

O equilíbrio sempre existiria, mas o risco não seria distribuído de forma eficiente. Caberá ao governo a criação de novos mercados, subsidiando-os ou garantindo o recebimento do pagamento no caso de default. No momento posterior, é possível pensar no desenvolvimento de um mercado de colaterais.

•Equilíbrio geral com mercados incompletos (GEI2): seria um meio termo entre os dois modelos apresentados anteriormente: não há ativos financeiros suficientes para garantir todas as promessas da economia, mas alguma quantidade deles existe. Em termos de bem-estar, o modelo GEI geralmente está nesse meio termo; contudo, essa incompletude do mercado gera efeitos diversos das demais situações. Por exemplo, o preço dos bens duráveis pode ser tornar mais volátil nesse caso, e há espaço para a intervenção do governo, a fim de “completar os mercados incompletos” que sejam considerados importantes.

Para Geanakoplos (1990), a teoria do equilíbrio geral com mercados de ativos incompletos (GEI) fornece uma visão mais ampla do que a teoria de mercados completos de Arrow-Debreu, sendo bastante versátil em termos de aplicações em modelos econômicos. Isso de deve ao fato de o GEI utilizar a mesma metodologia dos modelos de mercados completos, como: agentes otimizadores, expectativas racionais, mercados em equilíbrio (market clear) e transações feitas sob concorrência perfeita. Dentre os fenômenos que passaram a ser

analisáveis por meio desse modelo, o autor destaca: distinção entre ativos financeiros e físicos, importância da diversificação de riscos, o “random walk” do preço dos produtos, a importância (ou não) de políticas financeiras corporativas, a racionalidade do defaut e falências, entre outras.

No entanto, Geanakoplos (1990) aponta possíveis fragilidades do modelo GEI, que tornaria mais difícil sua aplicação à realidade. Entre elas, estão: informação assimétrica, como eventos não observáveis a um dos agentes no momento do contrato de seguro; dificuldade de muitos agentes em acessar o mercado de ativos num momento oportuno, por falta de dinheiro, por exemplo, além do fato de que custos de abertura e estabelecimento de certo mercado podem não ser compensados pelos lucros auferidos pelo empreendedor. Ainda assim, as vantagens obtidas com o modelo GEI superam essas deficiências.

3.2 HIPOTECAS NO CONTEXTO DE MERCADOS INCOMPLETOS

Amplamente difundidas nos EUA, as hipotecas são um tipo de empréstimo relativamente recente que permite o adiantamento de recursos para a compra da casa própria. De acordo com Obringer (2009), os financiamentos imobiliários surgiram apenas nos anos 1930, por iniciativa de companhias de seguro, cujo objetivo era ganhar dinheiro não com taxas ou juros, mas com a apropriação dos imóveis de seus devedores. A maneira como os financiamentos funcionam hoje se iniciou em 1934, quando a FHA alterou as condições dos empréstimos imobiliários para que mais pessoas tivessem acesso ao crédito e o país saísse da depressão econômica. Conforme citado por Geanakoplos (1996), o sistema adotado nos primeiros anos das hipotecas, antes da Depressão, era o de pagamentos mensais de juros aos credores, acompanhada de um grande pagamento (balloon payment) ao final do empréstimo de todo o valor principal que foi financiado. Nesse esquema, o risco de que o valor do imóvel não cobrisse o total da dívida, no momento do pagamento, era muito alto, e de fato, o que ocorreu foram altas taxas de inadimplência.

qualificação do crédito pessoal, baseando-se na capacidade individual de pagamento do empréstimo, além do aumento do período do empréstimo, que saiu de 5 a 7 para os atuais 30 anos. Outra área de atuação da FHA foi a instituição de padrões de qualidade dos imóveis para que fossem elegíveis ao financiamento, de forma que não fossem concedidos empréstimos que ultrapassassem o tempo de construção da casa.

No entanto, a inovação mais importante causada pela entrada da FHA no mercado foi o fim do pagamento balão, ao estabelecer amortizações para os empréstimos. As pessoas deveriam realizar pagamentos incrementais junto com os juros em cada prestação, de forma a reduzir gradualmente o valor do empréstimo, até que ele fosse completamente quitado, ou tornando a dívida menor e de mais fácil recuperação, no caso de default.

A questão das hipotecas convencionais relaciona-se com a análise dos modelos de equilíbrio geral com mercados incompletos por este ser o mais adequado à realidade desse mercado, no qual, conforme descrito anteriormente, existe alguma quantidade de ativos, mas não suficiente para garantir todas as promessas. Ao realizar o empréstimo e deixar a casa que se está financiando como garantia, aumentou-se o número de ativos existentes na economia e permitiu-se realizar a operação em condições mais seguras e vantajosas para ambos os envolvidos. É feito um compromisso de pagamento de uma determinada dívida num período de tempo. Se esse pagamento não for realizado, o imóvel será vendido para obter o montante devido. Se houver lucro na operação, este será devolvido ao devedor. Caso o contrário, o emprestador arca com o prejuízo. Podemos observar que esse mecanismo de defesa do emprestador foi adotado da mesma forma para as hipotecas reversas.

4. MODELO COM HIPOTECAS REVERSAS

O objetivo principal deste trabalho é modelar as hipotecas reversas num contexto de equilíbrio geral com mercados incompletos e, a partir desse modelo, mostrar que esse tipo de empréstimo é compatível com o bom funcionamento dos mercados, isto é, se existe equilíbrio. A idéia do modelo é permitir que idosos possam tomar empréstimos para aumentar o consumo em seu último período de vida, algo antes restrito pelo mercado financeiro. A hipoteca reversa será garantida pelo imóvel possuído pelo idoso. No final do empréstimo, ou seja, momento onde o idoso falece, a casa será vendida para liquidar a dívida contraída. Como existe a possibilidade de existir excedente entre o valor de venda do imóvel e o valor da dívida, o idoso emitirá derivativos sobre o valor da casa, com valor de face igual à hipoteca reversa.

Este trabalho foi inspirado em Allen and Gale (1993), no qual foi elaborado um modelo sobre inovação financeira cujos conceitos se aplicariam à questão das hipotecas reversas. Os autores buscavam avaliar os efeitos econômicos de se permitir que empresas pudessem realizar vendas a descoberto, limitadas ou não.

Em Allen and Gale, há dois agentes principais. Os empreendedores, que só estão interessados no consumo do primeiro período, representariam os idosos no modelo de hipoteca reversa. Cada empreendedor possui um ativo que fornece um retorno aleatório no segundo período. Para maximizar o seu consumo de primeiro período, os empreendedores irão querer vender seus ativos para os investidores, na forma de títulos diversos lastreados na rentabilidade futura dos ativos. Ao contrário dos empreendedores, os investidores – representando os emprestadores da hipoteca reversa – têm aversão ao risco e estão interessados no consumo em ambos os períodos. No equilíbrio, eles adquirem os títulos emitidos pelos empreendedores e consomem os retornos no segundo período. O método utilizado para a obtenção do equilíbrio é dividir o tempo em dois períodos, e encontrar o equilíbrio do primeiro período pelo método de dois estágios. No segundo, é encontrado por meio de um leilão competitivo.

diversas modalidades. Os idosos do modelo de hipoteca reversa corresponderão aos empreendedores, enquanto os lenders (emprestadores da hipoteca reversa) serão os investidores do modelo desses autores. O conceito de equilíbrio mantém as características do equilíbrio de Arrow-Debreu no contexto de GEI, ou seja, considera que os agentes maximizam suas utilidades sujeitos às respectivas restrições orçamentárias e os mercados estão em equilíbrio (market clear).

Além disso, não será adotado o conceito de equilíbrio em dois estágios utilizado em Allen and Gale (1993), mais apropriado em casos de competição oligopolística, porque será considerado que nesta economia os agentes - emprestadores e idosos - são tomadores de preços. Neste modelo, os ativos físicos são possuídos pelos idosos, mas isso não tira a anonimidade do mercado, uma vez que os investidores estão apenas interessados na durabilidade dos ativos, não na identidade de seus proprietários. A metodologia adotada aqui para mostrar equilíbrio é a abordagem do jogo generalizado usada em Debreu (1952).

4.1 MODELO

Neste modelo, será considerada uma economia que se estende por dois períodos, 0 e 1, em um ambiente de incerteza. Assume-se que exista um número limitado S de estados da natureza. Esse estado será conhecido no período 1, mas não no período 0. Existem L bens em cada período e em cada estado da natureza.

Essa economia é povoada por um número limitado de investidores (emprestadores) e um contínuo de idosos. A população idosa é dividida em número finito V de faixas etárias. Sem perda de generalidade, será tomado um agente representativo h∈V em cada faixa, de

forma que exista um número finito de idosos. Esses agentes possuem ativos físicos como parte de suas dotações iniciais h _RL

+

∈

ω e são caracterizados por sua função de utilidade (que será mais precisamente definida a seguir) e pela forma que seus ativos físicos se deterioram, como por exemplo, suas casas. Tal deterioração é representada por meio de uma transformação linear h LxL

s R

Y ∈ + de forma que Y_shC_hcorresponda ao ativo físico no segundo

período no estado da natureza s∈S_{. Se o sistema de preços dos bens é} ( 1) 0,~)

( ∈ ₊LS+

R p

p ,

mercado dos bens, incluindo casas, multiplicado pelo seu estado de conservação, após a deterioração) é:

S S s h h s

sY C R

p )_∈ ∈ ₊

(

Para simplificar, assume-se que os idosos consomem apenas no primeiro período. Então, a função de utilidade para cada idoso representativo h∈Vcorresponde a

R R

Uh : _L+ → . Por outro lado, existem i∈I investidores que valorizam o consumo em ambos

os períodos. Como os idosos só tem interesse no consumo do período 0, irão vender seus ativos pela maior quantia possível. Para isso, emitirão títulos lastreados no único ativo físico

h

C que possuem. Assim, o que resta de sua dotação inicial é:

V h C_h

h − _,∀ ∈ ω

Em relação à estrutura financeira, tem-se que um título é uma função f :R₊ →R₊

definida pelo valor do ativo físico no segundo período h _s s s

s p Y C

K = . Define-se uma estrutura

financeira associada ao ativo físico C_j para ser o conjunto F_j de todos os títulos, de tal forma

que

s K K

f _s

F f

s

j

∀ =

∑

, ) (

Neste modelo, será analisado o caso onde apenas dois tipos de títulos são emitidos. Assim,

S s R K K

f R K K

f₁( _s)=min{ _s, _s}, ₂( _s)=[ _s − _s]+,∀ ∈

O tipo de título de dívida, ou seja, aquele responsável pelo pagamento da hipoteca

reversa, é representado por f₁(K_s)=min{K_s,R_s}. A condição estabelecida pelo operador

“min” é que o idoso nunca deverá mais do que o valor de sua casa, e que o valor recebido pelo emprestador é o mínimo entre o valor da dívida e o valor do imóvel no momento da liquidação do empréstimo. Por sua vez, o outro tipo de título é representado por

S s R K K

f₂( _s)=[ _s − _s]+,∀ ∈ . Isso significa que o pagamento desse título dependerá do estado

da natureza, e que só ocorrerá (será positivo) no estado s em que o valor do imóvel supere o

tipo de título derivativo foi necessária para que o modelo considerasse a hipótese da não existência de herdeiros para o montante restante da operação de hipoteca reversa.

Note que:

s K K f K

f₁( _s)+ ₂( _s)= _s,∀

Emitir títulos tem custos, de forma que o custo seja: K₀ = p₀C_j. Essa condição será

útil mais à frente, na seção 4.1.3.

Portanto, a economia descrita neste trabalho é definida por:

[

]

= ω ω ε

Onde F representa a estrutura financeira, correspondendo às hipotecas reversas e derivativos.

4.1.1 Idosos

Dados os preços dos bens, hipotecas reversas e derivativos do ativo físico C_h, cada idoso

V

h∈ escolhe (x₀,ϕ,ϑ)para maximizar a respectiva utilidade (que dependerá apenas do

consumo de bens e da residência):

) ( _{0 h}ϕ

h

C x

U +

Sujeito à seguinte restrição orçamentária

ϑ ϕ π ϕ

ω h h h

h

q C

p x

p_{0 0} ≤ ₀( ₀ − )+ + (1)

A equação (1) afirma que o idoso tem despesa com consumo p₀x₀, a qual é financiada pela

riqueza ₀(ω₀h _hϕ)

C

p − (valor líquido considerando o contrato de hipoteca reversa), além do

0

x é o valor do consumo do idoso

ϕ é o número de cotas de hipoteca reversa

ϑé o número de derivativos emitidos

h

π é o valor do título de hipoteca reversa

h

q é o valor de cada derivativo

Cada idoso toma um empréstimo dos investidores (lenders) na forma de hipotecas

reversas. Para cada cota de hipoteca reversa associada ao ativo físico C_h, o idoso deverá

pagar h s

R . Como no segundo período os idosos já terão morrido, o lender que comprou a cota

terá direito a receber, em cada estado da natureza:

} ,

min{ h

s h s h

s K R

m =

Em que: h s

K é o valor obtido com a venda do imóvel e R_shé o montante devido ao

emprestador. O valor h s

m é obtido após a venda do ativo depreciado C_h. No caso onde

h s h

s R

K < , os emprestadores receberão um montante proporcional de K_sh, que depende do

número de cotas (securities) que foram compradas. Por outro lado, se K_sh >R_sh, então a

hipoteca reversa será paga e ainda restará − h ≥0

s h

s R

K . Como será considerado que não há

descendentes, o idoso poderá vender derivativos lastreados pelo valor da casa cujo payoff

será:

S s R K

M_sh =[ _sh − _sh]+,∀ ∈

Além da restrição (1), temos esta restrição extra para os idosos:

S s K M

m_shϕ+ _shϑ = _sϕ,∀ ∈ (2)

Esta última condição implica que quando a estrutura financeira (número de títulos emitidos) é factível (compatível com o ativo físico), então ϕ =ϑ. Caso o contrário, a

4.1.2 Investidores

Dados os preços dos títulos V V

R R q)∈ ×

,

(π e o vetor de preços dos bens (p₀,~p), cada

investidor i∈Iescolherá _{x x} ∈_RLS+ ×_RV ×_RV

+( 1)

0,~, , )

( θ φ para maximizar sua função utilidade

) ~ , (x₀ x

ui , sendo que x~=(x₁,x₂,...x_S), sujeita às seguintes restrições orçamentárias:

i h V h h h V h

h q p

x

p_{0 0} +

∑

∑

∈ ∈

(3)

Essa condição implica que, no período 0, o investidor gasta em consumo, compra da hipoteca reversa e compra de derivativos e que esses gastos estão limitado ao valor de sua dotação inicial. S s M m p x p _h V h h s h V h h s i s s s

s ≤ +

∑

∑

∈ ∈ , φ θ ω (4)

A condição (4) indica que, no período 1, o investidor gasta com consumo novamente, e que sua renda é proveniente do valor de sua dotação inicial no segundo período e do retorno do investimento em hipotecas reversas e derivativos.

4.2 EQUILÍBRIO

O equilíbrio desta economia consiste no sistema de preços dos bens (p₀,~p), preços das

hipotecas reversas V

R₊

∈

π , preços dos derivativos V

R

q∈ ₊ e alocações

V V h h h R R ) ( ) ,

(ϕ ϑ _∈ ∈ ₊× ₊ (venda de hipotecas e derivativos) e V V I I i i i R R ) ( ) ,

(θ φ _∈ ∈ × (compra

de hipotecas e derivativos), tais que as seguintes condições sejam satisfeitas:

a. Para cada h∈V , (x₀h ,ϕh,ϑh)maximiza Uh(x₀ +C_hϕh) sujeito às restrições

orçamentárias (1) e (2)

b. Para cada i∈I, (x₀i,~xi,θi,φi)maximiza Ui(x₀,~x) sujeito às restrições

Essas duas condições indicam que as escolhas tanto dos idosos quanto dos investidores são ótimas.

c. Há equilíbrio no mercado de bens:

Em t=0.

∑

∑

∑

∑

∑

x_{0 0} ϕ ω₀ ω₀ (demanda agregada=oferta agregada)

Em t=1

S s C Y

x _h h

V h h s I i i s I i i

s =

∑

∑

∑

ω (demanda agregada=oferta agregada)

d. Há equilíbrio no mercado de títulos, no qual as transações ocorrem apenas no período inicial. V h h I i i

h = ∀ ∈

∑

h = ∀ ∈

∑

,

ϑ

φ .

As equações acima dizem que tanto no mercado de hipotecas reversas quanto no de derivativos a demanda agregada deve ser igual à demanda total em cada mercado respectivamente.

4.3 EXISTÊNCIA

Nesta seção, serão dadas as condições suficientes para a existência do equilíbrio em uma economia com hipotecas reversas. Para isso, é necessário estabelecer o seguinte teorema:

Teorema 1: Para uma economia onde:

i. para todos os agentes h∈V e i∈I, ωh e ωi pertencem a R₊L₊e R₊L₊(S+1) (a dotação inicial

ii. as funções de utilidade Uh :R₊L →R e Ui:R₊L(S+1) →R são contínuas, estritamente

crescentes e estritamente quase-côncavas (agentes avessos ao risco);

iii. os ativos físicos C_h∈R₊L para todo h∈V são diferentes de zero (existe alguma

quantidade de ativo físico);

existe um equilíbrio.

4.4 RESULTADO

Para provar o teorema 1, primeiro será necessário estabelecer o seguinte lema, que permite limitar as alocações que satisfazem as condições de factibilidade (condição que equilibre os mercados) da definição de equilíbrio. Mais precisamente, é preciso enunciar e provar o seguinte lema:

Lema 1: Sob as hipóteses (1) e (3) do Teorema 1, as alocações (x₀h,ϕh,ϑh)_h∈V e

I i i i i i

x

x ,~ , , )_∈

( ₀ θ φ em ε_rm que satisfazem as condições de factibilidade da definição de

equilíbrio são limitadas.

Prova: Apêndice

Para provar o Teorema 1, primeiro será preciso definir um jogo generalizado, como em Arrow-Debreu (1954). Depois, será mostrado que tal jogo tem um equilíbrio de Nash; ao final, será demonstrado que o equilíbrio para o jogo generalizado corresponde ao equilíbrio para a economia com hipotecas reversas.

4.5 O JOGO GENERALIZADO

Conforme dito anteriormente, para provar o teorema 1, é necessário estabelecer o equilíbrio em um jogo generalizado, jogado por um conjunto finito de agentes maximizando as respectivas utilidades (idosos e investidores) e leiloeiros em cada período maximizando o valor do excesso de demanda nos mercados. Assim, pode-se definir o jogo generalizado ζ da

i. Cada idoso h∈V maximiza Uh no conjunto de estratégias, que consiste em todas as

escolhas 2

0, , )

(x ϕ ϑ ∈R₊L×R_{+ satisfazendo as restrições (1) e (2) e que também são limitadas}

superiormente pelas constantes δ >0ouγ >0, dependendo da dotação inicial e níveis de

colateral que forem obtidos no lema 1.

Similarmente, cada investidor i∈I maximiza Ui no conjunto de estratégias

) , , , ,

(p π q δ γ

Bi _{, que consiste em todas as escolhas x} ∈_RLS+ ×_RV ×_RV

+( 1) )

, ,

( θ φ satisfazendo

(3) e (4) e que também sejam limitadas superiormente pelas constantes δ >0ouγ >0,

dependendo da dotação inicial e níveis de colateral que forem obtidos no lema 1.

ii. No primeiro período, o leiloeiro escolhe 1 0, , )

( ∈∆L+V+V−

q

p π para maximizar:

      − +       − +       − − + +

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ i I

h i h V h h I i h i h V h h I

i hV h V i I h V

h i h h h i q C x x

p_{0 0 0} ϕ ω₀ ω₀ π θ ϕ φ ϑ

iii. O leiloeiro do estado da natureza s do segundo período escolhe _∈∆L−1

s

p para maximizar:

      − −

∑

∑

∑

∈I ∈ ∈

i i I hV

h h h s i s i s

s x Y C

p ω ϕ

O seguinte lema garante a existência do equilíbrio do jogo generalizado ζ:

Lema 2: Sob as hipóteses do Teorema 1, existe m equilíbrio em estratégias puras para o jogo generalizado ζ:

Prova: O lema 2 se obtém do teorema que garante a existência de equilíbrio em um jogo generalizado de Debreu (1952). De fato, as funções objetivo dos agentes são contínuas e quase-côncavas em suas estratégias. Além disso, as funções objetivo dos leiloeiros são contínuas e lineares em suas próprias estratégias, e por isso, quase-côncavas. A correspondência3 de estratégias admissíveis, tanto para os agentes quanto para os leiloeiros, tem domínio compacto e valores (ou seja, conjuntos) compactos, convexos e não vazios. Tais correspondências são semicontínuas superiormente, porque tem valores compactos e gráfico fechado. A semicontinuidade inferior do interior das correspondências segue-se das hipóteses

3 _{Uma correspondência é uma função que tem como imagem um conjunto. Neste caso, para cada sistema de}

teorema 1 de Hildenbrand (1974) Porque o fecho de uma semicontinuidade inferior também é semicontínuo inferior, a continuidade desses conjuntos de funções está garantida. Também é possível aplicar o teorema do ponto fixo de Kakutani para a correspondência de estratégias ótimas para encontrar o equilíbrio.

Finalmente, o próximo lema afirma que o equilíbrio no jogo generalizado corresponde ao equilíbrio na economia com hipotecas reversas.

Lema 3:Se existe um equilíbrio para o jogo generalizado ζ, então existe um equilíbrio para a economia ε .

Prova: Factibilidade: Assumindo que [ , , ;( ₀, , ) ,( i₀,~i, i, i)_{i I}]

V h h h h x x x q

p π ϕ ϑ _∈ θ φ _∈ seja um

equilíbrio para o jogo generalizado, tem-se que:

h h h h h h h q C p x

p_{0 0} ≤ ₀(ω₀ − ϕ )+π ϕ + ϑ (6)

S s K

M

m_shϑh + _sϕh = _sϕh,∀ ∈ (7)

i i h V h h i h V h h

i _{q p}

x

p_{0 0}+

∑

∑

∈ ∈ (8) S s M m p x

p _hi

V h h s i h V h h s i s s i s

s ≤ +

∑

∑

∈ ∈

,

φ θ

ω (9)

Somando (6) em h, tem-se:

[

]

∑

∑

∑

p_{0 0} ϕ ω₀ π ϕ ϑ (10)

Somando-se (8) e (9) em i, tem-se, respectivamente:

0 )

( _{0 0}

0

∑

∑∑

∑∑

∈ ∈

∈ ∈

∈ i I h V

i h h

I i hV

i h h i I i i q x

p ω π θ φ (11)

S s M m

x

p _hi

I i h V

h s I

i hV i h h s i s I i i s

s

∑

∑∑

∑∑

∈ ∈

∈ ∈

∈

, )

( ω θ φ (12)

S s M C Y x

p _hi _hi

I i hV

h s V h i h h h s i s I i i s

s

∑

∑

∑∑

∈ ∈ ∈ ∈ ), ( )

( ω θ φ θ (13)

Somando-se (10) a (11) e agrupando os termos, tem-se:

0

0 0

0 0

0 ≤

     − +       − +       − − + +

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

i hV hV i I hV h i h h h i q C x x

p ϕ ω ω π θ ϕ φ ϑ (14)

Devido ao fato de (p₀,π,q)solucionarem o problema do leiloeiro, segue que:

0

0 0

0

0 +

∑

∑

∑

∑

∑

∈ ∈

∈ ∈

∈ h V

h V h i h V h h V h h I i i C x

x ϕ ω ω (15)

V h h I i i

h − ≤ ∀ ∈

∑

, 0

ϕ

θ (16)

V h h I i i

h − ≤ ∀ ∈

∑

, 0

ϑ

φ (17)

Note que as equações (13) e (14) valem com igualdade desde que as equações (6), (8) e (9) também valham com igualdade. Essa observação decorre da monotonicidade das funções utilidade. Agora, será mostrado que as equações (15), (16) e (17) se mantém com igualdade. De fato, suponha que exista um l∈Ltal que:

0

0 0

0 +

∑

∑

∑

∑

∈ ∈

∈

∈ i I

h l V h hl V h h l I i i

l x C h

x _ϕ ω (18)

O que implica que p₀l =0 e que isso, por sua vez, implica que o consumo

h

x₀ exi₀de ambos

os agentes é o máximo possível. Isso implica que ambos os agente poderiam aumentar o consumo, contradizendo a equação (15). Assim, a equação (15) deve valer com igualdade.

Definindo o seguinte conjunto H de todos os idosos proprietários de imóveis:

0 :

{ ∈ ≠

= h V Ch

H ou (∃s∈S:A_sh >0e Y_sC_h >0}

H é o conjunto de idosos que possuem alguma casa ou, em algum estado s, o retorno

Agora, supondo que existe um h∈H tal que (16) é uma desigualdade estrita. Então, o

preço desse ativo deverá ser nulo, ou seja, π_h =0. Isso motiva os investidores a comprar o

máximo possível desse ativo, o que contradiz os limites obtidos anteriormente. Então, (16) vale com igualdade. Similarmente, é possível mostrar que (17) é uma igualdade da mesma forma. Isso implica que:

V h h I i i

h = ∀ ∈

∑

,

ϕ

θ (19)

V h h I i i

h = ∀ ∈

∑

,

ϑ

φ (20)

Resta provar as condições de equilíbrio no mercado no segundo período.

Anteriormente, notou-se que (2) implica que θh =ϑh _{para todo h}∈_{V. Disso, segue-se que o}

lado direito da equação (13) é zero. Então, tem-se que:

S s C

Y x

p _hi

V h h h s i s I i i s

s

∑

∑

∈ ∈

, 0 )

( ω θ (21)

A partir do fato que p_ssoluciona o problema do segundo período do leiloeiro, tem-se:

S s C

Y

x _hi

V h h s i s I i i

s − −

∑

∑

( ω θ (22)

Utilizando o mesmo argumento para zerar o mercado de bens no primeiro período, prova-se que (22) vale com igualdade, o que finaliza a factibilidade.

Otimização:

Provar que ( ₀h, h, h)

x ϕ ϑ maximiza Uh(x₀ +C_hϕh) em Bh(p₀,π,p)e

) , , ~ ,

( ₀i i i i

x

x θ φ maximiza Ui(x₀ +x~)em Bi(p,π,p). Supondo que isso não ocorra, a

quase-concavidade da função utilidade dos agentes e a interioridade da solução do jogo generalizado por parte dos agentes gera uma contradição na otimização dos jogadores no jogo ζ. Isso ocorre

porque ( ₀h, h, h)

x ϕ ϑ e (x₀i,~xi,θi,φi)satisfazem a factibilidade do Lema 1. Então, o Lema 3 é

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho teve como objetivo contribuir para a literatura sobre hipotecas reversas, através da elaboração de um modelo que justificasse a utilização desse tipo de empréstimo do ponto de vista da teoria econômica. Vale lembrar que essa conclusão só poderá ser tomada considerando as hipóteses assumidas no modelo, como agentes tomadores de preços e existência de derivativos lastreados no valor do imóvel. Essa questão se torna ainda mais importante nos dias de hoje, quando é necessário encontrar opções para inserir novos agentes no mercado financeiro e aumentar o bem-estar de um número crescente de idosos, não apenas no Brasil como em todo o mundo.

Por meio de uma breve revisão bibliográfica no capítulo 2, foi possível conhecer o desenvolvimento do mercado em países que já estão adotando as hipotecas. Foi importante também citar os estudos feitos para verificar a viabilidade desse mercado em outros países, entre eles o Brasil. Para o mercado doméstico, concluiu-se que o produto apresenta um mercado potencial relevante, e que as melhores práticas adotadas nos demais países devem ser consideradas caso seja interessante introduzir o produto no país.

Este trabalho inovou ao criar um modelo, ainda que preliminar, que pudesse analisar o bom funcionamento dos mercados na presença desse tipo de empréstimo, para então tornar a discussão embasada em fundamentos microeconômicos. Para atingir esse objetivo, foi preciso, em primeiro lugar, analisar o equilíbrio em mercados incompletos, por ser o que mais se aplica ao caso das hipotecas convencionais, e em seguida, aplicá-lo no caso das hipotecas reversas. O capítulo 3 ficou responsável por essa parte, ao descrever os escassos, porém relevantes, trabalhos feitos sobre o assunto e relacionar esse tipo de equilíbrio ao problema descrito neste trabalho.

utilizar diversas metodologias aplicadas anteriormente em trabalhos sobre inovação financeira para atingir o objetivo desejado. Dado esse primeiro passo, é importante que a pesquisa sobre esse tema não se encerre aqui, e que outras metodologias sejam aplicadas para encontrar meios de viabilizar as hipotecas reversas para um número maior de idosos proprietários de imóveis.

6. APÊNDICE

Lema 1: Sob as hipóteses (1) e (3) do Teorema 1, as alocações (x₀h,ϕh,ϑh)_h∈V e

I i i i i i x

x ,~ , , )_∈

( ₀ θ φ em ε_rm que satisfazem as condições de factibilidade da definição de

equilíbrio são limitadas.

Prova do Lema 1:

∑

∑

∑

∑

∑

x_{0 0} ϕ ω₀ ω₀

Considere que:

{ }

i l

i 0 =M

maxω

{ }

h l

h M

~ maxω₀ =

l l h V h h V h h I i

i _{x C IM HM}

x

K =

∑

∑

∑

∈ ∈ ∈ ϕ l l i

ol K IM HM

x ≤ ≤ + ~

l l

h

ol K IM HM

x ≤ ≤ + ~

l l

h j l

h K IM HM

C ~ϕ ≤ ≤ + ~

0 : , 0 ) ,..., ,

( _{1 2} ≠ ∃~ ≠

= _{h h hL l h}

h C C C C

C

Por causa das hipóteses do modelo:

7. BIBLIOGRAFIA

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