Optimização em redes com parâmetros aleatórios

(1)

Deolinda M. L. Dias Rasteiro

Universidade de Aveiro_{Departamento de Matem´atica} 2005

Optimizac˜

ao em Redes com Parˆ

ametros

Aleat´

orios

(2)

Deolinda M. L. Dias Rasteiro

Optimizac˜

ao em Redes com Parˆ

ametros

Aleat´

orios

Disserta¸cão apresentada à Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários à obten¸cão do grau de Doutor em Matemática. Tra-balho realizado sob a orienta¸cão cient´ıfica do Pro-fessor António José Batel Anjo, ProPro-fessor Auxiliar do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro.

(3)

o j´

uri

presidente

vogais

Reitora da Universidade de Aveiro

Prof. Doutor Joaquim Jo˜ao de Alarc˜ao J´

udice

professor catedr´atico da Faculdade de Ciˆencias e Tecnologia da Universidade de Coimbra

Prof. Doutor Pedro Nuno Ferreira Pinto de Oliveira

professor associado com agrega¸c˜ao da Escola de Engenharia da Universidade do Minho

Prof. Doutora Maria Ros´alia Dinis Rodrigues

professora associada da Universidade de Aveiro

Prof. Doutora Helena Ramalhinho Dias Louren¸co

professora associada da Universitat Pompeu Fabra - Barcelona Espanha (Co-Orientadora)

Prof. Doutor Ant´onio Jos´e Batel Anjo

(4)

As palavras obrigado e agrade¸co não são suficientes para dirigir ao conjunto de pessoas que me apoiaram durante a elabora¸cão deste trabalho! Foram tantas aquelas que, mesmo sem darem conta me ajudaram que, quase certamente me esquecerei de alguém. Consciente disso, come¸co por agradecer ao meu orientador Professor Doutor Batel pelo apoio e boa disposi¸cão com que sempre me recebeu, mesmo quando as minhas incertezas eram similares aos parâmetros aleatórios das redes deste trabalho.

A todos os meus colegas do Departamento de F´ısica e Matemática do ISEC, agrade¸co o conv´ıvio e ambiente amigo que só este departamento (desculpem-me os outros mas este é especial) sabe proporcionar. Pipoca, Pulguita, Xéu(s), Lu´ıs, . . . , Todos “bigada”!

Um obrigado aos meus alunos que, ao longo destes anos, partilharam comigo as salas de aula valorizando a continua¸c˜ao da investiga¸c˜ao.

`

A Cristina Rosa um obrigado do tamanho do mundo!!

Fundamentais e essenciais para mim foram os mimos e as ajudas dos meus pais, irmã, Pedro, João Pedro, Maria e restante fam´ılia. Sem vocês nada faria sentido! Obrigado Pedro, João e Maria por encherem a minha vida de sorrisos e travessuras.

Finalmente um agradecimento póstumo ao Homem sem o qual este trabalho não teria sequer come¸cado, Professor Doutor Ernesto Queirós Vieira Martins.

(5)

resumo

Esta disserta¸cão tem por base os estudos efectua-dos sobre Optimiza¸cão Combinatória, em particu-lar Optimiza¸cão em Redes. Estudou-se o problema do Trajecto Estocástico Óptimo com parâmetros aleatórios cont´ınuos e discretos.

São propostos diversos algoritmos para a resolu¸cão deste problema que se baseiam nos algoritmos de rotula¸cão, conhecidos para o caso da determina¸cão do Trajecto Óptimo em IR e em IRk_{, e na}

genera-liza¸c˜ao das equa¸c˜oes de Bellman.

Estes algoritmos foram aplicados a redes de grandes dimens˜oes, geradas aleatoriamente, tendo-se adaptado uma estrutura de dados ao problema.

(6)

Optimization. The problem of the Stochastic Op-timal Loopless Path with continuous and discrete random parameters was studied.

Diverse algorithms for the resolution of this prob-lem are considered. Those algorithms are based on the labelling algorithms, known for the case of the determination of the Optimal Path in IR and IRk_,

and in the generalization of Bellman equations. These algorithms had been applied to networks with high dimensions, randomly generated, hav-ing itself adapted a data structure to the problem.

(7)

Aos meus pais

(8)

Introdu¸c˜ao 1

1 Algumas Considera¸c˜oes Sobre Redes 7

1.1 Nota¸c˜ao e Defini¸c˜oes . . . 7

1.2 Trajecto ´Optimo Cl´assico . . . 9

1.3 Trajecto ´Optimo em IRk _{. . . 16}

2 Trajecto Óptimo Com Parâmetros Aleatórios Cont´ınuos 29 2.1 Defini¸cão do Problema . . . 30

2.2 Fun¸c˜ao Utilidade Linear . . . 32

2.3 Fun¸c˜ao Utilidade Quadr´atica . . . 41

2.4 Fun¸c˜ao Utilidade Exponencial . . . 44

2.5 Resultados Computacionais . . . 46

2.5.1 Estrutura de Dados . . . 47

2.6 Conclus˜oes . . . 57

3 Trajecto Óptimo Com Parâmetros Aleatórios Discretos 59 3.1 Defini¸cão do Problema . . . 59

(9)

3.2 Como Obter a Solu¸c˜ao . . . 64

3.3 Resultados Computacionais . . . 70

3.4 Conclus˜oes . . . 73

(10)

Em todos os problemas de optimiza¸cão o que se pretende é encontrar, de forma eficiente, a “melhor”solu¸cão de entre um conjunto de solu¸cões poss´ıveis. Os problemas de optimiza¸cão são objecto de classifica¸cão se-gundo vários critérios que vão desde a natureza das variáveis envolvidas até à dificuldade da sua resolu¸cão.

Relativamente ao tipo de variáveis que são usadas na modela¸cão do problema resulta de imediato a sua inclusão no grupo de problemas cont´ınuos ou combinatórios (discretos). Nos problemas combinatórios procura-se identificar um objecto de entre um conjunto finito ou infinito numerável. A área da Matemática onde se inserem este tipo de proble-mas é a Optimiza¸cão Combinatória ou Discreta e, a forma de os resolver consiste em desenvolver uma estratégia que permita, se poss´ıvel de uma forma rápida e eficiente, encontrar uma solu¸cão.

Os problemas que pertencem à área de Optimiza¸cão Combinatória têm a sua origem em vários campos da ciência, desde problemas de Matemática a problemas de Engenharia.

Uma sub-classe da Optimiza¸cão Combinatória é a Optimiza¸cão em Redes onde podemos inserir todos os problemas que podem ser modelados tendo por base uma estrutura de rede.

(11)

Tal como a Optimiza¸cão Combinatória, a Optimiza¸cão em Redes tem vastas aplica¸cões em diversos campos, uma vez que permite descrever, de uma forma organizada, muitos problemas nas áreas de planeamento e gestão de tarefas, distribui¸cão e dimensionamento de redes de energia e transmissão de dados entre outras. Uma rede pode ser interpretada como sendo um conjunto de tarefas, equipamentos, postos de transmissão entre os(as) quais existem liga¸cões estabelecidas à priori (redes estáticas) ou a estabelecer (redes dinâmicas).

Percorrer uma rede, desde um estado inicial até um estado termi-nal, pode ser interpretado como uma sequência de decisões associada `

a qual está um valor real, obviamente fun¸cão das escolhas intermédias efectuadas. Esse valor real é definido pelo agente de decisão de acordo com o critério que fundamentará todas escolhas efectuadas as longo do percurso. A fun¸cão que atribuirá um valor real a cada escolha será des-ignada por fun¸cão utilidade e consistirá no que vulgarmente se designa por fun¸cão objectivo de cada problema em causa. Em alguns, senão em todos, os problemas da vida real, o valor do parâmetro associado a cada arco não é sempre o mesmo, isto é, dependendo de várias circunstâncias como por exemplo, per´ıodo do dia, estado da liga¸cão, etc, os valores do parâmetro são distintos sendo que determinados valores ocorrem com mais frequência (relativa) que outros. Assim, faz sentido que em Opti-miza¸cão em Redes se introduza a aleatoriedade dos parâmetros, isto é, se introduza a incerteza (as probabilidades) quando são desejadas decisões que de alguma forma envolvam todos os cenários poss´ıveis.

Neste trabalho pretende-se determinar o Trajecto Estocástico Óptimo, segundo um determinado critério, o qual tenha em considera¸cão o facto de os parâmetros associados a uma determinada decisão poderem não ser

(12)

siderando diferentes fun¸cões utilidade, determina-se o trajecto óptimo, ou seja, o conjunto de decisões ou transi¸cões óptimas desde um estado inicial até um estado terminal.

Cada tarefa, equipamento, posto de transmissão será representado como um nó (vértice) da rede e corresponderá a um estado ou objec-tivo a atingir no problema formulado; As liga¸cões entre os estados, ou objectivos, serão designadas por arcos os quais indicarão o sentido em que as poss´ıveis transi¸cões entre estados são pass´ıveis de serem efectuadas, representando assim as escolhas ou decisões poss´ıveis em cada nó.

A cada arco é associado um parâmetro que, em problemas concretos, pode ser interpretado como distância, tempo, custo, etc, associado à de-cisão de o escolher para evoluir na transi¸cão para o estado (nó) seguinte na rede.

Um grafo aleatório, [4], é um conjunto de vértices e arcos. Tendo como base os trabalhos de Paul Erd˝os e Albert Rényi, [5, 6, 7], a Teoria dos Grafos aleatórios desenvolveu-se de tal forma que é hoje um dos principais campos da Matemática Discreta. Assume-se que a presen¸ca, ou ausência, de um arco a ligar dois nós é independente da presen¸ca, ou ausência, de qualquer outro arco, logo qualquer arco faz parte da rede com probabilidade p. Se a rede tiver n vértices e cada um deles estiver ligado, em média, a k outros, então p = k

n_{− 1}. O número de arcos ligado a um vértice designa-se por grau do vértice e representa-se por d. A distribui¸cão associada ao grau de determinado vértice, pd é dada por

pd =µ n d ¶ pd ₍₁ − p)n−d _≈ kde−k k! .

(13)

A distribui¸cão de pd é, no limite, a distribui¸cão de Poisson. Foi

provado, [2, 3], que a distribui¸cão dos graus dos vértices na generali-dade das redes reais é uma distribui¸cão de Poisson o que sugere que se a aproximarmos a uma distribui¸cão normal algumas caracter´ısticas da rede serão perdidas. Newman et al, [23], desenvolveu a Teoria dos Grafos aleatórios com uma distribui¸cão arbitrária para os graus dos vértices no caso dos grafos não orientados e deduziu algumas propriedades dos grafos orientados e bipartidos.

Na literatura s˜ao considerados v´arios tipos de problemas de trajecto e/ou1 _{caminho ´}_{optimo. Entre as publica¸c˜}_{oes mais recentes destacam-se}

os trabalhos de Ernesto Martins, [16, 14, 17, 15], para a determina¸c˜ao do Trajecto ´Optimo em IR e IRk _{e na enumera¸c˜}_{ao dos k-Trajectos ´}_Optimos.

A primeira publica¸c˜ao sobre estes problemas em redes probabil´ısticas ´

e de Frank, [9], que determinou o caminho mais curto num grafo aleat´orio bem como a distribui¸c˜ao de probabilidade associada a esse caminho.

Um dos critérios mais utilizados para determinar o trajecto e/ou cam-inho óptimo é o de maximizar a utilidade do valor esperado de uma fun¸cão utilidade. Este critério baseia-se na formula¸cão de Von-Newman-Morgenstern, [12], que sugere a forma como devem ser avaliadas as de-cisões que envolvam incerteza.

Mirchandani, Murthy, Sarkar e Soroush, [19, 20, 21, 22], apresentaram, na década de 90, alguns algoritmos para a resolu¸cão do problema do Caminho Mais Curto Estocástico considerando fun¸cões utilidade lineares, quadráticas e côncavas quasi-lineares.

No cap´ıtulo 1 deste trabalho, s˜ao enunciados e provados alguns

resul-1

Além das restri¸cões que existem no problema do Trajecto Óptimo neste problema ainda existe a restri¸cão de não existirem nós repetidos.

(14)

Nos cap´ıtulos 2 e 3, apresentamos os resultados teóricos e computa-cionais que obtivemos para redes com parâmetros aleatórios, associados aos arcos, discretos e cont´ınuos, por esta ordem. Note-se que o caso cont´ınuo não satisfaz nenhum dos Princ´ıpios de Optimalidade logo os al-goritmos de rotula¸cão existentes não podem ser aplicados. No caso dos parâmetros serem discretos o problema satisfaz um Princ´ıpio de Opti-malidade mas é necessária uma generaliza¸cão das equa¸cões de Bellman. Os resultados computacionais por nós obtidos para o problema do Tra-jecto Mais Curto Estocástico com parâmetros cont´ınuos e fun¸cão utili-dade linear foram comparados com algoritmos propostos por Murthy e Sarkar em [21]. As redes testadas nesse artigo são de dimensões muito inferiores às consideradas nos nossos testes e os tempos computacionais consideravelmente superiores. Relativamente aos outros algoritmos que apresentamos não foram efectuadas compara¸cões uma vez que não co-nhecemos, na literatura existente, algoritmos que resolvam este tipo de problemas.

No cap´ıtulo 4, s˜ao apresentadas as conclus˜oes e o trabalho que pre-tendemos realizar no futuro.

(15)

(16)

Algumas Considera¸c˜

oes Sobre

Redes

Em seguida é apresentado um conjunto de defini¸cões e resultados, que fazem parte da Teoria de Optimiza¸cão em Redes, no caso em que os pa-râmetros associados aos arcos são deterministas, e que são fundamentais para o desenvolvimento e exposi¸cão dos cap´ıtulos seguintes.

1.1 Nota¸c˜

ao e Defini¸c˜

oes

Defini¸c˜ao 1.1.1

Designa-se por rede e representa-se por G = (N , A) um grafo onde N = {v1, . . . , vn} é o conjunto dos nós e A = {a1, . . . , am} ⊆ N × N é o

conjunto dos arcos. Associado a cada arco de A est´a um parˆametro que representaremos por Xij, i, j ∈ N .

Ao longo deste trabalho assumir-se-´a que os conjuntos _{N e A s˜ao} finitos.

O n´o vi ser´a representado apenas pelo seu ´ındice i. Cada arco ak ∈ A

(17)

1.1. NOTAÇ ÃO E DEFINIÇ ÕES

Se a rede considerada for orientada então o arco (i, j) diz-se que tem origem em i e destino em j, ou de outra forma j é sucessor de i (e por consequência i é antecessor de j).

Uma rede diz-se orientada, se todos os seus arcos forem orientados, n˜ao orientada, se todos os seus arcos forem n˜ao orientados e mista se coexistirem os dois tipos de arcos.

No que se segue, caso nada seja dito em contrário e sem perda de ge-neralidade, considera-se que a rede é orientada e que não existem lacetes, isto é, arcos da forma (i, i), i_{∈ N .}

Defini¸c˜ao 1.1.2

Sejam s e t dois nós de N tais que s 6= t. Denota-se por s o nó inicial e por t o nó terminal.

Um trajecto1 _{p de s para t em (}_{N , A) ´e uma sequˆencia, constitu´ıda}

alternadamente, por n´os e arcos, da forma

p =_{hs = v}₁′, a′₁, v₂′, . . . , a′_l₋₁, v_l′ = t_i, onde l _{≥ 2 que verifica simultaneamente}

• v′_k∈ N , ∀k ∈ 1, . . . , l: • a′

k = (vk′, vk+1′ )∈ A, ∀ k ∈ 1, . . . , l − 1.

Dados dois n´os i, j _{∈ N , denota-se por T}ij o conjunto dos trajectos do

nó i para o nó j em (N , A). T é o conjunto dos trajectos de s para t (Tst).

No que se segue assume-se que os conjuntos _Tsi e Tit s˜ao n˜ao vazios para

cada i ∈ N .

1

(18)

Um caminho de s para t é um trajecto de s para t em que todos os nós, que o constituem, são distintos, isto é, um caminho não é mais do que um trajecto sem ciclos. Um ciclo é um caminho que se inicia e termina no mesmo nó.

O s´ımbolo “⋄” denotará a opera¸cão concatena¸cão de trajectos onde o nó terminal do primeiro trajecto coincide com o nó inicial do segundo trajecto, isto é, pij ⋄ pjk = pik.

1.2 Trajecto ´

Optimo Cl´

assico

No problema do Trajecto Óptimo Clássico, ou seja o problema do Tra-jecto Óptimo em IR, a cada arco (i, j) de uma rede _{G orientada está} as-sociado um parâmetro real, usualmente denotado por cij. Pretende-se

optimizar uma fun¸cão utilidade na qual a utilidade do arco estar pre-sente na solu¸cão é o valor do parâmetro que lhe está associado. Assim, a fun¸cão utilidade é definida por

C :_{T −→ IR}

p 7→ C(p) = P

(i,j)∈pcij

e o problema do Trajecto ´Optimo Cl´assico define-se como

optp∈T C(p) = opt X (i,j)∈A cij Yij s.a X (i,j)∈A Yij − Yji =    1 , i = s 0 , i /∈ {s, t} −1 , i = t Yij ∈ {0, 1}

(19)

1.2. TRAJECTO ´OPTIMO CL ´ASSICO

Se o parâmetro associado ao arco indicar uma distância ou um valor de tempo é usual pretender-se minimizar o valor da fun¸cão utilidade definida anteriormente, isto é, min

p∈T C(p), ou seja, determinar o trajecto p

⋆ _{∈ T tal}

que C(p⋆₎ _{≤ C(p), ∀ p ∈ T . O trajecto p}⋆ _{diz-se uma solu¸c˜}_{ao ´}_{optima do}

problema. Note-se que, se o trajecto p for constitu´ıdo apenas por um n´o ent˜ao convenciona-se que C(p) = 0.

Uma forma de obter a solu¸cão óptima deste problema, embora seja claramente ineficiente, será enumerar todos os trajectos de s para t e, posteriormente, escolher aquele que minimiza o valor da fun¸cão utilidade C. Este processo é usualmente designado por algoritmo de pesquisa exaustiva.

As defini¸cões que se seguem constituem uma base de trabalho para desenvolver algoritmos eficientes de optimiza¸cão em redes. Esses algo-ritmos baseiam-se na no¸cão intuitiva de que uma solu¸cão óptima deve, quando poss´ıvel, ser constitu´ıda por sub-solu¸cões óptimas.

Defini¸c˜ao 1.2.1 [Princ´ıpio de Optimalidade Forte]

Sejam i e j dois quaisquer nós em N . Dizemos que um problema de Optimiza¸cão em Redes satisfaz o Princ´ıpio de Optimalidade Forte se qualquer trajecto óptimo de i para j, em (N , A), for constitu´ıdo por subtrajectos óptimos.

Defini¸c˜ao 1.2.2 [Princ´ıpio de Optimalidade Fraca]

Sejam i e j dois quaisquer nós em N . Dizemos que um problema de Optimiza¸cão em Redes satisfaz o Princ´ıpio de Optimalidade Fraca se existir pelo menos um trajecto óptimo de i para j, em (N , A), constitu´ıdo por subtrajectos óptimos.

(20)

Se um problema de Optimiza¸cão em Redes satisfaz pelo menos um dos Princ´ıpios de Optimalidade anteriormente definidos, então na deter-mina¸cão da sua solu¸cão óptima podem usar-se algoritmos de rotula¸cão. Estes algoritmos são melhoramentos do algoritmo de pesquisa exaustiva uma vez que para obter a solu¸cão óptima não são desenvolvidos os ramos em que o valor da fun¸cão utilidade associada a esses trajectos é pior.

Os algoritmos de rotula¸cão consistem em associar a cada nó i_{∈ N , um} valor, que se designa por rótulo de i, πi, e que representa o melhor valor

da fun¸cão utilidade dos trajectos já determinados de s para i; O trajecto de s para i, que foi determinado, denotar-se-á por p⋆

si. Utiliza-se, ainda,

uma lista, L, de nós com rótulos provisórios, isto é, que eventualmente podem vir a ser melhorados. O algoritmo termina quando a lista L estiver vazia o que significa que não existe nenhum nó cujo rótulo possa vir a ser melhorado.

Esquematicamente o algoritmo de rotula¸cão clássico, para problemas de minimiza¸cão, descreve-se da seguinte forma

(21)

Algoritmo de Rotula¸c˜ao Cl´assico

para todo o n´o i_{∈ N \ {s} faz π}i = +∞

πs = 0 L_{← {s}} p⋆ ss ← hsi enquanto L_{6= ∅ faz} escolhe i∈ L L_{← L \ {i}}

para todo o arco (i, j)_{∈ A faz} se C(p⋆

si⋄ hi, (i, j), ji) < C(p⋆sj)

ent˜ao

πj ← C(p⋆si⋄ hi, (i, j), ji)

p⋆

sj ← p⋆si⋄ hi, (i, j), ji

se j /∈ L ent˜ao L ← L ∪ {j}

O problema do Trajecto Óptimo Clássico diz-se finito se tem solu¸cão ´

optima finita, isto é, se existe um trajecto constitu´ıdo por uma sequência finita de nós e de arcos. Se tal trajecto existir e o valor da fun¸cão utilidade for finito o problema diz-se limitado, caso contrário diz-se ilimitado.

O teorema seguinte estabelece as condi¸cões necessárias e suficientes para que o problema do Trajecto Óptimo Clássico seja finito.

Teorema 1.2.1

O problema do Trajecto Óptimo (mais curto) Clássico é finito se e só se não existem ciclos negativos na rede2_{. Se o problema do}

tra-jecto óptimo (mais curto) é finito então existe um trajecto óptimo que ´

e caminho.

2

Seja φ um ciclo em (N , A), φ diz-se um ciclo negativo para o problema do Trajecto ´Optimo se C(φ) = C(P

(22)

Demonstra¸c˜ao:

Seja φ um ciclo negativo em_{G, isto ´e, um ciclo tal que C(φ) < 0 e i um qualquer} n´o desse ciclo.

Uma vez que T , conjunto dos trajectos de s para t, é não vazio então existe um trajecto qsi de s para i; Analogamente, existirá um trajecto qit de i para t.

Assim, o trajecto qk = qsi ⋄ φk⋄ qit, k ∈ IN0, ´e um trajecto de s para t em que o

valor da fun¸cão utilidade é C(qk) = C(qsi) + kC(φ) + C(qit). Como k ∈ IN0 então

lim

k→+∞C(φ k

) =−∞, logo a sucess˜ao {C(qk)}k∈IN0 tende para −∞ pelo que q∞ ´e um

trajecto óptimo e, como os parâmetros associados aos arcos são finitos não existe um trajecto constitu´ıdo por uma sequência finita de nós e arcos que seja trajecto óptimo, logo o problema não é finito.

Admita-se agora que não existem ciclos negativos na rede e seja p um trajecto óptimo. Se p não tem ciclos, então o trajecto não tem nós repetidos e portanto é um caminho; Logo, p é uma sequência finita de nós e de arcos, ou seja, é uma solu¸cão finita, pelo que o problema é finito. Se p contém ciclos então, atendendo à hipótese, o valor da fun¸cão utilidade num qualquer dos ciclos é não negativo. Seja φ um qualquer ciclo de p. O valor da fun¸cão utilidade em φ não pode ser positivo, pois se tal fosse poss´ıvel, decompondo p na forma p = q1⋄ φ ⋄ q2 ter-se-´ıa

C(p) = C(q1⋄ q2) + C(φ) > C(q1⋄ q2),

e o trajecto não seria óptimo. Assim, se o trajecto óptimo p contiver um ciclo φ então C(φ) = 0, e o ciclo pode ser removido de p obtendo-se o trajecto q1⋄q2 que é um novo

trajecto óptimo. Analogamente podem ser retirados todos os ciclos obtendo-se uma solu¸cão óptima sem ciclos, ou seja um caminho que é solu¸cão óptima. Atendendo a que o caminho é uma sequência finita de nós e arcos, então é poss´ıvel obter uma solu¸cão óptima finita, pelo que o problema é finito.

(23)

Problema do Caminho ´Optimo3_{. Note-se que o dom´ınio do segundo}

pro-blema é sempre finito o que pode não acontecer no caso do primeiro problema, logo pode-se concluir que o o Problema do Caminho Mais Curto é sempre finito.

Sob algumas condi¸cões os dois problemas são equivalentes, isto é, têm o mesmo conjunto de solu¸cões óptimas. Se não existir nenhum ciclo na rede cujo valor da fun¸cão utilidade seja negativo, ou nulo, então o conjunto das solu¸cões óptimas do Problema do Trajecto Óptimo é igual ao conjunto das solu¸cões óptimas do Problema do Caminho Mais Curto.

Teorema 1.2.2

Seja φ um qualquer ciclo de G tal que C(φ) > 0. Então o Problema do Trajecto Óptimo (mais curto) e o Problema do Caminho Óptimo (mais curto) são equivalentes.

Demonstra¸c˜ao:

Seja p um trajecto óptimo, isto é, C(p) ≤ C(q) para todo o q pertencente ao conjunto dos trajectos de s para t. Como não existem ciclos negativos, da demons-tra¸cão do teorema anterior, podemos concluir que o trajecto p só pode conter ciclos nulos. Mas, por hipótese, não existem ciclos nulos em _{G e, portanto o trajecto p} não pode conter ciclos, ou seja, é um caminho e além disso óptimo.

Suponhamos agora que p é um caminho óptimo. Uma vez que todo o caminho é trajecto, então p é um trajecto. Admita-se que p não é um trajecto óptimo em G. Então o valor da fun¸cão utilidade em p é superior ao valor da fun¸cão utilidade em q, isto é, C(p) > C(q). Da primeira parte da demonstra¸cão deste teorema, q é um caminho logo p não seria caminho óptimo em contradi¸cão com o que foi suposto. Logo, p é um trajecto óptimo.

3

Além das restri¸cões que existem no problema do trajecto óptimo neste problema ainda existe a restri¸cão de não existirem nós repetidos.

(24)

No teorema seguinte prova-se que o problema do Trajecto Óptimo verifica o Princ´ıpio de Optimalidade Forte se e só se não existem ciclos negativos na rede, isto é, se e só se o problema é finito.

Teorema 1.2.3

O problema do Trajecto Óptimo verifica o Princ´ıpio de Optimalidade Forte se e só se não existem ciclos negativos na rede.

Demonstra¸c˜ao:

Suponha-se que φ é um ciclo negativo em _{G. Pelo teorema 1.2.1 é poss´ıvel} in-ferir que o Problema do Trajecto Óptimo é ilimitado e que é poss´ıvel construir uma sucessão de trajectos de termo geral pk = q1⋄ φk⋄ q2, k ∈ IN0, cujo limite quando k

tende para infinito é um trajecto óptimo, p_∞, do Problema do Trajecto Mais Curto. Assim, q1⋄ φk, k ∈ IN0, são subtrajectos de p∞ e não são subtrajectos óptimos pois

q1⋄φk+1 tem valor da fun¸c˜ao utilidade inferior ao valor da fun¸c˜ao utilidade de q1⋄φk,

qualquer que seja k_{∈ IN}0.

Suponha-se agora que n˜ao existem ciclos negativos e seja p⋆ _{um trajecto ´optimo}

de i para j, com i e j dois quaisquer n´os em N . Admita-se, por absurdo, que p⋆

não é constitu´ıdo por subtrajectos óptimos, isto é, existe um nó l _{∈ p}⋆ _{tal que o}

subtrajecto p⋆ il de p

⋆ _{não é um trajecto óptimo de i para l. Então, existe um trajecto}

q1, de i para l, tal que C(q1) < C(p⋆il). Seja q2 o subtrajecto de p⋆ de l para j. Ent˜ao,

q1⋄ q2 ´e um trajecto de i para j e

C(q1⋄ q2) = C(q1) + C(q2) < C(p⋆il) + C(q2) = C(p ⋆

il⋄ q2) = C(p ⋆_).

logo, o trajecto p⋆ _{não é óptimo uma vez que existe um trajecto com menor valor da}

fun¸cão utilidade, o que contraria a hipótese. Saliente-se a necessidade da hipótese de não existirem ciclos negativos, pois caso contrário o problema é ilimitado e portanto C(p⋆_{) tende para} _{−∞, não sendo poss´ıvel afirmar que C(q}

(25)

1.3. TRAJECTO ´OPTIMO EM IRK forma, conclui-se que o subtrajecto p⋆

il é um subtrajecto óptimo e, como o nó l

é arbitrário em p⋆ _{podemos afirmar que todo o subtrajecto óptimo é também um}

trajecto ´optimo.

1.3 Trajecto ´

Optimo em IR

k

No problema do Trajecto Óptimo em IR pretende-se optimizar uma fun¸cão utilidade com valores em IR, definida sobre o conjunto dos trajec-tos de s para t, em que s e t são dois quaisquer nós de _{N . Neste contexto,} optimizar uma determinada fun¸cão utilidade consiste em determinar um trajecto p, entre todos os trajectos poss´ıveis, tal que o valor da fun¸cão utilidade considerada seja “o melhor”poss´ıvel. Ao afirmar que um tra-jecto “é melhor”que outro induz-se uma rela¸cão entre os trajectos que é obtida à custa de uma rela¸cão de ordem definida relativamente aos va-lores da fun¸cão utilidade dos trajectos a qual, no caso do problema do Trajecto Óptimo em IR, é a rela¸cão usual de “≤”ou “≥”, dependendo de se pretender minimizar ou maximizar a fun¸cão utilidade. É poss´ıvel ge-neralizar estes conceitos para o problema do trajecto óptimo em IRk com k _{∈ IN e k ≥ 2.}

Seja _Tij a árvore dos trajectos de um nó inicial i para um nó terminal

j numa dada rede _{G. No que se segue representaremos apenas por T a} ´

arvore dos trajectos quando i = s e j = t. Associada a uma dada rede G, define-se uma fun¸c˜ao utilidade no conjunto dos trajectos TG =∪i,j∈NTij

em IRk_{, ou seja,}

f : TG → IRk

p _{7→ f(p) = (f}1(p), . . . , fk(p)).

Pretende-se optimizar f_|T, isto ´e, a restri¸c˜ao de f ao conjunto T = Tst.

(26)

Optimizar f em IRk _{pode significar minimizar algumas componentes e}

maximizar outras. Serão apenas apresentados os conceitos para o proble-ma em que o objectivo é minimizar todas as componentes uma vez que, tanto para o caso de maximizar como para o caso em que se minimizam umas componentes e se maximizam outras os conceitos apresentados são facilmente adaptáveis.

´

E necessário definir uma rela¸cão entre os trajectos de _Tij, isto é, uma

rela¸cão entre os elementos de um subconjunto de IRk que permita indicar quando é que um trajecto p é “melhor”do que um outro trajecto q.

Defini¸c˜ao 1.3.1

Seja G uma rede e p e q dois quaisquer trajectos de Tij, com i e j

nós de _{N . Observe-se que p e q s˜}ao trajectos com o mesmo nó inicial e o mesmo nó terminal. Define-se a rela¸cão “¹” em TG =∪i,j∈NTij da

seguinte forma

p“¹ ” q se e s´o se f (p)“¹ ” f(q).

Observe-se que a rela¸cão “¹” não depende dos nós i e j; É uma rela¸cão parcial e não está definida quando os trajectos em avalia¸cão não têm o mesmo nó inicial e o mesmo nó terminal. Além disso, fixando dois vértices i e j em _{N , a restri¸cão da rela¸cão “¹” a T}ij, isto é “¹|Tij”, também é, no

caso geral, uma rela¸cão parcial. Esta rela¸cão não é de ordem uma vez que podem existir vários trajectos com o mesmo valor da fun¸cão utilidade e portanto não se verifica a propriedade anti-simétrica. Contudo, prova-se que “_{¹” definida em T é uma rela¸cão de pré-ordem parcial.}

A rela¸cão que se apresenta de seguida será designada por rela¸cão de dominância e permite ter um critério para afirmar em que condi¸cões um trajecto é “melhor”que outro.

(27)

1.3. TRAJECTO ´OPTIMO EM IRK Defini¸c˜ao 1.3.2

Seja _{G uma rede e p e q dois quaisquer trajectos de T}ij, com i e j n´os

de _{G. Define-se a rela¸c˜}ao de dominˆancia em T_G =_∪i,j∈NTij e denota-se

por “_{≺”, da seguinte forma}

p_{≺ q ⇔ f(p) ¹ f(q);} ou seja,

p≺ q ⇔ fl(p) ≤ fl(q), ∀l = 1, . . . , k e ∃h ∈ {1, . . . , k} : fh(p) < fh(q).

Neste caso diz-se que p domina q ou que q é dominado por p. Observe-se, mais uma vez, que só é poss´ıvel relacionar trajectos que tenham o mesmo nó inicial e o mesmo nó terminal.

Seja p_{∈ T}ij e denote-se por Dp o subconjunto de Tij definido por

Dp ={q ∈ Tij : p≺ q},

isto é, Dp é o conjunto dos trajectos que são dominados pelo trajecto

p. Defina-se Dij o conjunto dos trajectos dominados em Tij da seguinte

forma

Dij =∪p∈TijDp .

O conjunto complementar de Dij, Dij = Tij − Dij, ser´a o conjunto dos

trajectos n˜ao dominados em Tij. Para facilitar a nota¸c˜ao,

representar-se-´a por D e D, respectivamente, o conjunto dos trajectos de s para t dominados e n˜ao dominados.

O problema do Trajecto ´Optimo em IRk _{consiste em optimizar uma}

fun¸c˜ao utilidade com valores em IRk _{definida `}_{a custa de parˆ}_ametros

as-sociados a cada arco. Assim, pretende-se determinar um trajecto p⋆ _{∈ T}

(28)

as várias componentes de f , pelo que a no¸cão de trajecto óptimo tem que ser adaptada.

No problema do Trajecto ´Optimo em IR, a existˆencia de um trajecto ´

optimo p⋆ _{∈ T pode ser caracterizada pela n˜ao existˆencia de um trajecto}

q_{∈ T , tal que f(q) < f(p}⋆_).

Em IRk_{, a rela¸c˜}_{ao f (q) < f (p}⋆_{) ser´}_{a interpretada como f (q)} _{≺ f(p}⋆_).

Sendo assim, para o problema do Trajecto ´Optimo em IRk_{, uma solu¸c˜}_ao

´

optima é um trajecto p⋆ _{∈ T caracterizada pela não existência de um}

trajecto q∈ T , tal que f(q) ≺ f(p⋆_{); Ou seja, tal que f (p}⋆_{) seja m´ınimo do}

conjunto f (_{T ) relativamente à rela¸cão “¹”, o que não difere da no¸cão de} trajecto não dominado, como se mostra no teorema seguinte.

Teorema 1.3.1

Seja T o conjunto dos trajectos definidos em G de s para t e seja p⋆ _{∈ T . O m´ınimo de f(T ) relativamente `}_{a rela¸}_c˜_{ao “}_{¹”´e f(p}⋆_{) se e s´}_o

se p⋆ _{∈ D, isto ´e, p}⋆ _´_{e um trajecto de s para t n˜}_{ao dominado.}

Demonstra¸c˜ao:

Por defini¸cão, f (p⋆_{) é m´ınimo do conjunto f (}_{T ) relativamente à rela¸cão “¹”se}

e só se não existe um elemento x _{∈ f(T ) tal que x 6= f(p}⋆_{) e x} _{¹ f(p}⋆_{), isto é,}

x ≺ f(p⋆_{); Ou seja, se e s´o se n˜ao existe um trajecto q} _{∈ T , com f(q) = x, tal}

que f (q)_{≺ f(p}⋆_{). Esta condi¸cão é equivalente a afirmar que não existe um trajecto}

q∈ T tal que q ≺ p⋆_{, ou ainda que n˜ao existe um trajecto q} _{∈ T que domine p}⋆_{, ou}

seja, que p⋆ _{é não dominado, isto é, p}⋆ _{∈ D.}

O objectivo do problema do Trajecto ´Optimo em IRk _´_{e, pelo teorema}

anterior, determinar o conjunto dos trajectos não dominados D, uma vez que estes serão os trajectos óptimos.

(29)

1.3. TRAJECTO ´OPTIMO EM IRK

Seja f (D) o conjunto definido por f (D) = _{{f(p) : p ∈ D}, ou seja o} conjunto dos valores da fun¸cão utilidade nos trajectos não dominados. O problema do Trajecto Óptimo em IRk _{diz-se finito se, para qualquer}

ele-mento x_{∈ f(D), existe um trajecto finito não dominado p tal que f(p) = x.} O problema diz-se não finito se existe um elemento x_{∈ f(D), tal que} qual-quer trajecto não dominado p que verifica f (p) = x não é finito. Se todas as componentes do valor da fun¸cão utilidade em qualquer trajecto de D, tendem para valores finitos, o problema diz-se limitado; caso contrário, o problema diz-se ilimitado. Note-se que, admitindo parâmetros finitos em todos os arcos da rede, todo o problema finito é limitado.

Analogamente ao que foi referido na seçcão anterior para o problema do Trajecto Óptimo em IR, a forma mais simples de resolver o problema do Trajecto Óptimo em IRk _{consiste em usar o algoritmo de pesquisa}

e-xaustiva. Neste algoritmo é determinada a árvore dos trajectos óptimos de s para t, ou seja _{T , e é averiguado qual dos trajectos} determina-dos optimiza a fun¸cão utilidade. Para tal, este algoritmo constrói uma “árvore”, designada normalmente por árvore de pesquisa que, tal como no problema em IR, não é uma árvore segundo a defini¸cão usual pois, geralmente existe mais do que um trajecto de s para i com i_{∈ N . Deste} modo distinguir-se-ão os seus nós, denotando-se por il a l-ésima vez que

o nó i é inclu´ıdo na árvore. A árvore de pesquisa permite resolver um problema mais geral que consiste em determinar trajectos óptimos (não dominados) de s para todos os outros nós rede, contudo, ao contrário do que acontece em IR, a árvore dos trajectos óptimos raramente é uma ´

arvore de cobertura de _{G, uma vez que, existindo conflito entre as várias} fun¸cões utilidade, nesta árvore há mais do que um trajecto óptimo de s para um nó i. Quando se pretende resolver um problema multi-objectivo,

(30)

determina-se uma sub´arvore da ´arvore de pesquisa exaustiva, sendo muito importante que o algoritmo a usar evite o desenvolvimento da parte da ´

arvore de pesquisa que corresponde a trajectos dominados.

Uma vez que, tal como no problema do Trajecto Óptimo em IR, se as solu¸cões óptimas dum determinado Problema do Trajecto Óptimo poderem ser obtidas à custa de sub-solu¸cões óptimas, é poss´ıvel melho-rar em muito a eficiência do algoritmo de pesquisa exaustiva também é pertinente a existência dos Princ´ıpios de Optimalidade em IRk.

Defini¸c˜ao 1.3.3 [Princ´ıpio de Optimalidade Forte em IRk]

Todo o trajecto não dominado de i para j em _{G, quaisquer que sejam} i e j∈ N , é constitu´ıdo por subtrajectos não dominados.

Defini¸c˜ao 1.3.4 [Princ´ıpio de Optimalidade Fraca em IRk]

Quaisquer que sejam i e j em _{N para cada x ∈ D}ij existe pelo menos

um trajecto não dominado, de i para j em G, (isto é um trajecto óptimo) cujo valor da fun¸cão utilidade é x que é constitu´ıdo por subtrajectos ´

optimos.

Analogamente ao que acontece no problema do Trajecto ´Optimo em IR, se o problema do Trajecto ´Optimo em IRk _{verifica o Princ´ıpio de}

Optimalidade Fraca então é poss´ıvel determinar uma sua solu¸cão usando algoritmos de rotula¸cão. No entanto, estes algoritmos já não se podem descrever de forma tão simples como no caso do problema do Trajecto

´

Optimo em IR, uma vez que ainda que existam vários trajectos óptimos, em todos eles se obtém o mesmo valor da fun¸cão utilidade.

No problema do Trajecto Óptimo em IR associa-se a cada nó i um rótulo πi, o qual contém a informa¸cão do valor do melhor trajecto de s

(31)

para i (independentemente do trajecto ´optimo considerado). No proble-ma do Trajecto ´Optimo em IRk_{, um trajecto ´}_{optimo ´}_{e um trajecto n˜}_ao

dominado e, podendo estes ter diferentes valores na fun¸cão utilidade, não faz sentido ter um só valor πi associado a i já que é necessário determinar

todas as solu¸cões do problema, isto é, todos os trajectos não dominados. Em muitos casos é suficiente determinar f (D), bastando para validar o algoritmo, que o problema verifique o Princ´ıpio de Optimalidade Fraca. Assim, a cada nó i associa-se um conjunto de rótulos Q

i, com os valores

dos trajectos n˜ao dominados de s para i.

Os algoritmos de rotula¸cão têm como objectivo determinar o conjunto dos trajectos não dominados de s para i, i_{∈ N , à medida que desenvolvem} a “árvore”de pesquisa, obtendo-se no final uma árvore de trajectos não dominados de s para os restantes nós. Note-se que a árvore dos trajectos não dominados é uma subárvore da árvore de pesquisa mas não é, geral-mente, uma árvore de cobertura de _{G; De facto, em geral existem vários} trajectos não dominados de s para um dado nó i e os trajectos podem ter nós repetidos. Assim, a l-ésima vez que o nó i aparecer na árvore de pesquisa será visto como o nó il.

Admitindo que se pretende resolver um problema de optimiza¸c˜ao em IRk _{que verifica o Princ´ıpio de Optimalidade, n˜}_{ao h´}_{a vantagem em}

desen-volver os ramos da ´arvore de pesquisa que correspondam a trajectos dom-inados, pois qualquer trajecto resultante do prolongamento desse ramo seria dominado.

Representar-se por Xj o conjunto de r´otulos ainda n˜ao testados

as-sociados ao nó j e por X o conjunto de rótulos ainda não testados, isto ´

e, X = _∪j∈NXj. Utilizar-se, ainda, um subconjunto de Xi o qual ser´a

(32)

O conjunto dos nós não dominados associados ao nó j será armazenado emQ

j e p xi

si representará o trajecto do nó s para o nó i com rótulo xi ∈

Q

i.

O algoritmo geral de rotula¸c˜ao em IRk _´_{e ent˜}_ao

Algoritmo de Rotula¸c˜ao em IRk

Xs={f(hsi)}

X _{← ∪}l∈NXl

enquanto X 6= ∅ faz

escolhe Yi ⊂ Xi

para todo o arco (i, j)_{∈ A faz} Z ← {f(pyi

si ⋄ hi, (i, j), ji) : yi ∈ Yi}

Q

j ← r´otulos n˜ao dominados de

Q j∪ Z Xj ← Q j∩(Xj ∪ Z) X ← ∪l∈NXl

No problema do Trajecto Mais Curto em IRk, a cada arco estão asso-ciados k parâmetros reais e cada fun¸cão utilidade (ou cada componente da fun¸cão utilidade) é denotada por fh(p) e definida por

fh :G → IR p _{7→ f}h(p) = P pc h ij, h = 1, . . . , k.

Neste problema pretende-se determinar um trajecto que minimize to-das as componentes de f . A determina¸cão do trajecto óptimo para este problema inclui a determina¸cão do conjunto dos trajectos não dominados.

Os resultados que nos permitem afirmar em que condi¸cões o problema é finito e limitado são enunciados no teorema seguinte.

Teorema 1.3.2

(33)

existem ciclos negativos, isto ´e, f1(φ)≥ 0, . . . , fk(φ)≥ 0, qualquer que seja

o ciclo φ_{∈ T}_G.

Demonstra¸c˜ao:

Suponhamos que existe um ciclo φ negativo e seja h uma componente da fun¸c˜ao utilidade tal que fh(φ) < 0. Seja i uma qualquer n´o de φ, q1 um trajecto de s para i e

q2 um trajecto de i para t (note que Tsi 6= ∅ e Tit 6= ∅). Assim, podemos definir uma

sucess˜ao de trajectos em _{T cujo termo geral ´e p}l = q1⋄ φl⋄ q2, sendo {fh(pl)}l∈IN0

uma sucess˜ao decrescente cujo limite ´e −∞. Denote-se por p∞ o limite da referida

sucessão de trajectos. Se p_∞ é dominado (isto é, p_∞ não é óptimo) então existe um trajecto não dominado z tal que f (z) ≺ f(p∞), logo fh(z) = −∞ e, portanto, não

existem trajectos não dominados finitos com custo igual a f (z), pelo que o problema é não finito (e ilimitado).

Admita-se agora que não existem ciclos negativos na rede e seja p um trajecto não dominado. Se p não contém ciclos, então p é um caminho e atendendo a que os parâmetros associados aos arcos são valores finitos, então o valor da fun¸cão utilidade em p é finito. Se p contém algum ciclo φ, então p pode ser decomposto na forma p = q1⋄φ⋄q2. Atendendo à hipótese, o valor da fun¸cão utilidade no ciclo é f (φ) = 0

ou f (φ) ≻ 0. Ora, f(φ) ⊁ 0, caso contr´ario f(q1 ⋄ q2) ≺ f(p) e p seria dominado.

Sendo assim, se p contiver ciclos, os valores da fun¸cão utilidade destes ciclos só podem ser nulos pelo que podem ser retirados de p sem alterar o valor da fun¸cão utilidade de p; Obtém-se assim um caminho com o mesmo valor do que p. Como os valores dos parâmetros associados aos arcos de um caminho são finitos, então o valor da fun¸cão utilidade em p também é finito. Desta forma provou-se que o valor da fun¸cão utilidade de qualquer trajecto não dominado é finito, pelo que o problema é finito (e portanto limitado).

(34)

pode definir o problema do Caminho Mais Curto em IRk_{. As diferen¸cas}

existentes para os dois problemas em IR podem ser generalizadas para IRk_.

O Problema do Caminho Mais Curto em IRk descreve-se de forma an´aloga ao Problema do Trajecto Mais Curto em IRk_{, restringindo o}

con-junto dos trajectos ao concon-junto dos caminhos. Assim, no Problema do Caminho Mais Curto em IRk_{, um caminho p}

∈ Tij diz-se n˜ao dominado se

n˜ao existe um caminho q ∈ Tij tal que f (q)≺ f(p). Pretende-se determinar

o conjunto dos caminhos n˜ao dominados de s para t.

A diferen¸ca substancial entre os dois problemas reside no dom´ınio de cada um deles já que, enquanto o conjunto dos caminhos é finito, o conjunto dos trajectos pode não o ser. Uma conclusão que se pode de imediato tirar é que o problema do Caminho Mais Curto em IRk _´_e

sem-pre finito, enquanto que o problema do Trajecto Mais Curto em IRk _´_e

finito se e só se não existem ciclos negativos. Podemos também inferir que o problema do Caminho Mais Curto em IRk _{tem um n´}_{umero finito}

de solu¸cões (isto é, existe um número finito de caminhos não dominados) enquanto o respectivo problema dos trajectos pode ter um número in-finito de solu¸cões (isto é, o número de trajectos não dominados pode não ser finito). Sob certas condi¸cões os dois problemas são equivalentes como se demonstra no teorema seguinte.

Teorema 1.3.3

Suponha-se que qualquer que seja o ciclo φ em G o valor da fun¸cão utilidade f em φ é estritamente positivo, isto é, f (φ) > 0. Então o Problema do Trajecto Mais Curto em IRk _´_{e equivalente ao Problema do}

(35)

1.3. TRAJECTO ´OPTIMO EM IRK Demonstra¸c˜ao:

Seja p_{∈ T um trajecto não dominado. Então não existem trajectos q ∈ T tal que} f (q) _{≺ f(p) e portanto também não existem caminhos q ∈ T tal que f(q) ≺ f(p).} Atendendo à hipótese não existem ciclos negativos pelo que podemos concluir com ajuda da demonstra¸cão do teorema 1.3.2 que o trajecto p não pode conter ciclos positivos. Atendendo de novo à hipótese, f (φ) > 0, qualquer que seja o ciclo φ da rede, pelo que o trajecto p não pode conter nenhum ciclo; isto é, p é um caminho e portanto um caminho não dominado.

Suponha-se agora que p é um caminho não dominado. Uma vez que todo o cam-inho é um trajecto, então p é um trajecto. Verifique-se então se p é um trajecto não dominado. De facto, se tal acontecesse, existiria um trajecto q _{∈ T , não dominado} tal que f (q) ≺ f(p). Pela primeira parte desta demonstra¸cão, se q é um trajecto não dominado, então q é um caminho e como f (q) _{≺ f(p), então p não é um} cam-inho não dominado, contrariando a hipótese. Logo p tem de ser um trajecto não dominado.

Note-se que a condi¸cão do teorema anterior não é necessária, uma vez que podem existir ciclos de valor nulo que não estejam associados a tra-jectos não dominados, continuando os dois problemas a ser equivalentes.

O pr´oximo teorema garante que, se n˜ao existirem ciclos negativos na rede o Problema do Trajecto Mais Curto em IRk _{verifica o Princ´ıpio de}

Optimalidade Forte.

Teorema 1.3.4

Suponha-se que n˜ao existem ciclos negativos numa rede. Ent˜ao o Problema do Trajecto Mais Curto em IRk verifica o Princ´ıpio de Opti-malidade.

(36)

Admita-se que n˜ao existem ciclos negativos na rede e seja p⋆ _{um trajecto n˜ao}

dom-inado de i para j, com i, j _{∈ N . Suponha-se, por absurdo, que p}⋆ _{n˜ao ´e constitu´ıdo}

por subtrajectos não dominados, isto é, existe um nó k _{∈ p}⋆ _{tal que o subtrajecto}

p⋆

ik de p⋆ ´e um trajecto dominado de i para k. Ent˜ao, existe um trajecto q1 ∈ Tik tal

que q1 ≺ p⋆ik, isto ´e, f (q1) ≺ f(p⋆ik). Seja q2 o restante subtrajecto de p⋆, ou seja,

p⋆ _{= p}⋆

ik⋄ q2. Ent˜ao, q1⋄ q2 ´e um trajecto de i para j e atendendo a que

f (q1)− f(p⋆ik) =¡f(q1) + f (q2)¢ − ¡f(p⋆ik) + f (q2)¢ ≺ 0

podemos concluir que

f (q1⋄ q2) = f (q1) + f (q2)≺ f(p⋆ik) + f (q2) = f (p ⋆

ik⋄ q2) = f (p ⋆_).

Logo, o trajecto p⋆ _{´e dominado o que contraria a hip´otese. Assim, o subtrajecto p}⋆ ik

é não dominado e, como o nó k de p⋆ _{foi considerado qualquer conclui-se que todo}

(37)

(38)

Trajecto ´

Optimo Com Parˆ

ametros

Aleat´

orios Cont´ınuos

Tendo por base uma observa¸cão rigorosa, por exemplo, do ´ındice de criminalidade em determinadas zonas de uma cidade podemos inferir qual ou quais são as distribui¸cões estat´ısticas que melhor se ajustam ao referido ´ındice em cada zona. Se cada rua dessa cidade for considerada um arco, cada cruzamento um nodo de forma que, esse conjunto de ruas e cruzamentos, possua uma estrutura de, um problema que surge é, por exemplo, determinar qual o trajecto que deve ser efectuado por determi-nada for¸ca de seguran¸ca por forma a maximizar o ´ındice de criminalidade total coberto.

No problema que estudaremos em seguida supõe-se que os parˆ ame-tros (variáveis) aleatórios que são associadas a cada arco da rede têm distribui¸cões cont´ınuas.

(39)

2.1. DEFINIC¸ ˜AO DO PROBLEMA

2.1 Defini¸c˜

ao do Problema

Considere-se uma rede dinâmica orientada (_{N , A) onde a cada arco} (i, j) ∈ A está associada uma variável aleatória Xij cujo valor médio

e variância são conhecidos. No problema do trajecto óptimo deter-minista normalmente designa-se o(s) parâmetro(s) associado(s) ao arco por custo(s), distância(s), tempo(s) do arco (i, j) _{∈ A. Este parâmetro} (variável aleatória real) será, no que se segue por nós designado parâmetro aleatório cont´ınuo do arco (i, j) _{∈ A.}

Seja Ω um espa¸co finito ou infinito numer´avel e (Ω,_P(Ω))1 _{o espa¸co}

pro-babilizável de base associado à experiência que consiste em quantificar a utilidade da presen¸ca do arco (i, j) na rede _{G =} _{¡N , A¢. A defini¸cão} seguinte, [10], pretende recordar o conceito de variável aleatória real.

Defini¸c˜ao 2.1.1

Dada uma aplica¸cão Xij : Ω → IR diz-se que Xij é uma variável

aleat´oria real (v.a.r.) se

Xij−1(B)∈ P(Ω), ∀B ∈ B,

onde _{B ´e a σ-´}algebra de Borel que se sup˜oe definida em IR.

No problema do Trajecto Estocástico Óptimo com Parâmetros Alea-tórios Cont´ınuos considera-se que os parâmetros associados aos arcos de G são variáveis aleatórias reais cont´ınuas, isto é variável aleatória real cuja lei de probabilidade admite uma fun¸cão densidade, g(x), ou seja, g(x) é uma fun¸cão real de variável real não negativa, integrável e tal que Z

IR

g(x) dx = 1.

1

(40)

Assume-se que as variáveis aleatórias reais Xij são independentes,

isto ´e, dados dois arcos (i, j), (k, l)_{∈ A a probabilidade do acontecimento} ((Xij ∈ a) ∩ (Xkl∈ b)) ´e igual ao produto das probabilidades dos

aconteci-mentos Xij ∈ a e Xkl ∈ b.

As variáveis aleatórias reais Xij consideradas admitem distribui¸cões

normais de média µij e variância σij2, isto é, a fun¸cão densidade associada

a Xij tem como express˜ao anal´ıtica

g(x) = √1 2πσ e −1 2 µ x−µij σij ¶2 .

Associado a cada trajecto p ∈ T , define-se a vari´avel aleat´oria real Xp =

X

(i,j)∈p

Xij a qual representa o parˆametro aleat´orio cont´ınuo do trajecto

p_{∈ T .}

As distribui¸cões normais que estão associadas aos arcos de cada tra-jecto são independentes. Assim, sendo a distribui¸cão normal estável re-lativamente à opera¸cão adi¸cão podemos afirmar que

Xp ∼ N   X (i,j)∈p µij, X (i,j)∈p σ2 ij  

ou seja a variável aleatória Xp tem distribui¸cão normal de média

X (i,j)∈p µij e variˆancia X (i,j)∈p σ2

ij. Denotaremos por µp e σ2p o valor m´edio e a variˆancia

de Xp, respectivamente.

O valor esperado ou valor médio associado a um trajecto p ∈ T é, no caso dos parâmetros associados aos arcos serem variáveis aleatórias

(41)

2.2. FUNC¸ ˜AO UTILIDADE LINEAR

cont´ınuas, dado por

E¡Xp¢ = Z IR x √ 1 2πσp e− 1 2 ³ x−µp σp ´2 dx

Associando uma fun¸cão utilidade a cada trajecto de p _{∈ T poss´ıvel, e} calculando o seu valor esperado então a “melhor” alternativa, isto é, o trajecto que se considera “melhor”é o que tem maior valor esperado da fun¸cão utilidade.

Diferentes axiomas que permitem garantir a existência de fun¸cões utili-dade contendo proprieutili-dades apropriadas para guiar, de forma consistente, o agente de decisão são apresentadas em [8, 13, 24, 27, 28].

A escolha da fun¸c˜ao utilidade adequada para um problema espec´ıfico pode ser baseada em m´etodos directos apresentados no livro de Keeney e Raiffa[11].

O nosso objectivo é determinar o trajecto estocástico óptimo de um nó inicial para um nó terminal. Sendo assim, considera-se a fun¸cão real de variável real _{U : T −→ IR, designada por fun¸c˜}ao utilidade. Para cada trajecto p, _{U(p) depende dos parâmetros aleatórios associados aos arcos} pertencentes a p.

No Problema do Trajecto Estocástico Óptimo com Parâmetros Aleat´ o-rios Cont´ınuos, pretende-se determinar o trajecto p⋆ _{∈ T que maximiza o}

valor esperado da fun¸c˜ao utilidade. O trajecto p⋆ _´_{e designado por solu¸}_c˜_ao

´

optima do referido problema.

2.2 Fun¸c˜

ao Utilidade Linear

Considere-se que a utilidade do trajecto p é uma fun¸cão não crescente. O valor d representará, por exemplo, a quantidade de recurso dispon´ıvel

(42)

para a realiza¸c˜ao do projecto.

A utilidade de cada trajecto p _{∈ T ´e definida por} U (Xp) = ½ a − bXp

, Xp ≤ d

0 , Xp > d

onde a, b, d∈ IR+ _s˜_{ao tais que a}_{− bd ≥ 0 (ent˜ao U (X}

p) ´e n˜ao negativa).

A fun¸c˜ao densidade de probabilidade associada a cada trajecto p _{∈ T} ´e gp(x) = 1 √ 2πσp e Ã −1₂µ x − µ_σ p p ¶2!

, para cada x_{∈ IR.} (2.1)

O valor esperado da fun¸cão utilidade em p∈ T , E (U(Xp)) será então

E (U(Xp)) = Z IR U(x)gp(x) dx = d Z −∞ (a− bx)√ 1 2πσp e Ã −1 2 µ x − µp σp ¶2! dx = d−µp σp Z −∞ (a_{− bσ}py− bµp) 1 √ 2π e   y2 2   dy = (a_{− bµ}p)P µ Z _≤ d− µp σp ¶ + bσp√1_2π e Ã −1₂µ d − µ_σ p p ¶2! = (a− bµp)Gµ d − µ p σp ¶ + bσpgµ d − µ p σp ¶

onde g(·) e G(·) são as fun¸cões densidade e distribui¸cão, respectivamente, da variável aleatória real Z _{∼ N(0, 1).}

Assim, no caso da fun¸cão utilidade ser uma fun¸cão linear, o Problema do Trajecto Estocástico Óptimo com Parâmetros Aleatórios Cont´ınuos

(43)

pode ser definido por

max p∈T · (a− bµp)Gµ d − µ p σp ¶ + bσpgµ d − µ p σp ¶¸ . (2.2)

Como já foi referido no cap´ıtulo anterior os problemas de Optimiza¸cão em Redes podem, em geral, ser resolvidos utilizando algoritmos de ro-tula¸cão (definitiva ou não) [15]. Estes algoritmos são melhoramentos do algoritmo de pesquisa exaustiva baseados no Princ´ıpio de Optimalidade (forte ou fraca).

No caso do Problema do Trajecto Estocástico Óptimo com Parâmetros Aleatórios Cont´ınuos é poss´ıvel verificar, pelo exemplo seguinte (Figura 1), que ele não satisfaz nenhum dos Princ´ıpios de Optimalidade.

l 1 l 2 l 3 l 4 ¡¡ ¡¡ ¡¡µ ? @ @ @ @ @@R @ @ @ @ @@R ¡¡ ¡¡ ¡¡µ [0, 0.5] [1, 150] [−1, 1000] [0, 100] [1, 0.5] l i - jl a = 100 b = 2 d = 10 [µij, σij2]

(44)

µ´ ¶³ 1 _@[0, 0] @ @ @ @ @ @ @ R µ´ ¶³ 2 [0, 0.5] ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ª µ´ ¶³ 3 [−1, 1000] f.u. = 88.62413 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ª @ @ @ @ @ R µ´ ¶³ 4 [1, 150.5] f.u. = 82.6731 µ´ ¶³ 4 µ´ ¶³ 3 [1, 1] f.u. = 98 [−1, 1100] f.u. = 89.2995 @ @ @ @ @@R ? µ´ ¶³ 4 [1, 101] 6 valor óptimo f.u. = 85.2152 Todos os trajectos do nó 1 para o nó 4

Figura 1 - Princ´ıpio de Optimalidade n˜ao se verifica

Neste exemplo, observa-se que o trajecto do nó 1 para o nó 4 que ma-ximiza o valor esperado da fun¸cão utilidade é o trajecto_{h1, (1, 3), 3, (3, 4), 4i} cujo valor óptimo é 89.249. No entanto, este trajecto não é constitu´ıdo por subtrajectos óptimos, uma vez que o trajecto _{h1, (1, 3), 3i tem valor} esperado 88.686 mas existe um outro trajectoh1, (1, 2), 2, (2, 3), 3i cujo valor esperado é 98.

Assim para resolver o problema (2.2) não é poss´ıvel usar, de uma forma imediata algoritmos de rotula¸cão sendo, portanto, imperativa uma abordagem diferente.

Calculando as derivadas parciais da fun¸cão objectivo do problema ( 2.2) em ordem à média e à variância obtém-se

∂E (U(Xp)) ∂µp =−bGµ d − µp σp ¶ − a− bd σp gµ d − µp σp ¶

(45)

2.2. FUNC¸ ˜AO UTILIDADE LINEAR ∂E (_U(Xp)) ∂σ2 p = gµ d − µp σp ¶ 2¡σ2 p ¢32 £(a − bd)µ p + bσ2p− d(a − bd)¤ .

Como foi assumido que a_{−bd ≥ 0 e b > 0 e, por defini¸cão, as fun¸cões} den-sidade e distribui¸cão de uma variável aleatória são não negativas, pode-se afirmar que

∂E (U(Xp))

∂µp ≤ 0.

Assim, para o mesmo valor da variância, é prefer´ıvel um trajecto com um menor valor médio.

O sinal de ∂E (U(Xp)) ∂σ2

p

depende do sinal da fun¸c˜ao

D¡µp, σ2p¢ = (a − bd)µp+ bσp2− d(a − bd).

Se o parâmetro aleatório cont´ınuo (custo ou distância aleatória) associado ao trajecto p ∈ T é tal que a fun¸cão D¡µp, σp2¢ assume um valor negativo,

então o valor esperado de _U(Xp) é uma fun¸cão não crescente de µp e σ2p.

O trajecto ´optimo, p⋆ _{∈ T , para o problema (2.2) ser´a tal que}

Xp⋆ ∼ N  min X (i,j)∈p µij, min X (i,j)∈p σ2ij  . (2.3)

Se D¡µp, σp2¢ assume um valor positivo, ent˜ao o valor esperado de U(Xp)

´

e uma fun¸cão não crescente de µp e uma fun¸cão não decrescente de σ2p.

Consequentemente, neste caso, deve procurar-se o trajecto p⋆ _{tal que}

Xp⋆ ∼ N  min X (i,j)∈p µij, max X (i,j)∈p σ_ij2  . (2.4)

(46)

Representando num referencial µpOσp2 os pares ¡µp, σp2¢ associados aos

trajectos existentes na rede, do n´o inicial para o n´o terminal, podemos afirmar que D¡µp, σ2p

¢

= 0 separa o espa¸co inicial em duas regiões de pesquisa de p⋆ _{∈ T .} -6 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @_@ a a a a a a a a _a a a _a σ2 p µp (a−bd)d b d Região II Região I µ σ2 p = d(a−bd)−(a−bd)µp b 0 ¡µp, σ2p ¢ a

Figura 2 - Regi˜oes de pesquisa da solu¸c˜ao.

Como foi referido no cap´ıtulo anterior ´e poss´ıvel definir, para o Tra-jecto ´Optimo em IRk_{, uma rela¸c˜}_{ao de pr´}_{e-ordem parcial que induz uma}

rela¸c˜ao de dominˆancia no conjunto dos trajectos de s para t.

Considerando o problema do trajecto estocástico óptimo, perante a análise efectuada, a sua solu¸cão será uma solu¸cão não dominada de um dos dois problemas bi-objectivo obtidos. Para dois objectivos e para o problema em causa a rela¸cão de dominância é definida da seguinte forma

Defini¸c˜ao 2.2.1

Seja (_{N , A) uma rede e i, j ∈ N dois n´}os quaisquer. Considere-se p e q dois trajectos em Tij (´arvore dos trajectos que se iniciam no n´o i

e terminam no nó j em (_{N , A)). A rela¸cão de dominância em} S

(47)

denotada por “_{¹”, define-se por}

p_{¹ q ⇔}¡µp, σp2¢ ¹ ¡µq, σq2¢ ,

isto ´e,

p_{¹ q ⇔ µ}p ≤ µq ∧ σp2 ≤ σ 2 q

com pelo menos uma desigualdade estrita. Neste caso dizemos que p domina q ou, de outra forma, q é dominado por p. Note-se, mais uma vez que só é poss´ıvel relacionar trajectos que tenham o mesmo nó inicial e o mesmo nó terminal.

A rela¸c˜ao “_{¹”definida em} S

i,j∈N Tij é reflexiva e transitiva, isto é, é

uma rela¸c˜ao de pr´e-ordem parcial [26].

Usando a rela¸cão de dominância entre trajectos definida conclui-se que: Se todas as extensões dos trajectos psi e qsi do nó i ∈ N em T

pertencem à região I então o trajecto psi domina o trajecto qsi se e só se

µpsi ≤ µqsi ∧ σ

2 psi ≥ σ

2 qsi

com pelo menos uma desigualdade estrita. Analogamente, se todas as extensões dos trajectos psi e qsi pertencem à região II então o trajecto psi

domina o trajecto qsi se e s´o se µpsi ≤ µqsi ∧ σ 2 psi ≤ σ 2 qsi

com pelo menos uma destas desigualdades estrita.

Observe-se que no primeiro caso temos um problema bi-objectivo onde

se minimizam ambas as componentes de uma fun¸c˜ao f (p) =   X (i,j)∈p µij, X (i,j)∈p σ_ij2  

(48)

enquanto no segundo caso o problema bi-objectivo consiste em minimizar a primeira componente e maximizar a segunda componente dessa fun¸c˜ao f (p).

Teorema 2.2.1

Designe-se por (P ) o problema que consiste em determinar o Tra-jecto Estocástico Óptimo p⋆ _{∈ T , isto é, determinar as solu¸c˜}_{oes n˜}_ao

dominadas de (f1(p), f2(p)), onde fi(p), i = 1, 2, ´e o m´aximo ou m´ınimo

de X (i,j)∈p µij ou X (i,j)∈p σ_ij2.

O problema (P ) satisfaz o Princ´ıpio de Optimalidade Fraca se a rede (N , A) n˜ao possuir ciclos positivos nem negativos.

Demonstra¸c˜ao:

Sem perda de generalidade, considere-se

f (p) = (f1(p), f2(p)) =   X (i,j)∈p µij, X (i,j)∈p σ2_ij  .

e suponha-se que pretendemos minimizar a primeira componente de f (p) e maxi-mizar a segunda. Prove-se que (P ) verifica o Princ´ıpio de Optimalidade Fraca.

Seja p⋆ _{um trajecto n˜ao dominado de i para j} _{∈ N . Admita-se que existe um}

n´o k ∈ p⋆ _{tal que o subtrajecto de i para k, p}⋆ ik ⊂ p

⋆_{, é dominado. Então existirá,}

tamb´em, um trajecto q _{∈ T}ik tal que

µq ≤ µp⋆ ik ∧ σ 2 q ≥ σ 2 p⋆_ik

com pelo menos uma das desigualdades estrita. Logo,

f1(q)≤ f1(p⋆ik)∧ f2(q)≥ f2(p ⋆ ik)

(49)

tamb´em com pelo menos uma das desigualdades estrita. Como p⋆ _{= p}⋆

si⋄ p⋆ik⋄ p⋆kt, conclui-se que µp⋆ = µ_p⋆ si+ µp ⋆ ik+ µp ⋆ kt ≥ µp ⋆ si+ µq+ µp ⋆ kt e σ 2 p⋆ = σ_p2⋆ si+ σ 2 p⋆ ik + σ 2 p⋆ kt ≤ σ2 p⋆ si+ σ 2 q + σ2p⋆

kt, com pelo menos uma das desigualdades estrita, sendo, portanto p

⋆

dominado, o que é absurdo. Uma vez que k foi escolhido de forma arbitrária no con-junto dos nós de p⋆_{, garante-se que todos os subtrajectos de p}⋆ _{são não dominados.}

De forma an´aloga provam-se os restantes casos para (f1(p), f2(p)). Note-se que

a rede (N , A) não pode conter ciclos negativos (positivos) para que o problema de minimiza¸cão (maximiza¸cão) seja finito (isto é exista solu¸cão).

O teorema 2.2.1 garante, sob certas condi¸cões, que o problema do tra-jecto óptimo bi-objectivo definido anteriormente satisfaz o Princ´ıpio de Optimalidade Fraca em cada uma das regiões I ou II. Assim, a solu¸cão ´

optima do Problema do Trajecto Estocástico Óptimo pode ser facilmente obtida após a determina¸cão das solu¸cões não dominadas dos problemas bi-objectivo as quais existem e são finitas como nos garante a teoria multi-objectivo apresentada no cap´ıtulo anterior, os quais já podem ser resolvi-dos utilizando algoritmos de rotula¸cão.

Para obter a solu¸cão do Problema do Trajecto Estocástico Óptimo com fun¸cão utilidade linear desenvolveu-se o seguinte algoritmo.

(50)

Algoritmo I- Trajecto Estocástico Óptimo com Parâmetros Aleatórios Cont´ınuos

• Determinar todas as soluções não dominadas do problema  min p∈T X (i,j)∈p µij, max p∈T X (i,j)∈p σ2_ij   na Região I;

• Determinar todas as soluções não dominadas do problema  min p∈T X (i,j)∈p µij, min p∈T X (i,j)∈p σ_ij2   na Região II;

• Entre as soluc¸˜oes obtidas nos passos anteriores, determinar aquela que corresponde ao trajecto p⋆ _{∈ T que maximiza}

½ (a− bµp)Gµ d − µ p σp ¶ + bσpgµ d − µ p σp ¶¾ .

2.3 Fun¸c˜

ao Utilidade Quadr´

atica

Nesta seçcão, assumir-se-á que a fun¸cão utilidade do trajecto p é quadrática não crescente. Assim U(Xp) é definida da seguinte forma

U (Xp) =−aXp2− bXp+ c.

(51)

2.3. FUNÇ ÃO UTILIDADE QUADR ÁTICA -6 −b 2a c U(Xp) Xp 0

Figura 3 - Fun¸c˜ao Utilidade Quadr´atica

Neste caso, o valor esperado da fun¸c˜ao utilidade do trajecto p ∈ T , E (_U(Xp)), ´e E (_U(Xp)) = Z IR U(x)gp(x) dx = +∞ Z −∞ (−ax2 _{− bx + c)}_√ 1 2πσp e Ã −1 2 µ x − µp σp ¶2! dx = c_{− bµ}p − aµ2p− aσ2p

Assim, o Problema do Trajecto Estocástico Óptimo é definido da seguinte forma

max

p∈T £c − bµp− aµ 2

p− aσp2¤ . (2.5)

Determinando as derivadas parciais da fun¸c˜ao objectivo do problema (2.5), obt´em-se ∂E (U(Xp)) ∂µp =_{−b − 2aµ}p, ∂E (U(Xp)) ∂σ2 p =_−a.

(52)

Como se assumiu que a_{∈ IR}+ tem-se ∂E (U(Xp))

∂σ2 p

< 0, _{∀p ∈ T .}

Al´em disso, para um qualquer trajecto p verifica-se que µp >−

b

2a, logo

∂E (_U(Xp))

∂µp

< 0.

Consequentemente, o trajecto ´optimo p⋆ _{∈ T para o problema (2.5) ´e tal}

que Xp⋆ ∼ N  min X (i,j)∈p µij, min X (i,j)∈p σ_ij2  . (2.6)

Para um n´o arbitr´ario i∈ N e dois trajectos psi e qsi em T , diz-se que

psi domina qsi se e s´o se µpsi ≤ µqsi ∧ σ 2 psi ≤ σ 2 qsi

Logo, a solu¸cão óptima do Problema do Trajecto Estocástico Óptimo quando a fun¸cão utilidade é quadrática é uma das solu¸cões não dominadas do problema bi-objectivo seguinte

 min p∈T X (i,j)∈T µij, min p∈T X (i,j)∈T σ_ij2  . (2.7)

que satisfaz o Princ´ıpio de Optimalidade Fraca e ´e finito se n˜ao existirem ciclos negativos na rede.

(53)

2.4. FUNC¸ ˜AO UTILIDADE EXPONENCIAL

Algoritmo II - Trajecto Estocástico Óptimo com Parâmetros Aleatórios Cont´ınuos

• Determinar todas as soluções não dominadas do problema ( 2.7),  min p∈T X (i,j)∈p µij, min p∈T X (i,j)∈p σ_ij2  ;

• Entre as soluc¸˜oes obtidas no passo anterior, determinar aquela que corresponde ao trajecto p⋆ _{∈ T tal que p}⋆ _maximiza

2.4 Fun¸c˜

ao Utilidade Exponencial

Nesta seçcão assume-se que a fun¸cão utilidade associada ao trajecto p é exponencial não crescente. Assim U(Xp) é definida da seguinte forma

U (Xp) = a e−bXp

onde a∈ IR+ _{e b}_{∈ IR}+ 0.

Neste caso, o valor esperado da fun¸c˜ao utilidade do trajecto p ∈ T , E (_U(Xp)), ´e E (_U(Xp)) = Z IR U(x)gp(x) dx = +∞ Z −∞ (a e−bx)√ 1 2πσp e Ã −1₂µ x − µ_σ p p ¶2! dx = a e −µ2 p+ (µp− σ2pb)2 2σ2 p +∞ Z −∞ 1 √ 2πσp e Ã −1₂ µ_x − (µp− σp2b) σp ¶2! dx = a e µ −µpb + σ2 pb2 2 ¶ ,

(54)

e o problema do Trajecto Estoc´astico ´Optimo consiste em max p∈T     a e µ −µpb + σ2 pb2 2 ¶    . (2.8)

Determinando as derivadas parciais da fun¸c˜ao objectivo do problema (2.8) em ordem a µp e σp2 obt´em-se

∂E (U(Xp)) ∂µp =−ab e µ −µpb + σ2 pb2 2 ¶ ∂E (_U(Xp)) ∂σ2 p = a b 2 2 e µ −µpb + σ2 pb2 2 ¶ .

Como se assumiu que a∈ IR+ _{e b} _{∈ IR}+

0 tem-se ∂E (_U(Xp)) ∂µp < 0, ∂E (U(Xp)) ∂σ2 p > 0, _{∀p ∈ P,}

ou seja, o trajecto ´optimo p⋆ _{∈ T para o problema (2.8) ´e tal que}

Xp⋆ ∼ N  min X (i,j)∈p µij, max X (i,j)∈p σ2_ij  . (2.9)

Para um n´o arbitr´ario i ∈ N e dois quaisquer trajectos psi e qsi em T ,

diz-se que psi domina qsi se e s´o se

µpsi ≤ µqsi ∧ σ

2 psi ≥ σ

2 qsi

(55)

2.5. RESULTADOS COMPUTACIONAIS

Assim, a solu¸cão óptima para o Problema do Trajecto Estocástico ´

Optimo, no caso da fun¸cão utilidade ser exponencial será uma das solu¸cões não dominadas do problema bi-objectivo seguinte

 min p∈T X (i,j)∈T µij, max p∈T X (i,j)∈T σ_ij2  . (2.10)

que satisfaz o Princ´ıpio de Optimalidade Fraca e é finito caso não existam ciclos negativos nem positivos na rede. O algoritmo que se propõe é então

Algoritmo III - Trajecto Estocástico Óptimo com Parâmetros Aleatórios Cont´ınuos

• Determinar todas as soluções não dominadas do problema ( 2.10),  min p∈T X (i,j)∈p µij, max p∈T X (i,j)∈p σij2  ;

• Entre as soluc¸˜oes obtidas no passo anterior, determinar aquela que corresponde ao trajecto p⋆ _{∈ T tal p}⋆ _maximiza

       a e µ −µpb + σ2 pb2 2 ¶       .

2.5 Resultados Computacionais

Os resultados computacionais que se obtêm com a aplica¸cão de um qual-quer algoritmo estão sempre directamente relacionados com a estrutura