1 1 FunConv Eletromag Abilio

(1)

Fundamentos de Convers˜

ao Eletromecˆ

anica de Energia

1.1. Princ´ıpios Básicos de Conversão Eletromecânica de Energia

Abilio M. Variz

Universidade Federal de Juiz de Fora Departamento de Energia El´etrica

prof.variz@gmail.com tinyurl.com/profvariz

(2)

Conceitos b´

asicos

Dois princ´ıpios fundamentais do eletromagnetismo para compreender

os processos de conversão e transferência de energia em máquinas

el´etricas s˜ao:

1 _{Lei de Amp`}_{ere ⇒}H _{H d~l = i ;}~

2 Lei de Faraday ⇒ e_ind = −N∂φ

(3)

Lei de Amp`

ere

Um condutor percorrido por uma corrente i cria em torno de si um

campo magn´etico H onde:

I ~

H d~l = i (1)

Sendo J a densidade de correntenum elemento diferencial de ´area

d ~S pode-se reescrever (1) como:

I ~ H d~l = I ~ J d ~S (2)

A vari´avel ~H ´e uma medida

do esfor¸co da corrente i para estabelecer o campo

magn´etico a uma distˆancia l do condutor.

(4)

Para um condutor elementar conduzindo uma corrente i : H

i

r

Figura 1:Condutor elementar conduzindo corrente i .

I ~ H · d~l = i ⇒ H (2πr ) = i ⇒ H = i 2πr (3)

(5)

Lei de Amp´ere aplicada em um n´ucleo com uma bobina com N espiras: l N H i med

Figura 2:Bobina com N espiras percorrida por uma corrente i .

I ~

H · d~l = Ni (4)

(6)

Considerando o caminho m´edio(lm ´ed) percorrido pelo fluxo

magn´etico no n´ucleo pode-se escrever:

H (lm ´ed) = Ni ⇒ H =

Ni lm ´ed

(5) onde:

Ni ´e a For¸ca Magnetomotriz desenvolvida pela bobina em

amp`eres-espiras (Ae);

O campo magnético ( ~H ) é dado em ampères-espiras por metro (Ae/m).

(7)

Densidade de Campo Magn´

etico

Considerando que o n´ucleo da Figura 2 tem uma permeabilidade

magn´etica µ pode-se definir ovetor densidade do campo magn´etico

no material atrav´es de:

~

B = µ ~H (6)

onde, ~

B é o vetor densidade de campo magnético em tesla (T ) que é igual a

webber por metro quadrado (Wb/m2);

µ ´e a permeabilidade magn´etica do material (H/m).

(8)

Normalmente a permeabilidade de um material ´e fornecida

normalizada (µr) em rela¸c˜ao a permeabilidade do v´acuo (µ0):

µr =

µ µ0

(7)

onde µ0 = 4π × 10−7 H /m

Apermeabilidade magnética µ de um material dá uma indica¸cão da facilidadeoferecida pelo material ao estabelecimento de um fluxo

magn´etico em seu interior;

Os a¸cos usados na constru¸c˜ao das m´aquinas modernas tem

permeabilidades (µr) da ordem de 2000 a 6000vezes maior que a

(9)

Fluxo magn´

etico

O fluxo magnético pelo núcleo ferromagnético é calculado por:

φ = Z S ~ B · d ~S [Wb] (8) v med N l i Φ

Figura 3:N´ucleo magn´etico simples.

(10)

Substituindo (5) em (6) tem-se

B = µ Ni

lm ´ed

(9)

Considerando que o vetor ~B ´e perpendicular a ´area S da Figura 3 e

ainda que a densidade de fluxo ´e constante, tem-se:

φ = B · S = µS

lm ´ed

Ni = Ni

R (10)

A rela¸c˜ao anterior pode ent˜ao ser reescrita como:

F = Rφ (11)

onde F = Ni representa a for¸ca magnetomotriz produzida, φ ´e o

fluxo magnético no interior do núcleo eR = lm éd

µ · S ´e a relutˆancia do

(11)

Satura¸c˜

ao magn´

etica

Na pr´atica apermeabilidade magn´etica de um material (µr) varia

com a intensidade do campo ( ~H ). Esta varia¸c˜ao tem reflexo sobre o

comportamento do vetor densidade de campo magn´etico.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 [B (T)] [H (Ae/m)]

Figura 4:Ilustra¸cão do efeito da satura¸cão magnética de um núcleo.

(12)

Histerese

A densidade de campo magn´etico (∝ φ) no interior dos n´ucleos

ferromagnéticos assume trajetórias diferentes para varia¸cões do

campo magn´etico (∝ Ni ) crescentes ou decrescentes;

EEEB344 Electromechanical Devices Chapter 1

Typical Hysterisis loop when ac current is applied.

3. Explanation of Hysteresis Loop

Apply AC current. Assume flux in the core is initially zero. As current increases, the flux traces the path ab. (saturation curve)

When the current decreases, the flux traces out a different path from the one when the current increases.

When current decreases, the flux traces out path bcd. When the current increases again, it traces out path deb.

NOTE: the amount of flux present in the core depends not only on the amount of current applied to the windings of the core, but also on the previous history of the flux in the core. HYSTERESIS is the dependence on the preceding flux history and the resulting failure to retrace flux paths.

When a large mmf is first applied to the core and then removed, the flux path in the core will be abc.

When mmf is removed, the flux does not go to zero – residual flux. This is how permanent magnets are produced.

To force the flux to zero, an amount of mmf known as coercive mmf must be applied in the opposite direction.

EEEB344 Electromechanical Devices Chapter 1

14 Typical Hysterisis loop when ac current is applied.

3. Explanation of Hysteresis Loop

Apply AC current. Assume flux in the core is initially zero. As current increases, the flux traces the path ab. (saturation curve)

When the current decreases, the flux traces out a different path from the one when the current increases.

When current decreases, the flux traces out path bcd. When the current increases again, it traces out path deb.

NOTE: the amount of flux present in the core depends not only on the amount of current applied to the windings of the core, but also on the previous history of the flux in the core. HYSTERESIS is the dependence on the preceding flux history and the resulting failure to retrace flux paths.

When a large mmf is first applied to the core and then removed, the flux path in the core will be abc.

When mmf is removed, the flux does not go to zero – residual flux. This is how permanent magnets are produced.

To force the flux to zero, an amount of mmf known as coercive mmf must be applied in the opposite direction.

(13)

Lei de FARADAY

A tensão induzida em uma bobina é proporcional a taxa de varia¸cão

do fluxo magn´etico que enla¸ca a mesma;

O sinalnegativo em (12) ´e devido a LENZ;

eind = −N ∂φ ∂t (12) e

φ

N externo e φ N i + − ind φinduzido N externo

Figura 5:O significado da Lei de Faraday.

(14)

Coment´

ario

Na pr´atica existemdificuldades na aplica¸c˜ao da Lei de Faraday nos

circuitos magn´eticos reaispois nem todas espiras de uma bobina s˜ao

enla¸cadas pelo mesmo fluxo magn´etico(φ).

Contabilizando a contribui¸c˜ao individual de cada espira na forma¸c˜ao

da tens˜ao induzidasobre a bobina tem-se,

eind = N X k =1 ek = N X k =1 d φk dt = d dt N X k =1 φk ! (13)

Que reescrita de forma compacta fica:

eind = d λ dt (14) onde λ = N X k =1

(15)

Exemplo

Determine a tens˜ao induzida na bobina da figura abaixo.

N = 100 esp φ = 0,05 sen (377 t) + i eind − externo

A magnitude da tens˜ao induzida pode ser

calculada por: eind = N d φ dt eind = 100 d dt(0,05 sen 377t ) eind = 1885 cos (377t )

Que pode ser reescrita como:

eind = 1885 sen (377t + 90◦) (15)

(16)

Indutˆ

ancia e Energia

Para um circuito magn´etico composto por um n´ucleo de material

ferromagn´etico com permeabilidade constante ou que possui um

entreferro, a rela¸c˜ao entre λ e i ser´a linear e dada por:

L = λ

i (16)

L ´e a indutˆancia do circuito em [H].

Fazendo λ = N φ e tendo em mente que φ =FT/Req pode-se

reescrever (16) como: L = N 2 Req (17) onde Req = 1 µr ·lm ´ed

(17)

Substituindo (16) em (14) pode-se reescrever a express˜ao da tens˜ao induzida em uma bobina como,

e = d λ dt = d (L.i ) dt = L di dt (18)

Em circuitos cuja indutˆancia varia com o tempo deve-se reescrever a

express˜ao da tens˜ao induzida em uma bobina como,

e = d λ dt = d (L.i ) dt = L di dt + i dL dt (19)

(18)

Desprezando as perdas (por condu¸c˜ao e magn´eticas), tem-se que a

potência elétrica, em watts (W ), em uma indutância é:

p = ei = id λ

dt (20)

J´a a energia, em joules (J), armazenada no campo magn´etico da

indutˆancia durante o intervalo de tempo t1 a t2 ´e,

∆E = Z t2 t1 pdt = Z λ2 λ1 i d λ (21)

(19)

Coment´

arios

A indutância é medida em henrys (H) or weber-espiras por ampère.

´

E importante enfatizar que o conceito de indutˆancia requer quea

rela¸c˜ao entre o fluxo (φ) e a for¸ca magnetomotriz seja linear (N · i ).

Ou seja, esse conceito não pode ser aplicado onde o fluxo é não linear;

Em muitas situa¸cões de interesse prático a relutância de uma bobinaé

definida pela relutˆancia do entreferro, que ´e linear por natureza, e

possibilita ignorar o efeito n˜ao linear do material.

(20)

Exemplo

6) _{Determine as indutˆ}_{ancias do circuito magn´}_{etico com duas bobinas e}

um entreferro.

1,2 Flux Linkage, Inductance, and Energy 17

tgnetic core a~neability tz, x

mean core length I c, cross-sectional area A c

Figure 1.8 Magnetic circuit with two windings.

If Eq. 1.33 is broken up into terms attributable to the individual currents, the resultant flux linkages of coil 1 can be expressed as

)~l=Nl~=N12(lz°Ac)i]+N1N2(lz°Ac)i2g

g

(1.34) which can be written

where

~1 = Lllil +

L12i2 (1.35)

L 11 - N12 #0Ac (1.36) g

is the

self-inductance

of coil 1 and

Lllil

is the flux linkage of coil 1 due to its own current

il.

The

mutual inductance

between coils 1 and 2 is

L 12 -- N1N2/x0Ac (1.37) g

and L 12i2 is the flux linkage of coil 1 due to current i2 in the other coil. Similarly, the flux linkage of coil 2 is

L2 -- N2dp-- N1N2 (lZ°AC) il W N22 (lZ°Ac)

~

(1.38) o r

)~2 - - L 2 1 i l -a t- L22i2

where L21 = L 12 is the mutual inductance and L22 - - N2 2 / ~ 0 A c

g

(1.39)

(1.40)

Figura 6:Circuito magn´etico com duas bobinas e um entreferro.

(21)

Afor¸ca magnetomotriz do circuito magn´etico´e dada pelo total de

amp`eres-espiras que atua no circuito:

F = N1i1+ N2i2 (22)

Desprezando arelutˆancia do n´ucleo (Rc >>Rg) e assumindo que

Ac = Ag tem-se que o fluxo no n´ucleo ´e:

φ = F Rg = (N1i1+ N2i2) µ0Ac lg (23) Os fluxos concatenados resultantesdas bobinas 1 e 2 s˜ao,

λ1 = N1φ (24)

λ2 = N2φ (25)

(22)

Decompondo (24) e (25) nos termos relacionados com cada corrente tem-se,                λ1 = N1 (N1i1+ N2i2) µ0Ac lg = N2 1 µ0Ac lg i1+ N1N2 µ0Ac lg i2 = L11i1+ L12i2 (26) e,                λ2 = N2 (N1i1+ N2i2) µ0Ac lg = N1N2 µ0Ac lg i1+ N22 µ0Ac lg i2 = L21i1+ L22i2 (27)

(23)

Indu¸c˜

ao de correntes parasitas

A Lei de Faraday pode ser usada para explicar o aparecimento das

correntes parasitas (correntes deFoucault, fuga ou Eddy);

EEEB344 Electromechanical Devices Chapter 1 16 dt d eind dt d N eind

II. Eddy Current Loss

1. A time-changing flux induces voltage within a ferromagnetic core. 2. These voltages cause swirls of current to flow within the core – eddy currents.

3. Energy is dissipated (in the form of heat) because these eddy currents are flowing in a resistive material (iron)

4. The amount of energy lost to eddy currents is proportional to the size of the paths they follow within the core.

5. To reduce energy loss, ferromagnetic core should be broken up into small strips, or laminations, and build the core up out of these strips. An insulating oxide or resin is used between the strips, so that the current paths for eddy currents are limited to small areas.

Conclusion:

Core loss is extremely important in practice, since it greatly affects operating temperatures, efficiencies, and ratings of magnetic devices.

3. How Magnetic Field can affect its surroundings

3.1 FARADAY’S LAW – Induced Voltage from a Time-Changing Magnetic Field

Before, we looked at the production of a magnetic field and on its properties. Now, we will look at the various ways in which an existing magnetic field can affect its surroundings.

1. Faraday’s Law:

‘If a flux passes through a turn of a coil of wire, voltage will be induced in the turn of the wire that is directly proportional to the rate of change in the flux with respect of time’

If there is N number of turns in the coil with the same amount of flux flowing through it, hence:

where: N – number of turns of wire in coil.

Note the negative sign at the equation above which is in accordance to Lenz’ Law which states:

‘The direction of the build-up voltage in the coil is as such that if the coils were short circuited, it would produce current that would cause a flux opposing the original flux change.’

Figura 7:Representa¸c˜ao da indu¸c˜ao de correntes parasitas (Correntes de Eddy ou Foucault).

Alamina¸cão dos núcleos ferromagnéticosé usada para reduzir o efeito das correntes parasitas.

(24)

Obrigado!

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