Avaliação da inversão de Herglotz-Wiechert utilizando tempos de percurso de ondas P em estações da rede sismográfica brasileira

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA

THABITA SOFIA GOMES BARBOSA

AVALIAÇÃO DA INVERSÃO DE HERGLOTZ-WIECHERT UTILIZANDO TEMPOS DE PERCURSO DE ONDAS P EM ESTAÇÕES DA REDE SISMOGRÁFICA BRASILEIRA.

NATAL/RN 2018

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AVALIAÇÃO DA INVERSÃO DE HERGLOTZ-WIECHERT UTILIZANDO TEMPOS DE PERCURSO DE ONDAS P EM ESTAÇÕES DA REDE SISMOGRÁFICA BRASILEIRA.

Relatório de Graduação em Geofísica apresentado ao Departamento de Geofísica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para obtenção do título de Bacharel em Geofísica.

Orientador: Prof. Dr. Jordi Julià Casas

NATAL/RN 2018

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

Barbosa, Thabita Sofia Gomes.

Avaliação da inversão de Herglotz-Wiechert utilizando tempos de percurso de ondas P em estações da rede sismográfica

brasileira / Thabita Sofia Gomes Barbosa. - 2018. 56f.: il.

Relatório (Bacharelado em Geofísica) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra,

Departamento de Geofísica. Natal, 2018. Orientador: Jordi Julià Casas.

1. Geofísica - Relatório. 2. Inversão de Herglotz-Wiechert - Relatório. 3. Manto superior - Relatório. 4. Rede sismográfica brasileira - Relatório. I. Casas, Jordi Julià. II. Título. RN/UF/CCET CDU 550.3

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AVALIAÇÃO DA INVERSÃO DE HERGLOTZ-WIECHERT UTILIZANDO TEMPOS DE PERCURSO DE ONDAS P EM ESTAÇÕES DA REDE

SISMOGRÁFICA BRASILEIRA.

Relatório de Graduação em Geofísica apresentado ao Departamento de Geofísica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito para obtenção do título de Bacharel em Geofísica.

Orientador: Prof. Dr. Jordi Julià Casas

Aprovado em: __/__/__

_________________________________________________ Prof. Dr. Jordi Julià Casas

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Orientador

_________________________________________________ Prof. Dr. Manilo Soares Marques

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Membro interno DGEF

______________________________________________ Prof. Me. Pedro Augusto Rodrigues Ferreira

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Membro interno DGEF

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AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer primeiramente a Deus, em quem deposito minha confiança e força. Em segundo lugar agradeço a minha mãe Keila Gomes, que apesar de todas as dores que passamos continuou e continua a batalhar todos os dias por nossa família. Agradeço a minha melhor amiga e irmã Paula Raquel por toda ajuda e suporte. Ao meu pai Ricardo Barbosa, grande incentivador dos meus estudos e razão pela qual sou apaixonada pela física. Ao meu irmão Ricardo Davi que me lembrou como é bom ser criança. Aos agregados da família Alzemir Freire e Magnólia Barbosa que mesmo sem laço de sangue são partes essenciais da minha vida. Aos meus amados avós Maria Marlene e Elias Barbosa. A Rogério Barbosa, e todos meus tios, tias e primos. Aos membros de quatro patas desta família, Snoopy, Susie e África que alegram meus dias incondicionalmente.

Gostaria de agradecer ao meu melhor amigo e companheiro da vida Miro Feliciano, que durante esses quatro anos me agraciou com seus cuidados e amor e que estará para sempre em meu coração. As minhas amigas Ingrid Gurgel, Anne Raquel e Samrla Kethleen confidentes de todas as horas. A Jennifer Rayssa, o ombro amigo que todo mundo deveria ter. Aos amigos que fiz durante o curso Bruno Barauna, Miguel Maestu, Arthur Araújo, Gabriel Almeida, Marcio Gabriel, Fernanda Louise e Dênis Rocha, que deixaram meus dias mais felizes e cheios de aventuras. A Pedro e Lucas, os amigos soteropolitanos com quem falo todos os dias, mas vejo uma vez por ano.

Sou excepcionalmente grata ao meu professor e orientador Jordi Julià por não medir esforços em me ajudar em tudo que precisei durante o desenvolvimento deste trabalho. Ao professor Manilo Soares, que esteve sempre disponível para tirar dúvidas sobre programação. Ao professor Renato Dantas, que também sanou vários dos meus questionamentos. E ao professor Josibel Dantas pelas conselhos e lições de vida.

Por fim, gostaria de agradecer ao apoio técnico e de infraestrutura fornecidos pelo Laboratório Sismológico (LabSis/ UFRN) e ao Departamento de Geofísica (DGEF/ UFRN).

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RESUMO

O método de Herglotz-Wiechert, desenvolvido em 1910 por Gustav Herglotz e Emile Wiechert, baseia-se na solução analítica à inversão de tempos de percurso a fim de determinar a variação da velocidade das ondas sísmicas em função da profundidade. Os dados observacionais são as curvas de T-∆, onde T é o tempo de percurso em segundos e ∆ a distância epicentral em radianos. A única limitação do método é não ser aplicável para zonas de baixa velocidade. O objetivo deste trabalho é desenvolver um código computacional que implemente a metodologia de inversão e avalie o desempenho da metodologia utilizando tempos de percurso de ondas P medidos para 11 terremotos distintos em 81 estações da Rede Sismográfica Brasileira (RSB). Para programar as fórmulas matemáticas utilizou-se a linguagem python, enquanto os tempos de percurso e distâncias epicentrais foram obtidos através de picagem de ondas P no Seismic Analysis Code (SAC). Para comprovar a efetividade do código adotado foram realizados dois testes numéricos em “dados” sintéticos, sendo os resultados obtidos para ambos os testes um ajuste preciso da função v(r) calculada ao modelo ak135 considerado para gerar os “dados” sintéticos. Os resultados obtidos com dados reais mostraram que, para profundidades de até 1000 km, as funções v(r) são de excelente qualidade, enquanto que para profundidades entre 1000 km e 2000 km os dados apresentam uma dispersão das velocidades muito acima do esperado. Desta forma, é possível concluir que a metodologia permite inferir valores de velocidade de onda P para litosfera continental e manto superior do Brasil.

Palavras-chave: Inversão de Herglotz-Wiechert; Manto superior; Rede Sismográfica Brasileira.

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ABSTRACT

The Herglotz-Wiechert method, developed in 1910 by Gustav Herglotz and Emile Wiechert, is based on the analytical solution of the inversion of seismic travel times to determine variations of seismic velocity with depth. The observational data consist of T-Δ curves, where T is travel time in seconds and Δ is epicentral distance in radians. The only limitation of the method is that it is not applicable to low velocity zones. The goal of this work is to develop a computational code that implements the inversion methodology, and to estimate the performance of the method through the measurement and inversion of P-wave travel times for 11 earthquakes recorded at 81 seismic stations of the Brazilian Seismographic Network (RSB). To code the mathematical equations the python language was utilized, while the travel times and epicentral distances were obtained by picking the P-wave arrival times through the Seismic Analysis Code (SAC). The efficiency of the code was assessed through two numerical tests with synthetic “data”, resulting in inverted v(r) functions that accurately match the ak135 global model utilized to generate the synthetic “dataset”. The results obtained from the inversion of real data showed that, for depths up to 1000 km, the inverted v(r) functions are of excellent quality, while for depths between 1000 and 2000 km they present a dispersion that is larger than expected. Thus, it is possible to conclude that the methodology allows to successfully estimate the variation of P-wave velocity with depth within the continental lithosphere and upper mantle of Brazil.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Exemplo de zonas de baixa velocidade (LVZ) e ponto de viragem. O ponto de viragem é definido como o ponto mais baixo do caminho do raio, onde a direção do raio é horizontal e o angulo de incidencia é 90°. ... 2 Figura 2.2 -Diagrama mostrando a refração de um raio sísmico em uma Terra composta por camadas esféricas concêntricas de velocidade uniforme. ... 3 Figura 2.3- Diagrama mostrando o percurso para dois raios infinitesimalmente afastados que partem de um mesmo ponto em uma terra esférica. ... 5 Figura 2.4 Diagrama mostrando as relações infinitesimais para a geometria de um segmento de raio 𝑑𝑠 em função do raio 𝑟 e do ângulo ∆. ... 6 Figura 2. 5 - O triângulo representa a delimitação da área correspondente aos limites de p e ξ. Partindo da equação (2.14) é evidente que 𝑝 e ξ variam entre 𝜉1 e 𝜉0, onde o intervalo de 𝑝 está representando pela reta azul e 𝜉 pela reta vermelha. Ainda na equação (2.14), na segunda integral do lado direito, o limite inferior indica uma reta onde 𝜉 = 𝑝, logo o limite superior do triângulo é a reta destacada em preto... 9 Figura 3.1 – Modelo de velocidade ak135. O eixo vertical (z) indica profundidade e o

horizontal (v) velocidade de onda P. As “quebras” das curvas, onde não há pontos, são referentes a mudanças nas propriedades físicas (descontinuidades) da Terra... 13 Figura 3.2 – Comparação entre as velocidades obtidas para dados com espaçamento regular e o modelo ak135... 16 Figura 3.3 – Comparação entre as curvas 𝑇 − Δ original (Tabela 3.4) e interpolada. A interpolação linear mostrou um desempenho satisfatório na regularização do espaçamento entre os pontos da curva. ... 18 Figura 3.4 - Exemplo de curva para representar a aproximação de derivadas por diferenças finitas. O eixo das abscissas corresponde a ∆ e as ordenadas 𝑇. É importante lembrar que, no exemplo analisado, a derivada 𝑑𝑇𝑑∆ corresponde ao parâmetro do raio. As derivadas são representadas pelos pontos pretos tangentes à curva. ... 19 Figura 3.5 – Comparação entre a função v(r) obtida para dados de espaçamento irregular e o modelo ak135. O eixo vertical representa a profundidade e o horizontal a velocidade. Neste caso alguns pontos da curva v(r) obtida fogem do proposto pelo modelo ak135, porém isso não afeta a efetividade do método. ... 22

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Figura 4.1- Localização geográfica dos 11 terremotos selecionados. A partir desse mapa é possível ter uma noção da distância estação-evento adotada. As estações estão separadas por cores, onde a cor verde representa a rede BR, amarelo a rede BL, branco NB e vermelho ON... ...24 Figura 4.2 - Sismograma do terremoto que ocorreu às 02:43:13 (UTC) no Equador em 2014 (TR 4). A rede é BL e as estações estão representadas a direita dos sismogramas. A sigla HHZ informa que o sismograma corresponde a componente vertical. ... ...26 Figura 4.3 - Curva 𝑇 − ∆ para os 11 terremotos selecionados. O ponto mais profundo

analisado - ultimo ponto verde- em 62.12 ° é referente ao TR 11. Alguns terremotos estão representados na mesma escala de cor. ... 27 Figura 4.4 - Gráficos da interpolação para o terremoto 2 feita com passo 1 à esquerda e com passo 2 à direita. A interpolação de passo 1 se mostrou mais bem-adaptada para todos os eventos escolhidos. ... ...28 Figura 4.5 - Curva v(r) do terremoto 2 sem a correção para curvas incompletas. É perceptível que as velocidades obtidas são mais altas do que a do modelo ak135. A versão corrigida pode ser vista na Figura 4.4, gráfico C. ... 29 Figura 4.6 – Comparação entre os 11 terremotos e o modelo ak135. Os eventos então

marcados com ‘+’. É notável que muitos dos últimos pontos obtidos dispersam do modelo

ak135 proposto. ... 30

Figura 4.7 - Zoom do polígono “A” destacado na Figura 3.6. Aqui fica mais claro como a curva v(r) obtida se ajusta melhor ao modelo ak135 para profundidades de até 1000 km. Os eventos então marcados com ‘+’. ... 31 Figura 4.8 - Zoom do polígono “B” destacado na Figura 4.6. Desta vez fica claro que para profundidades acima de aproximadamente 1000 km as curvas v(r) obtidas assumem valores de velocidade maiores do que as do modelo ak135. Os eventos então marcados com ‘+’. ... 31 Figura 5.1 – Modelo de velocidade para litosfera continental do Brasil. Ampliação da Figura 3.6 para profundidades de 660 km. O polígono “A” representa a litosfera continental, “B” manto superior e “C” zona de transição. Dados para os 11 terremotos estão marcados com ‘+’. ... 32 Figura 5.2 – Curva v(r) dos terremotos 1, 2, 3 e 11. Com destaque para a elipse ressaltando uma descontinuidade na curva do modelo ak135. ... 33

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Figura 5.3 – Curva v(r) dos terremotos 11 e 10 e suas respectivas interpolações. Note-se que a densidade de dados desses dois eventos e concentra entre 30° < ∆ < 60°, enquanto que para os

outros 9 terremotos essa faixa é entre 10° < ∆ < 50°... 34

Figura 1 – Código fonte da seção 3.3 “Inversão de dados com espaçamento regular”. Os comentário estão marcados em vermelho precedidos de ‘#’, indicando ação do código abaixo do mesmo. ... ...37

Figura 2 - Código fonte da seção 3.4 “Inversão de dados com espaçamento irregular”. Os comentário estão marcados em vermelho precedidos de ‘#’, indicando ação do código abaixo do mesmo. ... 38

Figura 3 – Exemplo de código fonte do terremoto 2. Os comentário estão marcados em vermelho precedidos de ‘#’, indicando ação do código abaixo do mesmo. ... 39

Figura 4 – Perfil v(r) do TR 1. ... 41 Figura 5 – Perfil v(r) do TR 2. ... 41 Figura 6 – Perfil v(r) do TR 3. ... 42 Figura 7 – Perfil v(r) do TR 4. ... 42 Figura 8 – Perfil v(r) do TR 5. ... 43 Figura 9 – Perfil v(r) do TR 6. ... 43 Figura 10 – Perfil v(r) do TR 7. ... 44 Figura 11 – Perfil v(r) do TR 8. ... 44 Figura 12 – Perfil v(r) do TR 9. ... 45 Figura 13 – Perfil v(r) do TR 10. ... 45 Figura 14 – Perfil v(r) do TR 11. ... 46

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 1

2 INVERSÃO DE HERGLOTZ-WIECHERT ... 2

2.1 Parâmetro do raio para uma Terra esférica ... 3

2.2 Resolução do problema direto ... 5

2.3 Resolução do problema inverso ... 7

3 EXPERIMENTOS NUMÉRICOS ... 11

3.1 Rotina para inversão numérica ... 11

3.2 Inversão de dados com espaçamento regular ... 12

3.3 Inversão de dados com espaçamento irregular ... 17

4 APLICAÇÃO À REDE SISMOGRÁFICA BRASILEIRA ... 23

4.1 Seleção de dados e pré-processamento ... 23

4.2 Inversão ... 27

4.3 Funções v(r) para os terremotos selecionados ... 30

5 DISCUSSÃO ... 32

6 CONCLUSÃO ... 35

REFERÊNCIAS ... 36

ANEXO 1 ... 37

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1 INTRODUÇÃO

A metodologia de Herglotz-Wiechert está inserida no contexto da utilização de fontes passivas (terremotos) como uma forma de determinar velocidades de propagação das ondas sísmicas no interior da Terra. O método baseia-se na inversão dos tempos de percurso e distâncias epicentrais das ondas sísmicas.

O principal problema a ser solucionado neste trabalho é entender o funcionamento da integral desenvolvida por Herglotz-Wiechert para realizar a inversão e, baseado nisto, desenvolver um código capaz de obter expressões de velocidade (v) em função da profundidade (ou, equivalentemente, distância ao centro da Terra, r). A análise do comportamento da função 𝑣(𝑟) foi realizada apenas para as ondas de corpo P; porém, também poderia ser feita para ondas S. Os tempos de percurso (T) e as distâncias epicentrais (∆), necessárias para testar a inversão com dados reais, foram retirados de 11 terremotos localizados na dorsal Meso-Atlântica, na zona de subducção da América do Sul e na zona de subduccão da América Central, e registrados por 81 estações da Rede Sismográfica Brasileira (RSB).

O objetivo principal deste trabalho é analisar a eficácia do método de Herglotz-Wiechert na determinação das velocidades de propagação da onda P para a crosta e manto do Brasil. Para alcançar esse objetivo, foi assim preciso:

(i) Adotar um modelo de velocidade global que funcione como controle de qualidade das respostas obtidas. O modelo escolhido foi o ak135 de Kennet et al. (1995). (ii) Testar o código adotado com “dados” sintéticos de espaçamento regular e

não-regular, com o objetivo de descartar o máximo de incompatibilidades que viessem a ocorrer em dados reais.

(iii) Avaliar o desempenho do código adotado com dados da Rede Sismográfica Brasileira, e implementar as correções necessárias.

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2 INVERSÃO DE HERGLOTZ-WIECHERT

Entre 1907 e 1910 o geofísico alemão E. Wiechert construiu, com base no problema do matemático G. Herglotz, uma solução analítica para calcular as velocidades das ondas sísmicas em função da profundidade (GUTENBERG, 2006, p. 14-15). Essa técnica é conhecida como inversão de tempo de percurso ou inversão de Herglotz-Wiechert, e é considerado um dos métodos clássicos da geofísica (LOWRIE, 2007, p.190-191). Os dados observacionais deste método consistem nas curvas T-∆, onde T é o tempo de percurso das ondas sísmicas e ∆ a distância entre a fonte sísmica e o receptor (distância epicentral).

A inversão de Herglotz-Wiechert não é válida para zonas de baixa velocidade, pois o raio não terá ponto de viragem neste local. As zonas de baixa velocidade (LVZ) são o resultado do decaimento da velocidade com a profundidade (Figura 2.1). Nessas regiões, o raio incidente passa pela camada de baixa velocidade e tem ponto de viragem abaixo da LVZ em que as velocidade são mais elevadas do que a do material sobrejacente (SHEARER, 2009, p. 68).

Figura 2.1 - Exemplo de zonas de baixa velocidade (LVZ) e ponto de viragem. O ponto de viragem é definido como o ponto mais baixo do caminho do raio, onde a direção do raio é horizontal e o angulo

de incidencia é 90°.

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2.1 Parâmetro do raio para uma Terra esférica

O problema direto no contexto da inversão de Herglotz-Wiechert consiste do cálculo dos tempos de percurso a partir de um modelo de velocidade para uma Terra esférica. Assumimos que esse modelo é definido através de uma função contínua

𝑣 = 𝑣(𝑟), (2.1)

em que 𝑣 é a velocidade da onda sísmica em uma superfície esférica de raio 𝑟, concêntrica à superfície da Terra.

Figura 2.2 -Diagrama mostrando a refração de um raio sísmico em uma Terra composta por camadas esféricas concêntricas de velocidade uniforme.

Fonte: Modificado de (LAY; WALLACE, 1995).

Para formular o problema direto é preciso, em primeiro lugar, definir o conceito de parâmetro do raio para uma geometria esférica. A Figura 2.2 exemplifica uma Terra composta por camadas concêntricas de velocidades v1 < v2 < v3 sendo atravessada por um raio sísmico. Em escala local a curvatura da superfície pode ser descartada, então, na posição P a Lei de Snell satisfaz

sin 𝜃1 𝑣1 =

sin 𝜃1′

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em que 𝜃1 e 𝜃1′ são os ângulos de incidência e refratado logo acima e abaixo, respectivamente, da interface que separa as camadas de velocidade 𝑣₁ e 𝑣₂. Analisando a geometria da Figura 2.2 nota-se que dois triângulos compartilham do mesmo comprimento d, sendo evidente que 𝑑 = 𝑟₁ 𝑠𝑖𝑛𝜃₁′ = 𝑟₂𝑠𝑖𝑛𝜃₂. Assim,

sin 𝜃₁′ = (𝑟2

𝑟1 ) 𝑠𝑖𝑛𝜃2 (2.3)

e, substituindo na (2.2), obtém-se que

𝑟₁sin 𝜃1 𝑣1 = 𝑟2

sin 𝜃2

𝑣2 (2.4) A equação (2.4) demonstra que a grandeza definida por

𝑝 = (𝑟

𝑣) sin 𝜃 (2.5) é constante ao longo do raio sísmico e, por esse motivo, é chamada de parâmetro do raio. Este parâmetro pode ser definido como uma relação entre velocidade e profundidade e é medido em segundo por radiano ou segundo por grau (LAY; WALLACE, 1995).

O valor do parâmetro do raio pode ser obtido numericamente através da curva T-∆ para um terremoto. Vamos considerar agora dois raios infinitesimalmente afastados partindo de um mesmo foco, como mostrado na Figura 2.3. As variáveis 𝑖₀, 𝑣₀ e 𝑟₀ são o ângulo que a tangente ao raio forma com a normal à superfície da Terra, a velocidade da onda na superfície da Terra e o raio da Terra, respectivamente. Através da geometria do problema é possível escrever que

sin 𝑖₀ = 𝑣0 𝑑𝑇

𝑟0 𝑑∆, (2.6)

pelo que o parâmetro do raio é igual à derivada do tempo de percurso T a respeito da distância epicentral ∆,

𝑝 = 𝑑𝑇 𝑑∆=

𝑟0sin 𝑖0

𝑣0 . (2.7)

Note-se que o parâmetro do raio pode ser identificado como o inverso da velocidade aparente (vagarosidade horizontal) na superfície terrestre (LAY; WALLACE, 1995).

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Figura 2.3- Diagrama mostrando o percurso para dois raios infinitesimalmente afastados que partem de um mesmo ponto em uma terra esférica.

Fonte: Modificado de (LAY; WALLACE, 1995).

Outro conceito importante na geometria do raio sísmico é o ponto de viragem ou turnig

point, que representa o ponto a partir do qual a onda está retornando à superfície. Isso está

sempre definido porque em uma esfera todo raio retorna para a superfície, mesmo que a velocidade diminua com a profundidade (LAY; WALLACE, 1995). De acordo com a Figura 2.3, o ângulo que o raio sísmico forma com a normal no ponto de viragem será de 90°. Logo, usando a equação (2.7), podemos expressar o parâmetro do raio como

𝑝 =𝑟𝑡sin 90° 𝑣𝑡 =

𝑟𝑡

𝑣𝑡= 𝜉𝑡, (2.8) em que a variável 𝜉 é usada para a escrever a razão 𝑟/𝑣, e os sub-índice 𝑡 indica sua avaliação no ponto de viragem. Então, a vagarosidadade no ponto de viragem oferece uma relação entre velocidade e profundidade para um ponto dado do meio de propagação.

2.2 Resolução do problema direto

A Figura 2.4 mostra uma perspectiva infinitesimal de um raio sísmico atravessando uma esfera. Os parâmetros 𝑑𝑠, 𝑑𝑟 e 𝑟 𝑑𝛥 fazem referência aos lados do triângulo infinitesimal formado pelo diferencial de raio sísmico, diferencial de raio terrestre e diferencial de arco de circunferência, respectivamente. De acordo com o teorema de Pitágoras, pode-se escrever que

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(𝑑𝑠)2 = (𝑑𝑟)2+ 𝑟2(𝑑∆)2. (2.9)

É possível derivar agora uma equação geral para o tempo de percurso ao longo de um raio sísmico em uma esfera. De acordo com a Figura 2.4,

𝑠𝑖𝑛 𝑖 = 𝑟𝑑∆ ⁄ 𝑑𝑠 (2.10)

pelo que, usando a definição do parâmetro do raio dada na equação (2.5), obtemos que

Figura 2.4 Diagrama mostrando as relações infinitesimais para a geometria de um segmento de raio 𝑑𝑠 em função do raio 𝑟 e do ângulo ∆.

Fonte: : Modificado de (LAY; WALLACE, 1995).

𝑝 = 𝑟2 𝑣

𝑑∆

𝑑𝑠 . (2.11) Isolando 𝑑𝑠 na equação (2.11) e substituindo em (2.9) é possível obter a expressão

𝑑∆ = 𝑝 𝑟 𝑑𝑟 √𝜉2_{− 𝑝}2 (2.12) e, integrando, ∆ = 2𝑝 ∫ 𝑑𝑟 𝑟√𝜉2_{− 𝑝}2 𝑟0 𝑟𝑡 , (2.13)

onde os limites 𝑟₀ e 𝑟_𝑡 são, respetivamente, o raio da Terra e o raio do ponto de viragem.

Para encontrar o tempo de percurso 𝑇 substitui-se primeiro a expressão para 𝑑𝛥 da equação (2.12) na equação (2.9), obtendo-se assim uma expressão para 𝑑𝑠. Sabendo então que

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𝑑𝑇 = 𝑑𝑠/𝑣, (2.14)

o tempo de percurso para uma terra esférica é dado pela integral

𝑇 = 2 ∫ 𝜉 𝑑𝑟 𝑟√𝜉2_{− 𝑝}2 𝑟0

𝑟𝑡 (2.15)

em que, novamente, 𝑟0 e 𝑟𝑡 são, respetivamente, o raio da Terra e o raio do ponto de viragem.

As equações (2.13) e (2.15) definem a curva T-∆ para um modelo de terra esférico (problema direto) em forma paramétrica.

2.3 Resolução do problema inverso

A inversão de Herglotz-Wiechert propõe utilizar a curva 𝑇(∆) para encontrar o perfil de velocidade 𝑣(𝑟). O que será feito a seguir é manipular as equações de tempo de percurso e distância epicentral mostradas na seção anterior para determinar as relações inversas que permitem atingir esse objetivo.

Vamos começar considerando a equação (2.13) para o cálculo direto da distância epicentral. A primeira manipulação será mudar as variáveis de integração de 𝑟 para 𝜉, o que pode ser feito acrescentando a esta equação um termo (𝑑𝑟/𝑑𝜉)

∆ = 2𝑝 ∫ 𝑑𝜉 𝑟√𝜉2_−𝑝2 𝜉0 𝜉𝑡 ( 𝑑𝑟 𝑑𝜉), (2.16)

em que 𝜉₀ = 𝑟₀⁄ e 𝜉𝑣₀ _𝑡 = 𝑟_𝑡⁄ . Note-se que o parâmetro do raio 𝑝 = 𝜉𝑣_𝑡 _𝑡. O próximo passo é aplicar um operador de integral à equação anterior, descrito por

∫ 𝑑𝑝 √𝑝2_−𝜉

12 𝜉0

𝜉1 , (2.17)

em que 𝜉₁ é a razão 𝑟₁⁄ para um raio sísmico com ponto de viragem em 𝑟 = 𝑟𝑣₁ ₁. Aplicando o operador nos dois lados da equação (2.16) obtém-se que

∫ ∆ 𝑑𝑝 √𝑝2_−𝜉 12 𝜉0 𝜉1 = ∫ 𝑑𝑝 𝜉0 𝜉1 ∫ 2𝑝 𝑟√𝜉2_−𝑝2_√𝑝2_−𝜉 1 2 𝜉0 𝑝 ( 𝑑𝑟 𝑑𝜉) 𝑑𝜉 (2.18)

(19)

onde foi usado que 𝑝 = 𝜉_𝑡.

Para resolver as integrais da equação (2.18) serão necessárias algumas manipulações. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida de maneira simples pelo método da integração por partes, em que

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢. (2.19) Usando 𝑢 = ∆, 𝑑𝑣 = 𝑑𝑝 √𝑝2 _{− 𝜉} 12 ⁄ , obtemos que 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠ℎ−1(𝑝 𝜉1) e 𝑑𝑢 = (𝑑Δ 𝑑𝑝⁄ ) 𝑑𝑝, obtendo-se que ∫ ∆ 𝑑𝑝 √𝑝2_−𝜉 12 𝜉0 𝜉1 = Δ 𝑐𝑜𝑠ℎ −1₍𝑝 𝜉1)_𝜉1 𝜉0 − ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ−1 (𝑝 𝜉1) 𝑑p ( 𝑑Δ 𝑑𝑝) 𝜉0 𝜉1 . (2.20)

Substituindo os limites de integração e trocando a variável de integração para Δ na integral, obtém-se que ∫ ∆ 𝑑𝑝 √𝑝2_−𝜉 12 𝜉0 𝜉1 = [Δ0 𝑐𝑜𝑠ℎ −1₍𝜉0 𝜉1) − Δ1 𝑐𝑜𝑠ℎ −1₍𝜉1 𝜉1)] + ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ −1₍𝑝 𝜉1) Δ1 Δ0 𝑑Δ, (2.21)

em que foram invertidos o sinal e a ordem dos limites de integração. Note-se que Δ₀ = 0, pois é a distância epicentral para um raio com foco e receptor no mesmo lugar (𝑟 = 𝑟₀); note-se também que 𝑐𝑜𝑠ℎ−11 = 0, pelo que o primeiro termo da parte direita da equação (2.21) é zero. Assim, concluímos que

∫ ∆ 𝑑𝑝 √𝑝2_−𝜉 12 𝜉0 𝜉1 = ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ −1₍𝑝 𝜉1) Δ1 0 𝑑Δ (2.22)

Para resolver o lado direito da equação (2.18) o primeiro passo é inverter a ordem de integração. Segundo a formulação da equação (2.18), a integração é feita primeiro a respeito da variável 𝜉 e, depois, a respeito da variável 𝑝.

O domínio de integração definido pelos limites da integral de superfície em (2.18) é ilustrado na Figura 2.5: a variável 𝑝 é limitada entre os valores 𝑝 = 𝜉1 e 𝑝 = 𝜉0 enquanto - para cada valor de 𝑝 nesse intervalo - a variável 𝜉 está limitada pelos valores 𝜉 = 𝑝 e 𝜉 = 𝜉₀. Note-se que os eixos horizontal e vertical indicam os valores das variáveis de integração 𝜉 e

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𝑝, respectivamente. Delimitado o domínio de integração é possível inferir os limites para a integração invertendo as variáveis. A variável 𝜉 estará assim limitada pelos valores 𝜉 = 𝜉₁ e 𝜉 = 𝜉₀ enquanto – para cada valor de 𝜉 nesse intervalo – a variável 𝑝 estará limitada pelos valores 𝑝 = 𝜉1 e 𝑝 = 𝜉. Assim, a parte direita da equação (2.18) pode ser expressa como

Figura 2.5 - O triângulo representa a delimitação da área correspondente aos limites de p e ξ. Partindo da equação (2.14) é evidente que 𝑝 e ξ variam entre 𝜉1 e 𝜉0, onde o intervalo de 𝑝 está representando

pela reta azul e 𝜉 pela reta vermelha. Ainda na equação (2.14), na segunda integral do lado direito, o limite inferior indica uma reta onde 𝜉 = 𝑝, logo o limite superior do triângulo é a reta destacada em

preto.

Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.

∫ 𝑑𝜉_𝑟 (𝑑𝑟 𝑑𝜉) 𝜉0 𝜉1 ∫ 2𝑝 √𝜉 2 −𝑝2√𝑝2−𝜉1 2 𝑑𝑝 𝜉 𝜉1 . (2.23)

A primeira integral da equação (2.23) é resolvida por substituição. Fazendo 𝑥2 = 𝜉2 − 𝑝2 e 2𝑥 𝑑𝑥 = −2𝑝 𝑑𝑝 e substituindo esses valores na equação (2.23) obtém-se

∫ −2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 √𝜉2_−𝑥2_−𝜉

12 𝜉

𝜉1 . (2.24)

Simplificando 𝑥 na integral (2.24), organizando os valores contidos dentro da raiz e retirando a constate da integral obtém-se

− 2 ∫ 𝑑𝑥

√(𝜉2_−𝜉 12)−𝑥2 𝜉

(21)

que pode ser manipulada para −2 ∫ 𝑑𝑥 √𝜉2_−𝜉 12 𝜉 𝜉1 1 √1−( 𝑥 √𝜉2−𝜉12 ) 2 (2.26)

e, retirando o primeiro fator da integral (2.26)

− 2 √𝜉2_−𝜉 12 ∫ 𝑑𝑥 √1−( 𝑥 √𝜉2−𝜉12 ) 2 𝜉 𝜉1 (2.27)

A integral (2.27) é tabelada, e seu valor corresponde ao −2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑥 √𝜉2_{− 𝜉} 12

⁄ ).

Substituindo de volta o valor de 𝑥 por √𝜉2_{− 𝑝}2_{, e aplicando os limites de integração em p}

−2 arcsin [√𝜉 2 −𝑝2 √𝜉2_−𝜉 12 ] 𝜉1 𝜉 = −2 arcsin(0) + 2 arcsin(1) = 𝜋. (2.28)

Resolvendo agora a primeira integral em (2.23) com relação a 𝑑𝑟, obtém-se

∫ 𝜋_𝜉1𝜉0 𝑑𝜉_𝑟 (𝑑𝑟 𝑑𝜉) = 𝜋 ∫ 𝑑𝑟 𝑟 𝑟0 𝑟1 = 𝜋 ln (𝑟)𝑟1 𝑟0 = 𝜋 ln𝑟0 𝑟1 (2.29) Note-se que os limites de integração mudaram para 𝑟_𝑜e 𝑟₁, pois a nova variável de integração é 𝑟.

Juntando os resultados das integrais (2.22) e (2.29) obtém-se

ln 𝑟0 𝑟1 = 1 𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ −1₍𝑝 𝜉1) Δ1 0 𝑑Δ (2.30)

que é conhecida como a integral de Herglogz-Wiechert. No próximo capítulo ilustraremos como, a partir deste resultado, é possível obter valores de velocidade 𝑣1, associados a uma determinada profundidade 𝑟₁.

(22)

3 EXPERIMENTOS NUMÉRICOS

Nesta etapa foram realizados testes do algoritmo implementado para a inversão de Herglotz-Wiechert usando “dados” sintéticos. Para programar os cálculos e gerar gráficos foi utilizada a linguagem de programação python, disponibilizado através da plataforma IDLE. O código é providenciado no Anexo 1.

3.1 Rotina para inversão numérica

Entender como a integral da equação (2.30) pode fornecer valores de velocidade em função da profundidade não é algo trivial. Por esse motivo esta seção apresentará o passo a passo para obtenção da curva 𝑣(𝑟) a partir dessa integral. Vale ressaltar que todos os testes apresentados neste trabalho seguem esta rotina.

O primeiro passo é determinar a curva 𝑝 − ∆, lembrando que o parâmetro do raio 𝑝 é obtido a partir da equação

𝑝 =𝑑𝑇

𝑑∆, (3.1) em que 𝑝 é expresso em 𝑠/𝑟𝑎𝑑. A derivada pode ser obtida das curvas 𝑇 − Δ numericamente,

usando diferenças finitas.

O segundo passo é escolher um valor ∆₁ na curva 𝑝 − ∆ e avaliar a integral à direita da equação ln (𝑟0 𝑟1) = 1 𝜋 ∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ −1₍𝑝 𝑝1) Δ1 0 𝑑Δ, (3.2)

onde 𝑝₁ é o parâmetro do raio associado à distância ∆₁. Para avaliar a integral é preciso dividir o intervalo 0 − ∆1 em intervalos menores e usar algum algoritmo de integração numérica.

Em seguida, assumindo um valor para o raio da Terra 𝑟₀ e usando o resultado da integração numérica do passo anterior, é possível determinar o valor de 𝑟₁ com a parte esquerda da eq. (3.2). O resultado é a distância ao centro da Terra do ponto de viragem do raio sísmico com parâmetro 𝑝1 e distância epicentral ∆1.

(23)

Por fim, o ultimo passo é determinar a velocidade do ponto de viragem 𝑣1, através da equação

𝑣₁ = 𝑟1

𝑝1. (3.3)

A partir da repetição destes passos para vários valores de ∆₁ é possível determinar a função 𝑣(𝑟) para a Terra.

3.2 Inversão de dados com espaçamento regular

Os “dados” sintéticos com espaçamento regular foram construídos assumindo um espaçamento uniforme entre estações sismográficas (Tabela 3.1), onde os valores de distância epicentral estão dispostos igualmente a cada dois graus para distâncias entre 0o e 30o. Para a geração dos tempos de percurso, considerou-se o modelo de referência global ak135 de Kennett e Engdahl e Buland (1995), projetado para fornecer um bom ajuste para ampla gama de fases sísmicas que é fornecida pelo modelo iasp91 de Kennett e Engdahl (1991).

O modelo de velocidade ak135 fornece uma tabela de valores de velocidade de onda P e S (e densidade) em função da profundidade. Porém, é importante ressaltar que neste trabalho são analisadas apenas as velocidades da onda P. A Figura 3.1 mostra o modelo ak135 para uma Terra esférica. É notável que este modelo delimita de forma precisa as descontinuidades da Terra; por exemplo, a uma profundidade de aproximadamente 5.000 km existe uma descontinuidade (10-11 km/s, aproximadamente) relacionada à interface entre o núcleo externo e o núcleo interno.

(24)

Figura 3.1 – Modelo de velocidade ak135. O eixo vertical (z) indica profundidade e o horizontal (v) velocidade de onda P. As “quebras” das curvas, onde não há pontos, são referentes a mudanças nas

propriedades físicas (descontinuidades) da Terra.

Tabela 3.1 – “Dados” sintéticos com espaçamento regular para distâncias entre 0o_{e 62}o_{, em que ∆} representa a distância epicentral em graus (°), T o tempo de percurso em segundos (𝑠) e p o parâmetro

do radio em segundo por radiano (𝑠/𝑟𝑎𝑑).

∆ (o₎ _{T (s)} _{p (s/rad)} _{∆ (}o₎ _{T (s)} _{p (s/rad)} 0 0.00 1098.4458 32 387.90 503.3796 2 35.03 787.9568 34 405.38 498.0179 4 62.53 787.6740 36 422.64 490.7818 6 90.01 787.0372 38 439.66 483.5833 8 117.47 786.1532 40 456.41 476.0209 10 144.89 784.9687 42 472.89 468.1500 12 172.27 783.5029 44 489.10 460.0894 14 199.59 781.7599 46 505.01 451.8730 16 226.36 745.7287 48 520.64 443.6211 18 251.57 706.4295 50 535.99 435.3104 20 274.09 624.3960 52 551.04 426.9582 22 295.69 612.7012 54 565.80 418.5287 24 316.28 523.3622 56 580.26 410.2612 26 334.49 518.7069 58 594.43 401.6177

(25)

28 352.49 512.2409 60 608.31 393.5631

30 370.25 506.4658 62 621.91 385.0598

Fonte: Elaborado pelo autor.

A Tabela 3.1 mostra valores de tempo de percurso (T) e parâmetro do raio (p) em função da distância epicentral (), gerados a partir do modelo de velocidade ak135 e resolvendo as equações do problema direto mostradas no capítulo anterior. Esta tabela foi utilizada para ilustrar a rotina de inversão descrita na seção anterior. Como descrito anteriormente, o primeiro passo na inversão seria calcular o parâmetro do raio com base nos valores de tempo de percurso 𝑇 e distância epicentral ∆; porém, como esses valores são já providenciados (ver Tabela 3.1) o passo torna-se desnecessário. O próximo passo é assim avaliar numericamente a integral da equação (3.2), o que é feito através da fórmula dos trapézios

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∑𝑁 (𝑓_𝑖−1− 𝑓_𝑖) ∆𝑥/2 𝑖=2

𝑏

𝑎 , (3.4) onde - de acordo com a equação (2.2) - a função 𝑓(𝑥) é substituída pela função 𝑐𝑜𝑠ℎ−1(𝑝 𝑝⁄ ) e d𝑥 é substituído por 𝑑Δ. Para calcular o valor do 𝑐𝑜𝑠ℎ₁ −1_{(𝑥) foi utilizada a} identidade mostrada na equação

𝑐𝑜𝑠ℎ−1(𝑥) = ln(𝑥 + √𝑥2_{− 1), (3.5)}

em que 𝑥 representa a divisão (𝑝𝑖⁄𝑝1), sendo 𝑝𝑖 é o parâmetro do raio em uma distância arbitrária ∆_𝑖 (0 < ∆_𝑖 < ∆₁) e 𝑝₁ é o parâmetro do raio para a distância ∆₁. Os resultados obtidos para 𝑐𝑜𝑠ℎ−1(𝑥) no intervalo 0° < ∆ < 30° (1 = 30o_{) são mostrados na Tabela 3.2.}

Tabela 3.2 – Valores obtidos do 𝑐𝑜𝑠ℎ−1 para dados com espaçamento regular.

𝚫𝒊(°) 𝒑𝒊 (𝒔/𝒓𝒂𝒅) 𝒄𝒐𝒔𝒉−𝟏(𝒑𝒊/𝒑𝟏) 𝚫𝒊(°) 𝒑𝒊 (𝒔/𝒓𝒂𝒅) 𝒄𝒐𝒔𝒉−𝟏(𝒑𝒊/𝒑𝟏) 0 1098.4458 1.40937 16 745.7287 0.937336 2 787.9568 1.01074 18 706.4295 0.861708 4 787.6740 1.01028 20 624.3960 0.669830 6 787.0372 1.00922 22 612.7012 0.636885 8 786.1532 1.00775 24 523.3622 0.257589 10 784.9687 1.00577 26 518.7069 0.219423

(26)

12 783.5029 1.00333 28 512.2409 0.150854

14 781.7599 1.00041 30 506.4658 0.000000

Introduzindo os valores do 𝑐𝑜𝑠ℎ−1(𝑝𝑖⁄ ) na equação (3.4), usando ∆𝑥 =𝑝1 0.034906 𝑟𝑎𝑑 (ou seja, 2°𝜋/180°), e dividindo o resultado por π, obteve-se um valor de 0.12762 para ln (𝑟₀⁄ ). Considerando o valor calculado do ln (𝑟𝑟₁ ₀⁄ ) e que o raio da Terra é 𝑟₁ de 𝑟₀ = 6371 𝑘𝑚, obteve-se para um delta de 30° que 𝑟₁ = 5607.68 𝑘𝑚. E, finalmente, utilizando a equação (3.3), obteve-se que a velocidade associada a 𝑟1 foi de 𝑣1 = 11.07 𝑘𝑚/𝑠. Portanto, o valor da velocidade a profundidade de 763.32 𝑘𝑚 (= 6371 − 5607.68 𝑘𝑚) é de 11.07 𝑘𝑚/𝑠. Esse valor confere com o valor previsto pelo modelo ak135, que é de 𝑣 = 11.07 𝑘𝑚/𝑠.

Os cálculos anteriores, ilustrados para uma escolha de Δ₁ = 300_{, foram repetidos para} escolhas sucessivas de Δ₁ correspondentes a cada um dos valores de Δ listados na Tabela 3.1. Os resultados são listados na Tabela 3.3, e os valores obtidos são comparados com os valores previstos pelo modelo ak135 na Figura 3.2. A comparação é excelente, comprovando a acurácia e efetividade do método de Herglotz-Wiechert.

(27)

Figura 3.2 – Comparação entre as velocidades obtidas para dados com espaçamento regular e o modelo ak135.

Fonte: Elaborado pelo autor, 2018

Tabela 3.3 – Resultados obtidos de 𝑟1 e 𝑣1. Com destaque para ∆ 30°, onde os valores previstos eram de 𝑟1 = 5607.67 𝑘𝑚 e 𝑣 = 11.07 𝑘𝑚/𝑠. 𝚫𝟏(°) 𝒓_𝟏(𝒌𝒎) 𝒗𝟏(𝒌𝒎/𝒔) 𝚫𝟏(°) 𝒓_𝟏(𝒌𝒎) 𝒗𝟏(𝒌𝒎/𝒔) 0 0 0 32 5589.35 11.1036 2 6340.60 8.0468 34 5557.26 11.1587 4 6338.69 8.0473 36 5514.36 11.2358 6 6334.30 8.0482 38 5470.57 11.3125 8 6328.00 8.0493 40 5423.30 11.3930 10 6319.47 8.0506 42 5372.81 11.4766 12 6308.83 8.0520 44 5319.71 11.5623 14 6296.10 8.0537 46 5264.16 11.6496 16 6179.52 8.2865 48 5206.86 11.7371 18 6085.91 8.6150 50 5147.64 11.8252 20 5918.50 9.4787 52 5086.61 11.9136 22 5886.08 9.6067 54 5023.53 12.0028 24 5680.59 10.854 56 4960.05 12.0899 26 5662.85 10.917 58 4892.40 12.1817 28 5635.40 11.001 60 4827.56 12.2663 30 5607.68 11.072 62 4757.82 12.3560

(28)

3.3 Inversão de dados com espaçamento irregular

A inversão de dados sintéticos com espaçamento irregular simula de maneira mais completa o que pode ocorrer com dados reais. Irregularmente espaçado significa que as estações não estão espaçadas igualmente, pelo que será necessário adicionar uma interpolação à rotina de inversão. Para gerar os “dados” sintéticos, os intervalos de separação entre as distâncias epicentrais foram gerados aleatoriamente para valores entre 0o e 5o (usando a função interna RANDOM do sistema operativo UNIX) e os tempos de percurso calculados através das equações do problema direto mostradas no capítulo anterior. Desta vez, os valores do parâmetro do raio foram obtidos por diferencias finitas a partir da curva 𝑇 − Δ interpolada. Os valores de distância epicentral e tempo de percurso utilizados nesse exemplo são mostrados na Tabela 3.4.

Tabela 3.4 – Tempos de percurso (T) e distâncias epicentrais (∆) utilizadas para o calculo da inversão de dados com espaçamento irregular.

∆ (o₎ _{T (s)} _{∆ (}o₎ _{T (s)} _{∆ (}o₎ _{T (s)} 3.3 52.9 26.8 341.7 55.1 573.8 4.3 66.7 30.0 370.3 57.4 590.2 9.2 133.9 30.9 378.2 58.7 599.3 9.9 143.5 35.7 420.1 58.9 600.7 11.5 165.4 39.5 452.2 61.8 620.6 13.8 196.9 42.2 474.5 63.7 633.2 15.1 214.6 42.6 477.8 66.3 650.1 15.3 217.2 47.0 512.9 69.8 672.1 18.2 254.0 47.1 513.7 74.0 697.4 20.1 275.2 48.1 521.4 77.2 715.7 20.9 283.9 49.8 534.5 79.3 727.4 24.4 320.0 50.5 539.8 84.1 752.7

Para resolver o problema do espaçamento irregular entre estações foi feita uma interpolação linear utilizando a seguinte formula

𝑇_𝑖𝑛𝑡 = 𝑇₁+(∆𝑖𝑛𝑡−∆1)

(29)

em que Δ₁, Δ₂, 𝑇1e 𝑇2 representam respectivamente as distâncias epicentrais e os tempos de percurso não interpolados. Os valores de ∆_𝑖𝑛𝑡 são as distâncias epicentrais com espaçamento regular (interpolado) e os valores 𝑇_𝑖𝑛𝑡 são os tempos de percurso correspondentes a cada ∆_𝑖𝑛𝑡. Nesta aplicação o passo escolhido para a interpolação foi de dois graus. O resultado da interpolação linear é mostrado na Figura 3.3, demonstrando a acurácia da interpolação linear para o conjunto de dados gerado.

Figura 3.3 – Comparação entre as curvas 𝑇 − Δ original (Tabela 3.4) e interpolada. A interpolação linear mostrou um desempenho satisfatório na regularização do espaçamento entre os pontos da curva.

Após a interpolação, os resultados obtidos são novos valores de distância epicentral espaçados a cada dois graus e os tempos de percurso correspondentes. A partir desses valores, foram calculados os parâmetros do raio através do método das diferenças finitas. O método das diferenças finitas consiste na aproximação de derivadas por diferenças finitas (ver Figura 3.4).

(30)

Figura 3.4 - Exemplo de curva para representar a aproximação de derivadas por diferenças finitas. O eixo das abscissas corresponde a ∆ e as ordenadas 𝑇. É importante lembrar que, no exemplo

analisado, a derivada 𝑑𝑇

𝑑∆ corresponde ao parâmetro do raio. As derivadas são representadas pelos pontos pretos tangentes à curva.

Para um ponto arbitrário ∆𝑖, a derivada pode ser escrita segundo a fórmula das diferenças finitas centradas como

𝑑𝑇 𝑑∆ =

𝑇𝑖+1− 𝑇𝑖−1

∆𝑖+1− ∆𝑖−1. (3.7)

Existem ainda outras duas maneiras de representar esta derivada; são elas a fórmula das diferenças progressivas, onde

𝑑𝑇 𝑑∆=

𝑇𝑖+1− 𝑇𝑖

∆𝑖+1− ∆𝑖, (3.8)

e a fórmula das diferenças regressivas, onde a derivada é representada através da equação 𝑑𝑇

𝑑∆ =

𝑇𝑖− 𝑇𝑖−1

∆𝑖− ∆𝑖−1. (3.9)

A fórmula das diferenças centradas foi utilizada nos pontos internos ao intervalo de distâncias epicentrais; nos pontos extremos, último e o primeiro, foram aplicadas as fórmulas das diferenças regressivas e progressivas, respectivamente. Os resultados obtidos para os parâmetros do raio são mostrados na Tabela 3.5.

(31)

Tabela 3.5 – Parâmetros do raio obtidos por diferenças finadas a partir da curva 𝑇 − Δ interpolada. ∆(°) 𝑝 (𝑠 𝑟𝑎𝑑⁄ ) ∆(°) 𝑝 (𝑠 𝑟𝑎𝑑⁄ ) 3.3 786.47227144 45.3 456.30228587 5.3 784.36752852 47.3 448.46011754 7.3 782.96436657 49.3 436.49419506 9.3 787.86447118 51.3 427.54960584 11.3 788.35967678 53.3 422.74320797 13.3 781.1921438 55.3 415.26984543 15.3 752.39580686 57.3 404.20368531 17.3 702.92874761 59.3 396.51557097 19.3 650.97178496 61.3 388.21530098 21.3 607.05739985 63.3 378.59668101 23.3 574.55900754 65.3 370.10704191 25.3 537.35511857 67.3 363.21431656 27.3 514.31914579 69.3 354.51763574 29.3 508.82830025 71.3 347.01461699 31.3 502.85998988 73.3 339.45830976 33.3 500.14440867 75.3 330.50797575 35.3 493.68606861 77.3 323.22876864 37.3 485.61314353 79.3 310.60792376 39.3 479.14852104 81.3 301.99650452 41.3 470.87912719 83.3 301.99650452 43.3 462.26191505 - -

Na inversão de dados espaçados irregularmente a interpolação linear e o cálculo do parâmetro do raio foram as únicas adaptações realizadas ao código desenvolvido para os dados espaçados regularmente. Os próximos passos até a obtenção da curva 𝑣(𝑟) são iguais aos discutidos na seção anterior. Os resultados obtidos para 𝑣₁ e 𝑟₁ são listados na Tabela 3.6.

Tabela 3.6 – Resultados obtidos de 𝑟1 e 𝑣1 para dados com espaçamento irregular. Note-se que os valores obtidos para ∆ = 31.3°, são consistentes com os valores obtidos para Δ = 300_{no exemplo}

anterior (𝑟1 = 5607.67 𝑘𝑚 e 𝑣 = 11.07 𝑘𝑚/𝑠). ∆(°) 𝑟₁(𝑘𝑚) 𝑣 (𝑘𝑚/𝑠) ∆(°) 𝑟₁(𝑘𝑚) 𝑣 (𝑘𝑚/𝑠) 5.3 6358.16 8.1061 45.3 5413.04 11.8628 7.3 6351.37 8.1119 47.3 5358.86 11.9494 9.3 6369.74 8.0848 49.3 5278.71 12.0934 11.3 6370.99 8.0813 51.3 5216.70 12.2014 13.3 6337.00 8.1119 53.3 5179.50 12.2521

(32)

15.3 6257.75 8.3171 55.3 5121.30 12.3324 17.3 6161.68 8.7657 57.3 5037.35 12.4624 19.3 6065.64 9.3178 59.3 4976.61 12.5508 21.3 5978.21 9.8478 61.3 4909.44 12.6461 23.3 5904.45 10.2765 63.3 4831.07 12.7604 25.3 5813.38 10.8185 65.3 4760.02 12.8612 27.3 5747.76 11.1754 67.3 4699.67 12.9391 29.3 5725.40 11.2521 69.3 4622.90 13.0399 31.3 5697.60 11.3304 71.3 4554.72 13.1254 33.3 5681.25 11.3592 73.3 4484.43 13.2105 35.5 5643.98 11.4323 75.3 4400.76 13.3151 37.3 5597.89 11.5274 77.3 4330.63 13.3980 39.3 5558.62 11.6010 79.3 4212.09 13.5608 41.3 5507.73 11.6966 81.3 4129.08 13.6726 43.4 5453.60 11.7976 83.3 - -

Os resultados listados na Tabela 3.6, estão representados na Figura 3.2 em forma de gráfico. A comparação entre estes resultados e o modelo ak135 é excelente, comprovando a acurácia e efetividade do método de Herglotz-Wiechert, mesmo se tratando de estações irregularmente espaçadas.

(33)

Figura 3.5 – Comparação entre a função v(r) obtida para dados de espaçamento irregular e o modelo ak135. O eixo vertical representa a profundidade e o horizontal a velocidade. Neste caso alguns pontos da curva v(r) obtida fogem do proposto pelo modelo ak135, porém isso não afeta a

efetividade do método.

(34)

4 APLICAÇÃO À REDE SISMOGRÁFICA BRASILEIRA

A rede sismográfica brasileira (RSB) em funcionamento desde 2010, compõe o conjunto de 87 estações sismográficas permanentes espalhadas por todo território brasileiro. Ela é constituída pela Rede Sismográfica do Sul e Sudeste do Brasil, sob a coordenação do Observatório Nacional (ON), pela Rede Sismográfica do Nordeste do Brasil, sob coordenação da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (NB ), pela Rede Sismográfica Integrada do Brasil, sob coordenação da Universidade de São Paulo (BL) e pela Rede sismográfica do Centro e Norte do Brasil, sob coordenação da Universidade de Brasília (BR).

O objetivo é aplicar a metodologia de Herglotz-Wierchert em dados coletados pela RSB é mapear valores de velocidade de onda P para crosta e manto no Brasil.

4.1 Seleção de dados e pré-processamento

Como destacado nos capítulos anteriores, o método de Herglotz-Wiechert é baseado na obtenção da curva 𝑣(𝑟) a partir de valores de distância epicentral (∆) e tempos de percurso (𝑇). Devido à presença de ruído nos sismogramas e a mudanças laterais na estrutura profunda do planeta, diferentes eventos podem resultar em pequenas variações entre as funções 𝑣(𝑟) obtidas de eventos diferentes. Por esse motivo, nesta seção serão analisadas funções 𝑣(𝑟) obtidas de eventos sismológicos distintos. Vale ressaltar que esta análise foi feita apenas para ondas sísmicas primárias (P); porém, poderia ser feito para ondas secundárias (S) seguindo o mesmo roteiro. A obtenção dos dados foi feita através do aplicativo arcLinkFetch, disponibilizado pela RSB, e o pré-processamento dos dados foi feito utilizado o Seismic

Analysis Code (SAC), que é um programa interativo desenvolvido para o estudo séries

temporais (sismogramas).

A seleção dos terremotos baseou-se em três critérios: (i) a magnitude mínima adotada foi de 6.5 𝑀_𝑤, isso porque quanto maior a magnitude do evento melhor a visualização das ondas sísmicas no sismograma; (ii) a profundidade do hipocentro foi menor que 100.0 𝑘𝑚, isso porque eventos muito profundos se afastam da profundidade focal 0 km assumida na metodologia; e, por fim, (iii) a distância epicentral dos eventos sempre foi menor que 90°, distância na qual a onda P entra no núcleo externo. Para a seleção dos eventos foi considerado

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o catálogo do National Earthquake Information Center (NEIC) do United States Geological

Survey (USGS).

Tabela 4.1 – Eventos selecionados e seus respectivos tempos de percurso, magnitude e coordenadas. As coordenadas estão organizadas como latitude (Norte ou Sul) e longitude (Leste ou Oeste). TR é a

abreviação para terremoto.

Terremoto Tempo de origem (UTC) Magnitude (𝑀_𝑤) Latitude (°) Longitude (°)

TR 1 09:18:45 7.1 15.768 S 74.709 W TR 2 23:58:36 7.8 0.382 N 79.922 W TR 3 04:29:57 7.1 0.046 S 17.826 W TR 4 02:43:13 7.7 20.571 S 70.493 W TR 5 16:42:43 7.1 15.836 S 74.511 W TR 6 22:37:06 7.1 35.200 S 72.217 W TR 7 20:15:43 6.8 28.094 S 70.653 W TR 8 22:04:13 6.6 10.701 N 42.594 W TR 9 18:54:34 6.9 14.438 S 75.966 W TR 10 02:51:33 7.5 17.483 N 83.520 W TR 11 07:32:22 7.4 55.185 S 31.877 W

Ao total foram selecionados 11 terremotos, listados na Tabela 4.1 e mostrados na Figura 4.1. O mapa da Figura 4.1 detalha a disposição das 31 estações utilizadas neste trabalho e os terremotos selecionados. Os terremotos estão em sua maioria a distâncias entre 37° e 53° das estações, sendo o evento mais distante o TR 11, com distância epicentral de 62.12°. Os eventos TR 8 e TR 3 foram selecionados com o intuito de analisar o comportamento da curva v(r) para terremotos oriundos da dorsal Meso-Atlântica.

Figura 4.1- Localização geográfica dos 11 terremotos selecionados. A partir desse mapa é possível ter uma noção da distância estação-evento adotada. As estações estão separadas por cores,

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A requisição dos sismogramas para cada terremoto foi feita através do aplicativo arcLinkFetch, especificando quais redes seriam usadas e qual a janela temporal requisitada para cada sismograma. Neste caso, as redes requisitadas foram BL, BR, NB e ON (destacadas no início deste capítulo), e a janela temporal foi de 30 minutos após o tempo de origem do terremoto; ou seja, para um terremoto que ocorreu às 09:18:45 (UTC) a requisição é feita das 09:18:45 até às 09:48:45 (UTC).

A picagem da onda P foi realizada no SAC, (Figura 4.2) e, a partir dessa picagem, foram medidos os tempos de percurso 𝑇. O cálculo para obtenção de 𝑇 é o seguinte

𝑇 = 𝑇_{𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜}+ 𝑇_𝑃 − 𝑇_{𝑡𝑒𝑟𝑚} (4.1)

em que 𝑇_{𝑠𝑖𝑠𝑚𝑜} é o tempo em segundos que marca o início do sismograma, 𝑇_𝑃 é o tempo em segundos que marca o início primeiro pico (onda P) e 𝑇_{𝑡𝑒𝑟𝑚} é o tempo de origem em segundos do terremoto selecionado (retirado, para cada evento, do catálogo sísmico do NEIC/USGS). A Figura 4.2 a seguir mostra alguns sismogramas do terremoto (TR 05); neste caso foram selecionadas apenas 10 estações como forma de exemplificar as picagens da onda P.

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a direita dos sismogramas. A sigla HHZ informa que o sismograma corresponde a componente vertical.

(38)

O cálculo da distância epicentral ∆ é feito automaticamente pelo SAC, a partir das coordenadas das estações e do evento, e gravado no cabeçalho do arquivo que contém o sismograma.

Seguindo esses passos foram obtidas as curvas 𝑇 − ∆ para cada um dos 11 eventos (Figura 4.3). Da Figura 4.3 é perceptível que os dados em geral se concentram a distâncias entre 14.8° e 57.2°, tendo alguns que fogem do padrão.

Figura 4.3 - Curva 𝑇 − ∆ para os 11 terremotos selecionados. O ponto mais profundo analisado - ultimo ponto verde- em 62.12 ° é referente ao TR 11. Alguns terremotos estão representados

na mesma escala de cor.

Fonte: Elaborado pelo autor, 2018

4.2 Inversão

A inversão para os 11 eventos escolhidos seguiu o mesmo passo a passo relatado na seção 3.4 do capítulo 3. Algumas pequenas mudanças foram adotadas, como por exemplo, na interpolação o passo mudou para 1o (nos dados sintéticos o passo entre os

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pontos interpolados era 2), pois desta forma o perfil de velocidade foi obtido com mais detalhe (Figura 4.4).

Figura 4.4 - Gráficos da interpolação para o terremoto 2 feita com passo 1 à esquerda e com passo 2 à direita. A interpolação de passo 1 se mostrou mais bem-adaptada para todos os

eventos escolhidos.

Um detalhe importante dos dados apresentados para o terremoto 2 é que as distâncias epicentrais até as estações da RSB estão na faixa de 10o_{a 50}o_{; existe assim} um “gap” considerável na curva 𝑇 − Δ, entre 0o_{e 10}o_{. Menosprezar as contribuições} desse intervalo ao valor esperado da integral de Herglotz-Wiechert (eq. 3.2) resulta em uma sobrestimação dos valores de 𝑟1 e 𝑣1 (ver Figura 4.5). É assim necessário achar uma estratégia para avaliar, embora de forma aproximada, essa contribuição à integral.

(40)

Figura 4.5 - Curva v(r) do terremoto 2 sem a correção para curvas incompletas. É perceptível que as velocidades obtidas são mais altas do que a do modelo ak135. A versão corrigida pode

ser vista na Figura 4.4, gráfico C.

Para resolver o problema das curvas incompletas é preciso determinar o tempo de percurso (𝑇) correspondente a ∆ = 0° para o terremoto e interpolar no intervalo 0o_a 10o. O cálculo para o obter 𝑇 é

𝑇 = ℎ 𝑣⁄ , (4.2) _𝑝

em que ℎ é a profundidade do terremoto em 𝑘𝑚 e 𝑣_𝑝 é a velocidade média da onda 𝑃 em 𝑘𝑚/𝑠 entre a superfície e a profundidade ℎ. Em todos os eventos consideramos que 𝑣𝑝 = 6.5 𝑘𝑚/𝑠 (velocidade de onda 𝑃 na crosta terrestre). Por exemplo, o terremoto 2 ocorreu a uma profundidade de 20.6 𝑘𝑚; então para ∆ = 0° o valor de 𝑇 será

𝑇 = 20.6 𝑘𝑚

6.5 𝑘𝑚/𝑠 = 3.1 𝑠. (4.3) O resultado da interpolação e a função v(r) resultante foram mostrados na Figura 4.4.

(41)

4.3 Funções v(r) para os terremotos selecionados

As figuras a seguir representam as funções 𝑣(𝑟) para os 11 eventos selecionados sendo comparados com o modelo de Terra global ak135. Vale ressaltar que alguns terremotos mais distantes foram selecionados com o intuito de mapear as velocidades do manto mais profundo (nos eventos mais distantes a onda sísmica tem ponto de viragem mais profundo); por esse motivo alguns dados possuem um menor alcance enquanto que outros atingem maiores profundidades.

A Figura 4.6 mostra as curvas 𝑣(𝑟) para todos os terremotos analisados. É notável que na área delimitada pelo polígono “A” os dados obtidos se ajustam bem a curva do modelo ak135 (ver Figura 4.7); já no polígono “B” muitos dos dados obtidos assumem velocidades maiores do que as do modelo ak135 (ver Figura 4.8). Possíveis causas dessa discrepância são discutidas no próximo capítulo.

Figura 4.6 – Comparação entre os 11 terremotos e o modelo ak135. Os eventos então marcados com ‘+’. É notável que muitos dos últimos pontos obtidos dispersam do modelo ak135

proposto.

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Figura 4.7 - Zoom do polígono “A” destacado na Figura 3.6. Aqui fica mais claro como a curva v(r) obtida se ajusta melhor ao modelo ak135 para profundidades de até 1000 km. Os eventos

então marcados com ‘+’.

Figura 4.8 - Zoom do polígono “B” destacado na Figura 4.6. Desta vez fica claro que para profundidades acima de aproximadamente 1000 km as curvas v(r) obtidas assumem valores de

velocidade maiores do que as do modelo ak135. Os eventos então marcados com ‘+’.

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5 DISCUSSÃO

As velocidades de onda P obtidas para a litosfera continental no Brasil (≈ 200 km de profundidade) assumem valores um pouco acima das velocidades do modelo

ak135 (Figura 5.1); para este modelo as velocidades são de aproximadamente 8.6 km/s,

enquanto que as velocidades obtidas com o método de Herglotz-Wierchert são de aproximadamente 8.8 km/s. Isto pode ser devido ao carácter continental da litosfera da zona de estudo, em comparação ao carácter global (continental e oceânico) do modelo

ak135. Entre 200 km e 410 km encontra-se o manto superior astenosférico, para o qual

as velocidades de onda P obtidas (≈ 9.1 km/s) também estão acima das do modelo ak135 (≈ 9.0 km/s). Nota-se que a discrepância é máxima perto da descontinuidade de 410 km, em que os pontos calculados passam por entre a descontinuidade fazendo um tipo de “média” do modelo ak135. Assim, entre 410 km e 660 km na chamada zona de transição entre manto superior e inferior, as velocidades obtidas (≈ 10.5 km/s) estão novamente acima das do modelo ak135 (≈ 10.1 km/s).

Figura 5.1 – Modelo de velocidade para litosfera continental do Brasil. Ampliação da Figura 3.6 para profundidades de 660 km. O polígono “A” representa a litosfera continental, “B” manto

superior e “C” zona de transição. Dados para os 11 terremotos estão marcados com ‘+’.

Um detalhe relevante neste trabalho é saber o motivo pelo qual os últimos pontos (profundidades acima de 1000 km) das curvas 𝑣(𝑟) sempre divergem a respeito

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do modelo ak135 (Figura 4.6). A primeira hipótese a ser considerada é se as picagens de onda P estão corretas, pois para eventos de menor magnitude o sismograma pode ser tornar bastante ruidoso, atrapalhando a precisão da marcação do primeiro tempo de chegada. A segunda hipótese é que na interpolação, os últimos pontos sempre tentem a um valor muito maior pelo fato de não existirem dados reais onde seja possível interpolar, o que pode interferir nos valores do parâmetro do raio obtidos por diferencias finitas e, consequentemente, da curva v(r).

Figura 5.2 – Curva v(r) dos terremotos 1, 2, 3 e 11. Com destaque para a elipse ressaltando uma descontinuidade na curva do modelo ak135.

A Figura 5.2 dispõe de alguns terremotos em específico, estes eventos são: (i) o mais distante (TR 11 – 62.12°), (ii) o mais próximo (TR 1 - 10.37°), (iii) o localizado na dorsal Meso-Atlântica (TR 3) e (iv) o localizado no Equador (TR 2). Analisando a primeira hipótese, através da Figura 5.2, é perceptível que os eventos de menor magnitude (ver Tabela 4.1) correspondem ao TR 1 e TR 3; ao contrário do TR 11 (de maior magnitude) esses dois eventos divergem bastante do modelo ak135. Porém o TR

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2, que também diverge do modelo ak135 possui a maior magnitude dos 11 terremotos analisados. Mostrando assim que esta hipótese não é consistente.

A segunda hipótese foi atestada através da observação da curva v(r) de dois terremotos em específico, o TR 11 e TR 10. Observando a Figura 5.3 é notável que esses eventos possuem uma maior densidade de dados em profundidades acima de 800 km. Sendo assim, na etapa de interpolação, existiam dados reais suficientes para suportar os pontos interpolados entre eles. Desta forma, os parâmetros do raio assumiram valores coerentes e as curva v(r) obtidas se ajustaram ao modelo ak135.

Figura 5.3 – Curva v(r) dos terremotos 11 e 10 e suas respectivas interpolações. Note-se que a densidade de dados desses dois eventos e concentra entre 30° < ∆ < 60°, enquanto que para os

outros 9 terremotos essa faixa é entre 10° < ∆ < 50°.

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6 CONCLUSÃO

A inversão de Herglotz-Wiechert se mostrou um excelente método, visto suas limitações, para calculo da função 𝑣(𝑟) na litosfera continental, manto superior astenosférico e zona de transição do Brasil. A comparação dos resultados obtidos com o modelo de velocidade ak135 comprova a efetividade e acurácia do método até profundidades de 1000 km. Para profundidades abaixo dessa faixa os resultados são dotados de uma alta dispersão. Essa dispersão pode ser considerada uma limitação do conjunto de dados e sua faixa de distâncias epicentrais limitada.

O resultado do teste em “dados” de espaçamento regular mostrou que para estações separadas a cada dois graus a função 𝑣(𝑟) se ajusta perfeitamente ao modelo

ak135, confirmando a efetividade da inversão em ambientes controlados. No teste para

“dados” de espaçamento irregular mostrou-se necessário o uso da interpolação linear. A interpolação de 1° foi a que melhor se ajustou ao resultado esperado. A comparação da curva 𝑣(𝑟) obtida (passo de 1°) com o modelo ak135 mostrou resultados excelentes, confirmando mais uma vez a efetividade da inversão de Herglotz-Wiechert, mesmo em dados fora do padrão ideal.

O ajuste realizado para curvas incompletas se mostrou um passo crucial, pois sem esse ajuste os resultados obtidos estariam com velocidades muito acima do esperado afetando toda efetividade do método de Herglotz-Wiechert.

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REFERÊNCIAS

GUTENBERG, Beno. Physics of the Earth's Interior. Elsevier, 2016. 14-15 p. LOWRIE, William. Fundamentals of geophysics. Cambridge university press, 2007. 190-191 p.

SHEARER, Peter M. Introduction to seismology. Cambridge University Press, 2009. 68 p.

LAY, Thorne; WALLACE, Terry C. Modern global seismology. Elsevier, 1995. KENNETT, B. L. N.; ENGDAHL, E. R.; BULAND, R. Constraints on seismic

velocities in the Earth from traveltimes. Geophysical Journal International, v. 122, n. 1, p. 108-124, 1995.

KENNTT, B. L. N.; ENGDAHL, E. R. Travel times for global earthquake location and phase association. Geophysical Journal International, v. 105, p. 429-465, 1991.

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ANEXO 1

Códigos fonte deste trabalho.

Figura 1 – Código fonte da seção 3.3 “Inversão de dados com espaçamento regular”. Os comentário estão marcados em vermelho precedidos de ‘#’, indicando ação do código abaixo do

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Figura 2 - Código fonte da seção 3.4 “Inversão de dados com espaçamento irregular”. Os comentário estão marcados em vermelho precedidos de ‘#’, indicando ação do código abaixo do

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Figura 3 – Exemplo de código fonte do terremoto 2. Os comentário estão marcados em vermelho precedidos de ‘#’, indicando ação do código abaixo do mesmo.

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ANEXO 2

Perfis v(r) dos 11 terremotos selecionados.

Figura 1 – Perfil v(r) do TR 1.

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