Exerc´ıcios de Geometria Anal´ıtica - PROFMAT Profa. Vanessa Paschoa
Lista 1 ∗ Unid. 1, 2, 3 e 4 Esta lista cont´em os exerc´ıcios:
Unid. 1: 3, 5, 9, 11, 14;
Unid. 2: 5, 11, 14, 18, 19, 23, 26; Unid. 3: 1, 2, 5, 10, 14, 16; Unid. 4: 2, 4, 12, 13, 16, 17; e mais alguns outros exerc´ıcios.
. Pontos e vetores
Exerc´ıcio 1. Mostre que dados dois pontos distintos no plano, A e B, a mediatriz de A e B definida por {P : d(P, A) = d(P, B)} ´e a reta que cont´em o ponto m´edio de A e B e ´e ortogonal ao vetor −AB.−→
Exerc´ıcio 2 (Un.1 Ex.5). Mostre que o conjunto {P = (x, y) : x3+ y3 = 1} n˜ao intercepta o terceiro quadrante do plano.
Exerc´ıcio 3 (Un. 1 Ex.9). Determine o centro e raio do c´ırculo cuja equa¸c˜ao ´e C : x2+ y2 = 2x + 4y.
Exerc´ıcio 4 (Un.1 Ex.11). Seja um c´ırculo C e AB um diˆametro deste c´ırculo. Tomando C um ponto do c´ırculo diferente de A e de B, mostre que ABC ´e triˆangulo retˆangulo em C.
Exerc´ıcio 5. Sejam A e B pontos do plano e k um n´umero real positivo diferente de 1. Mostre que o conjunto {P : d(P, A) = k d(P, B)} ´e um c´ırculo.
Exerc´ıcio 6. Seja ABCD um quadril´atero qualquer e sejam X, Y , Z e W pontos m´edios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que XY ZW ´e um paralelogramo.
Exerc´ıcio 7 (Un.1 Ex.14). Dados os pontos A = (−1, −1), B = (2, 3) e C abaixo, determine D para que−−→CD =−AB.−→
(a) C = (2, 1) (b) C = (−2, 0) (c) C = (1, 3).
Exerc´ıcio 8 (Un.1 Ex. 3). Sejam A e B dois pontos distintos do plano. Considere os n − 1 pontos que dividem o segmento AB em partes iguais. Dˆe uma express˜ao usando−AB (ou B −A),−→ n e k ∈ {1, 2, . . . , n} para estes pontos.
Exerc´ıcio 10 (Un. 2 Ex. 5). Mostre que, quaisquer que sejam os pontos A1, A2, . . . , An, temos −−−→ A1A2+ −−−→ A2A3+ · · · + −−−−−→ An−1An+ −−−→ AnA1 = ~0.
Exerc´ıcio 11 (∼ Un. 2 Ex. 11). A mediana de um triˆangulo ´e o segmento que liga o ponto m´edio de um lado ao v´ertice oposto. Mostre que:
(a) As trˆes medianas de um triˆangulo se interceptam em um mesmo ponto.
(b) Este ponto de encontro das medianas do triˆangulo ´e chamado baricentro. Se ABC ´e um triˆangulo e G o baricentro mostre que −→GA +−GB +−→ −GC = ~0.−→
(c) Se AM , BN e CP s˜ao as medianas do triˆangulo ABC e G o seu baricentro, mostre que −→
AG = 23−−→AM , −BG =−→ 23−−→BN e−CG =−→ 23−CP .−→
Exerc´ıcio 12 (Un.2 Ex.14). Sejam A, B e O pontos do plano. Mostre que um ponto P pertence ao segmento AB se, e somente se, existe t ∈ [0, 1] tal que ~OP = (1 − t) ~OA + t ~OB.
Exerc´ıcio 13 (Un.2 Ex.18(b)). Mostre que, se k~uk = k~vk ent˜ao ~u+~v e ~u−~v s˜ao perpendiculares.
Exerc´ıcio 14 (Un.2 Ex.19). Mostre a “lei do paralelogramo”: k~u + ~vk2+ k~u − ~vk2= 2k~uk2+ 2k~uk2
Exerc´ıcio 15 (Un.2 Ex.23). Considere ~u = (1, 3) e ~w = (6, −2). (a) Determine a proje¸c˜ao ortogonal do vetor ~una dire¸c˜ao do vetor ~w. (b) Encontre o vetor unit´ario que forma ˆangulos iguais com ~u e ~w.
Exerc´ıcio 16 (Un.2 Ex.26). Considere o triˆangulo de v´ertices A = (1, 1), B = (0, 3) e C = (2, 4). Observe que o vetor−−→HC =−→AC − Proj−→
AB
−→
AC corresponde a altura relativa ao lado AB e calcule a ´area deste triˆangulo usando este vetor.
. Retas
Exerc´ıcio 17 (Un.3 Ex.1). Verifique se os pontos (3, 2), (1, 3) e (6, 4) s˜ao colineares.
Exerc´ıcio 18 (Un.3 Ex. 2). Obtenha:
(a) a equa¸c˜ao cartesiana da reta r que passa pelos pontos (2, 4) e (5, 2);
(b) a equa¸c˜ao cartesiana da reta s que passa por (4,5) e ´e perpendicular `a reta r; (c) o ponto de intersec¸c˜ao das retas s e r.
Exerc´ıcio 19 (Un.3 Ex.5). Obtenha a equa¸c˜ao param´etrica da reta r que passa pelo ponto (1, 3) e ´e paralela `a reta 2x + 4y = −4.
Exerc´ıcio 20 (Un.3 Ex.10). Dentre as equa¸c˜oes param´etricas abaixo, diga quais delas repre-sentam a mesma reta e quais delas s˜ao paralelas.
r1: ( x = 2t + 1 y = −2t + 4, t ∈ R, r2: ( x = −6t + 3 y = 6t + 1 , t ∈ R r3 : ( x = t + 2 y = −t + 3, t ∈ R r4 : ( x = −6t + 6 y = 3t + 3 , t ∈ R
Exerc´ıcio 21 (Un.3 Ex.14). Esboce a fam´ılia de retas descritas pela equa¸c˜ao 5y = λx + 5, onde 0 ≤ λ5.
Exerc´ıcio 22 (Un.3 Ex.16). Descreva atrav´es de uma familia de equa¸c˜oes todas as retas que s˜ao perpendiculares `a reta s : 3x + 4y = 1.
Exerc´ıcio 23. Considere os pontos E = (1, 6) e F = (2, 3) e as retas r1:
(
x = 2t − 1
y = 5t + 1, t ∈ R, r2 : 3x − y = 3.
Dado o vetor−AB = (1, 2). Obtenha os pontos A, B, C e D de modo que a proje¸−→ c˜ao ortogonal de −AB sobre a reta r−→ 1 seja
−−→
DE e a proje¸c˜ao ortogonal de −AB sobre a reta r−→ 2 seja
−−→ F C. . Distˆancia e posi¸c˜ao relativa entre retas e c´ırculos
Exerc´ıcio 24. Calcule a distˆancia (a) da reta 2y = x + 1 ao ponto (2, −1). (b) da reta x + y = 2 `a reta 3x + 3y = 5.
Exerc´ıcio 25 (Un.4 Ex.2). Um ponto se move de maneira que a distˆancia ao ponto (−1, 1) ´e sempre igual a duas vezes a distˆancia `a reta 3x − 2y + 6 = 0. Determine uma equa¸c˜ao para estes pontos.
Exerc´ıcio 26 (Un.4 Ex.4). Quais s˜ao as equa¸c˜oes das retas paralelas que tem distˆancia 3 da reta 2x + y = 1.
Nota sobre ˆangulo entre retas:
Duas retas no plano formam dois ˆangulo. O ˆangulo entre duas retas ´e o menor destes ˆangulo, que medido em n´umeros reais varia de 0 a π/2. Vamos definir o ˆ
angulo entre dois vetores e depois relacionar com o ˆangulo entre as retas.
O ˆangulo entre dois vetores ´e um n´umero entre 0 e π radianos. Como cos θ ´e uma fun¸c˜ao injetiva para θ ∈ [0, π], ent˜ao dado o valor do cosseno do ˆangulo entre os vetores determinamos o ˆangulo entre os vetores. O ˆangulo entre dois vetores ~u e ~v ´e definido como o valor θ ∈ [0, π] que satisfaz
cos θ = h~u, ~vi
k~uk.k~vk, ou seja, θ = arccos
h~u, ~vi k~uk.k~vk
Agora vamos relacionar com as retas. Suponha que duas retas s˜ao concorrentes em A e que o menor ˆangulo entre elas seja θ. Se tomarmos P e Q pontos quaisquer de cada reta, os segmentos AP e AQ podem formar exatamente o ˆangulo θ ou podem formar o ˆangulo complementar, π − θ. Sabemos que cos(π − θ) = − cos θ e al´em disso sendo θ ∈ [0, π/2] ent˜ao cos θ ≥ 0. Assim, se queremos determinar o valor do menor ˆ
angulo, como este corresponde ao valor de cosseno positivo, ent˜ao o ˆangulo entre as retas que tem vetores diretores −→AP e −→AQ ´e
cos θ = h−→AP ,−→AQi k−→AP k.k−→AQk .
Observe que −→AP e −→AQ aparecem divididos pela norma. Ent˜ao, a express˜ao
h−→AP ,−→AQi k−→AP k.k−→AQk = h −→ AP k−→AP k, −→ AQ
k−→AQki n˜ao depende do tamanho nem sentido do vetor diretor
escolhido. Desta forma, o ˆangulo entre duas retas com vetores diretores ~u e ~v ´e definido pelo valor θ ∈ [0, π/2] que satisfaz
cos θ = h~u, ~vi k~uk.k~vk , ou seja, θ = arccos h~u, ~vi k~uk.k~vk .
Tamb´em podemos verificar que obtemos o mesmo valor θ se tomarmos os vetores ortogonais das duas retas.
Exerc´ıcio 27 (Un.4 Ex.12). Sejam r1 e r2 duas retas concorrentes no plano. Dizemos que uma
reta s ´e uma bissetriz de r1 e r2 quando os ˆangulos entre as retas r1 e s, e r2 e s s˜ao iguais.
Mostre que todos os pontos das bissetrizes formam o conjunto {P : d(P, r1) = d(P, r2)}
Solu¸c˜ao: Sejam A o ponto em que as retas se interceptam e ~r1 e ~r2 vetores diretores das retas
r1 e r2 respectivamente. Se P = (x0, y0) ´e um ponto da bissetriz ent˜ao
−→
AP ´e um vetor diretor da bissetriz e o ˆangulo com ~r1 e ~r2 deve ser o mesmo, isto ´e,
(1) |h −→ AP , ~r1i| k−→AP k.k~r1k = |h −→ AP , ~r2i| k−→AP k.k~r2k .
Sejam ~n1 e ~n2 vetores ortogonais `as retas r1 e r2 respectivamente. Podemos escrever
−→ AP = α ~r1+ β ~n1. Como ~r1 e ~n1 s˜ao ortogonais, o c´alculo de h
−→ AP , ~r1i d´a αk ~r1k2 e h −→ AP , ~n1i d´a βk ~n1k2. Portanto, −→ AP = h −→ AP , ~r1i k ~r1k2 ~ r1+ h−→AP , ~n1i k ~n1k2 ~ n1.
Como os vetores ~r1 e ~n1 s˜ao ortogonais, o Teorema de Pit´agoras nos d´a,
k−→AP k2= h−→AP , ~r1i k ~r1k2 ~ r1 2 + h−→AP , ~n1i k ~n1k2 ~ n1 2 = |h −→ AP , ~r1i|2 k ~r1k2 +|h −→ AP , ~n1i|2 k ~n1k2 .
Com rela¸c˜ao a ~r2 e ~n2 analogamente
−→ AP = h −→ AP , ~r2i k ~r2k2 r~2+ h−→AP , ~n2i k ~n2k2 n~2 e da´ı k−→AP k2= h−→AP , ~r2i k ~r2k2 ~ r2 2 + h−→AP , ~n2i k ~n2k2 ~ n2 2 = |h −→ AP , ~r2i|2 k ~r2k2 +|h −→ AP , ~n2i|2 k ~n2k2 .
Da´ı temos |h−→AP , ~r1i|2 k ~r1k2 + |h −→ AP , ~n1i|2 k ~n1k2 = |h −→ AP , ~r2i|2 k ~r2k2 +|h −→ AP , ~n2i|2 k ~n2k2 Usando (1)
Se as retas tem equa¸c˜oes r1 : a1x + b1y = c1 e r2 : a2x + b2y = c2, e P = (x0, y0), ent˜ao a
equa¸c˜ao d(P, r1) = d(P, r2) pode ser reescrita como
|a1x0+ b1y0− c1|
a21+ b21 =
|a2x0+ b2y0− c2|
a22+ b22 .
Se Q1 = (x1, y1) ´e um ponto qualquer de r1, ent˜ao c1 = a1x1 + b1y1 e do mesmo modo se
Q2 = (x2, y2) ´e um ponto qualquer de r2, ent˜ao c2= a2x2+ b2y2. Assim,
|a1x0+ b1y0− a1x1+ b1y1| a21+ b21 = |a2x0+ b2y0− a2x2+ b2y2| a22+ b22 |a1(x0− x1) + b1(y0− y1)| a2 1+ b21 = |a2(x0− x2) + b2(y0− y2)| a2 2+ b22
Exerc´ıcio 28 (Un.4 Ex. 13). Dadas as equa¸c˜oes de duas retas r1 : a1x + b1y = c1 e r2 :
a2x + b2y = c2, com a21+ b21 = 1 e a22+ b22 = 1. Mostre que as duas bissetrizes tem equa¸c˜oes
(a1+ a2)x + (b1+ b2)y = c1+ c2 e (a1− a2)x + (b1− b2)y = c1− c2
Solu¸c˜ao: Neste exerc´ıcio, queremos caracterizar uma reta bissetriz s de r1 e r2. Em termos
dos vetores ortogonais, chamando de (p, q) o vetor ortogonal a s ent˜ao ~n deve formar o mesmo ˆ
angulo com o vetor (a1, b1) e com o vetor (a2, b2). Igualando os valores de cos dos respectivos
ˆ angulos temos h(p, q), (a1, b1)i k(p, q)k.k(a1, b1)k = h(p, q), (a2, b2)i k(p, q)k .
Note que k(a1, b1)k =pa21+ b21 = 1 assim como k(a2, b2)k = 1. Ent˜ao, a equa¸c˜ao fica
pa1+ qb1 = pa2+ qb2
Exerc´ıcio 29 (Un.4 Ex.16). Encontre a equa¸c˜ao cartesiana do c´ırculo inscrito ao triˆangulo de v´ertices A = (3, 4), B = (6, −2) e C = (4, 6).
Exerc´ıcio 30 (Un.4 Ex.17). Seja r uma reta e A um ponto que n˜ao pertence a r. Dizemos que A0 ´e o ponto sim´etrico ao ponto A em rela¸c˜ao `a r se r ´e a mediatriz de AA0.
(a) Determine as coordenadas do ponto sim´etrico a A = (4, 1) em rela¸c˜ao `a reta y = 2x + 1. (b) De maneira geral, determine as coordenadas do ponto sim´etrico a A = (x0, y0) em rela¸c˜ao
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