Expoentes de Lyapunov e Decomposição de Oseledets

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e Decomposição de

Oseledets

David Boaventura Mesquita

Mestrado em Matemática

Departamento de Matemática Outubro de 2013

Orientador

José Ferreira Alves

Professor Associado com Agregação

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Expoentes de Lyapunov e

Decomposic¸ ˜ao de Oseledets

Dissertaç ão submetida à Faculdade de Ci ências da Universidade do Porto como requisito parcial para a obtenç ão do grau de Mestre em Matem ática

Orientador

Professor Doutor Jos ´e Ferreira Alves

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Ao Professor Jos é Ferreira Alves, pela proposta de um tema agrad ável e estimulante, pela orientaç ão eficiente e pela liberdade que me fizeram crescer como matem ático.

Ao Professor Jairo Bochi, pelas explicaç ões, pelas sugest ões e pela ajuda generosa que enriqueceram este trabalho e a mim tamb ém.

`

A minha fam´ılia, pela compreens ˜ao e apoio constantes.

A todas as pessoas que tornaram o meu percurso acad ´emico mais colorido, desde colegas e amigos a professores e funcion ´arios.

Obrigado.

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Nesta dissertaç ão, apresentamos e demonstramos uma vers ão do Teorema Erg ódico Multi-plicativo de Oseledets para espaços de Lebesgue. Seguimos uma tradiç ão de provas iniciada por M. Raghunathan que explora o Teorema Erg ódico Subaditivo de Kingman, o qual tamb ém apresentamos e demonstramos. Pelo meio, analisamos o Teorema de Furstenberg-Kesten visto como um corol ário do último e uma forma seminal do primeiro.

Palavras chave: Teoria Erg ódica, Teorema Erg ódico Multiplicativo, Teorema Erg ódico Subadi-tivo, Teorema de Furstenberg-Kesten, Fibrado Vetorial, Difeomorfismo, Cociclo Linear, Expoente de Lyapunov, Decomposiç ão de Oseledets.

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In this dissertation, we present and prove a version of Oseledets’ Multiplicative Ergodic The-orem for Lebesgue spaces. We follow an approach by M. Raghunathan exploring Kingman’s Subadditive Ergodic Theorem, which we also present and prove. Along the way, we analyse Furstenberg-Kesten’s Theorem, seen as a corollary of the last and a seminal form of the first.

Keywords: Ergodic Theory, Multiplicative Ergodic Theorem, Subadditive Ergodic Theorem, Furstenberg-Kesten Theorem, Vector Bundle, Diffeomorphism, Linear Cocycle, Lyapunov Ex-ponent, Oseledets Decomposition.

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Agradecimentos i

Resumo iii

Abstract v

Introduc¸ ˜ao 1

1 Apresentac¸ ˜ao dos resultados 7

1.1 Teorema de Kingman . . . 7

1.2 Teorema de Oseledets . . . 12

2 Teorema Erg ódico Subaditivo 21 2.1 Estrutura da prova . . . 21 2.2 Lema de Fekete . . . 22 2.3 Invari ância . . . 23 2.4 Resultado principal . . . 25 2.5 Igualdade inferior . . . 28 2.6 Desigualdade superior . . . 30 2.7 Conclus ão . . . 33

3 Teorema Erg ´odico Multiplicativo 35 3.1 Estrutura da prova . . . 35

3.2 Vers ˜ao limite superior . . . 36

3.3 Teoria Erg ´odica de produtos semi-diretos . . . 48 vii

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3.6 Vers ˜ao unilateral . . . 61

3.7 Vers ˜ao bilateral . . . 64

A Medida e Integraç ão 71 A.1 Espaços mensur áveis . . . 71

A.2 Espac¸os de medida . . . 72

A.3 Funç ões mensur áveis . . . 75

A.4 Integrac¸ ˜ao . . . 77

A.5 Teoremas de converg ˆencia . . . 79

A.6 Espac¸os Lppµq . . . 80

A.7 Medidas em espac¸os m ´etricos . . . 80

B Teoria Erg ´odica 83 B.1 Medidas invariantes . . . 83

B.2 Ergodicidade . . . 84

C Cociclos lineares 87 C.1 Fibrados vetoriais . . . 87

C.2 Cociclos lineares . . . 88

C.3 Cohomologia e equival ˆencia temperada . . . 91

Bibliografia 95

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Motivac¸ ˜ao e Hist ´

oria

A Teoria Erg ódica, área na qual se insere este trabalho, é a disciplina da Matem ática que es-tuda sistemas din âmicos munidos de medidas invariantes. H á v árias definiç ões poss´ıveis para o que se entende ser um sistema din âmico. Em geral, os seguintes elementos devem estar presentes: um espaço de fase X, constitu´ıdo pelos poss´ıveis estados do sistema, que normal-mente tem alguma estrutura extra (por exemplo topol ógica, mensur ável ou diferenci ável); um tempo, que pode ser cont´ınuo ou discreto, extens´ıvel apenas para o futuro ou simultaneamente tamb ém para o passado; uma lei de evoluç ão temporal, que nos indica os estados do sistema num dado instante a partir dos estados do sistema em instantes anteriores. O objetivo geral da Teoria de Sistemas Din âmicos é estudar a evoluç ão de tais sistemas com o tempo. Neste trabalho, adotaremos um modelo de din âmica discreta. A lei de evoluç ão temporal é neste caso uma transformaç ão

T : X Ñ X

que ao estado x P X no instante t associa o estado T x no instante t 1. O tempo é assim naturalmente modelado pelos n úmeros naturais N, quando o processo é irrevers´ıvel ou n ão-invert´ıvel, ou ent ão pelos inteiros Z, quando estamos na presença de uma din âmica revers´ıvel ou invert´ıvel. O desafio gen érico para o presente modelo é estudar o comportamento das órbitas tTn_xu

nPN,Z.

Para a Teoria Erg ódica, o espaço de fase deve ser um espaço de medida pX, A, µq, nor-malmente finita ou quando muito σ-finita, preferencialmente com boas propriedades adicionais - uma classe importante nesta área s ão os chamados espaços de Lebesgue. Neste trabalho, lidaremos apenas com espaços de probabilidade (i.e., aqueles em que µpXq 1) que são, por

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assim dizer, o prot ótipo dos espaços de medida finita. A transformaç ão T deve preservar a estrutura mensur ável do espaço querendo isso dizer que

T1pEq P A, para todo E P A. A invari ância (ou preservaç ão) da medida significa assim que

µpT1pEqq µpEq, para todo E P A.

A preservaç ão de uma medida per se fornece informaç ão diversa sobre o sistema. Um exemplo cl ássico disso mesmo é devido a H. Poincar é quando estudava o movimento dos astros, no final do s éculo XIX. Este notou propriedades de recorr ência assinal áveis nos sistemas da Mec ânica Celeste, de facto v álidas para quaisquer sistemas com medidas invariantes, substanciadas no seu c élebre Teorema de Recorr ência. Este afirma que quase todos os pontos de um conjunto mensur ável EP A arbitrário retornam (e infinitas vezes!) a esse conjunto, i.e.,

µptx P E : tTnpxqun¥N XzEuq 0, para todo N P N.

As origens da Teoria Erg ódica remontam (pelo menos) à famosa hip ótese erg ódica do f´ısico L. Boltzmann formulada no contexto da Mec ânica Estat´ıstica (mais precisamente, na Teoria Cin ética dos Gases), tamb ém nos finais do s éculo XIX. A afirmativa moderna que folcloriza esta hip ótese (em verdade, uma consequ ência da hip ótese erg ódica original de Boltzmann, sobre as traj étorias visitarem todos os estados compat´ıveis com um dado n´ıvel de energia) é a seguinte.

!A m édia temporal de grandezas observ áveis ao longo de órbitas t´ıpicas coincide com a m édia espacial."

De facto, hoje sabemos bem que esta hip ótese é falsa em geral, e os sistemas especiais para os quais ela é v álida dizem-se erg ódicos. Ter´ıamos de esperar at é aos anos 30 para ver o desenvolvimento sistem ático da Teoria Erg ódica como disciplina matem ática, a partir de uma formalizaç ão mais s éria da hip ótese erg ódica. Por essa altura, é devida a G. Birkhoff ([6], 1931) uma vers ão do c élebre Teorema Erg ódico. À luz da hip ótese erg ódica, o objeto principal deste resultado s ão as m édias temporais de uma grandeza observ ável φ : XÑ R no espaço definidas por φpxq : lim nÑ8 1 n n¸1 i0 φ Tipxq.

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Naturalmente, n ão h á raz ão nenhuma para esperar que estas m édias existam sempre e muito menos saber para onde convergem. Todavia, para grandezas φP L1_{pµq, Birkhoff mostrou que}

esse é o panorama t´ıpico do ponto de vista da medida pelo que quando o sistema é erg ódico estas coincidem justamente com a m édia espacial:

lim nÑ8 1 n n¸1 i0 φ Tipxq » φ dµ.

Sensivelmente pela mesma altura, outra vers ão do Teorema Erg ódico foi provado por J. Von Neumann ([40], 1932), esta formulada num contexto funcional e menos geral do espaço L2pµq, inspirado em trabalhos de B. Koopman sobre grupos de operadores unit ários em espaços de Hilbert que deram forma à hip ótese erg ódica. A par do resultado de Birkhoff, estas constituem as vers ões cl ássicas do Teorema Erg ódico.

Na segunda metade do s éculo XX, a Teoria Erg ódica começou a mudar dum paradigma fun-cional para um probabil´ıstico, muito devido à introduç ão do conceito de entropia por A. Kolmo-gorov em torno de 1958, mais ou menos ao mesmo tempo que Y. Sinai, movidos pelo conceito hom ónimo proposto por C. Shannon no âmbito da Teoria da Informaç ão em meados dos anos 20. Isto marcou um ponto de viragem da teoria, com novos desenvolvimentos.

No final da d écada de 60, surgiram generalizaç ões do Teorema Erg ódico que constituem o leit-motiv da presente dissertaç ão. A primeira deve-se ao matem ático J. Kingman e é conhecida como o Teorema Erg ódico Subaditivo. Apesar do nome erg ódico, este teorema foi um corol ário de trabalhos transversais à Teoria Erg ódica. Segundo consta, foi publicado em ([20], 1968), numa altura em que o autor se encontrava a estudar processos subaditivos, introduzidos anos antes no âmbito dos processos estoc ásticos por Hammersley e Welsh. Sugerimos ([19], 1973) para um apanhado geral de Teoria Erg ódica Subaditiva, fundada pelo autor. Em termos simples, este estabelece, à semelhança do Teorema Erg ódico, a exist ência em quase todo o ponto de ‘m édias’ associadas a sucess ões subaditivaspφnqnPN, i.e., objetos da forma

φpxq lim

nÑ8

1 nφnpxq,

nas quais se enquadram as somas temporais de Birkhoff (processos aditivos)

φnpxq n¸1

i0

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A demonstraç ão de Kingman usava uma ideia de reduç ão, decompondo processos subaditivos como somas de processos aditivos e subaditivos n ão-negativos. Provas simplificadas e mais fo-cadas foram entretanto aparecendo na literatura matem ática: bastar á mencionar a de B. Weiss e Y. Katznelson ([18], 1982) inspirada nos m étodos de an álise n ão-standard de T. Kamae para a demonstraç ão do Teorema Erg ódico cl ássico ([14], 1982); a de J. Steele ([36], 1989) e a de K. Sch ürger ([35], 1991), esta última mais geral. A prova da presente dissertaç ão ([3], 2009) é um acr éscimo nesta linha, com um ponto possivelmente original ao considerar somas de Birkhoff especiais sem contudo depender do Teorema Erg ódico.

Curiosamente no mesmo ano, o ainda jovem matem ático russo V. Oseledets, aluno de dou-toramento de Y. Sinai, publicou o seu famoso Teorema Erg ódico Multiplicativo ([28], 1968), um subproduto da sua tese doutoral que havia demonstrado em 1965 e apresentado no ano se-guinte por ocasi ão do Congresso Internacional de Matem áticos em Moscovo. A motivaç ão dos objetos presentes no enunciado deste resultado remonta a trabalhos anteriores de A. Lyapunov ([23], a vers ão original em Russo é datada de 1892), no contexto da Teoria de Equaç ões Dife-renciais Ordin árias, mais precisamente, sobre a estabilidade das soluç ões associadas. Entre eles, encontramos os agora chamados expoentes de Lyapunov e uma noç ão de regularidade correlata tamb ém vis´ıvel e desenvolvida nos trabalhos de O. Perron ([29], 1930). Uma monogra-fia aprofundada sobre a teoria desenvolvida a partir destes trabalhos é ([9], 1966), de D. Bylov, R. Vinograd, D. Grobman e V. Nemyckii. O Teorema de Oseledets vem afirmar que tal regu-laridade, geralmente rara do ponto de vista topol ógico, é t´ıpica do ponto de vista da medida, sem contudo descrev ê-la. As ideias da prova de Oseledets t êm um car áter eminentemente alg ébrico (envolvem produtos exteriores, etc.), reduzindo o caso dos cociclos lineares gerais ao dos cociclos triangulares e usando o Teorema Erg ódico cl ássico para estes últimos.

Muitas demonstraç ões alternativas e vers ões mais gerais surgiram desde ent ão. Entre as principais, colocamos à cabeça a de M. Raghunathan ([31], 1979), baseada no Teorema Erg ódico Subaditivo - mais precisamente, via Teorema de Furstenberg-Kesten ([12], 1960), dele facilmente dedut´ıvel, em combinaç ão com a decomposiç ão em valores singulares de uma ma-triz - com uma extens ão para corpos locais, como o dos n úmeros p- ádicos. Seguiram-se outras: temos vers ões de dimens ão infinita de D. Ruelle ([33], 1982) para espaços de Hilbert e de R. Man ˜e ([25], 1983) para espaços de Banach (ver tamb ém [24], [34]); a de V. Kaimanovich ([13], 1989) para grupos de Lie semisimples e inspirada nesta a de A. Karlson e G. Margulis ([16],

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1999) para alguns espaços com curvatura n ão-positiva (ver tamb ém [10]); por fim, em tempos mais recentes, destacamos a de A. Karlsson e F. Ledrappier para o grupo de isometrias de espaços m étricos pr óprios ([15], 2006). E mais se poderiam acrescentar: sugerimos [2] para uma lista mais ou menos exaustiva bem como um tratado completo no assunto. A demonstraç ão apresentada nesta dissertaç ão, desenhada por J. Bochi ([7], 2008), segue uma tradiç ão inici-ada com Raghunathan e continuinici-ada por outros (i.e., via Teorema Erg ódico Subaditivo), com a ressalva de que os c álculos matriciais para a construç ão de espaços invariantes t´ıpicos des-sas provas, marcas indel éveis do car áter alg ébrico das mesmas, se transformam agora numa construç ão direta de subespaços complementares de maior taxa de crescimento exponencial e no estudo da aç ão dos cociclos sobre o espaço projetivo euclideano (que permite realizar ime-diatamente os menores expoentes como limites), ideias descendentes de R. Man ˜e ([24], 1987) e P. Walters ([41], 1993), respetivamente.

Para completar esta introduç ão, n ão poder´ıamos deixar de mencionar os trabalhos de Y. Pesin ([30], 1977) que a par dos de Lyapunov, Perron e Oseledets j á referidos marcaram os in´ıcios da Din âmica N ão-Uniformemente Hiperb ólica como disciplina independente, atu-almente uma das áreas fervilhantes e abrangentes da investigaç ão em Teoria Erg ódica Di-ferenci ável/Sistemas Din âmicos, versando sobre sistemas com expoentes de Lyapunov n ão-nulos. Uma introduç ão neste t ópico é o livro do pr óprio e de L. Barreira ([5], 2007).

Estrutura da dissertac¸ ˜ao

Podemos dizer que o objetivo principal deste trabalho é a demonstraç ão duma vers ão do Teorema de Oseledets explorando o Teorema de Kingman. Isso significa que apesar de ser nosso intuito a apresentaç ão e demonstraç ão de ambos, uma ênfase prim ária deve ser dado ao primeiro em detrimento do segundo que ser á, por assim dizer, parte de um caminho poss´ıvel para chegar ao primeiro. Quer-se com isso evidenciar ainda a assimetria de originalidade e esforço envolvidos em ambos, substancialmente maiores para o primeiro.

O leitor que deseja apenas um contacto superficial com os resultados principais desta dissertaç ão sem maior compromisso tem no Cap´ıtulo 1 uma apresentaç ão dos mesmos. Os Cap´ıtulos 2 e 3 s ão inteiramente devotados às demonstraç ões dos Teoremas de Kingman e Oseledets, respetivamente, se for desejada uma compreens ão mais aprofundada. Dada a

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na-tureza deste trabalho, primamos por apresentar provas detalhadas e portanto mais extensas e dissecadas do que habitualmente se encontram noutros textos.

Por fim, inclu´ımos alguns ap êndices: os dois primeiros, A e B, sobre definiç ões e factos gerais de Medida, Integraç ão e Teoria Erg ódica que achamos proveitosos; um terceiro, C, sobre cociclos lineares, com noç ões e propriedades que achamos adequado colocar numa secç ão separada da restante dissertaç ão, em jeito de complemento.

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Apresentac¸ ˜ao dos resultados

Este cap´ıtulo é dedicado à apresentaç ão dos resultados principais desta dissertaç ão. Pre-tendemos mostrar o fio condutor que liga o Teorema de Kingman ao de Oseledets, passando pelo de Furstenberg-Kesten, sem esquecer o Teorema Erg ódico (de Birkhoff). A exposiç ão dos t ópicos para o Teorema de Kingman é primariamente baseada em [27] e [38]. Por sua vez, para o Teorema de Oseledets foram usadas [7], [24], [38] e [39]. Refiram-se tamb ém [2], [5] e [42] como fontes valiosas neste contexto.

1.1 Teorema de Kingman

Nesta secç ão, o ambiente ser á um espaço de probabilidadepX, A, µq com uma transformação mensur ável T : X Ñ X que preserva a probabilidade µ. Para motivar o primeiro dos teore-mas principais deste trabalho, começaremos com uma an álise mais aprofundada do Teorema Erg ódico cl ássico [B.3]. As somas temporais de Birkhoff, definidas por

φnpxq n¸1 i0

φ Tipxq satisfazem a seguinte propriedade de aditividade:

φm n φm φn Tm, para todo m, nP N. (1.1)

Sempre que φ φ1P L1pµq, o Teorema Erg´odico afirma que o limite

lim

nÑ8

1 nφnpxq

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existe em quase todo o ponto e que em m édia coincide com a m édia espacial ³φ dµ. N ão é dificil verificar que este facto ocorre para toda a sucess ão de funç ões φn: XÑ R que satisfaça

a propriedade (1.1) e a condiç ão φ1 P L1pµq: bastará notar que tais sucessões são somas

temporais de Birkhoff geradas precisamente pela func¸ ˜ao φ1.

´

E leg´ıtimo questionar se esta converg ˆencia q.t.p. vale para sucess ˜oes φn : X Ñ R mais

gerais. Este é o conte údo do Teorema Erg ódico Subaditivo de Kingman, ao relaxar a aditividade em (1.1) para subaditividade. Introduzamos alguma nomenclatura conveniente.

Definiç ão 1.1. Dizemos que uma sucess ãopanqnPN emr8, 8q : R Y t8u é subaditiva, se

am n¤ am an, para todo m, nP N.

Da definiç ão acima, deduzimos que para uma sucess ão subaditiva vale an¤ na1, e portanto an

n ¤ a1, para todo nP N. Deste modo, temos toda a informac¸˜ao sobre o supremo

sup nPN an n maxnPN an n a1.

O seguinte facto elementar, particularmente elegante, exibe uma propriedade importante das sucess ões subaditivas, fornecendo informaç ão extra sobre o ´ınfimo e a converg ência, sendo associado em alguns textos a Michael Fekete.

Lema 1.1. (Fekete) SepanqnPN é uma sucess ão subaditiva, ent ão

lim nÑ8 an n infnPN an n P r8, a1s.

Extenderemos a ideia de subaditividade mais geralmente a uma sucess ão de funç ões com respeito a uma transformaç ão, a qual generaliza a aditividade das somas de Birkhoff.

Definiç ão 1.2. Dizemos que uma sucess ão de funç ões φn : X Ñ R é subaditiva com respeito

a uma transformac¸ ˜ao T : XÑ X, se

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Analogamente ao que aconteceu para sucess ões subaditivas de n úmeros, para uma sucess ão subaditivapφnqntem-se φn¤ n¸1 j0 φ1 Tj,

relaç ão que se mant ém verdadeira considerando as funç ões φ_n e φ₁. Assim, na suposiç ão de todas as funç ões serem mensur áveis, a integrabilidade de φ₁ implica a de φ_n para todo n P N e portanto, nessas condiç ões, a sucess ãopanqnPN definida por

an

»

φndµP r8, 8q

é subaditiva. Como corol ário do Lema de Fekete constatamos a exist ência do limite L : lim nÑ8 1 n » φndµ inf nPN 1 n » φndµP r8, 8q. (1.2)

Este limite associado a sucess ões subaditivas desempenha, no primeiro dos teoremas princi-pais deste cap´ıtulo, um papel similar ao da m édia espacial no Teorema de Birkhoff [B.3]. Teorema A. (Kingman) Sejam pX, A, µq um espaço de probabilidade e T : X Ñ X uma transformaç ão mensur ável que preserva µ. SejapφnqnPN uma sucess ão subaditiva de funç ões

mensur áveis com respeito a T tal que φ₁ P L1pµq. Então existe uma função mensurável φ : XÑ r8, 8q tal que

φpxq lim

nÑ8

φnpxq

n , para µ-q.t.p. xP X. Al ´em disso, φ P L1pµq e tem-se

1. φ T φ em µ-quase todo o ponto e 2. ³φ dµ L P r8, 8q,

onde L é o limite dado por (1.2). Al ém disso, quando o sistema é erg ódico φ é constante igual a L em quase todo o ponto.

1.1.1 O Teorema de Furstenberg-Kesten

Em direç ão ao Teorema de Oseledets, veremos uma aplicaç ão do Teorema de Kingman. Como exemplo motivacional, que retomaremos mais adiante, consideremos um difeomorfismo

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f : M Ñ M de uma variedade diferenciável M com uma métrica de Riemann }}x(diferenci ável)

que faz de cada fibra (espac¸o tangente) TxM do fibrado tangente T M um espac¸o normado. Um

dos aspetos essenciais no estudo da din âmica, i.e., o comportamento de fnpxq para iterados de ordem elevada, prende-se com a expans ão e contraç ão gerada por f . Em certas circunst âncias, esse estudo é linearizado em termos do comportamento de Df_xn : TxM Ñ Tfn_pxqM e o

pro-blema geral torna-se agora tentar compreender, para cada direc¸ ˜ao vP TxM, como}Dfxnv}fn_pxq

varia com n. Aqui estamos essencialmente preocupados com a frequ ˆencia de um comporta-mento assint ´otico preciso destes iterados.

Numa primeira inst ˆancia, analisemos o comportamento de}Df_xn}, onde } } ´e a norma do operador linear Dfn

x : TxM Ñ Tfn_pxqM induzida pela m ´etrica de Riemann. Pela regra da cadeia,

Df_xn Dffn1_pxq Dffpxq Dfx

e portanto, pela submultiplicatividade da norma, temos }Dfn

x} ¤ }Dffn1pxq} }Dffpxq}}Dfx}.

Em vista desta propriedade, uma formulaç ão conveniente do problema é feita atrav és da lingua-gem exponencial. Facilmente se deduz da desigualdade acima que a sucess ão

φnpxq log }Dfxn}

é subaditiva com respeito a f . Assim, sob hip óteses adequadas, poder´ıamos tentar usar o Teorema Erg ódico Subaditivo para concluir a exist ência de alguma converg ência do tipo

1

nlog}Df

n

x} Ñ φpxq

de modo que }Dfn

x} enφpxq, para iterados de ordem elevada. De facto, o que fizemos aqui

para a norma poder´ıamos fazer tamb ´em para a conorma da derivada definida por mpDf_xnq : inf

}v}x1

}Dfn

x v}fn_pxq.

Uma vez que as aplicac¸ ˜oes Dfn

x : TxM Ñ Tfn_pxqMs ˜ao isomorfismos lineares temos mpDf_xnq

}pDfn

xq1}1 e portanto a sucess ˜ao

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é tamb ém subaditiva com respeito a f . Valem conclus ões semelhantes e assim balizamos de alguma forma o problema inicial.

Vejamos como extender este exemplo no contexto da Teoria Erg ódica. Considere-se o espaço GLpR, dq das matrizes quadradas invert´ıveis d d com entradas no corpo dos números reais. A norma matricial

}L} : sup

}v}1}Lpvq}

induz nesse espaço uma topologia e por conseguinte uma σ- álgebra de Borel, que permite ent ão falar naturalmente de mensurabilidade em aplicaç ões que envolvam este espaço. Defini-mos tamb ém a conorma por

mpLq : inf

}v}1}Lpvq}.

Uma vez que L é invert´ıvel, temos mpLq }L1}1, como j á foi observado. Dada uma aplicaç ão A : X Ñ GLpR, dq, uma transformação T : X Ñ X e n ¥ 0, escrevemos

Apnqpxq : ApTn1xqApTn2xq ApT xqApxq.

Uma aplicaç ão do Teorema Erg ódico Subaditivo é mostrada no pr óximo resultado atribu´ıdo a Furstenberg e Kesten ([12]), que de facto é anterior no tempo (1960).

Teorema 1.1. (Furstenberg-Kesten) SejapX, A, µq um espaço de probabilidade e T : X Ñ X uma transformaç ão mensur ável de X que preserva µ. Seja A : X Ñ GLpR, dq uma aplicação mensur ável tal que log }A1pxq} P L1pµq. Então existem funções λmin, λmaxP L1pµq tais que

λminpxq lim nÑ8 1 nlog mpA pnq_{pxqq e λ} maxpxq lim nÑ8 1 nlog}A pnq_pxq},

em µ-quase todo o ponto xP X. Al´em disso, λmine λmaxs ˜aopT, µq-invariantes,

• » λmindµ lim nÑ8 1 n »

log mpApnq_{pxqq dµ sup} nPN 1 n » log mpApnq_{pxqq dµ e} • » λmaxdµ lim nÑ8 1 n » log}Apnqpxq} dµ inf nPN 1 n » log}Apnqpxq} dµ.

Este teorema é um corol ário do Teorema Erg ódico Subaditivo essencialmente pelos motivos da discuss ão anterior. Devido à submultiplicatividade da norma matricial, as sucess ões

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s ão ambas subaditivas. A condiç ão de integrabilidade é trivialmente satisfeita em ambos os casos pelo que da relaç ão

log mpApnqpxqq log }pApnqpxqq1} o resultado segue.

Portanto, o Teorema de Furstenberg-Kesten afirma que a norma e a co-norma dos iterados de ordem elevada admitem tipicamente taxas de variac¸ ˜ao exponencial precisas

}Apnq_{pxq} e}nλmaxpxq _{e m}pApnqpxqq enλminpxq_.

Retomando por um pouco a motivac¸ ˜ao do exemplo dos difeomorfismos, nomeadamente para o estudo de}Dfn

x v}fn_pxq, temos em geral

mpApnqpxqq }v} ¤ }Apnqpxq v} ¤ }Apnqpxq} }v}, para todo vP Rd, pelo que em termos assint ´oticos

lim sup nÑ8 1 nlog mpA pnq_{pxqq ¤ lim sup} nÑ8 1 nlog}A pnq_{pxq v} ¤ lim sup} nÑ8 1 nlog}A pnq_pxq}.

Dado que o Teorema de Furstenberg-Kesten define genericamente os extremos da desigual-dade acima, cabe questionar naturalmente um comportamento semelhante para o membro in-term édio. A an álise desta quest ão é feita no pr óximo dos teoremas principais deste cap´ıtulo, o Teorema de Oseledets. Este refina substancialmente o resultado de Furstenberg-Kesten, ao afirmar que num ponto xP X t´ıpico é poss´ıvel filtrar/decompor Rd em subespaços de tal modo que o comportamento da din âmica restrita a cada um deles est á bem caraterizado em termos da linguagem exponencial.

1.2 Teorema de Oseledets

Nesta secç ão, apresentamos o Teorema de Oseledets, tamb ém conhecido por Teorema Erg ódico Multiplicativo, para os cociclos lineares (ou morfismos de fibrados vetoriais). A classe de espaços de probabilidade pX, A, µq que consideramos presentemente é a dos espaços de

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Lebesgue. Esta é uma classe importante em Teoria Erg ódica, quer pelas boas propriedades que possui em relaç ão aos demais espaços de probabilidade, quer porque cobre a maior parte dos exemplos de relevo. A menos de isomorfismo mod 0, a noç ão de equival ência padr ão, h á v ários representantes que poder´ıamos tomar. O mais conveniente para aqui é aquele em que X representa um espaço m étrico compacto e A B_|µ a σ- álgebra de borelianos completada em relaç ão à probabilidade µ.

Como é usual, consideramos uma transformaç ão mensur ável T : X Ñ X que preserva µ . Seja π : E Ñ X um fibrado vetorial mensurável de dimensão finita munido com uma métrica de Riemann } }x em cada fibra Ex π1pxq dependendo de forma mensurável do ponto de

base x P X. Um cociclo linear sobre T é um automorfismo (mensurável) de fibrados vetoriais F : EÑ E cobrindo T . Isso significa que o seguinte diagrama é comutativo

E ÝÝÝÝÑ EF π π X ÝÝÝÝÑ XT

e as aç ões nas fibras Fx : Ex Ñ ET x s ão isomorfismos lineares de espaços vetoriais que

dependem de forma mensur ável de x. O pr óximo exemplo, j á abordado, é possivelmente o representante mais intr´ınseco deste conceito, a sua inspiraç ão.

Exemplo 1.1. Cociclo din ˆamico ou cociclo derivado: consideramos um difeomorfismo f : M Ñ M de uma variedade diferenci ´avel riemanniana M e a derivada F Df a atuar no fibrado tangente E T M.

O modelo acima introduzido é bastante abrangente, mas para os nossos prop ósitos n ão neces-sitaremos de trabalhar com tanta generalidade. De facto, na formulaç ão dos resultados te óricos desta secç ão assumiremos que os fibrados s ão triviais, ou seja, da forma E X Rd. Citando [39], esta é uma hip ótese razo ável na medida em que frequentemente a restriç ão do fibrado a um subconjunto de X com medida total é (isomorfo a) um fibrado trivial: no presente modelo, em que X é um espaço m étrico compacto isso sempre acontece (veja-se a Proposiç ão C.1). Nesse caso, cada aç ão Fx traduz-se num elemento Apxq de GLpR, dq, dependendo de forma

mensur ´avel do ponto x, e o cociclo consiste assim dum produto semi-direto, i.e., da forma Fpx, vq pT x, Apxq vq.

(26)

Notamos que a aç ão F_xn é dada precisamente por Apnqpxq com o significado Apnqpxq : ApTn1xqApTn2xq ApT xqApxq.

Quando T é invert´ıvel, tamb ém o é o cociclo F , e podemos considerar os iterados revertendo o tempo Fnpx, vq pTnx, Apnqpxq vq, onde

Apnqpxq : rApTnxqs1 rApT1xqs1 rApnqpTnxqs1.

Suporemos tamb ém que a m étrica de Riemann} }x é independente da fibra, fixando para o

efeito alguma norma} } em Rde usando o mesmo s´ımbolo para denotar a norma induzida no espaço dos operadores lineares L : Rd Ñ Rd, como vem sendo h ábito. Para uma exposiç ão mais completa destes objetos matem áticos, sugerimos o Ap êndice C.

Estamos interessados no estudo da din âmica gerada pelos cociclos à luz da seguinte Definiç ão 1.3. Dado um cociclo linear sobre T definimos o expoente carater´ıstico de Lyapunov ou simplesmente o expoente de Lyapunov associado ao parpx, vq P X Rdpor

λ px, vq : lim sup

nÑ8

1 nlog}A

pnq_{pxq v} P R Y t8u.}

Quando T ´e invert´ıvel, definimos tamb ´em outro expoente de Lyapunov revertendo o tempo λpx, vq : lim sup

nÑ8

1

|n|log}Apnqpxq v} P R Y t8u. Em ambos os casos, fazemos a convenc¸ ˜ao logp0q 8 .

Interessa-nos especialmente o caso em que os expoentes s ão realizados como limites, pelo que tudo o que agora se segue deve ser lido nessa ótica. Os expoentes de Lyapunov precisam-nos as taxas de variaç ão exponencial assint óticas da norma dos iterados Fn

x : Ex Ñ ETn_pxq.

Expoentes positivos ou negativos predizem, respetivamente, crescimento ou decrescimento ex-ponencial da norma, ao passo que expoentes nulos traduzem a falta de comportamento expo-nencial, por vezes dito na literatura de subexponencial. A exist ência de expoentes de Lyapunov para cociclos é assim um dado importante no estudo da din âmica, nomeadamente no que toca à expans ão, contraç ão e subsequentes quest ões de estabilidade que motivaram A. Lyapunov a introduzi-los na Teoria das EDO’s ([23]). Vamos analisar um exemplo elementar que elucida isso mesmo mas que, num sentido a explanarmos adiante, n ão pode ser tido como um retrato da situaç ão geral.

(27)

Exemplo 1.2. Consideremos um isomorfismo linear f : Rd Ñ Rd. Observe-se que Dfx f

para todo xP Rd_{pelo que o cociclo derivado ´e constante. Sejam e}λ1 ¡ eλ2 ¡ ¡ eλk _(λ

i P R)

os valores absolutos distintos dos valores pr óprios de f e seja Ei a soma direta dos espaços pr óprios generalizados associados aos valores pr óprios cujo valor absoluto é eλi_{. Como}

con-sequ ˆencia da forma can ´onica de Jordan, temos lim

nÑ8

1

nlog}Df

n

xpvjq} λj, para todo vj P Ejzt0u e 1 ¤ j ¤ k.

Assim, expoentes de Lyapunov λ1 ¡ ¡ λkexistem para todos os parespx, vq. Em particular,

se λ1 0 a origem (e portanto todos os pontos) ´e assintoticamente exponencialmente est´avel.

O modelo espectral do exemplo acima inspira uma adaptaç ão para transformaç ões mais gerais. Introduzimos agora o que se deve entender por isso atrav és duma noç ão de regularidade que ser á fruto do Teorema de Oseledets, em linha com [24] e apresentada com uma estrutura mais cl ássica noutros textos (e.x. [2] e [5] sob o t´ıtulo de regularidade de Lyapunov ).

Definiç ão 1.4. Um ponto x P X diz-se positivamente regular, se existirem k kpxq números reais λ1pxq ¡ ¡ λkpxq e uma filtração linear

Rd Vx1 ¡ Vx2 ¡ ¡ Vxk¡ Vxk 1 t0u (1.3)

tal que, para todo 1¤ j ¤ k, se tem lim nÑ8 1 nlog}A pnq_{pxq v} i} λipxq, para todo vi P VxizVxi 1.

Quando o sistema é invert´ıvel, seria poss´ıvel ainda introduzir uma regularidade negativa em termos an álogos, que n ão implica nem é implicada pela positiva. Mesmo quando coexistem, os expoentes e a filtraç ão que ent ão se obteriam revertendo o tempo n ão est ão a priori rela-cionados com os acima definidos. Para gerar uma maior compatibilidade entre a regularidade positiva e a negativa que combine as respetivas filtraç ões temos a seguinte noç ão.

Definiç ão 1.5. Dizemos que x P X é (simplesmente) regular, se existirem k kpxq números reais λ1pxq ¡ ¡ λkpxq e uma decomposição

Rd Ex1` ` Exk (1.4)

tal que, para todo 1¤ j ¤ k, vale lim

nÑ8

1 nlog}A

pnq_{pxq v}

(28)

Quando existem, as filtraç ões-decomposiç ões em (1.3) e (1.4) e os expoentes de Lyapunov s ão únicos. Adotaremos a notaç ão R pT q e RpT q para designarmos o conjunto dos pontos positivamente regulares e simplesmente regulares (quando aplic ável) de T , respetivamente. Conv ém observar que quando T é invert´ıvel tem-se RpT q R pT q com Vi

x `kjiE j x. Os

espaços V_xi e E_xi dizem-se os espaços de Oseledets, nomenclatura que transita para as res-petivas filtraç ões/decomposiç ões. Define-se a multiplicidade do expoente de Lyapunov λipxq

por

k_xi dim V_xi dim V_xi 1

de modo que o espectro de Lyapunov em x ´e o conjunto dos expoentes de Lyapunov em x contados com a sua multiplicidade

Sx: tpλipxq, kxiq : i 1, ..., kpxqu.

Note-se que quando xP RpT q, V_xi E_xi ` V_xi 1e portanto a multiplicidade dos expoentes λipxq

coincide com a respetiva dimens ˜ao dos subespac¸os de Oseledets Ei

x. Os conjuntos R pT q e

RpT q são T -invariantes: se x é regular, então T x é regular e tem-se

kpT xq kpxq, λipT xq λipxq, Apxq Vxi VT xi e Apxq Exi ET xi .

No Exemplo 1.2, vemos que todos os pontos s ão regulares e, al ém disso, que os expoentes de Lyapunov n ão dependem de x. Com a mesma abordagem, vemos que a regularidade é uma caracter´ıstica de pontos peri ódicos mas em geral é dif´ıcil verificar se um determinado ponto é ou n ão regular. Assim, é leg´ıtimo questionarmo-nos sobre o tamanho de R pT q e RpT q. Há duas maneiras cl ássicas de abordar esta quest ão, sempre que façam sentido: uma pela via topol ógica e outra pela via da medida, n ão coincidentes normalmente. Citando [24] ou [37], situaç ões como a do Exemplo 1.2 s ão muito especiais, acontecendo somente para aplicaç ões particulares. Nos mesmos textos se refere que, no exemplo do cociclo din âmico, pontos regula-res formam frequentemente um conjunto de primeira categoria de Baire (at é mesmo finito) e por-tanto um conjunto magro segundo essa perspetiva. A resposta pela via da medida é o conte údo do Teorema de Oseledets. Este afirma que, sob uma condiç ão de integrabilidade razo ável, a situaç ão é precisamente a oposta: pontos regulares formam um conjunto de probabilidade total. Vamos apresentar duas vers ões deste teorema: a primeira, mais fraca, é para transformaç ões gerais do espaço de probabilidade, referente à regularidade positiva R pT q, a que chamaremos

(29)

por esse motivo vers ão unilateral; uma segunda, para transformaç ões invert´ıveis e a regulari-dade em RpT q, que por analogia se designará versão bilateral. Suporemos também que o sistema é erg ódico. Usando a decomposiç ão erg ódica e alguns cuidados t écnicos extra no tra-tamento das quest ões de mensurabilidade, seria poss´ıvel demonstrar vers ões n ão erg ódicas das que em seguida enunciamos. A ergodicidade simplificar á um pouco a argumentaç ão sem com isso esconder o aspeto e as dificuldades essenciais do teorema.

Teorema B. (Oseledets) Seja pX, A, µq um espaço de probabilidade de Lebesgue e T uma transformaç ão erg ódica de X. Seja A : X Ñ GLpR, dq uma aplicação mensurável satisfazendo log }A1} P L1pµq. Nestas condições, existem números reais λ1 ¡ ¡ λk e, em µ-quase

todo o ponto xP X, há uma única filtração linear

Rd Vx1 ¡ Vx2 ¡ ¡ Vxk¡ Vxk 1 t0u

tal que, para todo 1¤ i ¤ k, se tem 1. Apxq V_xi V_{T x}i e 2. lim nÑ8 1 nlog}A pnq_{pxq v} i} λipxq ô viP VxizVxi 1.

Al ´em disso, os espac¸os Vi

x dependem de forma mensur ´avel do ponto x do espac¸o.

(30)

A depend ência mensur ável dos espaços de Oseledets, geralmente n ão cont´ınua, é um ponto delicado que remetemos para o Cap´ıtulo 3. A vers ão bilateral tem conclus ões substancialmente mais fortes. Esta é talvez aquela a que se associa mais frequentemente o resultado de Osele-dets, e fornece algo mais do que a regularidade tal como foi introduzida na Definiç ão 1.4. Teorema C. (Oseledets) Seja pX, A, µq um espaço de probabilidade de Lebesgue e T uma transformaç ão erg ódica invert´ıvel e bimensur ável de X. Seja A : X Ñ GLpR, dq uma aplicação mensur ável satisfazendo log }A1} P L1pµq. Então existem números reais λ1 ¡ ¡ λk e, em

µ-quase todo o ponto xP X, há uma única decomposição

Rd Ex1` ` Exk

tal que, para todo 1¤ i ¤ k, se tem 1. Apxq Ei x ET xi e Vxi `kjiE j x, 2. lim nÑ8 1 nlog}A pnq_{pxq v} i} λipxq ô viP Exizt0u e 3. lim nÑ8 1 nlog sin?p à iPI E_Tin_x, à jPJ E_Tjn_xq 0, sempre que I X J H.

Al ´em disso, os espac¸os Ei

x dependem de forma mensur ´avel do ponto x do espac¸o.

(31)

As decomposiç ões de Oseledets t êm uma estrutura muito rica com mais propriedades do que as que surgem no teorema. Em primeiro lugar, os espaços de Oseledets Ei

x t ˆem dimens ˜ao

constante 1¤ di ¤ d (q.t.p.), o que acontece também na versão unilateral. A convergência em 2

´e uniforme sobre a bola unit ´aria Bi

x : tvi P Exi : }vi} 1u. Isso pode ser expresso em termos

da norma e da conorma restritas por lim nÑ8 1 nlog}A pnq |Ei xpxq} limnÑ8 1 nlog mpA pnq |Ei xpxqq λi.

O comportamento da norma e conorma (globais) ´e dado pelo Teorema de Furstenberg-Kesten. De facto, os expoentes λmaxpxq e λminpxq que este fornece correspondem respetivamente aos

expoentes extremais λ1pxq e λkpxq, mais precisamente,

λ1 lim nÑ 8 1 nlog}A pnq_{pxq} lim} nÑ8 1 nlog mpA pnq_{pxqq e} λk lim nÑ 8 1 nlog mpA pnq_{pxqq lim} nÑ8 1 nlog}A pnq_pxq}.

Diretamente relacionada com o ponto 3, h ´a ainda uma outra propriedade que envolve detemi-nantes. Concretamente, pondo Dx

À jPJ E j xtem-se lim nÑ8 1 nlog| detpA pnq_pxq |Dxq| ¸ jPJ λjdim Exj ¸ jPJ λjdj.

A t´ıtulo informativo, referimos que a f órmula acima tem conex ões com a entropia do sistema, se tomada sobre os expoentes positivos (bastar á mencionar a f órmula de Pesin [30] e a desi-gualdade de Ruelle [32]) e costuma ser introduzida na noç ão de regularidade (de Lyapunov) cl ássica como dissemos, embora isso seja algo que este trabalho n ão pretende aprofundar.

Em ambas as vers ões, notamos que a satisfaç ão da condiç ão de integrabilidade, os expo-entes de Lyapunov, o seu n úmero e os subespaços de Oseledets, n ão s ão afetados se substi-tuirmos a m étrica de Riemann} }x fixada (neste caso, a partir da norma em Rd) por qualquer

outra m ´etrica de Riemann} }_xequivalente no sentido em que existe cP L1pµq tal que ecpxq}v}x¤ }v}x¤ ecpxq}v}x, para µ-q.t.p. xP X e todo v P Ex.

Como é bem sabido, m étricas de Riemann independentes de x pertencem à mesma classe e por isso os objetos do (e o) teorema n ão dependem da norma escolhida em Rd_.

Para concluir esta apresentaç ão, referimos que o Teorema de Oseledets é v álido ainda em contextos mais gerais mencionados na introduç ão: como dissemos, é v álido para medidas

(32)

invariantes n ão necessariamente erg ódicas, caso em que os expoentes, o seu n úmero e mul-tiplicidades se tornariam funç ões mensur áveis em x definidas q.t.p.; é v álido para espaços de probabilidade gerais e ainda para fibrados n ão triviais; h á tamb ém vers ões para fluxos (tempo cont´ınuo): aconselhamos [2] para um tratamento completo. Uma abordagem mais ambiciosa e aprofundada requereria uma incurs ão nas t écnicas da álgebra exterior (pot ências exteriores, valores singulares, etc.), o que est á para al ém dos objetivos desta dissertaç ão.

(33)

Teorema Erg ´

odico Subaditivo

Neste cap´ıtulo, demonstraremos o Teorema de Kingman. Começamos por dar uma breve explicaç ão do esquema da prova para facilitar a leitura, seguida de diversas secç ões que pen-samos conter os pontos-chave da mesma, incluindo breves coment ários sobre os lugares para-lelos na literatura. Para al ém do texto original de A. Ávila e J. Bochi ([3], 2009), acompanhamos de perto os textos de M. Viana ([38], 2010) e ([27], 2013).

2.1 Estrutura da prova

Recordamos que uma sucess ão subaditiva de funç ões mensur áveis φn : X Ñ R para um

transformaç ão mensur ável T : XÑ X que preserva a probabilidade µ tem um limite importante associado L lim nÑ8 1 n » φndµ inf nPN 1 n » φndµP R Y t8u,

sob a hip ´otese de integrabilidade φ₁ P L1pµq. O Teorema de Kingman [A] diz que para uma tal sucess ˜ao, o limite

φpxq lim

nÑ8

φnpxq

n

existe em quase todo o ponto e que em m édia é igual a L. Para analisarmos a exist ência e o comportamento de φ num conjunto de probabilidade total vamos começar por definir as funç ões mensur áveis φ, φ : X Ñ R Y t8u por

φpxq lim inf nÑ8 φnpxq n e φ pxq lim supnÑ8 φnpxq n . 21

(34)

´

E facto elementar de an álise que φpxq existe (podendo eventualmente ser infinito) se e somente se φpxq φ pxq, caso em que φpxq φpxq φ pxq. Posto isto, demonstraremos antes a coincid ência φ φ em quase todo o ponto. Claramente, φ ¤ φ , relação que permanece inalterada tomando os integrais,³φdµ¤³φ dµ. A ideia da prova consiste em demonstrar as seguintes desigualdades invertidas

»

φ dµ¤ L ¤ »

φdµ.

Isto implica n ão s ó³φdµ³φ dµe portanto φ φ em quase todo o ponto, como também que a m édia de ambas é L, o que prova o teorema. Como veremos, a desigualdade do lado direito - na verdade, provaremos mesmo a igualdade - é a mais importante, de tal modo que a do lado esquerdo é uma consequ ência desta, um ingrediente possivelmente inovador desta prova. Numa primeira fase, assumiremos que as funç ões satisfazem uma certa hip ótese de limitaç ão inferior, que ser á removida a posteriori atrav és de um m étodo de truncagem, num contexto que ficar á claro no correr da demonstraç ão. De resto, a abordagem de mostrar as desigualdades invertidas est á j á presente, por exemplo, em [14] e [18], sendo uma ideia algo padr ão, mas engenhosa.

2.2 Lema de Fekete

Por uma quest ão de completude do trabalho, inclu´ımos aqui uma demonstraç ão do Lema de Fekete que pode ser encontrada de forma semelhante em diversos textos (por exemplo, [27]). Lema 2.1. (Fekete) SepanqnPN é uma sucess ão subaditiva, ent ão

lim nÑ8 an n infnPN an n P r8, a1s.

Prova: A ess ˆencia e dificuldade do lema restringem-se a sucess ˜oes reais: de facto, se ak 8

para algum k, ent ˜ao a subaditividade implica que

al¤ alk ak 8, para todo l ¡ k,

pelo que a igualdade ´e trivialmente satisfeita ( ´e8 em ambos os lados). Cingimo-nos portanto ao caso em que an P R, para todo o natural n. Dados n, k P N, aplicamos um algoritmo da

(35)

divis ão modificado a n e k, obtendo uma escrita única n qnk rn, onde qnP N0 é o quociente

e rn P t1, . . . , ku o resto (no algoritmo tradicional, o resto toma o valor 0 em vez de k, mas isto

é apenas uma conveni ência para o que se segue, resultante de excluirmos o zero da nossa definiç ão de n úmero natural). Usando a subaditividade de acordo com esta escrita retira-se que

an n ¤ aqnk arn qnk rn ¤ qnak arn qnk rn . (2.1)

Uma vez fixado k, rnfica limitado, donde se deduz que qn Ñ 8 quando n Ñ 8. ´E igualmente

verdade que arn fica tamb ´em limitado, pois toma apenas um n ´umero finito de valores. Logo

tomando o limite superior em ambos os membros de (2.1) obtemos

lim sup nÑ8 an n ¤ ak k.

Isto vale para todo o kP N. Assim, esta relac¸˜ao permite concluir lim sup nÑ8 an n ¤ infkPN ak k ¤ lim infnÑ8 an n,

o que finaliza a prova, tendo em conta a relac¸ ˜ao entre os limites inferior e superior. 2

Nota 2.1. O Lema de Fekete, tal como o pr óprio Teorema de Kingman, tem tamb ém uma vers ão para sucess õespanqnP R Y t8u superaditivas, i.e., tais que

am n¥ am an, para todo m, nP N. Nesse caso, lim nÑ8 an n supnPN an n P ra1,8s.

Basta para o efeito tomar a sucess ˜ao sim ´etricapanqne aplicar o Lema de Fekete (subaditivo),

um truque que ocorrer ´a algumas vezes neste texto.

2.3 Invari ˆancia

Uma vez explicado o esquema da demonstraç ão, vamos analisar apT, µq-invariância de φ expressa no item 1 do teorema. Para tal, usaremos o seguinte resultado elementar de Teoria Erg ódica, cuja prova optamos por incluir.

(36)

Lema 2.2. SejapX, A, µq um espaço de probabilidade e T : X Ñ X uma transformação men-sur ável que preserva µ. Se f : X Ñ R é uma função mensurável tal que f T pxq ¥ fpxq para todo xP X, então f T f em µ-quase todo o ponto.

Prova: Dado aP R arbitr´ario, seja Ca tx P X : fpxq ¥ au. Por hip´otese,

Ca T1pCaq tx P X : f T pxq ¥ au.

Como T preserva µ, temos µpCaq µpT1pCaqq donde se retira que µpT1pCaqzCaq 0.

Observe-se que T1pCaqzCa tx P X : fpxq a ¤ f T pxqu. Consideremos o conjunto A tx P X :

fpxq f T pxqu. Queremos verificar que µpAq 0 e, para tal, tomemos uma enumerac¸˜ao dos racionaistrnun e definamos, para cada natural n, An tx P X : fpxq rn ¤ f T pxqu. Pelo

que foi visto, µpAnq 0 e portanto, µpA

₈

n1Anq ¤

°₈

n1µpAnq 0 ñ µpAq 0, como

quer´ıamos mostrar. 2

Usando a subaditividade da sucess ão de funç õespφnqn, temos

φ: lim inf nÑ8 φn n ¤ lim infnÑ8 φ1 φn1 T n φ T.

Decorre do lema anterior que φ T φ em µ-quase todo o ponto, valendo consideraç ões an álogas para φ . Logo, a funç ão φ descrita acima é pT, µq-invariante. De facto, podemos apurar um pouco mais este resultado. Mais geralmente, para cada jP N, vale

φpxq ¤ φ Tjpxq,

pelo que φ φ Tj em µ-quase todo o ponto (note-se que Tj preserva µ quando o mesmo sucede para T ). Uma vez que a interseç ão numer ável de conjuntos com probabilidade total tem ainda probabilidade total, o conjunto

I tx P X : φpxq φ Tjpxq, para todo j P Nu

tem tamb ém probabilidade total. Dito de outro modo, φ φ é constante ao longo das órbitas por T de quase todos os pontos.

(37)

2.4 Resultado principal

Vamos apresentar o resultado que é considerado pelos autores de [3] como o coraç ão da prova, ou seja, o seu ingrediente fundamental, vis´ıvel j á em [36]. Ele servir á, em primeiro lugar, para provar a (des)igualdade L¤³φdµe, por consequ ência, tamb ém³φ dµ¤ L.

Hip ótese de limitaç ão. Vamos assumir inicialmente que a sucess ãopφn{nqnPN est á

uniforme-mente limitada inferioruniforme-mente, i.e., existe um n ´umero real c¡ 0 tal que φn

n ¥ c , para todo n P N. (2.2)

Isto implica em particular que φ ¥ c. Esta hipótese será mantida na demonstração de ambas as desigualdades invertidas e do resultado principal para a seu tempo ser removida por um processo de truncagem.

Consideraç ões iniciais. Antes disso, vamos introduzir alguma notaç ão conveniente. Dado ¡ 0, considere-se a sucessão de conjuntos pEkqkPNdefinida por

Ek: tx P X :

φjpxq

j ¤ φpxq , para algum j P t1, . . . , kuu.

Trata-se de uma sucess ˜ao mon ´otona crescente, ou seja, Ek Ek 1 para todo kP N.

Observe-se que cada xP X pertence a Ek para todo k suficientemente grande (veja-se a definic¸ ˜ao de

φ, que neste caso n ˜ao toma o valor8), pelo que X 8_k₁Ek. Logo

lim kÑ8µpEkq µp 8 ¤ k1 Ekq µpXq 1.

Vamos definir tamb ém a sucess ão de funç ões ψk : XÑ R Y t8u por

ψkpxq $ & % φpxq , se x P Ek φ1pxq, se xR Ek .

Uma vez que se x R Ek por definic¸ ˜ao φ1pxq ¡ φpxq , temos em geral a desigualdade

ψk ¥ φ , para todo o natural k.

O resultado. A estimativa fundamental desta prova, a que nos referimos h ´a pouco, consiste no seguinte:

(38)

Lema 2.3. Para µ-quase todo o xP X e todos os naturais n ¡ k, φnpxq ¤ nk1¸ i0 ψkpTixq n¸1 ink maxtψk, φ1upTixq. (2.3)

Prova: Começamos por observar que o conjunto de probabilidade total a considerar em que vale a estimativa acima é precisamente o conjunto I dos pontos xP X em cujas órbitas φ é constante (que um tal conjunto tem probabilidade total, foi explicado anteriormente). Para ver isso, seja xP I arbitrário. Vamos associar a x um sucessão de inteiros

m0¤ n1 m1¤ n2 m2 ¤

constru´ıda indutivamente da seguinte maneira: m0 0 (condic¸˜ao inicial) e, em geral, uma vez

constru´ıdo mj1, definimos nj como o menor inteiro maior ou igual a mj1 tal que Tnj P Ek.

Notamos que tal inteiro pode n ão existir, caso em que o processo p ára e a sucess ão é finita. De outro modo, caso exista, ent ão h á algum sj P t1, . . . , ku tal que

φsjpT

nj_xq

sj ¤ φpxq

(2.4)

simplesmente por definic¸ ˜ao de Ek. Definimos mj nj sj, o que permite agora continuar o

processo. Com isto fica explicada a construç ão. Conv ém subinhar que se mj1¤ i nj, ent ão

por construc¸ ˜ao Ti_x _{R E}

k, nada se podendo inferir de an ´alogo para nj ¤ i mj. No entanto,

no que se seguir á teremos bem presente a distinç ão entre o comportamento de T nestes dois tipos de intervalos de tempo para a avaliaç ão das funç ões ao longo da órbita de x.

(39)

Para n ¡ k, seja l o maior inteiro tal que ml ¤ n. N˜ao podemos a priori comparar nl 1

com n (ver Figura 2.1), mas sabemos certamente por construc¸ ˜ao que nl 1 k ¡ n, pois de

outro modo haveria uma contradiç ão com a definiç ão de ml. Numa primeira tentativa de obter

a estimativa (2.3), vamos usar a subaditividade depφnqnde acordo com a decomposic¸ ˜ao n

pn mlq pml nlq pnl ml1q pn1 m0q, obtendo assim φnpxq ¤ φnmlpT mlpxqq l ¸ j1 φnjmj1pT mj1_pxqq l ¸ j1 φmjnjpT njpxqq. _(2.5)

Para majorarmos a primeira parcela e as parcelas do primeiro somat ´orio no lado direito desta desigualdade, usamos outra vez a subaditividade, de modo que

φnjmj1pTmj1pxqq ¤

n¸j1

imj1

φ1pTipxqq,

para todo j 1, . . . , l, mantendo-se uma desigualdade em termos inteiramente an´alogos para φnmlpT

mlpxqq. Desta feita, (2.5) transforma-se em

φnpxq ¤ ¸ iPI φ1pTipxqq l ¸ j1 φmjnjpT njpxqq, _(2.6)

onde Il_j₁rmj1, njqYrml, nq (usamos a notac¸˜ao ra, bq para designar o conjunto dos inteiros

ztais que a¤ z b). Para majorarmos as parcelas do último somatório em (2.5), vamos usar a relaç ão (2.4) (reescrevendo sj mj nj), a const ância de φao longo da órbita de x e o facto

de ψkpxq ¥ φpxq . Isto fornece, respetivamente, o seguinte

φmjnjpT njpxqq ¤ m¸j1 inj pφpTipxq q ¤ m¸j1 inj ψkpTipxqq.

Cada uma das parcelas φ1pTipxq) do primeiro somat´orio em (2.6), mais precisamente aquelas

em que i P l_j₁rmj1, njq Y rml, mintnl 1, nuq, ´e igual respetivamente a ψkpTipxqq, porque

Tipxq R Ek nesses casos. Juntamente com esta última majoraç ão, podemos agora obter a

partir de (2.6) φnpxq ¤ mintnl¸1,nu1 i0 ψkpTipxqq n¸1 inl 1 φ1pTipxqq.

Como nl 1¡ nk por construção e maxtψk, φ1upxq ¥ φ1pxq por definição, a prova da estimativa

(40)

2.5 Igualdade inferior

Neste ponto, vamos provar aquilo a que chamamos igualdade inferior, por analogia com o conceito de limite inferior nela envolvido. Aqui surgem os m ´etodos de truncagem, ideias tamb ´em presentes em [18] e [36]. Em concreto,

Lema 2.4. Sob as hip ´oteses do Teorema de Kingman [A], temos »

φdµ L. (2.7)

Prova: Numa primeira inst ância, mantemos a hip ótese de limitaç ão uniforme das funç ões ex-pressa em (2.2). Começamos por observar que, nessas condiç ões, φ é integr ável e vale ³

φdµ ¤ L . Com efeito, pelo Lema de Fatou [A.3], aplicado à sucessão de funções não negativaspφn{n cqnPN, temos precisamente

» φ c dµ¤ lim inf nÑ8 » φn n c dµ L c.

No sentido de provarmos a desigualdade mais importante³φdµ ¥ L, para da´ı concluirmos (2.7) neste caso, vamos usar o resultado principal. Integrando a desigualdade (2.3), e dividindo por n, decorre 1 n » φndµ¤ n k n » ψkdµ k n » maxtψk, φ1u dµ.

A partir deste ponto jogamos com a informaç ão assint ótica. Fixado k e tomando o limite quando nÑ 8 em ambos os lados da inequação, obtemos L ¤³ ψkdµ. Observe-se que

» ψkdµ » Ek ψkdµ » XzEk ψkdµ » Ek φ dµ » XzEk φ1dµ.

Logo, quando kÑ 8 obtemos L ¤³ φ dµ³ φdµ (recordem-se as propriedades da sucess ãopEkqkPN). Como ¡ 0 é arbitrário, conclu´ımos finalmente que L ¤

³

φdµ. Isto prova (2.7), sob a hip ótese de limitaç ão uniforme.

Demonstremos agora o caso geral (i.e., sem a hip ótese de limitaç ão). Com esse intuito, usaremos um m étodo de truncagem considerando, para cada c¡ 0, as funções

(41)

Por definiç ão, para cada nP N, temos φc_n{n ¥ c. Além disso a sucessão de funções pφc_nqn é

subaditiva e tem-se φc

lim infnÑ8φcn{n. Usando o que já provamos para o caso da limitação

uniforme, » φcdµ Lc: inf n 1 n » φc_ndµ.

Note-se que c¤ c1implica φc_n¥ φ_nc1e tamb ém φc¥ φc1. Assim, para cada nP N fixado, obtemos uma sucess ão mon ótona de funç ões

φ1_n¥ φ2_n¥ ¥ φj_n¥

tal que limjφjn φn. Aplicando o Teorema da Converg ˆencia Mon ´otona [A.4],

» φndµ lim jÑ8 » φj_ndµ inf j » φj_ndµ inf c¡0 » φc_ndµ,

obtendo analogamente ³ φdµ infc¡0

³

φcdµ. Para concluir, juntamos estas observaç ões numa s ó, o que fornece

» φdµ inf c¡0 » φcdµ inf c¡0infn 1 n » φc_ndµ inf n cinf¡0 1 n » φc_ndµ inf n 1 n » φndµ L.

Isto conclui a demonstrac¸ ˜ao. 2

Nota 2.2. Observamos, tal como o é feito em [3], que a igualdade inferior³φdµ L, por si s ó, j á implica o Teorema Erg ódico de Birkhoff. Este fen ómeno deve-se ao facto da sucess ão sim étrica das somas de Birkhoff

φn n¸1 j0

φ Tj

ser tamb ´em aditiva, e portanto subaditiva, pelo que aplicando a igualdade inferior a esta su-cess ˜ao se deduz

» lim sup nÑ8 φn n dµ » lim inf nÑ8 φn n dµ L ô » φ dµ L

de onde decorre φ φ em µ-quase todo o ponto. Esta ’simetria da aditividade’ não vale em geral para sucess ões subaditivas: de facto, as sucess ões aditivas s ão precisamente aquelas para as quais a pr ópria sucess ão e a sucess ão sim étrica s ão subaditivas.

(42)

2.6 Desigualdade superior

`

A semelhança do que fizemos na secç ão anterior, vamos provar a seguinte desigualdade superior, que envolve agora o limite superior. É neste ponto que a prova se revela possivelmente inovadora, usando para o efeito a igualdade inferior j á obtida e explorando somas de Birkhoff convenientes de modo que a subaditividade n ão é afetada pela passagem ao sim étrico.

Lema 2.5. Sob as hip óteses do Teorema de Kingman e de limitaç ão em (2.2), temos »

φ dµ¤ L. (2.9)

Começamos por introduzir dois resultados t écnicos auxiliares: o primeiro deles é um facto standard de Teoria Erg ódica que servir á para provar o segundo, mais relevante dentro deste contexto.

Proposiç ão 2.1. Seja T : XÑ X uma transformação mensurável que preserva µ. Então, para toda a funç ão φP L1pµq, tem-se

lim

nÑ8

1 nφ T

n_{pxq 0, para µ-q.t.p. x P X.} _(2.10)

Podemos obter este resultado como consequ ência imediata do Teorema Erg ódico de Birkhoff aplicado a ψ φ T φ. Uma vez prentendendo obter uma prova do Teorema Ergódico Suba-ditivo completamente independente deste, usaremos antes o Lema de Borel-Cantelli [A.1]. Prova da Proposiç ão 2.1: É necess ário e suficiente mostrar que, para cada ¡ 0 fixado,

A: tx P X : |φpTnxq| ¥ n para infinitos valores de n P Nu

tem probabilidade zero. Assim, A 8_i₁A1

i tem tamb ´em probabilidade zero, e ´e claro que

qualquer xP XzA 8_i₁pXzA1

iq satisfaz (2.10): se x P XzA, ent ˜ao |φpT

n_{pxqq|{n para}

todo n suficientemente grande, por definic¸ ˜ao.

No sentido de provar o que nos propomos, comec¸amos por observar que

8 ¸ n1 µptx P X : |φpTnpxqq| ¥ nu 8 ¸ n1 µptx P X : 1|φpxq| ¥ nu ¤ 1 » |φ| dµ 8.

(43)

Aplicando o Lema de Borel-Cantelli, obtemos imediatamente µpAq 0. 2

Lema 2.6. Para qualquer n ´umero natural k fixado, lim sup nÑ8 φkn kn lim supnÑ8 φn n µ-q.t.p..

Prova: Começamos por observar que a desigualdade ’¤’ é imediata pois pφkn{knqn é uma

subsucess ˜ao depφn{nqn.

No sentido de provarmos a desigualdade ’¥’, para cada n P N escrevemos n kqn rn,

onde qn P N0 e rn P t1, . . . , ku. Uma vez que rn est ´a limitado por k (que est ´a fixado) temos

qn Ñ 8 quando n Ñ 8. Assim, da relação n{qn k rn{qnobtemos ent ão n{qnÑ k quando

nÑ 8. Por subaditividade,

φn¤ φkqn φrn T

kqn ¤ φ

kqn ψ T

kqn _(2.11)

onde ψ maxtφ₁, . . . , φ_ku ¥ maxtφ1, . . . , φku. Note-se que ψ P L1pµq, pelo que podemos

aplicar o Lema 2.1 para concluir lim

nÑ8

ψ Tkqn

n 0 µ-q.t.p..

No conjunto de probabilidade total onde vale a igualdade acima, dividimos (2.11) por n e toma-mos o limite superior:

lim sup nÑ8 φn n ¤ lim supnÑ8 φkqn n lim supnÑ8 ψ Tkqn n lim supnÑ8 φkqn n . Uma vez que φkqn

n qn n φ_kqn qn e limnqn{n 1{k , obtemos lim sup nÑ8 φkqn n lim supqÑ8 φkq kq .

Juntando estas duas ´ultimas conclus ˜oes, a prova fica conclu´ıda. 2 Nota 2.3. Usando o Teorema de Birkhoff, podemos demonstrar alternativamente o Lema 2.6 da seguinte maneira: escrevendo φn φ1n ψnonde φ1n : φn

°n1

j0 φ1 Tj, obtemos φncomo

soma de um processo subaditivo n ˜ao-positivo φ1_n, e um processo aditivo ψn

°_n1

j0φ1 Tj.

Segue da subaditividade que φ1_n é mon ótona decrescente em n e portanto a igualdade do Lema 2.6 para φ1_n é v álida em todos os pontos. Quanto a ψn, esta decorre do Teorema de Birkhoff.

(44)

Prova do Lema 2.5: Para cada natural k fixado, considerem-se as somas temporais de Birkhoff deφkcom respeito a Tk, i.e., as func¸ ˜oes

Φk,n n¸1 j0

φk Tjk.

Como foi analisado anteriormente,pΦk,nqné uma sucess ão (sub)aditiva de funç ões mensur áveis

com respeito a Tk. Uma vez que Φk,1 φk ¤ c k 8, pela hipótese de limitação, temos

que Φ_k,1 ´e limitada, logo integr ´avel. Definindo Φk,: lim inf

nÑ8 Φk,n{n, decorre do Lema 2.4 para

estas func¸ ˜oes que

» Φk,dµ lim nÑ8 1 n » Φk,ndµ.

Uma vez que Tkpreserva µ, temos tamb ´em » Φk,ndµ n » φkdµô 1 n » Φk,ndµ » φkdµ.

Logo, estas duas igualdades fornecem uma terceira: ³Φk,dµ

³

φkdµ. Por outro lado,

observando que a subaditividade depφnqnimplica φkn¤ Φk,ne usando o Lema 2.6,

kφ : k lim sup nÑ8 φn n lim supnÑ8 φkn n ¤ lim supnÑ8 Φk,n n Φk, µ-q.t.p.. Integrando, tem-se k³φ dµ¤³Φk,dµ ³ φkdµ, ou seja, » φ dµ¤ 1 k » φkdµ.

Isto vale para qualquer kP N. Tomando o ´ınfimo em k, temos³φ dµ¤ L. 2

Nota 2.4. N ão seria necess ária uma hip ótese de limitaç ão uniforme t ão forte: bastaria apenas que cada funç ão φnestivesse limitada por baixo, i.e.,

inf

xPXφnpxq ¡ 8, para todo n P N,

como é constatado em [27]. Pretende-se somente salvaguardar a integrabilidade de certas funç ões, tendo sempre presente pelo caminho a igualdade inferior (2.7) j á obtida.

(45)

2.7 Conclus ˜ao

Finalizamos a demonstraç ão do Teorema Erg ódico Subaditivo, analisando o caso em que as funç ões n ão est ão mais sujeitas a nenhum tipo de limitaç ão. Consideremos as funç ões φc_ne φc j á definidas em (2.8), bem como

φc maxtφ , cu.

Tudo o que foi provado at ´e este momento permite concluir que, para todo o c¡ 0 fixado, »

φcdµ »

φc dµP R,

pelo que φc φc em quase todo o ponto. Uma vez que φc Ñ φ e φc Ñ φ quando c Ñ 8, conclu´ımos que φ φ em quase todo o ponto e, deste modo, a demonstração do Teorema Erg ódico Subaditivo.

(46)

(47)

Teorema Erg ´

odico Multiplicativo

´

E objetivo do presente cap´ıtulo demonstrar os Teoremas de Oseledets B e C. A organizaç ão deste cap´ıtulo segue a do anterior, começando com a explicaç ão da estrutura da prova seguida das v árias fases (secç ões) que a comp õe. Baseamo-nos essencialmente no texto de J. Bochi ([7], 2008) que por sua vez combina numa única prova elementos de P. Walters ([41], 1993) e de R. Man ˜e ([24], 1987), esta última reproduzida tamb ém por M. Viana ([37]).

3.1 Estrutura da prova

Numa primeira inst ância, começamos por provar uma vers ão mais fraca do Teorema B para sistemas n ão necessariamente erg ódicos (Secç ão 3.2), usando a noç ão de expoente de Lya-punov cl ássica em termos de limites superiores

λ px, vq λpx, vq lim sup

nÑ8

1 nlog}A

pnq_{pxq v} P R Y t8u.}

Assim definidos, os expoentes existem sempre, pelo que o intuito aqui é perceber a construç ão das filtraç ões de Oseledets e as quest ões de mensurabilidade, v álidas para o restante da prova. Um trabalho mais sofisticado ser á requerido para a realizaç ão dos limites q.t.p., ou seja, para a parte existencial que na vers ão anterior n ão constituia obst áculo. Para isso estudamos alguma Teoria Erg ódica de produtos semi-diretos que, em termos pr áticos, se traduz na aç ão dos cociclos lineares sobre o espaço projetivo euclideano (Secç ão 3.3). Essa é uma ideia algo natural porque a natureza intr´ınseca dos expoentes de Lyapunov prende-se com direç ões. Com

(48)

as ferramentas anteriores, a atenç ão ser á dirigida para o fibrado minimal do cociclo onde o ob-jetivo é imediatamente concretizado (Secç ão 3.4). Para estender indutivamente este racioc´ıno aos (eventuais) demais expoentes, ser á necess ário construir fibrados complementares de maior crescimento exponencial, com tratamento separado para as vers ões unilateral (Secç ão 3.6) e bilateral (Secç ão 3.7), fazendo um estudo do comportamento subexponencial (Secç ão 3.5).

3.2 Vers ˜ao limite superior

Nesta secç ão, vamos demonstrar uma vers ão mais fraca da vers ão unilateral (Teorema B), a qual chamaremos de vers ão limite superior. O motivo para esta nomenclatura prende-se com a noç ão cl ássica de expoente de Lyapunov

λpx, vq lim sup

nÑ8

1 nlog}A

pnq_{pxq v} P R Y t8u,} _(3.1)

com a convenç ão logp0q 8. Para além de existirem sempre, estes expoentes gozam de boas propriedades alg ébricas de modo a possibilitar uma construç ão clara dos espaços de Oseledets. Recordamos que estamos a tomar como modelo de espaço de probabilidade de LebesguepX, A, µq um espaço métrico compacto X com a σ-álgebra dos borelianos A B_|µ completada em relaç ão à probabilidade µ. Propomo-nos provar o seguinte resultado (inspirado em [41]), onde a hip ótese do espaço ser m étrico compacto n ão é um requerimento essencial, conquanto a probabilidade seja completa.

Teorema 3.1. Sejam pX, A, µq um espaço de probabilidade completo e T : X Ñ X uma transformaç ão mensur ável que preserva µ. Seja A : X Ñ GLpR, dq uma aplicação mensurável tal que log }A1} P L1_{pµq. Nestas condições, em µ-quase todo o ponto x P X, existem k kpxq}

n úmeros reais λ1pxq ¡ ¡ λkpxq e uma única filtração linear

Rd Vx1 ¡ Vx2 ¡ ¡ Vxk¡ Vxk 1 t0u

tais que, para todo 1¤ i ¤ k, se tem

1. kpxq kpT xq, λipxq λipT xq, Apxq Vxi VT xi e

2. λpx, viq λipxq, sempre que vi P VxizVxi 1.

(49)

3.2.1 Condic¸ ˜ao de integrabilidade

Comec¸amos por analisar o papel que a hip ´otese log }A1pxq} P L1_{pµq desempenha para}

as conclus ões do teorema. Notamos de passagem que esta é mais forte do que à primeira vista possa parecer, no sentido em que

log }A1pxq} P L1pµq ô | log }A1pxq} | P L1pµq ô log}A1pxq} P L1pµq.

Dito isto, vejamos que qualquer uma das condic¸ ˜oes de integrabilidade acima serve para asse-gurar tipicamente a finitude dos expoentes de Lyapunov λpx, vq.

Lema 3.1. Seja pX, A, µq um espaço de probabilidade e T : X Ñ X uma transformação mensur ável que preserva µ. Seja A : X Ñ GLpR, dq uma aplicação mensurável tal que log }A1} P L1pµq. Então λpx, vq P R, para quase todo o ponto x P X e todo v P Rdzt0u.

Prova: Trata-se de uma consequ ˆencia do Teorema Erg ´odico de Birkhoff [B.3]. Com efeito, observando que }Apnq_{pxq v} ¤ }A}pnq_{pxq} }v} ¤ p}n¹1 i0 }ApTi_x_{q}q }v}} e }Apnq_{pxq v} ¥ }A}pnq_pxq1_}1_{}v} ¥ p}n¹1 i0 }A1_pTi_xq}1_{q }v},} obtem-se lim sup nÑ8 1 n n¸1 i0

log }A1pTi_x_{q} ¤ λpx, vq ¤ lim sup} nÑ8 1 n n¸1 i0 log }ApTixq}.

A condic¸ ˜ao de integrabilidade log }A1} P L1_{pµq implica que os extremos da desigualdade}

acima s ão n úmeros reais em quase todo o ponto, donde se obtem a conclus ão do lema. 2 Este é essencialmente o único papel da hip ótese log }A1} P L1_{pµq na versão limite superior.}

De facto, todos os pontos s ão regulares no sentido do Teorema 3.1 (i.e., conquanto os expo-entes possam ser8) e, além disso, todos os objetos (expoentes de Lyapunov, seu número e espaços de Oseledets) variam mensuravelmente com x P X. Esse é o trabalho das próximas subsecç ões.

Conv ém ainda fazer uma pequena observaç ão. Nestes resultados, quando falarmos em propriedades que valham q.t.p., podemos sempre assumir que conjunto onde elas valem é

(50)

tamb ém T -invariante. Este cuidado adicional para garantir a regularidade ao longo das órbitas n ão restringe o conte údo dos mesmos em termos da medida pois dado um conjunto Y X tal que µpY q 1, existe Z Y satisfazendo µpZq 1 e T pZq Z: basta tomar

Z

8

£

n0

TnpY q,

o conjunto dos pontos de Y cuja T - órbita est á contida em Y . Se a transformaç ão for invert´ıvel, podemos escolher Z tal que T1pZq Z. Assim, podemos assumir que o conjunto de probabili-dade total onde os expoentes associados a vetores n ão-nulos s ão finitos é tamb ém T -invariante.

3.2.2 Filtrac¸ ˜oes lineares

Dirigimos agora a atenç ão para as propriedades alg ébricas principais dos expoentes λpx, vq. Uma vez desejando estudar o seu comportamento em cada fibra Ex Rde analisar a maneira

como se obt êm os subespaços de Oseledets V_xi, é mais expressivo escrev ê-los na forma λxpvq,

pr ática que adotaremos por um momento. Antes disso, deixamos os seguintes factos sobre sucess ões de n úmeros reais que ser ão úteis para refer ência futura.

Lema 3.2. SejampanqnPN epbnqnPN sucess ões de n úmeros reais n ão negativos. Ent ão

lim sup

nÑ8

1

nlogpan bnq maxtlim supnÑ8

1

nlog an, lim supnÑ8

1

nlog bnu e lim inf

nÑ8

1

nlogpan bnq ¥ maxtlim infnÑ8

1

nlog an, lim infnÑ8

1

nlog bnu.

Lema 3.3. Seja λ : X Rd _{Ñ R Y t8u a func¸˜ao expoente de Lyapunov definida por (3.1).}

Ent ˜ao, para todos xP X, α P Rzt0u e v, w P Rd, valem 1. λxp0q 8,

2. λxpα vq λxpvq,

3. λxpv wq ¤ maxtλxpvq, λxpwqu, com igualdade se λxpvq λxpwq, e