Frações (parte I)

(1)

(2)

Frac

¸ ˜

oes (Parte I)

Carlos Pereira dos Santos, Ricardo Cunha Teixeira

Centro de Análise Funcional, Estruturas Lineares e Aplica¸cões da Universidade de Lisboa Núcleo Interdisciplinar da Crian¸ca e do Adolescente da Universidade dos A¸cores

cmfsantos@fc.ul.pt, ricardo.ec.teixeira@uac.pt

Resumo: A temática das fra¸cões é provavelmente o assunto mais delicado no que diz respeito ao ensino da matemática inicial. Por terem múltiplas aplica¸cões, contextos e sentidos, as fra¸cões pedem um ensino altamente especializado e es-merado. Há que modelar de forma cuidadosa o conceito de fra¸cão, fasear e or-denar os nós conceptuais ao longo dos anos e dosear o caráter abstrato/concreto dos exemplos e atividades. Muito se testou, teorizou e escreveu sobre esta temática. Este trabalho consiste num resumo alargado sobre o ensino das fra¸cões, documentado em literatura especializada e ilustrado através de exemplos concre-tos retirados de manuais do Singapore Math, um dos mais cotados métodos de ensino do mundo.

Palavras-chave: D´ızimas, escalas, fra¸cões, fra¸cões equivalentes, numerais mis-tos, números racionais, opera¸cões aritméticas, percentagens, propor¸cões, razões, regra de três simples, resolu¸cão de problemas, Singapore Math.

1 Introdu¸

c˜

ao

Em [1], o matemático israelita Ron Aharoni cita um texto do s´_{ec.xv para} argu-mentar que as fra¸cões já foram matéria do ensino superior. Independentemente da discussão histórica sobre o assunto, o autor quis passar a mensagem de que a temática das fra¸cões é consideravelmente sofisticada. De facto, esta temática constitui um dos assuntos mais melindrosos no que diz respeito ao ensino da matemática inicial. Uma das razões para tal é a necessidade constante de con-textualiza¸cão. Quando dizemos 2

3, estamos frequentemente a mencionar duas

ter¸cas partes de alguma coisa. Basta que numa mesma frase se mencionem duas fra¸cões relativas a todos diferentes para se lan¸car o caos: “2₃ de quê?”, “5₇ de quê?”. Quando dizemos “a rela¸cão é de 2 para 3”, estamos novamente a relacionar grandezas, não sendo poss´ıvel perceber quais são se dissermos ape-nas 2₃. As fra¸cões são abstratas, sendo relativas a algo.

(3)

Outro problema que as fra¸cões levantam diz respeito à álgebra que envolvem. Pensemos nos n´_{umeros naturais N = {1, 2, 3, . . .}. Se adicionarmos dois n´}umeros naturais, obtemos novamente um número natural. No entanto, se quisermos fa-zer uma compra de 100 euros e só tivermos 80, podemos propor pagar com o que temos e ficar a dever. Como 80 − 100 = −20, utilizamos os números negativos para exprimir essa d´ıvida. Foi necessário estender o conjunto dos naturais. Pas-samos a lidar com os n´_{umeros inteiros Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}, pelo} que temos de aprender a operar com eles (e.g., adicionar, subtrair, multiplicar e dividir). Imaginemos, agora, que temos um bolo e queremos dividi-lo igual-mente com um amigo. Os números inteiros já não chegam. A melhor forma de descrever o que cada um recebe recebe é dizer “meio bolo”, ou seja, 1₂ bolo. E, mais uma vez, tendo sido feita nova extensão, precisamos de saber operar com estes objetos a que chamamos fra¸cões. É um péssimo sintoma vermos os jovens a transformar o elegante objeto 1

2, a melhor forma de referir metade,

em 0, 5. Isto porque 0, 5 é apenas mais uma forma de referir cinco décimos, ou seja, ₁₀5. Transformou-se algo minimalista e irredut´ıvel numa representa¸cão menos elegante da mesma quantidade. Este sintoma revela que o jovem não está à vontade com as fra¸cões, tendo tendência para pensar em termos de repre-senta¸cões decimais. Na maioria dos casos, não é esse o procedimento certeiro. Não devemos fugir da álgebra que as fra¸cões envolvem, mas sim aprendê-la. E a nossa cultura matemática aumenta de forma muito vincada ao fazer isso.

Segundo David Sousa, autor do livro How the brain learns Mathematics [14], estudos realizados no âmbito das Neurociências Cognitivas têm revelado resul-tados intrigantes, que apontam para a existência de uma reta numérica mental que nos ajuda a comparar números, sendo que a rapidez com que comparamos dois números depende não só da distância entre eles como também da sua ordem de grandeza (ver Figura 1). É, portanto, mais rápido decidir que 73 > 34 do que 73 > 72 e que 3 > 2 do que 73 > 72.

Figura 1: Reta num´erica mental.

Qual a importância desta descoberta? Percebemos que a reta numérica mental oferece uma intui¸cão limitada sobre os números, estando apenas contemplados os números naturais. Este facto pode explicar a falta de intui¸cão quando lidamos, por exemplo, com números negativos e com fra¸cões, que não correspondem a qualquer categoria natural no nosso cérebro. Para os compreender, é necessário construir modelos mentais adequados.

Os primeiros contactos com as fra¸cões sucedem normalmente com 6 ou 7 anos de idade. A partir da´ı, o seu tratamento deve ser cuidadosamente faseado. Isto porque um dos motivos para a temática ser melindrosa é o facto de as fra¸cões encerrarem múltiplas utiliza¸cões e contextualiza¸cões. Uma pequena lista ordenada é a seguinte:

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1. O que é uma fra¸cão? Fra¸cão como rela¸cão todo-partes.

2. Representa¸cões distintas da mesma quantidade. Fra¸cões equivalentes. 3. Mesma natureza e mesmo denominador. Adi¸cão e subtra¸cão de fra¸cões. 4. Fra¸cão como multiplicador e multiplicando. O que é a multiplica¸cão de fra¸cões? 5. Medir e repartir. No¸cão de inverso e divisão de fra¸cões.

6. Quantas unidades há numa fra¸cão? Numera¸cão mista.

7. Como se relacionam as fra¸cões com o sistema de numera¸cão decimal? 8. Relacionar dois valores de uma mesma grandeza. Fra¸cão como razão. 9. Fra¸cão para relacionar grandezas diferentes.

10. Igualdade de rela¸cões. Fra¸cões ao servi¸co das propor¸cões e regra de três simples. 11. Como se relacionam as fra¸cões com as percentagens?

12. Como se relacionam as fra¸cões com as escalas? 13. Resolu¸cão de problemas envolvendo fra¸cões.

Discutiremos os diferentes tópicos desta lista em dois textos separados. No entanto, estes conteúdos devem ser encarados de forma sequencial e articulada. Uma boa revisão da literatura sobre o tema das fra¸cões pode ser encontrada em [4].

2 O que ´

e uma fra¸

c˜

ao?

Fra¸

c˜

ao como rela¸

c˜

ao todo-partes

Tal como a generalidade das representa¸cões numéricas, as fra¸cões têm múltiplos sentidos e aplica¸cões. No entanto, a sua utiliza¸cão para indicar um certo número de partes iguais, provenientes da divisão de um dado todo, deve ser o primeiro sentido a ser abordado. A no¸cão de todo ou unidade1 é central para uma boa compreensão do conceito de fra¸cão e traz, a si associada, a ideia fundamental de representa¸cão ([3] constitui uma boa referência complementar). A primeira mensagem sobre fra¸cões a transmitir a uma crian¸ca está ilustrada na Figura 2.

Figura 2: O que ´e uma fra¸c˜ao? [8]

1_{Ao contr´}_{ario de outros autores, optamos prioritariamente por “todo” em vez de “unidade”}

para podermos utilizar o termo “unidade” noutros contextos. Por exemplo, 4₅ representa uma quantidade expressa em quintos. O “quinto”, por si só, pode ser encarado como sendo a unidade em que a fra¸cão está expressa.

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Uma fra¸cão interpretada no sentido da rela¸cão todo-partes encerra em si duas informa¸cões:

Em quantas partes iguais ´e dividido o todo (denominador);

Quantas dessas partes constituem a quantidade em causa (numerador).

O número de partes iguais em que o todo é dividido traduz a natureza da unidade em que a fra¸cão é expressa: podem ser meios, podem ser ter¸cos, podem ser quartos, etc. Na medida em que é algo qualitativo, precisa de ser denominado (meios, ter¸cos, . . . ). Da´ı o nome “denominador” – denomina uma natureza. Por outro lado, ao estipularmos a quantidade de meios, ter¸cos, . . . , estamos perante um ju´ızo quantitativo. Da´ı o “numerador” indicar quantas partes temos. Esta mensagem deve ser transmitida às crian¸cas da forma mais eficaz poss´ıvel. Os papéis do numerador e do denominador devem ser desvendados através de frases simples como, por exemplo, a que se segue:

“2₅ s˜ao2de5partes iguais que formam o todo.”

Numa frase como esta est´a tudo dito. Em quantas partes iguais se divide o todo? Cinco. Quantas dessas partes temos? Duas. Eis o denominador e o numerador.

Neste processo inicial, há um conceito importante a ser desmistificado: a forma do todo ou das partes não é relevante. O que é relevante é haver um todo e este ser dividido em partes iguais. Por isso, é importante explorar o tema segundo múltiplas perspetivas. Na Figura 3 temos dois todos diferentes: um deles é uma pizza, o outro é um quadrado. Não é por essa diferen¸ca que 1₂ deixa de estar representado em ambos os exemplos. Nas duas situa¸cões apresentadas, quer a pizza como o quadrado foram divididos em duas partes iguais.

Figura 3: Todos diferentes [8].

Na Figura 4 temos dois exemplos relativos a um todo idêntico (um quadrado). Em ambos está representado 1₄, mas com formas diferentes. Facilmente se intui que não é a forma das partes que interessa. São quatro partes, são iguais e juntas formam o todo; isso sim, interessa.

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Figura 4: Partes diferentes [8].

Estas ideias sobre numerador e denominador são simples, mas não deixam de ser fundamentais. Deve haver alguma prática associada, tal como se ilustra na Figura 5.

Figura 5: Exemplos variados [8].

Também são aconselháveis alguns exerc´ıcios que obriguem as crian¸cas a pensar se as partes são ou não são iguais. Por exemplo, relativamente à al´ınea (a) da Figura 6, a crian¸ca deverá responder “O todo foi dividido em duas partes, mas as partes não são iguais. A zona azul é muito menor do que a branca, pelo que não corresponde a 1₂.”.

(7)

Figura 6: Partes iguais ou desiguais? [8]

´

E de real¸car também a importância de se explorar o tema das fra¸cões seguindo a abordagem Concreto>Pictórico>Abstrato (CPA), que remonta aos trabalhos do psicólogo americano Jerome Bruner [5]. Nos primeiros anos de escolari-dade, todos os temas devem ser introduzidos partindo do concreto. Nesse sen-tido, é importante utilizar objetos do dia a dia ou fotografias desses objetos (e.g., pizzas, bolos, tabletes de chocolate, . . . ). A utiliza¸cão de materiais ma-nipuláveis também é recomendável, desde as barras Cuisenaire (Figura 7) aos blocos padrão (Figura 8), passando por simples legos (Figura 9).

Figura 7: Explorar as fra¸c˜oes com as barras Cuisenaire [11].

Figura 8: Explorar as fra¸c˜oes com os blocos padr˜ao [6].

O aluno deve perceber que a matem´atica pode ser usada para interagir com o meio que o rodeia e para resolver problemas da vida real. Por seu turno, os

(8)

Figura 9: Explorar as fra¸c˜oes com legos [12, 16].

exemplos pictóricos constituem representa¸cões de materiais concretos que aju-dam os alunos a visualizarem conceitos matemáticos (e.g., um c´ırculo dividido em partes iguais, um retângulo dividido em partes iguais, . . . ). Já no âmbito do abstrato, o trabalho formal com os s´ımbolos permite mostrar aos alunos que existe uma maneira mais rápida e eficaz de representar um determinado conceito (e.g., 1₂, 3₄, . . . ). O significado de cada s´ımbolo deve estar firmemente enraizado em experiências com objetos reais. A passagem do concreto ao abstrato pode ser consideravelmente delicada para a crian¸ca. Trata-se de todo um caminho a ser percorrido de forma faseada, passo a passo.

Como já exemplificamos, as partes que compõem o todo não têm que ser obri-gatoriamente sectores circulares de um c´ırculo. Mas podemos ir mais longe de modo a trabalhar o tema das fra¸cões segundo múltiplas perspetivas. David Sousa [14] apresenta um exemplo que não se baseia nos tradicionais modelos geométricos. A ideia passa por propor uma ca¸ca ao tesouro, que se baseia na descoberta de palavras-chave que conduzem ao tesouro. Por exemplo, supondo que o tesouro est´_{a escondido perto da cadeira do professor, a palavra cadeira} pode ser descoberta ao resolver o seguinte enigma: “Para descobrires a palavra secreta, precisas dos primeiros 2₄ _{de casa, dos primeiros} 3₆ _{de deitar e dos} ´

ultimos 2₈ _{de terceira”. Este exemplo tem a vantagem de também se poder} trabalhar a divisão silábica.

Nesta fase inicial de aprendizagem, duas ideias adicionais podem ser tratadas: compara¸cões simples e o ato de completar o todo. Uma das compara¸cões sim-ples é bastante direta, dizendo respeito a naturezas idênticas. O que é maior

4 7 ou

3

7? Estando ambas as fra¸c˜oes expressas na mesma natureza (s´etimos),

evidentemente que quatro é maior do que três. A compara¸cão simples mais interessante não é tão direta e está expressa na Figura 10.

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Figura 10: Compara¸c˜oes [8].

Neste caso, a natureza é distinta (no exemplo, um quarto e um quinto). E a compara¸cão pode parecer paradoxal a uma crian¸ca, uma vez que 5 é maior do que 4, mas 1

5 ´e menor do que 1

4. Com uma situa¸c˜ao concreta, o conceito pode

ser clarificado: “Tendo dois bolos iguais, um para ser dividido igualmente por quatro amigos e o outro para ser dividido igualmente por cinco amigos, em qual dos grupos se come mais, no primeiro ou no segundo?” Para captar a aten¸cão da crian¸ca para uma determinada tarefa matemática deve-se procurar uma liga¸cão emocional com o tema a explorar. Não só conseguimos captar a sua aten¸cão como também estimulamos a crian¸ca a aplicar a matemática em situa¸cões con-cretas do dia a dia. As abordagens “Hoje vamos estudar fra¸cões.” e “Vamos dividir esta pizza! Preferem 1₄ ou 1₅ da pizza?” são completamente distintas. Segundo David Sousa [14], se um professor não conseguir responder à pergunta “Por que razão precisamos de saber isto?”, de uma maneira que fa¸ca sentido e tenha significado para os seus alunos, então terá que repensar necessariamente aquilo que está a ensinar.

O ato de completar o todo também deve ser incentivado nesta primeira fase. Pense o leitor quantas vezes na vida teve um racioc´ınio do tipo “Já tenho três quartos do pretendido; ainda falta o outro quarto.”. A Figura 11 ilustra esse tipo de pensamento.

(10)

Exerc´ıcios envolvendo sombreados e pinturas podem ser propostos de forma gra-dual. Em rela¸cão a cada um dos três casos da Figura 12, a crian¸ca é convidada a descobrir que fra¸cão do todo corresponde à parte sombreada. Nestes casos, a tarefa já não é de todo evidente. Isso porque já não há uma correspondência direta entre o sombreado e um número de partes iguais que subdividem o todo.

Figura 12: Exerc´ıcios mais sofisticados.

Por exemplo, considerando o caso da esquerda, a chave consiste em perceber que, na coluna do meio, a zona sombreada corresponde a um quadrado, na medida em que dois quadrados são divididos em duas partes iguais. Sendo assim, se usarmos meio quadrado para dividir o retângulo completo em doze partes iguais, o que se tem é 4

12.

3 Representa¸

c˜

oes distintas da mesma quantidade.

Fra¸

c˜

oes equivalentes

Antes de tratar da álgebra relacionada com as fra¸cões (adi¸cão, subtra¸cão, multi-plica¸cão e divisão), é imprescind´ıvel abordar a no¸cão de equivalência de fra¸cões ([18], para mais informa¸cão). A Figura 13 ilustra o conceito.

Figura 13: Fra¸c˜oes equivalentes [9].

A dobragem da tira de papel expõe um facto simples: a mesma por¸cão de fita pode ser representada através de formas diferentes (1₂, 2₄, 4₈, . . .). A multiplici-dade de representa¸cões para uma mesma quantidade baseia-se na mudan¸ca do número de partes iguais em que se subdivide o todo. Observe-se a Figura 14.

(11)

`

A esquerda, um bolo tem cinco fatias: quatro com cobertura de chocolate e uma com cobertura de baunilha. Naturalmente, a fra¸cão de bolo coberto com chocolate é 4₅. À direita, está representado exatamente o mesmo bolo. Nesta se-gunda imagem, todas as fatias foram cortadas, ficando divididas em duas iguais. Passou a haver dez fatias em vez de cinco. Observando a imagem da direita, a fra¸cão de bolo coberto com chocolate é bem descrita por ₁₀8. É claro que a quan-tidade de bolo coberta com chocolate é exatamente a mesma, consequentemente,

4 5 =

8 10.

Figura 14: Fra¸c˜oes equivalentes [2].

Analisando a situa¸c˜ao do ponto de vista alg´ebrico, a passagem de 4 5 para

8 10

obtém-se multiplicando o numerador e o denominador da primeira fra¸cão pelo mesmo valor, neste caso, 2. A multiplica¸cão do denominador por 2 acontece porque passamos a ter o dobro das fatias, ou seja, o número de partes iguais duplica. Por outro lado, a multiplica¸cão do numerador por 2 sucede porque a quantidade de fatias cobertas com chocolate também passa a ser o dobro. Todas as fatias passam a ser mais finas exatamente da mesma maneira, em particular, as de chocolate. Pode ver-se uma ilustra¸cão dinâmica do conceito na Figura 15.

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Nas primeiras aprendizagens sobre fra¸cões, é fundamental trabalhar o tema segundo múltiplas perspetivas. Em particular, é importante diversificar a na-tureza do todo. Se estipularmos que uma moeda de 1 euro é o todo temos o seguinte:

- a moeda de 50 cêntimos é 1₂ euro – são precisas 2 para obter o todo; - a moeda de 20 cêntimos é 1₅ euro – são precisas 5 para obter o todo; - a moeda de 10 cêntimos é 1

10 euro – s˜ao precisas 10 para obter o todo;

- a moeda de 5 cêntimos é ₂₀1 euro – são precisas 20 para obter o todo; - a moeda de 2 cêntimos é ₅₀1 euro – são precisas 50 para obter o todo; - a moeda de 1 cêntimo é 1

100 euro – s˜ao precisas 100 para obter o todo.

A Figura 16 ilustra a equivalência de fra¸cões com recurso ao sistema monetário. Este tipo de exemplo é especialmente interessante, na medida em que uma mesma quantia pode ser organizada através de trocos de maior ou menor valor. Na realidade, é exatamente essa a alma do conceito: uma mesma quantidade pode ser expressa com recurso a submúltiplos da unidade, maiores ou menores.

Figura 16: Fra¸cões equivalentes: uma ilustra¸cão monetária.

A equivalência de fra¸cões corresponde à simples divisão ou multiplica¸cão do nu-merador e do denominador por um mesmo número diferente de zero. Devem ser propostos exerc´ıcios relacionados, tal como se mostra nas Figuras 17 e 18.

Todas as fra¸cões podem ser expressas através de uma representa¸cão irredut´ıvel em que o numerador e o denominador não podem ser divididos por um mesmo número natural diferente de 1 (o numerador e o denominador dizem-se primos entre si ). Exemplos de fra¸cões irredut´ıveis são 1₂, 2₅, 10₂₁, etc. Fra¸cões redut´ıveis como 24₃₆ podem ser trasformadas numa fra¸cão irredut´ıvel num único passo di-vidindo numerador e denominador pelo maior número natural poss´ıvel que o

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Figura 17: Fra¸c˜oes equivalentes: amplia¸c˜ao do denominador [8].

Figura 18: Fra¸c˜oes equivalentes: redu¸c˜ao do denominador [9].

permita (diz-se máximo divisor comum). Como o máximo divisor comum de 24 e 36 é o 12, pode dividir-se o numerador e o denominador de 24

36 por 12,

obtendo-se a fra¸c˜ao irredut´ıvel 2₃.

´

E perfeitamente poss´ıvel tratar a equivalência de fra¸cões antes de abordar a questão das fra¸cões irredut´ıveis, máximo divisor comum de dois números, etc. O cotad´ıssimo método de ensino da matemática inicial utilizado em Singapura, Singapore Math, é um exemplo desta abordagem. Embora tratando a temática

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junto de crian¸cas do terceiro ano de escolaridade (8 anos de idade) através de esquemas e exerc´ıcios como os das Figuras 17 e 18, opta por não aprofundar o assunto da irredutibilidade de fra¸cões na sua globalidade logo nessa fase. No entanto, importa frisar que exerc´ıcios como

2 6 =

? 9

podem e devem ser propostos. Estes casos são mais dif´ıceis, uma vez que não há um factor multiplicativo inteiro que permita passar de 2₆ para 3₉ (não há nenhum natural que multiplicado por 6 resulte em 9). No entanto, 2₆ é igual a 1₃ (÷2) e 1₃ é igual a 3₉ (×3). Esta análise está ao alcance de crian¸cas do terceiro ano de escolaridade.

4 Mesma natureza e mesmo denominador.

Adi¸

c˜

ao e subtra¸

c˜

ao de fra¸

c˜

oes

Imagine o leitor que pergunta a uma crian¸ca de 5/6 anos “Quanto é três gatos mais duas rosas?”. Mesmo que a resposta seja cinco, há claramente um problema de lógica. A pergunta seguinte pode ser “Cinco quê?”. Naturalmente que não são nem cinco gatos nem cinco rosas. Quanto muito, seriam cinco seres vivos, na medida em que tanto os gatos como as rosas são seres vivos. Há uma espécie de lei fundamental nas adi¸cões e nas subtra¸cões que é a necessidade de uma natureza comum para os objetos a contar de modo a que estas opera¸cões tenham lógica e fa¸cam sentido. Considere-se, na Figura 19, um exemplo que pode ser trabalhado ainda no contexto da educa¸cão pré-escolar. É solicitada uma história a uma crian¸ca, para ser usada ao servi¸co da aprendizagem da adi¸cão. Algo do tipo: “Estavam 7 formigas a comer um queijo. Chegaram mais 2 formigas. No final, ficaram 9 formigas a comer o queijo”. Repare-se que os três números da igualdade 7 + 2 = 9, o 7, o 2 e o 9, correspondem a quantidades de formigas. Tudo são formigas, a natureza comum dos objetos neste exemplo é evidente.

Figura 19: Uma adi¸c˜ao simples.

Considere-se, agora, a Figura 20. É solicitada à crian¸ca uma frase que asso-cie a imagem à igualdade 2 + 3 =? (a utiliza¸cão de exerc´ıcios figura+expressão matemática, envolvendo uma figura e uma expressão matemática é uma ima-gem de marca do Singapore Math). Neste exemplo, a crian¸ca tem de

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combi-nar os objetos. Ou seja, é deixada à crian¸ca a tarefa de encontrar uma na-tureza comum para os objetos a contar de modo a que a frase tenha lógica. Neste exemplo, a escolha pode recair sobre o facto de ambos serem frutos: “Temos 2 ma¸cãs e 3 laranjas. Quantos frutos temos no total?”. Debates sobre a natureza comum que os objetos devem ter de modo a que as adi¸cões e sub-tra¸cões fa¸cam sentido são um daqueles pormenores importantes no âmbito das boas práticas didáticas. Isto porque o assunto é a alma da adi¸cão e subtra¸cão de fra¸cões, do famoso “v´ırgula debaixo de v´ırgula”, da manipula¸cão algébrica de expressões com incógnitas, entre outros exemplos. É algo absolutamente basilar para uma boa evolu¸cão do conhecimento matemático.

Figura 20: Combinar diferentes objetos.

Imagine que tem no bolso meio euro juntamente com vinte cêntimos. É prática intuitiva das pessoas pensar em cêntimos: “Tenho setenta cêntimos”. A razão para tal corresponde à necessidade da procura por uma natureza comum: pri-meiro estipula-se uma natureza comum, que estabelece a unidade em que se efetua a adi¸cão e, em seguida, pensa-se na quantia tendo em conta essa unidade. Repare-se que também se podia pensar na quantia como sendo sete décimos de euro. Este pensamento só não acontece na prática porque estamos habituados a pensar nos décimos de euro como sendo moedas de dez cêntimos, ou seja, pensamos num décimo em centésimos. Este pensamento traduz-se no cálculo:

Meio euro + vinte centésimos de euro = 1 2e + 20 100e = 50 100e + 20 100e = 70 100e. A determina¸cão de um denominador comum corresponde muito simplesmente a encontrar uma natureza comum para os termos em causa na adi¸cão ou na subtra¸cão (no exemplo dado foram os centésimos).

A Figura 21 ilustra uma primeira abordagem à adi¸cão de fra¸cões junto de crian¸cas do 4.◦ano de escolaridade. Ainda não há uma sistematiza¸cão quanto ao processo para a determina¸cão do denominador comum, mas sim uma explica¸cão sobre a necessidade dessa prática. O professor deverá dizer frases como “Va-mos colocar tudo em quartos para poder“Va-mos adicionar. Um meio corresponde a quantos quartos?”.

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A Figura 22 constitui um exemplo do mesmo tipo quanto `a subtra¸c˜ao.

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Levanta-se a questão de como determinar o denominador comum de forma ex-pedita. Por exemplo, considere o cálculo 3₈+1₆. Há um mecanismo simples que consiste em considerar uma fra¸cão equivalente a cada parcela da soma, utilizando como factor multiplicativo o denominador da outra parcela. Isso fará aparecer um denominador comum igual ao produto dos denominadores originais (neste caso, 48).

Frequentemente, este método não dá origem ao menor denominador comum poss´ıvel. Uma vez que o m´ınimo múltiplo comum de 8 e 6 é 24, a dita soma pode ser feita com recurso a esse denominador. É claro que 26₄₈ e 13₂₄ são equivalentes.

Tal como no caso da equivalência de fra¸cões, a temática da adi¸cão e subtra¸cão de fra¸cões com denominadores diferentes pode ser tratada junto de crian¸cas a partir do 4.◦ _{ano de escolaridade (9 anos de idade) atrav´}_{es de esquemas, sem}

aprofundar totalmente o assunto relativo ao m´ınimo múltiplo comum de dois números (mais uma vez, o Singapore Math é um exemplo dessa abordagem). No entanto, qualquer que seja o método, a no¸cão de equivalência de fra¸cões deve vir antes das opera¸cões, uma vez que a determina¸cão da natureza comum recorre ao conceito de equivalência.

Sendo esta uma fase de aprendizagem que já não é a inicial, convém referir que há vários modelos relativos a fra¸cões e não apenas os pictóricos cont´ınuos que costumam ser utilizados na fase inicial. Em [4], encontra-se um resumo de uma classifica¸cão desses modelos. Na Figura 23, apresentam-se quatro:

(a) modelo cont´ınuo (o todo é um único retângulo);

(b) modelo discreto (o todo ´e um conjunto de doze laranjas);

(c) modelo linear (caso particular de um modelo cont´ınuo proposto com fre-quência no curr´ıculo português e fortemente defendido por Hung-Hsi Wu, matemático da Universidade da Califórnia, especialista na temática [19]); (d) modelo discreto com componente mista (o todo é um conjunto de seis

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Figura 23: Modelos de representa¸c˜ao das fra¸c˜oes.

Um exemplo dinâmico de uma adi¸cão, esquematizado através de um modelo cont´ınuo (retirado de [15]), é apresentado na Figura 24.

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Figura 24: Adi¸cão de fra¸cões: uma ilustra¸cão dinâmica.

Esta aprendizagem esquemática sobre adi¸cões e subtra¸cões é fundamental para alicer¸car uma boa compreensão. A Figura 25 mostra uma boa atividade reali-zada por um aluno (retirado de [17]).

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5 Fra¸

c˜

ao como multiplicador e multiplicando.

O que ´

e a multiplica¸

c˜

ao de fra¸

c˜

oes?

Na capa de um livro sobre tabuadas da multiplica¸c˜ao, que preferimos deixar sob anonimato, apareceu a interessant´ıssima imagem exposta na Figura 26.

Figura 26: Tudo o que n˜ao deve ser feito.

O interesse do exemplo está no facto de mostrar tudo o que não se deve fazer. Se Jerome Bruner [5], um dos pais do construtivismo, defensor de um esmerado cuidado com a passagem do concreto ao abstrato (abordagem CPA), visse um exemplo destes, soltaria certamente esgares de horror! A imagem, ao utilizar morangos para dar um exemplo para concretizar a igualdade 2 × 2 = 4, vai contra o conceito mais fundamental da multiplica¸cão no sentido aditivo.

Nas aplica¸cões práticas da multiplica¸cão no sentido aditivo, ao contrário do que se passa com as adi¸cões e subtra¸cões, os fatores não têm a mesma natureza: um desempenha o papel de multiplicador e o outro de multiplicando.

As magn´ıficas imagens expostas na Figura 27 constituem um bom exemplo.

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Esta atividade, do tipo figura+expressão matemática, constitui um excelente exemplo do que se deve fazer. Olhando para as abelhas, a crian¸ca tem de en-contrar sentido para a igualdade 4 × 6 = 24. Trata-se de contar as patas: há quatro repeti¸cões (quatro abelhas) de conjuntos de seis patas (cada abelha tem seis patas). No total, há 4 × 6 patas = 24 patas. Observe-se que dos três números que compõem a igualdade (4, 6, 24), apenas o 6 e o 24 são patas. O 4 não é uma quantidade de patas, mas sim o número de repeti¸cões. O 4 tem um papel operador, sendo denominado de multiplicador. Da mesma forma que um explicador ministra a sua explica¸cão ao explicando, que uma máquina replicadora atua sobre o ente replicado e que uma fotocopiadora copia o mate-rial a ser fotocopiado, também o multiplicador indica quantas vezes se repete o multiplicando. O primeiro tem informa¸cão sobre o número de repeti¸cões e o segundo, o seu alvo, constitui o material a ser repetido. Por isso, é completa-mente errado escrever 4 patas × 6 patas = 24 patas. Isto parece um detalhe, mas é absolutamente fundamental para uma boa compreensão do que se segue.

Na Figura 28, apresenta-se um exemplo mediático, que circulou recentemente nas redes sociais. Face ao que se vê na imagem, houve muita contesta¸cão por esse mundo fora, uma vez que a professora queria que o aluno respondesse 3 + 3 + 3 + 3 + 3 e não 5 + 5 + 5. Por esse motivo, puniu a resposta da crian¸ca. A “zanga” atingiu n´ıveis consideráveis e o assunto foi discutido tanto pelo cidadão comum como por especialistas. No entanto, entendemos que as cr´ıticas não foram colocadas de forma certeira. A nosso ver, a questão principal consiste no facto de o exerc´ıcio estar mal elaborado. Do ponto de vista algébrico, é claro que 3 × 5 é igual a 5 × 3 (a contesta¸cão veio naturalmente do facto de a multiplica¸cão ser comutativa). Sendo assim, para cumprir o objetivo de convidar o aluno a diferenciar os papéis de multiplicador e multiplicando, faltou uma coisa fundamental: contextualizar o exerc´ıcio com uma situa¸cão da vida real.

Figura 28: Um exemplo medi´atico.

A Figura 27 constitui um bom exemplo de dois exerc´ıcios bem feitos com o mesmo propósito. Em ambas as al´ıneas, é apresentada uma situa¸cão concreta lado a lado com uma igualdade (envolvendo uma expressão numérica com uma multiplica¸cão). O aluno é convidado a explicar como se relaciona a abstra¸cão com a concretiza¸cão. Em rela¸cão a estes exemplos, há uma clara interpreta¸cão sobre o que pode ser o multiplicador; por exemplo, no caso dos sapos, há 4 patas repetidas 6 vezes e, por esse facto, damos o papel de multiplicador ao 6. Os papéis de multiplicador e multiplicando não são uma questão de lateralidade, como no caso do exemplo mediático. Em 6 × 4, 6 não é multiplicador por estar `

(23)

abstrato, não temos uma forma clara de atribuir o papel de multiplicador a um dos fatores, a não ser por intermédio de uma conven¸cão que se possa estabe-lecer. No entanto, estando perante situa¸cões concretas, esse papel já vem da lógica trazida por essas situa¸cões. É claro que, na l´ıngua portuguesa, dizemos mais vezes “Tenho 3 vezes dois bolos.” do que “Tenho dois bolos 3 vezes.”. Devido a esse facto, há uma tendência para se dizer que o fator da esquerda é o multiplicador. No entanto, a razão lingu´ıstica não é, de todo, o conceito vital. O fundamental é que, nas situa¸cões práticas, há algo que se repete e, quando as traduzimos em linguagem matemática, há uma informa¸cão sobre o número de repeti¸cões traduzida através de um número. A única forma de saber o que se repete e quantas vezes é repetido é partir de situa¸cões da vida real. Numa expressão algébrica abstrata, a questão não se coloca fora da nossa capacidade para definir coisas e estabelecer conven¸cões (que, por sinal, é uma ótima e bem sucedida capacidade humana). Perante a questão “No cálculo 3 × 5, qual é o multiplicador e qual é o multiplicando?”, a boa resposta é “Não sei. Qual é a situa¸cão concreta em que se está a aplicar o cálculo?”. É por isto que a profes-sora não devia ter punido o aluno. A origem do problema esteve, como acontece tantas vezes, numa conce¸cão errada da questão a formular.

Relacionado com o tema dos papéis de multiplicador e multiplicando, está o modelo retangular da multiplica¸cão. Este modelo constitui uma boa ajuda para a compreensão da multiplica¸cão de fra¸cões. Considere-se a Figura 29.

Figura 29: Multiplica¸c˜ao no sentido aditivo: modelo retangular.

Uma das ferramentas que as crian¸cas do 1.◦ ciclo têm de aprender é a possi-bilidade de utiliza¸cão da multiplica¸cão no sentido aditivo para determinar o número de quadradinhos arrumados numa disposi¸cão retangular. Não se trata de uma regra, mas sim de uma aplica¸cão da multiplica¸cão. Há duas abordagens fundamentais, correspondentes a um racioc´ınio por linhas ou por colunas. Em rela¸cão ao primeiro, um poss´ıvel diálogo pode ser o seguinte: “Quantas linhas há?”–“Três”; “Quantos quadradinhos há em cada linha?”–“Cinco”; “Nesse caso, há cinco quadradinhos que se repetem três vezes, 3 × 5 quadradinhos = 15 qua-dradinhos”. Quanto ao segundo: “Quantas colunas há?”–“Cinco”; “Quantos quadradinhos há em cada coluna?”–“Três”; “Nesse caso, há três quadradinhos que se repetem cinco vezes, 5 × 3 quadradinhos = 15 quadradinhos”. No pri-meiro caso, o número de repeti¸cões foi associado ao número de linhas, sendo este o multiplicador. No segundo, o número de repeti¸cões foi associado ao número

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de colunas, sendo este o multiplicador. Como bónus, a situa¸cão ilustra a pro-priedade comutativa da multiplica¸cão.

Estamos, agora, em condi¸cões de explorar a multiplica¸cão envolvendo fra¸cões. Tal como acontece com os números naturais, nas situa¸cões práticas de multi-plica¸cão no sentido aditivo, os fatores desempenham papéis diferentes. Como é de esperar, uma fra¸cão tanto pode desempenhar o papel de multiplicador como de multiplicando. No entanto, há um conceito adicional a ser compreendido.

Enquanto que, com números naturais, o multiplicador assume apenas o papel de replicador (contém a informa¸cão sobre o número de repeti¸cões), com fra¸cões passa a haver um novo papel que consiste em fazer “partes de”. Quando dizemos “a ter¸_{ca parte de ~”, estamos a falar de} 1₃×~; quando dizemos “metade de ~”, estamos a falar de 1₂× ~. Mais, o multiplicador pode conter em si mesmo uma dupla informa¸cão relativa a “repeti¸cões” e a “partes de”. Por exemplo, quando dizemos “duas ter¸_{cas partes de ~”, estamos a falar de} 2

3 × ~ e isso significa

que temos duas repeti¸c˜oes da ter¸_{ca parte de ~. Mais uma vez, o numerador} quantifica e o denominador qualifica.

Não se pode perceber a multiplica¸cão de fra¸cões sem compreender este con-ceito. Na multiplica¸cão não há a exigência de uma natureza comum, pura e simplesmente porque os fatores desempenham papéis diferentes ao servi¸co de uma opera¸cão aritmética que tem um objetivo diferente do da adi¸cão ou sub-tra¸cão. É por isso que não é exigida a determina¸cão de um denominador comum. No caso da multiplica¸cão no sentido aditivo, as melhores metáforas para o mul-tiplicador são “fotocopiadora” e “faca”. A primeira replica e a segunda parte. A mistura das duas constitui a a¸cão de uma fra¸cão como multiplicador. Observe-se novamente a Figura 27: os cálculos 4 × 6 e 6 × 4 aparecem diferentemente nos exemplos das abelhas e dos sapos para mostrar 4 como multiplicador e 6 como multiplicador. No caso das fra¸cões, é exatamente igual. Podemos ter 3 ×1₂ bolo (3 cópias de metade de um bolo) ou 1₂ × 3 bolos (metade de uma quantidade de três bolos). Em ambos os casos, o resultado é três meios de bolo, mas as imagens são diferentes, como é ilustrado na Figura 30.

(25)

Para proporcionar um entendimento conceptual da multiplica¸cão de fra¸cões, aconselhamos a abordagem do Singapore Math que, basicamente, divide o as-sunto em três casos, tratando os dois primeiros no 1.◦ ciclo e o terceiro no 2.◦ciclo. Estes casos podem ser compreendidos a dois n´ıveis (o ideal é alcan¸car ambos): procedimental, que consiste em saber fazer (saber executar) e concep-tual, que consiste em saber profundamente o que se faz (explicar o motivo porque se faz assim). É curioso constatar que, ao n´ıvel procedimental, a multiplica¸cão de fra¸cões é mais fácil do que a adi¸cão e subtra¸cão mas, ao n´ıvel conceptual, é o contrário.

Caso 1: número natural × fração

número natural como multiplicador e fração como multiplicando

Este é claramente o caso mais fácil. Corresponde a situa¸cões como 4×2

3 bolo ou,

por extenso, o “quádruplo de dois ter¸cos de bolo”. Repare o leitor que se a ex-pressão fosse o “quádruplo de dois coelhos” ou o “quádruplo de dois berlindes”, as respostas automáticas seriam “oito coelhos” ou “oito berlindes”. É claro que no caso de o “quádruplo de dois ter¸cos de bolo” a resposta também é natural e ´

e “8 ter¸cos de bolo”. Aliás, outro exemplo do mesmo tipo pode ser analisado do lado esquerdo da Figura 30. A razão de ser o caso mais fácil consiste no facto de o denominador indicar apenas a unidade (ter¸cos de bolo) e o resto da tarefa ser quantitativa, correspondendo simplesmente à multiplica¸cão aditiva de números naturais (4 × 2). É claro que n ×a_b_{~ resulta em} n×a_b _{~, uma vez que se trata de} n × a unidades em que a unidade é a b-´_{esima parte de ~. O que quer que seja ~} (e.g., bolos, coelhos, naves espaciais), basta efetuarn×a_b . É interessant´ıssimo ve-rificar que muitas pessoas adultas transformam um cálculo como 3 ×2₅ em 3₁×2

5.

Isso é um sintoma revelador de que algo já está a correr mal; significa que a pes-soa aprendeu um procedimento e já está a perder a visão conceptual do assunto.

Caso 2: fração × número natural

fração como multiplicador e número natural como multiplicando

Este caso já pede uma análise mais cuidada. Imagine que quatro irmãos recebem de heran¸ca três sacos, cada um com 20 diamantes. Para dividirem igualmente a riqueza entre si, dá jeito operar 3₄ × 20 diamantes. A conta 3

4× 20 ´e a que se

adapta à situa¸cão e pode ser pensada em dois passos: a quarta parte de cada saco corresponde a 5 diamantes. Como há 3 sacos, cada irmão deverá receber 3 × 5 diamantes= 15 diamantes. Este pensamento aponta para o procedimento seguinte:

3

4× 20 diamantes = 3× a quarta parte de vinte diamantes =

= 3 ×20₄ diamantes = 3 × 5 diamantes = 15 diamantes.

Acontece que há uma segunda forma de resolver este problema. Os irmãos podem abrir primeiro os sacos e juntar tudo, ou seja, o total da riqueza é de 3 × 20 diamantes = 60 diamantes. Em seguida, tiram o seu quinhão, ou seja, a ter¸ca parte de 60 diamantes. Este segundo pensamento aponta para o procedi-mento seguinte:

3

4× 20 diamantes = a quarta parte do triplo de vinte diamantes =

= 1₄× 3 × 20 diamantes = 1

(26)

Basicamente, o que estamos a dizer é que tanto faz efetuar 3 ×20₄ como 3×20₄ . Mais uma vez, parece um pequeno pormenor, mas é um detalhe importante, com reflexo na análise das imagens e na compreensão dos exemplos. A Figura 31 mostra um exemplo retirado dos manuais do Singapore Math, ilustrando o pri-meiro método. A Figura 32 ilustra o segundo método. A explora¸cão destes casos é tratada no 4.◦ ano de escolaridade.

Figura 31: Fra¸cão × número natural: primeiro método.

(27)

Caso 3: fração × fração

Para abordar o caso geral, é importante responder primeiro a uma pergunta do género “Quanto é um ter¸co de um quinto de bolo?”. Ou seja, “Como interpretar o cálculo _n1 × 1

m?”. Considere-se a Figura 33. Em cima, vemos 1

5 de bolo, uma

fatia cortada na vertical. Em baixo, vemos o bolo cortado na horizontal em três partes iguais. Naturalmente, o quadradinho vermelho é um ter¸co de um quinto de bolo. Mas que parte é essa? A resposta é simples! Pelo racioc´ınio multiplicativo que vimos anteriormente, associado à Figura 29, esse quadradinho vermelho é uma de 3 × 5 partes iguais que constituem o bolo. Sendo assim, um ter¸co de um quinto de bolo é um quinze avos de bolo, ou seja, 1₃×1

5 = 1 15. Em geral, 1_n× 1 m= 1 n×m.

Figura 33: Um ter¸co de um quinto de bolo.

Compreendido este esquema, o caso geral da multiplica¸cão de fra¸cões pode ser finalmente interpretado. A Figura 34 constitui uma ilustra¸cão dinâmica.

(28)

Figura 34: Calcular 2₅×2

3: uma ilustra¸c˜ao dinˆamica.

Na Figura 35, retirada de um manual do 5.◦ano do Singapore Math, ano onde se trata o caso geral, utiliza-se uma tesoura como met´afora para o papel da fra¸c˜ao como multiplicador.

(29)

6 Medir e repartir.

No¸

c˜

ao de inverso e divis˜

ao de fra¸

c˜

oes

Em [13], no ˆambito de um estudo comparativo sino-americano, Liping Ma colo-cou algumas quest˜oes a professores dos primeiros anos. Uma delas foi a seguinte:

Imagine que está a ensinar a divisão de fraçcões. Para que isto tenha algum significado para as crian¸cas, muitos professores tentam mostrar as aplica¸cões da matemática. Por vezes tentam arranjar situa¸cões da vida real ou histórias-problema para mostrar a aplica¸cão de um conteúdo particular. Qual seria uma boa história ou um bom modelo para 7₄÷1

2?

Esta interessante questão originou um pobre desempenho dos professores ame-ricanos, apontando para uma certa incompreensão sobre as aplica¸cões das ope-ra¸cões. Para melhor compreender o que se passa com a questão, olhemos nova-mente para uma representa¸cão da multiplica¸cão no sentido aditivo (36).

Figura 36: Vasos de flores.

Querendo formular uma questão sobre a multiplica¸cão, é com naturalidade que surge “Tenho 8 flores em cada um dos 4 vasos. Quantas flores tenho no total?”. Trata-se de flores e a questão é traduzida por 4 × 8 flores = ?. Quatro é o multiplicador (número de repeti¸cões) e oito o multiplicando (um grupo de oito flores). A resposta é “32 flores”.

Querendo formular questões sobre a divisão, há duas hipóteses distintas: (a) Pode omitir-se o multiplicando, perguntando sobre ele. Esse é o cenário

da divisão para repartir (divisão por partilha equitativa) e uma questão natural é “Quero repartir igualmente 32 flores por 4 vasos. Quantas flo-res devo colocar em cada vaso?”. Ora, esta questão parte da igualdade 4×? flores = 32 flores e é traduzida pela divisão 32 flores ÷ 4 = ?. A resposta é 8 flores; a natureza, que são as flores, aparece na resposta e a pergunta-chave é “Quanto calha a cada um?”.

(b) Pode omitir-se o multiplicador, perguntando sobre ele. Esse é o cenário da divisão para medir (divisão por agrupamento) e uma questão natural é “Com um total de 32 flores, quero fazer vasos com 8 flores. Quantos vasos consigo fazer?”. A questão parte da igualdade ? × 8 flores = 32 flores e ´

e agora traduzida pela divisão 32 flores ÷ 8 flores = ?. A resposta é 4; a natureza, que são as flores, não aparece na resposta (não faz sentido algum responder 4 flores) e a pergunta-chave é “Quantas vezes cabe?”. Trata-se efetivamente de uma medi¸cão; utilizando 8 flores como unidade, o que se

(30)

está a fazer é medir um total de 32 flores, tendo em conta essa unidade; 32 flores correspondem a 4 unidades. Nesta aplica¸cão concreta, faz sen-tido escrever 32 flores_{8 flores} , indicando que se pretende saber quantas vezes um grupo de 8 flores cabe num grupo de 32 flores. Na medi¸cão, tal como nas adi¸cões e subtra¸cões, a mesma natureza é vital: medimos comprimentos com comprimentos, áreas com áreas, etc. A resposta é um número puro2_.

Repartir Medir

Pretende-se descobrir o multiplicando Pretende-se descobrir o multiplicador O resultado exprime-se na natureza

dos objetos apresentados no problema O resultado é um número puro. (e.g., flores, ma¸cãs, joaninhas, . . . ).

Quest˜ao t´ıpica: “Quanto calha a cada um?” Quest˜ao t´ıpica: “Quantas vezes cabe?”

A situa¸cão de multiplica¸cão no sentido aditivo origina duas situa¸cões de divisão, conforme o objetivo seja a determina¸cão do multiplicando ou do multiplicador. Naturalmente, esta ideia é vital para uma boa compreensão das divisões que envolvem fra¸cões.

Divisão para repartir no contexto das fraç ões: noção de inverso

Estamos habituados a dividir riquezas por muitas pessoas. São comuns pro-blemas como “Cada conjunto de três pessoas recebe 24 euros. Admitindo uma divisão equitativa, quanto recebe cada pessoa?”. No entanto, para as crian¸cas (e mesmo para os adultos!), problemas como “Cada metade de pessoa recebe 24 euros. Quanto recebe cada pessoa?” já trazem mistério e estupefa¸cão. Mas é uma abordagem leg´ıtima; a Figura 37 ilustra a ideia.

Figura 37: Calcular 24 ÷1₂: uma ilustra¸c˜ao dinˆamica.

Uma vez que cada pessoa tem duas metades e cada metade recebe 24 euros, a resposta à questão é 48 euros. O cálculo 24 euros ÷ 1

2 ´e transformado na

mul-2_{Um f´ısico cortaria alegremente a palavra “flores” do numerador com a palavra “flores”}

do denominador, indicando o resultado 4 na sua forma pura. Trata-se de uma mnemónica operatória que se ajusta à ideia de medi¸cão e à pergunta “Quantas vezes cabe?”.

(31)

tiplica¸cão 2 × 24 euros. Isto porque 1₂ cabe 2 vezes numa unidade. É isto o inverso multiplicativo de um número: o número de vezes que esse número cabe numa unidade. O inverso de 1₂ é 2.

´

E fácil explicar que o inverso de 1₂ é 2, o inverso de ₁₀1 é 10 e, assim, sucessiva-mente. Mas como pensar no inverso de uma fra¸cão como 2₃ ou, em geral, _mn? Nesses casos, a explica¸cão tem de ser cuidada e estrutura-se da seguinte forma:

- 2₃ pode ser pensado como a ter¸ca parte de duas unidades. - 2₃ cabe trˆes vezes em duas unidades.

- Logo, 2₃ cabe 3₂ de vezes numa unidade. - O inverso de 2

3 ´e 3 2!

Exatamente da mesma forma, podemos argumentar que o inverso de n m ´e

m n. A

compreensão desta mensagem é muito delicada quando se trata de um aluno do 2.◦ ciclo. Tem de haver uma esmerada representa¸cão da ideia e, mesmo assim, muitos não a perceberão totalmente com essa idade. A Figura 38 é uma obra de arte de esquematiza¸cão deste conceito matemático.

Figura 38: No¸c˜ao de inverso.

Sendo assim, a divisão pode ser simplesmente transformada numa multiplica¸cão através do conceito de inverso.

(32)

Dividir ´e o mesmo que multiplicar pelo inverso. a b ÷ c d = d c × a b = a b × d c

No estudo de Liping Ma, há respostas de professores chineses que são exemplos didáticos de grande qualidade. Eles frisam os conceitos através de frases simples e certeiras. Tal como ligámos as opera¸cões inversas, 32 flores ÷ 4 = ? flores e 4 × ? flores = 32 flores, podemos e devemos fazer o mesmo no caso das fra¸cões: “Pretende-se encontrar um número tal que metade dele seja 7₄, ou seja, dividir por uma fra¸cão é encontrar um número, quando uma parte fra-cionária dele é conhecida.”

“Metade de uma corda de saltar mede 7₄ de metro, qual ´e o comprimento da corda?”

“Um comboio demora uma hora e trˆes quartos a fazer metade de um percurso. Quanto tempo demora o comboio a fazer o percurso completo?” “Pagando 7

4 Yuan para comprar 1

2 de bolo, quanto custa o bolo inteiro?”

Outros professores apontam duas propriedades simples, mas n˜ao evidentes para todas as pessoas. A primeira delas ´e seguinte:

(N ÷ a) ÷ b = (N ÷ b) ÷ a.

Trata-se mais uma vez de uma consequência da propriedade comutativa da multiplica¸cão, ilustrada com o exemplo dos cortes no bolo. Tanto faz fazer primeiro a cortes na vertical e em segundo lugar b cortes na horizontal, como fazer primeiro b cortes na horizontal e em segundo lugar a cortes na vertical. O quadradinho a comer no fim será _ab1 de bolo em ambos os casos. A segunda propriedade a real¸car é a seguinte:

N ÷ (a ÷ b) = (N ÷ a) × b.

Esta propriedade decorre de uma ideia semelhante à exposta relativamente à no¸cão de inverso. Se tivermos 24 ÷ 4, naturalmente que a resposta é 6. No entanto, se tivermos 24 ÷ 4 ter¸cos, uma vez que há três ter¸cos em cada unidade, o resultado é agora 6 × 3. Com estas duas propriedades, podemos apreciar uma notável resposta de um professor chinês [13].

O Prof. Xie foi o primeiro professor que eu conheci que descreveu um método pouco comum de efetuar a divisão por fraçcões sem usar a multiplica¸cão. Disse-lhe que nunca tinha pensado nisso e pedi-lhe que explicasse como funcionava. Ele disse que era fácil:

7 4 ÷ 1 2 = (1) (7 ÷ 4) ÷ (1 ÷ 2) = (2) ((7 ÷ 4) ÷ 1) × 2 = (Segunda propriedade) (3) ((7 ÷ 1) ÷ 4) × 2 = (P rimeira propriedade) (4) (7 ÷ 1) ÷ (4 ÷ 2) = (Segunda propriedade) (5) 7 ÷ 1 4 ÷ 2 (6)

(33)

Notavelmente, o que este professor explicou ´e que se pode efetuar diretamente a divis˜ao: a b ÷ c d= a ÷ c b ÷ d.

Contudo, o professor observou que esta abordagem apenas é indicada nos cálculos em que quer o numerador como o denominador do dividendo são divis´ıveis res-petivamente pelo numerador e pelo denominador do divisor.

Divisão para medir no contexto das fraç ões

A divisão de fra¸cões pode também ser pensada no sentido da medi¸cão. Pensemos no cálculo 5₂÷3

5, concretizando-o numa situa¸c˜ao envolvendo dinheiro. Imagine

que tem sacos com 3 moedas de 20 cêntimos (3₅ de euro) e que quer saber a quantidade de sacos necessária para obter uma quantia correspondente a 5 moedas de 50 cêntimos (5₂ de euro). Na prática estamos a medir; queremos saber quantas vezes 3₅ cabe em 5₂.

Figura 39: Calcular 5₂÷3

5: uma ilustra¸c˜ao dinˆamica.

Se utilizarmos uma mesma natureza, isto é, se encontrarmos um denominador comum (no caso de dinheiro, um troco comum), a compara¸cão é poss´ıvel. E, feito isso, não é preciso pensar nessa natureza – repare-se que as questões “quantos sacos de dois bolos são necessários para ter seis bolos?” ou “quantos sacos de dois berlindes são necessários para ter seis berlindes?” têm a mesma resposta, três. Não interessa a natureza, o que interessa é que seja a mesma. Sendo assim,

5

2 de euro s˜ao 25 moedas de 10 cˆentimos ( 5 2 =

25 10); 3

5 de euro s˜ao 6 moedas de 10 cˆentimos ( 3 5 =

6 10);

25 d´ecimos a dividir por 6 d´ecimos resulta em 25₆;

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Encarando a divisão no sentido da medi¸cão, a determina¸cão do mesmo denomi-nador é natural e isso constitui mais uma forma de explicar a regra operatória:

a b ÷ c d = ad bd ÷ bc bd |{z}=

a mesma natureza ´e irrelevante

ad bc.

Também no sentido da medi¸cão, podemos ter ótimas respostas à questão de Liping Ma:

“Se uma equipa de trabalhadores construir 1

2 km de estrada por dia,

quan-tos dias levar˜ao para construir uma estrada com 7

4 km de comprimento?”

“Comprei 7₄ kg de a¸cúcar. Quero colocar esse a¸cúcar em sacos de 1₂ kg. Quantos sacos são precisos?”

Referˆ

encias

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(35)

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