Problemas de consumo e investimento em mercados financeiros

(1)

Um agente económico pretende decidir de que forma alocar a sua riqueza no que diz respeito ao seu n´ıvel de consumo e ao investimento num mercado financeiro subjacente de forma a maximizar a sua utilidade esperada, derivada do consumo instantâneo ao longo de um dado intervalo de tempo e da sua riqueza no instante final desse intervalo. Assumimos que o mercado financeiro é composto por um activo sem risco e um activo com risco, com a particularidade da evolu¸cão temporal do activo com risco ser dada por uma equa¸cão diferencial estocástica com coeficientes com reversão à média. Este é um problema de controlo óptimo estocástico, que vai ser estudado com recurso a técnicas de programa¸cão dinâmica. O objectivo final deste trabalho é determinar as estratégias de consumo e investimento óptimas e compará-las com as estratégias clássicas do problema de consumo e investimento de Merton.

(2)

An economic agent is faced with the problem of deciding how to allocate her wealth among consumption and investment in an underlying financial market, in order to maximize the expected utility derived from the instantaneous consumption over a given time interval and her wealth at the final horizon. We assume that the financial market under consideration consists of a riskless asset and a risky asset, the latter having the special feature that its temporal evolution is given by a stochastic differential equation with mean reversion coefficients. Dynamic programming tech-niques will be employed to solve this Stochastic Optimal Control problem with the goal of finding the optimal strategies for consumption and investment and compare it with Merton’s optimal strategies.

(3)

Ao meu orientador, Professor Doutor Diogo Pinheiro que disponibilizou o seu precioso tempo para me ajudar.

Aos meus pais que sempre foram e sempre ser˜ao a minha fonte de inspira¸c˜ao.

A todos os amigos e familiares que apoiaram-me, em especial `a minha av´o Maria e aos meus tios Eduardo e Deolinda.

Ao meu colega e amigo Emanuel por acreditar em mim e com quem sempre pude contar. Ao meu irmão e às minhas irmãs que sempre acreditaram em mim.

(4)

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Controlo ´optimo estoc´astico 3

2.1 Programa¸c˜ao Dinˆamica . . . 5

2.1.1 Princ´ıpio do ´optimo de Bellman . . . 8

2.1.2 Equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi-Bellman . . . 13

2.1.3 Teorema de Verifica¸c˜ao . . . 16

3 Consumo e investimento com coeficientes determin´ısticos 19 3.1 Formula¸c˜ao do problema . . . 19

3.2 Estrat´egias ´optimas . . . 21

4 Consumo e investimento com coeficientes difusivos 24 4.1 Formula¸c˜ao do problema . . . 24

4.2 Estrat´egias ´optimas . . . 26

4.3 Solu¸c˜ao num´erica . . . 29

5 Conclus˜ao 32

A Resultados auxiliares 34

(5)

1 Introdu¸

c˜

ao

O propósito deste trabalho é estudar o problema enfrentado por um agente económico na posse de uma determinada riqueza no que diz respeito ao seu uso para o consumo ao longo de um dado intervalo de tempo e investimento num mercado financeiro constitu´ıdo por um activo sem risco e um activo com risco cujo o pre¸co evolui de acordo com uma difusão cujos os coeficientes são eles próprios processos estocásticos descritos por uma difusão com reversão à média. Mais precisamente, o principal objectivo é determinar a quantidade óptima que o agente deve consumir e a propor¸cão óptima da riqueza que deve investir em cada activo deste mercado financeiro em cada instante de tempo de forma a maximizar uma dada utilidade esperada. Assumimos que todo o rendimento do agente provém do investimento realizado, ou seja, o agente económico não dispõe de outras fontes de rendimento.

Com o objectivo de determinar o pre¸co de alguns activos financeiros derivados, Black e Scholes em 1973 consideraram um modelo de mercados financeiros dado por equa¸cões diferenciais estocásticas lineares [BS73]. Um tratamento detalhado pode ser encontrado nas monografias de Bjork [Bjo09] e Hull [Hul97]. A abordagem introduzida por Black e Scholes, onde a volatilidade do pre¸co dos activos financeiros é tomada como sendo constante, tem sido alvo de algumas cr´ıticas. Durante os anos que se seguiram à introdu¸cão do modelo de Black-Scholes, foram propostas várias alternativas com vista a ultrapassar as limita¸cões da proposta inicial. A literatura actual é muito extensa, mas para citar alguns exemplos, vale a pena referir os trabalhos de Merton [Mer76], de Ingersoll [Ing76] e de Hull e White [HW90]. O estudo de modelos alternativos para evolu¸cão de pre¸cos de activos financeiros continua a ser uma área de investiga¸cão activa, conforme se pode ver

(6)

volatilidade estoc´astica e saltos [OFS98, MS11, MFRZ14, MPZ08].

Na seçcão 2 introduzimos a teoria de Controlo Óptimo Estocástico, um ramo recente da Matemática, cujo objectivo é o estudo das trajectórias óptimas relativamente a um dado critério e a um dado sistema dinâmico. O método que utilizamos para resolver problemas de Controlo Óptimo Estocástico com horizonte finito é denominado por Pro-grama¸cão Dinâmica, desenvolvida por Richard Bellman a partir da década de 1950. Bell-man considera uma fun¸cão designada por fun¸cão valor e descrita por rela¸cões recursivas entre problemas de controlo óptimo com diferentes condi¸cões iniciais. Esta abordagem é conhecida actualmente por princ´ıpio do óptimo de Bellman. Sob condi¸cões adequadas, é poss´ıvel provar que a fun¸cão valor é solu¸cão da equa¸cão às derivadas parciais, conhecida por equa¸cão de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Um tratamento completo da teoria pode ser encontrado nas monografias de Yong and Zhou [YZ99] e Pham [Pha09].

Na seçcão 3 serão apresentadas as principais ideias desenvolvidas por Merton nos seus trabalhos pioneiros [Mer69, Mer71], onde introduziu pela primeira vez o uso da teoria do Controlo Óptimo em Finan¸cas, encontrando uma solu¸cão expl´ıcita para o problema de consumo-investimento.

Para dar continuidade à teoria apresentada na Seçcão 3, onde Merton considera a rentabilidade média e a volatilidade dos activos como processos determin´ısticos, na Seçcão 4 consideramos o mesmo mercado financeiro, assumindo agora que o activo com risco evolui ao longo do tempo segundo uma difusão com coeficientes estocásticos. Nesta mesma seçcão apresentamos solu¸cões numéricas para o problema de consumo-investimento referido acima, real¸cando as principais diferen¸cas e semelhan¸cas relativamente ao prob-lema originalmente considerado por Merton. As simula¸cões numéricas foram realizadas usando o software ”Wolfram Mathematica”.

(7)

futuros na sec¸c˜ao 5.

2 Controlo ´

optimo estoc´

astico

Nesta seçcão será apresentado e formalizado o problema de controlo óptimo estocástico. Comecemos por fixar alguma nota¸cão.

A variável t ∈ [0, T ] vai denotar tempo cont´ınuo, x(t) representa a variável de estado do sistema no momento t ∈ [0, T ] e u(t) ∈ U representa a variável controlo do sistema no mesmo momento, onde U é um espa¸co métrico apropriado.

Seja (Ω, F , {Ft}t≥0, P) um espa¸co de probabilidade filtrado que satisfaz as condi¸c˜oes

usuais, isto é, (Ω, F , P) é completo, F0 contém todos os conjuntos de medida P nula

em F e {Ft}t≥0 ´e a filtra¸c˜ao gerada pelo movimento Browniano m-dimensional, W (t),

sendo cont´ınua à direita. A dinâmica do sistema de controlo é determinada pela equa¸cão diferencial estocástica

     dx(t) = b(t, x(t), u(t))dt + σ(t, x(t), u(t))dW (t) x(0) = x0 , (1)

e o funcional objectivo ´e da forma

J (u(·)) = E Z T 0 f (t, x(t), u(t))dt + h(x(T )) , (2)

onde x0 ∈ Rn e o controlo u(·) est´a definido no conjunto

(8)

dinâmica descrita pela equa¸cão diferencial estocástica (1), isto é, encontrar ¯u(·) ∈ U [0, T ] que satisfa¸ca a igualdade

J (¯u(·)) = sup

u(·)∈U

J (u(·)). (3)

Vamos considerar a formaliza¸cão fraca do problema descrito acima. Tal formaliza¸cão permite-nos resolver o problema para uma condi¸cão inicial qualquer e em particular para o caso em que t = 0 e x(0) = x0.

Sejam s ∈ [0, T ) e y ∈ Rn. Consideramos ent˜ao um novo sistema de controlo estoc´astico, determinado por      dx(t) = b(t, x(t), u(t))dt + σ(t, x(t), u(t))dW (t), t ∈ [s T ] x(s) = y (4)

cujo funcional objectivo associado ´e

J (s, y; u(·)) = E Z T s f (t, x(t), u(t))dt + h(x(T )) . (5)

Sejam L1_F(0, T ; R) o conjunto de todos os processos estocásticos em R adaptados à fil-tra¸cão {Ft}t≥0 tais que E{

RT

0 |x(t)|dt} < ∞ e L 1

FT(Ω; R) o conjunto de todos os vectores

aleat´orios F -mensur´aveis tais que E{|x(t)|} < ∞.

Defini¸c˜ao 1 O controlo π = (Ω, F , {Ft}t≥s, P, W (·), u(·)) ´e admiss´ıvel no sentido fraco

se:

(i) (Ω, F , {Ft}t≥s, P) ´e um espa¸co de probabilidade satisfazendo as condi¸c˜oes usuais;

(ii) {W (t)}t≥s ´e um movimento Browniano m-dimensional definido em (Ω, F , P);

(9)

(iv) x(·) é a solu¸cão única da equa¸cão (1) em (Ω, F , {Ft}t≥s, P);

(v) As fun¸c˜oes f (·, x(·), u(·)) e h(x(T )) s˜ao tais que f (·, x(·), u(·)) ∈ L1_F(s, T ; R) e h(x(T )) ∈ L1_F_T(Ω; R).

O conjunto de todos os controlos admiss´ıveis no sentido fraco ´e denotado por Uw ad[s, T ].

Reduzimos então o problema de controlo óptimo estocástico a maximizar o funcional (5) sujeito à dinâmica determinada pela equa¸cão diferencial estocástica (4), sobre todos os controlos ¯u(·) ∈ Uw ad[s, T ], isto é J (s, y; ¯u(·)) = sup u(·)∈Uw ad[s,T ] J (s, y; u(·)) . (6)

Notamos ainda que o problema de controlo óptimo estocástico tem solu¸cão finita se o lado direito da igualdade (6) for finito, sendo a solu¸cão única se existir um único ¯u(·) ∈ U_adw[s, T ] para o qual (6) é satisfeita.

Na seçcão que se segue vamos dedicar-nos ao estudo de um método que permite abordar problemas de controlo óptimo.

2.1 Programa¸

c˜

ao Dinˆ

amica

O Princ´ıpio de Programa¸cão Dinâmica foi desenvolvido por Richard Bellman na década de 1950. A ideia fundamental deste método é considerar uma fam´ılia de problemas de controlo óptimo com condi¸cões iniciais diferentes, estabelecendo rela¸cões recursivas entre esses problemas de forma a obter uma equa¸cão diferencial em derivadas parciais, denom-inada por equa¸cão de Hamilton-Jacobi-Bellman.

(10)

(B) As aplica¸c˜oes b : [0, T ] × Rn× U → Rn_{, σ : [0, T ] × R}n_{× U → R}n×m_{, f : [0, T ] ×}

Rn× U → R e h : Rn _{→ R s˜}_{ao uniformemente cont´ınuas e existe uma constante}

L > 0 tal que para ϕ(t, x, u) = b(t, x, u), σ(t, x, u), f (t, x, u), h(x), as desigualdades,

     |ϕ(t, x, u) − ϕ(t, x0_{, u)| ≤ L|x − x}0_| |ϕ(t, 0, u)| ≤ L , (7)

s˜ao satisfeitas para todo t ∈ [0, T ], x, x0 ∈ Rn _{e u ∈ U .}

Sob as condi¸c˜oes (A) e (B), para todo o (s, y) ∈ [0, T [×Rn e u(·) ∈ Uw

ad[s, T ], a equa¸c˜ao

(4) admite uma única solu¸cão x(·) ≡ x(·; s, y, u(·)) e o funcional objectivo associado está bem definido.

Deste modo, podemos definir a fun¸c˜ao      V (s, y) = sup u(·)∈Uw ad[s,T ] J (s, y; u(·)), V (T, y) = h(y), (8)

para todo (s, y) ∈ [0, T [×Rn, que denominamos por fun¸c˜ao valor associada a (5).

Proposi¸cão 1 Suponhamos que as condi¸cões (A) e (B) são satisfeitas. Então, para todo s, s0 ∈ [0, T ] e y, y0 _{∈ R}n _{a fun¸}_c˜_{ao valor V(s,y) satisfaz as seguintes desigualdades:}

(i) |V (s, y)| ≤ K(1 + |y|);

(11)

Demonstra¸c˜ao : Para demonstrar a primeira desigualdade, fixemos (s, y) ∈ [0, T [×Rn. Para todo o controlo fraco (Ω, F , P, W (·), u(·)) ∈ U_adw[s, T ], temos que

|f (t, x(t), u(t)) − f (t, 0, u(t))| + |f (t, 0, u(t))|dt

+ |h(x(T ) − h(0)| + |h(0))| )

.

Usando a condi¸c˜ao (B), obtemos que

|J(s, y; u(·))| ≤ E Z T s L|x(t)| dt + Z T s L dt + L|x(t)| + L ≤ E Z T s L sup s≤t≤T |x(t)| dt + L(T − s) + L sup s≤t≤T |x(t)| + L .

Pela desigualdade (52) do Teorema 4 (ver Apˆendice A), podemos escrever que

|J(s, y; u(·))| ≤ E Z T s LK(1 + |y|) dt + L(T − s) + LK(1 + |y|) + L = LK(1 + |y|)(T − s) + L(T − s) + LK(1 + |y|) + L = [K(T − s) + T − s + K + 1]L + (T − s + 1)LK|y|. Tome-se C = max{[K(T − s) + T − s + K + 1]L, (T − s + 1)LK}. Ent˜ao obtemos |J(s, y; u(.))| ≤ C(1 + |y|), (9)

(12)

para todo u(·) ∈ U_adw[s, T ]. Tomando o supremo sobre u(·) ∈ U_adw[s, T ], obtemos o resultado pretendido.

Para provar a segunda desigualdade, consideremos 0 ≤ s ≤ s0 ≤ T e y, y0 _{∈ R}n

. Dado um controlo admiss´ıvel fraco (Ω, F , P, W (·), u(·)) ∈ Uw

ad[s, T ], existem traject´orias das

variáveis estado x(·) e x0(·) associadas a (s, y, u(·)) e (s0, y0, u(·)), respectivamente. Então, usando argumentos similares aos da primeira parte desta prova e a desigualdade (53) do Teorema 4 (ver Apêndice A), obtemos

|J(s, y; u(·)) − J(s0, y0; u(.))| ≤ K{|y − y0+ (1 + |y| ∨ |y0|)|s − s0|1/2}.

Para finalizar a demonstra¸c˜ao basta tomar o supremo sobre u(·) ∈ Uw ad[s, T ].

2.1.1 Princ´ıpio do ´optimo de Bellman

O princ´ıpio do óptimo de Bellman dá-nos uma condi¸cão necessária para que um controlo ¯

u(·) seja ´optimo.

Teorema 1 Dadas as condi¸c˜oes (A) e (B), para todo (s, y) ∈ [0, T [×Rn e para todo o s0 tal que 0 ≤ s ≤ s0 ≤ T , temos que

V (s, y) = sup u(·)∈Uw ad[s,T ] E ( Z s0 s

f (t, x(t; s, y, u(t)), u(t))dt + V (s0, x(s0; s, y, u(·))) )

(13)

Demonstra¸c˜ao : Denotemos por ¯V (s, y) o lado direito da igualdade (10). Para todo ε > 0, existe (Ω, F , P, W (·), u(·)) ∈ Uw ad[s, T ] tal que V (s, y) − ε < J (s, y; u(·)) = E Z T s

f (t, x(t; s, y, u(·)), u(t)) dt + h(x(T ; s, y, u(·)))

.

Usando a propriedade de Markov das solu¸c˜oes de (4), temos que

J (s, y; u(·)) = E ( Z s0 s f (t, x(t; s, y, u(·)), u(t)) dt + E Z T s0

f (t, x(t; s0, x(s0), u(·)), u(t))dt + h(x(T ; s0, x(s0), u(·)))|F_ss0

) .

Notando que o segundo termo no lado direito da igualdade acima ´e exactamente J (s0, x(s0; s, y, u(·)); u(·)), obtemos

V (s, y) = E (

Z s0

s

f (t, x(t; s, y, u(·)), u(t)) dt + J (s0, x(s0; s, y, u(·)); u(·)) )

.

Como V (s0, x(s0; s, y, u(·))) ´e o supremo de J (s0, x(s0; s, y, u(·)); u(·)) sobre o conjunto Uw ad[s, T ], temos a desigualdade V (s, y) ≤ E ( Z s0 s

f (t, x(t; s, y, u(·)), u(t)) dt + V (s0, x(s0; s, y, u(·))) )

(14)

Para provar a desigualdade rec´ıproca, notemos que usando a Proposi¸c˜ao 1 e a sua prova, para todo ε > 0, existe δ = δ(ε) tal que |y − y0| < δ e

|J(s0, y; u(·)) − J (s0, y0; u(·))| + |V (s0, y) − V (s0, y0)| ≤ ε (11)

para todo u(·) ∈ Uw[s0, T ].

Seja {Dj}j≥1 uma parti¸c˜ao de Borel de Rn, isto ´e, Dj ∈ B(Rn), ∪j≥1 Dj = Rn, Di ∩

Dj = ∅ para todo i 6= j e diam(Dj) < δ. Escolhendo xj ∈ Dj, para cada j existe

(Ωj, Fj, Pj, Wj(·), uj(·))) ∈ Uadw[s

0_{, T ], tal que}

J (s0, xj; uj(·)) ≥ V (s0, xj) − ε. (12)

Consequentemente, para todo x ∈ Dj, combinando as desigualdades (11) e (12), obtemos

que

J (s0, x; uj(·)) ≥ J (s0, xj, uj(·)) − ε ≥ V (s0, xj) − 2ε ≥ V (s0, x) − 3ε (13)

Denotemos por C([0, T ]; Rm) o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas ϕ : [0, T ] → Rm. Sejam                  Wm[0, T ] = C([0, T ]; Rm), W_tm[0, T ] = {ψ(· ∧ t)|ψ(·) ∈ Wm[0, T ]}, Bt(Wm[0, T ]) = σ(B(Wtm[0, T ])), Bt+(Wm[0, T ]) = ∩s>t(Bs(Wm[0, T ])

e Am_T(U ) o conjunto de todos os processos estocásticos η : [0, T ] × Wm[0, T ] → U progres-sivamente mensuráveis relativamente à filtra¸cão Bt+(Wm[0, T ])_t≥0.

(15)

existe uma fun¸c˜ao ψj ∈ AmT(U ) tal que

uj(t, ω) = ψj(t, Wj(· ∧ t, ω)), Pj − q.c. ω ∈ Ωj,

para todo t ∈ [s0, T ].

Seja (Ω, F , P, W (·), u(·)) ∈ Uw[s, T ]. Denotemos o estado da trajectória do problema de controlo óptimo estocástico por x(·) ≡ x(·; s, y, u(·)) e consideremos assim um novo controlo ˜u(·) definido por

˜ u(t, ω) =      u(t, ω) se t ∈ [s s0[; ψj(t, W (· ∧ t, ω) − W (s0, ω)), se t ∈ [s0, T ] e x(t, ω) ∈ Dj

Conclu´ımos ent˜ao que (Ω, F , P, W (·), ˜u(·)) ∈ Uw_{[s, T ] e obtemos que}

V (s, y) ≥ J (s, y; ˜u(·)) = E

Z T s

f (t, x(t; s, y, ˜u(·)), ˜u(t)) dt + h(x(T ; s, y, ˜u(·)))

.

Usando a propriedade de Markov das solu¸c˜oes de (4), temos que

V (s, y) = E ( Z s0 s f (t, x(t; s, y, u(·)), u(t)) dt + E Z T s0

f (t, x(t; s0, x(s0), u(·)), ˜u(t))dt + h(x(T ; s0, x(s0), ˜u(·)))|F_ss0

)

= E (

Z s0

s

f (t, x(t; s, y, u(·)), u(t)) dt + J (s0, x(s0; s, y, u(·)); ˜u(·)) )

(16)

Tendo em conta a desigualdade (13), obtemos

V (s, y) ≥ E (

Z s0

s

f (t, x(t; s, y, u(·)), u(t)) dt + V (s0, x(s0; s, y, u(·))) − 3ε )

.

Para concluir a prova do teorema, basta tomar o supremo sobre u(·) ∈ Uw

ad[s, T ].

Teorema 2 Suponhamos que as condi¸cões (A) e (B) são satisfeitas. Se (¯x(·), ¯u(·)) é um par óptimo para o problema de controlo óptimo estocástico, então

V (t, ¯x(t)) = E Z T t f (r, ¯x(r), ¯u(r))dr + h(¯x(T ))|F_ts , P − q.c. (14) para todo t ∈ [s, T ].

Demonstra¸cão : De modo similar à demonstra¸cão anterior, temos que

V (s, y) = J (s, y; ¯u(·)) = E Z t s f (r, ¯x(r), ¯u(r)) dr + E Z T t f (r, ¯x(r), ¯u(r)) dr + h(¯x(T ))|F_ts = E Z t s f (r, ¯x(r), ¯u(r)) dr + E [J (t, ¯x(t); ¯u(.))] ≤ E Z t s f (r, ¯x(r), ¯u(r)) dr + E [V (t, ¯x(t))] .

Usando o resultado do teorema anterior, vem que

E Z t s f (r, ¯x(r), ¯u(r)) dr + E [V (t, ¯x(t))] ≤ V (s, y). (15)

(17)

Em particular, notamos que

E {J (t, ¯x(t); ¯u(.))} = E {V (t, ¯x(t))} .

Por defini¸c˜ao da fun¸c˜ao valor, sabemos que

J (t, ¯x(t); ¯u(·)) ≤ V (t, ¯x(t)). (16)

Combinando as equa¸c˜oes (15) e (16), obtemos o resultado pretendido.

2.1.2 Equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi-Bellman

Tendo em conta a complexidade da rela¸cão recursiva (10), a equa¸cão de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) surge como uma forma alternativa de caracterizar as solu¸cões do problema de controlo óptimo. O objectivo principal desta seçcão é encontrar uma equa¸cão em derivadas parciais que descreva implicitamente a fun¸cão valor.

Seja Sn _{o conjunto de todas as matrizes sim´}_{etricas n × n e C}1,2_{([0, T ] × R}n

, R) o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas v : [0, T ] × Rn→ R tais que vt, vxe vxx s˜ao cont´ınuas para

todo (t, x) ∈ [0, T ] × Rn.

Proposi¸cão 2 Suponhamos que as condi¸cões (A) e (B) são satisfeitas e que a fun¸cão valor é tal que V ∈ C1,2_{([0, T ]×R}n_{). Ent˜}_{ao V ´}_{e solu¸}_c˜_{ao do problema de valor na fronteira}

     vt+ supu∈UG(t, x, u, P, B) = 0, (t, x) ∈ [0, T [×R n_, v(T, x) = h(x), (17)

(18)

onde

G(t, x, u, P, B) = f (t, x, u) + hP, b(t, x, u)i +1

2tr(σ(t, x, u)

T_{Bσ(t, x, u)),} ₍₁₈₎

para todo o (t, x, u, P, B) ∈ [0, T ] × Rn× U × Rn_{× S}n_.

A fun¸c˜ao definida em (18) ´e usualmente designada por Hamiltoniano generalizado.

Demonstra¸cão : Fixe-se (s, y) ∈ [0, T [×Rne u ∈ U . Seja x(·) a trajectória da variável estado correspondente ao controlo u(·) ∈ Uw_{[s, T ] definido por u(t) ≡ u. Pela equa¸c˜}_ao

(10) sabemos que V (s, y) ≥ E ( Z s0 s f (t, x(t), u(t))dt + V (s0, x(s0)) ) , ou seja 0 ≥ E ( Z s0 s f (t, x(t), u(t))dt + V (s0, x(s0)) − V (s, y) ) .

Dividindo ambos os membros da desigualdade anterior por (s0− s), temos

1 s0_{− s}E ( Z s0 s f (t, x(t), u), u(t))dt + V (s0, x(s0)) − V (s, y) ) ≤ 0, ou seja E {V (s0, x(s0) − V (s, y)} s0_{− s} + 1 s0 _{− s}E ( Z s0 s f (t, x(t), u(t))dt ) ≤ 0.

(19)

Usando a formula de Itˆo, obtemos que para todo o s0 ∈ [s, T ], temos V (s0, x(s0)) − V (s, y) = Z s0 s {Vt(r, x(r)) + hVx(r, x(r)), b(r)i + 1 2trσ(r) T_V xx(r, x(r))σ(r)}dr + Z s0 s hVx(r, x(r)), σ(r)dW ti.

Combinando as duas identidades anteriores e introduzindo o Hamiltoniano generalizado, obtemos 1 s0_{− s}E ( Z s0 s {Vt(r, x(r)) + G(r, x(r), u, Vx(r, x(r)), Vxx(r, x(r))) + f (t, x(t), u(t))} dr ) ≤ 0.

Fazendo s0 ↓ s, obtemos que

Vt(s, x(s)) + G(s, x(s), u, Vx(s, x(s)), Vxx(s, x(s))) = 0

para todo u ∈ U . Tomando o supremo sobre u ∈ U , segue que

Vt(s, x(s)) + sup u∈U

G(s, x(s), u, Vx(s, x(s)), Vxx(s, x(s))) ≤ 0. (19)

Por outro lado, sejam ε > 0 e 0 ≤ s ≤ s0 ≤ T com s0 _{− s > 0 suficientemente pequeno.}

Existe um controlo u(·) ≡ us0_,ε(·) ∈ Uw[s, T ] tal que

V (s, y) + ε(s0− s) ≥ E ( Z s0 s f (t, x(t), u(t))dt + V (s0, x(s0)) ) .

(20)

Simplificando a desigualdade anterior, obtemos ε ≥ E {V (s 0_{, x(s}0_{)) − V (s, y)}} s0_{− s} − 1 s0_{− s}E Z s0 s f (t, x(t), u(t))dt.

Usando novamente a formula de Itˆo, conclu´ımos que

ε = 1 s0_{− s}E Z s0 s {Vt(t, x(t)) + G(t, x(t), u, Vx(t, x(t)), Vxx(t, x(t)))}dt ≤ 1 s0_{− s}E Z s0 s {Vt(t, x(t)) + sup u∈U G(t, x(t), u, Vx(t, x(t)), Vxx(t, x(t)))}dt.

Tendo em conta a continuidade uniforme das fun¸c˜oes b, σ e f da condi¸c˜ao (B) e tomando o limite s ↓ s0 obtemos o seguinte resultado

Vt(t, x(t)) + sup u∈U

G(t, x(t), u, Vx(t, x(t)), Vxx(t, x(t))) ≥ ε. (20)

Combinando as desigualdades (19) e (20), conclu´ımos a demonstra¸c˜ao do Teorema.

2.1.3 Teorema de Verifica¸c˜ao

Para resolver um problema de controlo óptimo é necessário determinar o controlo óptimo e o respectivo estado da trajectória. O objectivo desta seçcão é mostrar que um par (x(·), u(·)) é óptimo se e só se é uma solu¸cão da equa¸cão de Hamilton-Jocobi-Bellman . Teorema 3 (Teorema da Verifica¸cão) Suponhamos que as hipóteses (A) e (B) são satisfeitas. Se V ∈ C1,2([0, T ] × Rn) é solu¸cão da equa¸cão de HJB, então

V (s, y) ≥ J (s, y; u(·)), (21)

para todo u(·) ∈ Uw

ad[s, T ] e (s, y) ∈ [0, T ] × R n

(21)

(¯x(·), ¯u(·)) é óptimo para o problema de controlo óptimo estocástico se e só se

Vt(t, ¯x(t)) ≡ max

u∈U G(t, ¯x(t), u, Vx(t, ¯x(t)), Vxx(t, ¯x(t)))

= G(t, ¯x(t), ¯u(t), Vx(t, ¯x(t)), Vxx(t, ¯x(t))) (22)

t ∈ [s, T ], P − q.c.

Demonstra¸cão : Para todo u(·) ∈ U_adw[s, T ] com a correspondente trajectória da variável de estado x(·), aplicando a fórmula de Itô à fun¸cão V (t, x(t)), obtemos

V (T, x(T )) = V (s, y) + Z T s {Vt(t, x(t)) + hVx(t, x(t)), b(t, x(t), u(t))i + 1 2tr(σ(t, x(t), u(t)) T_V xx(t, x(t))σ(t, x(t), u(t)))} dt + Z T s Vx(t, x(t))σ(t, x(t), u(t)) dWt.

Aplicando o valor esperado em ambos os membros da igualdade acima e notando que o valor esperado do integral estoc´astico ´e nulo, temos

V (s, y) = −E Z T s Vt(t, x(t)) + f (t, x(t), u(t)) + hVx(t, x(t)), b(t, x(t), u(t))i + 1 2tr(σ(t, x(t), u(t)) T_V xx(t, x(t))σ(t, x(t), u(t))) dt + E Z T s f (t, x(t), u(t))d + V (T, x(T )) .

(22)

Usando a condi¸cão terminal em (8), a defini¸cão do funcional J (s, y; u(·)) em (5) e a defini¸cão do Hamiltoniano generalizado dada na Proposi¸cão 2, obtemos

V (s, y) = J (t, y; u(·)) − E Z T s {Vt(t, x(t)) + G(t, x(t), u(t), vx(t, x(t)), vxx(t, x(t)))dt .

Tomando o supremo sobre todo u ∈ U , obtemos a seguinte desigualdade

V (s, y) ≥ J (t, y, u(·)) − E Z T s Vt(t, x(t)) + sup u∈U G(t, x(t), u, Vx(t, x(t)), Vxx(t, x(t))) dt .

Pela equa¸c˜ao de HJB, sabemos que

Vt(t, x(t)) + sup u∈U

G(t, x(t), u(t), Vx(t, x(t)), Vxx(t, x(t))) = 0,

donde segue o resultado pretendido, V (s, y) ≥ J (t, y, u(·)).

Para provar a segunda parte do teorema, consideramos o par ´optimo (¯x(·), ¯u(·)) e obser-vamos que V (s, y) = J (s, y; ¯u(·)) − E Z T s Vt(t, ¯x(t)) + G(t, ¯x(t), ¯u(t), Vx(t, ¯x(t)), Vxx(t, ¯x(t)))dt .

Uma vez que pela equa¸c˜ao HJB temos

Vt(t, ¯x(t)) + G(t, ¯x(t), u(t), Vx(t, ¯x(t)), Vxx(t, ¯x(t))) ≤ 0,

(23)

3 Consumo e investimento com coeficientes

deter-min´ısticos

Nesta seçcão vamos apresentar as principais ideias introduzidas por Merton para a análise de um problema de consumo-investimento em tempo cont´ınuo com horizonte finito.

3.1 Formula¸

c˜

ao do problema

Consideremos um modelo de mercado financeiro com dois activos, cujo valor evolui de acordo com as seguintes equa¸c˜oes diferenciais:

     dB(t) = r(t)B(t)dt dS(t) = µ(t)S(t)dt + σ(t)S(t)dW (t) , (23)

onde B(t) representa o valor do activo sem risco, S(t) o valor do activo com risco, W (t) ´

e um movimento Browniano unidimensional, r(t) representa a taxa de juro sem risco e µ(t) e σ(t) representam, respectivamente, o retorno m´edio e a volatilidade do activo com risco.

Seja X(t) a riqueza de um agente económico no instante de tempo t ≥ 0 e suponhamos que esse agente adopta uma estratégia auto-financiada para o consumo-investimento, isto é, toda a riqueza gerada por tal estratégia é proveniente da varia¸cão nos pre¸cos dos activos. Dito de outra forma, a riqueza do agente não depende de qualquer fonte de rendimento exogéna. Neste caso, a dinâmica da riqueza do agente é determinada pela seguinte equa¸cão diferencial estocástica

  dX(t) = X(t)(π(t)µ(t) + (1 − π(t))r(t)) − c(t) dt + X(t)π(t)σ(t)dW (t)

(24)

onde x0 representa a riqueza inicial do agente e c(t) e π(t) s˜ao as vari´aveis de controlo.

O consumo instantâneo c(t) é um processo progressivamente mensurável, adaptado à filtra¸cão {Ft}0≤t≤T, estritamente positivo e tal que para um horizonte T > 0, temos que

a seguinte condi¸c˜ao ´e satisfeita:

Z T

0

c(t) dt < ∞ q.c..

O processo π(t) representa a propor¸cão de riqueza investida no activo com risco S(t) no instante t ∈ [0, T ]. Assumimos que π(t) é um processo progressivamente mensurável, adaptado à filtra¸cão {Ft}0≤t≤T e tal que para um horizonte T > 0 a seguinte condi¸cão é

satisfeita:

Z T

0

|π(t)|2_{dt < ∞} _q.c..

Note-se que em cada instante de tempo t ∈ [0, T ], o agente investe 1 − π(t) da sua riqueza no activo sem risco B(t).

O problema do agente ´e ent˜ao maximizar a utilidade derivada do n´ıvel de consumo e da riqueza final. Consideramos o funcional objectivo

J (x0; c(·), π(·)) = E Z T 0 U (t, c(t))dt + ψ(T, X(T )) , (25)

onde U (t, c(t)) representa a fun¸cão de utilidade derivada do consumo instantâneo c(t) no instante t e ψ(T, X(T )) é a fun¸cão de utilidade associada à riqueza final. Assumimos que as fun¸cões de utilidade supracitadas são estritamente crescentes e côncavas relativamente `

(25)

3.2 Estrat´

egias ´

optimas

Vamos utilizar técnicas de programa¸cão dinâmica para resolver o problema descrito acima. Para tal, introduzimos o seguinte funcional

J (s, y; c(·), π(·)) = E Z T s U (t, c(t))dt + ψ(T, X(T )) . (26)

A fun¸cão valor que lhe está associada é definida como

V (s, y) = sup c(t),π(t) ∈ Uw ad[s,T ] E Z T s U (t, c(t))dt + ψ(T, X(T )) , (27)

onde s > 0 e y ∈ R+, e o Hamiltoniano correspondente ´e dado por

H(t, x; c, π, P, B) = U (t, c) + (((µ − r)π + r)x − c)P +1 2x

2_π2_σ2_B ₍₂₈₎

Assim sendo, a equa¸c˜ao de HJB associada a (24) e (25) ´e dada por      Vt+ supc≥0,π∈RH(t, x; c, π, Vx, Vxx) = 0 V (T, x) = ψ(T, x) (29)

Calculando as condi¸c˜oes de primeira ordem para o Hamiltoniano (28), obtemos      Uc(t, c∗) − Vx = 0 (µ − r)xVx+ π∗σ2x2Vxx = 0. (30)

Uma vez que Hcπ = Hπc = 0 e que Hcc = Ucc < 0 (pela concavidade estrita da fun¸c˜ao

(26)

Hamiltoniano generalizado (28).

Tendo em conta a complexidade da equa¸cão em derivadas parciais não linear (29) é, em geral, complicado encontrar uma solu¸cão expl´ıcita. Contudo, se as fun¸cões de utilidade forem do tipo CRRA (Constant Relative Risk Aversion), é poss´ıvel obter uma solu¸cão expl´ıcita para (29). Em particular, para o caso em que

U (t, c) = e−ρtc

γ

γ e ψ(T, x) = e

−ρTxγ

γ ,

onde γ < 1 e γ 6= 0, usando (30) obtemos que

c∗(t, x) = V 1 γ−1 x e ρt γ−1 π∗(t, x) = (r−µ)Vx Xσ2_V xx . (31)

Substituindo c∗ e π∗ na equa¸c˜ao de HJB (29), obtemos      Vt+ (1−γ_γ )e ρt γ−1_V γ γ−1 x − 1₂(r−µ) 2_V2 x σ2_V xx + rxVx = 0 V (T, x) = e−ρT x_γγ . (32)

Para resolver a equa¸c˜ao em derivadas parciais (32), tomamos como ponto de partida uma classe de fun¸c˜oes da forma

V (t, x) = h(t)x

γ

γ (33)

e substituindo (33) em (32), obtemos a seguinte equa¸c˜ao diferencial para a fun¸c˜ao h(t):

     ˙h(t) = (γ − 1)eγ−1ρt h(t) γ γ−1 − γ h r − 1₂_σ(r−µ)2_(γ−1)2 i h(t) h(T ) = e−ρT . (34)

(27)

A solu¸cão expl´ıcita da equa¸cão (34) é da forma h(t) = e−ρT +P (t−T )− ρ − P γ − 1 1−γ (e−ρT +P (t−T )+ e−ρt), (35) onde P = γ r − (r − µ) 2 2σ2_{(γ − 1)}

Combinando (31), (33) e (35) obtemos que as estratégias óptimas de consumo e o inves-timento são: c∗(t, x) = h(t)γ−11 _e ρt γ−1_x π∗(t, x) = _σ(µ−r)2_(1−γ) . (36)

Dada a representa¸cão para c∗ obtida acima, conclu´ımos que o n´ıvel de consumo é direc-tamente proporcional à riqueza do agente. Por outro lado, notamos que π∗_x = 0 e π_t∗ = 0, isto é, o investimento não depende nem da riqueza do agente, nem do tempo. Tendo em conta a estratégia de investimento óptimo determinada acima, podemos concluir que, se 0 < µ − r < σ2(1 − γ), então o retorno médio do activo com risco supera a taxa de juro bancária sem risco. Quando tais condi¸cões são verificadas, o agente tende a investir mais no activo com risco S(t) do que no activo sem risco, assumindo posi¸cões longas em ambos os activos. No caso em que 0 < σ2_{(1 − γ) < µ − r, a estrat´}_{egia ´}_{optima corresponde a}

assumir uma posi¸cão curta no activo sem risco para investir um valor maior no activo com risco. Finalmente, no caso em que µ − r < 0, o agente económico assume uma posi¸cão curta no activo com risco, isto é, a estratégia óptima é ”vender a descoberto” e investir toda a riqueza resultante dessa opera¸cão no activo sem risco.

(28)

4 Consumo e investimento com coeficientes difusivos

Nesta seçcão vamos considerar o problema enfrentado por um agente económico, dotado de uma certa quantidade de riqueza inicial, cujo objectivo é determinar estratégias óptimas, no que diz respeito ao investimento num dado mercado financeiro e ao seu n´ıvel de con-sumo, de modo a maximizar uma dada utilidade esperada. A principal diferen¸ca entre o problema tratado nesta seçcão e o problema discutido na seçcão anterior é o facto do pre¸co do activo com risco seguir uma difusão com coeficientes com reversão à média.

4.1 Formula¸

c˜

ao do problema

Supomos que o horizonte de planeamento é finito e que o mercado financeiro é constitu´ıdo por um activo sem risco B(t) e um activo com risco S(t), com dinâmicas de pre¸cos dadas por      dB(t) = r(t)B(t)dt dS(t) = µ(t)S(t)dt + σ(t)S(t)dWs_(t) _, (37)

onde Ws(t) ´e um movimento Browniano standard unidimensional, r(t) representa a taxa de juro sem risco e µ(t) e σ(t) representam o retorno m´edio e a volatilidade do activo com risco, respectivamente.

Assumimos que a taxa de juro sem risco é um processo determin´ıstico, enquanto que o retorno médio e a volatilidade do activo com risco são processos estocásticos com as

(29)

seguintes dinˆamicas:            dµ(t) = (¯µ − µ(t))dt + δµdWµ(t) dσ(t) = (¯σ − σ(t))σ(t)dt + δσ_σ(t)dWσ_(t) µ(0) = µ0 σ(0) = σ0 , (38)

onde Wµ(t) e Wσ(t) s˜ao movimentos Brownianos unidimensionais standard e indepen-dentes, e ¯µ e ¯σ s˜ao constantes.

Seja X(t) a riqueza do agente económico no momento t ∈ [0, T ]. Como na seçcão anterior, podemos observar que a riqueza do agente é determinada por

     dX(t) = X(t)(π(t)µ(t) + (1 − π(t))r(t)) − c(t) dt + X(t)π(t)σ(t)dWs_(t) X(0) = x0, (39)

onde as quantidades µ(t) e σ(t) satisfazem as equa¸c˜oes (38) e X(0) = x0 representa a

riqueza inicial do agente. Consideremos as variáveis de controlo, π(t) e c(t), conforme definidas na Seçcão 3.

O problema do agente é então maximizar o valor da sua utilidade esperada sobre as variáveis de controlo, isto é, maximizar o funcional objectivo

J (x0, µ0, σ0; c(·), π(·)) = E Z T 0 U (t, c(t))dt + ψ(T, X(T )) , (40)

onde U (t, c(t)) representa a fun¸cão de utilidade derivada do consumo instantâneo c(t) no instante t e ψ(T, X(T )) é a fun¸cão de utilidade associada à riqueza final.

(30)

4.2 Estrat´

egias ´

optimas

Com o objectivo de aprofundar o estudo do problema descrito acima, utilizamos nova-mente técnicas de programa¸cão dinâmica. Para prosseguir com a análise, introduzimos o seguinte funcional J (s, y, µs, σs; c(·), π(·)) = E Z T s U (t, c(t))dt + ψ(T, X(T )) (41)

A fun¸cão valor que lhe está associada é definida por

V (s, y, µs, σs) = sup c(·),π(·) ∈ Uw_{[s,T ]}

J (s, y, µs, σs; c(·), π(·)), (42)

onde y ∈ R+, µs, σs∈ R. O Hamiltoniano associado a este problema de controlo ´optimo

´ e dado por H(t, x, µ, σ, c, π, DV, D2_{V ) = U (t, c) + [(r + π(µ − r))x − c]V} x− (µ − ¯µ)Vµ −(σ − ¯σ)σVσ+ 1₂(πσx, δµ, δσσ)D2V (πσx, δµ, δσσ)T (43)

e a equa¸c˜ao de HJB associada a (39) e (40) ´e dada por      Vt+ supc,π{H(t, x, µ, σ, c, π, DV, D2V ) = 0 V (T, x) = ψ(T, x), (44)

onde DV representa o gradiente de V relativamente `as vari´aveis de estado (x, µ, σ) e D2_V

´

e a correspondente matriz Hessiana.

(31)

a π, obtemos      Uc(t, c∗) − Vx = 0 (µ − r)xVx+ π∗σ2x2Vxx+ σxδµVµ,x+ δσσ2xVxσ = 0 . (45)

Uma vez que Hcπ = Hπc = 0, Hcc = Ucc < 0 (pela concavidade estrita da fun¸c˜ao de

utili-dade U ) e Hππ = xσ2Vxx < 0 (devido ao facto da fun¸c˜ao valor ser estritamente cˆoncava),

obtemos que uma solu¸cão de (45), quando existe, é de facto um máximo do Hamiltoniano generalizado (43). Consideremos agora a mesma fam´ılia de fun¸cões utilidade usada na seçcão anterior, isto é, utilidades com coeficientes de aversão ao risco constantes:

U (t, c) = e−ρtc γ γ e ψ(T, x) = e −ρTxγ γ , onde γ < 1 e γ 6= 0.

Resolvendo (45) em ordem `as quantidades c∗ e π∗, obtemos c∗(t, x, µ, σ) = V 1 γ−1 x e ρt γ−1 π∗(t, x, µ, σ) = (r−µ)Vx xσ2_V xx − δµ_V µx σxVxx − δσ_V σx xVxx (46)

Substituindo c∗ e π∗ na equa¸c˜ao de HJB (44), obtemos                    Vt+ (1_γ − 1)e ρt γ−1V γ γ−1 x − 1₂ (r−µ)2_V2 x σ2_V xx + (δµ₎2_V2 xµ Vxx + (δσ₎2_σ2_V2 xσ Vxx + rVxx −δµδσσVxµVxσ Vxx + (¯µ − µ)Vµ+ (¯σ − σ)σVσ+ 1 2(δ µ₎2_V µµ +(δσ₎2_σ2_V σσ +(r−µ)V_σV_xxxδµVxµ+ δσσVxσ + σδµδσVµσ V (T, x, µ, σ) = e−ρT x_γγ . (47)

(32)

De forma a tentar simplificar a equa¸c˜ao de HJB (47), consideramos fun¸c˜oes valor da forma

V (t, x, µ, σ) = h(t, µ, σ)x

γ

γ . (48)

Substituindo a fun¸cão (48) em (47), obtemos a seguinte equa¸cão às derivadas parciais para a fun¸cão h                  ht+ (1 − γ)e ρt γ−1_h γ γ−1 ₊ γ(µ−r) 2 2σ2_(1−γ) + γr h + γ 2(1−γ)(δ µ₎2_h2 µ+ (δσ)2σ2h2σ +2σδµ_δσ_h µhσ h−1+ (¯µ − µ)hµ+ (¯σ − σ)σhσ+ δµδσσhµσ +γ(µ−r)_σ(1−γ)σδσ_h σ+ δµhµ + 1₂(δσ)2σ2hσσ+ (δµ)2hµµ = 0 h(T, µ, σ) = e−ρT . (49)

Além do mais, substituindo (48) em (46), obtemos que as estratégias óptimas de consumo e investimento se reduzem a c∗ = hγ−11 _e ρt γ−1_x π∗ = _σ(µ−r)2_(1−γ) + δµ_h µ σ(1−γ)h(t) −1 +δσhσ 1−γh(t) −1 (50)

Comparando (50) com as estratégias óptimas (36) obtidas para o caso do mercado de coeficientes constantes, notamos que o consumo óptimo tem uma forma semelhante nos dois casos. No que diz respeito ao investimento óptimo, este aparece acrescido de dois novos termos, δµhµ

σ(1−γ)h

−1 _e δσhσ

1−γh

−1_{, que representam, respectivamente, o contributo da}

incerteza relativamente à rentabilidade média e à volatilidade do activo com risco, uma vez que estes agora são processos estocásticos em vez de quantidades determin´ısticas, ao contrário do caso apresentado na Seçcão 3.

Tomando em considera¸cão a equa¸cão em derivadas parciais (49), podemos notar que a fun¸cão h não depende directamente da riqueza do agente à semelhan¸ca do que acontece

(33)

com a equa¸c˜ao (34), preservando deste modo uma das propriedades encontradas por Merton.

4.3 Solu¸

c˜

ao num´

erica

Nesta subseçcão vamos apresentar um estudo numérica para o problema de consumo-investimento com coeficientes difusivos descrito acima, comparando as suas solu¸cões com as do problema inicialmente estudado por Merton conforme discutido na Seçcão 3. Esta compara¸cão é baseada numa análise estática ilustrada com recurso a vários gráficos, real¸cando as maiores diferen¸cas e semelhan¸cas entre as solu¸cões dos dois problemas.

Figure 1: Portfólio óptimo em fun¸cão do tempo t e da volatilidade σ, para uma taxa de rentabilidade média fixa. Parâmetros: ρ = 0, 03; r = 0, 03; γ = 0, 5; µ = 0, 04; σ ∈ [0, 17; 0, 22]; δµ_{= 0, 01; δ}σ _{= 0, 01; ¯}_{µ = 0, 12; ¯}_{σ = 0, 20.}

Analisando a Figura 1, constatamos que a propor¸cão da riqueza investida no activo sem risco é uma fun¸cão decrescente da volatilidade, isto é, quanto maior é o n´ıvel de risco, menor é a propor¸cão de riqueza alocada ao activo. Esta conclusão parece natural se nos lembrarmos que estamos a considerar um universo de agentes económicos avesso ao risco. No que diz respeito à Figura 2, podemos observar que a propor¸cão de riqueza investida

(34)

Figure 2: Evolu¸cão do investimento relativamente à rentabilidade média ao longo do tempo, fixando a volatilidade. Parâmetros: ρ = 0, 03; r = 0, 03; γ = 0, 5; µ ∈ [0, 03; 0, 15]; σ = 0, 18; δµ= 0, 01; δσ = 0, 01; ¯µ = 0, 12; ¯σ = 0, 20.

(a) Coeficientes determin´ısticos (b) Coeficientes difusivos

Figure 3: Consumo óptimo em fun¸cão do tempo e da riqueza do agente. Parâmetros comuns ao dois gráficos são: ρ = 0, 03; r = 0, 03 e γ = 0, 5. Os parâmetros adicionais de 3a são: µ = 0, 04 e σ = 0, 18. Os parâmetros adicionais 3b são: µ = 0, 04; σ = 0, 18; δµ = 0, 01; δσ = 0, 01; ¯µ = 0, 12 e ¯σ = 0, 20.

A Figura 3 ilustra a dependência do consumo óptimo relativamente à riqueza do agente ao longo do tempo. Analisando as Figuras 3a e 3b é poss´ıvel constatar que em ambos os casos o consumo aumenta com a riqueza, sendo este fenómeno mais acentuado na proximidade da maturidade (T = 30). É interessante notar a grande semelhan¸ca entre as duas Figuras referidas acima, ou seja, o consumo óptimo não apresenta grandes altera¸cões quando o modelo de mercado financeiro com coeficientes constantes é generalizado para incorporar

(35)

(a) Coeficientes determin´ısticos (b) Coeficientes difusivos

Figure 4: Evolu¸cão do Investimento ao longo do tempo. Parâmetros comuns ao dois gráficos são: ρ = 0, 03; r = 0, 03 e γ = 0, 5. Os parâmetros adicionais de 3a são: µ = 0, 04 e σ = 0, 18. Os parâmetros adicionais 3b são: µ = 0, 04; σ = 0, 18; δµ = 0, 01; δσ = 0, 01; ¯

µ = 0, 12 e ¯σ = 0, 20.

um modelo cuja a dinâmica dos pre¸cos apresenta a rentabilidade média e a volatilidade como processos estocásticos.

A Figura 4 mostra a evolu¸cão do portfólio óptimo ao longo do tempo para valores de rentabilidade média e volatilidade fixos. Tendo em conta a Figura 4a, conclu´ımos que a propor¸cão de riqueza alocada ao activo com risco é constante enquanto que na Figura 4b essa propor¸cão varia com o tempo. É importante real¸car também o facto dessa pro-por¸cão ser inicialmente uma fun¸cão crescente do tempo t, atingindo um máximo próximo do horizonte temporal e convergindo para o valor obtido para mercados com coeficientes constantes à medida que o tempo converge para o horizonte T .

(36)

5 Conclus˜

ao

Merton foi um dos grandes responsáveis pela introdu¸cão da teoria do Controlo Óptimo Es-tocástico no estudo de problemas de Matemática Financeira, considerando, pela primeira vez, um problema de consumo-investimento num mercado financeiro com um activo sem risco e outro com risco. Neste trabalho consideramos um mercado financeiro com a par-ticularidade de o activo com risco ter a rentabilidade média e a volatilidade a evoluir de acordo com uma difusão com reversão à média. Usando técnicas de programa¸cão dinâmica, estudamos as estratégias óptimas associadas a este problema de consumo-investimento. Nomeadamente, determinamos expressões expl´ıcitas para estratégias óptimas em termos da fun¸cão valor associada ao problema de controlo óptimo sob considera¸cão. No entanto, essa fun¸cão valor está apenas implicitamente determinada em termos de uma equa¸cão em derivadas parciais, não linear e de segunda ordem. Resolvendo numeri-camente essa equa¸cão em derivadas parciais procedemos a uma análise estática dessas estratégias óptimas, cujas conclusões passamos agora a sumarizar. O consumo do agente económico não sofre altera¸cões relevantes com a generaliza¸cão do modelo. No entanto, a altera¸cão introduzida na evolu¸cão do pre¸co do activo com risco afecta o portfólio óptimo durante o horizonte de investimento, sendo que a estratégia de investimento óptima parece aproximar-se da estratégia de investimento óptimo do problema de Merton à medida que o tempo converge para o horizonte temporal final. Estas estratégias são, de certa forma, mais realistas do que as obtidas para o modelo de Merton, pois é sabido que num mundo de incerteza, não conhecemos à priori a rentabilidade média e a volatilidade de um activo financeiro. Deste modo, parece ser razoável concluir que um portfólio óptimo realista não deverá ser constante ao longo do tempo, conforme a experiência prática em mercados financeiros nos mostra. Para aprofundar o trabalho aqui apresentado podemos pensar em

(37)

considerar modelos de mercados financeiros ainda mais gerais, introduzindo não lineari-dades nas equa¸cões diferenciais ou processos estocásticos mais gerais de forma a incluir, por exemplo, saltos na evolu¸cão da rentabilidade média e volatilidade.

(38)

A

Resultados auxiliares

O seguinte resultado garante que o problema de controlo óptimo discutido na Seçcão 2 está bem-definido. Adicionalmente, as estimativas nele contidas permitem provar a Proposi¸cão 1, um dos passos essenciais para a prova do princ´ıpio de programa¸cão dinâmica. A sua prova pode ser encontrada em [YZ99].

Teorema 4 Suponhamos que as aplica¸c˜oes b : [0, T ] × Rn× U → Rn _{e σ : [0, T ] × R}n_×

U → Rn×m s˜ao uniformemente cont´ınuas e existe uma constante L > 0 tal que para ϕ(t, x, u) = b(t, x, u), σ(t, x, u), as desigualdades

     |ϕ(t, x, u) − ϕ(t, x0_{, u)| ≤ L|x − x}0_| |ϕ(t, 0, u)| ≤ L , (51)

s˜ao satisfeitas para todo t ∈ [0, T ], x, x0 ∈ Rn e u ∈ U .

Então para algum ξ ∈ Ll_F₀(Ω, Rn) (l ≥ 1), a equa¸cão diferencial estocástica (4) admite uma solu¸cão única X(t) tal que para algum KT > 0,

E( sup

0≤s≤T

|X(s)|l_{) ≤ K}

T(1 + E(|ξ|)l). (52)

Consideremos ainda uma outra vari´avel aleat´oria ˆξ ∈ Ll

F0(Ω, R

n_{) e a correspondente}

solu¸cão ˆX(t) da equa¸cão diferencial estocástica (4). Existe KT > 0 tal que

E( sup

0≤s≤T

|X(s) − ˆX(s)|l) ≤ KTE(|ξ − ˆξ|)l, (53)

(39)

Referˆ

encias bibliogr´

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