Tópicos de Ensino de Matemática, Números Irracionais, vol. 15, 1990.

VOLUMES DÁ SÉRIE

TÓ

PICOS DE ENSINO DE MATEMÁTICA

1

-

Números Naturais

2

-

Geometria I

-

O Conceito de Fração

1\

-

Operações com Números Fracionários

G

-

O Problema da Medida

-

Números Decimais

7

-

Geometria 11

O

-

Números Inteiros

9

-

Cálculo literal

'

l

O

-

Equações de 1Q Grau

11

-

Sistemas de Equações de 1

Q

Grau

'

1

2

-

Proporcionalidade

,

(

3

-

Geometria 111

'11\

'(

'I

-

Áreas e Perímetros

-

Números Irracionais

-

Equações de 2Q Grau

~

DELTA

XIS

U X

EDITORA LTDA

"li I

:

M

a

ri

a

Luiza Missio M

i

ngone, 184

1

3

100 - Campinas - SP.

r

('

,.

Tóp

icos de Ensino de

#

MATEMATICA

15

-

Números Irracionais

D

e

lta Xis Editora LIda

ADAIR MENDES NACARATO ANTONIO MIGUEL

MANOEL AMARAL FUNCIA MARIA ÂNGELA MIORIM

APRESER1:A(;ÃO

Desde 1982, um

grupo de

professores de

Matemática

"

de

Campi-nas, insatisfeito

s

com os resultados obtidos na sua prática

pedagógi

ca~

vem se

reunindo com

o objetivo

de

elaborar projetos de ensino-a=

prendizagem

que possam,

aos

poucos

,

alterar a situação existente.

Esses

projetos

são

aplicados em escolas

das

redes

püblica

e

particular e

avaliados periodicamente.

A avaliação dos

r

esultados

ob

tidos na prática levanta críticas e sugestões que ~põem, frequente=

mente,

aprofundamento teórico

e reformulações dos projetos

já

produ-z

ido

s,

além da produção de novos projetos. Essa

é

a

principa

l

carac-te

rística

desse

material: o fato de estar sendo

continuamente refe

i-to. Outra característica

dele

é

qu

e

,

embora englobe

o

conteúdo de

5~

a

8~

séries,

é

apresentado em fascículos,

perm

itindo ao

professor

es

colher o momento

mais

adequado

para trabalhar um certo

tema junto

a

seus alunos.

Contamos

atualmente

com

16

projetos

que compoem os

volumes'

da

série

UTópico

s

de

Ensino de Matemática".

Esses fasc

í

culos

repre

-sentam a

mais recente

versão do trabalho

mas,

ce

rtame

nte,

não a últi

ma.

Um

trab~lho

dessa

natureza,

só

f

o

i

e continua

sendo possí

-vel, graças

à

participação

contínua

de

professores que aplicam

os

projetos

.

Queremos registrar, portanto,

o

nos

so

agradecimento aos se

guinte

s

professores

qu

e

, durante

esses

anos,

têm cont

ri

bu

í

do

na

e

la=-boração

e

reformulação dos

proje

tos, trazendo

c

ríti

ca

s e

sugest

ões,

participando de

r

euniõe

s e

encontro

s

com

o

propósito

de r

e

pensar e a

profundar

qu

es

t

ões

referentes

ao

ensino da Matemáti

ca

:

-Ana Maria C.Coimbra,

Ana Re

g

ina

P.B.Angi, Aurora S. Santana, Beatriz

V.B.de Carvalho,

Ca~em

Lúcia

B.Passos,

Cláudia V.C.Miguel,Divina

A.

de

Aquino, Eliza A.Mukai,

Elizabeth

A.Carrara,

Gelson

J.Jacobucci,He

10isa de Carvalho M.Debiazzi, Jane

M.da

Silva

Vidal, José

Amaury

AI=-ves

,

Margali A.de Nadai, Maria Aparecida B.Pinheiro, Maria Clélia F.

Jacobucci,

Maria

Lúcia

Negri, Marília

B.Pereira, Marisa

S.Pinheiro •

Travaini,

Marta

I. de

Almeida, Neusa

R.Ferraz,

Regina Celi Ayres, Ro

naldo

Nicolai, Rosana Fávero, Rosemeire M.R.Silva, Sandra

T.Cardoso~

Suely M.Gimenis,

Susy M.Fadel,

Teresa

Neide G.Guimarães,

Vi

lma

M. H.

Si

lva,

Ya

ra

P.P.Bueno

e Zuleide G.

Paulíno.

Í N D I C E

Introdução . . . ... .

Formas de Representação de um Número Racional. . ..•.•. • . . . • . . . 01

Representação Fr-3cionária de Dizimas Periódicfls ....•...•... . . . 02

Triângulos Retângulos . . . . ... . . .•.... . . ...•.•...•... 04

o Teorema rle Pitágoras ... . • . • . . . .•.•....•.•. . . • _ •. . . 05

A Encruzilhada . . . ... . . ....•...•.... . . 11

Demonstrações Dir~ta.s e Indiretas .. . . • . . ... . . ... . . . . . 13 A Demonstração Sutil. . .. ...•.•...•.... 16

A Queda .-:Ie uma Crença e a Reação Silenciosa . . . ... ... . . . 17

Um Novo Cami nho na Enc ruz.i lhada ... . . ..•... . ..• . . . 18

Formas -:le Repr~spntação de um Número Irr;'\cionfll ... . . . . ....•... 21

o

C·:mjunto dos Números Reais lO! .) Operação RadicL3çàn ... . . • . . . 24 A lIecessidade de uma Ampl iação . . . ... . . . . . . . • • ..•••••••••••. . . • 27

A Duplicação do Cubo: Um Problema Insolúvel?: . . . ... . . .. 27

A Ampliaçào da Operação R-'ldiciação . . . ... . . . . 29

Localização tios Númert;ls Irracionais na RpL3 NumprFida. . . • . •. . . 31

Soma Alg~brica rlP Radicais . . . .. . . .. .32 Simplificação de Radicais ...•.•....•.•...• . . . .. . • . . . .. . 3i

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

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•

•

•

t

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

»

»

I N T R O D U

ç

Ã

O

o objetivo desta unid<ldp ~ f~zer rom que voc~ compreenda as raz~es históricas e lógicas que levaram i3. necessidadf! rle uma no va ampliação do conceito de num~ro na l>1atpmá tiCA através do surgimpnto dos nlJlnprOS irr:l -clonal5.

Como vQce observara. no df"senvolvimento dpste tema, o teorema de Pitágoras pst~ lnti mamente relacionado com a necI?ssid:Hip ';essa ampl i ação.

Ao longo desta ur.idade aparecem textos Que procuram explicitar e esclareçer ,,\5 que~ tões filosóficas p lógicas que pstão na basp dessa ampliação e a função que psses novos numeras cumprem na ciência corntemporânea. A esperança e que eles possam motivar" o S"1l PS tudo.

ATIVIDADE N' 1. Cada numero racional abaixo

é

dado em sua representação fracionária. De termine a representaç';o decimal de cada um deles. ai 1 e I 1 i I 2 nl .01 " 2 100 3 2 bl 1 ri 2 j I

_-

4

_-

oi _~= 'i 200

,

99 c I 2 gl 5 1 I 1 r I 228 la 2 6 900 di 3 hl lO m)1604 ql 1 15 4 'i 1000

ATIVIDADE N~ 2. Cada numero racional abaixo é dado em sua representação

decimal . Represente cada um deles na forma de fração p~ lo menos de 3 maneiras difprpn~('s sf'ndo 11m3 delas UIll"

fração irredutivPI.

a I 0,1 o I 1,6 _"

b I

n.s

f I 1 S, 32

c I 0,15 _" gl S.OlA " I 0.235 , hl '1.12 "

TEXTO N! 1: Formas de Representação de um numero racional

Ao executar as atividades 1 e 2 voce per<".:~bpn que: 50 exis-te uma única maneira de representar um numpro racional na forma decimal. Por outro lado, existem infinitas maneiras de sr reprpsentar um numero racional na forma fracionâria. Assim, as r~presentações fracionârias do numero racional 1/2 são todas as infinitas frações que são equivalentes a 1/2 2/4, 3/6, 4/8. S/10, ... ao passo que a r~pre5entação decimal desta mesma fração

é

0,5. Dizemos que 0,5 é um numero decimal finito p~

ra diferenciá-lo de outros numeros decimais que possuem infinitas casas

decimais, como, por exemplo, 0.666 ... Numeras como 0,666 ... ; 2,3131 ... ;

0.25333 ... , etc ... que possuem infinitas casas decimais e uma. parte p~

riódica (parte Que se repete infinitamente) são também chamadas de DÍZI

MAS PERIÓDICAS. Entretanto, pOderíamos eliminar esta distinção consi de-rando todos os numeros racionais na forma decimal como dizimas periócl! caso Basta, para isso, repetir infinitamentp o algarismo zero nas "casas vazias" dos"numeros r1.ecimais finitos", CQmo mostram os se,C!uintes exem pIoS:

0.5 " 0.5000 ...

0, IA := n,lBOOO.

I,A3? := 1,437000 ... 18.0501 := 18,0501000, ..

2

Podemos. ~1nda. fazer o mesmo para os numeras naturais

(pois sao também racionais), O exemplo seguinte nos mostra as infinitas representações f['acionárias ,jo número 2 e também a sua representação de cimal 1nfini ta:

2 .:: 2 4 6

)

8 10 _{2,0000 . . .}

4 5

ATIVIDADE N!! J: ! 1 Escreva a representaçào decimal infinita de cada nu

mero racional abaixo: a) 5,.3 = d) b) 5, 805 ,o) O ç) _{5 =} f) 5

=

8

2) Esc reva a representação fracionária irredudv~l ia.:.: lIurne ['OS rl'l.cionais:

a) 0,7000 . . .

₌

c) 1,8000 ...

-b' 1,')3000 ..

₌

d) 0,333. , . =

TEXTO N2 2: Repr-esentação Feacionária das Dizimas Periódicas

Talvez, você tenha tido alguma dificuldade para fazer o úl

timo item da atividade anterior, .!

Essa dificuldade pode ser traduzida pela seguinte pergunta: sera que par[l encontrarmos a representação fracionária de uma jizima p~

riódica, ~om período diferente de zero, devemos agir por tentativas ou

existe um mêtodo mais prático que funciona bem para todos os casos? fe

lizmente podemos responder a esta pergunta dizendo que existe um tal ~e todo. A forma '1e uU 1 iZilr este método

é

d ustI'ada pelos exemplos segui~

tes:

l~ Exemplo; Determinar a representação fracionária do numero

n.333., .

19 _{Passo Chamemos rle x este numero, isto e, x .:: 0,333 . . .}

rac i onal

22 Passo ~ulliplic3ndo por 10 ambos os membros desta igualdade, vem:

32 Passo

42 Passo

lOX .:: 3,J33 ...

Sub~raindo a primeira igualdade da segunda temos: lOX - X ~ 3,333 . . . - 0,333 .. , ou

9X

=

3

Determinando o valor de X na úl tima equaçao vem: X ~ 3 ou X

=

1

•

•

•

•

»

»

•

•

•

•

•

•

•

Conclusão: 0,333 . . . 3

22 Exemplo: Determinar a representação fracionária do numero

2,3131. .. racional

x ,.

2.3131. .. 100X ~ 231.3131., .(multiplicamos por 100 ambos os da igualdade anterior) membros 99X '" 229 229 Logo. X '"

9'9

(subtraimos membro a membro a igualdade 1 da igualdade 2)

Conclusão: 2,3131 ... = 229

99

ATIVIDADE N2 4: Determine a representação fracionária de cada racional abaixo: a) 0,111 ... e) 0,1212 ... il 1.25333 ... b) 0.222 ... f) 1,7373 . . . j) 0,999 . . . c) 5,333 . . . g) 0.821821 ... 1 ) 0,1999 . . . d) 12. 777 . .. h) 0.2555 . . .

.

m) 1,3299 ... ATIVIDADE NQ 5: Responda:

a) Quais sao os nume ros que muI tipl icados por si mesmos

dá

como o numero zero ?

b) Quais sao os numeras que multiplicados por si mesmos

dá

como O numero 1 ?

c) Quais sao os nume ros que multiplicados por 51 mesmos

dó

como

o nume ro 14

,

d) Ouais sao os numeras oue multiplicados paI' si ml"smos dá como o numero 100

,

e) Ouais sao os nurnl"ros que mul tiplicados 3 vezes por si mesmos

produ to o nume ro 64 ?

f) _{Quais sao os numeras} que muI tipl1.cados 3 .... ~zes por 51 mesmos

produto o numero 1000 ?

g) Quais sao os numeras que muI tipl icados 3 vl"zes por si mesmos

produto o numero (-1) ?

h) Quais os números que multiplicados 100 vpzes por si mesmos dá produto o numero 1 ? nume ro produto produto produto produto

dá

como

dá

como

dá

como como

1) Quais são os numeras que multiplicados por si mp.smos dá como produto o numero (-9) ?

,p Ou ando se muI tiplica um numero por si mesmo ~ possível que o produto

seja um númpro negativo? Por quê?

4

1) Quando se muI tiplica um numero J vezes por si mesmo

é

possível que o produto seja um número negativo?

m) Quais são os numeras que multiplicados por si mesmos dá como produto

o numero 9 ?

16

ni Quais sao os numef'OS que multiplicados por si mesmos dá como produto o número '1.25 ?

o) Quais sao '.:>s Ilume ros 1ue elevados ao quadrado

dá

64 ? 81

p) 'Juai s sao ns numeras que elevados ao cubo

dá

27 ?

125

ATIVIDADE Nº 6: Determine os valores de x em cada uma das equaçoes:

a) x' 2S f) x' 400 1) x' - IS

b) x' 49 g) x' m) 2x'

_-

16 =0

c) x' -)6 h) x' O n) 2Xl_ 15", 185

d ) x' O 1 ) x' -1 _{O) x'}

e) x' j) x' -27 ₃ J

,'EXTO Nº 3: TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Podemos defini r O retângulo como sendo um pol1gono que po~ sui 4 lados, 2 a 2 paralelos e congruentes e 4 ângulos retas e,o quadr~

da, como sendo um reL~ngulo que possui os 4 lados congruentes.

';Iu.:llqu8r' retângulo possui 2 diagonais e se voce pegar um re

tângulo, tl'açar urna dessas diagonais e cortá-lo com uma tesoura "em ci-ma" dessa dia~onal V0C~ obterá 2 figuras idinticas, isto e, 2 triângu

los idênticos. F'iSPS r. r i.1.ngul os sào especiais, pelo fato de possuir~m '-!!:... ângulo re to.

1'o·jo triângulo <:jue pode sPr obtido a partir de um retângulo. e que portanto, pos~ui 1 ângulo reto, será chamado '-~e TRIÂNGULO RETÂNG~ LO.

Pelo fato de os triângulos retângulos formarem uma classe

especial t1e t-riângulos, os seus lados também recebem nomes especiais.Os lados que formam o ângulo reto, isto

é,

os lados do retângulo, sào cha mados CATETOS e o lado maior do triângulo, isto

é

,

a diagonal do retân

-.gula.

é

chamada ,te HTPOTENUSA.

~I:}s, paI' 'lUf' r',"l.z:1o seriam esses r:'I{mgul05 retângulos tão es pecials ?

É '1u(~ t'>xisrt> uma propriedade notável e de grande aplicação

que relaciona os , J~ldos desse rriângulo, isto

é

.

os catetos com a hip~ tenusa. .

F

eSSA propl'if'dAdt' 'IUf' você de,,('r.~ vF'rificar, ao executar a atividade S~~lIinte. .

--

---

--

- - _ .

-•

§

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,

•

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•

•

•

•

..

•

..

ATIVIDADE 11'2 7: Utilizando J folhas de papel milimetrado, construa os 3 triângulos retângulos abaixo:

na l i foI ha, o ó. ABe, cujos ca te tos Ãã e BC meçam res

pectivamente 3 cm e 4 cm,

na 21 _{folha. o 6. DEr. cujos catetos meçam} mente 6cm e 8 cm.

na 31 _{folha, o} l:J. PQR, cI.Jjos catetos meçam mente 4 em e 5 em.

r'espectiv~

respectiv~

ApÓS isso, construa. em cada um dos lados de cada triân gula, um quadrado cuja medida. dos lados seja igual

à

m€'dida de cada um dos ladns de ca13, trlângulo.

TEXTO N'2 4:

Feito isso, responda:

a) Qual

é

a are a de cada um dos quadrados que voce cons truiu em cada triângulo?

b) Se você recortar os quadrados construidos sobre os catetos de cada triângulo,

é

possível, utilizando 2

desses quadrados, cobrir exatamente a superficie dos quadrados construidos sobre a hipotenusa desses triân gulos ?

c)

d)

e)

Que relação exi s te entre as areas dos quadrados cons truldos sobre os cate tos e a are a do quadrado cons

-truido sobre a hipotenusa em cada triângulo ?

Verifique se essa relação continua válida para outros triânsulos retânB:ulos de sua livre escolha.

Verifique se essa relação continua válida para triân gulos que nao sejam retângulos. Faça pelo menos uma tentativa.

As tentativas de cobrimento do quadrado construido 50

bre a hipotenusa. que voce fez na atividade anterior para o triângulo POR não foram,com certeza, nada fáceis. Talv~z você ainda não tenha se convencido de Que esse cobrimento

é

possivel como aconteceu para os dóis primeiros triângulos.

Acontece Que os dois primeiros c~sos constituem exces soes e, na maioria das vezes, ao escolhermos triângulos retânguLos ao ~, iremos nos deparar com casos semelhantes ~o terceiro, que exigem uma técnica especial de cobrimento. Acompanhando o exemplo abaixo voce

aprenderá a dominar ~ técnica e. através ~esse domínio visualizar a possibilidade de cobrimento da superficie do quadrado construido sobre a hipotenusa de qualquer triângulo retângulo.

•

Consideremos um Ó. .ABC qualguer, cujos catetos meçam ~

e b e a hiporenusa m~ça ~. Q Mr -____________ ~C p b

N'

"---~

A

~---~

.--~\(.

B

s

R

A técnica de cobrimento consiste no seguinte: 12 Passo:

Desenhe, um ao lado do Qutro, os 2 quadrados construidos

sobre os catetos do tri~ngulo. isto e, os quadrados ACMN e ABRS como mostra a figura abaixo

M, -____ ~b ______ , C

I-'

s

'____ __

~.'____

__ -.

R b

•

•

N " - - -- - - - -b---.1. A- - - B 22 Passo:

Apague o lado ÃS do quadrado menor. Coloque no lado fm

dessa figura, a parlir' do vértice N, a medida do lado do quadrado menor. Dessa forma, a medida do segmento NP sera ~ e, consequentemente, a medi da do segmento

Pã

será

Q

.

§

"

.fi

•

..

..

•

•

_•

..

,

,

,

•

..

.-..

•

•

_•

•

_•

•

•

_I

Ligue o ponto P aos vértices M e R da figura, formando os segmentos P~ e PR cujas medidas sãoiguais a x, isto é, PM e PR sao

as hipotenusas dos triângulos retângulos NPM e PBR respectivamente, jos catetos medem ~ e b e Que estào hachurados no desenho seguinte.

cu C b - . 5

•

.

' .

_•

N p _b B 32 _Passo

A figura acima ficou, dessa forma, dividida em 3 partes e possui area igual ao quadrado BCOP construido sobre a hipotenusa. Pa ra provar isso. basta que você recorte as 3 peças da figura acima e cu

bra o quadrado como num quebra-cabeça. A figura abaixo mostra a maneira

como as 3 peças devem ser dispostas.

O

I'<'"'==~_L--,--,~~~c--.

P

1

.

.

'

~

.. '-" b

c

x B

Podemos ago~a expressar em palavras o fato que está co~ tido nessa brilhante técnica de cobrimento:

"Em todo triângulo retângulo. a ~ do Quadrado cons -truido sobre a hipotenusa é igual

à

soma das are as dos

quadrados construidos sobre os catetos".

Lancelot Hogben. em seu livro "Haravilhas da Matemática" nos diz que "todo o mundo antigo - segundo nos revelam os documentos en

contrados - conhecia um método muito simples de traçar ângulos retos,b! seado no fato de todo triângulo de lados iguaiS a 3. 4 e 5 unidades de

comprimento ~ necessariamente retângulo. Uma velha lenda nos diz que

os arquitetos sacerdotais do Egito traçaram ângulos retos emendando 3

8

segmentos de corda de comprimentos iguais a 3, 4 e 5 unidades. Bastava

dobrar a corda emendada pelos nôs para obter um perfeito triângulo retan

guIo".

Esse fato famoso, entretanto, recebeu o nome de Teorema

de Pitágoras. Isto porque a demonstração da validade desse teorema para

qualquer triângulo retângulo se deveu a uma escola de filôsofos gregos chamada escola pilagôrica que existiu por volta de 600 anos antes de J

e-sus C/'isto. Essa escola possuía objetivos religiosos e cientificas e par~

ce ter sido Pitágoras o seu fundador. A grande influência exercida por

ela na Grécia antiga se deveu ao fato, entre outros, dela ter dado uma

resposta bastAnt(> original a duas questões fundamentais que preocupavam

os pensadores da época. O curioso, entretanto, é que essas questões co~­

tinuem ainda, nos nossos tempos, século XX, a preocupar os cientistas

O seguinte texto adaptado de Jorge Dias de Deus, doutor em Física de AI

tas Energias pela Universidade de Londres, procura colocar em palavras simples essas questões, Vamos tentar compreendê-las e, em seguida, rerOI'

narmos aos tempos antigos.

UHA QUESTÃO

"Hoje, uma das questoes mais fascinantes na ciencia ~ a

origem do universo, A questão não é nova para a humanidade. Pelo co

ntra-rio, rlesde tpmpos antiRos pIa se manifesta nos mitos da criação. A

si

-b 1 ia nos fOl'npce m~smo quas;:> que uma rece 1 '.a u til i zada pe 10 c ri -3dor para fabricar' o Un.l'."~t·S{! ,> )$ seres lU€ havt;>riam de povoá-lo ~ 'Jma recei~a eSDeci aI para a cr'r,çao lo Homem-A·Jão e daquela sua costela milagrosa ['ona Eva -Hulher. Par.:! 1lém da beleza poética e do engenho explicatico ,:ias !<lHos, ~Ioje 'c!'m

dia o que ~ 1·~aJmpnt~> fascinante! o fato Ja ci~ncia se atrevpr a ~bor­

lar o pstucto rJo UniVf'T'SO como um todo <;! chegando,por isso. ao problema

do comer;o. Lisa ,:!pnci'l atrevida chama-se cosmologia (estudo ·:to Cosmosl.

A cosmologia ,11t13 par', os f6sseis Cisicos (estrelas, cometas. gases ln

-lerestel.<!rf'S, radl.:lç',;O rósmica) que contêm 0S sinais do passado. Através da análise desses Ja los levantou uma resposta. de grande aceitação atual:

o começo do Ilniv .... r·so foi uma grande explosão. Nos anos 80 de nosso secu

-lo, a cosmologirt 'em ~ent3do encontrar resposta para a origem da explo -S.'lO inicial ,"> "1 1 !pi,] ,"'speculativi'l. mais lnteressante e a que propoe que

o universo Vf:'rn do n,ldtl., do '/azia. Em vez do cf'ia~jo[', o nada, em vez da

recpjta. <1a crI ~r;,.a, 0 '1caso ;>. 'l flutllaçno",

A OUTHA QUESTÃU

"As çotsas sao como sao ou terão uma estrutura interior

-E

~

•

_•

•

•

_•

•

_t

,

)

i

Imagine uma experiência. Parta de uma banheira cheia de água.Tire um balde dessa água. Encha um jarro com a água do balde. Passe a água do jarro para um copo. Do copo para um cálice. Retire do cálice uma colher de chá com água. Com um conta-gotas extraia uma gota de agua. E continue por ~i. Podemos fazer 1sso indefinidamente? A água contin ua-ra sempre a ser agua ? Por menor que seja a parcela que se tome, a agua sera semprp água? A resposta a esta Questão reduzem-se a duas:

I! resposta: A água será sempre água, por mais Que se divida (no fundo

pensa-se a agua como uma coisa continua. sempre igual "lté ao infln1 tamen

te pequeno).

2! resposta: A agua deixa de ser a agua que se conhece quando se vai p~ ra escalas menores. (Pensa-se que há descontinuidade na estrutura da

ma-téria.a aparênCia escondendo uma realidade diferente).

00 começo do nosso século houve uma discussão célebre so

bre esta questão que colocou frente a frente dois famosos cientistas. De

um lado Ernet Mach (1838-1916), Que defendia a primpira resposta, isto

é

.

que nao haveria lugar para estruturas e explicações profundas. Do outro lado, Ludvic Boltzmann (1844-1906), que acreditava fervorosamente na ex plicação das coisas por estruturas materIais internas: os átomos e as mo léculas. r·lach, risico e filósofo, e com uma hoa dose de arrogânCia, ga-nhou a dicussão. Boltzmann, o gêniO visionário, suicidou-se desiludido , incapaz de convencer os seus colegas cientistas da r~alidade dos átomos e das moléculas. Os átomos e as moléculas, por~mJexistem. Se reduzirmos su ficientemente as dimensões com Que olhamos a água - ate a milésima parte da milionésima parte do centimetro -. deixamos de ter o fluido água e e~

tramos no mundo dos átomos e moléculas. um mundo de percursos de sordena-dos e Choques caóticos. E acabamos nos átomos e nas moléculas ? A Física do nosso século passou dos átomos e das moléculas aos núcleos dos Átomos, extraindo deles as particulas elementares (os prótons, os nêutrons, os mésons). E hoje tenta-se extrair de dentro das próprias pardculas ele -m~ntares as sUb-partículas que as constituem: os quarks.

As coisas nào são infinitamente iguais a si próprias ~ do se desce dentro delas em profundidade. Há uma ~strutura. !>lelhor, há muitas estruturas, umas dentro de outras, justificando-se umas pelas o

u-tras. Uma infinidade de estruturas? Uma infinidade de descontinuidades?"

o

Retorno

Por volta do século V ~ de ~ ~, nas regiões da

J~nia (sul da costa ocidental da Ásia menor) e da "Grande Gr~cia" (Sul

~a península italiana e Sicília) vários pensadorps tentaram dar respo~

tas às duas questões Que colocamos anteriormente - Tales de Mileto foi o primeiro pensador a ter a audácia de propor uma visão de

~njunto da

ra

•

'0

tureza. Imaginou ele que ~ agua fosse a ~strutura e a força geradora de

todas as coisas. Justificava essa visão mostrando o papel da água na vi

da das plantas e dos animais e sobre a impor~ância fundamental dos rios nas civilizações que conhecia. A água, segundo ele,

é

vida e principio de

vida, todas as coisas dela provêm e a ela val tam.

Anaximandro aprofunda mais a visae de Tales. Ele se recu

53 a reconhpcer que a nrigem e estrutur~ das coisas estivesse em algo que

pudesse spr ~bserv8do. (~ principio deve estar al~m ~e tudo O que podemos

""bsp.r'Jar' .;P!"l chamado, pois, ~ indeterminado.

Anaxtmenes propõe ser o ar o principio de tudo e a

es-trutura explicativa de todos as coisas. Dizia ele ser o ar, elemento in

-visível e imponderável,quase 1nobservável, a própria vida, a força vital, a divindade que anima o mundo, aquilo que prova a existência da resp

ira-;ão, E o SOP!'O da respiração significa vida.

Entre outras respostas, 'i dos pi tagóricos distinguia -3e

por sua originalidade. Diziam eles que a explicação racional de to(!as :::os

coisas baseava-se no arranjo das partes que ~ constituiam (forma) ::. ~

re 1 ações quan t i tati vas ~ governavam ~ arranjas. Em out ras pa 1 aV,'ls .

.:::.IS coisas !';(> explicam pela hal'monia e pelo numero.

Pela primeira vez na história do pensamento humano apar~

cia a ousada concepção de que a compreensao e a explicação dos fenômenos

da natureza r'eduziam-se a relações numéricas, a expressoes e leis llatema ticas.

É claro que os pitagóricos nao chegaram a essa conclusão

através de sjmplps especulações. Tinham razões para acreditar nisso. Che

"

j

li

•

..

garam a mostl'ar, "'nlre outras coisas, como triângulos equl1áter·os podem __

ser obtidos IJnS a partir dos outros partindo-se de uma figura geométrica

e que essa gP!"lÇ;()

p.

~o"ern:lda pela lei matemática: l-l-2 .. 3 ... n== n(n+l ).

2

,;re mesmo no domínio da musiCil PUágoras realizou grande descol.Jer1a. :"lt!·a'Jf'S 'lp exper·iênclas feitas com um instrumento musicalccm •

uma

só

cor(!a e um cavalete, que ao ser deslocado divide a corda em ·-jo1s segmentos na r-aZ3Q 'lue se quiser,

segmentos formados rld corda a fim

ve ri f icau que: "os compr'imen tos dos

de ~ue ela ~mita sons em intervzlos de

oitava, ~st~o entrp si na razio de 2 para 1: para que emita sons em in

rervalos de '11111'11,1, )S comprimentos tjeverao ~star na razão de 3 pal'a 2 '<>m intervalos 'le 'llJarl::l., na razão <1e 4 para 3. Corno Pitagoras deve ter vibrado de erlLusiasmo ao verificar como at~ o prbprio som - que slgn1f!

cava a próprié1 h,l/'morli.. - ;1odia. se r~rlll~ir -:l r~J3cões numericas sim pIes

r·las I ver'ificac;ao 'll.:lis simples ~ m.:lis bela era, sem c!úvl da, aqueLa f"Ot·lle>rlda pelo celebre :'eorema ':tu.:' ÇHl':a sempre ficou ,-:onheci

•

•

•

_•

•

•

_•

•

•

•

•

ATIVIDADE N2 8

a) Um triângulo que possua os lados medindo 9 em, 12 em e 15 em

é

ou nao

um triângulo retânguLo ? _{Por quê} ?

b) Um triângulo que possua os lados medindo 0,8 em, 0,6 em e 1 em

é

ou nao um triângulo retângulo ? Por que ?

e) Um triângulo que possua os lados medindo 2 em, 2 em, e 3 em e ou nao

um triângulo retângulo? Por quê?

d) Quanto deve medir o lado de um quadrado cuja are a é de 64 cm2 ?

e) Quanto deve medir a hipotenusa de um triângulo retângulo cUJos tos medem 6 cm e 8 em ?

cat~

f) Quanto deve medir um dos catetos de um triân~ulo retângulo sabendo que o outro cateto mede 9 em e a hipotenusa lS cm ?

g) Quanto deve medir um dos catetos de um triângulo retângulo sabendo que o outro cateto mede 20 cm e a hipotenusa 2S em ?

h) Quanto mede a diagonal de um retângulo ~ujos lados perpendiculares me dem 30 cm e 40 cm ?

1) Quanto deve medir a hipotenusa de um triângulo r4_{tângulo cujos cate}

-tos medem IS cm e 20 em ?

j) Quanto deve medir a hipotenusa de um triângulo rptân~ulo cUJos cate -tos medem 1 em e 1 em ?

TEXTO N!! 5: A ENCROZILHADA

Parece que ao tentar re~olvpr o item j da atividade ante rior voce se deparou com problema séri o ' Vamos retomá-lo agora: Qual e a medida da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem lcm

e 1 em ?

É lôgico que nao pOdemos duvidar da existência de um tal triângulo uma vez que podemos construi-lo com régua e compasso. E se ps se triângulo existe, deve também existir algum numero qu~ represente a medida da hipotenusa

ãe.

c

"

Que numero e esse? Vamos chamá-lo de x.

É claro que, com o auxilio .jt~ Lm compasso, podemos transportar a hipotenusa BC do A ABC para a reta nu

meriea como mostra a figurA. Percebemos, então, que

o numero x, que expressa a medida da hipotenusa,cor

-responde ao ponto P da ceta numeric."l. O numero x,po!:,

tanto. deve ser maior ~ue e menor que 2 ou melhor, O .. ' : B M N maior que 1 e menor que 1.5

AC-~~,~,~"--J~C---~C---~2---~Jc--- uma vez que P está si

12

Luado a esquerda do ponto media do segmento Br~.

Podemos compreender esse mesmo fato sob um outro aspecto. Sabemos que, como o triingulo ABC ~ retingulo, entio, as medidas dos seus lados es tão re I ae it"lnadas de acordo com o Teorema de P 1 tágoras. Logo,

x' 2

Como determinar o valor de x nessa equação?

P"lI'<J, ·iererminâ-lo devemos perguntar qual ~ o número Que

multiplicado por :;1 mesmo iâ 2. E 3i a dificuldade geometrica se transfor.

~a numa ,jificuldade al'itmetica. Já sabemos 1ue esse n~mero existe En-tl'etanto, ~ número não pode ser inteiro. Por quê? Simplesmente, por-

-que se x '" 1 =::;::(>x1 " 2 e se x 2 <==C> Xl '" 4 -I 2. Isto sisznifica que

,x deve ser um numero maior do que e menor do que 2.

Deve ser, portanto, um número racional maior que 1 e me

nor que I, S corno nos informa a figura.

Tomemos o número ~ que esta entre ambos e o muI tipli -quemos por si proprio. Temos: 1,4 1,4 = 1,96, Então, o número proc~

r~-lo de~e seI' maIor que 1,4 e menor que 1,5.

•

•

•

St!guindo esse mesmo processo iremos encontrando nu:n"'!'OS •

'1ue ~levados ,"lO qULldr'ado ~st;)o cada vez mais próximos de 2 mas nunca .:h~

garemos 3 encontrar a própria 2. Obteriamos para x,por apr~

ximaçoes sucessivas, um numero com infinitas casas decimais. Damos

xo algumas apr0ximações, x J ,41. . pois x' ~ 1,9881 x ,414. pois x

,

₌

1.999396 x J ,4142. pois x' - 1,9999616

"

J. ·-11421 pois x

,

₌

1,9999899 x J .414213. , p01S x'

•

1,9999984 x 1,·1142135. pois x

₌

1.9999998 'lbai '/0(''''' .lP·JP estar pensando que se continuássemos esse pr,2.

cesso C0m mã'luinas t::,lculadoras mais potenres, talvez até com computa do-res,poderiamos chcgi':lr il uma conclusão: ou o processo terâ um limite e x

seria um número racional finita ou então o processo não teria um 1 imi tl~

e x s{~rja um númet'o racional periódico. Acontece, entretanto, que 3.S mais

potentes mãquinas rle ~ue ,jispomos 3lualmente não poderia chegar a nenhu

-ma dessas du':ts ('onclusões. E nem precisariam. Isso porqlte, os própriOS

piLagóricos, muito tempo antes de Jesus Crist,) n.'l.sce.r, já tinham 3. cert~

za de que n·~lltlu:lla ,j"55as duas conclusões er.:l correta. O número x não P,2. deria sei' ntom 11111 f'acifHlal finito ,~ nem 11m z"lcii)ndl infinito. Isco ê. não

poderia ser' Iml m:lmero racional.

E Ilfio pl'e(~jS,'f"H"! utilizar ner,huma máquina, nenhum o

u-tro inst.rumento jp cálculo pal'a chegar a essa conclusão, Uci lizaram

•

_•

•

_•

•

,

_,

•

)

•

ra chegar a essa conclusilo fol o ~ dedutivo e dentro deste mé todo

um tipo especial de demonstração chamada redução ao absurdo ou método in

direto de demonstração.

o

texto e as atividades que se seguem serão um desafio

para você. O obj~tivo delas é fazer com que você compreenda como os nos

50S antepassados demonstraram que x (a hipotenusa de triângulo ABe) não

pode ser um número racional. Grande parte dos exemplos em Que nos base a

-mos para a elaboração dessas atividades foram extraídos do Livro

tria rloderna. parte t rie Edwin E. Moise e Fl')yd L. Downs. TEXTO N2 6: DEf<fONSTRAÇÕES DIRETAS E INDIRETAS

Geome

Ao estudar anteriormente alguns tópicos de geometria vo

ce

já

teve oportunidade de fazer algumas demnnstraçõ~s diretas que lhe

deram base para compreender como funciona um sistema ~idutivo. Uma dedu

çao sempre se baseia em cadeias de silogismos. Estes, por

compostos de duas premissas (também chamadas de hipóteses

sua vez, sao ou fatos) admi tidas como verdadeiras e da conclusão baseada nestas premissas ou fatos.

Exemplo:

fato 1: Todos os homens sao mortais

Fato 2: Sócrates

ê

homem

Conclusão: Sócrates

é

mortal

COmo nos diz Bento de Jesus Car;lça, a f'latemática e uma

construção progressiva feita

à

custa de conceitos e de afirmações feitas

sobre esses conceitos. Em momento algum dessa construção se pode tolerar

contradições. Não se pode admitir que no nosso raciocinio existam ao mes

~ tempo duas afirmações que se contradizem. Em toda demonstração deve

--se, portanto. evitar ~ contradições. Isto ~. deve-se obedecer ao

Prin-cirio da Compatibilidade Lógica Que nas ciências ~ ger'al recebe o

de principio do acordo da razão consigo própria.

nome

Nas demonstrações indiretas parte-se de uma hipótese ~

nega ~ fato ~ ~ Quer provar (tese). Em seguida coloca-se um fato co

nhecido e

já

acei to Que contradiz ~ hipótese justamente para provar a

verdade da Tese inicial Que havia sido negada. Exemplo:

Tese: Não está chovendo

Hieótese: Está chovendo

Conclusão resultante da

lá fora.

lá fora

hq~ótese : Se estivesse chovendo,

essas pessoas entrando

pela porta estariam mo lhadas

14

Fato conhecido que contradiz a conclusão anterior:

r,las as pessoas nao -:-stão molhadas.

f'onc!llsão: flão esrá >:::hovendo lá fora.

ATIVIDADE r19 9: Assinale com um X quais dos seguintes argumentos sao

"xc-mplos le racioclnio inl'jirpt'o,

1) ( Tndw; ')5 mpn i nos gos tam ,je jogar fu tebol, r~eu i rm~o tem 11 anos,

lOg0, melJ irmão gosta de jogar futebol,

2 i (

3) (

41 (

ó) (

Já deve ter passado das 16 horas. Se ainda nao fosse 16 horas,eu

estat'ia 0IJvindo o barulho da construção. Eu não ouço nenhum ba

-rulho,

A temperatura lá fora deve estar abaixo de zero. Se nao estive

se i1t.'~i:w 'ie 7.ero não haveria gelo nus vidraças. ""as há gelJ.l:? go a temp~r~tur3 lá fora está abaixo de zero.

Som~~ntp. ppssoas negligentes cometem erroS. Eu nunca sou ne~lig"'­

te, I'ol'tanto. eu nunca cometo erros.

D.'v" "!;t,H' n.l hor[l do almoço. Se não estivesse. "'U nal') ",,,;' , r i .

CC'O! fome, Porti1nto, deve estar na hora do almoço,

o mJmer'o p deve ser par. Se ele não fosse par, então,ele nao se

-ria ,1ivisível por' 2. Entr~tanto, o n~mero p ~ divisivel por 2.

LllgO, r ;, p;:u'

ATIVIDADE 1'12 10: Para ca.da. racioclnio indireto 3ssinalarlo na atividade an

..i

ATIVIDADE r12 11:

te~ior identifique:

a) a tese (a afirmação a ser demonstrada)

b) a hip6tese fei ta (a negaçio da tese)

c) a conclusão resul tanre da hipótese fei ta

I) O rato conheci(10 que contradiz a hipótese feita

I, Escreva o conjunto dos n~meros primos ate 20.

Decomponha em fatores p1'imos os seguinte numeras: 3~,

50, 134, 82, 100

3, ns números p e q foram decompostos em fatol'es

mos'" obteve-se as seguintes fatorações:

p = 2.3l

,5

•

•

•

•

_•

•

•

•

•

_I

t

a) Coloque V OU F" nas afirmaçoes abaixo:

o

numero p

é

divisivel por 2 O numero p

é

divisivel por 3

5

é

divisor do nume ro p O numero p

é

par 10

é

divisor do nume ro p 7 e divisor do nu:nf' ro p 2

e

divisor do numero q 5

é

divisor do numf' ro O 2S

ê

divisor do numero q

o numero q

é

divisível por 35

o numero q

é

par

b) Determine o conjunto de todos os divisores de p.

c) Determine o conjunto de todos os ~ivlsores de q.

d) Diga qual

é

o numero p ~ qual P. o numero q

ATIVIDADE N"! 12

Complete as sentenças abaixo com as palavras par ou ímpar

1- O produto de 2 numeras pares é um nume ro

2. O produto de 2 nume ros impares é um numero

3. O produto de um numero par por um ímpar

á

um num~ ro

4. O quadrado de um numero par é um numero

5. O quadrado de um nume 1"'0 {ropar

é

um numero

5. Se o quadrado de um numero ₂

é

um numero par. pnt.~o, o nUffiPro p

e

7. Se o quadrado de um numero _;>. é um numero ímpar. então. o numero

e

ATIVIDADE No;! 13

D01s números p e Q foram decompostos p.m fat~rps e obtpve-se as seguintes

fatorações:

p 2.r onde .!: nao e primo

q

=

2.3.5 onde s nao é primo

DigA s€' as afirmações s:io verdadeiras ou falsas . .fustifique sua respos

-ta.

1. O numero p e um numero par 2. O numero q e um numero 1mpar

3. Não existe nenhum divisor comum entre p P q

4. A fraçao ~ está na forma irredutível

O

I

.

yA

TEXTO Ni 7 A demonstração sutil

Você agora estâ em condições de compreender porque a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 em e em n.1.0 pOdE" se r' um numel'O racional .

Demonstração

_ .

.

rESE: x nao e um numero racional

HIPtlTESE I Vamos supor que x

é

um numero racional

.

~

A 1 B

Fato 1.' Existe, necessariamente, uma fração irredut1vel __ p_, Q f O

q que

é

igual ao número x (consequência da hipótese)

Fato 2. x~:: '2 ( Aplicando o teorema de Pitágoras no Ô ABe)

Fato 4. Fa to 5. fato 6. Fato 7. Fato 8. (Faro 1 e fato 2)

2q1 (r'lulliplicancto ambos os membros 1a equação do

fa-to 3 por ql )

um número par pois na decomposição em fatores de pl

aparece o fator 2 (veja fato 4)

P f' um numero par pOiS o seu quadrado

é

par (veja fato 51

9. e um numero lmpar pois se p

é

par tfato 6\ ~ a f'ração~ q ~ irre'lutivel {fato I)}entãoj q nao pode ser par,

Como p ~ par (fato6), então. o fator 2 deve aparecer em sua decomposiçào em fatores, Se chamarmos de .!: o produto 105 de

mA H:; f'ltor'ps p,'lmos que 3parecem na (1ecomposição de p,então.

p '" 2r,

Como. pelo fato 4, pl "" 2 q ' eJpelo fato 8,p -'" 2r. então) se

subsl I tuirmos na primei r,"!. rlessa$ i'quações p por 2r vem: (2 r' ,I ~ ?q 4r~ == 2q~ 'l'

=

2r~

Fato lO : III é um núrrtPcQ pai' pois na SUtl jpcomposiç.3.o em fatores ,'pcp 0 falol' 2 (veja fato 9)

ap~

Fato 11 q ~ paI' pois, pelo fato lO, o seu ~uadrado

&

par.

faLo 12: OS l~tos 7 e 11 s~o cont radi tórlos pois o primeiro afirma qu,~ q (. um número ímpar e o segunllo afi rma que '1 é um núme-ro p<1r.

•

•

_•

I

A contradição existe porque um mesmo número não pode ser, ao

mesmo tempo, par e impar.

Conclusão: O número x não potle ser racional pois essa hipótese nos le vou a essa contradição .

TEXTO r~1! 8: A Queda de uma Crença ~ a Reação Silenciosa

A demonstração anterior não ~~mapenas importância mat~

mática. Ela tem consequências no plano filosófico POis significou um

desmentido brutal à crença pltagórica da ordenação matemática do cos

mos. A natureza das coisas quiz que fosse precisamente através da

mais bela das suas conquistas - o teorema rtP. Pitágoras - que esse

desmentido houvesse de ser pronunciado. Como você viu, não eKiste um

número que represente a medida da hipotenusa de um triângulo retângu

-lo de catetos uni tários. Que valor teria. pntão. a afirmação de que

os 'l>rincipios dos números são os elementos de todos os seres", que "o ceu inteiro é harmonia e número" ? Que valor tem ela, se os numeras nao podem dar conta, sequer, desta coisa simpl~s ~ ~lp.mpntar que e a

medida da hipotenusa de um triângulo r~tân~ulo ?

A demonstração anterior tem tamb~m um sIgnificado geo-métrico que

é

o seguinte: não existe numero racional ~lgum que possa expressar a medida da hipotenusa de um triângulo ret~ngulo de catetos

unitários Quando utilizamos comounidade de medida um ôos catetos des

se triângulo, Em outras palavras, por mais que rlividissemos em partes

iguais um dos catetos do II ABC, jamais poderÍamos cobrir exatamente

a hipotenusa deste triângulo. mesmo que o processo dp subdivisão fos

se infinito, Em matemática, dizemos que'dois segmentos que se com

por-tem desta maneira, isto

é.

Quando não existe uma frnção que aplicado

a um deles resulta o outro. se chamam SECf'lENTOS INCOf-1ENSURÁVEIS.

No dia em que foi descoberto o fenômeno da incomensur~

bilidade de segmentos, a escola pltagórica estava ferida de morte.

Como conciliar a teoria com o fenômeno da incomensu

ra-bilidade imposto por considerações de compa~1bilidade lógica? Como reagiram os pitagóricos ?

"Certa noite, SOO anos antes do nascimento de Cristo.

um viajante chegava ~ uma estalagem grega, p~ra ~li pprnoitar. Duran-te a noite foi acometido por violento mal, O viajant~ pra pobre e

mi-serável. mas seu hospedeiro, compadecido, tl'at0u-o com desvelo e fez o possível para ajudá-lo a restabplecer-sp, Em v::\o: o estado do doe!! te piorava, e ao perceber ele que iria morrer sem possibilidades de

indenizar o estalajadeiro pelos seus E'sforcos, ppdiu um;:!. lousa. na

,

.

qual traçou tão $ornente, com mao trêmula, uma figura geométrica - um

pen tágono es t r~ 1 ,do. Em seguida mandou que o hospede t ro afixasse a

10US8

à.

port_{,3 '1e .5f'U} ·~stabelecimento: _{mais di, 'Jlenos dia haveria de}

ser recompensadú. Logo depois o homem morri'}. Escoou-se longo espaço Je tempo. Certo dia um viajante que passava ·jescobriu o sinal na est~

lagem. en t r'Ou, indagou do hospede i ro a or i gem do desenho e recompensou

--o, -:!ntão, pvodigarnente pela sua caridade. Assim conta Jâmblico, filó

safo, matemático .? historiador romano, acrescentando que tanto o via

jante como O que ier3 a r'ecompensa haviam pertencido à escola do gr3!:!

de sábio Pitágoras .. Os pitagórlcos, geralmente provenientes da aris

tocraeia, formavamuma sociedade esoterica, cujo emblema era o pentag~

no estrelado. As pessoas que participavam dessa sociedade fechada com

prometiam-se a severa obediência e proferiam o sagrado juramento de jamais cevelar um segredo.

Um dos maIS precisos indicias de que isso era verdade

e a seguinte passagem transcrita da obra de Plutarco, escritor gr'=&0

nascido por volta Jo ano 50 da nossa era:

.. ,diz-se que os pitagóricos nao queriam por as suas

obras por escrito, nem as suas intenções, mas imprimiam a ciência na

memória daqueles que eles reconheciam dignos disso. E como algumas ve

zes comunicar'am al~uns dos seus mais intimos segredos e das mais es

-condidas sutilezas da gl!ornetrla a algum personagem que nao o mpr~cia,

eles r:liziam 'lue os deuses por presságios evidentes. ameaçavam VIngar

este sacril~gjo ~ esta impiedade, com alguma grarlde ~ p~blica calami

-,ladp" ,

Por estranha coincidência, o C3rater fechado e aristo -crático da escola pi~agórica deu margem a uma revolta popular na cida de de Crotona contra a escola e originou a sua destruição; nela pare

-':e ter perdi,jQ a vida O pr'oprlo pltágol'as,

Dito isLo, não seria de se estranhar que a primeira

reaçao dos pitagóricos r1iante do fenômeno da incomensurabilidade tos

se a de esconder o caso. '1nde só havia a ganhar com o debate público

os pi tagór'icos

silêncio.

institllíl'am como nOI'ma, pelo contrário. o segredo e o

(Esse r"xtn ê lima ::I.dap(a(;ão par;'} fins didaticos de trechos da obt'a citada de Bento .ie Jesus (;al':~ça e ::10 livro A f.1agiados Illlmer'('Is ,je P:1ul ~:ar'ts()ll)

TEXTO rl2 9: or·[ 1/0VO r:Af.\lIHlO NA nKRUZIUiADft.

A dpmonstração da exist~ncia de segmentos incomensura -v~is alestaurt pelo [ato ja hipotenusa do nosso triângulo ABC nâo ser

-

I

•

•

_J

•

um numero racional nos levou a uma encruzi lhada. f.Ui1s 0S canimos existaltes? O primer10 caminho seria contentarmo-nos em abandonar a possibilidade de exprimir a medida de um segmento através de um nume ro.

o segundo caminho seria duvidar da validade do Teorema de Pitágoras.

Esses dois primeiros caminhos mostram-se. entretanto. pouco viávpis pois, em f.latemáUca. só abandonamos fatos

já

estabelec.!. dos quando se reconhece um vicio de raciocínio. Como o primeiro caml

-nho deu provas da sua eficácia quando constru1mos os numeras

nals e como o teorema de Pitágoras é uma verdade geométrica Que perm! nece válida mesmo Quando os segmentos são incomensuráveis seria um

tanto quan to temeroso renunc lar a estas conqu i stas.

O terceiro caminho seria,então, conservar essas duas conquistas mas abandonar a exigência de compatibilidade lógica. Isso entretanto. nos obrigaria a aceitar a contradição pondo por terra o ideal da racionalidade da própria matemátic~.

A saida histórica encontrada pelos matpmáticos foi a de conservar tudo: a possibilidade de sempr~ exprimir numericamente a medida de um segmento, o Teorema de Pitágoras e o principio de co mpa-tibilidade lógica e CRIAR NOVOS NÚHEROS mais gerais que os racionais. Esses novos nú,neros são cham~dos NÚr·1EROS IRRACIONAIS . Desta forma. dizemos que a medida da hipotenusa do triângulo ret ângu-lo ABe, de catetos unitários é o número irracional 1.4142135 ... O ma-temático. entretanto. prefere usar uma forma abrevida de pscrever um tal número irracional:

1,4142135 .. ou simplesmente

quadrada de ~ois)

o símbolo

r

lê-se "radical"

"Ih'

(

lê-se

lrIDICE 00 RADICAL

~W

__

EXPOENTE IX) RADICANOO RADlCAL"-/ 2 _____ RADICANOO

Dizer. portanto, que um segmento de reta mede

raiz

f i

cm é o mesmo que dizer que a medida desse segmento é um número que eleva do ao quadrado produz exatamente 2. Simbolicamente, esse fato é ex-presso da seguinte maneira:

Afirma-nos Paul Karlson que "jamais o irracional teve

na Grécia o valor de um número, e os gregos não possuíam símbolo para esta espécie de grandeza. Junto ao comensurávcl (aquilo que pode ser medido) estava o incomensurável (o que não pode ser medido). bem ade-quado para servir de "símbolo da vida" ou "do QUI" não tem imagem", pa

20

ra exprimir o mistério eterno. O fato de haver atacado também este problema

é

prova de extraordinária intrepidez intelectual de pitágQ raso Haver-se recusado ele, depois, a acolher o irracional no reino

dos números - seria de admirar a quem conhece sua filosofia" ?

Como você deve ter notado, a operação de potenciação e~

tá intimamente relacionada com a criação dos números racionais e deve ra ser necessária à compreensão das propriedade e das operações que se pOdem efetuar com esses novos numeroso As duas atividades que se seguem, sobre uma propriedade importante envoLvendo expoentes. torna --se um desvio necessário em nosso caminho.

ATIVIDADE N'l 14: Utilizando, se necessário, uma cada potência de potencia abaixo faça o seguinte:

calculadora, ,para 1) calcule a.potê

n-cia indicada dentro do parênteses e, em seguida, eleve o resultado encontrado ao novo expoente, fora do parênteses; 2) Expresse o resul

-tado anterior numa nova potência cuja base seja igual

à

base da pote~ ciação indicada dentro de cada parênteses_

ai

(

2

')

•

i I

((+J']'

bl

(

3

')

•

j I

(H-r]'

c

'

(

2'

)

,

11

(-2

r

di

(

2'

)

•

ml

(

3

<)'

e I ( 10' ) • _nl

_[(-2)']

5 fi ( 10') • ₀₁

1(-;-rr

•

hl ( 104) pl [(-

+r]'

=

ATIVIDADE NQ 15 : I) Com base na atividade anterior enuncie uma regra prática para transformar uma potência de patên

-cia de uma certa base numa única potência desta mesma base.

2) Aplicando a regra enunciada transforme cada potê~

cia abaixo numa única potência da base dada:

.j

"

.-•

-8

..

_..

.. ..

"

..

"

.fi

.fi

.fi

•

.-",

.-..

•

..

•

..

_..

'

.

~

~

~

3

.. .. ..

~

~

~

~

;li

•

•

_•

It

•

t

•

_•

•

a)

(52

)

5

e)

[(

_5

)

7

]"

b)

(3

7

)

2

=

f)

[

(-7) 7

]

3

=

c)

( 510)10

g)

l

(-

-8

7

f

d)

(10

3

)10

h)

l(-~)

9

r

3)" Determine o valor de x em cac;ta potência d. potência seguinte: a) ( 3

2)'

3

16

d)

[(+lr

(+(3

(

5') 7

=

I b)

514

.

)

(2')

2

( IO

x

)1O

2

c) 10100 f)

(

2X)

2

TEXTO Ni 10: Formas de Representação de um numero irracional

Você. certamente, deve ter esbarrado em uma dificuldade ao tentar fazer o item ( da atividade anterior. A razão ~essa dificul-dade deve-se simplesmente ao hábito de que, numa potenciação, o expoe~

te deva, necessariamente. ser um número natural. Entretanto,

apenas um hábito, não uma necessidade. Na igualdade .(2X)1

=

2

isso

é

não

exis-te para x número natural algum que possa torná-ia verdadeira.

Poderia-mos, entretanto, substituir O valor de x pelo número racional 1 . Is

2

to porque tornando, dessa forma. a igualdade verdadeira Logo.

Oual a importância deste fato?

É

que tendo conscIência dele consegui-mos visualizar uma nova forma de representar o o.umero irracional

12

Isto. porque, 21/2 e um outro simbolo que elevado ao quadrado produz O

numero 2_

Isso nos abre uma nova perspectiva: a de representar nu-meras irracionais através de potênCias de expoentes fracionários e a

de buscar compreendE'r as propriedades e operaçõps com os novos numeros

22

tomando como base as propiedades e operaço€'~ ja estabelecidas para os

numeros racionais. A igualdade seguinte nos pnssibili ta visualizar -'iS

várias formas de se representar um numero 1ue ~levado ao quádrado pro -r:l.uz 2. 2 1 -2 -2 3

2

--0

4 2

13

5 0.5

10

2

=

...

=? 1. 414235 ...

ATIVIDADE N~ 16: Utilizando o teorema de Pi~~~oras rjetermine o Que gP

pede em cada item seguinte. Sempre que a resposta for

um número irracional, expressp-o através de um radi -cal. de uma potência de expopnte fracionário e atr~­

vés da representação decim<'l.l infinita (utilize 'llT!.::l

calculadora) .

ATIVIDADE N~ 17:

:'1) Quanto mede a hipotenusa de um triângulo retângul.,

cujos catetos medem 1 em P 2 em ?

b) Quanto mede a diagonal rle um quadrado cujo la~0 7~

de 2 em ?

J

c) Quanto mede a hipotenusa rjp um

~riângulo

r

et~n

g

ulo

~

cujos ca te tos medem 1 cm r> 3 em ?

t

d) Quanto mede a diagonal de 'Jm retângulo cujos dados ,

perpendiculares medem 2 cm e 3 cm ?

i

e) Quanto mede a aI tura de 11m triângulo €Quilál"ero cu •

jo lado mede 4 cm ?

1) Escreva na forma je radical as seguintes potências de expoentes

cionais: ca 1 1 3 5,5 a) 3-2- _{di 1}

-,

_{g I}

8'-j)

l

+

)

1 1 00,5

(

+f

OI

fi'-

p) h) l i n1 .5 5 7 c) 5°,5 fi 10-2-

i1(+r

m) k 4 ,S

...

~

....

--

..

•

_•

•

•

_•

•

,

•

_I

2 ) Escreva na for!l'l3 de potência d. expoente rae íonal (fracionário irr~

dudve 1

•

decimal os seguintes radicais:

ai

V7'

=

d)«

g

>

{+'

=

j)

VZ'

=

b)

"fi'

=

.)

..[;7'

h

,y~=

I)

W~

c)

ViT

n

W

i )

f2?

m)

0=

ATIVIDADE Nt18:

I ) Diga entre quais r.aJneros, naturais consecutivos está compreendido c.

da um dos numeroz irracionais seguintes:

a)

Vl7

d)

{2.5'

g)y7ã$' j)V623

b)

23 '

/2

.) " 1000 h)

ViSO

1)

fl6SO

c)

..[87

f)

V127

1l (0.9 )0. 5 m)

-{ã33

2 )

Calcule o valor aproximado de cada um dos numeraS irracionais se

-guintes até a casa dos décimos. Não utilize a calculadora.

a)

fi

1 b)

;

-Y-ATIVIDADE NI' 19: c)

{6'

1 d)

7

e)

{Q.5

n"13

10

'

1) Empregando a propriedade da potência de uma potência determine o

valor de:

(

ft

I 2

g)

(I+r

=

a) .I)

(71

: 1 2 h)

l

v'Q.3(

•

b)

(;!7

e)

lv7')

2

Ir

c)

t(

+l

n

(

Vs')

2

il

l

{b)

2

23

24

2) Coloque V ou F nas afirmações seguintes:

a)

b)

c)

) Toda vpz que uma base de expoente

+

for elevada ao

'luadr~

~o obtêm-sp como potência a própria ba5e.

Torla vez que uma base de ~xpoente ~iferente de _~ 1 vada ao quadr~do obtém-se como potênci~ a própria base

for f>le

-Toda vez quP uma base de o=>xpoentp

+

for elevada a um

"X-popnte di fl"rente de 2 obtém-se como pot"pnci.1 a própria base

Toda vez que se eleva ao quadrado a raiz quadrada de um nu-mero obtém-se como potência o próprio radicando.

ATIVIDADE N~ 20: Utilizando o teorema dp Pitágoras responda:

1 ) Quanto medp _a hipotenusa de um trlân~ulo rPtângulo cujos cat~ros _"'~ dem 1 em o Y2cm ?

?l Quanto mede o hipotenusa de um triân,!:ulo r~t;;n~ulo cujos C.'lI-~':"5 _"e dem 1 em e Hem ?

1 ) Quanto mede

_•

diagonal de um quadrado cujo lado mede f i çm

,

4 ) Quanto mede a rjiagonal de um cubo cuja ::tr~sta mede 1 em ?

S} Quanto mede a diagonal de um paralelep1perlo cujo comprimpnto e Sem .

• cuja largura;'

f i

cm e cuja aI tura

é

2 em ?

6) Quanto mede a altura de uma pirâmide reta de base quadr~da saben~o qua a aresta rla base mede 2 em e que uma ~resta não pertencente

à

hasp mede ') em .,

TEXTO N2 11: O CONJUNTO DOS Nu~IEROS REAIS E A OPERAÇÃO RADICIAÇÃO

Ao executar as atividades anteriores ficou claro que rle tprminar a medidn de um dos lados de um triângulO retângulo equivale a ~ncontrar a raiz quadrada de um número positivo, Para 1sso você procu -rava um número positivo (pois representa '1 medi-ia de um lado) que el

e-vado ao quadrado produzisse o radicando.

É por essa razão que os matemâticos dizem que a radicia

-'-;:\0 pone ser pnC,"l!'ada como uma das opprações inv"'rsas da pptenciação A radici~çno desfaz ~quilo que a potenci~ção faz.

Has npm toda forma de se r"!laclonar dois numeros para pr?, r:luzi r outros nllm'-'ros pm matrmatica e consirlpr:vj"" uma operação, A cond.,!.

~ necessaria ~ suficiente para que uma rel~ç;o entre dois números ~e

nu-t

,

,

,

I

.

'

I

•

,

I

I

,

I

•

I

)

•

t

•

J

I

t

•

,

•

,

•

meros quaisquer sempre produza apenas ~ único numero dessa mesma

es-pécle, isto e, esse

_{- - - - -}

mime ro deve existir e ser único.

A adição de numeras naturais

é

uma operaçao pois 'a soma de dois nume ros naturais sempre produz um num e ro natural e esse nume-["o

é

único. Por outro lado, a ~ubtração nao e uma operaçao no conju~

to dos números naturais pois a diferença entre dois números naturais

nem sempre produz um numero natural (3 - 5 = -2 e -2 não

é

um numero

natural )

Seria a radiciação uma operaçao dentro do conjunto dos

numeras racionais? De acordo com a discussão feita acima a ["adicia

-çao nao poderá ser uma operaçao dentro do conjunto dos números racio-nais pois a raiz quadrada de um numero racional nem sempre ~~. num e

ro racional.

Note que a raiz quadrada de certos numeras naturais pode

ser um número natural. Exemplos: ~=

2;V9

'"

3, etc ... Números na tu

rais cujas raízes sao naturais são chamados de QUADRADOS PERFEITOS .

ros

Pode ainda acontecer que a raiz quadrada de certos

n~me-racionais produza números Exemolo: . í 4 =~

V

9

3

racionais.

4

-9-o

caso mais comum, entretanto. e que raizes

numeras racionais

Esse fato

é

o que

prOduzam números irracionais.

impossibilita a radiciação de

Exemplo:

quadradas de

V7'"

2,645.

ser uma operaçao em Q.

Os matemáticos costumam chamar de número real qualquer

numero que seja racional ou irracional. O conjunto dos números reais

indica-se pela letra R. Um outro modo de definir um número real

é

'

o

seguinte: um numero

é

real se e so se o seu quadrado for um número po

sitivo ou zero.

Assim:

2

é

um numero real pOiS: 22

'" 4 (positivo)

-2 E. R pois (-2 )1 4 (positivo)

1 "R

-y- poiS

(+-y"

+

(positivo)

_+ E R poiS

(_+)

Z

=+

(positivo)

f i

E. R pois

(\fZ

)

1 '"

2 (positivo)

R

não é um número real pois

(Ç2)

z

-2 (negativo)