O q-Integral de Jackson.

(1)

O q-Integral de Jackson.

S´eries B´asicas de Fourier.

♦

Universidade de Tr´as-os-Montes e Alto Douro Vila Real, 2010

(2)

salientar e agradecer.

Ao Professor Doutor Jos´e Luis dos Santos Cardoso, orientador da tese, pelo apoio, a partilha do saber e as valiosas contribui¸c˜oes para o trabalho. Obrigado por me acompanhar nesta jornada, por estimular o meu interesse pelo conhecimento e sobretudo pela amizade e confian¸ca demonstradas.

`

A Professora Doutora ˆAngela Macedo,

pelo apoio inform´atico. `

A minha querida esposa Paula Pinho,

pelo apoio, esfor¸co e incentivo durante o desenvolvimento da tese, principalmente na fase final a coincidir com a gravidez e nascimento do nosso filho Andr´e.

Aos meus pais e irm˜as

pela motiva¸c˜ao, compreens˜ao e for¸ca, com que sempre me acompanharam.

Aos meus familiares e amigos

que foram perguntando pelo meu trabalho

(3)

aos meus pais e irm˜as, restante fam´ılia e amigos.

(4)

(5)

Resumo

O q-integral de Jackson Z _b

a

f (t)dqt tem sido usado para definir, em alguns casos particulares,

rela¸cões de ortogonalidade entre fun¸cões hipergeométricas básicas. Alguns exemplos podem ser encontrados nas referências bibliográficas. Neste trabalho estabelecemos condi¸cões gerais em a e b de modo a permitir obter um produto interno definido num espa¸co (vectorial) apropriado. Alargámos, também, as propriedades conhecidas das fun¸cões trigonométricas básicas e, além de novas demonstra¸cões de propriedades conhecidas dos zeros da Terceira Fun¸cão q-Bessel de Jackson (ou Fun¸cão q-Bessel de Hahn-Exton), estudámos algumas propriedades duma fam´ılia particular de q-polinómios que foram definidos a partir de algumas propriedades conhecidas das fun¸cões trigonométricas básicas numa rede q-linear.

(6)

(7)

Abstract

The q-integral of Jackson Z _b

a

f (t)dqt have been used to define, in some particular cases,

orthogo-nality relations among basic hypergeometric functions. Some examples can be found in the bibliographic references. Here we establish general conditions on a and b in order to enable one to obtain an inner-product defined in an appropriated (vectorial) space. We also enlarged the known properties of the basic trigonometric functions and, beyond new proofs on the known properties of the zeros of the Third Jackson q-Bessel Function (or the Hahn-Exton q-Bessel Function), we studied some properties of a particular family of q-polynomials that were defined from some properties of the basic trigonometric functions in a q-linear grid.

(8)

(9)

´Indice

Resumo v

Abstract vii

Introdu¸c˜ao Geral 1

1 q-An´alogos das Fun¸c˜oes Trigonom´etricas 3

1.1 Fun¸c˜ao Γ . . . 3

1.2 Séries hipergeométricas básicas . . . 4

1.3 q-Integral de Jackson . . . . 8

1.4 q-Primitiva¸c˜ao . . . . 18

2 Fun¸c˜oes sinq(z) e cosq(z) numa Rede q-Linear 19 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 19

2.2 Fun¸c˜oes sinq(z) e cosq(z) numa rede q-quadr´atica . . . . 20

2.3 Fun¸c˜oes sinq(z) , cosq(z) numa rede q-linear . . . . 22

2.3.1 Propriedades . . . 23

2.3.2 Rela¸c˜oes de ortogonalidade . . . 28

2.4 q-S´eries de Fourier . . . 34

2.4.1 Introdu¸c˜ao . . . 34

2.4.2 Rela¸c˜oes entre coeficientes de Fourier . . . 34

2.4.3 Exemplos . . . 36

3 Séries básicas de Fourier-Bessel 41 3.1 Introdu¸cão . . . 41

3.2 Propriedades dos zeros da fun¸c˜ao Jν(3)(z; q) . . . . 42

3.3 Expansões em séries básicas de Fourier-Bessel . . . 53

4 Polinómios Ortogonais. Algumas fam´ılias particulares 55 4.1 Introdu¸cão . . . 55 4.2 Propriedades . . . 56 4.3 Fam´ılia de q-polinómios . . . . 60 4.3.1 q-Polinómios mónicos . . . . 61 4.3.2 Fun¸cão geratriz . . . 63 Bibliografia 67 ix

(10)

(11)

Introdu¸c˜

ao Geral

A equa¸c˜ao diferencial

σ(x)y00+ τ (x)y0+ λy = 0 , (1)

onde σ e τ são polinómios de graus não superiores a dois e um, respectivamente, e λ é uma constante, conhecida por equa¸cão do tipo hipergeométrico, modeliza diversos fenómenos, espe-cialmente os ligados à área da f´ısica. Muitas das equa¸cões que aparecem em F´ısica Matemática ou em Mecânica Quântica são casos particulares daquela. São exemplos de solu¸cões de (1) as fam´ılias de polinómios ortogonais clássicos e as fun¸cões de Bessel, Hermite, hipergeométricas e hipergeométricas confluentes, todas conhecidas por fun¸cões especiais da f´ısica matemática [NU1988], [NSU1991].

Paralelamente a estas fun¸cões especiais, em áreas como a mecânica quântica ou em teo-ria de probabilidades, numerosos problemas conduzem a equa¸cões de diferen¸cas do tipo hiper-geométrico [NU1983], onde as respectivas solu¸cões são determinadas num conjunto discreto de pontos. São exemplos dessas solu¸cões os polinómios conhecidos por ”polinómios de variável discreta”. Tais equa¸cões de diferen¸cas podem obter-se a partir da equa¸cão (1) considerando operadores de diferen¸cas no lugar de operadores diferenciais [NU1988], [NSU1991], [C2000]. Interessa-nos o caso mais geral em que a rede de pontos x = x(z) é não-uniforme, resultando a equa¸cão diferencial (1), após uma normaliza¸cão do passo da variável independente z, na equa¸cão de diferen¸cas ˜ σ(z) ∇ ∇x1(z) · ∆y(z) ∆x(z) ¸ + ˜τ (z)∆y(z) ∆x(z) + λy(z) = 0 , (2)

onde y(z) = y(x(z)), ˜σ(z) = 1

2σ(x(z))∇x1(z), ˜σ(z) = σ(x(z)), xν(z) = x ³ z +ν 2 ´ (3) e os operadores ∆ e ∇ s˜ao os conhecidos operadores de ”avan¸co”e de ”recuo”, respectivamente,

∆f (z) = f (z + 1) − f (z) e

∇f (z) = f (z) − f (z − 1) .

As solu¸cões y = y(z) da equa¸cão diferencial (1) verificam uma propriedade fulcral: a respec-tiva derivada y0 _{= y}0_{(z) continua a ser solu¸cão duma equa¸cão diferencial do mesmo tipo, isto é,}

duma equa¸cão do tipo hipergeométrico [NU1988]. No caso das equa¸cões de diferen¸cas (2), uma propriedade análoga será válida se trabalharmos com certo tipo de redes x = x(z): a classe mais geral desse tipo de redes x = x(z) é a definida pela fam´ılia de fun¸cões

x = x(z) = C1qz+ C2q−z+ C3, (4)

(12)

onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias e q é um parâmetro arbitrariamente escolhido no

intervalo ]0, 1[ (em alguns problemas este parâmetro é mais abrangente sendo considerado no c´ırculo unitário |q| < 1 do plano complexo). Notemos que o conjunto deste tipo de redes contém o conjunto das redes consideradas lineares e quadráticas pois é poss´ıvel escolher as constantes

C₁, C₂ e C₃, dependentes do parˆametro q, de tal modo que lim q→1 ¡ C1qz+ C2q−z+ C3 ¢ = C₁0z2+ C₂0z + C₃0, onde C0

1, C20 e C30 s˜ao constantes relativamente a q e a z.

Considerando, ent˜ao, a rede de pontos x = x(z) do tipo (4), constatamos que se y = y(z) =

y(x(z)) é uma solu¸cão da equa¸cão (2), então a fun¸cão v(z) = y(z+12)−y(z−12)

x(z+1 2)−x(z−

1 2)

, que pode ser interpretada como uma aproxima¸cão da derivada y0 _{no ponto x = x(z), é solu¸cão duma equa¸cão}

de diferen¸cas do mesmo tipo de (2), ver [S1989] ou [C2000].

Um dos objectivos deste trabalho ´e estudar propriedades dos q-an´alogos s_q(x) = s_q(x; q) e

cq(x) = cq(x; q) das fun¸cões trigonométricas clássicas sinx e cosx, apresentadas em [AS1992]

e estudados em diversas publica¸cões, nomeadamente quanto a questões relacionadas com ex-pansões em série de Fourier, entre as quais se destacam [E1983], [C2000] e [C2005]. Nesta sequência, e uma vez que as fun¸cões sq(x) e cq(x) acima referidas podem escrever-se por

in-termédio da fun¸cão q-Bessel de Hahn-Exton ou Terceira Fun¸cão q-Bessel de Jackson, Jν(3)(x; q),

estudaremos, também, algumas propriedades destas últimas fun¸cões. Daremos, também, ênfase ao q-integral introduzido por Jackson, ao qual está associada a ortogonalidade das fun¸cões acima referidas, ponto de partida indispensável para estabelecer desenvolvimentos em série de Fourier. O presente trabalho está organizado por cap´ıtulos. No primeiro deles são introduzidos os conceitos de partida assim como algumas propriedades. Entre eles, o q-integral de Jackson é um dos mais importantes. No segundo cap´ıtulo são estudados os q-análogos das fun¸cões seno e coseno numa rede q-linear relativamente a certas propriedades, das quais se destacam algumas rela¸cões de recorrência e expansões em séries básicas de Fourier. O cap´ıtulo três centra-se na Terceira Fun¸cão de q-Bessel de Jackson ou Fun¸cão q-Bessel de Hahn-Exton, com especial relevo para alguns resultados envolvendo os respectivos zeros. Finalmente, o quarto cap´ıtulo procura identificar a fam´ılia de q-polinómios definidos por intermédio das rela¸cões (2.37), (2.38), (2.43) e (2.44), assim como algumas suas propriedades.

Presumem-se como originais, lema 1.6, corolários 1.7 e 1.8, teoremas 1.3, 1.4, 1.9, 1.10, 1.11, 1.12 e 1.13, lema 2.2, corolários 2.3 e 2.4, lema 2.9, corolário 2.10, as rela¸cões (2.76), (2.79) e (2.80). As demonstra¸cões dos teoremas 1.5 e 2.12 são originais e, além disso, embora sejam já conhecidas as propriedades dos zeros da Terceira Fun¸cão de q-Bessel, procurámos demonstrar os teoremas 3.1, 3.2, 3.3 e 3.4 de uma forma original. Também acreditamos que as provas dos teoremas 3.7 e 3.8 são originais, assim como (3.23) e (3.24) relativamente ao uso da fórmula de Kvitsinsky para calcular a soma dos quadrados dos inversos dos zeros positivos das fun¸cões sq(x)

e cq(x). Por fim, também são originais as proposi¸cões 4.7 e 4.8 bem como as fun¸cões geratrizes

(13)

q-An´

alogos das Fun¸c˜

oes

Trigonom´

etricas

1.1 Fun¸c˜

ao Γ

Uma das maneiras de definir a fun¸cão Gama, representada por Γ, é através do integral impróprio de Euler

Γ(z) := Z _+∞

0

xz−1e−xdx , (1.1)

o qual ´e convergente quando Re(z) > 0. Integrando por partes obtemos

Z _+∞ 0 xze−xdx = [−xze−x]+∞₀ + z Z _+∞ 0 xz−1e−xdx , donde Γ(z + 1) = zΓ(z) . (1.2)

Esta importante propriedade permite concluir que a fun¸cão Γ é uma generaliza¸cão ao campo complexo da fun¸cão factorial, definida indutivamente por 0! = 1 e n! = n(n − 1)! , n ∈ N .

Em alternativa, também é poss´ıvel definir a fun¸cão Γ por intermédio da teoria dos produtos infinitos, através do conhecido produto de Weierstrass

1 Γ(z) := ze γz +∞_Y n=1 h³ 1 +z n ´ e−nz i ,

onde γ, conhecida por constante de Euler ou de Mascheroni, ´e definida por

γ := lim n→+∞ Ã _n X k=1 1 k− ln n ! .

Relativamente a produtos infinitos, propriedades da fun¸cão Γ e sobre a equivalência entre as duas defini¸cões, uma boa referência é [R1960].

(14)

1.2 S´

eries hipergeom´

etricas b´

asicas

Em 1812 , Gauss apresentou a s´erie

1 +ab c z + a(a + 1)b(b + 1) 2! c(c + 1) z 2₊ a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2) 3! c(c + 1)(c + 2) z 3_{+ · · · ,} _(1.3)

como fun¸cão de a, b, c e z , sendo assumido que c 6= 0, −1, −2, . . . . Ele provou que a série de cima converge absolutamente quando |z| < 1 ou, no caso de <(c − a − b) > 0 , quando |z| = 1 . Para representar abreviadamente a série (1.3) usou a nota¸cão F (a, b, c, z) , embora hoje seja mais comum usar uma das nota¸cões

2F1(a, b; c; z) , 2F1   a , b _{; z} c   .

Uma vez que quando a = 1 e b = c resulta a s´erie geom´etrica 1 + z + z2+ z3+ · · · ,

a série (1.3) é conhecida por série hipergeométrica ou série (fun¸cão) hipergeométrica de Gauss. Numerosas fun¸cões nossas conhecidas podem exprimir-se por intermédio das séries de Gauss como, por exemplo:

za _{= F}¡_{− a, b; b; 1 − z}¢_, log z = (z − 1)F¡1, 1; 2; 1 − z¢, ez ₌ _lim a→∞F ¡ a, b; b; z/a¢,

onde, nos dois primeiros casos, |z−1| < 1 . Também os polinómios ortogonais clássicos podem ser representados através da nota¸cão das fun¸cões hipergeométricas: entre eles, para n = 0, 1, 2, . . . ,

T_n(x) = F¡− n, n;1 2;1−x2

¢

, Pol. de Tchebichef de 1o _esp´ecie

Un(x) = (n + 1) F

¡

− n, n + 2;3₂;1−x₂ ¢, Pol. de Tchebichef de 2o _esp´ecie Pn(α,β)(x) = (α+1)_n! nF

¡

− n, n + α + β + 1; α + 1;1−x₂ ¢, Pol. de Jacobi ,

onde o s´ımbolo de Pochhammer (a)n ´e definido por

(a)n:=

(

1 se n = 0

a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n − 1) se n = 1, 2, . . . . (1.4) Com esta ´ultima nota¸c˜ao podemos escrever

2F1(a, b; c; z) = +∞ X n=0 (a)n(b)n (c)n zn n! .

Notar que se utilizarmos a fun¸cão Gama Γ, definida na seçcão 1.1, podemos escrever (a)n= Γ(a + n)_Γ(a) .

(15)

Por sua vez, em 1846, Heine introduziu a s´erie 1 +(1 − qa)(1 − qb)

(1 − q)(1 − qc₎ z +

(1 − qa_{)(1 − q}a+1_{)(1 − q}b_{)(1 − q}b+1₎

(1 − q)(1 − q2_{)(1 − q}c_{)(1 − q}c+1₎ z2+ · · · . (1.5)

Uma vez que

lim

q→1

1 − qa

1 − q = a , (1.6)

cada uma das parcelas da s´erie (1.5) tende para a parcela correspondente da s´erie (1.3) quando

q → 1, podendo, deste modo, (1.5) ser considerada como uma generaliza¸c˜ao da s´erie (1.3). A

série (1.5) ficou, então, conhecida por série de Heine ou, em alternativa, série hipergeométrica básica ou série q-hipergeométrica. A fraçcão 1−q_1−qa diz-se o número básico de a e q a base.

A nota¸cão usada por Heine foi inspirada na de Gauss, usando φ(a, b; c; q, z) para representar a sua série. Hoje em dia, por ser mais conveniente, é mais frequente a nota¸cão

2φ1(a, b; c; q; z) = 2φ1   a , b _{; q , z} c   = X+∞ n=0 (a; q)n(b; q)n (q; q)n(c; q)nz n_, com c 6= 0, −1, −2, . . . , onde (a; q)n:= ( 1 se n = 0 (1 − a)(1 − aq) · · · (1 − aqn−1) se n = 1, 2, . . . (1.7) e (a; q)∞:= ∞ Y k=0 ³ 1 − aqk ´ , (1.8)

são os chamados q-factoriais. Também se definem os q-multifactoriais para abreviar o produto de vários q-factoriais

(a1, a2, . . . , am; q)n:= (a1; q)n(a2; q)n· · · (am; q)n, (1.9)

onde q , por razões de convergência dos produtos infinitos, é um parâmetro tal que |q| < 1 . No nosso caso, salvo dito o contrário, limitar-nos-emos ao campo real e ao caso em que 0 < q < 1 . O caso em que |q| > 1 , quando a série é convergente, pode reduzir-se ao precedente através da mudan¸ca de variável p = 1/q . Para ´ındices negativos define-se

(a; q)−n= 1

(aq−n_{; q)} n

, n ∈ N.

S´eries hipergeom´etricas generalizadas

As séries que se seguem, conhecidas por séries hipergeométricas generalizadas, são uma generaliza¸cão natural das séries hipergeométricas ou séries de Gauss:

rFs(a1, a2, . . . , ar; b1, b2, . . . , bs; z) ≡ rFs   a1, a2, . . . , ar _{; z} b1, b2, . . . , bs   := +∞ X n=0 (a1)n(a2)n. . . (ar)n (b1)n(b2)n. . . (bs)n zn n! . (1.10)

(16)

Admite-se que os parˆametros b1, b2, . . . , bss˜ao tais que os factores dos denominadores nunca

se anulam, isto é, admite-se que b₁, b₂, . . . , b_s são inteiros não-negativos. Tomando como exemplo as fun¸cões exponencial e trigonométricas, tem-se

ez=0F0(z) , sinz =0F1   − ; −z4 4 3 2   ,

ou, para a fun¸c˜ao de Bessel [NU1988] de ordem ν,

Jν(z) = _{Γ(ν + 1)}1 ³ z₂ ´_ν 0F1   − ; −z₄2 ν + 1   .

Também o teorema binomial, ver [GR1997], pode ser representado na nota¸cão hipergeométrica generalizada pois 1 (1 − z)a = +∞ X n=0 (a)_n n! z n₌ 1F0(a; z) .

Representando por un o termo geral da s´erie (1.10) tem-se un+1

un =

(a1+ n)(a2+ n) · · · (ar+ n)

(1 + n)(b1+ n)(b2+ n) · · · (bs+ n)z .

Notemos que é uma fun¸cão racional de n e que o critério D’Alembert permite concluir que a série (1.10) converge absolutamente nos casos

• r ≤ s para todo z ; • r = s + 1 para |z| < 1 .

Se r > s + 1 e z 6= 0, ou, r > s + 1 e |z| > 1 a série diverge, excepto no caso de a soma ser constitu´ıda por um n´umero finito de parcelas. Tal acontece se um dos parâmetros a_i do numerador, é um inteiro negativo para algum i = 1, . . . , r .

Se r = s + 1 e |z| = 1 então, [AAR1999, pág. 62], a série geométrica (1.10)

• converge absolutamente se Re Ã s X i=1 bi− s X i=1 ai ! > 0 ; • converge simplesmente se z 6= 1 e −1 < Re Ã s X i=1 b_i− s X i=1 a_i ! ≤ 0 ; • diverge se Re Ã _s X i=1 bi− s X i=1 ai ! ≤ −1 .

(17)

Séries hipergeométricas básicas

Por sua vez, uma generaliza¸cão da série de Heine é dada pela série hipergeométrica básica

(generalizada) ou s´erie q-hipergeom´etrica rφs, definida por

rφs(a1, a2, . . . , ar; b1, b2, . . . , bs; q, z) ≡ rφs   a1, a2, . . . , ar _{; q , z} b₁, b₂, . . . , b_s   := +∞ X n=0 (a1, a2, . . . , ar; q)n (q, b1, b2, . . . , bs; q)n h (−1)nq(n2) i_1+s−r zn. (1.11) Também em (1.11) se admite que os parâmetros dos denominadores são tais que os factores dos mesmos nunca se anulam, o que equivale a dizer que cada bi, i = 1, 2, . . . , s , não pode escrever-se

na forma q−n_{, n = 0, 1, 2, . . . .}

Quanto à convergência da série hipergeométrica básica (1.11), se 0 < |q| < 1 , podemos dizer que a série converge absolutamente nos casos:

• r ≤ s para todo z ; • r = s + 1 para |z| < 1 ; • r > s + 1 para z = 0 .

Diverge se r > s + 1 e z 6= 0, ou, r = s + 1 e |z| > 1 .

Quando |q| > 1 , ela converge absolutamente se |z| < |b1b2. . . bs| |a1a2. . . ar|

e diverge se |z| > |b1b2. . . bs| |a1a2. . . ar| .

Alguns autores n˜ao consideram na defini¸c˜ao derφso factor

h

(−1)n_q(n2) i_1+s−r

. Contudo a grande maioria dos autores opta pela presente defini¸c˜ao, porque se substituirmos z por z

ar e tomarmos

o limite ar → +∞ então a série resultante a partir de (1.11) é uma série do mesmo tipo com r − 1 no lugar de r. Sobre estes ´ultimos conceitos e sobre as condi¸cões gerais de convergência duma série hipergeométrica básica consultar, por exemplo, [GR1997].

Proposi¸c˜ao 1.1 Tem-se, para n = 0, 1, 2, . . . , lim q→1 ¡ qa_{; q}¢ n (1 − q)n = (a)n.

Dem. De facto, tem-se sucessivamente, por interm´edio de (1.6), lim q→1 ¡ qa; q¢_n (1 − q)n = lim_q→1 ¡

1 − qa_{)(1 − q}a+1_{)(1 − q}a+2_{) · · · (1 − q}a+n−1₎

(1 − q)(1 − q)(1 − q) · · · (1 − q) = a(a + 1)(a + 2) · · · (a + n − 1)

= (a)n.

¤ Corol´ario 1.2 Tem-se, para n = 0, 1, 2, . . . ,

lim q→1 ¡ qa_{; q}¢ n ¡ q; q¢_n = (a)n n! .

(18)

Dem. Notar que se tomarmos a = 1 na proposi¸c˜ao 1.1 resulta lim q→1 ¡ q; q¢_n (1 − q)n = n! (1.12)

pois, da defini¸c˜ao (1.4), (1)n= n!. Tamb´em podemos obter este ´ultimo resultado usando (1.6).

O corolário segue-se então a partir da proposi¸cão 1.1.

¤

1.3 q-Integral de Jackson

Defini¸c˜ao O conceito de q-integral de f em [0, 1] , Z ₁ 0 f (x)dqx = (1 − q) +∞ X n=0 f (qn)qn, (1.13)

foi introduzido por Thomae em finais do s´ec.XIX em [T1869] e [T1870]. Posteriormente, no in´ıcio do s´ec.XX, Jackson [J1910] extendeu aquele conceito a

Z _b a f (x)dqx = Z _b 0 f (x)dqx − Z _a 0 f (x)dqx , (1.14) onde _Z a 0 f (x)dqx = a(1 − q) +∞ X n=0 f (aqn)qn. (1.15)

Uma fun¸c˜ao f diz-se q-integr´avel em [a, b] se −∞ < Z _b a f (x)d_qx < +∞. Atendendo a (1.14) e a (1.15), Z _b a f (x)d_qx = b(1 − q) +∞ X n=0 f (bqn)qn− a(1 − q) +∞ X n=0 f (aqn)qn = (1 − q) +∞ X n=0 h bf (bqn) − af (aqn) i qn. (1.16)

Esta no¸cão de q-integral teve, curiosamente, as suas mais remotas origens mesmo antes de Leibniz e Newton, na segunda metade do séc.XVII, terem desenvolvido de forma sistemática o cálculo diferencial. Na verdade, muitos matemáticos que os precederam, tentavam determinar

o valor do integral _Z

a

0

xαdx .

A t´ıtulo de exemplo, Arquimedes calculou, de duas maneiras diferentes, o caso α = 2 . Numa delas usou o valor da soma 12 _{+ 2}2_{+ . . . + n}2_{, que j´a era conhecida desde os babil´onios em}

1700 a.C., enquanto na outra usou a soma de um número finito de termos de uma progressão geométrica. No in´ıcio do séc.XVII, aquele integral tinha sido calculado, ao que se julga, até ao

(19)

caso α = 9 . O problema residia em lidar com a soma 1k_{+ 2}k_{+ . . . + n}k _{de uma maneira geral.}

Em 1950, Fermat e Pascal, entre outros, resolveram o problema tendo Fermat descoberto uma maneira mais fácil através duma série geométrica. Decompondo o intervalo [0, a] através dos pontos xn = aqn, n = 0, 1, 2, . . ., onde 0 < q < 1, uma aproxima¸cão do integral considerado

seria dada por

+∞ X n=0 xα_n(xn− xn+1) = +∞ X n=0 (aqn)α(aqn− aqn+1) = a(1 − q) +∞ X n=0 (aqn)αqn

ou seja, por interm´edio de (1.15), Z _a 0 xαdx ≈ Z _a 0 xαdqx .

Fermat conseguiu um valor aproximado do integral para o caso em que α é racional. Para uma nota histórica um pouco mais profunda consultar [AAR1999, pág. 485].

Exemplos

Em seguida, vamos calcular alguns exemplos de q-integrais. Tem-se, sucessivamente, Z ₂ 1 3x2dqx = 3 Z ₂ 1 x2dqx = 3 "_+∞ X n=0 £ 2(2qn)2− (qn)2¤qn(1 − q) # = 3 +∞ X n=0 (8q2n− q2n)qn(1 − q) = 21(1 − q) +∞ X n=0 q3n = 21 q2_{+ q + 1}.

Por sua vez,

Z _b a xndqx = +∞ X k=0 h b(bqk)n− a(aqk)n i qk(1 − q) = (1 − q)(bn+1− an+1) +∞ X k=0 (qn+1)k = (bn+1− an+1) 1 − q 1 − qn+1 = bn+1− an+1 qn_{+ · · · + q + 1} = bn+ bn−1a + · · · + ban−1+ an qn_{+ · · · + q + 1} (b − a).

(20)

Notar que Z _b a xndx ≤ Z _b a xndqx ≤ (n + 1) Z _b a xndx

Jackson também considerou Z _+∞ 0 f (x)dqx = (1 − q) +∞ X n=−∞ f (qn)qn (1.17) e Z _+∞ −∞ f (x)dqx = (1 − q) +∞ X n=−∞ [f (qn) + f (−qn)]qn. (1.18) Como é sabido, uma fun¸cão g(x, q) diz-se um q-análogo da fun¸cão f quando existe uma constante c independente de x tal que lim

q→1g(cx, q) = f (x).

De real¸car que se f é uma fun¸cão cont´ınua em [0, a] , então lim q→1 Z _a 0 f (x)dqx = Z _a 0 f (x)dx (1.19)

e de modo similar para os restantes q-integrais. Assim, as defini¸c˜oes dos q-integrais (1.13)-(1.18) podem ser interpretadas como q-an´alogos dos integrais de Riemann correspondentes.

Teorema 1.3 Sejam a ∈ IR+ e f e g duas fun¸cões q-integráveis em [0, a] tais que f (t) ≤ g(t) para todo o t ∈ [0, a]. Então, _Z

a 0 f (t)dqt ≤ Z _a 0 g(t)dqt .

Dem. Tem-se, a partir de (1.16), Z _a 0 f (t)dqt = (1 − q) +∞ X n=0 af (aqn)qn.

Da hip´otese de f (t) ≤ g(t) sempre que t ∈ [0, a] resulta

af (aqn) ≤ ag(aqn), donde _Z a 0 f (t)dqt ≤ Z _a 0 g(t)dqt . ¤ Teorema 1.4 Sejam a, b ∈ IR, com a < b, e f e g duas fun¸c˜oes q-integr´aveis em [a, b] tais que

f (t) ≤ g(t) sempre que t ∈ [a, b]. Se a < 0 < b ent˜ao Z _b a f (t)dqt ≤ Z _b a g(t)dqt .

(21)

Dem. Da hip´otese de f (t) ≤ g(t) quando t ∈ [a, b] resulta

f (bqn) ≤ g(bqn) e f (aqn) ≤ g(aqn) , donde, por um lado, como b > 0,

bf (bqn) ≤ bg(bqn), (1.20)

e por outro, como a < 0,

af (aqn) ≥ ag(aqn) , e portanto,

−af (aqn) ≤ −ag(aqn). (1.21)

De (1.20) e (1.21) resulta a desigualdade

bf (bqn) − af (aqn) ≤ bg(bqn) − ag(aqn) , a qual mostra, a partir de (1.16), que

Z _b a f (t)dqt ≤ Z _b a g(t)dqt . ¤ Representemos o conjunto das fun¸c˜oes de quadrado q-integr´avel em [a, b] por L2

q ¡ [a, b]¢, isto ´e, seja L2_q¡[a, b]¢= ½ f : Z _b a f2(t)dqt < +∞ ¾ .

Notemos que se se pretendesse considerar fun¸c˜oes complexas ter´ıamos

L2_q¡[a, b]¢= ½ f : Z _b a |f (t)|2dqt < +∞ ¾ . Definindo em L2 q ¡

[a, b]¢a rela¸c˜ao ”≡”atrav´es de

f ≡ g ⇔

(

f (aqn_{) = g(aq}n_{) ,} _{n = 0, 1, 2, . . .} f (bqn_{) = g(bq}n_{) ,} _{n = 0, 1, 2, . . .}

é trivial mostrar que se trata duma rela¸cão de equivalência. Representemos por L2

q

¡

[a, b]¢ o conjunto quociente constitu´ıdo pelas classes de equivalência definidas através da rela¸cão ”≡”, isto é, L2_q¡[a, b]¢= ½ f ∈ L2_q¡[a, b]¢±≡ : Z _b a f2(t)dqt < +∞ ¾ . (1.22)

Teorema 1.5 Se a = 0 < b ou a < 0 < b ent˜ao o conjunto L2

q

¡

[a, b]¢, munido das opera¸cões usuais de adi¸cão de fun¸cões e multiplica¸cão escalar, define um espa¸co vectorial.

(22)

Dem. Mostremos que é um subespa¸co vectorial do espa¸co das fun¸cões reais de variável real. ´

E ´obvio que qualquer fun¸c˜ao constante pertence a L2

q ¡ [a, b]¢logo L2 q ¡ [a, b]¢6= Ø .

Tamb´em ´e trivial constatar que se f ∈ L2

q

¡

[a, b]¢ent˜ao λf ∈ L2

q

¡

[a, b]¢para todo o escalar λ . Resta mostrar que é fechado para a adi¸cão: sejam f e g duas fun¸cões de quadrado q-integrável. Da desigualdade triangular

0 ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| conclui-se que

|x + y|2≤ (|x| + |y|)2 ,

donde, uma vez que

2|x||y| ≤ |x|2+ |y|2,

resulta

|x + y|2≤ 2¡|x|2+ |y|2¢.

Assim, pelo teorema 1.3 ou pelo teorema 1.4, consoante a = 0 < b ou a < 0 < b, respectivamente, Z _b a |f (t) + g(t)|2d_qt ≤ 2 µZ _b a |f (t)|2d_qt + Z _b a |g(t)|2d_qt ¶ ,

o que mostra que

f + g ∈ L2_q¡[a, b]¢ sempre que f, g ∈ L2_q¡[a, b]¢.

¤

q-deriva¸c˜ao

Seja f uma fun¸c˜ao real definida em IR e consideremos o q-operador de diferen¸cas sim´etrico

δ_qf (x) = f (q1/2x) − f (q−1/2x) . (1.23)

Daqui resulta o q-operador de deriva¸c˜ao

δqf (x) δ_qx =      f (q12x) − f (q−12x) (q12 − q− 1 2)x se x 6= 0 , f0(0) se x = 0 e existe f0(0) .

Da defini¸cão de δq e das propriedades das fun¸cões trigonométricas podemos escrever as seguintes

igualdades: δqsinx δqx = sin ³ q12x ´ − sin ³ q−12x ´ q12x − q− 1 2x = 2sin µ q12_x−q− 12_x 2 ¶ cos µ q12_x+q− 12_x 2 ¶ q12x − q−12x = sin µ q12x−q− 12x 2 ¶ q12_x−q− 12_x 2 cos Ã q12x + q−12x 2 ! .

(23)

Notar que

lim

q→1

δqsinx

δqx = cosx .

Por sua vez,

δqln x δqx = ln ³ q12x ´ − ln ³ q−12x ´ q12x − q− 1 2x = ln q q−1₂_{x(q − 1)} = q12 ln q−1 1 − q 1 x. Neste caso lim q→1 δ_qln x δqx = 1 x.

Para o caso da fun¸c˜ao exponencial tem-se

δ_qex δqx = eq12x_{− e}−q12x q12x − q−12x = eq− 12_xe(q 1 2−q− 12)x_{− 1} ³ q12 − q−12 ´ x , donde, lim q→1 δqex δqx = e x_.

Para o mon´omio xn _tem-se δqxn δ_qx = ³ q12x ´_n − ³ q−12x ´_n q12x − q− 1 2x = q n 2(1 − qn) q12(1 − q) xn−1 = qn−12 1 − q n 1 − q x n−1_, e portanto lim q→1 δqxn δqx = nx n−1_.

Finalmente, se f ´e deriv´avel num conjunto aberto contendo x tem-se

lim q→1 δqf (x) δqx = lim q→1 f (q12x) − f (q− 1 2x) q12x − q−12x = 1 q12 − q− 1 2 " lim q→1 f (q12x) − f (x) x − limq→1 f (q−12x) − f (x) x # = 1 q12 − q−12 " (q12 − 1) lim q→1 f (q12x) − f (x) q12x − x − (q−12 − 1) lim q→1 f (q−1₂_{x) − f (x)} q−12x − x # = 1 q12 − q− 1 2 h (q12 − 1)f0(x) − (q− 1 2 − 1)f0(x) i = f0_{(x) ,}

(24)

donde δ_q ³ 1 f (x) ´ δqx = 1 f (q12_x) − 1 f (q− 12_x) q12x − q−12x = −f (q 1 2x) − f (q− 1 2x) q12x − q−12x 1 f (q12x)f (q−12x) = − δq(f (x)) δqx f (q12x)f (q− 1 2x) , da qual resulta lim q→1 δ_q ³ 1 f (x) ´ δqx = −f0(x) f2_(x).

q-integra¸c˜ao por partes

O próximo lema generaliza a rela¸cão (1.30) de [C2000] enquanto o teorema 1.9 generaliza a rela¸cão (1.32) do mesmo trabalho.

Lema 1.6 Tem-se, para a, b ∈ IR , Z _b a δqf (x) δ_qx dqx = q 1 2 ½h f (bq−12) − f (aq−12) i − · lim n→+∞f (bq 1 2+n) − lim n→+∞f (aq 1 2+n) ¸¾ , desde que os limites envolvidos existam.

Dem. Das defini¸cões (1.14) e (1.23) resulta, sucessivamente, Z _b a δ_qf (x) δqx dqx = Z _b a f (q12x) − f (q− 1 2x) (q12 − q−12)x dqx = − Z _a 0 f (q12x) − f (q− 1 2x) (q12 − q−12)x dqx + Z _b 0 f (q12x) − f (q− 1 2x) (q12 − q−12)x dqx donde, da defini¸cão (1.15), Z _b a δ_qf (x) δqx d_qx = −(1 − q) " a +∞ X n=0 f (aq12+n) − f (aq− 1 2+n) a(q12 − q−12) − b +∞ X n=0 f (bq12+n) − f (bq− 1 2+n) b(q12 − q−12) # = q12 (_+∞ X n=0 h f (aq12+n) − f (aq− 1 2+n) i − +∞ X n=0 h f (bq12+n) − f (bq− 1 2+n) i) . Considerando Sk= k X n=0 h f ³ aq12+n ´ − f ³ aq−12+n í

(25)

e T_k= k X n=0 h f ³ bq12+n ´ − f ³ bq−12+n í tem-se Sk= f ³ aq12+k ´ − f ³ aq−12 ´ e Tk = f ³ bq12+k ´ − f ³ bq−12 ´ , e portanto, Z _b a δqf (x) δqx dqx = q 1 2 ½h f (bq−12) − f (aq−12) i − · lim k→+∞f (bq 1 2+k) − lim k→+∞f (aq 1 2+k) ¸¾ . ¤ Como consequência deste último lema temos os próximos dois corolários.

Corol´ario 1.7 Se a , b ∈ IR e existem os limites lim

x→0+f (x) = f (0 +_{) ,} _lim x→0−f (x) = f (0 −₎ ent˜ao _Z b a δqf (x) δqx dqx = q 1 2 nh f (bq−12) − f (aq− 1 2) i − l(a, b) o onde l(a, b) =                      0 se ab > 0 , f (0+_{) − f (0}−_{) se a < 0 < b ,} f (0+_{) − f (0)} _{se a = 0 < b ,} f (0) − f (0−₎ _{se a < 0 = b ,} f (0−_{) − f (0}+_{) se b < 0 < a .}

Corol´ario 1.8 Se a , b ∈ IR e f ´e cont´ınua em x = 0 ent˜ao Z _b a δqf (x) δqx d_qx = q12 h f (bq−12) − f (aq− 1 2) i .

O próximo teorema contém um q-análogo da fórmula de integra¸cão por partes. Será de crucial importância na seçcão 2.3.

Teorema 1.9 Se a , b ∈ IR tem-se Z _b a g(q±12x)δqf (x) δ_qx dqx = − Z _b a f (q∓12x)δqg(x) δ_qx dqx + q12 ½h (f g)(bq−12) − (f g)(aq− 1 2) i − · lim n→+∞(f g)(bq 1 2+n) − lim n→+∞(f g)(aq 1 2+n) ¸¾ , (1.24)

desde que os limites envolvidos existam.

Dem. Da defini¸c˜ao do operador δ_q dada em (1.23) resulta

δq[f (x)g(x)] = f (q∓

1

2x)δ_qg(x) + g(q± 1

(26)

donde g(q±12x)δqf (x) δ_qx = −f (q ∓1 2x)δqg(x) δ_qx + δq[f (x)g(x)] δ_qx .

Usando, agora, nesta ´ultima identidade, o lema 1.6, obt´em-se imediatamente (1.24).

¤ Teorema 1.10 Se existem os limites

lim x→+∞f (x) = f (+∞) , limx→−∞f (x) = f (−∞) , limx→0+f (x) = f (0 +_{) e} _lim x→0−f (x) = f (0 −₎ ent˜ao _Z +∞ −∞ δqf (x) δ_qx dqx = q 1 2 n f (+∞) − f (−∞) −¡f (0+) − f (0−)¢o. (1.26) Dem. Das defini¸c˜oes (1.23) e (1.18) resulta

Z _+∞ −∞ δqf (x) δqx dqx = Z _+∞ −∞ f (q12x) − f (q−12x) (q12 − q− 1 2)x dqx = (1 − q) +∞ X n=−∞ " f (q12+n) − f (q−12+n) q12+n− q− 1 2+n +f (−q 1 2+n) − f (−q−12+n) −q12+n+ q− 1 2+n # qn = 1 − q q−12(q − 1) +∞ X n=−∞ h f (qn+12) − f (qn− 1 2) − f (−qn+ 1 2) + f (−qn− 1 2) i = −q12 +∞ X n=−∞ h f (qn+12) − f (qn− 1 2) − f (−qn+ 1 2) + f (−qn− 1 2) i . Considerando S_k= k X n=0 h f (qn+12) − f (qn− 1 2) − ³ f (−qn+12) − f (−qn− 1 2) ´i e Tm= −m X n=−1 h f (qn+12) − f (qn−12) − ³ f (−qn+12) − f (−qn−12) ´i resulta S_k = f (−q−12) − f (q− 1 2) − ³ f (−q12+k) − f (q 1 2+k) ´ e Tm= f (q− 1 2) − f (−q−12) − ³ f (q−12−m) − f (−q−12−m) ´ , donde, Z _+∞ −∞ δ_qf (x) δqx dqx = −q 1 2 µ lim k→+∞Sk+ limm→+∞Tm ¶ = −q12 ½ lim n→−∞ h f (−qn−12) − f (qn− 1 2) i + lim n→+∞ h f (qn+12) − f (−qn+ 1 2) i¾ ,

o que prova o pretendido.

(27)

Teorema 1.11 Se existem os limites lim x→+∞f (x) = f (+∞) e limx→0+f (x) = f (0 +₎ ent˜ao _Z +∞ 0 δ_qf (x) δqx dqx = q 1 2 £ f (+∞) − f (0+)¤. (1.27)

Dem. Das defini¸c˜oes (1.23) e (1.17) obt´em-se Z _+∞ 0 δ_qf (x) δqx dqx = Z _+∞ 0 f (q12x) − f (q−12x) (q12 − q−12)x dqx = (1 − q) +∞ X n=−∞ " f (q12+n) − f (q− 1 2+n) q12+n− q−12+n # qn = −q12 +∞ X n=−∞ h f (qn+12) − f (qn− 1 2) i . Considerando S_k= k X n=0 h f (qn+12) − f (qn− 1 2) i e Tm= −m X n=−1 h f (qn+12) − f (qn−12) i resulta Sk= f (qk+ 1 2) − f (q− 1 2) e Tm = f (q− 1 2) − f (q−m− 1 2) donde, Z _+∞ 0 δqf (x) δqx dqx = −q 1 2 µ lim k→+∞Sk+ limm→+∞Tm ¶ = −q12 · lim n→+∞f (q n+1 2) − lim n→−∞f (q n−1 2) ¸ ,

o que prova o pretendido.

¤ De modo an´alogo se prova o seguinte resultado.

Teorema 1.12 Se existem os limites lim x→−∞f (x) = f (−∞) e limx→0−f (x) = f (0 −₎ ent˜ao _Z 0 −∞ δ_qf (x) δqx dqx = q 1 2 £ f (0−) − f (−∞)¤. (1.28)

(28)

1.4 q-Primitiva¸c˜

ao

Defini¸c˜ao 1.1 Dada uma fun¸c˜ao f , diremos que F (x, q) ´e uma q-primitiva de f se

δqF (x; q)

δ_qx = f (x) .

Teorema 1.13 Se f é uma fun¸cão limitada ou cont´ınua na origem então a fun¸cão

F (x; q) = q−12 Z _q1

2_x

a

f (t)d_qt ´e uma q-primitiva de f .

Dem. Consideremos a fun¸c˜ao G(x; q) = Z _x a f (t)dqt . De (1.23) e (1.16) resulta, sucessivamente, δqG(x; q) δqx = G ³ q12x; q ´ − G ³ q−1₂_{x; q}´ q12x − q−12x = − q 1 2 (1 − q)x Z _q1 2x q− 12_x f (t)dqt = − q 1 2 (1 − q)x " q12x(1 − q) +∞ X n=0 f ³ q12xqn ´ qn− q−12x(1 − q) +∞ X n=0 f ³ q−12xqn ´ qn # = −q12 · lim n→+∞q 1 2+nf ³ q12+nx ´ − q−12f ³ q−12x ´¸ = f ³ q−12x ´ − lim n→+∞q 1+n_f³_q1 2+nx ´ . (1.29) Assim, no caso de f ser limitada ou cont´ınua na origem tem-se

δqG(x; q) δqx = f ³ q−12x ´ .

Deste modo, por interm´edio de (1.29), podemos concluir, que para F (x; q) = q−12 Z _q1 2x a f (t)dqt , δqF (x; q) δqx = f (x) . ¤

(29)

Fun¸c˜

oes sin

_q

(z) e cos

_q

(z) numa Rede

q-Linear

2.1 Introdu¸c˜

ao

Consideremos a equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem

σy00+ λy = 0 , (2.1)

caso particular da equa¸c˜ao (1), correspondente a σ(z) = σ e τ (z) = 0 .

Uma das solu¸cões da equa¸cão diferencial linear de segunda ordem de cima é a fun¸cão

expo-nencial y(z) = eαz_{, com λ/σ = −α}2_.

Em alternativa, a fun¸c˜ao exponencial f (z) = ez_{, definida no campo complexo ou apenas no}

real, pode ser definida como a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial de primeira ordem

f0(z) = f (z) , sujeita `a condi¸c˜ao inicial f (0) = 1 .

Esta importante fun¸cão, cuja primeira abordagem no campo real é feita no Ensino Se-cundário, satisfaz o teorema da adi¸cão

ea+b = ea· eb, a, b ∈ C . (2.2)

Como consequˆencia da f´ormula de cima tem-se a identidade

ez· e−z= 1 , z ∈ C , a qual mostra que a fun¸c˜ao exponencial nunca se anula.

Por sua vez, se considerarmos o desenvolvimento em s´erie de Taylor, ou, particularmente, em s´erie de Maclaurin, ez= +∞ X n=0 zn n! , z ∈ C, (2.3)

constatamos, por intermédio do teste D’Alembert, que a série (2.3) é absolutamente convergente em cada ponto do plano complexo C e converge uniformemente em cada conjunto limitado, em particular em cada compacto do plano complexo pois

(30)

lim n→+∞ |z|n+1 (n + 1)! n! |z|n = lim_n→+∞ |z| n + 1 = 0 . (2.4)

Também o teste de Cauchy permite concluir sobre a convergência pontual ou convergência uniforme, pois de (2.4) resulta, sob as mesmas condi¸cões,

lim n→+∞ n r |z|n n! = 0 A identidade de Euler,

eix= cos x + i sin x , x ∈ IR, (2.5)

é uma consequência directa de (2.3), representando cosx e sinx a parte real e a parte imaginária do complexo eix_{, respectivamente.}

Do teorema da adi¸cão (2.2), resulta imediatamente a seguinte ortogonalidade na circun-ferência unitária 1 2π Z _2π 0 eimx.e−inxdx = δ_m,n, onde δm,n = ( 1 se m = n 0 se m 6= n . (2.6)

O facto de f0(z) = ez para todo o z ∈ C permite-nos concluir que f (z) = ez é uma fun¸cão anal´ıtica (ou holomorfa) em C, ou seja, é uma fun¸cão inteira.

Conforme é referido em [C2000], os primeiros q-análogos da fun¸cão exponencial foram intro-duzidos por F.H. Jackson. Mais recentemente, N.M. Atakishiyev e S.K. Suslov, por um lado, e M.E.H. Ismail e R. Zhang, por outro, apresentaram novos q-análogos.

2.2 Fun¸c˜

oes sin

q

(z) e cos

q

(z) numa rede q-quadr´

atica

Pelo que se expôs na introdu¸cão geral, sabemos que um q-análogo da equa¸cão (2.1), numa determinada rede x(z) = C₁q−z_{+ C}

2qz não uniforme, é dado pela equa¸cão

σ ∆ ∇x1(z) µ ∇u(z) ∇x(z) ¶ + λu(z) = 0 , (2.7)

onde, por (3), x1(z) = x(z + 1₂) . Considerando o operador δ das diferen¸cas sim´etrico

δf (z) := f µ z +1 2 ¶ − f µ z −1 2 ¶ = ∆f µ z −1 2 ¶ = ∇f µ z +1 2 ¶ , (2.8)

(2.7) pode escrever-se do seguinte modo

δ δx(z) µ δu(z) δx(z) ¶ + µu(z) = 0 , (2.9) onde µ = λ_σ.

(31)

Em [C2000] mostra-se que um q-análogo da fun¸cão exponencial, solu¸cão da equa¸cão de diferen¸cas (2.9), é dado por

ε(z; iω) = ¡ −q−1/2C1C2ω2; q2 ¢ ∞ ¡ −q1/2_C₁_C₂_ω2_{; q}2¢ ∞   2φ1    −C2 C1q 1+2z _{, −}C1 C2q 1−2z ; q2_{, −C} 1C2 ω 2 q1/2 q    + i_1−qω x(z)2φ1    −C2 C1q 2+2z_{, −}C1 C2q 2−2z ; q2_{, −C} 1C2 ω 2 q1/2 q3       , (2.10) onde ρ ≡ ρ(z) = iω com ρ2 = −λ

σ(1 − q)

2_{. Assim, os correspondentes q-an´alogos das fun¸c˜oes}

trigonom´etricas, por analogia com (2.5), na rede x(z) = C1q−z+ C2qz, s˜ao definidos por

cosq(z; ω) = ¡ −q−1/2_C 1C2ω2; q2 ¢ ∞ ¡ −q1/2_C₁_C₂_ω2_{; q}2¢ ∞ 2φ1    −C2 C1q 1+2z_{, −}C1 C2q 1−2z ; q2_{, −C} 1C2 ω 2 q1/2. q    (2.11) e sinq(z; ω) = ¡ −q−1/2_C 1C2ω2; q2 ¢ ∞ ¡ −q1/2_C₁_C₂_ω2_{; q}2¢ ∞ ωx(z) 1 − q 2φ1    −C2 C1q 2+2z_{, −}C1 C2q 2−2z ; q2_{, −C} 1C2 ω 2 q1/2 q3    . (2.12) Quando conveniente, tomaremos as nota¸c˜oes cosq(x; ω) e sinq(x; ω) nos lugares de,

respecti-vamente, cosq(z; ω) e sinq(z; ω) .

Da aplica¸c˜ao directa do operador δ , definido em (2.8), resulta, ver [C2000] ou [S1997],

δcosq(x; ω) δx(z) = − ω 1 − qsinq(x; ω) (2.13) e δsinq(x; ω) δx(z) = ω 1 − q cosq(x; ω) . (2.14)

Tal como referimos anteriormente, representaremos indistintamente u(x(z)) por u(z) ou por

u(x) . Assim, o operador δ , definido em (2.8), e o operador de diferen¸cas sim´etrico δq, definido

em (1.23), s˜ao equivalentes quando x = x(z) ´e uma rede linear do tipo x(z) = Cqz _{pois, nesse}

caso, δu(z) = δqu(x) . Notar que se x(z) = Cq−z ent˜ao δu(z) = −δqu(x) .

Assim, no caso duma rede x(z) = Cqz_{, pode escrever-se} δqcosq(x; ω) δqx(z) = δcosq(x; ω) δx(z) = − ω 1 − qsinq(x; ω) (2.15) e δqsinq(x; ω) δqx(z) = δsinq(x; ω) δx(z) = ω 1 − q cosq(x; ω) . (2.16)

(32)

2.3 Fun¸c˜

oes sin

q

(z) , cos

q

(z) numa rede q-linear

Vamos considerar q-análogos das fun¸cões trigonométricas, correspondentes a uma rede q-linear, que podem encontrar-se em [AS1992], em [S1997] ou em [C2000], sendo estes equivalentes aos introduzidos por H. Exton em [E1983].

Consideremos a rede x(z) = C1q−z+C2qz e tomemos C1 → 0 e C2= 1 . Como consequˆencia,

a rede transforma-se em x(z) = qz _{e (2.10) em} ²(z; ω) = 1φ1   0 _{; q}2_{, ω}2_q1/2_x2_(z) q   + i ω 1−qx(z)1φ1   0 _{; q}2_{, ω}2_q3/2_x2_(z) q3   . (2.17) De salientar que se poderia considerar C₂ como uma constante arbitr´aria. Tomar C₂ = 1 corresponde a uma simples mudan¸ca de vari´avel linear.

Tomando C1→ 0 e C2 = 1 em (2.11) e (2.12), ou directamente da equa¸c˜ao (2.17), podemos

considerar os seguintes q-análogos das fun¸cões trigonométricas

cosq(z; ω) = 1φ1   0 ; q2, ω2q12+2z q   e sinq(z; ω) = _{1 − q}ω qz1φ1   0 ; q2, ω2q32+2z q3   . Alternativamente, tamb´em podemos escrever

cosq(x; ω) = 1φ1   0 ; q2_{, q}1/2_(ωx)2 q   _(2.18) e sinq(x; ω) = _{1 − q}ω x1φ1   0 _{; q}2_{, q}3/2_(ωx)2 q3   , (2.19)

com x ≡ x(z) = qz_{, ou, simplesmente,}

c_q(x) ≡ cos_q(x) = ₁φ₁   0 _{; q}2_{, q}1/2_x2 q   _(2.20) e sq(x) ≡ sinq(x) = _{1 − q}x 1φ1   0 ; q2_{, q}3/2_x2 q3   . (2.21)

De (2.20), (2.21) e (1.12) resultam as seguintes rela¸cões entre as fun¸cões trigonométricas clássicas

coseno e seno e os respectivos q-an´alogos (2.20) e (2.21):

lim

q→1cq[(1 − q)x] = cos x (2.22)

e

lim

(33)

δ-diferencia¸c˜ao

Considerando C₁→ 0 e C₂= 1 nas f´ormulas (2.13) e (2.14) resulta          δ δxcq(x; ω) = − ω 1−qsq(x; ω) δ δxsq(x; ω) = ω 1−qcq(x; ω) . (2.24)

Os mesmos resultados podem ser obtidos por aplica¸c˜ao directa do operador δ

δx aos q-an´alogos (2.18) e (2.19). Por exemplo, δ δxsq(x; ω) = δ δx   ωx 1 − q +∞ X k=0 (−1)k¡_q2¢(k2) (q2_{, q}3_{; q}2₎ k ³ ω2q3/2x2 ´_k  = ω 1 − q +∞ X k=0 (−1)k_qk(k−1) (q2_{, q}3_{; q}2₎ k ³ ω2q3/2 ´_k_δx2k+1 δx = ω 1 − q +∞ X k=1 (−1)k_qk(k−1) (q2_{, q; q}2₎ k (1 − q)qk 1 − q2k+1 ³ ω2q1/2 ´_k_q2k+1 2 − q− 2k+1 2 q12 − q−12 x2k, e portanto, δ δxsq(x; ω) = ω 1 − q +∞ X k=0 (−1)k¡q2¢(k2) (q2_{, q; q}2₎ k ³ ω2q1/2x2 ´_k ou seja, δsq(x; ω) δx = ω 1 − qcq(x; ω) . ¤ 2.3.1 Propriedades

Considerando x = 1 nas identidades (2.24), estas podem tomar a forma seguinte:

c_q(q12ω) − c_q(q− 1 2ω) = q− 1 2ω s_q(ω) (2.25) e s_q(q12ω) − s_q(q− 1 2ω) = −q− 1 2ω c_q(ω) . (2.26)

Estas últimas rela¸cões permitem obter uma vasta gama de outras rela¸cões.

Observa¸cão. É conhecido, ver por exemplo [C2000], que o conjunto dos zeros da fun¸cão

sq(z) ´e um subconjunto numer´avel de R. Assim, para destacar este facto, denotaremos os zeros

positivos daquela fun¸c˜ao por ω_k, k = 1, 2, 3, . . . , ordenados por ordem crescente de grandeza.

A próxima proposi¸cão é uma consequência directa de (2.25) e (2.26). Pode ser encontrada em [C2000].

(34)

Proposi¸c˜ao 2.1 Se ω_k é um dado zero da fun¸cão sq(ω) então cq(q 1 2ω_k) = c_q(q− 1 2ω_k) , (2.27) s_q(qω_k) = −ω_kc_q(q12ω_k) (2.28) e sq(qωk) = −qsq µ ωk q ¶ . (2.29)

Doravante, ser´a adoptada a conven¸c˜ao usual sobre uma soma, na sua forma abreviada, ou

somat´orio: quando o respectivo ´ındice superior for menor que o ´ındice inferior considera-se que

a correspondente soma ´e zero. Lema 2.2 Para n = 0, 1, 2, . . . , cq ³ q12+nω ´ = q12ω n−1 X i=0 qisq ¡ q1+iω¢+ cq ³ q12ω ´ . (2.30)

Dem. Faremos uso do m´etodo de indu¸c˜ao sobre n . Para n = 0 obtemos a identidade

c_q ³ q12ω ´ = q12ω · 0 + c_q ³ q12ω ´ ,

a qual ´e uma proposi¸c˜ao verdadeira. Para n = 1 tem-se,

cq ³ q12+1ω ´ = q12ωs_q(qω) + c_q ³ q12ω ´ ,

tamb´em verdadeira por (2.25).

Como hipótese indutiva, admitamos que (2.30) é uma proposi¸cão verdadeira para um na-tural n qualquer fixo. Mostremos que continua ainda válida para o nana-tural seguinte: de facto, novamente por (2.25), cq ³ q12+(n+1)ω ´ = cq ³ q12+nω ´ + q12+nωs_q¡qn+1ω¢, (2.31) e portanto, pela hipótese indutiva,

cq ³ q12+(n+1)ω ´ = q12ω n−1 X i=0 qisq ¡ q1+iω¢+ cq ³ q12ω ´ + q12+nωs_q ¡ qn+1ω¢ = q12ω n X i=0 qisq ¡ q1+iω¢+ cq ³ q12ω ´ , (2.32)

o que prova a nossa tese. Assim, além da identidade (2.30) ser válida quando n = 0, o princ´ıpio de indu¸cão matemática garante-nos que ela é universal em N.

¤ Corol´ario 2.3 Se s_q(ω_k) = 0 ent˜ao, para n = 0, 1, 2, . . . ,

ω_kc_q ³ q12+nω_k ´ = q12ω_k2 n−1 X i=0 qis_q¡q1+iω_k¢− s_q(qω_k) . (2.33)

(35)

Dem. ´E consequˆencia directa do lema anterior e de (2.28).

¤ Corol´ario 2.4 Para n = 0, 1, 2, . . . ,

sq ¡ q1+nω¢= sq(qnω) − q 1 2+nω2 n−1_X i=0 qisq ¡ q1+iω¢− qnωcq ³ q12ω ´ . (2.34) Dem. De (2.26) resulta sq ¡ q1+nω¢= sq(qnω) − qnωcq ³ q12+nω ´ , (2.35)

e portanto, resta usar (2.30).

¤ Corol´ario 2.5 Se s_q(ω_k) = 0 ent˜ao, para n = 0, 1, 2, . . . ,

sq(q1+nωk) = sq(qnωk) − q 1 2+nω2 k n−1 X i=0 qisq(q1+iωk) + qnsq(qωk) . (2.36)

Dem. Este corol´ario coincide com o lema 2.8 de [C2000]. Para o provar basta combinar o corol´ario anterior com (2.28).

¤ Os dois próximos resultados foram apresentados e demonstrados em [C2000]. Na respectiva demonstra¸cão foi usado o método de indu¸cão matemática.

Proposi¸c˜ao 2.6 Se sq(ωk) = 0 ent˜ao

s_q(q1+nω_k) = s_q(qω_k)P_n(ω_k2) , n = 0, 1, 2, . . . , (2.37)

onde Pn(ω2_k) ´e um polin´omio de grau n em ω_k2.

A expressão expl´ıcita encontrada para os polinómios Pn(ω_k2) , n = 0, 1, 2, . . . , é dada por Pn(ωk2) = n X j=0 (−1)jqj(j+12) ¡ q1+n−j; q¢_2j+1 (q; q)2j+1 ¡ ω2_k¢j . (2.38)

Teorema 2.7 Sendo m e j inteiros n˜ao-negativos tais que 0 ≤ m ≤ j tem-se

n−1 X i=0 qi−m¡q1+i−m; q¢_j = (q n−m_{; q)} j+1 1 − qj+1 , n = 0, 1, 2, . . . . (2.39)

Observa¸c˜ao: Refira-se, como curiosidade notável, que se tomarmos j = 0 = m no teorema 2.7, obtemos a bem conhecida fórmula para traduzir a soma de n termos duma progressão geomética cujo primeiro termo é 1 e cuja razão é q :

n−1 X i=0 qi = 1 − q n 1 − q .

O próximo resultado é um corolário do teorema 2.7. De facto, por intermédio da proposi¸cão 1.1, pode ser obtido tomando o limite quando q → 1 em (2.39). Também pode ser provado directamente, conforme veremos, usando o princ´ıpio de indu¸cão matemática.

(36)

Corol´ario 2.8 Sendo m e j inteiros n˜ao-negativos tais que 0 ≤ m ≤ j tem-se n X k=1 (k − m)_j = (n − m)j+1 j + 1 , n = 0, 1, 2, . . . . (2.40)

Dem. Usaremos indu¸c˜ao sobre n .

Para n = 0 , (2.40) transforma-se numa proposi¸c˜ao verdadeira.

Admitamos que a condi¸cão que figura em (2.40) se transforma numa proposi¸cão verdadeira para o inteiro n = r − 1 e provemos que é também verdadeira para o inteiro seguinte: tem-se, sucessivamente, r X k=1 (k − m)_j = r−1 X k=1 (k − m)_j+ (r − m)_j = (r − 1 − m)j+1 j + 1 + (r − m)j = (r − m)j £ (r − 1 − m) + (j + 1)¤ j + 1 = (r − m)j(r + j − m) j + 1 = (r − m)j+1 j + 1 .

O princ´ıpio de indu¸cão matemática mostra-nos que (2.40) é uma proposi¸cão verdadeira. ¤ Observa¸cão: De modo análogo ao feito acima, podemos obter uma fórmula de cálculo clássica, relativa à soma de n termos duma progressão aritmética. Para esse efeito tomemos

j = 1 e m = 0 em (2.40). Resulta, n X k=1 k = n(n + 1) 2 .

Vamos, agora, apresentar resultados similares ao corolário 2.5 e proposi¸cão 2.6 para o caso da fun¸cão cq(x) . Para esse efeito, necessitamos do próximo lema.

Lema 2.9 Se sq(ωk) = 0 tem-se, para n = 0, 1, 2, . . . ,

sq(qnωk) = −ωk n−1_X i=0 qicq(q 1 2+iω_k) . (2.41)

Dem. A demonstra¸cão é feita por indu¸cão sobre a variável natural n .

Para n = 0 a condi¸cão (2.41) transforma-se numa proposi¸cão verdadeira. Também podemos notar que, devido a (2.28), o mesmo se passa quando n = 1 .

Admitamos que a referida condi¸cão é uma proposi¸cão verdadeira para um dado natural n e, mediante essa hipótese, provemos que a mesma continua válida para o natural seguinte: tem-se, por (2.26),

sq(qn+1ωk) = sq(qnωk) − qnωkcq(q

1

(37)

e portanto, pela hip´otese indutiva, sq(qn+1ωk) = −ωk n−1 X i=0 qicq(q 1 2+iω_k) − qnω_kc_q(q 1 2+nω_k) = −ωk n X i=0 qicq(q 1 2+iω_k) o que prova o pretendido.

¤ Tem-se, ent˜ao, o resultado seguinte:

Corol´ario 2.10 Se sq(ωk) = 0 tem-se, para n = 0, 1, 2, . . . , cq(q 1 2+nω_k) = c_q(q 1 2+(n−1)ω_k) − q 1 2+(n−1)ω2 k n−1 X i=0 qicq(q 1 2+iω_k) . (2.42) Dem. De (2.25) resulta c_q(q12+nω_k) = c_q(q 1 2+(n−1)ω_k) + q 1 2+(n−1)ω_ks_q(qnω_k) , donde, o resultado segue-se imediatamente do lema anterior.

¤ Lema 2.11 Se sq(ωk) = 0 ent˜ao, para n = 0, 1, 2, . . . ,

c_q(q12+nω_k) = c_q(q 1

2ω_k)Q_n(ω2_k) , (2.43)

onde Qn(ω2k) ´e um polin´omio de grau n em ωk2.

A expressão expl´ıcita dos polinómios Qn(ω2_k) , n = 0, 1, 2, . . . , é dada por Q_n(ω2_k) = n X j=0 (−1)jqj(j−12) ¡ q1+n−j_{; q}¢ 2j (q; q)2j ¡ ω2_k¢j . (2.44)

Dem. A demonstra¸c˜ao de (2.44) foi feita em [C2000] pelo que apresentamos apenas a prova de (2.43).

Para n = 0 a igualdade ´e trivial.

Suponhamos, como hip´otese indutiva, que

cq(q

1

2+iω_k) = c_q(q 1

2ω_k)Q_i(ω_k2) , 0 ≤ i ≤ n − 1 ,

onde Qi(x) representa um polin´omio de grau i em x. Usando (2.42) e a hip´otese indutiva resulta

sucessivamente cq(q 1 2+nω_k) = c_q(q 1 2+(n−1)ω_k) − q12+(n−1)ω2 k n−1 X i=0 qicq(q 1 2+iω_k) = c_q(q12ω_k)Q_n−1(ω2_k) − q 1 2+(n−1)ω_k2 n−1 X i=0 qic_q(q12ω_k)Q_i(ω_k2) = cq(q 1 2ω_k) " Qn−1(ωk2) − q 1 2+(n−1)ω2 k n−1 X i=0 qiQi(ωk2) # ,

(38)

onde a expressão dentro de parêntesis rectos é um polinómio de grau n em ω2

k, o que mostra,

invocando o princ´ıpio de indu¸cão matemática, que a proposi¸cão do enunciado é verdadeira para todo o inteiro não negativo n .

¤

2.3.2 Rela¸c˜oes de ortogonalidade

Condi¸c˜oes de Fronteira

Tomemos duas solu¸cões u1(x) e u2(x) da equa¸cão (2.9), relativas aos valores próprios −λ1

e −λ₂ , respectivamente. Prossigamos, agora, através da técnica de Sturm-Liouville, isto é,

multipliquemos cada uma das equa¸cões correspondentes pela solu¸cão da outra e fa¸camos a diferen¸ca entre as equa¸cões da´ı resultantes:

(λ1− λ2)u1(x)u2(x) = u1(x)_δδq qx µ δqu2(x) δqx ¶ − u2(x)_δδq qx µ δqu1(x) δqx ¶ . (2.45)

Definindo o q-Wronskiano das diferen¸cas por

W (u1(x), u2(x)) = u1(q 1 2x) δq δqx[u2(x)] − u2(q 1 2x) δq δqx[u1(x)] , (2.46) podemos escrever (λ1− λ2)u1(x)u2(x) = _δδq qx(W (u1(x), u2(x))) . (2.47)

A defini¸cão do q-integral da seçcão 1.3 permite-nos escrever a igualdade (λ1− λ2) Z _b a u1(x)u2(x)dqx = Z _b a δq δqx £ W (u1(x), u2(x)) ¤ dqx , (2.48)

a qual pelo lema (1.6), resulta em (λ1− λ2) Z _b a u1(x)u2(x)dqx = q 1 2 h W ³ u1(bq−1/2), u2(bq−1/2) ´ − W ³ u1(aq−1/2), u2(aq−1/2) í − q12 · lim n→+∞W ³ u1(bq1/2+n), u2(bq1/2+n) ´ − lim n→+∞W ³ u1(aq1/2+n), u2(aq1/2+n) ´¸ . (2.49) Procuremos, agora, condi¸cões de fronteira que permitam determinar rela¸cões de ortogonali-dade entre as fun¸cões sq(ωx) e cq(ωx) .

Tomemos no segundo membro da equa¸c˜ao (2.49), u₁(x) = c_q(q1/2_ω

1x) e u2(x) = cq(q1/2ω2x) .

Pelo que observámos acima e por (2.13) e (2.14) resulta, então, da continuidade da fun¸cão wrons-quiano (2.46) associada a u1 e u2, q12 h cq(bq1/2ω1)−q 1/2_ω 2 1−q sq(bω2) − cq(bq1/2ω2)−q 1/2_ω 1 1−q sq(bω1) i − q12 h cq(aq1/2ω1)−q 1/2_ω 2 1−q sq(aω2) − cq(aq1/2ω2)−q 1/2_ω 1 1−q sq(aω1) i , ou seja, q 1−q © ω1 £ sq(bω1)cq(bq1/2ω2) − sq(aω1)cq(aq1/2ω2) ¤ − ω2 £ sq(bω2)cq(bq1/2ω1) − sq(aω2)cq(aq1/2ω1) ¤ª .