Um passeio pela complexidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE F´ISICA BACHARELADO EM F´ISICA

Um Passeio pela Complexidade

Diego Gouveia dos Santos

Natal, RN, Brasil

2019

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Diego Gouveia dos Santos

Um Passeio pela Complexidade

Monografia de Gradua¸cão apresentada ao Departamento de F´ısica do Centro de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como re-quisito parcial para a obten¸cão do grau de bacharel em F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. Madras Viswanathan

Gandhi Mohan

Natal, RN, Brasil

2019

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Monografia de Gradua¸c˜ao sob o t´ıtulo Um Passeio pela Complexidade apresentada por Diego Gouveia dos Santos e aceita pelo Departamento de F´ısica do Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:

Prof. Dr. Madras Viswanathan Gandhi Mohan Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Departamento de F´ısica

Prof. Dr. Dory H´elio Aires de Lima Anselmo Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Prof. Dr. Jo˜ao Medeiros de Ara´ujo Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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Agradecimentos

Laroyˆe!

Agrade¸co a Exu. Que abre meus caminhos e traz sabedoria nas encruzilhadas da vida. Que caminha sempre ao meu lado. Que guia meus passos e aconselha minhas decisões. Que dá e cobra os frutos de meus trabalhos. Sejam bônus, sejam ônus. Agrade¸co à minha mãe Yemanjá, Rainha do mar e mãe de todas as or´ıs. Que é águas calmas quando preciso de colo e carinho. Que é mar tempestuoso quando preciso lutar o mundo. Que acalma meu cora¸cão, e é morada de minh’alma. Que lava minhas preocupa¸cões, medos, angústias, pensamentos e sentimentos, e me permite renascer a cada dia. Gra¸cas a qual eu ainda possuo minha sanidade. Odoyá, mamãe!

Agrade¸co aos meus amigos e colegas de curso. Tanto os que trilharam comigo léguas sem fim quanto os que encontrei apenas de passagem. Sem dúvida as pessoas mais impor-tantes em minha jornada acadêmica. Que dividiram comigo as dores e amores do curso. Com quem aprendi aprendendo e aprendi ensinando. Com os quais pude discutir f´ısica em mesa de bar e futebol no departamento de f´ısica. Que reascenderam minha paixão pela f´ısica quando a rotina massante da universidade por vezes teimou em querer apag´ a-la. Que me mostraram as flores do caminho quando só encontrei espinhos. Sem os quais dificilmente chegaria aqui, e jamais teria a compreensão de mundo; de vida; de f´ısica; que tenho hoje. Que tornaram mais leve o meu caminhar.

“ Companheiros me ajudem Que eu n˜ao posso andar s´o Eu sozinho ando bem

Mas com vocˆes ando melhor.”

Agrade¸co aos meus professores, que foram essenciais em minha forma¸cão. Que me mostra-ram caminhos, abrimostra-ram novas possibilidades e idéias. Que me ensinaram a ver e descrever o mundo sob uma nova ótica. Agrade¸co aos que me encantaram em suas aulas pela clareza e didática na exposi¸cão desses conhecimentos. Pela profundidade das reflexões trazidas e das interpreta¸cões colocadas. Agrade¸co também aos que me fizeram aprender a aprender sozinho. A buscar autonomia e entender que a responsabilidade com meu aprendizado é unicamente minha. Agrade¸co aos técnicos, terceirizados e bolsistas que trabalham no

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DFTE. Sem os quais nada funcionaria.

Agrade¸co à minha mãe, ao meu pai e à minha irmã. Que sempre se fizeram presentes, apesar da distância. Que me deram todo amor, carinho e suporte que eu precisei. Que me ensinaram a viver e ser independente. Que me apoiaram e incentivaram na maioria de minhas escolhas. Que expressaram suas cr´ıticas e preocupa¸cões nas que não concor-davam. Mas que sempre respeitaram minhas decisões, mesmo com minha cabe¸ca dura quase sempre fazendo as coisas do meu jeito. Agrade¸co aos meus familiares e amigos, por todo apoio, companheirismo e compreensão que me deram nos últimos anos (ou por toda a vida).

Agrade¸co à minha malta, os capoeiras Nagôas, e ao mestre Delicado. Agrade¸co à minha na¸cão, na¸cão Zamberacatu. Agrade¸co ao cursinho popular Emancipa e ao grupo percussivo Pau e Lata. Cada um foi important´ıssimo em algum momento de minha forma¸cão e continuam sendo até hoje.

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“E com o bucho mais cheio Comecei a pensar Que eu me organizando posso desorganizar Que eu desorganizando posso me organizar Que eu me organizando posso desorganizar Da lama ao caos Do caos `a lama O homem roubado nunca se engana.” - Chico Science e Na¸c˜ao Zumbi

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Resumo

Neste trabalho buscamos estudar a complexidade a partir de algumas de suas ca-racter´ısticas. Ela se manifesta nos mais diversos tipos de sistema e apresenta uma rica vastidão de comportamentos. Analizamos aqui três tópicos: sistemas caóticos, fractais e autômatos celulares. Todos eles exibem complexidade, e como veremos possuem propri-edades em comum tais como: organiza¸cão espontânea, autossimilaridade, aleatoriedade determin´ıstica, emergência, não-linearidade.

Palavras-chave: complexidade, caos, fractais, autômatos celulares, organiza¸cão espontânea, autossimilaridade, aleatoriedade determin´ıstica, emergência, não-linearidade.

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Abstract

In this monograph we aim to study complexity based on its features. Complexity manifest itself in a wide range of completely different systems, and exhibit rich and inte-resting behavior. Here we analyze three subjects: chaotic systems, fractals and cellular automata. All of them exhibit complexity, and as we shall see they have some common properties such as: self-organization, self-similarity, deterministic randomness, emergence, nonlinearity.

Keywords: complexity, chaos, fractals, cellular automata, self-organization, self-similarity, deterministic randomness, emergence, nonlinearity.

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Lista de Figuras

2.1 Orbita do ponto x´ 0 = 0.6 com λ = 0.7 . . . 4

2.6 Diagrama de bifurca¸c˜ao do mapa log´ıstico. . . 7

2.7 Janelas periódicas na região caótica do mapa log´ıstico. . . 8

3.1 Curva de Peano com dimens˜ao fractal 2 (imagem tirada da internet). . . . 14

3.2 Constru¸c˜ao do fractal de Cantor (imagem tirada da internet). . . 15

3.3 Constru¸c˜ao da curva de Koch (imagem tirada da internet). . . 16

3.4 Estrela de Koch (imagem tirada da internet). . . 17

3.5 Curva de Koch aleatorizada. . . 18

3.6 3 partidas do jogo do caos com pontos iniciais diferentes. . . 19

3.7 Agregados com 3 mil part´ıculas. . . 21

3.8 Agregados com 3 mil (esquerda) e 6,75 mil (direita) part´ıculas. . . 21

3.9 Agregados com 6,75 mil part´ıculas. . . 22

3.10 Agregado com 12 mil part´ıculas. . . 22

3.11 Gr´aficos dilog do n´umero de caixas N (ε) pelo inverso do comprimento ε, para os agregados de 12 mil part´ıculas. . . 23

3.12 Atrator de Hénon. Este fractal é formado por várias camadas que nunca se sobrepõem. . . 24

3.13 Conjuntos de Julia com C = −0.5 + 0.5i (esquerda) e C = −0.5 + 0.52i (direita) . . . 26

3.14 Conjuntos de Julia com C = −0.5 + 0.53i (esquerda) e C = −0.5 + 0.6i (direita) . . . 26

3.15 Conjuntos de Julia com C = 0.63i (esquerda) e C = 0.64i (direita) . . . 27

3.16 Conjuntos de Mandelbrot com z0 = 0 (esquerda) e z0 = 0.5i (direita) . . . 27

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4.1 Autômatos celulares do tipo I. Regra 96 (esquerda) e regra 168 (direita). . 31 4.2 Autômatos celulares do tipo II. Regra 2 (esquerda) e regra 4 (direita). . . . 32 4.3 Autômatos celulares do tipo III. Regra 30 (esquerda) e regra 45 (direita). . 32 4.4 Autômatos celulares do tipo IV. Regra 110 (esquerda) e regra 147 (direita). 33 4.5 Regra 30 evoluindo de condi¸cões iniciais aleatórias (esquerda) e de apenas

uma célula (direita). . . 34 4.6 Regra 22 evoluindo de condi¸cões iniciais aleatórias (esquerda) e de apenas

uma célula (direita). . . 34 4.7 Regra 150 evoluindo de condi¸cões iniciais aleatórias (esquerda) e de apenas

uma c´elula (direita). . . 35 4.8 Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 224 (esquerda, tipo I) e regra

109 (direita, tipo II). . . 35 4.9 Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 22 (esquerda) e regra 60

(di-reita), ambas tipo III. Na regra 60 o erro se propaga de modo fractal e independe das condi¸c˜oes iniciais . . . 36 4.10 Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 110 (esquerda) e regra 147

(di-reita), ambas tipo IV. . . 36 4.11 Espa¸co de fase de um autômato com 10 células. Regra 22 à esquerda e

regra 60 à direita. A regra 60 (00111100) é simétrica. . . 37 4.12 Probabilidade não normalizada dos estados em fun¸cão do tempo (esquerda)

e entropia em fun¸cão do tempo (direita) para a regra 22 com 10 células. . . 38 4.13 Probabilidade não normalizada dos estados em fun¸cão do tempo (esquerda)

e entropia em fun¸cão do tempo (direita) para a regra 30 com 10 células. . . 38 4.14 Probabilidade não normalizada dos estados em fun¸cão do tempo (esquerda)

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Sum´

ario

Agradecimentos i Resumo iv Abstract v Lista de Figuras vi 1 Introdu¸cão 1 2 Caos 2 2.1 Mapas Unidimensionais . . . 2 2.2 O Mapa Log´ıstico . . . 4 2.3 Diagrama de Bifurca¸cão . . . 6 2.4 A delta de Feigenbaum . . . 8 2.5 Caos e ru´ıdo . . . 10 3 Fractais 12 3.1 Autossimilaridade, Escala e Dimensão . . . 12

3.2 Fractais Cl´assicos . . . 14

3.2.1 Conjunto de Cantor . . . 14

3.2.2 Curva de Koch . . . 16

3.3 Fractais Aleat´orios . . . 17

3.3.1 O Jogo do Caos . . . 18

3.3.2 DLA Cluster . . . 20

3.4 Fractais no Plano Cartesiano . . . 23

3.4.1 Atrator de H´enon . . . 23

3.4.2 Conjuntos de Mandelbrot e Julia . . . 25

4 Autˆomatos Celulares 28 4.1 Autˆomatos Elementares . . . 29

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4.2 tipos de automatos . . . 30 4.3 Aleatoriedade e Propaga¸c˜ao de Erro . . . 32 4.4 Irreversibilidade e Entropia . . . 36

5 Considera¸c˜oes Finais 39

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Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Complexidade é um termo dif´ıcil de se definir, que pode possuir vários significados e ser aplicado nas mais diversas áreas. É um fenômeno extremamente interdisciplinar, que tange a f´ısica, matemática, biologia, meteorologia, estat´ıstica, sociologia, filosofia, economia, lingu´ıstica, ciências da computa¸cão, entre outros.

Ela se manifesta em sistemas cujos componentes interagem entre si de diversas formas e obedecem regras locais, isto é, que não dependem de todo o sistema, apenas de sua vizinhan¸ca. Do estudo de popula¸cões ao mercado financeiro. Da mobilidade urbana à previsão do tempo.

Em geral, sistemas ditos complexos apresentam caracter´ısticas como: não linearidade, organiza¸cão espontânea, emergência, imprevisibilidade, criticalidade, autossimilaridade, adapta¸cão.

Neste trabalho estudaremos a complexidade a partir de três tópicos: caos, fractais e autômatos celulares. Buscando sempre perceber as rela¸cões existentes entre eles.

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Cap´ıtulo 2

Caos

2.1 Mapas Unidimensionais

Modelar e descrever a evolu¸cão de sistemas dinâmicos são objetivos centrais de grande parte das investiga¸cões cient´ıficas. Sistemas dinâmicos consistem em um conjunto de es-tados poss´ıveis, juntamente com uma regra que determina o estado atual em fun¸cão dos estados anteriores. Por “estado”entendemos o conjunto de informa¸cões necessário para aplica¸cão da regra. Se esta regra for probabil´ıstica teremos um sistema estocástico. Caso contrário, o sistema será determin´ıstico.

Na mecânica clássica, por exemplo, o estado de uma part´ıcula é unicamente determi-nado por sua posi¸cão e momento (x, p). E as regras que atuam sobre ele são as leis de Newton; determin´ıstica. Já na mecânica quântica o estado de um sistema é caracterizado por sua fun¸cão de onda |ψi. Enquanto o sistema estiver isolado ele evolui segundo a equa¸cão de Schödinger, também determin´ıstica. Contudo, caso ele interaja com outro sistema sob a forma de uma “medi¸cão”, seu estado passa a ser determinado pela lei de Born, que é probabil´ıstica.

Neste trabalho estudaremos apenas regras determin´ısticas. Nos exemplos citados os estados estão definidos para valores cont´ınuos do tempo. Portanto as regras que os regem são expressas como equa¸cões diferenciais. De fato, a maior parte dos sistemas de interesse f´ısico são modelados assim. Entretanto em alguns casos estamos interessados apenas em unidades discretas de tempo, e as regras assumem então a forma de mapas.

Mapas são fun¸cões cujo dom´ınio e contra-dom´ınio são o mesmo conjunto. O estado do sistema para qualquer tempo n ∈ N é determinado pelo estado imediatamente anterior, através do mapa:

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Denotaremos k aplica¸c˜oes sucessivas de um mapa f por fk_{. Assim, partindo de um}

ponto inicial x0 podemos reescrever (2.1) como

xn = fn(x0). (2.2)

A sequência de estados {x0, x1, x2, ..., xn, ...} é chamada órbita ou trajetória de x0

sob f . Caso exista um ponto p tal que f (p) = p, ele será chamado ponto fixo. Um ponto fixo de fkserá chamado ponto de per´ıodo-k para o menor valor de k em que isto ocorra. Órbitas que eventualmente alcancem um desses pontos serão estacionárias (cons-tante ou periódicas). Chamaremos de órbita de per´ıodo-k os k primeiros elementos de uma óbita cujo ponto inicial seja um ponto de per´ıodo k, {pk

0, pk1, ..., pkk−1}.

´

Orbitas estacionárias representam algum tipo de equil´ıbrio, e podem ser estáveis ou instáveis. No primeiro caso, órbitas que passem suficientemente próximas serão atrai-das e irão convergir para ela. No segundo, qualquer desvio da órbita estacionária será amplificado e se distanciará do equilibrio. Chamaremo-as de atratores ou repulsores, respectivamente. O conjunto de todos os pontos iniciais que eventualmente são captura-dos pelo atrator é chamado base de atra¸cão.

A estabilidade dessas órbitas pode ser determinada de maneira simples. Seja f uma fun¸cão suave (onde derivadas de todas as ordens existem e são cont´ınuas) e p um ponto fixo de f , a derivada de f no ponto p é:

f0(p) = lim

x→p

f (p) − f (x) p − x

Como f (p) = p vemos que o módulo da derivada é a razão entre as distâncias de f (x) e de x até p. Portanto se |f0(p)| < 1, f (x) se aproxima de p e temos um atrator. Se |f0_{(p)| > 1, f (x) se afasta de p e temos um repulsor.}

Consideremos agora o ponto pk

0, que ´e ponto fixo de fk. Aplicando a regra da cadeia

(f (g(x))0 = f0(g(x))g0(x)) para derivar fk temos:

(fk)0(pk₀) = (f (fk−1))0(pk₀) = f0(fk−1(pk₀))(fk−1)0(pk₀) Sendo que para qualquer ponto de periodo k ´e f´acil ver que

fj(pk_i) = pk_{(i+j)mod k}

onde a mod b representa o resto da divis˜ao inteira de a/b. Portanto (fk)0(pk₀) = f0(pk_k−1)(fk−1)0(pk₀) (fk)0(pk₀) = k Y i=1 f0(pk_k−i). (2.3)

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Assim, para avaliar a estabilidade de órbitas periódicas basta multiplicar a derivada de cada ponto da órbita. Se o valor absoluto de (2.3) for menor que 1, teremos um atrator. Se for maior, um repulsor.

Uma maneira simples de visualizar as órbitas de um mapa f é construindo o gráfico seguinte:

1. Tra¸camos, no mesmo gr´afico, a curva f e a identidade y = x. Escolhemos um ponto inicial (x0, 0);

2. Tra¸camos uma reta vertical deste ponto at´e f , no ponto (xi, f (xi));

3. Tra¸camos agora uma reta horizontal at´e a identidade em (f (xi), f (xi));

4. Repetimos do passo 2 em diante.

2.2 O Mapa Log´ıstico

Seja f o mapa log´ıstico

f (xn) = xn+1 = λxn(1 − xn) (2.4)

onde x ∈ [0 : 1] e λ ∈ (0 : 4]. Queremos investigar o comportamento a longo prazo deste mapa dado o valor de λ. Vejamos algumas órbitas t´ıpicas, usando séries temporais e o modelo gráfico descrito na se¸cão anterior.

Figura 2.1: ´Orbita do ponto x0= 0.6 com λ = 0.7

A princ´ıpio o comportamento do mapa é bastante simples. Após poucas intera¸cões as órbitas convergem para pontos fixos. Quais são esses pontos? Resolvendo a equa¸cão x = f (x) encontramos dois pontos fixos: p0 = 0 e p1 = 1 − 1_λ. Entretanto p1 só pertence

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ao dom´ınio [0:1] quando λ ≥ 1. E quanto a estabilidade desses pontos? Derivando f temos:

f0(x) = λ(1 − 2x) (2.5)

f0(p0) = λ

f0(p1) = 2 − λ

Portanto para 0 < λ ≤ 1 p0 é o único ponto fixo e é estável. Em λ = 1, p0 perde sua

estabilidade mas p1 entra no dom´ınio de f e ´e estavel entre 1 ≤ λ ≤ 3. Isso explica as

´

orbitas vistas at´e agora, e de fato todas as ´orbitas para λ ≤ 3 convergem para p0 ou p1.

Mas o que acontece para λ > 3? Vejamos mais algumas ´orbitas. ´

Orbitas periódicas surgem! Ao passo que os pontos fixos de f perdem sua estabi-lidade, pontos fixos de f2 se tornam estáveis, dando origem à órbitas de periodo-2. Na figura 2.5 vemos a óbita se aproximar do ponto p1 e ser repelida por ele até alcan¸car a

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´

orbita periódica estável. Chamamos esta transi¸cão de dobra de per´ıodo, ou simples-mente bifurca¸cão. Conforme λ aumenta, essas órbitas também se tornam instáveis e ocorrem sucessivas bifurca¸cões originando órbitas de per´ıodo-4,8...

Se pudermos caracterizar essas bifurca¸cões ate λ = 4 teremos a descri¸cão completa do mapa log´ıstico. Para isso construiremos um diagrama de bifurca¸cão.

2.3 Diagrama de Bifurca¸

c˜

ao

Um diagrama de bifurca¸cão nos mostra o comportamento a longo prazo das órbitas conforme variamos o parâmetro λ. Assim temos uma visão geral do comportamento do mapa. Ele é construido da seguinte maneira:

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Figura 2.6: Diagrama de bifurca¸c˜ao do mapa log´ıstico.

2. Calcula-se a ´orbita de x0.

3. Descartamos os primeiros (digamos, 50) pontos da ´orbita para que o transiente inicial devido ao ponto x0 escolhido tenha sumido.

4. Em seguida marcamos os proximos (digamos, 100) pontos de ´orbita em fun¸c˜ao do valor de λ.

5. Repetimos o processo para v´arios valores de λ.

Na figura 2.6 vemos os atratores de ponto fixo at´e λ ≤ 3 e algumas dobras de per´ıodo em seguida. Mas pr´oximo a λ = 3.5, num ponto que chamaremos de a∞, algo inesperado

ocorre. As órbitas nunca se estabilizam em alguns valores. Mas se espalham por toda uma região e a preenchem de maneira cont´ınua. São órbitas aperiódicas.

Esta é a região em que o caos se manifesta. De imediato é vis´ıvel a diferen¸ca na com-plexidade do comportamento periódico para o caótico. Este último é imprevis´ıvel sem ser aleatório e nem se espalha uniformemente em [0:1]. Há regiões “proibidas”onde (após um transiente) órbitas caóticas nunca alcan¸cam. E mesmo na região permitida a distribui¸cão dos pontos não é uniforme. Parece haver uma certa ordem mascarada pelo caos.

Surpreendentemente vemos que existem estreitas “janelas de ordem”com órbitas periódicas imersas na região caótica. Essas órbitas rapidamente se bifurcam e dão lugar novamente ao caos. A passagem de ordem para o caos dessas janelas em muito se assemelha com a passagem em a∞. Em outras palavras, o comportamento local dessas janelas

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de bifurca¸c˜ao do mapa log´ıstico apresenta uma certa autossimilaridade, como pode ser observado na figura 2.7.

Figura 2.7: Janelas periódicas na região caótica do mapa log´ıstico.

2.4 A delta de Feigenbaum

Examinemos mais de perto a transi¸cão do regime periódico para o caótico. À medida que λ aumenta, as bifurca¸cões ocorrem cada vez mais próximas uma das outras, até se acumularem em a∞. É natural questionar se as distâncias entre as bifurca¸cões obedecem

alguma regra matem´atica.

O f´ısico americano M. Feigenbaum foi o primeiro a fazer esse tipo de análise e percebeu que conforme o número de bifurca¸cões aumenta, a distância entre bifurca¸cões consecutivas tende a uma propor¸cão geométrica. Ou seja, a razão entre duas distâncias consecutivas tende a uma constante.

δ = lim

n→∞

an−1− an−2

an− an−1

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Experimento: Número de bifurca¸cões δ Hidrodinâmica: ´ Agua 4 4, 3 ± 0, 8 Hélio 4 3, 5 ± 0, 15 Mercúrio 4 4, 4 ± 0, 1 Eletrônica: Diodo 5 4, 3 ± 0, 1 Transistor 4 4, 7 ± 0, 3 Josephson 4 4, 4 ± 0, 3 Laser: Laser feedback 3 4, 3 ± 0, 3 Acústica: Hélio 3 4, 8 ± 0, 6

Tabela 2.1: Resultados de experimentos onde ocorrem dobras de per´ıodo [1]

Esta constante ficou conhecida como delta de Feigenbaum e historicamente foi muito importante no estudo do caos pois foi a primeira caracter´ıstica de universalidade encon-trada. Sistemas ca´oticos completamente diferentes, incluindo sistemas f´ısicos que nada tem a ver com o mapa log´ıstico, exibem o mesmo valor para essa constante, vide tabela 2.1.

Encontrando os dois primeiros pontos de bifurca¸cão podemos usar a delta de Feigen-baum para fazer previsões sobre onde encontrar os próximos. Invertendo a equa¸cão (2.6) temos:

an+1 =

an− an−1

δ + an (2.7)

´

E importante lembrar que o ponto obtido a partir da equa¸cão (2.7) não é exatamente o ponto de bifurca¸cão, é apenas uma estimativa de onde encontra-lo. Pois o valor de δ só é bem definido quando n → ∞. Aplicando (2.7) recursivamente nos dois primeiros pontos encontramos: an+2= a1+ n X i=0 a2− a1 δi (2.8) fazendo n → ∞ a∞ = a1+ ∞ X i=0 a2− a1 δi a∞= a1+ (a2− a1) ∞ X i=0 1 δ i

Reconhecemos aqui uma série geométrica cujo resultado éP∞

i=0r i ₌ 1

1−r, para |r| < 1.

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a∞ = a1+ (a2− a1)

δ

δ − 1 (2.9)

2.5 Caos e ru´ıdo

Vimos que uma das caracter´ısticas do caos é sua imprevisibilidade. Mas qualquer experimento f´ısico está sujeito à perturba¸cões externas (ru´ıdo), e nesse sentido é impos-sivel prever o resultado de um experimento com uma determinada precisão. Como então podemos diferenciar caos de ru´ıdo?

Outra caracter´ıstica de fenômenos caóticos é a divergência de trajetórias próximas, ou alta sensibilidade às condi¸cões iniciais. Isto significa que, em um fenômeno caótico, duas condi¸cões iniciais muito semelhantes darão origem a comportamentos com-pletamente diferentes. Tambem é conhecido como efeito borboleta e pode ser sintetizado na célebre frase: “O bater de asas de uma borboleta no Brasil pode causar um furacão no Texas”.

A divergência de trajetórias próximas nos permite diferenciar comportamentos re-almente caóticos de ru´ıdo. Em um fenômeno não caótico dois estados iniciais muito semelhantes serão afetados pelo ru´ıdo de maneira similar e irão evoluir para dois estados finais tambem semelhantes.

Entretanto se o fenômeno for caótico não só os estados finais serão completamente diferentes entre si, como a presen¸ca de ru´ıdo tornará imposs´ıvel prevê-los ainda que se conhe¸ca com exatidão os estados iniciais.

´

E importante notar que simula¸cões computacionais não estão livres de ru´ıdo. Dado que a mémoria do computador é finita, números com muitas casas decimais são arre-dondados, o que geralmente não traz consequência alguma, mas pode fazer diferen¸ca se estivermos tratando de sistemas caóticos.

Essa constata¸cão nos dá um aparente paradoxo. O estudo aprofundado do caos só foi possivel a partir da constru¸cão dos primeiros computadores. Seria completamente inviável construir um diagrama de bifurca¸cão, por exemplo, apenas com uma calculadora. Mas acaba de ser apontado que erros inerentes à maquina possuem papel decisivo no cálculo de uma órbita.

Como podemos então confiar nos resultados obtidos a partir de simula¸cões computacio-nais, incluindo os apresentados neste trabalho? E se não pudermos confiar nas simula¸cões, como poderemos estudar os fenômenos caóticos?

O fato de que diversas máquinas com diferentes especifica¸cões computacionais (memória, processador, etc), ultilizando diferentes linguagens de programa¸cão e diferentes algorit-mos para a simula¸cão produziram os mesmo resultados nos deixa confidentes na validade

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deste método. Pode-se entender que apesar de cada órbita ser diferente, se ela for ’longa o suficiente’ passará arbitrariamente próxima de todos os pontos poss´ıveis. Entretanto, até onde vai o presente conhecimento do autor, não há uma prova formal garantindo a validade deste método, apenas fortes ind´ıcios.

Por isso devemos sempre lembrar que as simula¸cões são importantes e muito úteis no estudo teórico para compreendermos os fenômenos e elaborar nossas hipóteses e conjec-turas. Mas a verifica¸cão experimental é indispensável.

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Cap´ıtulo 3

Fractais

“Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.”

-Benoit Mandelbrot

Fractais são figuras matemáticas irregulares, rugosas, com caracter´ısticas bem pecu-liares, contra-intuitivas, que desafiam no¸cões básicas da geometria tradicional bem como a criatividade dos matemáticos. O termo “fractal”foi inventado por Mandelbrot [2] após um estudo sistemático dessas figuras.

3.1 Autossimilaridade, Escala e Dimens˜

ao

Assim como no caso do caos, é dificil definir precisamente o que sejam fractais. Mas é fácil apontar suas principais caracter´ısticas. Tais como a autossimilaridade, invariância de escala e dimensão não inteira. Portanto come¸caremos nosso estudo com uma breve discussão acerca desses conceitos.

Autossimilar, como o nome sugere, indica algo que é similar a si mesmo. Claro que qualquer objeto é idêntico a si mesmo, não é a isso que estamos nos referindo. Autossi-milaridade significa que uma parte do objeto é similar (ou idêntica) ao objeto como um todo, em escala reduzida. Que ao magnificar uma parte da figura recuperamos a figura como um todo. Ou ainda que uma figura é constituida por versões menores dela mesma. Imagine, por exemplo, a capa de um livro em que aparece a imagem da capa do próprio livro. Teremos um livro, dentro de um livro, dentro de um livro, dentro de um livro... Se aumentarmos a imagem de modo que a capa do primeiro livro desenhado fique do tamanho da capa original teremos exatamente a mesma figura. Ou seja, uma parte da figura é idêntica, em escala menor, à figura como um todo. Eis ai a autossimilaridade.

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Como consequência direta da autossimilaridade temos a invariância de escala. Isto é, o sistema possui o mesmo comportamento visto em escalas diferentes. Ele não possui uma ordem de grandeza preferencial para ocorrer. Ocorre em todos os n´ıveis. A lei de Gutenberg-Richter [3] por exemplo, que descreve a frequência dos terremotos pela sua magnitude, é conhecida por ser invariante de escala. Isto significa que terremotos de to-das as magnitudes ocorrem, desde que se espere uma escala de tempo compat´ıvel.

No caso dos fractais essa invariância de escala significa que o fractal permanece idêntico independente da escala em que é observado. Por exemplo, uma espiral. Se aproximar ou se afastar dela não altera em nada sua imagem. Apenas olhando não temos como saber em que escala estamos.

Para tratar dos fractais precisaremos ainda expandir nosso conceito de dimensão. Tra-dicionalmente entendemos que pontos têm dimensão zero, curvas dimensão um, planos dimensão dois e etc. Esta é a chamada dimensão topológica. Fractais são objetos que não se encaixam em nenhum desses casos, mas estão em algum estágio intermediário de-les. Queremos definir uma dimensão capaz de abrangi-los, isto é, que admita valores não inteiros. E que seja consistente com a dimensão topológica.

Há várias maneiras de se definir uma dimensão fractal, sendo a maior parte delas equivalentes. Trabalharemos com a dimensão box counting (contagem de caixas) por ser a mais ultilizada e de fácil aplica¸cão, tanto teórica quanto numérica.

A idéia é dividir o espa¸co em caixas de lado arbitrário ε e contar o número de cai-xas N (ε) ocupadas pelo fractal. Para ε pequeno o número de caixas N (ε) deve variar polinomialmente com (1/ε) onde o expoente é a dimensão do objeto.

N (ε) ∝ 1 ε

D

(3.1) Assim, a dimens˜ao (box counting) pode ser calculada como:

DBC = lim ε→0

log N (ε)

log(1/ε) (3.2)

Por exemplo, para cobrir uma reta de comprimento l, precisaremos de N (ε) = l/ε caixas de lado ε. Assim sua dimens˜ao ser´a

DBC = lim ε→0 log(l/ε) log(1/ε) = limε→0 log(ε) − log(l) log(ε) = 1 como esperado. ´

E fácil ver que esta defini¸cão recupera os resultados que conhecemos para os objetos euclidianos. Dessa forma conseguimos não só atribuir um valor para a dimensão dos fractais como também ter alguma intui¸cão, ainda que rudimentar, do que esses valores significam. Em geral os fractais possuem dimensão não inteira, mas não obrigatoriamente.

(27)

As curvas de Peano [4], por exemplo, possuem dimens˜ao 2 (s˜ao capazes de preencher ´

areas).

Figura 3.1: Curva de Peano com dimens˜ao fractal 2 (imagem tirada da internet).

3.2 Fractais Cl´

assicos

Antes de Mandelbrot alguns fractais já eram conhecidos, mas eram tidos como “mons-tros matemáticos”. Figuras estranhas que surgiam como contra-exemplo de alguma teoria ou que tornavam explicitas aparentes contradi¸cões.

Um conjunto que é denso em lugar nenhum e denso nele mesmo, uma curva que é cont´ınua mas não é diferenciável em nenhum ponto, uma figura com per´ımetro infinito e ´

area finita são alguns exemplos das “aberra¸cões”matemáticas que veremos.

3.2.1 Conjunto de Cantor

O conjunto de Cantor foi introduzido pelo matem´atico alem˜ao Georg Cantor em 1883. ´

E talvez o fractal mais conhecido, e apesar de aparentemente simples possui uma infinidade de propriedades matemáticas. Cantor o definiu de maneira geral e abstrata, sendo poss´ıvel constru´ı-lo de diversas formas. Veremos aqui sua constru¸cão mais conhecida, o conjunto ternário de Cantor.

A constru¸cão do fractal se dá de maneira recursiva: 1. Comecemos com um segmento de reta unitário [0:1].

2. Divide(m)-se o(s) segmento(s) em trˆes partes iguais.

(28)

4. Repete-se, ad infinitum, a partir do passo 2 para os segmentos restantes.

Figura 3.2: Constru¸c˜ao do fractal de Cantor (imagem tirada da internet).

O fractal será a figura resultante após aplicar o procedimento descrito infinitas vezes. O conjunto (ternário) de Cantor são os pontos que nunca são eliminados da reta por esse procedimento.

Vemos que na k-´esima fase da constru¸c˜ao temos 2k _{segmentos de reta, cada um com} 1

3

k

de comprimento. Portanto um comprimento total de 2₃k. Com k → ∞ temos o “comprimento”(medida de lebesgue [5]) indo a zero. O fractal de Cantor ´e uma nuvem, ou poeira de pontos, sem comprimento.

Apesar do comprimento nulo, a cardinalidade do conjunto é a mesma da reta [0:1]. Há uma fun¸cão surjetiva que mapeia cada ponto do conjunto num ponto da reta. Eis uma das primeiras peculiaridades deste fractal: possui comprimento nulo e infinitos não enumeráveis elementos; tantos quanto uma reta de comprimento qualquer.

Calculando sua dimens˜ao fractal temos que usando caixas de lado ε = 1₃k

teremos N (ε) = 2k _{caixas preenchidas. Portanto pela equa¸c˜}_{ao (3.2) sua dimens˜}_{ao ´}_e:

DBC = lim k→∞ log 2k log(3k₎ = log(2) log(3) ≈ 0, 63

De fato o conjunto de Cantor é algo que se situa entre uma cole¸cão de pontos (di-mensão 0) e uma reta (dimensão 1).

Este conjunto é dito denso em lugar nenhum, pois não possui pontos interiores. Isto é, arbitrariamente próximo de qualquer ponto do conjunto há algum ponto (na verdade infinitos) que não pertence ao conjunto.

Ele tambem é dito denso nele mesmo, pois não possui pontos isolados. Isto é, arbitra-riamente próximo de qualquer ponto do conjunto há algum ponto (na verdade infinitos) que pertence ao conjunto.

(29)

3.2.2 Curva de Koch

A Curva de Koch foi proposta pelo matemático sueco Helge von Koch em 1906. Sua constru¸cão se dá do seguinte modo:

1. Come¸camos com um segmento de reta; 2. Divide-se o segmento em trˆes partes iguais;

3. Desenha-se um triângulo equilátero usando o segmento do meio como base; 4. Apaga-se o segmento que serviu de base para o triângulo;

5. Repete-se, ad infinitum, a partir do passo 2 para todos os segmentos de reta.

Figura 3.3: Constru¸c˜ao da curva de Koch (imagem tirada da internet).

Entre as propriedades interessantes deste fractal vemos que:

• A curva tem comprimento infinito, entretanto delimita uma área finita; • A distância entre quaisquer dois pontos da curva é infinita;

• A curva é cont´ınua porém não diferenciável (todos os pontos são “bicos”); • É autossimilar.

Na k-´esima etapa da constru¸c˜ao temos N (ε) = 4k _{segmentos de reta com ε = (1/3)}k _do

comprimento inicial. Portanto sua dimens˜ao fractal ´e: DBC = lim k→∞ log 4k log(3k₎ = log(4) log(3) ≈ 1, 26

(30)

Magnificando em 3k _{vezes determinada regi˜}_{ao do fractal (que corresponda a um}

seg-mento de reta do estágio k da constru¸cão) recuperamos o fractal completo. Ou seja, ele é autossimilar.

A estrela (ou floco de neve) de Koch é construida do mesmo modo que a curva, porem come¸cando com um triângulo equilátero (no passo 1).

Figura 3.4: Estrela de Koch (imagem tirada da internet).

3.3 Fractais Aleat´

orios

Vimos até agora fractais determin´ısticos, constru´ıdos seguindo um algoritmo infinita-mente recursivo. Estes fractais são perfeitamente autossimilares, isto é, são invariantes sob magnifica¸cão. Em qualquer escala o fractal é formado por cópias dele em escalas menores. Possuem uma complexidade muito grande, quanto mais nos aproximamos deles mais detalhes aparecem. Nunca conseguimos reduzi-los a objetos mais simples, como os da geometria euclidiana por exemplo. Como se tivessem uma resolu¸cão infinita, nunca enxergamos os pixels.

Tais objetos, entretanto, só podem existir no mundo matemático. No mundo f´ısico temos duas grandes limita¸cões. A primeira é que essa “resolu¸cão infinita”não pode existir. Em algum momento chegaremos na escala atomica e o fractal não poderá se repetir em escalas menores. Os fractais que existem na natureza não serão autossimilares em todas as escalas, mas apenas num certo intervalo.

A segunda diferen¸ca que temos é a seguinte: não existe igualdade no mundo f´ısico, apenas semelhan¸ca. Não há duas coisas que sejam idênticas uma à outra, são no máximo parecidas. Igualdade é uma abstra¸cão. Precisaremos ajustar nosso conceito de autossimi-laridade nesse respeito.

Diremos que uma figura é autossimilar se não for poss´ıvel distinguir uma escala de outra. Isto é, se uma região da figura se parece (é indistinguivel) com outra de escala

(31)

diferente. E estará sempre impl´ıcito que essa autossimilaridade não é válida em qualquer escala, mas num intervalo de interesse.

Com nosso conceito de autossimilaridade atualizado podemos investigar casos mais próximos da f´ısica e da natureza, para alem das idealiza¸cões matemáticas. Iniciaremos esta empreitada introduzindo um novo ingrediente: a aleatoriedade. A aleatoriedade é muito importante para modelar e simular sistemas f´ısicos, pois ela engloba os efeitos de tudo que não entra explicitamente em nosso modelo. Sejam as variáveis que não incluimos por julgarmos irrelevantes, os erros e imprecisões nas medidas, o ru´ıdo e etc.

O caso mais simples parece ser aleatorizar fractais determin´ısticos, como os que já vimos. Em seguida construiremos fractais inerentemente aleatórios. Vejamos uma versão da estrela de Koch. Em cada etapa da sua constru¸cão desenharemos o triângulo equilátero (do passo 3) apontando “para fora”50% das vezes, e “para dentro”nos outros 50%.

Vemos que o fractal se parece com uma ilha. Sua borda parece a linha costeira ou a fronteira de algum pais. De fato a forma irregular da costa/fronteira dos pa´ıses foi o tema do primeiro artigo onde Mandelbrot introduz a geometria fractal.

´

E fácil verificar que ela é autossimilar, no sentido mais abrangente (f´ısico) do termo. Seria imposs´ıvel um processo aleatório gerar uma figura autossimilar no mesmo sentido dos fractais clássicos (matemáticos). Sua dimensão fractal pode ser calculada numericamente sem grandes dificuldades, com um gráfico di-log.

Figura 3.5: Curva de Koch aleatorizada.

3.3.1 O Jogo do Caos

Um procedimento aleat´orio pode gerar um resultado determin´ıstico? Aleatoriedade necessariamente implica em desordem e imprevisibilidade? Come¸caremos a discuss˜ao com um jogo simp´les, chamado “jogo do caos”.

(32)

2. Marque, em qualquer lugar do papel, um ponto. Este ponto ser´a chamado de “ponto do jogo”;

3. Sorteie um dos trˆes v´ertices;

4. Marque o ponto na metade do caminho entre o ponto do jogo e o v´ertice sorteado. Este ponto ser´a o novo ponto do jogo;

5. Repita in´umeras vezes o procedimento a partir do passo 3.

Figura 3.6: 3 partidas do jogo do caos com pontos iniciais diferentes.

Mostramos 3 partidas do jogo, com pontos iniciais diferentes. À primeira vista o resul-tado pode parecer impressionante. Os pontos sorteados em cada figura são completamente diferentes. Mas vemos o mesmo padrão emergir em cada uma delas, de modo que pratica-mente não conseguimos distingui-las. Este padrão é um fractal conhecido como triângulo de Sierpinski, constru´ıdo de modo semelhante aos fractais de Cantor e de Koch. Analize-mos como isto ocorre.

(33)

do jogo como uma unidade discreta de tempo. Assim a figura resultante é a trajetória da particula no espa¸co de configura¸cão (x,y).

Primeiro vemos que a partir de qualquer ponto fora do triângulo a part´ıcula se move em dire¸cão a ele, até alcan¸car sua borda ou interior. Alcan¸cando a borda a part´ıcula continuará na borda ou adentrará o triângulo. E uma vez no interior do triângulo todos os pontos seguintes permanecerão dentro do triângulo. O triângulo age como um atrator confinante.

Como a trajetória da part´ıcula evolui no interior do triângulo? Até então sabemos que ela está confinada, mas como o padrão visto emerge? Há regiões “proibidas”no interior? Por que ela não se espalha uniformemente? Come¸cando em um vértice todos os mo-vimentos poss´ıveis da part´ıcula fazem parte do triângulo de Sierpinski. Na verdade uma vez que ela alcance qualquer ponto do fractal sua trajetória estará confinada no próprio fractal. As regras do jogo funcionam como um mapa sob o qual o conjunto de pontos que pertencem ao fractal é invariante. Isto é, um ponto do conjunto sempre é mapeado noutro.

E qualquer ponto que não perten¸ca ao conjunto é mapeado noutro que também não pertence, mas que está mais próximo de um ponto do fractal que o anterior. Portanto, após sucessivas rodadas pode-se aproximar a trajetória da part´ıcula tanto quanto se queira do fractal. O triângulo de Sierpinski é o atrator de todas as trajetórias sob o mapa defi-nido pelas regras.

Atratores com formatos fractais são comuns (e umas das principais caracter´ısticas) em sistemas caóticos. Tais atratores são chamados atratores estranhos. A complexidade da evolu¸cão dinâmica do sistema caótico está intimamente ligada à complexidade da topolo-gia de seu atrator estranho.

3.3.2 DLA Cluster

Partimos agora para um caso onde a aleatoriedade aparece não como um ingrediente extra, mas como parte fundamental do processo. Queremos simular part´ıculas realizando movimento browniano que “grudam”uma na outra quando se encontram e assim vão for-mando agregados (em inglês, cluster ) cada vez maiores.

Esta é a chamada agrega¸cão por difusão limitada (do inglês, Diffusion-limited aggre-gation, DLA). Este modelo, proposto em 1981 por Witten Jr. e Sander, é aplicável em qualquer sistema onde a difusão seja o principal meio de transporte. É observado em siste-mas como a eletrodeposi¸cão, fluxo de Hele-Shaw [6], depósitos minerais, ruptura dielétrica entre outros.

Realizamos as simula¸c˜oes numa rede bidimensional, com uma part´ıcula fixa no centro e outra solta na borda sob movimento browniano, isto ´e, a cada unidade de tempo

(34)

dis-creto possui 25% de chance de se mover em cada dire¸cão. Quando esta part´ıcula se une ao agregado do centro, outra é liberada numa região diferente da borda.

Figura 3.7: Agregados com 3 mil part´ıculas.

Figura 3.8: Agregados com 3 mil (esquerda) e 6,75 mil (direita) part´ıculas.

As simula¸cões possuem 3, 6.75 e 12 mil part´ıculas. A autossimilaridade é evidente uma vez que não conseguimos distinguir cada um desses regimes. O cálculo de sua dimensão fractal é direto: basta construir um gráfico dilog do número de caixas N (ε) pelo inverso de seu comprimento ε. Se a equa¸cão 3.2 for válida o gráfico será uma reta e a dimensão será seu coeficiente angular.

Calculamos a dimens˜ao para as simula¸c˜oes com 12 mil part´ıculas e obtivemos como resultado D ≈ 1, 58.

(35)

Figura 3.9: Agregados com 6,75 mil part´ıculas.

(36)

Figura 3.11: Gr´aficos dilog do n´umero de caixas N (ε) pelo inverso do comprimento ε, para os agregados de 12 mil part´ıculas.

3.4 Fractais no Plano Cartesiano

3.4.1 Atrator de H´

enon

O atrator de Hénon [7] é gerado pela transforma¸cão:

H(x, y) = (y + 1 − ax2, bx) (3.3)

sendo a = 1,4 e b = 0,3 a sua forma convencional.

Esta transformada pode ser entendida como 3 deforma¸c˜oes sucessivas do plano carte-siano. Primeiro em forma de par´abola no eixo y:

H1(x, y) = (x, y + 1 − ax2)

Depois uma contra¸c˜ao em x

(37)

Figura 3.12: Atrator de Hénon. Este fractal é formado por várias camadas que nunca se sobrepõem.

E por fim uma reflex˜ao em x=y

H3(x, y) = (y, x)

De modo que

H(x, y) = H3(H2(H1(x, y)))

A maioria dos pontos dão origem à órbitas que escapam pro infinito. O atrator de Hénon é o estado final das órbitas que não divergem. Há uma zona de captura R, ao redor do atrator, onde as órbitas ficam confinadas (H(R) ⊂ R) e eventualmente conver-gem para ele. Sua base de atra¸cão é formada por todos os pontos cuja órbita, em algum momento, entra na zona de captura. O atrator é invariante sob H, i.e. um ponto do atrator é mapeado noutro.

H é sens´ıvel às condi¸cões iniciais. Duas órbitas inicialmente próximas vão divergir rapidamente. E elas preenchem densamente o atrator. Cada órbita (que não diverge) se aproxima tanto quanto se queira de todos os pontos do atrator. Assim uma única órbita é suficiente para gerá-lo.

(38)

O atrator parece ser formado por segmentos de parábolas. Ao magnificarmos a ima-gem percebemos que cada vez mais desses segmentos aparecem. Se come¸camos com um segmento e aplicamos a transformada H, teremos dois segmentos. Ao aplicá-la novamente teremos quatro, então oito, dezesseis e assim sucessivamente. De modo que o atrator é formado por infinitos desses segmentos. Se não fosse assim ele não seria invariante, pois ao aplicar H apareceriam novos (o dobro) segmentos. Desse modo pontos teriam sido mapeados para fora do atrator que, neste caso, não seria mais um atrator.

O atrator tem área zero. Ao aplicar H a uma região sua área dimimui pelo fator b. Ao aplicá-la infinitas vezes teremos o atrator com área nula. A interse¸cão dos segmentos de parábola do atrator com uma reta gera um conjunto de Cantor (não o ternário). O que mostra sua autossimilaridade (ao menos em rela¸cão à disposi¸cão das parábolas).

Este atrator também tem grande rela¸cão com o mapa log´ıstico, sendo até conside-rado sua versão bidimensional. Vemos que para b = 0, H se torna um mapa quadrático unidimensional

xn+1 = 1 − ax2n

assim como o mapa log´ıstico

xn+1 = axn(1 − xn).

Isto significa que todo o estudo feito no cap´ıtulo 2 sobre o mapa log´ıstico pode ser feito também para o mapa de Hénon, agora em duas dimensões. Encontrar seus regimes estacionário, periódico e caótico, os expoentes de Lyapunov, construir o diagrama de bi-furca¸cão, calcular a delta de Feigenbaum e etc.

O atrator de Hénon é um atrator estranho. Ele representa a dinâmica de um sistema caótico e possui a topologia de um fractal.

3.4.2 Conjuntos de Mandelbrot e Julia

Os conjuntos de Julia e de Mandelbrot s˜ao gerados pela mesma fun¸c˜ao iterativa com-plexa

zn+1= zn2 + c (3.4)

com z, c ∈ C.

Como no mapa de Hénon, várias trajetórias escaparão pro infinito dependendo dos valores de z0 e c. Os fractais de Julia e Mandelbrot nascem da identifica¸cão dessas

tra-jet´orias. No caso de Julia fixamos o valor de c e no de Mandelbrot fixamos z0 e calculamos

a divergência ou não das trajetórias conforme variamos o outro parâmetro. O fractal é a fronteira entre as duas regiões (das trajetórias que divergem e as que não).

(39)

Os conjuntos de Julia e Mandelbrot delimitam regiões com base no estado final das trajetórias que ali come¸cam. Ou seja, delimitam uma base de atra¸cão. Em alguns ca-sos essa fronteira, que a princ´ıpio deveria ser uma curva unidimensional, é na verdade bidimensional. Nessa região as órbitas que convergem e as que divergem se misturam de tal forma que não é poss´ıvel separa-las por uma linha. Todos os pontos são pontos de fronteira. O espa¸co é preenchido densamente pelos dois tipos de órbita, sendo imposs´ıvel decidir -a priori- se uma órbita diverge ou não.

Figura 3.13: Conjuntos de Julia com C = −0.5 + 0.5i (esquerda) e C = −0.5 + 0.52i (direita)

(40)

Figura 3.15: Conjuntos de Julia com C = 0.63i (esquerda) e C = 0.64i (direita)

Figura 3.16: Conjuntos de Mandelbrot com z0= 0 (esquerda) e z0= 0.5i (direita)

(41)

Cap´ıtulo 4

Autˆ

omatos Celulares

Os autômatos celulares come¸caram a ser estudados na década de 1940 por S. Ulam e J. von Neumann. Von Neumann estudava sistemas auto-replicantes, e tentava construir um modelo teórico com esta propriedade. Ulam sugeriu-lhe usar o maquinário dos autômatos celulares para este fim. Von Neumann obteve sucesso ultilizando uma rede bidimensional onde cada célula possui 29 estados.

Nos anos 1970 os autômatos ganharam bastante popularidade com o chamado “jogo da vida”de J. Conway, um autômato que simula a evolu¸cão temporal de uma popula¸cão (número de indiv´ıduos) de determinada espécie interagindo com o meio ambiente. O jogo de Conway atraiu muito interesse por ser capaz de gerar padrões complexos e variados, dependendo apenas das condi¸cões iniciais. É curioso notar que o mesmo problema - a evolu¸cão temporal de uma popula¸cão - foi responsável pelos primórdios do estudo de sis-temas caóticos, com o mapa log´ıstico, e de autômatos celulares, com o jogo da vida.

Na década de 1980 Wolfram publicou um extenso e sistemático estudo sobre os autômatos unidimensionais chamados autômatos elementares. Incluindo uma classifica¸cão em quatro tipos de autômatos, de acordo com seu estado final.

Desde então os autômatos celulares têm sido aplicados nas mais diversas áreas. fisica, quimica, ecologia, planejamento urbano, economia, etc...

Um autômato celular é uma rede de células, cada uma ocupando 1 de p ≥ 2 estados poss´ıveis, evoluindo em unidades de tempo discretas e sob leis locais. Em cada unidade de tempo t o novo estado de uma célula é determinado pelo estado de seus (digamos, k) vizinhos no tempo imediatamente anterior t − 1, segundo as regras de evolu¸cão do autômato.

Há varias maneiras de se construir um autômato celular. Para isto precisamos definir a dimensão e geometria da rede, o número de estados poss´ıveis de cada célula, o número e geometria dos vizinhos, e por fim as regras de atualiza¸cão dos estados. Essas carac-ter´ısticas serão, na grande maioria dos casos (incluindo todos os aqui estudados), globais

(42)

(independentes da posi¸c˜ao), fixas (independentes do tempo) e determin´ısticas.

Também podemos construir modelos mais elaborados, por exemplo permitindo regras probabil´ısticas (como no modelo de Ising), regras ou vizinhan¸ca que variam de uma célula ou região para outra, que variam no tempo, regras com “memoria”(que dependem dos estados em t-2, t-3...) ou onde o novo estado de uma célula depende do novo estado de algum(s) de seus vizinhos etc. Temos ainda generaliza¸cões para valores cont´ınuos do número de estados, posi¸cão e tempo.

Um dos casos mais simples são os autômatos elementares: uma cadeia unidimensional de células binárias (p = 2) com intera¸cão de primeiros vizinhos (k = 3, o vizinho de cada lado e a própria célula).

Autômatos celulares não são exatamente uma inven¸cão recente da humanidade. O autômato mais antigo que temos not´ıcia, o triângulo de Pascal, é conhecido desde a anti-guidade. O mais estudado na f´ısica, o modelo de Ising, também é anterior aos trabalhos de Ulam. O que é recente é um estudo sistemático desses sistemas.

4.1 Autˆ

omatos Elementares

Os autômatos elementares desempenham um papel análogo ao dos mapas unidimen-sionais no estudo de sistemas caóticos. São sistemas simples, capazes de manifestar um comportamento complexo e exibir grande parte das propriedades vistas em sistemas mais gerais.

Um autômato elementar é uma cadeia unidimensional de células com p = 2 poss´ıveis estados e k = 3 vizinhos. Assim temos 23 _{= 8 poss´ıveis configura¸c˜}_{oes de vizinhos. Uma}

regra consiste em definir o estado final da célula central para cada uma das poss´ıveis con-figura¸cões de vizinhos. Como para cada configura¸cão temos 2 estados poss´ıveis, existem 28 _{= 256 regras.}

De modo geral teremos ppk regras, uma quantidade que cresce extremamente rápido. Aumentando em 1 o número de vizinhos (k = 4) já temos 104 regras. Se ao invés disso au-mentarmos o número de estados (p = k = 3) teremos então 1012 _{regras! Uma quantidade}

claramente imposs´ıvel de ser estudada exaustivamente. Por isso tamanha a impotância dos autômatos elementares. Conseguimos trabalhar com todos eles e visualizar a maioria, senão todas, caracter´ısticas de autômatos mais gerais.

Um modo conveniente de expressar essas regras é a partir da decomposi¸cão binária dos números. Considere por exemplo a seguinte regra:

000 → 0 001 → 1

(43)

010 → 1 011 → 1 100 → 1 101 → 0 110 → 0 111 → 0

que pode ser abreviada como ’00011110’. Quando lida em binário representa o número 30. Portanto ela é conhecida como “Regra 30”. Similarmente para todas as outras regras.

4.2 tipos de automatos

Wolfram classificou os autômatos em quatro classes, de acordo com o seu comporta-mento a longo prazo. Apesar desta classifica¸cão não ser muito precisa, caracter´ıstica de ciências em desenvolvimento, costuma ser fácil aplicá-la de maneira inamb´ıgua. Mas há casos de fronteira que se encaixam em duas ou mais classes. E outros em que condi¸cões iniciais espec´ıficas causam um autômato a apresentar comportamento diferente do espe-rado pela sua classe. Alguns autômatos são capazes até de simular (reproduzir) outros, com um ajuste preciso das condi¸cões iniciais. De sorte que essas condi¸cões iniciais são um tanto raras, fazê-las aleatórias costuma ser suficiente para revelar o comportamento “natural”do autômato.

• Classe I: A maioria dos estados iniciais evoluem rapidamente para um estado final estável e homogêneo. Com todas as células no mesmo estado. Toda desordem do estado inicial desaparece. Em uma analogia com sistemas dinâmicos o estado final seria um atrator de ponto fixo.

• Classe II: A maioria dos estados iniciais evoluem rapidamente para um estado fi-nal com estruturas simples, que não mudam ou são periódicas. Alguma desordem devido ao estado inicial pode sobreviver. Eles funcionam como “filtros”permitindo que apenas alguns padrões iniciais permane¸cam enquanto os outros são destru´ıdos. Mudan¸cas no estado inicial tendem a permanecer locais ou sumir completamente no estado final. Na analogia, aqui temos vários atratores fixos ou periódicos.

• Classe III: A maioria dos estados iniciais evoluem de modo pseudoaleatório ou caótico. Estruturas estáveis que possam surgir são logo destruidas pela desordem

(44)

do ambiente. Mudan¸cas no estado inicial tendem a se propagar indefinidamente. Na analogia, o sistema possui um atrator estranho (fractal).

• Classe IV: A maioria dos estados iniciais evoluem para a forma¸cão de estrutu-ras locais, que por si só são simples, mas que interagem de maneira complexa com outras estruturas e com o ambiente, e podem sobreviver por longos per´ıodos de tempo. Estas estruturas podem decair em estruturas estáveis ou periódicas do tipo II, mas o número de passos necessários pode ser extremamente grande. Mudan¸cas no estado inicial podem se propagar indefinidamente, permanecer locais ou sumir completamente. Na analogia esta classe não possui um correspondente direto, mas lembra de certa forma um sistema caótico em crise. Um longo transiente caótico com um estado final previs´ıvel.

Figura 4.1: Autˆomatos celulares do tipo I. Regra 96 (esquerda) e regra 168 (direita).

A classifica¸cão é feita em ordem crescente de complexidade, de modo que os tipos III e IV apresentam os comportamentos mais ricos. Podemos entendê-la também em fun¸cão do número e do tempo que as células permanecem ativas. Nos tipos I e II as células ficam ativas por pouco tempo. Logo alcan¸cam uma configura¸cão estável. No tipo III o número de celulas ativas sempre aumenta (até alcan¸car a totalidade) e elas permanecem ativas indefinidamente, nunca alcan¸cando a estabilidade.

No tipo IV a quantidade de células ativas ora aumenta ora diminui, estruturas de células se formam e permanecem ativas por longos per´ıodos de tempo, interagem com outras estruturas e com o ambiente, permanecem localizadas numa região ou se movem pelo autômato. Oscilam entre a aleatoriedade e crescimento ilimitado do tipo III com a periodicidade, forma¸cão de estruturas locais e diminui¸cão de células ativas do tipo II.

(45)

Figura 4.2: Autˆomatos celulares do tipo II. Regra 2 (esquerda) e regra 4 (direita).

Figura 4.3: Autˆomatos celulares do tipo III. Regra 30 (esquerda) e regra 45 (direita).

Esta media¸cão entre ordem e caos parece ser a principal responsável pela manifesta¸cão da complexidade.

Devido toda essa riqueza de comportamento, Wolfram conjecturou que a maioria dos autômatos do tipo IV, senão todos, são capazes de computa¸cão universal. E foi provado que este é o caso da regra 110 e do jogo da vida de Conway.

4.3 Aleatoriedade e Propaga¸

c˜

ao de Erro

´

E necessário falarmos sobre esta pseudoaleatoriedade presente nos tipos III e IV. É claro que um procedimento completamente determin´ıstico não pode gerar um resultado verdadeiramente aleatório. Duas execu¸cões do mesmo autômato com as mesmas condi¸cões iniciais irão gerar sempre o mesmo resultado. Mas este resultado é uma sequência de 0’s

(46)

Figura 4.4: Autˆomatos celulares do tipo IV. Regra 110 (esquerda) e regra 147 (direita).

e 1’s que parece aleatória. Conhecendo os n primeiros digitos da sequência não temos como saber qual será o (n + 1)-ésimo digito sem aplicar as regras do autômato.

Vários testes estat´ısticos foram feitos e mostraram que sequências geradas pela regra 30, por exemplo, são tão aleatórias quanto outras sequências cuja aleatoriedade é reco-nhecida, como a distribui¸cão dos algarismos na expansão decimal de π. Por exemplo, espera-se de uma distribui¸cão aleatória que a quantidade de 0’s e 1’s seja aproximada-mente a mesma, 1/2 do total. Também que as sequências 00’s, 01’s, 10’s, e 11’s apare¸cam com a mesma frequência de 1/4. Que os 000’s, 001’s, ..., 111’s apare¸cam cada um com freqência de 1/8 e etc.

E de onde vem esta aleatoriedade? É natural imaginarmos que ela seja apenas um eco da aleatoriedade introduzida nas condi¸cões iniciais. Embora este seja realmente o caso para alguns autômatos, não o é para todos. Comparemos a evolu¸cão da regra 30 em dois casos: iniciando com apenas uma célula ativa e iniciando com condi¸cões aleatórias.

Vemos que tão logo a influência da única célula ativa alcance as bordas do primeiro caso, ele se torna indistinguivel do segundo. Portanto esta aleatoriedade não advém das condi¸cões iniciais. É caracter´ıstica intr´ınseca da regra 30. Percebemos também que esta influência se propaga na velocidade de uma célula por passo. Esta é a velocidade máxima que o autômato é capaz de transmitir informa¸cão. E por vezes é chamada de velocidade da luz (c) do autômato.

Fazendo a mesma compara¸cão com outros autômatos da classe III, como as regras 22 e 150, vemos que eles não exibem a mesma aleatoriedade da regra 30. Mas que a influência da célula ativa se propaga de forma fractal e também na velocidade da luz.

Assim a aleatoriedade vista aqui é do mesmo tipo da vista nos mapas unidimensio-nais. Uma órbita no mapa log´ıstico por exemplo, dado o valor do parâmetro λ e o ponto inicial, é completamente determin´ıstica. Será sempre a mesma. Mas no regime caótico

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Figura 4.5: Regra 30 evoluindo de condi¸cões iniciais aleatórias (esquerda) e de apenas uma célula (direita).

Figura 4.6: Regra 22 evoluindo de condi¸cões iniciais aleatórias (esquerda) e de apenas uma célula (direita).

é imposs´ıvel prevê-la sem antes realizar os cálculos. E para λ = 4 ela se distribui quase uniformemente no intervalo [0:1].

Tal semelhan¸ca com os mapas unidimensionais nos faz questionar se eles comparti-lham outras caracter´ısticas em comum. Em especial, se a sensibilidade às condi¸cões ini-ciais também é presente aqui. Esta pergunta está parcialmente respondida na descri¸cão dos tipos de autômato: no tipo III “mudan¸cas no estado inicial tendem a se propagar in-definidamente”. Investigaremos esta questão a partir de simula¸cões da propaga¸cão de erro. Para isso iniciamos duas cópias do autômato com as mesmas condi¸cões iniciais aleatórias, diferindo apenas por uma célula. Então deixamos os dois evoluirem e os comparamos. A propaga¸cão de erro para autômatos das quatro classes pode ser vista nas figuras 4.8 -4.10.

Na classe I a informa¸cão (erro) logo é destruida e o sistema alcan¸ca o mesmo estado homogêneo. Na classe II a informa¸cão, se não for destruida, permanece confinada

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local-Figura 4.7: Regra 150 evoluindo de condi¸cões iniciais aleatórias (esquerda) e de apenas uma célula (direita).

Figura 4.8: Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 224 (esquerda, tipo I) e regra 109 (direita, tipo II).

mente. Na classe III a informa¸cão rapidamente se espalha por todo o autômato. Na classe IV todos os comportamentos acima descritos podem ocorrer. Consequência (e prova) da alta complexidade desta classe e sua posi¸cão de fronteira entre ordem e caos.

Muito do comportamento do autômato pode ser entendido em fun¸cão de como ele lida com a informa¸cão. Num autômato onde toda informa¸cão é destruida, estados iniciais diferentes são irrelevantes e o estado final é sempre o mesmo. Quando a informa¸cão per-manece confinada localmente temos vários blocos de células que não se comunicam. Cada bloco funciona como um autômato finito e independente dos demais. Assim cada bloco tem um número finito e pequeno de configura¸cões poss´ıveis (exponencialmente menor que o autômato como um todo), atingindo rapidamente a periodicidade.

Quando a informa¸cão se propaga por todo o autômato temos uma sensibilidade às condi¸cões iniciais. Efeitos locais se propagam globalmente. Um grande número de

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confi-Figura 4.9: Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 22 (esquerda) e regra 60 (direita), ambas tipo III. Na regra 60 o erro se propaga de modo fractal e independe das condi¸c˜oes iniciais

Figura 4.10: Propaga¸c˜ao de erro (em vermelho). Regra 110 (esquerda) e regra 147 (direita), ambas tipo IV.

gura¸c˜oes finais s˜ao poss´ıveis e efeitos emergentes podem aparecer.

4.4 Irreversibilidade e Entropia

Outra maneira de se estudar a evolu¸cão de um autômato é analisando sua trajetória no “espa¸co de fase”. Para isto consideramos cada configura¸cão poss´ıvel de n células como um estado inicial do sistema e verificamos qual seu sucessor imediato, ou seja, em qual estado (de n células) ele é mapeado pelo autômato após uma unidade de tempo.

Como as leis do autômato são determin´ısticas cada estado só possui um sucessor ime-diato. Mas pode acontecer (e quase sempre ocorre) de um estado ter vários antecessores imediatos. Neste caso o autômato é dito irrevers´ıvel. Sabendo quem é o estado final

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Figura 4.11: Espa¸co de fase de um autômato com 10 células. Regra 22 à esquerda e regra 60 à direita. A regra 60 (00111100) é simétrica.

não temos como calcular os estados anteriores. Parte da informa¸cão é destru´ıda. Como consequência teremos também estados sem nenhum antecessor. Estes são chamados jar-dins do Éden pois podem aparecer apenas como condi¸cão inicial.

Deste modo autômatos irrevers´ıveis apresentam uma preferência por certos estados. Se o iniciamos com condi¸cões totalmente aleatórias em t = 0, todos os estados são equi-prováveis. Entretanto para t > 0 nenhum estado jardim do Éden pode ocorrer, sua proba-bilidade se torna nula. Conforme o tempo passa os estados com mais antecessores tendem a se tornar os mais prováveis. Assim o autômato exibe um n´ıvel de auto-organiza¸cão e consequente diminui¸cão de entropia, caracter´ısticas muito comuns em seres biológicos.

Importante notar que esta auto-organiza¸cão se dá mesmo em autômatos da classe III, incluindo a regra 30, desde que sejam irrevers´ıveis. Mas o número de estados inativos aqui é muito pequeno se comparado ao das outras classes. A quantidade de configura¸cões ativas (com probabilidade maior que 0 no tempo t) costuma ser próxima das 2n confi-gura¸cões poss´ıveis.

Nas figuras (4.12 - 4.14) mostramos como se dá a evolu¸cão temporal das probabili-dades de cada estado. A cor indica o número de estados iniciais que, no tempo t, são mapeados nele. E a partir dessas probabilidades computamos a entropia de Gibbs para o autômato.

S = −X

i

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Figura 4.12: Probabilidade não normalizada dos estados em fun¸cão do tempo (esquerda) e entropia em fun¸cão do tempo (direita) para a regra 22 com 10 células.

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Cap´ıtulo 5

Considera¸

c˜

oes Finais

Neste trabalho estudamos trˆes t´opicos diferentes, cada um atingindo a complexidade `

a sua maneira. Pudemos então investigar suas propriedades e perceber comportamentos semelhantes entre eles. Adquirindo assim uma no¸cão de quais caracter´ısticas são particu-lares do sistema e quais são fruto de sua natureza complexa.

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Referˆ

encias Bibliogr´

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