Definição de Probabilidade:
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento.
A probabilidade de um certo evento A ocorrer é igual à freqüência relativa de vezes que A é observado, quando o experimento é repetido um número infinitamente grande de vezes.
A probabilidade de ocorrência de um evento é dada por um número que varia de 0 a 1. Definição de Eventos:
São os resultados possíveis de um experimento.
ex.: Se o experimento fosse o lançamento de uma moeda, os eventos possíveis seriam cara e coroa. Definição de Conjunto:
Coleção bem definida de objetos ou itens. ex.: conjunto A = {João, Maria , José}
Definição de Espaço Amostral:
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Definição de Complemento:
Complemento de um evento consiste de todos os outros resultados do espaço amostral que não façam parte do evento.
Definição de Eventos Mutuamente Exclusivos:
São aqueles que não podem ocorrer simultaneamente.
ex.: Na extração de uma carta, os eventos a carta é de copas e a carta é de ouros são mutuamente excludentes, pois uma carta não pode ser simultaneamente de copas e de ouros.
Definição de Eventos Coletivamente Exaustivos:
Quando somente um resultado é possível de ocorrer em um dado experimento.
ex.: Na extração de uma carta, os eventos carta preta e carta vermelha são coletivamente exaustivos. Ou seja, somente um resultado é possível.
Definição de Eventos Independentes:
PROBABILIDADE Probabilidade do evento E: CHANCE Exemplo:
Uma urna tem 10 bolas, 8 vermelhas e 2 verdes. A chance a favor da vermelha é de
8:2 ou 4:1. PROBABILIDADE DE OCORREREM DOIS EVENTOS (A e B) Eventos independentes -> a
ocorrência ou não de um não influencia a ocorrência do outro.
Ex.: Jogam-se duas moedas equilibradas. Qual a probabilidade de ambas darem
cara ? Sol.: P(cara) = 1/2
logo, P(cara e cara) = 1/2 x 1/2 = 1/4.
Eventos dependentes um do outro.
(Probabilidade Condicional) Ex.: A urna Y tem 8 fichas vermelhas e 2 brancas. A urna Z tem 5 vermelhas e 5 brancas. Escolhendo a urna Y, qual a
probabilidade de sair uma ficha vermelha ?
Sol.: P(Urna Y e ficha vermelha) = 8/20 = 0,40, ou seja: A = Urna Y B= ficha vermelha P(A)= 1/2 P(B|A)=8/10, logo P(A e B) = 1/2 x 8/10 = 8/20 ou 0,40.
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de B ocorrer, depois de A ter ocontecido é definida por P(B|A), ou seja, é chamada "probabilidade condicional de B".
Eventos mutuamente exclusivos
quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).
P(B) x P(A) B) P(A : notação Outra . idem B), | P(A x P(B) B) e P(A ou P(B) A) | P(B tes independen são eventos os como mas A), | P(B x P(A) B) e P(A P(A) x P(B) B) e P(A P(B) x P(A) B) e P(A B) | P(A x P(B) B) P(A A) | P(B x P(A) B) P(A : notação Outra B) | P(A x P(B) B) e P(A A) | P(B x P(A) B) e P(A 0 B) P(A : notação Outra 0 B) e (A P n(A) n(E) P(E) seja, ou amostral espaço do elementos de nº E evento do elementos de nº ) ( E P N n E P( ) 00 , 1 ) ( 00 , 0 P E 1 ) ( P Ei E de ocorrência -não de ade probabilid a ) ' ( sendo ) ( 1 ) ' (E P E P E P E em NÃO resultados de nº E em SIM resultados de nº E de Chance
PROBABILIDADE DE OCORRER AO MENOS UM
DE DOIS EVENTOS (A ou B)
Os eventos mutuamente exclusivos
(ou seja, que não podem ocorrer simultâneamente), a probabilidade de ocorrência de um deles é a soma de suas
probabilidades individuais. ex.: A probabilidade de ocorrer 5 ou 6 numa jogada com um dado é:
P(cinco) + P(seis) = 1/6 + 1/6 = 2/6 Os eventos não mutuamente exclusivos, ou seja, é possível a
ocorrência conjunta de ambos. ex.: Em um baralho de 52 cartas há 13 cartas de paus, 4 dez e 1 dez de paus. A probabilidade de se tirar 1 carta de paus, ou dez ou ambos (dez de paus) é: P(paus) = 13/52
P(dez) = 4/52 P(dez de paus) = 1/52 Logo,
P(paus, ou dez, ou ambos) = P(paus) + P(dez) – P(dez de paus)= 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52.
Quando se tem mais de dois eventos, por ex., P(A B C ) = (1-P(A)) x (1-P(B)) x (1-P(C)) P(B) P(A) B) P(A : Notação Outra P(B) P(A) B) ou P(A vêzes. duas somada seja não intersecão a que para B), P(A ou B) e P(A têrmo o se -Subtrai : Nota B) P(A -P(B) P(A) B) P(A : notação Outra B) e P(A -P(B) P(A) B) ou P(A
REGRAS DE CONTAGEM:
QUANDO A ORDEM É IMPORTANTE
ARRANJO
Número de grupamentos em que interfere a
ordem. ex.: Tomando 4 cores: V, A, B, L Temos A4,3 = 24
VAB,VBA,AVB,ABV,BAV,...,etc
PERMUTAÇÃO Uma permutação é um arranjo com a
totalidade dos elementos.
QUANDO NÃO INTERESSA A ORDEM
COMBINAÇÃO
Uma combinação é um maior número de grupamentos possíveis. O número de combinações é sempre
inferior ao número de arranjos.
ex.:Tomando 4 cores: V, A, B, L Temos C4,3=4
VAB, VAL, VBL, ABL
PROBABILIDADE TOTAL
Sejam B1, B2, B3,...,Bk um conjunto de eventos mutuamente exclusivos cuja união forma o espaço amostral. Seja A outro evento no mesmo espaço amostral, tal que P(A) > 0.
Logo,
P(A)= P(AB1) + P(AB2) + +P(AB3)+...+P(ABk)
P(A) = P (B1) x P(A|B1) + P(B2) x P(A|B2) +...+P(Bk) x P(A|Bk)
Logo,
Probabilidade Total = [P(Bi) x P(A|Bi)]
)!
(
!
A
n,xx
n
n
)
!
)...(
!
2
)(
!
1
(
!
P
nn1,n2,...,nknk
n
n
n
)!
(
!
!
C
n,xx
n
x
n
x
n
O Teorema de Bayes é uma técnica utilizada para revisar estimativas probabilísticas iniciais com base em dados amostrais.
Na solução pelo Teorema de Bayes, temos de definir: 1- a probabilidade a priori.
2- a probabilidade do evento em questão. Fórmulas:
P(A) = [P(Bi) x P(A|Bi)
P(A Bi) = P(A) x P(Bi|A) => P(Bi|A) = P(ABi) / P(A)
P(Bi|A) = P(Bi) x P(A|Bi) /
[P(Bi) x P(A|Bi)]
ex.: Sejam 4 urnas com 10 bolas coloridas cada uma distribuídas da seguinte maneira:
URNAS
CÔR DA BOLA
VERMELHA
BRANCA
AZUL
TOTAIS
A 1 6 3 10
B 6 2 2 10
C 8 1 1 10
D 0 6 4 10
Escolheu-se arbitrariamente uma das urnas e extraiu-se uma bola. Se a bola é vermelha, qual a probabilidade de ter sido extraída da urna B?
Probabilidade a priori = Urna B. Probabilidade do evento em questão = bola vermelha.
PROBABILIDA
DE A PRIORI
URNA
COR
VERMELHA
BRANCA
AZUL
TOTAIS
1/4 A 0,10 0,60 0,30 1,00
1/4 B 0,60 0,20 0,20 1,00
1/4 C 0,80 0,10 0,10 1,00
CENTRAL LIMIT THEOREM
The Central Limit Theorem states that the distribution of samples averages will tend toward a normal distribution as the sample size, n , increases.
STANDARD ERROR
OF THE POPULATION Os desvios padrões não podem ser somados.
(somente somamos os valores da média e da variância) STANDARD ERROR OF THE
MEAN
THEORICAL EXPECTED VALUE
Valor Esperado da Média Amostral é o valor da média da população Valor Esperado da Variância Amostral
é a variância da população n x x _ n sx x s _ ) ( _ x E 2 2 ) (s E
FLUXOGRAMA DA PROBABILIDADE
Os eventos são mutuamente exclusivos ?
Sim P(A e B) = 0, quando ocorrerem dois eventos P(A ou B) = P(A) + P(B), quando ocorrer ao menos um de dois eventos
Não
Os eventos são independentes ? por ex.: P(A|B)=P(A) ?
Sim
P(A e B) = P(A) x P(B), quando ocorrerem dois eventos P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B), quando ocorrer ao menos um de dois eventos
Amostras com
reposição Amostras sem reposição
1. Binomial 2. Quando o valor de n é grande e o de p é pequeno, usar a Tabela ou a Fórmula de Poisson. Hipergeométrica
O eventos são condicionais ? (é um evento dependente do outro ?)
Quando ocorrerem dois eventos e um depender da ocorrência do outro.
P(A e B) = P(A) x P(B|A) Não
