Efeitos coerentes no acoplamento dos lasers de fentosegundo e de diodo em vapor de rubídio

Texto

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(2) Souza, Marco Polo Moreno de Efeitos coerentes no acoplamento dos lasers de fentosegundo e de diodo em vapor de rubídio / Marco Polo Moreno de Souza. - Recife : O Autor, 2008. xii, 68 p. : il., fig., tab., quadro. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco. CCEN. Depto. de Física, 2008. Inclui bibliografia e apêndice. 1. Óptica. 2. Física atômica. 3. Laser de fentosegundo. 4. Pente de frequências. 5. Laser de diodo. 6. Processo de acumulação coerente I. Título. 535.2. CDD (22.ed.). DF2008-08.

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(4) Aos meus pais, Jorge e Eunice, e a meu irmão, Thiago.

(5) Agradecimentos. A Deus. Aos meus pais, pela motivação que me deram em relação aos estudos. À minha orientadora Sandra, pela minha formação, pela paciência e pelos seus conselhos sempre muito úteis. Ao meu co-orientador Daniel, pela ajuda fundamental na elaboração deste trabalho, tanto da parte experimental como teórica. A Carlos pela inestimável ajuda na realização dos experimentos. Ao professor Lúcio pelas dicas úteis nos experimentos. A Marcos, técnico em eletrônica do Departamento de Física, principalmente pela ajuda na construção de um gerador de ondas usado na sintonização do laser de diodo. A Bruno Nogueira, pela ajuda na montagem da cavidade externa do laser de diodo. Ao professor Anderson, pela gentileza em emprestar o laser de fentosegundos usado nos experimentos. A todos os professores que contribuíram na minha formação, do ensino infantil à pósgraduação. Aos meus colegas Plínio e Dani, pelas várias discussões sobre Mecânica Quântica, que me ajudaram a refletir sobre alguns de seus conceitos. A Hugo pelas várias dúvidas tiradas em relação ao laser de diodo. A Rafael, Ferraz, Bruno Gomes, Euclides, Natália, Sérgio, Eroni, Bernardo e a todos os meus colegas que contribuíram, direta ou indiretamente, para a realização deste trabalho. A todos os funcionários do Departamento, entre eles Paula, Sara, Ivo, Severino, Virgínia e Paulo. Ao CNPq pelos recursos.. iv.

(6) E ainda que tivesse o dom de profecia, e conhecesse todos os mistérios e toda a ciência, e ainda que tivesse toda fé, de maneira tal que transportasse os montes, e não tivesse amor, nada seria. —CORÍNTIOS, CAPÍTULO 13.

(7) Resumo. Palavras-chave: laser de fentosegundos, pente de frequências, laser de diodo, laser de Ti:safira, processos de acumulação coerente. Lasers de fentosegundos (fs) com alta taxa de repetição, travamento de modos e estabilidade na fase, produzem um padrão de frequência composto por uma grande quantidade de modos estreitos, conhecido como pente de frequências. A interação de um sistema de dois níveis com alargamento Doppler com um trem de pulsos, para o caso em que os tempos de vida atômicos são maiores do que o período de repetição do laser, leva a acumulação na população e na coerência. Para essa condição, os átomos interagem com todos os modos de um pente de frequências, e não com o espectro de um único pulso. Nesse trabalho, usamos a técnica do acoplamento de dois feixes (“two-beam coupling”) para investigar a acumulação coerente em átomos de rubídio. Para o feixe pulsado, utilizamos um laser de Titânio-safira com pulsos da ordem de 200 fs, taxa de repetição de 76 MHz e comprimento de onda centrado em 780 nm, correspondendo à energia de excitação da transição 5S1/2 − 5P3/2 do rubídio. Para o feixe contínuo, usamos um laser de diodo sintonizável em 780 nm, com largura de linha da ordem de 1 MHz. Nós detectamos a variação na energia do laser contínuo devido à sua interação com o laser de fentosegundos, usando um chopper no feixe de fs e um amplificador lock-in. Os resultados são obtidos como função da frequência do feixe contínuo para diferentes intensidades e densidades atômicas. Na temperatura ambiente e com o feixe contínuo fraco, nós claramente observamos o pente de frequências impresso no perfil Doppler dos átomos de Rb, em concordância com resultados recentes. Para altas densidades atômicas, a forte absorção do feixe contínuo nas frequências de ressonância gera duas regiões espectrais com comportamentos diferentes em relação à absorção e amplificação. Simulações numéricas das equações de Bloch, para um sistema atômico de quatro níveis, levando em conta a interação com ambos os feixes em todas as ordens dos campos, são apresentadas. Nós discutimos os resultados como uma consequência do laser de diodo interagir preferencialmente com transições abertas ou cíclicas, e obtemos uma boa concordância entre as simulações e o experimento quando a propagação do laser de diodo pelo meio também é considerada.. vi.

(8) Abstract. Keywords: femtosecond laser, frequency comb, diode laser, Ti:sapphire laser, coherent accumulation processes. Mode-locked, phase-stabilized femtosecond (fs) lasers with high-repetition rate produce a frequency standard composed by a great number of narrow modes, known as frequency comb. The interaction of inhomogeneously broadened two-level systems with a train of fs pulses, for the case in which the atomic relaxation times are longer than the laser repetition period, leads to accumulation in both population and coherence. For this condition, the atoms interact with all the modes of the frequency comb, and not with the spectrum of a single pulse. In this work we use the two-beam coupling (pulsed and cw) technique to investigate the coherent accumulation in rubidium atoms. For the pulsed beam, we use a Ti:sapphire laser with pulse duration of 200 fs, pulse repetition of 76 MHz and output wavelength at 780 nm, corresponding to the energy of the transition 5S1/2 − 5P3/2 of rubidium. For the cw beam, we use a diode laser tunable in 780 nm, with a linewidth of the order of 1 MHz. The two beams have perpendicular polarizations and are counter-propagating in the medium. We measure the energy variation of the diode beam due to its interaction with the femtosecond laser, using a chopper in the fs beam and a lock-in amplifier. The results are obtained as a function of the probe frequency for different intensities and atomic densities. At room temperature and for weak probe beam we clearly observe the frequency comb of the fs laser impressed in the Doppler profile of the Rb atoms in agreement with recent results. For high atomic densities, the strong absorption of the diode beam on the resonant frequencies generates two spectral regions presenting different behavior with respect to absorption and amplification. Numerical simulations of the Bloch equations for a four level system, taking into account the interaction with both lasers in all order of the fields are presented. We discuss the results as a consequence of the diode laser interacting preferably with an open or a cycling transition, obtaining a good qualitative agreement when the absorption of the diode laser in the thick optical sample is also considered.. vii.

(9) Sumário. 1. Introdução. 1. 2. Acoplamento de Dois Feixes em Vapor de Rubídio 2.1 O laser de Titânio-safira 2.2 O laser de diodo 2.3 O sistema atômico 2.4 Experimento e resultados. 3 3 6 9 12. 3. Efeitos de um Trem de Pulsos em um Sistema de Dois Níveis 3.1 Equações de Bloch 3.2 Interação com campos contínuos 3.2.1 Propagação por um meio ressonante 3.2.2 Absorção saturada 3.3 Interação com o trem de pulsos 3.3.1 Interação do trem de pulsos e um sistema de átomos parados 3.3.2 Interação do trem de pulsos e um sistema com alargamento Doppler. 19 19 22 25 27 29 29 30. 4. Modelo Teórico e Discussão 4.1 Aquisição de dados: o que o detetor mede? 4.2 Equações de Bloch para um sistema de 4 níveis 4.2.1 Solução das equações de Bloch: método perturbativo 4.2.2 Solução das equações de Bloch: método numérico 4.3 Melhorando o nosso modelo. 33 35 36 39 50 55. 5. Conclusões e Perspectivas. 59. viii.

(10) Lista de Figuras. 2.1 2.2. 2.3 2.4 2.5. 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10. 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. Espectro de absorção e de emissão do Ti3+ : Al2 O3 . (a) Esquema de um laser com travamento de modos passivo. (b) Interação de um pulso curto com um absorvedor não-linear. (c) Interação de um pulso curto com um meio amplificador. Espectro do trem de pulsos do laser de Ti:safira, conhecido como pente de frequências. Na linha cinza, φ = 0 e na linha preta, φ = 2π/3. Material que compõe o meio ativo do laser de diodo. Estrutura de bandas de um semicondutor. As bolinhas pretas representam estados ocupados por elétrons e as bolinhas brancas representam estados vazios. EF é a energia de Fermi e os eixos do gráfico são a energia (E) e o momento (p). Estrutura de bandas de um semicondutor tipo n (a) e tipo p (b) em 0oC. Estrutura de bandas de um semicondutor com população invertida. Esquema da montagem do laser de diodo. Foto da montagem do laser de diodo usado em nossos experimentos. Diagrama de níveis da linha D2 do rubídio, para os isótopos 85 Rb e 87 Rb. Ambos encontram-se na natureza, na proporção de 72,168% e 27,835% , respectivamente. Esquema do experimento de acoplamento de dois feixes em vapor de rubídio. A célula de Rb de referência é usada para fazer a absorção saturada, de modo a saber em qual transição estamos no momento. Um isolador óptico é usado para evitar que o feixe do laser de Ti:safira volte para ele. Legenda: F - filtro, P - polarizador, D - detetor, f - lente esférica convergente, BS - divisor de feixes. Sinal da absorção saturada obtido pelo detetor D1 . Através da distância em frequência dos picos F 0 = 2 e F 0 = 3, calibramos a varredura em frequência do laser de diodo. Sinal no detetor D3 em função da frequência do laser de diodo, para as quatro transições em 780 nm dos isótopos 87 Rb e 85 Rb, na configuração contrapropagante. Sinal no detetor D3 em função da frequência do laser de diodo, para o caso copropagante, para diferentes intensidade do feixe de diodo, que foram 20 mW/cm2 (a), 450 mW/cm2 (b) e 1300 mW/cm2 (c). Resultados obtidos para a transição |F = 1i → |F 0 = 0, 1, 2i do 87 Rb, na temperatura de 31oC. Sinal nos detetores D3 (coluna esquerda) e D2 (coluna direita), em diferentes temperaturas.. ix. 3. 4 6 7. 7 8 8 9 10. 11. 13. 14. 15. 16 17.

(11) LISTA DE FIGURAS. Esquema de um sistema atômico de dois níveis e um campo dessintonizado de δ em frequência. 3.2 Evolução temporal da população do estado excitado e da coerência para campo contínuo, com T12 = 2T22 = 50 ns. Em (a) e (b), Ω = 1, 5.106 rad/s, em (c) e (d), Ω = 15.106 rad/s e em (e) e (f), Ω = 150.106 rad/s. 3.3 Parte imaginária da coerência como função da dessintonia do campo em relação à ressonância, para Ω = Ωsat /10 (a) e Ω = 2Ωsat (b). 3.4 Amplitude do campo em função da frequência ao se propagar por um meio com α0 x = 1 (a) e α0 x = 10 (b). 3.5 Experimento de absorção saturada. Eb é campo de bombeio que satura o meio, e Es é um campo fraco, que sonda as populações praticamente sem alterar os estados dos átomos. 3.6 Absorção do campo fraco Es devido à saturação do campo forte Eb , onde se observa o “buraco cavado” em torno da ressonância, que representa uma diminuição da absorção nessa região. 3.7 Evolução temporal da população (a) e da parte imaginária da coerência (b) resultante da interação do meio com um trem de pulsos ultra-curtos. Obervamos a acumulação na população e na coerência até o regime de equilíbrio. Usamos ¯ f = Ωsat /10 e δ = 0. Ω 3.8 Evolução temporal da população (a) e da parte imaginária da coerência (b) resultante da interação do meio com um trem de pulsos ultra-curtos. Usamos ¯ f = Ωsat /10 e δ = (π/5) fR . Ω 3.9 População (a) e a parte imaginária da coerência (b) em função do deslocamento Doppler de cada grupo de átomos. Obervamos a impressão do pente de ¯ f = Ωsat /10. frequências no perfil Doppler dos átomos. Usamos Ω 3.10 Como na figura 3.9(a), mas com T12 = 5 ns (a) e T12 = 1 ns (b).. x. 3.1. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. Modelo para um sistema de quatro níveis. Ed é o campo do laser de diodo e E f é o campo do laser de fentosegundos. h¯ ωi é a diferença de energia entre os estados |ii e |1i, sendo i = 2, 3, 4. Os estados |3i e |4i não são, necessariamente, degenerados. Diagrama mostrando a linha |F = 1i → |F 0 = 0, 1, 2i do 87 Rb. O átomo nos estados |F 0 = 1, 2i pode decair para o estado |F = 2i e portanto as transições |F = 1i → |F 0 = 1, 2i são abertas. O mesmo não ocorre para |F = 1i → |F 0 = 0i, sendo assim uma transição cíclica. ¯ f = Ωsat /10, com o campo Evolução temporal das populações para Ωd = 0 e Ω sintonizado na transição |1i → |4i. Ao lado do quadro de ρ44 temos o diagrama dos níveis de interesse. Diagrama representando o pente de frequências (barras sólidas) e a posição relativa da frequência dos estados |1i e |2i (barras tracejadas). A unidade dos números é MHz. Se o pente é deslocado de 18 MHz para esquerda, os átomos saem da transição |1i → |4i e vão para a transição |2i → |4i.. 19. 23 24 27. 27. 29. 30. 31. 31 32. 34. 34. 43. 44.

(12) LISTA DE FIGURAS. 4.5. 4.6 4.7 4.8 4.9. 4.10 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 4.16. 4.17. ¯ f = Ωsat /20, para ρ11 (a) e ρ44 (b) representados em função de δD , com Ω o campo ressonante com a transição |1i → |4i, para átomos com velocidade igual a zero. Nos quadros (c) e (d), temos as mesmas populações, mas com 200 MHz de varredura em δD . ¯ f = Ωsat /10, sendo Evolução temporal das populações para Ωd = Ωsat /20 e Ω 5 E f = 2 · 10 Ed ¯ f = Ωsat /10, sendo Evolução temporal das populações para Ωd = Ωsat /10, Ω 5 E f = 10 Ed Imσ13 em função da dessintonia do campo de diodo, considerando apenas os ¯ f = Ωsat /10 e Ωd = Ωsat /2. átomos que estão em ressonância com ele. Usamos Ω ∆(Imσ13 ) em função da dessintonia do campo de diodo, considerando apenas ¯ f = Ωsat /10 e Ωd = os átomos que estão em ressonância com ele. Usamos Ω Ωsat /2. ∆(Imσ13 ) em função da dessintonia do campo de diodo, considerando os áto¯ f = Ωsat /10 e Ωd = Ωsat /2. mos próximos à ressonância. Usamos Ω ¯ f = Ωsat /10 e Ωd = Ωsat , com o Evolução temporal das populações para Ω campo de fentosegundos sintonizado na transição |2i → |4i e o campo do diodo sintonizado na transição aberta |1i → |3i, obtido pela integração numérica das equações de Bloch. ¯ f = Ωsat /10 e Ωd = Ωsat , com o Evolução temporal das populações para Ω campo de fentosegundos sintonizado na transição |2i → |4i e o campo do diodo sintonizado na transição cíclica |1i → |3i, obtido pela integração numérica das equações de Bloch. Variação da parte imaginária da coerência σ13 em função da frequência do ¯ f = Ωsat /20 e Ωd = Ωsat , considerando o sistema com diodo δdiodo , para Ω transição aberta (a) e cíclica (b). Dependência de ∆(Imσ13 ) para as transições aberta (coluna esquerda) e cíclica ¯ f = Ωsat . Usamos (coluna direita) com a frequência de Rabi do diodo, para Ω Ωd = Ωsat /5 em (a) e (b), Ωd = Ωsat em (c) e (d), e Ωd = 5Ωsat em (e) e (f). Simulações de ∆Imσ13 considerando apenas os átomos que estão em ressonância com o diodo (a) e considerando todos os átomos dentro da largura de linha ¯ f = Ωsat /10 e Ωd = 3Ωsat . da transição |1i → |3i (b). Usamos Ω Simulações de ∆(Imσ13 ), considerando as probabilidades de transição relativas dadas pela tabela 2.2, para a linha |F = 1i → |F 0 = 0, 1, 2i do 87 Rb, com Ed = 400 V/m e E f = 4 · 107 V/m. As transições são: |F = 1i → |F 0 = 0i (a), |F = 1i → |F 0 = 1i (b) e |F = 1i → |F 0 = 2i (c). Simulação da variação na absorção do campo do diodo para a linha |F = 1i → |F 0 = 0, 1, 2i do 87 Rb, considerando o efeito da propagação. Na coluna esquerda temos a soma de −∆(Imσ13 ) para duas transições abertas e uma cíclica, e na coluna direita temos a forma do campo do diodo propagado em função de sua varredura em frequência. Em (a) e (c), temos α0 x = 0.2 e em (b) e (d), α0 x = 5. Usamos Ed = 400 V/m e E f = 4 · 107 V/m.. xi. 45 46 47 48. 49 49. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57.

(13) LISTA DE FIGURAS. 4.18 Simulação para a linha |F = 3i → |F 0 = 2, 3, 4i do 85 Rb, para Ed = 400 V/m e E f = 4 · 107 V/m e com fraca absorção no campo do diodo (α0 x = 0, 2).. xii. 58.

(14) C APÍTULO 1. Introdução. O pente de frequências ótico tem se tornado um tópico quente em pesquisa nos últimos anos, principalmente depois que Hänsch e colaboradores demonstraram a possibilidade de se usar os modos de um laser de fentosegundos com travamento de modos como uma régua precisa no espaço das frequências, cobrindo pela primeira vez todo o espectro ótico [1, 2]. Surgiu então uma revolução em diversos campos da Física, como na metrologia de frequências óticas [3], além do aparecimento de inúmeras aplicações tecnológicas, como medidas de distância na escala de picômetros [4] e o relógio totalmente ótico [5]. A interação coerente entre trens de pulsos ultra-curtos e sistemas atômicos é um tópico de pesquisa relativamente antigo [6]. No entanto, o primeiro estudo da interação entre um trem de pulsos de fentosegundos e um sistema de 2 níveis com alargamento Doppler foi feito em 2002 por Felinto e colaboradores [8]. Eles mostraram que quando o tempo de vida do estado atômico excitado é maior do que o intervalo de tempo entre dois pulsos do trem, o meio acumula população e coerência resultante da interferência de todos os pulsos que interagiram com o meio, e essa interferência pode ser construtiva ou destrutiva, dependendo da dessintonia dos átomos com relação a frequência central do laser. Observa-se, desse modo, a impressão do pente de frequências no perfil Doppler desses átomos. Em outro trabalho, esse mesmo grupo apresentou uma solução iterativa das equações de Bloch para um sistema de 3 níveis, considerando também o efeito da propagação no laser de fentosegundos [8]. O estudo da interação do trem de pulsos com átomos de rubídio frios (isto é, sem alargamento Doppler) também consta na literatura [9, 10, 11]. Em um trabalho mais recente, o grupo de Pichler apresentou um estudo sobre a transferência de população entre os níveis hiperfinos do Rb mediante o bombeio ótico realizado pelo trem de pulsos do laser de Ti:safira, utilizando um laser de diodo contínuo para fazer a sondagem das populações [12, 13]. Eles resolveram as equações de Bloch usando um sistema de 4 (85 Rb) e de 6 (87 Rb) níveis, no regime do laser de diodo fraco, e explicaram as diferentes curvas dos quatro perfis Doppler do rubídio. Eles também investigaram, qualitativamente, o feito da intensidade do laser de diodo na acumulação de população, sugerindo um cancelamento da acumulação devido à presença do diodo [14]. Neste trabalho, investigamos a interação ressonante de um laser contínuo com um vapor de átomos de Rb, na presença de um trem de pulsos de fentosegundos, tanto do ponto de vista experimental quanto teórico. Em particular, focalizamos o nosso estudo na dependência dos resultados com a intensidade do laser de diodo e com a densidade de átomos de Rb. Esta dissertação está dividida por capítulos. No capítulo 2, descreveremos os detalhes do experimento. Mostraremos também algumas características dos lasers de fentosegundos e de diodo, e os dados relevantes do sistema atômico. Os resultados serão apresentados e discutidos 1.

(15) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO. 2. no final do capítulo. No capítulo 3, estudaremos teoricamente a interação do trem de pulsos com um sistema de 2 níveis, mostrando os resultados essenciais dessa interação, como a impressão do pente de frequências e o efeito de acumulação na população e na coerência. Resolveremos numericamente as equações de Bloch para campos contínuos e para o trem de pulsos, separadamente, e compararemos os seus resultados. Aproveitaremos esse sistema simples para entender a propagação de um campo contínuo por um meio ressonante, que será importante para explicar os efeitos da densidade atômica na interação dos feixes. No capítulo 4, um modelo para um sistema de 4 níveis, com a presença simultânea dos feixes de fentosegundos e de diodo, será apresentado. Primeiro, resolveremos as equações de Bloch no domínio do tempo e da frequência, usando o método perturbativo, e analisaremos os resultados para os feixes no regime de campo fraco. Em seguida, estudaremos a solução numérica dessas equações para campos intensos. Explicaremos a dependência dos resultados com a intensidade do feixe de diodo. Enfim, melhoraremos o nosso modelo introduzindo a propagação no campo do feixe do diodo. No capítulo 5 apresentaremos nossas conclusões e perspectivas..

(16) C APÍTULO 2. Acoplamento de Dois Feixes em Vapor de Rubídio. Neste capítulo, descreveremos o sistema experimental juntamente com os resultados obtidos no estudo do acoplamento dos feixes dos lasers de diodo (contínuo) e de Ti:safira (pulsado) em uma célula contendo vapor de rubídio. Inicialmente, apresentaremos, de forma simplificada, algumas características básicas dos lasers utilizados, juntamente com os dados relevantes sobre o átomo de rubídio. Em seguida, entraremos nos detalhes do experimento propriamente dito e apresentaremos os resultados obtidos. O efeito do trem de pulsos no meio atômico será investigado através da observação da impressão do pente de frequências ótico no perfil Doppler. Este efeito será estudado em função da densidade atômica e da intensidade do laser de diodo. A explicação destes resultados será feita nos capítulos 3 e 4.. 2.1. O laser de Titânio-safira. O laser de Titânio-safira (Ti:safira) usado nos experimentos é da marca Coherent., modelo Mira 900-B. Emite pulsos com largura temporal da ordem de Tp = 200 fs, na taxa de fR = 76 MHz, e seu comprimento de onda pode ser sintonizável entre 710 e 910 nm. Sua potência média é de cerca de 500 mW. O meio ativo desse laser é composto por um cristal de safira dopado com íons de Titânio, com fórmula química Ti3+ : Al2 O3 . O espectro de absorção desse cristal está centrado em torno de 500 nm e seu espectro de emissão em 750 nm (veja figura 2.1).. Figura 2.1 Espectro de absorção e de emissão do Ti3+ : Al2 O3 .. 3.

(17) 2.1 O LASER DE TITÂNIO-SAFIRA. 4. Para inverter a população no meio ativo, o laser de Ti:safira é bombeado por outro laser, o Verdi, operando no regime contínuo e emitindo feixes em 532 nm, com uma potência de 5 W. O laser de bombeio é necessário porque o cristal de Ti:safira requer uma alta intensidade em uma direção bem específica para ser excitado. Seguindo a Ref. [15], descreveremos, de forma geral, como se dá a formação de pulsos ultra-curtos por travamento de modos passivo (“passive modelock” [16, 17]), que é o caso do nosso laser de Ti:safira. Considere a figura 2.2(a), onde um absorvedor não-linear é colocado junto ao meio amplificador. Para baixa intensidade de incidência, a transmissão por esse absorvedor é baixa e independente da intensidade. Para intensidades maiores do que a intensidade de saturação do absorvedor, no entanto, a transmissão tende a 100%.. Figura 2.2 (a) Esquema de um laser com travamento de modos passivo. (b) Interação de um pulso curto com um absorvedor não-linear. (c) Interação de um pulso curto com um meio amplificador.. Similarmente, o meio amplificador também apresenta propriedades de saturação. Para baixas intensidades, a amplificação é chamada de não saturada e apresenta altos valores. Para intensidades maiores do que a intensidade de saturação, entretanto, a amplificação tende a zero. No começo, a amplificação não saturada é muito maior do que as perdas na cavidade. Então, uma oscilação quase contínua é formada, e nesse intervalo de tempo, o campo da radiação consiste de muitos modos irregulares de baixa potência. Modos com potência maior têm menos perdas no absorvedor não-linear, de forma que eles predominam. Portanto, um único pulso grande oscilará na cavidade. A parte desse pulso que escapa por um dos espelhos constitui o trem de pulsos emitido pelo laser. O intervalo de tempo entre um pulso e outro corresponde ao tempo que a luz leva para dar uma volta completa na cavidade, que para o caso do nosso laser é igual a TR = 13, 2 ns..

(18) 2.1 O LASER DE TITÂNIO-SAFIRA. 5. Ao passar pelo absorvedor, onde baixas potências são mais absorvidas do que as altas potências, a parte frontal do pulso é significativamente absorvida, tornando o pulso mais curto (figura 2.2(b)). E quando atravessa o meio amplificador, a parte frontal do pulso experimenta uma maior amplificação do que a parte de trás, deixando assim o pulso com a sua potência concentrada em um curto espaço de tempo (figura 2.2(c)). Esse processo é repetido várias vezes durante a oscilação do pulso, até que sua envoltória atinja a forma de uma secante hiperbólica real [18] ε(t) = E f sech(1, 76t/Tp ) ,. (2.1). na qual Tp é a sua largura temporal e E f é a amplitude do campo. Uma descrição das características dos pulsos que saem do laser de Ti:safira é feita na Ref. [19]. Seu campo pode ser escrito da seguinte forma: 1 E0 (t)eiωt + c.c. , 2 onde a envoltória é igual à soma de todos os campos da sequência de pulsos, isto é, E(t) =. (2.2). ∞. E0 (t) =. ∑ ε(t − nTR)einφ ,. (2.3). n=0. sendo φ a fase extra que o pulso adquire ao dar uma nova volta na cavidade. Podemos escrever E(t) dessa forma porque os pulsos preservam uma relação de fase com o seu antecessor. A sequência de pulsos dada pela equação (2.3) é conhecida como trem de pulsos. Podemos representar o espectro do trem de pulsos tirando a transformada de Fourier da equação (2.3), ou seja, Z∞. E˜0 (ω) =. E0 (t)eiωt dt. (2.4). −∞. Z∞. E˜0 (ω) =. ∞. ∑ ε(t − nTR)einφ eiωt dt.. −∞ n=0. Fazendo t − nTR → t, então Z∞ ∞. E˜0 (ω) =. ∑ ε(t)einφ eiω(t+nTR)dt.. −∞ n=0.  E˜0 (ω) = . Z∞. −∞. . ∞. ε(t)eiωt dt  ∑ ein(φ +ωTR ) .. (2.5). n=0. A equação (2.5) mostra que a transformada de Fourier do trem é composta pela transformada de Fourier de um único pulso multiplicado por um termo que representa uma interferência, pois esse termo é não-nulo somente se.

(19) 2.2 O LASER DE DIODO. φ + ωTR = 2πN, N = 0, 1, 2, .... 6. (2.6). Ou seja, ωN φ = N fR − fR . (2.7) 2π 2π O espectro consiste de tipicamente de 106 modos, separados de fR , a taxa de repetição do campo. Na figura 2.3 está representado o gráfico do módulo da somatória de (2.5) em função de ω, em unidades de 2π fR , para φ = 0 (espectro cinza) e φ = 2π/3 (espectro preto). Essa estrutura é conhecida como pente de freqüências. No espaço das frequências o efeito da fase φ é apenas uma translação do pente. A formação de um pente de frequências bem estabilizado é uma característica do laser de Ti:safira. Quando interage com um meio atômico, esse laser pode se comportar como se fosse constituído por uma grande quantidade de lasers contínuos, com frequências dadas pelos modos do pente. Veremos na seção 2.4 experimentos que demonstram esse efeito.. Figura 2.3 Espectro do trem de pulsos do laser de Ti:safira, conhecido como pente de frequências. Na linha cinza, φ = 0 e na linha preta, φ = 2π/3.. 2.2. O laser de diodo. O segundo laser que utilizamos em nossos experimentos foi um laser de diodo contínuo com cavidade externa, monomodo e sintonizável em frequência na região de 780 nm. Mostraremos nessa seção o princípio do seu funcionamento. O laser de diodo usa como meio ativo um material composto por três camadas de semicondutores [20], como ilustra a figura 2.4. Externamente, existem dois semicondutores dopados, sendo um tipo n (com excesso de elétrons) e outro tipo p (com falta de elétrons) e, internamente, um semicondutor não dopado. Na figura 2.5 temos, por exemplo, um semicondutor não dopado, com todos os estados da banda de valência preenchidos por elétrons, e sem nenhum.

(20) 2.2 O LASER DE DIODO. 7. elétron na banda de condução. Para lasers de diodo que funcionam entre 750 e 880 nm (que é o caso do nosso laser), o semicondutor usado é o Arseneto de Gálio (GaAs). A dopagem do GaAs consiste em trocar uma parte do gálio da rede cristalina por alumínio (Al). Dependendo da porcentagem trocada, o material se torna um semicondutor tipo n (com elétrons na banda de condução, como mostra a fig 2.6(a)) ou tipo p (com estados não preenchidos na banda de valência, ou “buracos”, que se comportam como partículas de mesma massa do elétron mas com carga elétrica positiva. Veja a fig 2.6(b)).. Figura 2.4 Material que compõe o meio ativo do laser de diodo.. Todo laser precisa de uma fonte de energia externa para manter um meio amplificador. Essa fonte, no caso de um laser de diodo, é uma diferença de potencial com os terminais aplicados nas camadas externas ao meio ativo. Ao mover os elétrons da banda de condução do semicondutor tipo n e os buracos da banda de valência do semicondutor tipo p para a camada interna, a recombinação deles nessa região garante um meio com inversão de população. Isso está ilustrado na figura 2.7.. Figura 2.5 Estrutura de bandas de um semicondutor. As bolinhas pretas representam estados ocupados por elétrons e as bolinhas brancas representam estados vazios. EF é a energia de Fermi e os eixos do gráfico são a energia (E) e o momento (p).. A cavidade ótica é formada ao cortar o material semicondutor de tal forma que as faces da camada ativa se tornam espelhadas. Podemos tornar o laser de diodo finamente sintonizável utilizando uma montagem como a que está esquematizada na figura 2.8 [21]. Cada comprimento de onda da luz que incide.

(21) 2.2 O LASER DE DIODO. Figura 2.6 Estrutura de bandas de um semicondutor tipo n (a) e tipo p (b) em 0oC.. Figura 2.7 Estrutura de bandas de um semicondutor com população invertida.. 8.

(22) 2.3 O SISTEMA ATÔMICO. 9. na grade de difração é refletida em direções distintas, correspondendo a diferentes ordens de difração. A grade é ajustada de modo que a primeira ordem de difração realimente o meio ativo, o que diminui a largura do espectro de emissão do laser, que passa de dezenas ou centenas de MHz a algo em torno de 1 MHz. A região que compreende o laser de diodo e a grade de difração é conhecida por cavidade externa. Um pequeno giro na grade permite sintonizar o comprimento de onda de realimentação e, portanto, o comprimento de onda de saída do laser, que corresponde à ordem zero da difração. Na figura 2.9 mostramos a foto do sistema com o laser de diodo usado em nossos experimentos.. Figura 2.8 Esquema da montagem do laser de diodo.. Controlamos a rotação da grade de difração com o auxílio de um gerador de ondas, que aplica uma diferença de potencial nos terminais de uma cerâmica piezoelétrica (PZT), acoplada à grade. O PZT se expande proporcionalmente à tensão aplicada pelo gerador. A temperatura e a corrente de injeção do laser são controladas através de um sistema eletrônico. Uma boa estabilidade na temperatura da junção é fundamental para fixar a frequência de saída do laser, pois a dilatação térmica faz variar os modos de oscilação suportados pelas cavidades interna e externa. A corrente de injeção (ou, equivalentemente, a tensão aplicada na camada semicondutora) define o grau da inversão de população, e portanto a potência do laser, além de variar o seu comprimento de onda.. 2.3. O sistema atômico. O rubídio (Rb), sistema atômico utilizados nos nossos experimentos, é um elemento químico de número atômico 37 e encontra-se sólido à temperatura ambiente. É um metal alcalino altamente reativo descoberto em 1861 por Robert Bunsen e Gustav Kirchhoff. Torna-se líquido a 39 oC e vapor a 688 oC. São conhecidos 24 isótopos do rubídio, mas apenas dois, o 85 Rb e o 87 Rb, encontram-se na natureza, na proporção de 72,168% e 27,835%, respectivamente. O primeiro isótopo é estável, enquanto o segundo é radioativo, decaindo em Sr 87 com tempo de meia-vida.

(23) 2.3 O SISTEMA ATÔMICO. Figura 2.9 Foto da montagem do laser de diodo usado em nossos experimentos.. 10.

(24) 11. 2.3 O SISTEMA ATÔMICO. de 48,8 bilhões de anos[22]. Usamos nos nossos experimentos vapor de rubídio bruto, ou seja, contendo os dois isótopos nas porcentagens citadas acima. A estrutura hiperfina contendo os níveis de interesse está mostrada na figura 2.10. A transição 5S1/2 → 5P3/2 compõe a chamada linha D2 , objeto de estudo nesta dissertação. As transições por um fóton permitidas, na aproximação de dipolo elétrico, são aquelas que satisfazem a relação |Fi → |F 0 = F, F ± 1i.. Figura 2.10 Diagrama de níveis da linha D2 do rubídio, para os isótopos 85 Rb e encontram-se na natureza, na proporção de 72,168% e 27,835% , respectivamente.. 87 Rb.. Ambos. Na tabela 2.1 temos algumas propriedades ópticas da linha D2 do 87 Rb (para campos polarizados linearmente), obtidas da Ref.[23]. Na tabela 2.2 e 2.3 temos as probabilidades de.

(25) 2.4 EXPERIMENTO E RESULTADOS. 12. transição relativas entre os níveis hiperfinos dos isótopos 87 Rb e 85 Rb, respectivamente. tabela 2.1 - Propriedades ópticas da linha D2 do Rb 87 Comprimento de onda (vácuo) 780,241 nm Tempo de vida dos estados excitados 26,24 ns Largura de linha à meia altura 6,065 MHz Intensidade de saturação (F = 2 → F 0 = 3) 2,5 mW/cm2 Momento de dipolo (F = 2 → F 0 = 3) 2,069.10−29 C.m tabela 2.2 - Probabilidades de transição relativa da linha D2 do Rb 87 (F = 1 → F 0 = 0) 0,35 0 (F = 1 → F = 1) 0,85 (F = 1 → F 0 = 2) 0,85 0 (F = 2 → F = 1) 0,15 0 (F = 2 → F = 2) 0,85 (F = 2 → F 0 = 3) 2,3 tabela 2.3 - Probabilidades de transição relativa da linha D2 do Rb 85 (F = 2 → F 0 = 1) 2 0 (F = 2 → F = 2) 2,6 0 (F = 2 → F = 3) 2,1 (F = 3 → F 0 = 2) 0,75 (F = 3 → F 0 = 3) 2,6 0 (F = 3 → F = 4) 6,1. 2.4. Experimento e resultados. O arranjo experimental utilizado para o estudo do acoplamento de dois feixes ("two-beam coupling") está esquematizado na figura 2.11. Os feixes dos lasers de Ti:safira e de diodo se cruzam no centro da célula, contrapropagantes, formando um ângulo da ordem de 10 mrad, ambos com comprimento de onda central de 780 nm, correspondendo à linha D2 do Rb. O laser de diodo tem sua frequência variada de 1 GHz, sem salto de modos, em um intervalo de tempo de 5 s. A placa de meia onda gira a polarização do campo do laser de Ti:safira de 90o , de modo que os feixes ficam com polarizações perpendiculares na região de cruzamento. Uma lente é usada para focalizar os feixes, aumentando suas intensidades na região de interação. Antes de chegar à célula, o feixe do laser de diodo passa por um esquema de absorção saturada, composto pelo divisor de feixes BS1 , pelo detetor D1 , pelo espelho E2 e pela célula de referência. A parte do feixe que é refletido pelo BS1 incide na célula de referência com uma intensidade de 3 mW/cm2 , mais que suficiente para saturar as transições (veja a tabela 2.1). O feixe refletido pelo espelho E2 , relativamente fraco (0,2 mW/cm2 ), sonda a população dos níveis de energia. O sinal adquirido pelo detetor D1 em função da frequência do laser de diodo é apresentado no gráfico da figura 2.12. Os picos F 0 = 1, F 0 = 2 e F 0 = 3 representam as transições |F = 2i → |F 0 = 1i, |F = 2i → |F 0 = 2i e |F = 2i → |F 0 = 3i, respectivamente,.

(26) 2.4 EXPERIMENTO E RESULTADOS. 13. Figura 2.11 Esquema do experimento de acoplamento de dois feixes em vapor de rubídio. A célula de Rb de referência é usada para fazer a absorção saturada, de modo a saber em qual transição estamos no momento. Um isolador óptico é usado para evitar que o feixe do laser de Ti:safira volte para ele. Legenda: F - filtro, P - polarizador, D - detetor, f - lente esférica convergente, BS - divisor de feixes..

(27) 2.4 EXPERIMENTO E RESULTADOS. 14. saturadas pelo feixe refletido por BS1 . Os outros três picos, CO12 , CO13 e CO23 , têm sua origem na situação em que alguns átomos estão ressonantes com os campos forte e fraco, para diferentes transições. Através da distância entre dois dos picos do gráfico, por exemplo F 0 = 2 e F 0 = 3, podemos saber a relação entre a tensão aplicada no PZT e a varredura na frequência do laser de diodo. Os detalhes da física envolvida num experimento de absorção saturada serão abordados na seção 3.2.2.. Figura 2.12 Sinal da absorção saturada obtido pelo detetor D1 . Através da distância em frequência dos picos F 0 = 2 e F 0 = 3, calibramos a varredura em frequência do laser de diodo.. Os detetores D2 e D3 , que coletam a luz que vem na direção do feixe do laser de diodo, são responsáveis pela aquisição de dados do experimento de acoplamento de dois feixes. No detetor D3 , o sinal passa por um amplificador lock-in antes de ser enviado ao osciloscópio. O lock-in usa como referência um chopper colocado no feixe do laser de Ti:safira. O chopper ora bloqueia ora deixa o feixe passar, e o lock-in faz a diferença dos sinais na ausência e na presença do laser de Ti:safira. Desse modo, D3 mede a variação na energia do feixe do diodo ao passar pela célula devido à presença do laser de Ti:safira, ao passo que D2 mede a energia absoluta do feixe. Usaremos o símbolo U d para indicar a energia do feixe de diodo na ausência do feixe de fentosegundos (Ti:safira) e U f d para indicar a energia do feixe de diodo na presença do feixe de fentosegundos, e denotaremos ∆U = U f d − U d como a variação da energia do feixe do diodo devido à presença do feixe de fentosegundos. A célula com rubídio está colocada dentro de um forno aquecido, no qual a temperatura é monitorada, possibilitando o controle da densidade de átomos. As intensidades médias dos feixes ao chegar à célula são de 3,0.106 mW/cm2 para o feixe de Ti:safira e de 20 mW/cm2 para o feixe de diodo, o que corresponde a campos de pico da ordem de 4.107 V/m e de 400 V/m, respectivamente. Observe que a intensidade do feixe do diodo está muito acima da intensidade de saturação do meio (veja a tabela 2.1). Estimamos o diâmetro dos feixes na região de interação em torno de 120 µm, o que indica que um átomo permanece dentro dessa região por um tempo da ordem de 400 ns..

(28) 2.4 EXPERIMENTO E RESULTADOS. 15. Os dados obtidos com o detetor D3 estão mostrados na figura 2.13, onde sintonizamos o laser de diodo nas transições |F = 1i → |F 0 = 0, 1, 2i e |F = 2i → |F 0 = 1, 2, 3i do 87 Rb e nas transições |F = 2i → |F 0 = 1, 2, 3i e |F = 3i → |F 0 = 2, 3, 4i do 85 Rb, para uma temperatura fixa de 29o C. Pode-se ver a impressão do pente de frequências do laser de Ti:safira (figura 2.3) no perfil Doppler dos átomos de rubídio [7, 12]. Nas figuras 2.13(c) e 2.13(d) observamos que a amplitude das oscilações é pequena quando comparada com a amplitude do perfil Doppler. Apresentaremos a física fundamental responsável por esses resultados no próximo capítulo, resolvendo as equações de Bloch para um sistema atômico de dois níveis na presença de um trem de pulsos. No capítulo 4, explicaremos qualitativamente as diferenças entre os perfis da figura 2.13.. Figura 2.13 Sinal no detetor D3 em função da frequência do laser de diodo, para as quatro transições em 780 nm dos isótopos 87 Rb e 85 Rb, na configuração contrapropagante.. Realizamos também experimentos com os feixes copropagantes, mas não observamos nenhuma diferença significativa em relação ao caso contrapropagante. Por outro lado, nos ex-.

(29) 2.4 EXPERIMENTO E RESULTADOS. 16. perimentos com os feixes copropagantes a detecção é mais difícil, devido à grande quantidade de luz do feixe de fentosegundos que incide no detetor D3 . Os resultados obtidos para essa configuração são apresentados na figura 2.14, onde temos a dependência com a intensidade do feixe do laser de diodo, para a intensidade do feixe de fentosegundos fixa. Podemos observar que a visibilidade do pente é diminuída à medida que a intensidade do laser de diodo aumenta.. Figura 2.14 Sinal no detetor D3 em função da frequência do laser de diodo, para o caso copropagante, para diferentes intensidade do feixe de diodo, que foram 20 mW/cm2 (a), 450 mW/cm2 (b) e 1300 mW/cm2 (c). Resultados obtidos para a transição |F = 1i → |F 0 = 0, 1, 2i do 87 Rb, na temperatura de 31oC.. Nessa dissertação, nos referimos aos “ganhos” no feixe de diodo não no sentido de amplificação, mas sim devido à diminuição da sua absorção pela presença do laser de fentosegundos. Analogamente, nos referimos às “perdas” no sentido do aumento da absorção devido à presença do laser de fentosegundos. Na figura 2.15, apresentamos o estudo da dependência com a temperatura na configuração de feixes contrapropagantes. Nesta figura, temos os resultados obtidos pelos detetores D3 (coluna da esquerda) e D2 (coluna da direita) para a transição Doppler |F = 1i → |F 0 = 0, 1, 2i do.

(30) 2.4 EXPERIMENTO E RESULTADOS. 17. Figura 2.15 Sinal nos detetores D3 (coluna esquerda) e D2 (coluna direita), em diferentes temperaturas..

(31) 2.4 EXPERIMENTO E RESULTADOS. 87 Rb,. 18. variando a temperatura de 23 a 83oC. Na fig. 2.15(a) observamos o pente de frequências impresso no perfil Doppler como na figura 2.13. Nestas condições, podemos ver que ∆U é negativo para todas as frequências, o que indica que sempre há perdas no feixe do laser de diodo. Aumentando a temperatura para 31o C (figura 2.15(b)), observamos que ∆U é positivo para determinadas frequências, indicando um aumento no sinal devido à presença do feixe de fentosegundos. Podemos dizer então que houve ganho no laser de diodo nessas frequências. Em 73o C o perfil se divide com perdas predominando no lado direito e ganhos no lado esquerdo. Em 83o C o sinal é quase zero no centro, pelo fato de haver forte absorção na ressonância, como vemos na figura 2.15(d). É importante salientar que o pente de frequências está impresso também nas figuras 2.15(e)-2.15(h), porém, como o detetor D2 não faz a diferença entre os sinais, não conseguimos vê-lo, pois sua amplitude é pequena comparada com o sinal da absorção do campo do laser de diodo. Explicaremos esses resultados no capítulo 4, onde analisaremos teoricamente algumas das transições envolvidas na linha D2 do Rb, resolvendo as equações de Bloch para um sistema de 4 níveis com a presença simultânea dos campos de diodo e de fentosegundos..

(32) C APÍTULO 3. Efeitos de um Trem de Pulsos em um Sistema de Dois Níveis. Neste capítulo analisaremos separadamente a interação de campos contínuos e do campo de um trem de pulsos com um sistema atômico de dois níveis. O objetivo é preparar o leitor para o capítulo 4, onde estudaremos a interação simultânea dos dois campos citados com um sistema atômico de 4 níveis.. 3.1. Equações de Bloch. O conteúdo desta seção pode ser encontrado basicamente na Ref. [24]. Entretanto, devido à sua importância para o entendimento dos nossos estudos, algumas passagens e resultados serão revistos aqui. Considere um sistema de dois níveis como mostra a figura 3.1. A diferença de energia entre os estados |2i e |1i é h¯ ω0 , e δ é a dessintonia do campo com relação à ressonância. Escreveremos uma expressão para o campo do seguinte modo: ~E(t) = 1 ~E0 (t)eiωt + c.c , (3.1) 2 onde ω é a sua frequência de oscilação e estamos desprezando a sua dependência espacial, que não será importante por enquanto. ~E0 (t) é a função amplitude do campo dependente do tempo.. Figura 3.1 Esquema de um sistema atômico de dois níveis e um campo dessintonizado de δ em frequência.. Suponha que os átomos estão inicialmente no estado fundamental |1i. Queremos estudar a dinâmica do sistema mediante a sua interação com o campo dado pela equação (3.1). Empregaremos, para tanto, o formalismo da matriz densidade [25], cuja evolução temporal é descrita 19.

(33) 20. 3.1 EQUAÇÕES DE BLOCH. pela equação de Liouville: ∂ ρˆ iˆ = − H, ρˆ . h¯ ∂t O Hamiltoniano do nosso sistema é. (3.2). Hˆ = h¯ ω0 |2ih2| + Hˆ int .. (3.3). Hˆ int é o hamiltoniano da interação átomo-campo, que na aproximação de dipolo elétrico é dado por Hˆ int = −~µˆ · ~E(t),. (3.4). onde ~µˆ é o operador de dipolo elétrico e ~E(t) é o campo elétrico considerado clássico. O tratamento é portanto semi-clássico, pois o átomo é tratado de forma quântica, mas o campo não. Expressando a equação (3.2) em termos de suas componentes, temos ∂ ρi j i ˆ ρ]| ˆ ji, = − hi|[H, (3.5) ∂t h¯ onde ρii é a população dos átomos no estado |ii, e ρi j , para i 6= j, representa a coerência entre os estados |ii e | ji. O operador ρˆ é representado por uma matriz 2 × 2, mas com 2 elementos ∗ (ρˆ é um operador hermiteano). independentes: ρ22 e ρ12 , porque ρ11 + ρ22 = 1 e ρ12 = ρ21 2. Escrevendo (3.5) em termos de ρ22 e ρ12 , e inserindo a relação de completeza ∑ |kihk| = 1, k=1. temos que i 2 ∂ ρ22 ˆ ˆ ˆ − h2|ρ|kihk| ˆ = − ∑ [h2|H|kihk| ρ|2i H|2i] ∂t h¯ k=1 ∂ ρ12 i 2 ˆ ˆ ˆ − h1|ρ|kihk| ˆ = − ∑ [h1|H|kihk| ρ|2i H|2i] ∂t h¯ k=1 Após algumas contas, essas equações se tornam ∂ ρ22 iµ21 E ∗ (t) = ρ12 + c.c. ∂t h¯. (3.6). ∂ ρ12 iµ12 E(t) = iω0 ρ12 − (1 − 2ρ22 ). (3.7) ∂t h¯ Consideramos que o campo está polarizado linearmente, por exemplo, na direção z, e escolhemos esse eixo como o de quantização. Assim, |µ12 | = |µ21 | = µz . As equações (3.6) e (3.7) descrevem processos coerentes, como absorção e emissão estimulada de luz pelos átomos do meio. Há, porém, um fenômeno importante que essas equações não descrevem. É a emissão espontânea, que aparece nas equações apenas quando levamos.

(34) 3.1 EQUAÇÕES DE BLOCH. 21. em conta o acoplamento do meio com os modos do vácuo, que é também responsável pelo decaimento da coerência. Logo, para levar em conta as relaxações da população e da coerência, devemos acrescentar alguns termos a essas equações. Desse modo, ∂ ρ22 iµ21 E ∗ (t) ρ22 = ρ12 + c.c. − ∂t h¯ T22. (3.8). ρ12 ∂ ρ12 iµ12 E(t) (1 − 2ρ22 ) − = iω0 ρ12 − , h¯ ∂t T12. (3.9). onde T22 é o tempo de vida do estado |2i e T12 é o tempo de vida da coerência. As expressões (3.8) e (3.9) são as equações de Bloch para um sistema de dois níveis na presença do campo elétrico. Usando a expressão completa para o campo, temos que ∂ ρ22 iµ21 E0∗ (t)(eiωt + e−iωt ) ρ22 = ρ12 + c.c. − ∂t 2¯h T22 ∂ ρ12 1 iµ12 E0 (t)(eiωt + e−iωt ) = iω0 − (1 − 2ρ22 ). ρ12 − ∂t T12 2¯h Vemos dessas equações que, quando o campo estiver próximo da ressonância, ρ12 oscilará na freqüência do próprio campo, de modo que podemos escrever a coerência como ρ12 (t) = σ12 (t)eiωt ,. (3.10). onde σ12 é uma função “lenta”, quando comparada com eiωt . Usaremos a aproximação de onda girante, isto é, desprezaremos os termos que oscilam com o dobro da frequência do campo. O sistema assume então a seguinte forma: ρ22 ∂ ρ22 iµ21 E0∗ (t) = σ12 + c.c. − ∂t 2¯h T22 ∂ σ12 1 iµ12 E0 (t) = iδ − σ12 − (1 − 2ρ22 ), ∂t T12 2¯h. (3.11) (3.12). onde lembramos que δ = ω0 − ω. Para simplificar as expressões acima, vamos supor que µ12 e E0 (t) são reais. Ao supor que o campo é real, não poderemos tratar, por exemplo, pulsos 0π, que se formam durante a propagação, por um meio ressonante, de um campo com largura espectral maior que a largura de linha do meio [26]. Nessa dissertação, portanto, desprezaremos o efeito da propagação no campo do laser de fentosegundos. Definindo Ω(t) ≡ (3.11) e (3.12) se tornam. µ12 E0 (t) , 2¯h. (3.13).

(35) 3.2 INTERAÇÃO COM CAMPOS CONTÍNUOS. ∂ ρ22 2ρ22 = iΩ(t)σ12 + c.c. − ∂t T12 ∂ σ12 1 σ12 − iΩ(t)(1 − 2ρ22 ), = iδ − ∂t T12. 22. (3.14) (3.15). onde fizemos T12 = 2T22 . Agora estamos prontos para analisar dois casos: interação com campos contínuos e interação com campos pulsados (particularmente o trem de pulsos).. 3.2. Interação com campos contínuos. Apenas para fins comparativos, analisaremos a solução das equações de Bloch (3.14) e (3.15) para campos contínuos, isto é, Ω(t) = Ω = µ12 E0 /(2¯h). Essas equações podem ser resolvidas analiticamente de forma perturbativa[24]. No entanto, optaremos por resolvê-las numericamente. Para resolver as equações de Bloch, desenvolvemos um programa em Pascal usando o método numérico de Runge-Kutta de quarta ordem [27], sendo ele um método padrão para resolver numericamente equações diferenciais, com precisão na quarta casa decimal. Escolhemos ele porque é o melhor método no sentido de tempo e de precisão. Isto é, algoritmos com precisão além da quarta casa decimal, como o de Runge-Kutta avançado de oitava ordem, levam muito mais tempo para integrar as equações diferenciais, e em geral não compensa utilizá-los, a menos em situações bem restritas, que não é o nosso caso. Mostramos na figura 3.2 a evolução temporal das equações (3.14) e (3.15), para vários valores de Ω. Nas figuras 3.2(a) e 3.2(b), temos a evolução temporal de ρ22 e da parte imaginária de −σ12 para Ω/2π = 1, 5 MHz, nas figuras 3.2(c) e 3.2(d), Ω/2π = 15 MHz e nas figuras 3.2(e) e 3.2(f), Ω/2π = 150 MHz. O campo foi colocado na ressonância e usamos os valores T12 = 2T22 = 50 ns, que serão os mesmos até o fim deste capítulo. O fator Ω, que determina o quão forte é a absorção e emissão estimulada de luz pelos átomos, é chamado de frequência de Rabi do campo. Por exemplo, na figura 3.2(b) temos uma fraca absorção de luz, mesmo tendo muitos átomos no estado fundamental (veja que valores positivos para −Imσ12 indicam absorção, e valores negativos, emissão estimulada de luz pelos átomos. Mostraremos isso explicitamente na seção 3.3. Nessa dissertação, será padrão representar a parte negativa de Imσ12 ). Aumentando Ω (o campo) por um fator de 10, observamos que a absorção aumenta consideravelmente, como está ilustrado na figura 3.2(d). Aumentando o campo por outro fator de 10, vemos agora da fig 3.2(e) uma forte oscilação na população, que são conhecidas como oscilações de Rabi, comportamento que foi primeiramente estudado por I. I. Rabi em seus experimentos de ressonância magnética nuclear [28]. Podemos analisar a solução das equações de Bloch no domínio da freqüência, para o regime ∂ρ estacionário. Fazendo ∂ti j = 0 e resolvendo para ρ22 e −Imσ12 , temos ρ22 =. 2 Ω2 T12 2 + 2T 2 Ω2 1 + δ 2 T12 12. (3.16).

(36) 3.2 INTERAÇÃO COM CAMPOS CONTÍNUOS. 23. Figura 3.2 Evolução temporal da população do estado excitado e da coerência para campo contínuo, com T12 = 2T22 = 50 ns. Em (a) e (b), Ω = 1, 5.106 rad/s, em (c) e (d), Ω = 15.106 rad/s e em (e) e (f), Ω = 150.106 rad/s..

(37) 3.2 INTERAÇÃO COM CAMPOS CONTÍNUOS. −Imσ12 =. T12 Ω 1 . 2 2 Ω2 2 1 + δ 2 T12 + 2T12. 24. (3.17). Da equação (3.17), sabemos que o gráfico de −Imσ12 em função de δ é representado por uma lorentziana, com largura à meia altura dada por s 1 + 2Ω2 , (3.18) ∆=2 2 T12 2 << 1, a largura de linha é aproximadamente igual a 2/T . Quando 2Ω2 T 2 ≥ 1, Para 2Ω2 T12 12 12 há um notável aumento da largura de linha, sendo denominado alargamento por potência (do 2 = campo elétrico). Desse modo, definiremos a frequência de Rabi de saturação quando 2Ω2 T12 1, o que implica que. 1 1 Ωsat = √ , (3.19) 2 T12 que só depende, portanto, de T12 . Observe na figura 3.3 a diferença na largura de linha entre Ω = Ωsat /10 (a) e Ω = 2Ωsat (b).. Figura 3.3 Parte imaginária da coerência como função da dessintonia do campo em relação à ressonância, para Ω = Ωsat /10 (a) e Ω = 2Ωsat (b)..

(38) 3.2 INTERAÇÃO COM CAMPOS CONTÍNUOS. 3.2.1. 25. Propagação por um meio ressonante. Estamos interessados em estudar a modificação na amplitude do campo elétrico contínuo ao se propagar na direção do eixo x por um sistema atômico de dois níveis. Podemos escrever o campo como 1 i(ωt−kx) + c.c , (3.20) E(x,t) = E0 e 2 com k = nω/c, onde n é o índice √ de refração. Esqueceremos, nessa seção, o caráter vetorial do campo. Sabemos que n = n0 1 + χ, onde n0 é o índice de refração longe da ressonância, e que a polarização elétrica induzida pelo campo é dada por [29]: P = ε0 χE,. (3.21). onde χ é a susceptibilidade elétrica. Também consideramos o meio isotrópico, sendo χ diagonal, de forma que P e E tem a mesma direção. Substituindo (3.21) na expressão de n, e considerando χ << 1, temos P . (3.22) 2ε0 E Fizemos n0 = 1. P é calculado multiplicando o valor esperado do momento de dipolo médio de cada átomo pela densidade N de átomos, e portanto n = 1+. n = 1+. Nµ12 (σ12 eiωt + c.c) , ε0 E0 (eiωt+c.c ). (3.23). onde usamos a equação da aproximação do envelope lento (3.10) e a fórmula do valor esperado de um operador [25], ˆ = Tr ρˆ Aˆ . hAi. (3.24). Desprezando os termos que oscilam em −ω, (3.23) se torna Nµ12 σ12 . ε0 E0 Vemos que n é um número complexo, então podemos escrevê-lo como n = 1+. n = Re(n) + iIm(n).. (3.25). (3.26). Inserindo (3.26) em (3.20), vem que E(x,t) = E0 (x)ei[ωt−(ωx/c)Re(n)] ,. (3.27). E0 (x) = E0 e(ωx/c)Im(n) .. (3.28). onde.

(39) 3.2 INTERAÇÃO COM CAMPOS CONTÍNUOS. 26. Da equação acima, vemos que Im(n) (ou Imσ12 ) descreve os efeitos de absorção e amplificação do campo, enquanto que Re(n) contribui para adicionar termos à fase do campo, de modo diferente para cada frequência, responsável portanto pela dispersão. Chamaremos (ω/c)Im(n) de α, que é a absorção do campo por unidade de comprimento. Assim, α =−. 2 ωT Nµ12 1 12 , 2 2 Ω2 4ε0 h¯ c 1 + T12 δ 2 + 2T12. (3.29). onde usamos a equação (3.17). Vamos supor que o meio é composto por átomos com velocidades obedecendo à distribuição de Maxwell-Boltzmann [30]. Devido ao efeito Doppler, cada átomo “enxerga” a freqüência do campo deslocada de~k ·~v, onde~k é o vetor de onda do campo e~v é a velocidade do átomo. Dizemos que um meio desse tipo possui alargamento Doppler. Temos que calcular α considerando a contribuição de todas as velocidades que os átomos possuem. Fazendo ~k ·~v = δD , temos Nµ 2 ωT12 α = − 12 4ε0 h¯ c. Z∞ 2 (δ 1 + T12 −∞. P(δD ) dδD . 2 Ω2 − δD )2 + 2T12. (3.30). A função peso P(δD ), para uma distribuição de Maxwell-Boltzmann, é a função gaussiana r 2 ln2 −4 ln 2δD2 /∆2D P(δD ) = e , (3.31) ∆D π onde r 2kB T ln 2, (3.32) ∆D = 2ν mc2 sendo ν a freqüência do campo, kB a constante de Boltzmann, m a massa do átomo e T a temperatura do meio. Podemos fazer uma aproximação para simplificar a equação (3.30). Vamos considerar que apenas os átomos que estão em ressonância com o campo contribuem para sua absorção. Isso equivale a fazer δD = δ . Definindo r 2 ωT Nµ12 ln 2 12 (3.33) α0 = 2ε0 h¯ c∆D π (chamaremos α0 de coeficiente de absorção) e usando a equação (3.30), (3.28) se torna E0 (x, δ ) = E0 e. −(4 ln 2)δ 2 /∆2D −α0 xe 1+Ω2 /Ω2sat. .. (3.34). Na figura 3.4 estão representados E0 (x, δ )/E0 com ∆D /(2π) = 400 MHz (valor padrão nessa dissertação, correspondendo a largura Doppler dos átomos de Rb à temperatura ambiente) e Ω = Ωsat /10, para os seguintes casos: α0 x = 1 (a) e α0 x = 10 (b). Observe o efeito da propagação na figura 3.4(b). A amplitude do campo vai a zero na região próxima à ressonância. Ao se propagar pelo meio bastante denso, os átomos absorvem todos os fótons (com freqüência.

(40) 3.2 INTERAÇÃO COM CAMPOS CONTÍNUOS. 27. perto da ressonância) do campo. Podemos comparar, por exemplo, os resultados teóricos das figuras 3.4(a) e 3.4(b) com os resultados experimentais das figuras 2.16(f) e 2.16(h).. Figura 3.4 Amplitude do campo em função da frequência ao se propagar por um meio com α0 x = 1 (a) e α0 x = 10 (b).. 3.2.2. Absorção saturada. Observe a figura 3.5, onde um campo Eb , intenso, incide em um meio atômico com alargamento Doppler e é refletido, incidindo novamente no meio, depois de ser atenuado pelo filtro F. Vamos chamar o campo de ida de Eb (campo de bombeio) e o campo refletido de Es (campo de sonda). Queremos estudar a absorção de Es mediante a saturação do meio pelo campo Eb . Daí vem o nome absorção saturada.. Figura 3.5 Experimento de absorção saturada. Eb é campo de bombeio que satura o meio, e Es é um campo fraco, que sonda as populações praticamente sem alterar os estados dos átomos.. Quando Eb incide no meio, vários átomos são excitados, e no regime estacionário temos (veja (3.16)) b ρ22 =. 2 Ω2 T12 b , 2 2 2 Ω2 1 + δb T12 + 2T12 b. (3.35).

(41) 3.2 INTERAÇÃO COM CAMPOS CONTÍNUOS. 28. b é a população dos átomos no estado |2i devido à interação com o campo E , e δ é a onde ρ22 b b s dessintonia do campo de bombeio. Queremos encontrar Imσ12 , isto é, a absorção de Es depois do sistema ter interagido com Eb . Assim, partimos da equação (3.15), considerando o regime estacionário e que ρ22 é dado por (3.35), temos 1 s b σ12 = iΩs (1 − 2ρ22 ) iδs − T12 s −Imσ12 =. T12 Ωs b (1 − 2ρ22 ). 2 2 1 + δs T12. (3.36). Com (3.35), (3.36) se torna s −Imσ12. 2 Ω2 2T12 T12 Ωs b 1− = . 2 2 + 2T 2 Ω2 1 + δs2 T12 1 + δb2 T12 12 b. (3.37). Como na seção 3.3, devemos considerar a contribuição de todos os átomos do perfil Doppler. Porém, novamente vamos fazer a mesma aproximação, δD = δb ≡ δ e δD = −δs ≡ −δ (os campo são contrapropagantes, e possuem a mesma frequência, isto é, δb = δs ≡ δ ). Assim, somos levados à seguinte expressão para a absorção do campo Es : r 2 Ω2 2T12 2 2 ln 2 s b 1− e−(4 ln 2)δ /∆D . (3.38) −Imσ12 = T12 Ωs 2 2 2 2 π 1 + δ T12 + 2T12 Ωb s em função de δ , para Ω = Ω /2 (a) e Na figura 3.6 mostramos o gráfico de −Imσ12 sat b Ωb = 2Ωsat (b). O “buraco cavado” na gaussiana é a lorentziana da equação (3.17), e se deve à saturação da transição pelo campo Eb , fazendo com que o campo Es se propague com menos perdas em torno da ressonância. Isso é explicado pelo fato de que apenas os átomos com velocidade próxima de zero “enxergam” os dois campos com a mesma frequência. Quando a intensidade do campo aumenta, vemos um alargamento (por potência) do buraco cavado. Veja a figura 3.6(b). Quando o campo interage com sistemas atômicos com mais de dois níveis, haverá um “buraco” para cada ressonância, além dos picos de cruzamento (cross-overs, ou CO), que surgem quando um grupo de átomos está em ressonância com o campo de bombeio e com o campo de sonda ao mesmo tempo, mas para diferentes estados. Isso ocorre quando a frequência dos campos é igual a média aritmética das frequências de dois estados excitados, e só acontece no caso de campos contrapropagantes. O leitor interessado em se aprofundar nos conhecimentos sobre absorção saturada pode consultar a referência [24], que dedica um capítulo a fenômenos de saturação..

(42) 3.3 INTERAÇÃO COM O TREM DE PULSOS. 29. Figura 3.6 Absorção do campo fraco Es devido à saturação do campo forte Eb , onde se observa o “buraco cavado” em torno da ressonância, que representa uma diminuição da absorção nessa região.. 3.3 3.3.1. Interação com o trem de pulsos. Interação do trem de pulsos e um sistema de átomos parados. Nessa seção, estudaremos a interação do campo de um trem de pulsos de fentosegundos com átomos com velocidade igual a zero, cuja amplitude do campo é descrita pela equação abaixo, ∞. E0 (t) = E0. ∑ ε(t − nTR)einφ .. (3.39). n=0. Apresentaremos aqui uma solução numérica usando um algoritmo escrito em Pascal (ver apêndice). Na figura 3.7 mostramos a solução numérica das equações de Bloch (3.14) e (3.15) para ¯ Ω f = Ωsat /10 e δ = 0, usando os seguintes valores padrão deste capítulo (T12 = 2T22 = 50 ns, Tp = 100 fs, TR = 10 ns, φ = 0). Redefinimos uma nova frequência de Rabi para o campo de fentosegundos, ¯ f = µ12 E0 Tp , Ω (3.40) 2¯h TR para considerar o fato de que o campo é não-nulo para um intervalo de tempo muito pequeno, da ordem de centenas de fentosegundos (Tp ), e é nulo por um tempo relativamente longo, da ordem de dezenas de nanosegundos (TR ), e por isso multiplicamos a frequência de Rabi usual ¯ f com Ωd , que a partir daqui será a pelo fator Tp /TR . Fizemos isso para poder comparar Ω notação usada para a frequência de Rabi do campo de diodo (contínuo). A figura 3.7 é o análogo da figura 3.2 para campo contínuo. Aqui, porém, podemos observar um aumento da população e da coerência em um intervalo de tempo ultra-curto (100 fs), seguido por uma relaxação de menor magnitude durante 10 ns, onde novamente a população e a coerência aumentam devido à chegada de um novo pulso no meio. Isso segue até uma situação que podemos chamar de equilíbrio, que é atingida em torno de 300 ns. Então, nesse.

(43) 3.3 INTERAÇÃO COM O TREM DE PULSOS. 30. intervalo de tempo, o sistema acumula coerência que resulta da interferência de todos os pulsos que interagiram com o meio. Devemos lembrar que a acumulação só é possível se TR < T12 e se os pulsos tiverem uma relação de fase bem determinada com os seus antecessores. Esses requisitos são satisfeitos na interação do nosso laser de Ti:safira com o vapor de rubídio.. Figura 3.7 Evolução temporal da população (a) e da parte imaginária da coerência (b) resultante da interação do meio com um trem de pulsos ultra-curtos. Obervamos a acumulação na população e na ¯ f = Ωsat /10 e δ = 0. coerência até o regime de equilíbrio. Usamos Ω. É interessante estudar o caso onde a frequência central do campo está fora de ressonância com o meio atômico, isto é, δ 6= 0. Nessa situação haverá dispersão, e portanto o processo de acumulação poderá ser interrompido precocemente. Observe a figura 3.8(a), onde os valores numéricos são os mesmos da figura 3.7, exceto que δ = (π/5) fR . A partir de 50 ns a acumulação cessa, e a população do estado excitado começa a diminuir. Em 100 ns o sistema volta a acumular e em torno de 300 ns entra no regime de equilíbrio. Podemos concluir que a dessintonia introduz fases que, em determinados momentos, faz com que os pulsos não excitem os átomos de forma eficiente, comprometendo o processo acumulativo. Em outras palavras, dizemos que os pulsos de um trem ressonante com um grupo de átomos interferem construtivamente, ao passo que os pulsos de um trem fora da ressonância interferem de modo parcialmente construtivo. 3.3.2. Interação do trem de pulsos e um sistema com alargamento Doppler. Estamos interessados em estudar a interação do trem de pulsos e um sistema com alargamento Doppler, como por exemplo um vapor atômico à temperatura ambiente. Queremos encontrar a população e a coerência em função de cada grupo de átomos, levando em conta suas diferentes dessintonias com relação à ressonância. Mais uma vez, os resultados foram obtidos de um programa em Pascal que resolve as equações numericamente. Na figura 3.9 estão representados ρ22 (a) e −Imσ12 (b) em função do deslocamento Doppler ~k ·~v ≡ δD . Isto é, resolvemos as equações no tempo até t = 500 ns para cada valor de δ = δD ..