UNIVERSIDADE
FEDERAL
DE
SANTA CATARINA
PROGRAMA
DE
PÓS-GRADUAÇÃO
EM
ENGENHARIA
ELÉTRICA
CONTROLE
DE
POSIÇÃO DE
ROBÔS
MANIPULADORES
COM
TRANSMISSOES
FLEXÍVEIS
“Dissertaçao
Submetida
à
Universidade
Federal
de
Santa Catarina para
aObtenção
do
Grau
de
Mestre
em
Engenharia
Elétrica'ALEJANDRO
RAFAEL GARCÍA
RAMÍREZ
CONTRQLE
DE
Pos1ÇÃo
DE
izonôs
M¿xNn>ULAnoREs
COM
TRANsM1ssoEs
FLEXIVELS
Alejandro
RafaelGarcía
Ramirez
Esta dissertação foi julgada
adequada
para a obtençãodo
título deMestre
em
Engenharia
na
especialidadeEngenharia
Elétrica, área de concentraçãoControle,
Automação
e Informática Industrial, e aprovadaem
suaforma
finalpelo
Curso de
Pós-Graduação.A I
Í
Prof. Edšoii olšerto de ieri, Dr.
`
O
ientador/
4/
1
C.../_`
Prof.
Raul Guenr
, Dr."
or
P
of Adro
do `Coorden
dordo Curso
Pós- uaçãoem
Engenharia Elét `Ban Examinado
Q kz
&_/!\`/ Í- -Prof. dso fP{É›berto
de
Bien, Dr.. \
/
'Prof Raul
Gue
ther,Dr
//./'Ii
/.
Prof.
Marcelo
Ricardoemmer,
Dr./`\`
`~\
.`
. .
.
ez
.L
A
minha
esposa,
mínhasfilhas
AGRADECIMENTOS
À
minha
esposa,Amarilys
Lima
López, por seu apoio, tolerância e compreensão.Aos
professoresEdson
RobertoDe
Pieri e Raul Guenther pela orientação, competência econhecimentos
transmitidos.Aos
professoresda
Banca
pelos comentários e estímulos para desenvolver trabalhosfuturos.
A
todosmeus
colegas de mestrado pela amizade e companheirismo,em
especial ao Jezer Pedrosa.Ao
José EliDos
Santos, sua esposa e filha pelo apoio eamizade
sincera.Ao
professorAugusto
Bruciapaglia pelo apoionum
início incerto.Ao
Instituto Superior Politécnico José António Echeverria(ISPJAE)
pela iniciaçãono
campo
da
pesquisa, e ao Centro de Desarrollo de Equipos e Instrumentos Científicos(CEDEIC)
pelo apoio para realizar este curso.”
A
muitas outras pessoas que, longeou
perto,acompanharam
e contribuíram ao desenvolvimento deste trabalho de mestrado.SUMÁRIO
RESUMO
xi
ABSTRACT
xiiCAPÍTULO
1.INTRODUÇÃO
11.1
O
Problema
de
controle
dos
robôs
manipuladores
11.2
A
flexibilidade
introduzida pela
transmissão
2
1.3
Os
efeitos
da
flexibilidade
das
transmissões
4
1.4
Objetivo
da
Dissertação
5
1.5
Organização da
Dissertação
5
CAPÍTULO
2.
MODELOS
DINÂMICOS
PARA
MANIPULADORES
7
Resumo
7
2.1
Introdução
7
2.2
A
dinâmica
dos
elos
rígidos
8
2.3
As
equações
do movimento
para
um
modelo
com
transmissões
flexíveis
9
2.4
O
modelo
simplificado introduzido
por
Spong
14
2.5
Os
efeitos
da
flexibilidade
nas transmissões
15
CAPÍTULO
3.
O
SEGUIMENTO
DE
TRAJETÓRIAS
CONSIDERANDO A
ELEXIBILIDADE
NAS
TRANSMISSÓES
Resumo
3.1
Introduçao
3.1.1
Os
controladores
PD
de
ganhos
fixos
3.1.2
Conclusões
sobre o
uso dos
controladores
PD
3.1.3
O
controle
do
MTF:
revisão
bibliográfica
3.1.4
A
técnica
da
linearizaçäo
por
realimentação
3.1.5
O
controle
baseado
na
teoria
da
perturbação
singular
3.1.6
Resumo
das
técnicas
apresentadas
3.1.7
O
controle
em
cascata
do
MTF
3.2
Controle
em
cascata
do
MTF
baseado
na dinâmica
inversa
[BenaIIegue, 1991]
`3.2.1
Introdução
3.2.2
Modelo
3.2.3
Etapas
do
controle
3.2.4
Seguimento no
subsistema
do modelo
rígido
_
3.2.5
Seguimento no
subsistema
dos
rotores
3.3
Controle
em
cascata
do
MTF
baseado
na
passividade
[Guenther,
1993]
36
3.3.1
Introdução
36
3.3.2
Modelo
36
3.3.3
Etapas
do
Controle
37
3.3.4
Seguimento no
subsistema
do
modelo
rígido
37
3.3.5
Seguimento
no
subsistema
dos
rotores
39
3.3.6
Analise
de
estabilidade
41
3.4
Conclusões
45
CAPÍTULO
4.O CONTROLE
DE POSIÇÃO
NO
ESPAÇO
DA
TAREFA
46
Resumo
46
4.1
Introdução
46
4.1.1
A
equação
dinâmica
do
robô
manipulador
rígido
no espaço
da
tarefa
A
47
4.1.2
Propriedades fundamentais
da
dinâmica
do
robô
manipulador
rígido
no espaço da
tarefa
50
4.1.3
Equações
dinâmicas para o
controle
do
MTF
no espaço da
tarefa
51
4.2
O
controle
em
cascata
do
MTF
no
espaço da
tarefa
baseado
na
dinâmica
inversa
4.2. 1
Introdução
4.2.2
Modelo
4.2.3
Etapas do
controle
4.2.4
Seguimento no
subsistema
do
modelo
rígido
4.2.5
Seguimento
no
subsistema
dos
rotores
4.2.6
Análise
de
estabilidade
4.3
O
controle
em
cascata
do
MTF
no
espaço da
tarefa
baseado
na
passividade
4.3.1
Introdução
4.3.2
Modelo
4.3.3
Etapas do
controle
A4.3.4
Seguimento
no
subsistema
do
modelo
rígido
4.3.5
Seguimento
no
subsistema
dos
rotores
4.3.6
Analise
de
estabilidade
CAPITULO
5.RESULTADOS
DAS
SIMULAÇÕES
Resumo
5. 1. 1
Introdução
5.1.2
Modelo
usado na
simulação
5.1.3
Leis
de
controle
no espaço das
juntas
5.1.3.1
Controle
PD
do
robô
rígido
5.1.3.2
Controle
PD
do
MTF
quando
a saída
é
o
ângulo
do
elo
(q)5.1.3.3
Controle
PD
do
MTF
quando
a saída
é o ângulo
do
rotor (qM)
5.1.3.4
Controle
linearízante
em
cascata
(CCL)
([Benallegue, 1991])
H
5.1.3.5
Controle passivo
em
cascata
(CCP)
([Guenther,
1993])
~
5.1.4 Objetivo
das
simulaçoes
5.1.4.1
Geração de
Trajetórias
no
Modelo
Rígido
(MR)
5.1.4.2
Geração de
Trajetórias
no
Modelo
com
Transmissões
Flexíveis
(MTF)
5.1.4.3
Resultados
5.2
Simulação dos
algoritmos
estudados no
espaço da
tarefa
5.2.1
Equações
do Modelo
5.2.2
Leis
de
controle
no
espaço da
tarefa
5.2.2.1
Controle
do
manipulador
rígido
5.2.2.2
Extensão do
CCL
para o
controle
no
espaço da
tarefa
(CCLT)
5.2.2.3
Extensão
do
CCP
para
o
controle
no
espaço da
tarefa
(CCPT)
5.2.3
Objetivo
das
simulações
5.2.4
Geração
de
Trajetórias
5.2.5
Resultados
5.2.6
Conclusões
sobre o
controle
do
MTF
no espaço da
tarefa
5.3
Conclusões
CAPITULO
6.CONCLUSOES
GERAIS
REFERÊNCIAS
BIBLIOGRÁFICAS
ANEXO
A.
ESTABILIDADE
A1. Introdução
A2.
Teoremas
de
Estabilidade
A3.
Teoremas
e
Definições
úteis
ANEXO
B.
O CONTROLE
BASEADO
NA
DINÂMICA
INVERSA
B1. Introdução
B2.
Lei
de
controle
para o
Modelo
Rígido
ANEXO
C.
O CONTROLE
BASEADO
NA
PASSIVIDADE
C1.
Introdução
C2.
Lei
de
controle
para
o
caso
ideal([SIotine
E
Li,1987])
C3.
Efeito
de
uma
perturbação
limitada
atuando na
entrada
ANEXQ
D.
ALGORITMQS
DEsENVoLvIDos
PARA
o
RESUMO
Este trabalho trata
do
projeto de controladores para robôs manipuladoresno
casoem
que a flexibilidade das transmissões é levada
em
conta.São
estudados doismétodos
para ocontrole
em
cascatado
modelo
com
transmissões flexíveis, o primeiro baseadona
dinâmicainversa, e o
segundo
baseadona
passividade.São
realizadas simulações para mostrar aimplementação
destas técnicasno
projeto de tarefasonde
é realizado o controle de posiçãono
espaço das juntas eno
espaço de trabalhodo
manipulador.Os
algoritmos são implementadosno
MATLAB,
versão 4.2, usando funções deum
toolbox desenvolvido para robôsmanipuladores, e considerando-se os dois primeiros elos de
um
robô manipuladorSCARA.
Palavras - chaves: robô manipulador, seguimento de trajetória, espaço das juntas, espaço datarefa, transmissões flexíveis, dinâmica lenta, dinâmica rápida, perturbação singular, controle
em
cascata. .ABSTRACT
In this
work
theproblem
of controlling robot-manipulators with joint flexibilities isconsidered.
Two
methods
basedon
the cascade control approach are presented: the first one isbased
on
the ínversedynamics
method, and the second one uses the concept of passivíty.Originally these
methods
are applied to the robot control in joint space.Both methods
areextended to the control
problem
in task space. Simulations results usingMATLAB,
version4.2, are
shown
to illustrate the applicability of these methods.Keywords
: robot manipulator, trajectory tracking, joint space, task space, joint flexibility,fast
modes, slow
dynamics, singular perturbation model, cascade control.CAPITULO
1
iNTRoDUçÃo
Nos
manipuladoresem
uso industrial oscomponentes do
mecanismo
edo
atuador sãoconstruídos de
forma
aserem
bastante rígidos, euma
boa
parte deles é acionada eletricamentepor motores
DC.
Estas característicaspermitem
utilizar, parafins
de análise,uma
idealização dos manipuladores cuja formulaçãotem
as seguintes hipóteses:H1.l -
Os
efeitos dos deslocamentos elásticos são suficientementepequenos
e sãodesconsiderados.
H1.2
-Os
sinais de controle são as forças e torques aplicados às juntasdo
mecanismo
pelosatuadores.
O
modelo
de manipulador que satisfaz estas hipóteses seráchamado
nesta dissertação, deModelo
Rígido(MR).
~1.1
O
Problema
de
controle
dos
robôs
manipuladores
O
controle de robôs manipuladorestem
como
objetivo faze-lo realizar a tarefa desejadacom
um
desempenho
pré-estabelecido.Em
algumas
tarefas o efetuador final deve desenvolvermovimentos
ponto a ponto,onde
só o início e o
fim
são importantes. Neste caso, o controle édenominado
controle de posição(seguimento de referência).
Em
outras tarefas são especificados pontos intermediários desejando-se efetuar
um
seguimento de trajetória ([Craig, 1986], [Spong e Vidyasagar, 1989], entre outrosautores).
Existem
tarefas queenvolvem
contato intencional,ou
não, entre omeio
e o manipulador. Nestes casos, o efetuador final deve seguiruma
dada
trajetória aplicandouma
determinada forçaIntrodução 2
ou
torque,como
por exemplo,no
caso de polimento de peças, esmerilhamento,ou
diferentestipos de montagens. Esta interação
pode
ser caracterizada poruma
restrição geométrica,ou
seja,restrição ao
movimento
em
certas direçõesou
outras formas de restrições mais sofisticadasenvolvendo
a dinâmica domeio
([Yoshikawa, 1990], [Kraus e McCarragher, 1996]). Estas forçaspodem
ser controladas explicitamenteou
indiretamente controlando-se a posição do efetuadorfinal.
Em
ambos
os casos, a especificação de força écomplementada
com
especificaçõesrelativas ao
movimento
do
efetuador final ([Khatib, 1987]).A
esta estratégia convencionou-sechamar na
literaturacomo
0problema
de controle de força.Neste trabalho não será analisado o controle de força, portanto a trajetória será definida
como
uma
curva especificando-se posições.O
problema
de controle de robôs manipuladorescompreende
duas etapas:(i) - Planejamento da trajetória,
onde
a posiçãodo
efetuador final é especificada para cadainstante de tempo.
(ii) -
Seguimento
de trajetórias,onde
a tarefa é realizada.Na
etapado
planejamento da trajetória é realizada a especificação completado
movimento
do
robô manipulador (posição e orientação)em
algum
sistema de coordenadas, por exemplo, o espaço da tarefa.O
seguimento de trajetórias esta relacionadocom
o projeto de controladores quefornecem
sinais decomando
para fazer o efetuador final seguir a trajetória desejada.1.2
A
flexibilidade
introduzida
pela
transmissão
Diversos autores
mostram
que,além
das incertezas paramétricas, existem outros fatoresque influem significativamente
no
desempenho
dos manipuladores, taiscomo:
o atrito, alimita ão da ca acidade P dos atuadores a › fric ão, as fol as, a dinâmica dos atuadores e a
Introdução 3
Duas
fontes principais de flexibilidade são: as flexibilidades nas juntas (transmissão) e asflexibilidades nos elos;
embora
existam outros tiposcomo
a introduzida pela garrado
manipulador e pela base
do
robô ([Eppinger e Seering, 1992]). Neste trabalhovamos
consideraroproblema da
flexibilidade introduzida pela transmissão.A
presençada
flexibilidade éum
aspectocomum em
muitos robôs de uso industrial.Assim,
quando
são usados elementos de transmissão taiscomo:
“harmonic drives”, correias detransmissão, dentes de engrenagens, e alguns tipos de sensores para medir os torques aplicados
nas juntas, observa-se
um
deslocamento varianteno
tempo
entre a posiçãodo
atuador e a posiçãodos elos.
A
seguinte tabela mostra valores típicos de rigidez para alguns tipos de transmissão,acoplamentos e sensores de torque ([Readman, 1994]):
Componente
(Nm/rad) “Steeljoint” vz 10 5 V“Hannonic
drive”z
104 “Torque transducer”z
10 5 “rlexible zoupling”z
1o 3Tabela 1.1 - Valores típicos de rigidez.
A
maioria das vezes apequena deflexão
produzida pela flexibilidade éuma
fonte de problemas, especialmentequando
precisa-se seguimentos de trajetóriascom
um
erropequeno ou
quando
desej a-seuma
alta sensibilidadena
determinação das forças aplicadas pelo efetuador final [Eppinger e Seering, 1987].Introdução 4
1.3
Os
efeitosda
flexibilidade
das
transmissões
A
flexibilidadepode
provocar erros de posicionamento, oaumento do
tempo
deestabilização
do
manipulador e instabilidade ([Spong, 1987]).Quando
o manipulador é considerado rígido, a posição do efetuador final é calculada apartir das coordenadas das juntas. Assim, os deslocamentos elásticos
no
mecanismo
e nastransmissões introduzem erros de posição. Por outra parte, o
tempo
de estabilização dos sistemasdinâmicos
depende
diretamente das suas constantes de mola.Quanto mais
flexível é o manipulador,maior
é seutempo
de estabilização.Quando
a flexibilidade é desconsiderada, passa a constituiruma
dinâmica não modelada,normalmente pouco
amortecida ([Spong e Vidyasagar, 1989]), queuma
vez excitada pelomovimento
do
manipuladorpode
produzir instabilidade.De
fato,normalmente
é observadauma
conduta oscilatória
quando
movemos
os elos deum
robô manipuladorcom
flexibilidades nãodesprezíveis nas juntas. Estas vibrações são de
pequena
magnitude eocorrem
em
freqüênciasrelativamente altas, ainda que dentro
da
banda
de interesse do controle ([Readman, 1994]).Diversos autores concluíram
que
a maior parcela de flexibilidade é ocasionada pelastransmissões ([Guenther, 1993]). Isto é explicado pelo fato de tradicionalmente, os elos dos manipuladores serem construídos bastante rígidos para minimizar os efeitos
da
flexibilidade.Outro efeito importante introduzido pela flexibilidade é a possibilidade de ocorrer
ressonância torcional.
Em
sistemas mecânicoscom
movimentos
de rotação,quando
duas inérciasestão acopladas por
uma
mola, estapode
armazenaruma
grande quantidade de energia, o quepode
provocar vibrações consideráveis se a freqüência de excitaçãodo
sistema forpróxima
àfreqüência natural definida pela mola. Este
fenômeno
é conhecidocomo
ressonância torcional([Guenther, 1993],
[Readman,
1994]).Em
resumo, desconsiderar a flexibilidade das transmissões implica:(i) - a necessidade de limitar os ganhos dos controladores a valores bastante baixos. (ii) - a possibilidade de ocorrência de instabilidade.
Introdução 5
1.4
Objetivo
da
Dissertação
O
objetivo principal deste trabalho, é o estudo e simulaçãodo
controle de posição derobôs manipuladores
com
transmissões flexíveis. Para tanto são estudados dois algoritmos para o seguimento de trajetórias, projetados nas coordenadas das juntas e da tarefa de robôs manipuladores,onde
a trajetóriacompreende
uma
curva especificando-se posições e a ação decontrole inclui a dinâmica da transmissão.
A
presençada
flexibilidade écompensada
através deuma
combinação
em
cascata detécnicas baseadas
na
dinâmica inversa ena
passividade.É
analisada a estabilidade dos algoritmos apresentados, usando o segundométodo
Lyapunov, ou método
direto.Cabe
salientar queuma
das contribuições principaisdo
trabalho é a extensão destesmétodos
de controle para o espaço da tarefado
manipulador, pois osmesmos
foram desenvolvidos inicialmente para o espaço das juntas. Outra contribuição importante, é o usodo
MATLAB
para a implementação destas estratégias a nível de simulações, possibilitando aampliação
do
“toolbox” de robótica para o incluir a flexibilidade introduzida pela transmissãono
modelo do
robô manipuladorcom
elos rígidos.1.5
Organização da
Dissertação
No
capítulo 2 apresentam-se as equaçõesdo movimento
paraum
Modelo
Rígido(MR)
epara
um
modelo
em
que é levadaem
conta a flexibilidade introduzida pela transmissão, que seráchamado
deModelo
com
Transmissões Flexíveis(MTF).
A
partir destemodelo
analisa-se oefeito
da
flexibilidadena
transmissãoem
um
manipuladorcom
um
elo.No
capítulo 3 revisam-se brevemente os principais trabalhos acercado
projeto decontroladores para o seguimento de trajetórias
em
manipuladoresquando
a dinâmica datransmissão é considerada.
Também,
são .descritos doisesquemas
de controleem
cascatado
Introdução 6
mesma
ordem
do
MR.
Será considerado o caso dos parâmetros conhecidos.A
estabilidade éprovada
em
duas etapas.No
capítulo 4 é realizada a extensão dos dois algoritmos estudados para o controledo
MTF
no
espaçoda
tarefa.Como
no
capítulo 3, a estabilidade é provadaem
duas etapas.No
capítulo 5 são implementadas as técnicas de controle estudadas a nível de simulações,considerando-se os dois primeiros elos de
um
manipuladorSCARA
(“SelectivelyCompliant
Articulated
Robot
forAssembly”
[Lewis et al., 1993]). ~O
capítulo 6 é dedicado às conclusões do trabalho e propostas para trabalhos futuros.Nos
anexos revisa-se: algumas definições e teoremas importantes para a análise daestabilidade de sistemas dinâmicos (anexo A), o algoritmo de controle
do
MR
baseado nadinâmica
inversa (anexo B), o algoritmo de controle domodelo
rígido baseadona
passividade (anexo C), e os algoritmosimplementados no
MATLAB,
versão 4.2, para o controle de posiçãoCAPITULO
2
MoDELos
DINÃMICQS
PARA MANIPULADQRES
Resumo:
Neste capítulo apresentam-se as equaçõesdo
movimento
paraum
Modelo
Rígido de robôs manipuladores (elos rígidos e transmissões rígidas), e paraum
modelo
em
que aflexibilidade nas transmissões é levada
em
conta (elos rígidos e transmissões flexíveis).A
partirdos
modelos
analisam-se os efeitosda
flexibilidadena
transmissãoem
um
manipuladorcom
um
elo.
2.1
Introdução
O
comportamento
dinâmico dos manipuladores é descritoem
termos das variaçõesno
tempo
da
sua configuraçãoem
relação às forças e torques aplicadas pelos atuadores. Esta relaçãopode
serdada
porum
conjunto de equações diferenciais,chamadas
equaçõesdo
movimento,que
govemam
a resposta dinâmicado
manipuladorem
relação às forças e torques aplicados nosatuadores.
Formuladas
as hipóteses quedefinem
um
modelo, as equaçõesdo
movimento
sãoestabelecidas pelos
métodos
usuaisda
Mecânica,como
os deNewton-Euler
e de Lagrange.No
estudo dos manipuladores, omodelo pode
tercomo
objetivos a simulaçãoou
então autilização direta nos algoritmos de controle.
Quando
o objetivo é a simulação, dadas as forças e torques nas juntas e utilizando omodelo
(ou seja, as equaçõesdo
movimento), calculam-se as posições, velocidades e aceleraçõescorrespondentes.
Nos
algoritmos de controle pode-se utilizarum
modelo
nominal para introduzirinformações "feedforward"
no
sinal de controle. Neste caso, calculam-se as forças e torquesque
Modelos dinâmicos para manipuladores. 8
Neste capítulo apresentam-se as equações
do
Modelo
Rígido(MR),
edo
Modelo
com
Transmissões Flexíveis
(MTF).
2.2
A
dinâmica
dos
elosrígidos
O
braçodo
manipulador é muitas vezes consideradocomo
uma
cadeia simples den
elosrígidos ligados por juntas de rotação
ou
translação, nas quais são aplicados torques t¡, i=
l,..,n.O
desenvolvimento das equações
do
movimento
para esta cadeia de elos está descritodetalhadamente
em
diversos trabalhos (veja [Craig, 1986], [Asada e Slotine, 1986],[Spong
e Vidyasagar 1989], entre outros autores), e resultaem:
M(Cl)f1+ C(<1›<'1) <`1+ Gíq)
=
T (2-1)onde, qeíR" é o vetor da posição angular dos elos, e constitui
um
conjunto de coordenadasgeneralizadas; M(q)eiR"x" é a matriz de inércia
do
conjunto de elos;C(q,q)q
eüã" é o vetor dostorques centrífugos e de Coriolis; G(q)eiR" é o vetor dos torques gravitacionais e ^ceíR" é o vetor
dos torques de controle aplicados nas juntas.
Na
prática o torque é aplicado por atuadoreselétricos, hidráulicos,
ou
pneumáticos quetêm
dinâmica própria.'
A
expressão (2.1) é
formada
porn
equações não lineares e acopladas. Estaspossuem, no
entanto, diversas propriedades que facilitam 0 projeto dos algoritmos de controle.
Em
particular,são importantes as seguintes: '
P2.1 -
M(q)
=
M
T(q)
>
0,ou
seja, a matriz de inérciado
conjunto de elos é simétrica e definidapositiva, e tanto
M(q)
quantoM"(q)
são uniformemente limitadascomo
funções de qeífl".P2.2 - Existe
um
torque de controle para cada grau de liberdade, por isso diz-se que o sistema(2.1) é totalmente acionado.
P2.3 -
A
matriz[M-
2C]é
antissimétrica,onde
C(q,q) é definida usando, por exemplo, osModelos dinâmicos para manipuladores. 9
2.3
As
equações do
movimento
para
um
modelo
com
transmissões flexíveis
O
aparecimento de fiexibilidades nas juntas éum
fenômeno
bastante freqüenteem
manipuladores industriais
que executam
tarefasem
alta velocidade.Geralmente, a
modelagem
do comportamento
dinâmico .de robôs manipuladores desconsidera ofenômeno
físico conhecidocomo
flexibilidade. Assim, pela importância destefenômeno,
serão apresentadas as equações quedescrevem
a dinâmica de robôs manipuladorescom
transmissões flexíveis.Considera-se
um
manipuladorcom
n
elos (rígidos), ligados através de juntas de rotação,ou
translação, acionadas porum
atuadorcomposto
demn
motor
em
sériecom uma
transmissãoflexivel (figura 2.1). N:l W
ELO
.D _ 5 â-I
H- W E IIIÊIIIIIIIIIIIII ZI
Q Í-4 -DIi
MOTOR
P°Sfi¢ã°_Ç
(motor) Flexibilidade ¡. .-I .-I .-I .-IL Posição (elo) RedutorFigura 2.1 -
O
elo e o atuador (rotor)que
o aciona.Adotam-se
as seguintes hipóteses acercada
estruturamecânica
do
manipulador:H2.l -
Os
elos são rígidos;H2.2
-A
flexibilidade de cada transmissão émodelada
poruma
mola, torcional para juntas deModelos dinâmicos para manipuladores. 10
H2.3
-O
conjuntomotor
-transmissão émontado
diretamente sobreo
elo;H2.4
-O
conjuntomotor
-transmissão émodelado
porum
rotor;Observação
2.1 -A
hipóteseH2.3
resultana
soma
das inércias dos elos e dos rotores [M(q)+
J].Observação
2.2 -A
hipóteseH2.4
significa que a inérciado
conjuntomotor
- transmissão ésimétrica
em
relação ao eixo de rotaçãodo
motor.Com
isso a energia potencialdo
conjunto e avelocidade de seu centro de
massa
são independentes da posiçãodo
rotor ([Spong, 1987]).Ou
seja, o vetor de forças gravitacionais e a matriz de inércia não
dependem
da
posição intema dosrotores.
Com
base nestas hipóteses diversos autores desenvolveram as equaçõesdo
movimento
para robôs manipuladores levando
em
conta a flexibilidade nas transmissões.A
seguir mostra-sebrevemente
os principais passos desse desenvolvimento usando a formulação de Lagrange,como
em
[Spong, 1987] e[De
Wit. et al., 1996]. Para tanto, define-seum
conjunto de coordenadasgeneralizadas, as energias cinética e potencial e as forças generalizadas
não
consen/ativas.Como
os efeitosda
dinâmicado
atuador eda
flexibilidadena
transmissão sãoparticularmente importantes
no
caso dos robôs manipuladorescom
juntas de revolução, nestetrabalho considera-se, principalmente, os manipuladores
com
um
níunero arbitrário de elosligados através de juntas de revolução, cada
uma
delas acionada porum
atuador.O
acoplamento elástico entre o rotor e o eixo de saida introduz graus de liberdadeadicionais;
em
particular, dobra onúmero
de graus de liberdadeem
relação ao manipuladorrígido.
Assim,
são necessárias2n
coordenadas generalizadas para descrever o sistema, e por isso,é
comum
modelar
o rotorcomo
um
elo fictício ([Spong 1987]).Chama-se
de q¡, j = l,..,n, o ângulo que determina a posiçãodo
elo j; e qmj, j = l,..,n, oângulo
que
determina a posiçãodo
motorj, e:Modelos dinâmicos para manipuladores. ll
onde, qM¡ é a posição angular
do
rotorque
aciona o elo j, eN
j é a relação de transmissãodo
redutor j.
Seja q
=[q,
qn]T o vetor (nxl) das posições dos elos, eqM
=[qM,
qMn]T o vetor(nxl) das posições
do
atuador (rotor), refletidas através das relações de reduçãoda
transmissões;então,
um
conjunto de coordenadas generalizadaspode
serformado
por=[qT,<1MT]
Com
esta seleção, a diferença q-
qM
representa a deformação elástica introduzida pelatransmissão.
Assim,
pela observação 2.2, a energia cinética édada
por:T
=
i¿lTM(<l)¿l (22)onde,
M(q)e
íR2"X2" é a matriz de inércia, que é simétrica, definida positiva e limitada para todo q.Considerando a hipótese H2.4,
M(q) tem
a seguinte estrutura ([Spong, 1987], [Guenther, 1993],[Readman,
1994],[De
Wit. et. al., 1996], entre outros autores):M.<q›
Mz<‹1>M‹q›=[M2(q)T
M3
(22)onde M1,
M2
eM3
e iR"x", eM3
=
J éuma
matriz diagonal constante quedepende
das inérciasdos motores e das relações de transmissão.
A
energia potencialU
dos robôs manipuladorescom
transmissões flexíveis, écomposta
por
uma
parcela gravitacionalUg
euma
parcela elástica U... Pela hipóteseH2.4
a energiapotencial gravitacional
assume
a seguinteforma
([Spong, 1987]):Modelos dinâmicos para manipuladores. l2
A
energia elástica é:Ut
=š(q~<1M)TK(C1-QM)
(2-5)onde
K
=
diag [ lq kn ], e kj>
O é a rigidez da transmissão j.Deñnindo
a matriz:K
°` -
K
K
-
K
K
a
equação
(2.5)pode
ser reescritacomo:
_.
L
TU=
"
2 qg K°q@«(2.ó)
As
forças generalízadasnão
conservativas são os torques aplicados nos rotores, as quaispodem
ser representadas pormT
=
[OT, tT],onde
O é o vetor nulo deordem
n, e IGÊR". Estarepresentação é devida ao fato dos torques serem aplicados diretamente nas coordenadas
do
rotor(qM
).As
coordenadas dos elos são acionadas indiretamente atravésdo
acoplamento elástico.Com
estas definições, as equações domovimento
são obtidas atravésda
equação deEuler-Lagrange: '
_
-.- -
_
=
m
.d
ôL
õL
(2 7)
dt õqg õqg
onde, L(<lg›¿1g)
=
T(<1g,¿lg)-
U(<lg) é 0Lagrangeano
([Asada e Slotine, 1986]).Substituindo (2.2), (2.4) e (2.6)
em
(2.7), obtém-se ([Spong, 1987]):Maq)
Mm)
cic,+c1
cz
qK~K
qg<q›_0
Modelos dinâmicos para manipuladores. 13
que
pode
ser reescritacomo:
Mmm¢©oAo¶+do+mmo=m
oo
onde,
C(C1›¿1g)¿1.,
=
M(Q)¿1g -%%[<`1gTM(<1)<`1g]T (2-9)Assim,
as forças centrífugas e de Coriolispodem
ser expressascomo
(ver, por exemplo,[Readman,
1994]):Cz( z'
C.(›'M
Cz
z'C(qg,qg)=[
qCÍ13)(;,q)qq)
(gq(mo)
onde
C1,Cz
eC3
são funções deMz(q)
e Cr(q,c'1) é calculadocomo
C(q,q)em
(2.1).Os
torques gravitacionais são expressoscomo:
U
mo=§%w¿m=F§l
Qu)
onde,<›~¿U<›
gq
-
õq
g ClAdicionalmente,
em
(2.8)podem
ser incluídos ascomponentes
relacionadascom
o atritoviscoso dos elos e da transmissao.
A
equação (2.8) é conhecidacomo
modelo
completo do manipuladorcom
transmissõesModelos dinâmicos para manipuladores. 14
2.4
O
modelo
simplificado
introduzido
por
Spong
Em
[Spong, 1987],além
das hipóteses H2.l - H2.4, considera-se que:H2.5
-A
energia cinética ocasionada pela rotaçãodo
rotorem
tomo
de seu próprio eixo épredominante
quando comparada
com
a energia cinética ocasionada pela rotaçãodo
rotorem
relação ao sistema inercial. Assim, a energia cinética
do
rotor nãodepende
dos deslocamentosdos elos
do
robô. Isto acontece, por exemplo,quando
as relações de reduçãoda
transmissão sãoelevadas
(N
¡>>
1).Com
isso assume-se que M2(q)em
(2.3) é nula e conseqüentemente os termosC1, C2 e C3
em
(2.10) são nulostambém.
Assim
as equaçõesdo
movimento
ñcam
mais simples:M(<1)¿i+ C(<1,<'1)<'1+ G(<1)
+
K(<1~<1M)=
0 i (2-12)J¿iM+B¢1M
-K(q-qM)=f
(2-13) onde:J=N2Jm,
B=N2Bm,
z=N¬;m
eqM =N-*qm
M(q)eíR“*“ é a matriz de inércia, C(q,q)q eíR"
contém
os torques centrífugos e de Coriolis eG(q)eíR" representa os torques gravitacionais, todos referentes ao conjunto de elos rígidos.
KeiR“*" é diagonal e seus elementos são as constantes de
mola
das transmissões. J eÍR"*“ éconstante e diagonal, e seus elementos são as inércias dos rotores,
com
referência aos eixos desaída das transmissões.
O
vetor 1:eiR“* ", e suas componentes, são os torques aplicados nosrotores.
N
é a relação de redução introduzida pela transmissão.O
subindicem
é usado para representar os parâmetrosna
saídado
motor. Assim, (2.l3)também
pode
ser escritaem
função destes parâmetroscomo:
Jmqm+Bmqm
-KN-'(q-N*
qm)
=
zm (2.14)As
equações (2.12) e (2.l3) constituem omodelo
simplificado deSpong
e serãoModelos dinâmicos para manipuladores. 15
conhecida
como
subsistema dos elosou
subsistemado modelo
rígido, e (2.13)como
subsistemados rotores.
Observação
2.3 - Pela hipótese H2.4, a velocidadedo
centro demassa
de cada rotor sódepende
da
posição dos elos. Isso permite incluir a energia cinética ocasionada pela velocidade lineardo
rotor,
na
energia cinéticado
elo sobre o qual ele esta montado.A
massa do
rotor passa aincorporar à
do
elo,devendo
ser consideradano
cálculoda
matriz de inérciaM(q)
(H2.3),([Spong 1987]).
Na
simplificação de Spong, só a energia cinética devido à rotaçãodo
rotorem
relaçao ao sistema inercial, está sendo desconsiderada.
Observação
2.4 -De
uma
forma
geral, pode-se dizer quequando
as relações de transmissão sãograndes, a hipótese
H2.5
é aceitável e, portanto, omodelo
introduzido porSpong
é válido.Porém
[Nicosia e
Tomei,
1988] ressaltam que a validade deH2.5
também
depende
da trajetória.De
fato, se para
uma
dada
trajetória o rotorpermanece
parado enquanto o elo ao qual ele estamontado
semovimenta,
a energia cinética do rotor devida à rotaçãoem
relação ao sistemainercial é
maior do que
aquela devido a rotação (nula)em
tomo
de seu próprio eixo.Observação
2.5 - Paraalgumas
configurações particulares de manipuladores a matrizMz(q)
énula,
como
por exemplo, para o manipuladorcom
apenasum
elo euma
junta de revolução,ou
para o caso
do
manipuladorcom
dois elos e juntas de revolução,com
eixos de rotaçãoperpendiculares; por exemplo, o
manipulador
polar ([Nicosia eTomei,
1988]).Observação
2.6 -O
número
de entradas de controleno
MTF
(n) é
menor
do que
0número
degraus de liberdade (2n). Por isso diz-se que o
MTF
éum
sistema parcialmente acionado.2.5
Os
efeitosda
flexibilidade
nas
transmissões
-
Nesta seção é analisado o efeito da flexibilidade nas transmissões dos manipuladores
rígidos vistos a partir dos
modelos
dinâmicos. Para tanto são estudadas as funções detransferência
no
caso deum
manipuladorcom
apenasum
eloque
semove
em
um
planoModelos dinâmicos para manipuladores. 16
Os
resultadosmais
importantes são:(i) -
O
modelo
rígido (2.1), considerando o torque “I”como
entrada e o ânguloda
junta “q”como
saida, é desegunda
ordem
etem
dois pólosna
origem.(ii) -
O
MTF
considerando o torque “'c”como
entrada e o ângulodo
elo "q"como
saída, é dequarta
ordem
e,além
dos dois pólosna
origem, possui dois pólos sobre o eixo imaginário.Se
arigidez
da
transmissão"K"
é grandeem
relação às inércias, os pólos sobre o eixo imagináriotêm
freqüência de oscilação grande.
Os
pólosna origem correspondem
ao subsistemado
elo,enquanto os pólos sobre o eixo imaginário representam a dinâmica supexposta pelo subsistema
do rotor (figura 2.2).
4 P
Figura 2.2 -
Lugar
das raízesdo
MTF
quando q
é a saida.(iii) -
O
MTF
com
o ângulodo
rotor,(qM)
como
saída,tem
dois zeros sobre o eixo imaginário,além
dos dois pólosna origem
e dos dois pólos sobre o eixo imaginário (figura 2.3).O
diagrama
de
Bode
mostra que ao considerar o ânguloqM
como
saída, introduz-se a possibilidade de ocorrerressonância torsional ([Guenther, 1993]).
O
diagramatem
uma
inclinação de -40dB/dec até aocorrência de
um
pico acentuado (ver figura 2.4). Este pico échamado
de antíressonância e éprovocado pelos zeros imaginários.
Na
seqüência ocorreum
pico de ressonância ocasionadoModelos dinâmicos para manipuladores. 17
1 )
Figura 2.3 -
Lugar
das raízesdo
MTF
quando qM
é a saída.0
DB
-180
0 20
Vl(nubk)
Figura 2.4 -
Diagrama
deBode
quando qM
é a saída.Observação
2.7 -Da
afirmações
(i) e (ii) acima, verifica-seque
oMR
e oMTF
diferenciam-senão
só pelaordem
do
sistema,mas
principalmente pela localização dos pólos adicionaisno
planocomplexo,
em
relação aoMR.
No
MTF
estes pólos adicionais estão sobre o eixo imaginário.Observação
2.8 -As
equaçõesdo
movimento
para oMTF
(2.12)(2.13),permitem
estudar o efeitoda
flexibilidade nas transmissões.Na
prática as juntas são acionadas diretamente pelos motoresou
então existem redutores de velocidadeem
sériecom
os motores.Quando
as juntas sãoacionadas diretamente, as flexibilidades das transmissões (devido aos eixos e aos acoplamentos)
são pequenas, e a dinâmica dos atuadores é predominante.
No
caso de existirem redutores de velocidade entre os motores e as juntas ("harmonic drives", por exemplo), o efeitoda
Modelos dinâmicos para manipuladores. 18
2.6
Conclusões
Das
equações (2.12)(2.13) verifica-se que oMTF,
além
de ser deordem
maior que oMR,
é
um
sistema parcialmente acionado.No
capítulo 3 é demonstradoque
este fato é a fonte dasdificuldades adicionais
que aparecem no
projeto de controladores para manipuladoresquando
aCAPÍTULO
3
O
SEGUIMENTO DE
TRAJETÓRIAS
CONSIDERANDO
A
FLEXIBILIDADE
NAS
TRANSMISSÕES
Resumo:
Neste capítulo são revisados os principais trabalhos divulgando o projeto decontroladores para o seguimento de trajetórias
em
robôs manipuladoresquando
a flexibilidadenas transmissões é considerada. Discute-se
também
diversas técnicas propostasna
bibliografia,mostrando
a existência deuma
grande área aberta à pesquisa.Nas
seções finais deste capítuloserão apresentados duas estratégias de controle
em
cascata doModelo
com
TransmissõesFlexíveis
(MTF),
escolhidos entre os diversosmétodos
existentes, e que estão baseadasem
um
conhecimento
preciso dos parâmetros cinemáticos e dinâmicosdo
manipulador.3.1
Introdução
Os
esquemas
de controleempregados no
seguimento de trajetóriasem
robôs manipuladores rígidosnão
podem
ser 'aplicados diretamentequando
a dinâmica elétricaou
aflexibilidade nas transmissões é considerada (ver anexos
B
e C).Em
particular, devido àimportância dos efeitos
da
flexibilidade das transmissõesno desempenho
dos manipuladores, desenvolveu-se nos últimos anosum
grande esforço de pesquisacom
o objetivo de criaresquemas
de controle nos quais a dinâmica originada pela flexibilidade das transmissões possatambém
ser controlada. Neste capítulo são revisados brevemente os resultados apresentadosna
literatura.
Um
estudomais
completopode
ser encontradoem
[Guenther, 1993].Para considerar a flexibilidade introduzida pela transmissão utiliza-se o
MTF,
apresentadono
capítulo 2.De
acordocom
a nomenclatura define-secomo
controledo
MT
F
o casoem
que
todos osO
seguimento de trajetórias considerando aflexibilidade nas transmissões. 20O
capítulo é iniciadomostrando
as implicações do uso,no
MTF,
dos controladoresProporcionais - Derivativos
(PD)
projetados para oModelo
Rígido(MR).
Em
seguidadescrevem-se alguns resultados divulgados para o controle
do
MTF.
Finalmente, nas seções 3.2 e3.3 são apresentados dois
métodos
de controledo
MTF,
baseadosnuma
estruturaem
cascata.3.1.1
Os
controladores
PD
de
ganhos fixos
A
lei de controledo
MTF
mais
simples é a realimentação Proporcional Derivativa (PD),projetada para o manipulador rígido e
implementada no
MTF
como
no
caso rígido. Cabe,portanto, verificar quais são os limites de sua aplicação antes
da
discussão de técnicas maissofisticadas e complicadas.
Uma
análisedo
usoda
leiPD
em
um
manipuladorcom
apenasum
elo permite observaralgumas
das limitações de seu emprego. Por isso, antes de revisar a bibliografia que trata dosmanipuladores
com
elos múltiplos, apresenta-seuma
discussão acercado
emprego
doscontroladores
PD
no
controle de posição deum
manipuladorcom
apenasum
elo semovendo
em
um
plano horizontal e considerando a dinâmicada
transmissão (ver, por exemplo, [Spong eVidyasagar 1989], [Nicosia e
Tomei,
1991], [Guenther, 1993], [DeWit
et al., 1996], entre outrosautores).
(i) - Controle de posição
do
MTF,
considerandoum
elo que semove
em
um
plano horizontal eutilizando
uma
realimentaçãoPD, quando
o ângulo do rotor (qM) é a saída.Neste caso o
MTF
pode
ser descrito pela função de transferência (1: -› qM) ([Spong,1987]).
Usando
uma
realimentaçãoPD,
obtém-se o seguinte lugar das raízesem
termosdo ganho
O
seguimento de trajelórias considerando a flexibilidade nas transmissões. 21 4. 1 _ _' ) ilFigura 3.1 -
Lugar
das raízes damalha
fechadaquando qM
é a saída.Pode-se verificar que o sistema resulta estável para todos os valores de KD.
A
presençados zeros
da
malha
aberta sobre o eixo imaginário fazcom
queocorram
oscilações(mesmo
com
KD
pequeno) que
aumentam
otempo
de resposta.Além
disso, a estabilidade relativamente pobrepode
fazercom
que
o sistema setome
instávelna
presença de perturbações ([Spong eVidyasagar, 1989]).
(ii) - Controle
de
posiçãodo
MTF,
considerandoum
elo que semove
em
um
plano horizontal eutilizando
uma
realimentaçãoPD, quando
o ângulodo
elo (q) é a saída.Quando
a saída é o ângulodo
elo, oMTF
pode
ser descrito pela função de transferência (1 -› q) ([Spong, 1987]).Usando
uma
realimentaçãoPD
obtém-se o seguinte lugar das raízesem
termos
do
ganho
derivativoKD
(figura 3.2):‹ A
.¬. ›
Figura 3.2 -
Lugar
das raízes damalha
fechadaquando
q é a saída..
O
seguimento de trajetórias considerando a flexibilidade nas transmissões. 223.1.2
Conclusões sobre
o
uso dos
controladores
PD
Na
ausência dos efeitosda
gravidade, o uso deum
controladorPD
(Proporcional -Derivativo) descentralizado,
medindo
as posições e as velocidades angulares dos rotores,estabiliza o
MTF
quando
o objetivo é o controle de posição ([Spong e Vidyasagar 1989]). Porem,quando
sãomedidas
as posições e as velocidades angulares dos elos, o sistema resulta instável.Este resultado é estendido ao caso
em
que a gravidade é consideradaem
[Nicosia eTomei,
1991].Os
autoresmostram
a necessidade deum
ganho
proporcionalmínimo,
quedepende da
flexibilidade das transmissões e do valor dos torques gravitacionais, para que aestabilidade global seja garantida.
Mostram
também
quecompensando
perfeitamente os torquesgravitacionais através de
uma
ação “feedforward", não ocorre erro de posiçãoem
regime. ›Observação
3.1 - Paracompensar
os torques gravitacionais é necessário medir adicionalmente asposições dos elos,
além
de conhecer precisamente os parâmetrosdo
manipulador.Quando
ostorques gravitacionais
não
são precisamente compensados,ou
seja,quando
os parâmetrosdo
manipulador
contém
incertezas, ocorreum
erro de posiçãoem
regime.Observação
3.2 - Existe a possibilidade de ocorrer ressonância torsional caso a trajetória desejadado
manipuladornão
seja suficientemente suave ([Guenther, 1993],[Readman,
1994]).Observação
3.3 - Existeum
comportamento
oscilatório nos elos, porque o amortecimento só éintroduzido diretamente
no
subsistema dos rotores (2.13),porém
o subsistema dos elos só éamortecido indiretamente.
3.1.3
O
controle
do
MTF:
revisão
bibliográfica
Para o
MTF
desenvolveu-seum
grandenúmero
de trabalhosempregando
a linearizaçãopor realimentação de estados
numa
tentativa de generalizar a técnicada
dinâmica inversa, muitodifundida nos manipuladores rígidos (ver, por exemplo, [Spong, 1987] e
[Spong
e Vidyasagar,1989]).
Em
uma
outra linha empregou-se o controle baseado na teoria das perturbaçõesO
seguimento de trajetórias considerando a flexibilidade nas transmissões. 23Além
disso, desenvolveram-se recentemente alguns trabalhosem
que
as constantes demola
das transmissões são arbitrárias.Apresenta-se a seguir
uma
breve revisão bibliográfica organizada segundo oemprego
de cadauma
destas técnicas.3.1.4
A
técnica
da
linearização
por realimentação
No
capítulo 2, foi mostradoque
oMTF
constituium
sistema dinâmico parcialmenteacionado. Portanto, o
esquema
de controle baseadona
dinâmica inversa (anexoB) não pode
seraplicado diretamente, pois as
não
linearidades estãono
subsistemado
modelo
rigidoeo
sinal decontrole é aplicado
no
subsistemado
rotor. Assim, é preciso recorrer auma
generalização desteesquema
conhecidacomo
linearização por realimentação.Na
linearização por realimentação, constrói-seuma
malha
intemacom uma
lei decontrole
não
linear, queno
caso ideal (parâmetros conhecidos) lineariza exatamente o sistemaapós
uma
mudança
de coordenadas adequada. Para este sistema linearizado projeta-se entãoum
controlador linear
em
funçãodo
desempenho
desejado.As
condições suficientes para aexistênciada
transfonnaçãoque
efetua estamudança
decoordenadas são estabelecidas
com
basena
geometria diferencial, e o teorema de Frobenius é a ferramenta básica para tanto (ver, por exemplo,[Spong
e Vidyasagar, 1989], [Slotine e Li, 1991]e [Nicosia e
Tomei,
1988]). _A
linearização por realimentação de estadosem
robôs manipuladorescom
transmissõesflexíveis,
depende
domodelo
utilizado para descrever o manipulador.Em
[Spong
1987], émostrado que
oMTF
descrito pelas equações (2.12)(2.13), possibilita a linearização global, eque
as coordenadas (estados)do
sistema linearizado são grandezas físicas;ou
seja, o ângulodo
elo q e suas derivadas de até terceira ordem.
Também
ressalta quena
presença de incertezas, alinearização é apenas aproximada, sendo necessário que a lei de controle para o sistema
O
seguimento de trajetórias considerando a flexibilidade nas transmissões. 24Observação
3.4 -A
partir dos resultadosem
[Spong 1987], concluí-se que o controledo
sistemalinearizado necessita
do
conhecimento das derivadas de até terceiraordem
do
elo, para serimplementado.
Quando
os parâmetrosdo
manipulador são conhecidos, a aceleração tj e suaderivada qdl”,
podem
ser calculadas utilizando (2.12).Na
presença de incertezas paramétricas aimplementação
desta lei de controle é feitamedindo
estas grandezas, o que constituiuma
dificuldade prática.
3.1.5
O
controle
baseado
na
teoria
da
perturbação
singular
Neste controle o objetivo básico é reduzir a
ordem
do
MTF
à deMR,
e aplicar osalgoritmos de controle desenvolvidos para o
MR
nestemodelo
deordem
reduzida.No
MTF
existem pólos adicionais(em
relação aoMR)
introduzidos pelas flexibilidadesdas transmissões.
Quando
a flexibilidadeda
transmissão épequena
os pólos adicionaistêm
freqüência de oscilação grande. Isto sugere a existência de dois
movimentos:
um
correspondendoao subsistema dos elos,
chamado
na
literatura de dinâmica lenta; e outro, superposto à dinâmicalenta, correspondendo ao subsistema dos rotores,
chamado
na
literatura de dinâmica rápida.No
projeto de controladores para oMTF
alguns autores "separam" esses doismovimentos, amortecendo
omovimento
rápido aomesmo
tempo
em
que omovimento
lentosegue a trajetória desejada.
A
técnica de amortecer omovimento
rápido leva oMTF
a ter suaordem
reduzida àquelado
MR,
para que dessaforma
o seguimentodo
movimento
lento possa serfeito utilizando os algoritmos desenvolvidos para o
MR.
Para tanto, o sinal de controle écomposto
deuma
parcela quepromove
o seguimentoda
dinâmica lenta (us), e deuma
parcelaque propicia o amortecimento
da
dinâmica rápida (uf). Dai adenominação
de controle composto,ou
controleem
duas
escalas de tempo.Alguns
autorestambém
designam
a parcela quepromove
o amortecimento da dinâmica rápida de parcela "corretiva", sendo os algoritmos designados de
controle corretivo. Desta forma, o sinal de controle é definido
como:
O
seguimento de trajetórias considerando a flexibilidade nas transmissões. 25A
constanteu
depende do maior
fatorcomum
dos elementos deK
(por exemplo, 1/kcomo
em
[Benallegue, 1991]).Esta
abordagem
éempregada quando
a flexibilidade das transmissões é suficientemente pequena, e a formalizaçãoda
separação dosmovimentos
é feita pelométodo
das perturbaçõessingulares.
Para o caso ideal
em
que todos os parâmetros são conhecidos,em
[Spong, 1987] édesenvolvido
um
controlador globalmente estável.Em
[Readman,
1994] propõe-seuma
lei decontrole descentralizada, baseada
na
realimentação de torque, que estabiliza assintóticamente omovimento
rápido. ^Para os casos
em
que
existem incertezas paramétricas, diversos autoresestudam
aaplicação de algoritmos de controle por estrutura variável e de_ controle adaptativo (ver, por
exemplo, [Slotine e
Hong,
1986], [Spong, 1987], [Slotine e Li, 1987], [Myazkorowski, 1991],[Benallegue, 1991] e [Guenther, 1993]).
A
utilizaçãodo
conceito de variedade integral ([Spong, 1987]) possibilita a construção demodelos
deordem
reduzida mais precisos. Nestemétodo
a leide
controle inclui termoscorretivos
em
u
para expandir a validadedo
controleda
dinâmica lenta ao redor deu
=
0 (un),por exemplo:
us
=
uo+u
u, +u2u,+... _Observação
3.5 -Uma
vantagem do
controlecomposto ou
corretivo éque
a reduçãoda
ordem
do
sistema possibilita o
