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REFERÊNCIA
CAMARGO, I.; PILLET, E.; POLOUJADOFF, M. Etude matricielle des machines synchrones
autopilotées à commutation naturelle de courant. Revue Aim, Bélgica, v. 2, p. 3-13, 1990.
Etude matricielle des machines
synchrones autopilotées à commutation
naturelle de courant
I. CAMARGO, E. PILLET, M. POLOUJADOFF
Universités de Paris VI et XI - Laboratoire d'Electrotechnique
Des travaux récents [17] [19] [20]* ont montré que l’utilisation d'une écriture matricielle simplifiait nettement le cal cu l n u m ériq u e des c o n sta n te s d’amortissement d'une machine syn chrone ainsi que celui de l'intensité des courants. Il était donc normal de cher- . her à profiter des mêmes avantages pour l’étude des machines autopilotées. Dans le présent article, nous considé rons le cas d’une machine triphasée classique.
M A C H IN E SY N C H R O N E A U T O P IL O T E E
Le schéma en est rappelé dans la figure
(1).
Lu source principale de courant continu est supposée constituée par une simple F.E.M. : ecc réglable; mais il est bien évident que, dans la plupart des cas réels, elle est réalisée par un pont de
Graëtz asservi, alim enté, lui-même, par un réseau triphasé.
Nous admettons, aussi, que la machine satisfait aux conditions classiques de Park [3] [4]. Ceci permettra, a priori, de mettre les équations sous une forme matricielle.
Le fonctionnement de la machine est défini par trois variables indépen dantes :
(figure 1) : représentation de la MS autopilotée
4. A .I.M .
I______________
- l'intensité du courant princ ipal : icc - l'intensité du courant d'excitation :
'exc
- l’angle d'amorçage \{/ des thyristors par rapport à la position instantanée du rotor.
Ces trois variables et la fréquence f dé finissent complètement le fonctionne ment en régime permanent.
Pour faire passer le fonctionnement de moteur à alternateur, il suffit de modi fier convenablement l'angle Pour un même courant principal, la F.E.M. ecc doit changer de signe.
La commutation naturelle de courant entre deux phases est assurée si, au moment du déclenchement d’un thyris- tor ("T2" par exemple), la tension à ses bornes est positive (Vc ^ > 0).
Alors, le courant icc est transféré de la phase "b" à la phase "c”. Cette période est appelée intervalle de commutation et le déplacement angulaire (angle élec- tique) du rotor, pendant cette période.
est appelé angle de commutation que l'on notera par (|i).
A la fin de cet intervalle, quand ij, = 0, les thyristors T j et T t conduisent jusqu’au déclenchement d’un nouveau thyristor (T3 dans notre exemple).
Cette période est appelée intervalle de conduction et sa fin est donnée par la position du rotor, donc par un angle 0
bien défini.
Tous les angles que nous serons ame nés à utiliser dans la suite sont dans la figure (2).
L'étude du fonctionnement de la ma chine synchrone autopilotée à commu tation naturelle de courant consiste à déterminer les courants à tout instant. Les courants étant définis nous pou vons calculer facilement les tensions, le couple, les pertes, etc... Comme les phénomènes se répètent tous les n/3
rad, il suffit de calculer les courants dans un intervalle de commutation et
dans un intervalle de conduction (con sécutifs ou non) et par un simple changement d'indice nous avons les courants durant une période.
Nous voyons dans la figure (3) la po sition du flux statorique dans chaque intervalle dé conduction. Les commu tations correspondent aux passages d'une position à une autre consécu tive. On observe que le passage de Pj à P2 (relatif à l’intervalle ”1") corres
pond à un changement de signe du courant dans un enroulement fictif sur l'axe "P". D'autre part, pour la con duction, les positions P3 et P6 sont
intéressantes parce qu’elles n'ont au cune composante sur l'axe ”a ’’. Pour cette raison, nous utilisons la trans formation de Clarke [7] [8] en a.P ;0
et nous étudions l’intervalle "1” pour
la commutation et l'intervalle "4" pour la conduction. Nous allons noter dans la suite la commutation par l'indice "mut” et la conduction par l’indice "duc".
5. A .I.M .
Le calcul du régime permanent dans une m achine synchrone autopilotée présente deux points délicats :
1) Dans les deux modes de fonctionne ment, la machine est en court-circuit déséquilibré. Les équations qui décri vent ces fonctionnem ents sont tou jours des équations différentielles à
coefficients périodiques. Etant donné que la machine doit pouvoir fonction ner à très faible vitesse, on ne peut pas négliger les résistances.
2) On ne connaît, a priori, ni les va leurs des courants instantanés avant la commutation ni l'angle de commuta tion. Comme cet angle de commuta tion dépend de la valeur initiale du cou rant à com m uter, nous avons à résoudre un problème non linéaire dont les inconnues sont les valeurs initiales des courants et l'angle de commuta tion.
Pour résoudre le prem ier problème, nous utilisons la méthode matricielle mise au point récem m ent [17] [19] [20]. Ensuite nous l’adaptons au pro cessus itératif déjà proposé [12] [13] Grâce au choix de la transformation de Clarke, les seuls états initiaux incon nus portent sur les courants rotoriques if, i^d, ifcq, dont, par ailleurs, les va leurs moyennes en régime permanent sont connues a priori :
If = 'exc Ikd = fycq = 0
Rev. AIM - Liège n ° 2 H 9 9 0
6 A .I.M . t________
Le processus est, alors, le suivant :
1) A partir d'un vecteur suffisamment approché de courants initiaux
f i , <°>
on calcule l'angle de commutation p. et les courants en fin de commutation qui sont, aussi , les courants initiaux de la période de conduction.
2) Avec ces valeurs initiales on cal cule les courants pendant la conduction Id u c(t) et les valeurs moyennes des cou.ants rotoriques
Les états initiaux
4
« (0)sont systématiquement corrigés de la différence entre les valeurs moyennes en régime permanent et les moyennes calculées. On recommence les calculs jusqu'à ce que la valeur absolue de la correction soit inférieure à une valeur e fixée a priori.
On observe alors que, dans un pro blème bien posé, les courants finaux de la conduction sont égaux aux cou rants initiaux de la commutation et réciproquement. Nous avons donc bien
trouvé le régime permanent de fonc tionnement de la machine synchrone autopilotée.
Tant que le courant "i^" n’est pas nul, nous avons la conduction simultanée de trois thyristors : T j, T2 et Tg. On
peut représenter schématiquement ce qui se passe par la figure (4).
Les équations particulières du court- circuit sont :
Gta résoud numériquement l'équation (2)) par la méthode développée à partir du théorème de Floquet [ 10] [ 11 ] [ 12] P3Î1 [17]. va * vb “ ecc * rn'cc * P^n'cc * b - v c = 0 (1) --- *a + ¡b + *c = 0 L E S EQ U A TIO N S D E LA C O M M U T A T IO N
_____________ !___________________ A frès introduction de (1) dans les ¿(¡nations de base, transformation de Oarke et "réduction" de toutes les va-rij&les, il reste une équation de le Comme il a été dit précédemment, on famne :
considère que l'on veut commuter les
phases "b” et "c" pendant que la phase c = I M j I i + p { I M2 I i ) (2)
"a" conduit, ce qui correspond à l'intervalle "1" de la figure (3) et donc
au déclenchement du thyristor "T2". oti : (voir matrice page 7)
_________i
L’expression analytique des courants pendant la commutation est donnée par :
court-circuit entre les phases "b” et V de la machine. On peut représenter ce court-circuit asymétrique par la fi gure (5).
Les équations imposées par le court- circuit sont alors :
Dans le système de référence " a , P,
0", on a :
(5)
Un traitement analogue à celui utilisé pour la commutation donne l'équation (6) qui n’est plus que du 4ème ordre :
avec : (cf matrice au verso)
L 'éq u atio n (6) se traite com m e
l'équation (2). Les courants Iduc(t) ont la même forme (3) que Imut(t).
(figure 5) : conduction
fier. AIM - Liège 11J 2! 1990
(4)
pour laquelle nous savons calculer n u m ériq u e m e n t- les c o n s ta n te s d'amortissement (cxn ), les vecteurs Fn(0), le régime permanent F0(9).
(3)
LES EQUA TIONS DE LA C O N D U C T IO N
Nous avons choisi comme intervalle de conduction l'intervalle ”4" de la fi gure (3). Il correspond à la conduction des thyristors T V ' et "T3", donc à un
8 r A .I.M . - eCC *cc ef «f i = IM3 1 = 0 »kd 0 *kq X 2(l+7cos20)+^n ‘ Z *3afSm0 » . , -X ß afS in ö 1 IM4 | = - Xßakdsin0 Zßctkqcos0 0 X = ^ i+X2Sa 0 0 0 0 8f 0 0 0 0 ^ 0 0 0 0 ^kq ■Zßakd8“1® xßkqcos® ßfld 0 1 0 0 1 P R O C E SSU S DE R E S O L U T IO N
Avec l’expression analytique des cou rants pendant la commutation (ImutW ). Ie calcul de l'angle de com mutation (|i) peut se faire par la mé thode rapide de recherche de zéro d'une fonction analytique du genre "Newton- Raphson”.
L'expression analytique des courants pendant la conduction (Iduc(t)) nous donne, avec un seul "pas-de-calcul", les courants à la fin de la conduction ^ d u c ^ ^ )).
Pour chacune des deux périodes, le cal cul des éléments de la transformation de F lo q u e t et des co n stan te s d'amortissement ne dépend que de la structure du court-circuit et est
indépen-dant de l’état initial, ce qui permet de séparer complètement les deux proces sus num ériques. A chaque nouvelle itération du problème non linéaire, il suffit de résoudre deux systèmes d'équations linéaires pour trouver les constantes d'intégration kn et avoir les courants en fonction du temps.
L'organigram m e ci-après résume la suite des opérations nécessaires pour le calcul du régim e permanent. Ce ré gime étant, comme toujours en élec tronique de puissance, une suite pério dique de régimes transitoires.
La validité de notre programme a été testée de plusieurs façons :
Les valeurs des courants pendant la commutation et la conduction, calcu lées à partir des formules (3), ont été comparées aux résultats d'un calcul d’in tégration "pas-à-pas" (R unge Kutta). Les différences étaient de l'ordre de 1 0' 5.
Ensuite, nous avons comparé nos ré sultats à ceux publiés précédemment [6] et portant sur les mêmes données.
Les différences, inférieurs au pour mille, restent dans les limites des er reur. d’arrondis de [6].
Enfin, nous avons pu faire une compa raison avec des courbes expérimen tales grâce à la collaboration de M.I. Mahmoud [18] qui nous a com muniqué les deux courbes de la figure (6) correspondant à :
f = 2 0 Hz icc = 0,28 pu iexc = 2 , 0 pu
y = 30°
Les caractéristiques de la machine syn chrone utilisée sont les suivantes :
Sn = 10 kVA Xd = 1,1266 pu T d0 = 1 , 2 0 0 s T ’d = 0,222 s T akd = 0.0094 s ra = 0,0236 pu Vn = 220 V Xq = 0,7302 pu T ”do =0,016 s T ”d =0,0118 s rn = 0,0260 pu In =26,5 A T’q 0 •= 0,064 s T"q =0,0083 s Xn = 1,880 pu R ev. A IM - Liège n ° 2/1990
9 A .I.M J
_____________ I
Le program m e m atriciel donne les courbes de la figure (7). On voit une très bonne concordance entre les deux courbes surtout sur l'angle de commu tation (|J.), la valeur de pointe de la ten sion, les discontinuités de la tension Vjja dues aux com m utations succes sives et la valeur moyenne du courant continu. Nous ne trouvons pas dans les courbes théroriques les oscillations à 50 Hz du courant, tout simplement parce que nous avons simulé le redres seur par une source de tension conti nue.
A titre d'illustration nous présentons dans la figure (8) les autres grandeurs
calculées par le programme, pour le même exemple. Dans la figure (8a),
nous avons ia, Va, et eao; dans la figure (8b) nous avons les courants ro-
toriques if, i ^ et i ^ ; et dans la figure (8c) nous avons le couple.
Nous retrouvons dans la figure (9) les constantes d’amortissement en fonction de la fréquence. Il faut rappeler qu'une fois que nous avons trouvé les cons tantes a , nous avons aussi la matrice de transform ation de Floquet, nous avons donc une expression analytique déterminée par les courants.
C O N C L U S IO N
Une fois encore, nous constatons que les formes matricielles constituent une im po rtan te éco n o m ie d 'é c ritu re , quelles permettent de supprim er de
entrée des paramètres de la machine formation des matrices "mut" et "duc” calcul des a et j des directions F !! pour les deux cas : ! "mut" (h=l,5) j "duc” (h=l,4) j (organigramme2) ! entrée de la commande : V e t y s : n organigramme ;
nombreux calculs intermédiaires, préa lables à l’entrée des données dans l'ordinateur et font, ainsi, gagner un temps précieux, tout en supprimant des risques d'erreurs. Il en est de même pour la séparation entre le calcul de la transformation de Floquet et les itéra tions sur les valeurs de Imut(o) et
Iduc^0)-Ainsi, pour l'étude complète d'une ma chine. pour une fréquence donnée, la
calcul des constantes d'intégration de la commutation (k. mut)
. recherche de lb(M-) = 0
par Newton-Raphson I(mut, |i) -> I(duc.O) calcul des constantes
d'intégration de la conduction (k,duc)
I
____________!________________
calcul de I (duc, Jt/3) j calcul des valeurs moyennes des courants
retoriques (I(moy))
sortie des résultats
méthode matricielle devient plus rapide que celle qui utilise une intégration pas-à-pas, qu'il faut recommencer entiè rement pour chaque nouveau point con sidéré.
Par ailleurs, nous pouvons séparer, dans les variations des courants, les causes apériodiques (termes en e ’a t ) des causes périodiques (termes en e i j “ 1), ce que la méthode "pas-à-pas” ne permet pas.
AI = I(moy) - I(moy)
10 A .I.M .
(figure 6) : courbes expéritnentales établies par M.I. Mahmoud
(figure 7) : courbes calculées
11 A .I.M J
--- 1
(figure 8b) : if(0), ikd(9)-'kq(0) figure 8c) : le couple
12 A .I.M .
(f’gure 9b; : constantes d'amortissement - conduction B IB L IO G R A P H IE
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Rev. AIM - Liège n ° 211990
